Slide - Existem "infinitos" diferentes -números reais- números geometricamente

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 4
23 de agosto de 2010
Aula 4 Pré-Cálculo 1
Existem “infinitos” diferentes!
Aula 4 Pré-Cálculo 2
A recíproca de “Se A, então B.”
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
Aula 4 Pré-Cálculo 3
A recíproca de “Se A, então B.”
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
Aula 4 Pré-Cálculo 4
A recíproca de “Se A, então B.”
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
Aula 4 Pré-Cálculo 5
A recíproca de “Se A, então B.”
Os conjuntos
N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
Aula 4 Pré-Cálculo 6
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
Aula 4 Pré-Cálculo 7
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
Aula 4 Pré-Cálculo 8
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 9
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 10
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 11
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 12
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 13
Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Teorema
N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
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Aula 4 Pré-Cálculo 20
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 21
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 22
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6)Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
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Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 27
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 28
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 29
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 30
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 31
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 32
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 33
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 34
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 35
Teorema
(5) Temosentão:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 36
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 37
Teorema
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (pois
p1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradiz o
fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).
Aula 4 Pré-Cálculo 38
Georg Cantor
Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)
Aula 4 Pré-Cálculo 39
Números reais
Aula 4 Pré-Cálculo 40
Números reais
Geometricamente: através dos pontos da reta numérica.
Numericamente: através das expansões decimais.
Algebricamente: através dos axiomas de corpo ordenado completo.
Aula 4 Pré-Cálculo 41
Números reais geometricamente
Aula 4 Pré-Cálculo 42
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade
Aula 4 Pré-Cálculo 43
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade
Aula 4 Pré-Cálculo 44
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade
Aula 4 Pré-Cálculo 45
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade
Aula 4 Pré-Cálculo 46
Projeto grego: medida de segmentos
(Ir para o GeoGebra)
Aula 4 Pré-Cálculo 47
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 48
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 49
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 50
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 51
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 52
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 53
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em nsegmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 54
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 55
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 56
Segmentos comensuráveis
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
CD
=
m · w
n · w =
m
n
.
Definições
Aula 4 Pré-Cálculo 57
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
Aula 4 Pré-Cálculo 58
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
A B
D C
Considere
o quadrado ABCD
ao lado.
A diagonal AC e
o lado AB do quadrado
são comensuráveis?
Aula 4 Pré-Cálculo 59
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
A B
D C
Considere
o quadrado ABCD
ao lado.
A diagonal AC e
o lado AB do quadrado
são comensuráveis?
Aula 4 Pré-Cálculo 60
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
A B
D C
Existe w tal que
AC = m · w , AB = n · w
e, por conseguinte,
AC
AB
=
m
n
?
Não!
Aula 4 Pré-Cálculo 61
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
A B
D C
Existe w tal que
AC = m · w , AB = n · w
e, por conseguinte,
AC
AB
=
m
n
?
Não!
Aula 4 Pré-Cálculo 62
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 63
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 64
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 65
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 66
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímosque m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 67
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 68
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 69
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 70
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 71
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 72
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 73
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 74
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 75
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
ACAB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 76
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 77
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 78
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 79
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 80
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 81
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 82
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 83
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4Pré-Cálculo 84
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 85
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m ·w , AB = n ·w e, por conseguinte,
x =
AC
AB
=
m
n
.
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2.
Portanto,
x2 =
(
AC
AB
)2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2. Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k)2 = 4 · k2. Daí, segue-se que
n2 = 2 · k2. Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Aula 4 Pré-Cálculo 86
Para desespero de Pitágoras. . .
. . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento.
Aula 4 Pré-Cálculo 87
Para desespero de Pitágoras. . .
. . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento.
Aula 4 Pré-Cálculo 88
Para desespero de Pitágoras. . .
. . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento.
Aula 4 Pré-Cálculo 89
Para os gregos. . .
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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Aula 4 Pré-Cálculo 90
Para os gregos. . .
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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Aula 4 Pré-Cálculo 91
Para os gregos. . .
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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Aula 4 Pré-Cálculo 92
Para os gregos. . .
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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Aula 4 Pré-Cálculo 93
Para os gregos. . .
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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Aula 4 Pré-Cálculo 94
A reta numérica
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Aula 4 Pré-Cálculo 95
	Existem ``infinitos'' diferentes!
	Números reais
	Números reais geometricamente