Geometria Analitica e Algebra Linear para iniciantes.pdf

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
1
Suma´rio
1 Matrizes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 10
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Alguns tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Operac¸o˜es usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Adic¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Subtrac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Propriedades da Adic¸a˜o e do Produto por Escalar . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Operac¸o˜es na˜o usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 O trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Matrizes Invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 A func¸a˜o Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . 28
1.8.2 Ca´lculo do determinante por triangularizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansa˜o em cofatores . . . . . . . . . . . 31
1.8.4 Ca´lculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3 . . . . . . . 33
1.9 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
1.10 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10.1 Um Me´todo para Inverter Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o (Lista 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.13 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.13.1 Operac¸o˜es Elementares sobre as equac¸o˜es de um Sistema . . . . . . . . . . 41
1.13.2 Operac¸o˜es Elementares sobre as linhas da matriz ampliada . . . . . . . . . 42
1.14 Eliminac¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.14.1 Classificac¸a˜o de um Sistema Linear quanto a` Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . 44
1.14.2 O Me´todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.14.3 O Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.15 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o ( Lista 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Vetores 43
2.1 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Produto por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais 50
3.1 Vetores Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Vetores Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Produto de Vetores 57
4.1 Ca´lculo da norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Distaˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Produto interno euclidiano ou produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Produto interno em termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.2 Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4.3.3 Condic¸a˜o de ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3.4 Estudo da Projec¸a˜o Ortogonal usando Produto Escalar . . . . . . . . . . . 61
4.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto vetorial de dois Vetores . . 65
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5.1 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto . . . . . . . . . . . 68
4.6 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Aplicac¸a˜o de Vetores ao Estudo da Reta e do Plano 69
5.1 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Condic¸a˜o para que treˆs pontos estejam em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Equac¸o˜es Reduzidas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Aˆngulo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.7 Condic¸a˜o de Paralelismo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8 Condic¸a˜o de Ortogonalidade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9 Condic¸a˜o de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.10 Posic¸a˜o Relativa de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.11 Intersec¸a˜o de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.12 Distaˆncia de Um Ponto a Uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.13 Distaˆncia Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.14 O Estudo do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.15 Determinac¸a˜o de um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.16 Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.17 Aˆngulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.18 Aˆngulo de uma reta com um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4
5.19 Intersec¸a˜o de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.20 Distaˆncia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.21 Distaˆncia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.22 Distaˆncia de uma Reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Coˆnicas e Qua´dricas 95
6.1 Definic¸a˜o geome´trica das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Definic¸a˜o anal´ıtica das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Definic¸a˜o geome´trica das Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Definic¸a˜o anal´ıtica das Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 98
6.5 A elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5.1 Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5.2 Expressa˜o anal´ıtica da elipse centrada na origem . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5.3 Elipses transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6 O Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 A Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.7.1 Elementos da Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7.2 Expressa˜o anal´ıtica da hipe´rbole centrada na origem . . . . . . . . . . . . . 107
6.7.3 Hipe´rboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 O Hiperbolo´ide de um folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9 A Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.1 Elementos da para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.9.2 Expressa˜o anal´ıtica da para´bola com ve´rtice na origem . . . . . . . . . . . 112
6.9.3 Para´bolas Transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.10 O Parabolo´ide el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.11 O Hiperbolo´ide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.12 O Parabolo´ide hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.13 Superf´ıcie Coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.13.1 O Cone Qua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5
6.14 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7 O Espac¸o Vetorial Euclidiano n-dimensional 122
7.1 O Espac¸o Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.1 Igualdade de vetores de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.2 Operac¸o˜es em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.1.3 Propriedades das operac¸o˜es no Espac¸o Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.4 O produto interno euclidiano em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8 Espac¸os Vetoriais 126
8.1 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3 Subespac¸os Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5 Espac¸os Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Espac¸o Vetorial Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.6.1 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.7 Aˆngulo de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.8 Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.9 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.10 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.11 Projec¸o˜es Ortogonais: O Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.12 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9 Transformac¸o˜es Lineares 144
9.1 Transformac¸o˜es Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2 Transformac¸o˜es Lineares Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 O uso de bases na obtenc¸a˜o de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . 150
6
9.4 Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.5 Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares Arbitra´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Autovalores e Autovetores 154
10.1 O Polinoˆmio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.2 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Diagonalizac¸a˜o de uma forma quadra´tica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7
PREFA´CIO
A primeira edic¸a˜o destas notas foi feita no ano de 2009, em parceria com a professora Msc.
Aˆngela Mognon, quando ingressei na UTFPR e ministra´vamos aulas de Geometria Anal´ıtica
e A´lgebra Linear, a alunos dos primeiros anos de Engenharia, no campus de Campo Moura˜o,
Parana´. Com esta parceria tive total apoio na digitalizac¸a˜o textual e gra´fica, nas leituras pre-
liminares, na escolha das refereˆncias e na revisa˜o dos textos, contanto tambe´m com o apoio e
incentivo do professor Dr. Doherty de Andrade, o qual somos imensamente gratas, pois seu incen-
tivo e orientac¸a˜o na utilizac¸a˜o do editor de texto matema´tico TeX, tornou poss´ıvel a digitalizac¸a˜o
destas notas.
A motivac¸a˜o ao preparo destas notas inicialmente foi facilitar e agilizar a apresentac¸a˜o dos
conteu´dos em sala de aula, ja´ que a ementa semestral e´ extensa por atender os to´picos de Geome-
tria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Logo, este material foi elaborado com o intuito de proporcionar
ao aluno um melhor acompanhamento da aula e consiste somente de algumas anotac¸o˜es para
serem utilizadas durante as aulas. Sem preocupac¸o˜es em copiar definic¸o˜es e enunciados espera-se
que o aluno possa se concentrar nas demonstrac¸o˜es e resoluc¸a˜o de exemplos e exerc´ıcios que sera˜o
feitas em sala.
O Cap´ıtulo 1 trata das Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares por se
tratarem de ferramentas ba´sicas para o estudo da Geometria Anal´ıtica e da A´lgebra Linear.
Os Cap´ıtulos 2, 3, 4, 5 e 6 se ocupam dos Vetores, Retas, Planos, Coˆnicas e Qua´dricas,
objetos do plano bidimensional e do espac¸o tridimensional aqui tratados geometricamente e
algebricamente, dando forma anal´ıtica a` geometria e suporte teo´rico para outras disciplinas das
Engenharias como F´ısica, Mecaˆnica, Ca´lculo 2 e 3, entre outras.
O Cap´ıtulo 7 traz a generalizac¸a˜o do estudo dos vetores apresentando o espac¸o n−dimensional
R
n, suas operac¸o˜es e propriedades euclidianas (como norma, distaˆncia e ortogonalidade) garan-
tidas pela existeˆncia de produto interno.
Os Cap´ıtulos 8, 9 e 10 apresentam um sucinto curso de A´lgebra Linear, expondo resumi-
damente os Espac¸os Vetoriais, as Transformac¸o˜es Lineares, os Autovalores e Autovetores, ob-
jetivando a utilizac¸a˜o de uma linguagem alge´brica axioma´tica e o embasamento teo´rico para
disciplinas como Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias e Ca´lculo Nume´rico.
8
Agradec¸o a` professora Msc. Viviane Colucci pelo incentivo e colaborac¸a˜o na edic¸a˜o do texto
sobre Matrizes e Determinantes e na digitalizac¸a˜o de exerc´ıcios sobre o tema. Esta contribuic¸a˜o
foi inserida nestas notas a partir de 2011.
Agradec¸o o apoio dos professores Dr. Adilandri Me´rcio Lobeiro e Esp. Luciano Ferreira da
Silva nas orientac¸o˜es sobre a utilizac¸a˜o do editor TeXnicCenter e incentivo na divulgac¸a˜o destas
notas.
Agradec¸o a participac¸a˜o e parceria dos alunos das Engenharias nos projetos desenvolvidos nas
APS e deixo registrado na capa destas notas, algumas das obras modeladas no decorrerdestes
semestres. Fico muito grata em ver o empenho, a motivac¸a˜o e amadurecimento matema´tico ad-
quirido na utilizac¸a˜o da Geometria Anal´ıtica para modelar algebricamente e computacionalmente
no software Maple superf´ıcies tridimensionais do nosso cotidiano. Estes projetos tem evidenci-
ado a relac¸a˜o existente entre a teoria e a pra´tica e espero divulga´-los em publicac¸o˜es e eventos,
objetivando a motivac¸a˜o ao uso de novas possibilidades de ensino e aprendizagem de Geometria
Anal´ıtica nas Engenharias.
Sou grata tambe´m ao apoio dos professores do departamento de matema´tica que utilizam estas
notas em suas aulas e espero que o material seja u´til tanto aos discentes quanto aos docentes da
disciplina Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear.
Novas parcerias, eventuais correc¸o˜es e ou sugesto˜es de aprimoramento sera˜o bem acolhidas e
agradecidas.
Sara Coelho da Silva
Campo Moura˜o, 2013.
9
Cap´ıtulo 1
Matrizes e Sistemas de Equac¸o˜es
Lineares
Introduc¸a˜o
Muitas vezes na Engenharia e na Matema´tica uma informac¸a˜o e´ organizada em linhas e
colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser
tabelas de dados nume´ricos surgidos de observac¸o˜es f´ısicas, mas tambe´m ocorrem em va´rios
contextos matema´ticos. Por exemplo, veremos que para resolver um sistema de equac¸o˜es lineares
toda informac¸a˜o requerida para chegar a` soluc¸a˜o esta´ encorpada em uma matriz e que a soluc¸a˜o
pode ser obtida efetuando operac¸o˜es apropriadas nesta matriz. Isto e´ particularmente importante
no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equac¸o˜es lineares,
porque os computadores sa˜o muito bons pra manipular colec¸o˜es de nu´meros.
Durante o curso voceˆ tera´ oportunidade de pesquisar e manipular um software matema´tico
com capacidade de efetuar operac¸o˜es com matrizes, o que facilita muito os ca´lculos alge´bricos
matriciais no trabalho com cieˆncias exatas e podem enriquecer a experieˆncia do aprendizado,
bem como ajudar com os ca´lculos tediosos. No entanto, todo futuro engenheiro precisa dominar
todas as te´cnicas ba´sicas de a´lgebra linear resolvendo a` ma˜o exemplos iniciais. A tecnologia
pode enta˜o ser usada para resolver exemplos subsequentes e aplicac¸o˜es que possuem dados que
tornam os ca´lculos a` ma˜o na˜o pra´ticos. Entretanto, voceˆ deve fazer tantos exemplos quanto
puder com la´pis e papel ate´ que se sinta conforta´vel com as te´cnicas e mesmo quando utilizar um
software, pense sempre como voceˆ faria os ca´lculos manualmente e depois de obter uma resposta
do software, avalie se ela e´ razoa´vel.
Na˜o se esquec¸a nunca: ”E´ o homem que manipula a ma´quina, na˜o e´ a ma´quina que manipula
o homem.”
10
1.1 Matrizes
A palavra matriz deriva da palavra latina mater, que significa ”ma˜e”. Quando o sufixo -iz e´
acrescentado, o significado torna-se ”u´tero”. Assim como um u´tero envolve um feto, os colchetes
de uma matriz envolvem seu elementos, e assim como no u´tero e´ gerado um bebeˆ, uma matriz gera
certos tipos de func¸o˜es, chamadas transformac¸o˜es lineares, que seram estudadas posteriormente.
As matrizes sa˜o tabelas de nu´meros reais utilizadas em va´rios ramos da Cieˆncia e da Enge-
nharia.
Va´rias operac¸o˜es executadas por ce´rebros eletroˆnicos sa˜o computac¸o˜es por matrizes.
Vejamos um exemplo:
Considere a tabela a seguir, que indica as notas (0 − 10) dos Alunos A1, A2 e A3 em uma
determinada disciplina do curso de Engenharia:
Aluno Prova 1 Atividade
Aluno A1 9,0 7,0
Aluno A2 3,0 5,0
Aluno A3 6,5 8,4
No quadro indicado os nu´meros colocados nas disposic¸o˜es horizontais formam o que denomi-
namos linha e os colocados nas disposic¸o˜es verticais formam o que denominamos coluna.
Para sabermos a nota de atividade do Aluno A3 basta procuramos o nu´mero que esta´ na
terceira linha e na segunda coluna.
Se no´s suprimirmos os t´ıtulos, ficaremos com a seguinte colec¸a˜o retangular de nu´meros com
treˆs linhas e duas colunas, denominada matriz :
A =

 9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4


Generalizando, apresentamos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1 Uma matriz de ordem m × n, e´ um quadro A com elementos (nu´meros, po-
linoˆmios, func¸o˜es etc.) dispostos em m linhas e n colunas da forma:
Am×n =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn


11
em que os nu´meros aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, em nosso estudo, sa˜o nu´meros reais. O
nu´mero aij chama-se o elemento de ordem ij de A. De forma mais compacta, a matriz acima
pode ser escrita como
A = [aij ]m×n ou A = [aij ]
(Usamos letras maiu´sculas para denotar matrizes e letras minu´sculas para denotar quantidades
nume´ricas.)
A i-e´sima linha de A e´ a n-upla
Ai = (ai1, . . . , ain)
Ja´, a j-e´sima coluna de A e´ a m-upla
Aj =


a1j
...
...
amj


Portanto, uma matriz de ordem m × n, denotada por Am×n = [aij]m×n, possui m linhas e n
colunas.
Exemplo 1.1 O quadro A =
[
2 1 1
3 −2 5
]
e´ uma matriz real de ordem 2× 3. onde:
a11 = 2, a12 = 1, a13 = 1
a21 = 3, a22 = −2, a23 = 5
Exemplo 1.2 B =
[
2 1 0 −3 ] e´ uma matriz real de ordem 1× 4;
C =
[
1
3
]
e´ uma matriz real de ordem 2× 1 e;
D =
[
4
]
e´ uma matriz real de ordem 1× 1;
Definic¸a˜o 1.2 Duas matrizes Am×n = [aij]m×n e Br×s = [bij]r×s sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo
nu´mero de linhas (m = r) e o mesmo nu´mero de colunas (n = s), e se todos os seus elementos
correspondentes sa˜o iguais (aij = bij).
Notac¸a˜o: A = B.
Exemplo 1.3
[
32 1 log1
2 22 5
]
=
[
9 sen90◦ 0
2 4 5
]
12
Exerc´ıcio 1.1 Escreva, explicitamente, as matrizes
a) A = (aij)3×2, sendo aij = i+ j
b) B = (bij)3×6, sendo bij =
i
j
c) C = (cij)3×3, sendo cij = i
2 + j2
d) M = (mij)2×2, sendo mij = 2(i− j). Determine x, y, z, t para que se tenha:
M =
[
x+ y z − t
x− y 2z − t
]
Exerc´ıcio 1.2 Dada a matriz M = (aij)6×8, tal que aij = i− j, obtenha o elemento a43.
1.2 Alguns tipos especiais de matrizes
1. Matriz linha: e´ a n-upla A1×n = [a11 . . . a1n], isto e´, uma matriz de ordem 1× n.
Exemplo 1.4 A = [2 1 2]
2. Matriz coluna: e´ a m-upla Am×1 =


a11
...
...
am1

 , isto e´, uma matriz de ordem m× 1.
Exemplo 1.5 A =


2
4
0
6


3. Matriz Quadrada An×n: e´ a matriz em que o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de
colunas.
Exemplo 1.6 A =
[
3
]
B =
[
3 1
2 −5
]
C =

 −1 1 02 −5 9
7 3 9


4. Matriz Nula: e´ a matriz, denotada por 0m×n, que possui todos os elementos nulos.
Exemplo 1.7 01×1 =
[
0
]
02×1 =
[
0
0
]
03×3 =

 0 0 00 0 0
0 0 0


13
5. Matriz Diagonal e´ toda matriz quadrada A tal que aij = 0, quando i 6= j.
Exemplo 1.8 A=

 −1 0 00 1 0
0 0 3

 B = [ 0 0
0 0
]
6. Matriz Identidade e´ toda matriz quadrada I tal que aij = 1, quando i = j e aij = 0, se
i 6= j.
Exemplo 1.9 A=

 1 0 00 1 0
0 0 1

 B = [ 1 0
0 1
]
Observac¸a˜o 1.1 A diagonal principal de uma matriz quadrada An×n e´ a n-upla
(a11, a22, . . . , ann).
7. Matriz Triangular Superior e´ toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou
seja, e´ uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal sa˜o nulos.
Exemplo 1.10 A=

 1 1 30 −2 5
0 0 1

 B = [ 3 2
0 1
]
8. Matriz Triangular Inferior e´ toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou
seja, e´ uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal sa˜o nulos.
Exemplo 1.11 A=

 1 0 0−1 −2 0
4 5 1

 B = [ a 0
b c
]
Observac¸a˜o 1.2 Indicaremos conjunto de todas as matrizes de de ordem m×n, com elementos
em R, porMmn(R).
1.3 Operac¸o˜es usuais com Matrizes e Propriedades
Apresentaremos a seguir uma aritme´tica de matrizes na qual as matrizes podem ser somadas,
subtra´ıdas e multiplicadas.
14
1.3.1 Adic¸a˜o de Matrizes
Considere a tabela (apresentada na pa´g. 5) das notas dos alunos A1, A2 e A3:
Aluno Prova 1 Atividade
Aluno A1 9,0 7,0
Aluno A2 3,0 5,0
Aluno A3 6,5 8,4
Supondo que foram aplicadas outras duas avaliac¸o˜es e os resultados obtidos esta˜o descritos
nas tabelas
Aluno Prova 2 Atividade
Aluno A1 9,5 3,0
Aluno A2 7,3 5,5
Aluno A3 8,5 4,4
Aluno Prova 3 Atividade
Aluno A1 6,0 4,0
Aluno A2 7,0 6,0
Aluno A3 5,5 9,4
para as quais extraindo somente os nu´meros, obtemos:
A =

 9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4

 B =

 9, 5 3, 07, 3 5, 5
8, 5 4, 4

 C =

 6, 0 4, 07, 0 6, 0
5, 5 9, 4


Somando as entradas correspondentes (de mesma posic¸a˜o matricial) de A,B e C, temos:
S = A+ B + C =

 9, 0 + 9, 5 + 6, 0 7, 0 + 3, 0 + 4, 03, 0 + 7, 3 + 7, 0 5, 0 + 5, 5 + 6, 0
6, 5 + 8, 5 + 5, 5 8, 4 + 4, 4 + 9, 4


logo,
S =

 24, 5 14, 017, 3 16, 5
20, 5 22, 2


e´ a matriz que representa o total de pontos obtidos por cada aluno em provas e atividades na
disciplina.
Generalizando, temos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.3 Sejam as matrizes A,B ∈Mmn(R), enta˜o a soma S = A+B e´ a matriz obtida
somando as entradas de A a`s entradas correspondentes de B. Em notac¸a˜o matricial, se A = [aij ]
e B = [bij ] sa˜o matrizes m× n, enta˜o
sij = aij + bij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
15
Exemplo 1.12

 1 0 12 −2 0
4 5 1

+

 2 3 02 7 6
1 −2 1

 =

 3 3 14 5 6
5 3 2


Observac¸a˜o 1.3 A matriz nula e´ o elemento neutro para a adic¸a˜o de matrizes. Isto e´,
0m×n + A = A+ 0m×n = A, ∀ A ∈Mmn(R)
1.3.2 Subtrac¸a˜o de Matrizes
Suponhamos que o professor citado nos exemplos anteriores, queira comparar os primeiros e
segundos resultados obtidos pelos alunos nas provas 1 e 2 e nas respectivas atividades. Para
saber se houve aumento/diminuic¸a˜o de nota, podemos calcular a diferenc¸a dij = bij − aij, entre
as respectivas notas de provas e atividades.
Se dij > 0 enta˜o, houve um aumento de nota da prova 1 para a prova 2;
Se dij < 0 enta˜o, houve uma diminuic¸a˜o de nota da prova 1 para a prova 2;
Se dij = 0 enta˜o, a nota se manteve.
Fazendo o ca´lculo da diferenc¸a entre as respectivas notas de provas e atividades, temos:
B − A =

 9, 5 3, 07, 3 5, 5
8, 5 4, 4

−

 9, 0 7, 03, 0 5, 0
6, 5 8, 4

 =

 0, 5 −4, 04, 3 0, 5
2, 0 −4, 0


Analisando a matriz diferenc¸a B − A podemos concluir que todos alunos aumentaram suas
notas de provas e dois alunos teve diminuic¸a˜o de nota de atividade.
De modo geral, definimos:
Definic¸a˜o 1.4 Sejam as matrizes A,B ∈ Mmn(R), enta˜o a diferenc¸a D = B − A e´ a matriz
obtida subtraindo as entradas de B a`s entradas correspondentes de A. Em notac¸a˜o matricial, se
A = [aij] e B = [bij] sa˜o matrizes m× n, enta˜o
dij = bij − aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.13

 1 0 12 −2 0
4 5 1

−

 2 3 02 7 6
1 −2 1

 =

 −1 −3 10 −9 −6
3 7 0


1.3.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar
Seja S a matriz definida na sec¸a˜o (1.3.1) que representa o total de pontos dos alunos em uma
determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Para obter a me´dia aritme´tica
16
do total de pontos em provas e avaliac¸o˜es calcula-se 1
3
de cada nota disponibilizada nas colunas
de S, ou seja,
N =
1
3
.S =


1
3
.(24, 5) 1
3
.(14, 0)
1
3
.(17, 3) 1
3
.(16, 5)
1
3
.(20, 5) 1
3
.(22, 2)


logo,
N ≈

 8, 2 4, 75, 8 5, 5
6, 8 7, 4


representa a me´dia aritme´tica do total de pontos em provas e avaliac¸o˜es.
Generalizando, definimos:
Definic¸a˜o 1.5 Sejam A ∈ Mmn(R) e c ∈ R. A matriz cA = M e´ obtida pela multiplicac¸a˜o de
cada entrada da matriz A, por c. A matriz cA = M e´ chamada mu´ltiplo escalar de A. Em
notac¸a˜o matricial, se A = [aij ], enta˜o
mij = caij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.14 −2
[
2 −10
1 2
]
=
[ −4 20
−2 −4
]
Observac¸a˜o 1.4 A+ (−1)A = 0m×n, ∀ A ∈ Mmn(R). A matriz (−1)A, denotada por −A, e´
a matriz oposta de A.
Exemplo 1.15 A matriz oposta da matriz A =
[ −2 7
1 2
]
e´ −A =
[
2 −7
−1 −2
]
1.3.4 Propriedades da Adic¸a˜o e do Produto por Escalar
Sejam A,B,C ∈Mmn(R) e c, d escalares reais.
1. Se A e B sa˜o elementos de Mmn(R) enta˜o A+ B ∈Mmn(R).
2. A+ B = B + A.
17
3. A+ (B + C) = (A+ B) + C.
4. 0m×n + A = A+ 0m×n = A.
5. A+ (−1)A = 0m×n.
6. Se k e´ qualquer escalar e A ∈Mmn(R), enta˜o kA ∈Mmn(R).
7. c(A+ B) = cA+ cB.
8. (c+ d)A = cA+ dA.
9. (cd)A = c(dA).
10. 1A = A.
Apresentaremos a seguir operac¸o˜es matriciais que na˜o possuem analogia com a aritme´tica dos
nu´meros reais.
1.4 Operac¸o˜es na˜o usuais com Matrizes e Propriedades
1.4.1 Matriz Transposta
Definic¸a˜o 1.6 A transposta de uma matriz A = [aij]m×n e´ a matriz B = A
t = [aji]n×m, cujas
linhas sa˜o as colunas de A, isto e´, bij = aji, para todo i e j.
Exemplo 1.16 A transposta da matriz A =

 2 10 3
−1 4

 e´ a matriz At = [ 2 0 −1
1 3 4
]
Se A e B sa˜o matrizes de ordem m × n e c um nu´mero real, podemos verificar as seguintes
propriedades:
1.(A+B)t = At + Bt 2.(cA)t = cAt 3.(At)t = A.
Usando a definic¸a˜o de Matriz Transposta, podemos definir dois novos tipos de matrizes:
Definic¸a˜o 1.7 Matriz Sime´trica
E´ uma matriz quadrada tal que At = A. Isto e´, os elementos que esta˜o dispostos simetrica-
mente em relac¸a˜o a` diagonal sa˜o iguais (aij = aji).
18
Exemplo 1.17 A =

 2 1 31 6 4
3 4 1


Definic¸a˜o 1.8 Matriz Anti-Sime´trica
E´ uma matriz quadrada tal que At = −A. Isto e´, os elementos que esta˜o dispostos simetrica-
mente em relac¸a˜o a` diagonal sa˜o opostos (aij = −aji).
Exemplo 1.18 A =

 0 −2 32 0 −5
−3 5 0


Observac¸a˜o 1.5 A diagonal de uma matriz A anti-sime´trica e´ nula. Isto e´, aii = 0.
1.4.2 O trac¸o de uma Matriz
Definic¸a˜o 1.9 Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o o trac¸o de A, denotado por tr(A), e´ definido
pela soma das entradas na diagonal principal de A : a11 + a22 + . . .+ ann.
O trac¸o de A na˜o e´ definido se A na˜o e´ uma matriz quadrada.
Exemplo 1.19 Para A=


−1 2 7 0
3 5 −8 4
1 2 7 −3
4 −2 1 0

 temos: tr(A) = −1 + 5 + 7 + 0 = 11
1.4.3 Produto de Matrizes
Ate´ aqui nos definimos a multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar mas na˜o a multiplicac¸a˜o de
duas matrizes. Como na definic¸a˜o da adic¸a˜o (e subtrac¸a˜o) somamos (e subtra´ımos) as entradas
correspondentes, pareceria natural definir a multiplicac¸a˜o de matrizes multiplicando as entradas
correspondentes. Contudo, ocorre que tal definic¸a˜o na˜o seria muito u´til na maioria dos proble-
mas pra´ticos e teo´ricos. A experieˆncia levou os matema´ticos a` uma definic¸a˜o mais u´til para a
multiplicac¸a˜o de matrizes.
Ilustraremos a devida definic¸a˜o dando continuidade a situac¸a˜o exposta anteriormente:
Seja N a matriz (sec¸a˜o 1.3.3) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada
disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Atribuindo peso 8, 0 para as provas e peso
2, 0 para as atividades podemos obter a nota final de cada aluno da seguinte maneira:
19
NF = N.P =

 8, 2 4, 75, 8 5, 5
6, 8 7, 4

 . [ 0, 8
0, 2
]
=

 8, 2.(0, 8) + 4, 7.(0, 2)5, 8.(0, 8) + 5, 5.(0, 2)
6, 8.(0, 8) + 7, 4.(0, 2)


logo,
NF =

 7, 55, 7
6, 9


Este exemplo nos leva a`s seguintes observac¸o˜es:
- para tornar poss´ıvel o produto N.P o nu´mero de colunas deN deve coincidir com o nu´mero
de linhas de P ;
- o produto da linha i de N pela coluna j de P resulta em um u´nico valor (nf)ij;
Generalizando, definimos:
Definic¸a˜o 1.10 Seja uma matriz A de ordem m×n e B uma matriz de ordem n×p. O produto
de A por B,denotado por AB, e´ a matriz de ordem m × p, cujo elemento de ordem ij e´ obtido
multiplicando ordenadamente, os elementos da i-e´sima linha de A pelos elementos da j-e´sima
coluna de B e somando-se os produtos assim obtidos. Isto e´,
(ab)ij = AiB
j = (ai1, . . . , ain)


b1j
...
...
bnj

 = ai1b1j + . . .+ ainbnj
para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.
Observac¸a˜o 1.6 Podemos usar a notac¸a˜o de somato´rio:
(ab)ij =
n∑
k=1
aikbkj
Exemplo 1.20 Dadas as matrizes A =
[
1 0 −1
2 1 3
]
e B =

 1 20 1
0 1

 , determine AB.
Resposta: A.B =
[
1 1
2 8
]
,
20
Teorema 1.1 Desde que sejam poss´ıveis as operac¸o˜es, as seguintes propriedades sa˜o va´lidas:
1. A.(B + C) = AB + AC; 2. (B + C)A = BA+ CA;
3. A(kB) = (kA)B = k(AB), k ∈ R 4. A(BC) = (AB)C;
5. (AB)t = BtAt; 6. AI = IA = A;
7. A0 = 0A = 0m×n.
1.5 Matrizes Invert´ıveis
Dada uma matriz A quadrada se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo ordem tal que
An×n.Bn×n = Bn×n.An×n = In×n, enta˜o diremos que An×n e´ invert´ıvel e que Bn×n e´ a inversa
de An×n. Se na˜o puder ser encontrada tal matriz B enta˜o diremos que A e´ na˜o invert´ıvel ou A
e´ dita singular.
Exemplo 1.21 A matriz B =
[
3 5
1 2
]
e´ a inversa de A =
[
2 −5
−1 3
]
Teorema 1.2 A inversa de uma matriz quadrada A e´ u´nica e sera´ denotada por A−1.
prova:
Suponhamos que B e C sa˜o inversas da matriz A. Enta˜o:
(BA) = I
Multiplicando ambos os lados da igualdade pela direita por C teˆm-se:
(BA)C = IC = C
Por outro lado,
(BA)C = B(AC) = B.I = B
Portanto, B = C.
Teorema 1.3 A matriz A =
[
a b
c d
]
e´ invert´ıvel se ad − bc 6= 0, caso em que a inversa e´
dada pela fo´rmula:
A−1 =
1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
21
prova: Basta verificar que A.A−1 = A−1.A = I2×2.
Teorema 1.4 Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o At tambe´m e´ invert´ıvel. E ainda,
(At)−1 = (A−1)t
prova: Basta verificar que At.(A−1)t = (A−1.A)t = I t = I, usando o item 5 do Teorema (1.1).
Exerc´ıcio 1.3 Use o Teorema (1.3) para calcular as inversas das seguintes matrizes.
a) A =
[
3 1
5 2
]
b) B =
[
2 −3
4 4
]
c) C =
[
6 4
−2 −1
]
d) D =
[
2 0
0 3
]
Resposta:
a) A−1 =
[
2 −1
−5 3
]
b) B−1 =
1
20
[
4 3
−4 2
]
c) C−1 =
1
2
[ −1 −4
2 6
]
d) D−1 =
1
6
[
3 0
0 2
]
1.5.1 Matrizes Ortogonais
Uma matriz A e´ dita ortogonal se, A e´ quadrada, invert´ıvel e A.At = At.A = I ou seja,
A−1 = At.
Exemplo 1.22 A matriz A =
[
cosθ −senθ
senθ cosθ
]
e´ ortogonal pois, At.A = A.At = I.
Exerc´ıcio 1.4 Verifique se A =

 37 27 67−6
7
3
7
2
7
2
7
6
7
−3
7

 e´ ortogonal.
Resposta: Sim, verifica-se que At.A = A.At = I.
1.6 Sugesta˜o de Leitura e Estudo
• Anton, H.; Rorres, C. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman,
2001. Sec¸a˜o 1.3 e Sec¸a˜o 1.4.
• Boldrini, J. L.. A´lgebra Linear . 3a Ed.. Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e
Sistemas Lineares.
• Steinbruch, A.; Winterle, P. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.Sa˜o Paulo: Makron Books, 1990.
Apeˆndice.
• Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear .
4a Ed. Sa˜o Paulo: Thompson Learning, 2007.
22
1.7 Lista 1
1. Um conglomerado e´ composto por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir
apresenta o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de fevereiro.
F =


1950 2030 1800 1950
1500 1820 1740 1680
3100 2800 2700 3050
2500 2420 2300 2680
1800 2020 2040 1950


Cada elemento aij dessa matriz e´ o faturamento da loja i no dia j.
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos quatro dias?
2. Classifique cada afirmac¸a˜o como verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) Toda matriz identidade e´ necessariamente quadrada.
b) ( ) Existe matriz identidade que na˜o e´ quadrada.
c) ( ) Toda matriz nula e´ necessariamente quadrada.
d) ( ) Existe matriz nula que na˜o e´ quadrada.
e) ( ) (At)
t
= A, qualquer que seja a matriz A.
f) ( ) At 6= A para qualquer matriz A.
g) ( ) Existe alguma matriz tal que At 6= A.
h) ( ) Se a matriz A e´ do tipo 2× 3, enta˜o At e´ do tipo 3× 2.
i) ( ) Se uma matriz A e´ sime´trica, enta˜o At = A.
3. Determinar a matriz transposta At de A =
[
2 3 −5 8
3 −7 1 9
]
.
4. Considerando a matriz anti-sime´trica A =

 0 3 4−3 0 −6
−4 6 0

 , calcule At. O que voceˆ observa
em relac¸a˜o a A e At?
23
5. Considere A =
[
1 −2 3
4 5 −6
]
e B =
[
3 0 2
−7 1 8
]
, calcule:
(a) A+ 5B
(b) 3A
(c) 2A− 3B
6. Considere as matrizes A =

 2 1 0 3−1 0 2 4
4 −2 7 0

 e B =

 −4 3 5 12 2 0 −1
3 2 −4 5

 , encontre
A+ B, A−B e 1
3
A
7. Resolva o produto de matrizes:
A.B =
[
1 2 4
2 6 0
]  4 1 4 30 −1 3 1
2 7 5 2


8. Em cada item, encontre a operac¸a˜o que se pede (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o ou multiplicac¸a˜o) entre
as matrizes dadas abaixo:
a) A =
[
2 5 −7
3 −2 4
]
e B =
[
3 3 2
8 9 1
]
, encontre A+ B.
b) A =
[
4 −1
−3 9
]
e B =
[
5 −6
7 −8
]
, encontre A− B; AB e BA.
c) A =
[
4 2 6
2 5 3
]
e B =

 5 2 4 12 3 1 0
1 2 7 6

 encontre AB.
d) A =

 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1

 , B =

 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2

 e C =

 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0


encontre AB e encontre AC. O que observou?
9. Considerando A =
[
1 0
0 0
]
, B =
[
0 0
1 0
]
e C =
[
0 1
0 0
]
, calcule (AB)C e A (BC).
10. Em cada item, fac¸a a multiplicac¸a˜o AB entre as matrizes dadas abaixo:
24
a) A =


1 0
−2 3
5 4
0 1


4×2
e B =
[
0 6 1
3 8 −2
]
2×3
b) A =
[ −2 0 1
3 0 1
]
2×3
e B =

 −12
4


3×1
c) A =

 2 14 2
5 3


3×2
e B =
[
1 −1
0 4
]
2×2
d) A =

 1 −1 1−3 2 −1
−2 1 0

 e B =

 1 2 32 4 6
1 2 3

 . Neste item, encontre tambe´m BA.
11. Se A =
[
1 2
3 −1
]
e B =
[
2 0
1 1
]
, calcule AB e BA. O que observa sobre o resultado do
produto AB e BA?
12. Dadas as matrizes A =

 4 −53 −7
−2 4

 e B = [ −4 6 −3−3 5 8
]
, calcule (AB)t.
13. Ache x, y, z e w se
[
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
14. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dado por:
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Represente as informac¸o˜es acima por meio de uma matriz C3×5.
25
b) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, res-
pectivamente, quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?(Sugesta˜o: crie a
matriz quantidade, Q1×3 e calcule a matriz material M = Q1×3.C3×5 )
c) Suponha agora que os prec¸os por unidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Com relac¸a˜o a esses materiais qual e´ o prec¸o
unita´rio de cada tipo de casa?(Sugesta˜o: crie a matriz prec¸o-material PM5×1 e calcule
a matriz prec¸o-casa PC = C3×5.PM5×1)
d) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respecti-
vamente.Considerando os mesmos prec¸os, use produtode matrizes para obter o custo
total de material empregado.
15. Considerando A2 = A · A, calcule
[
x y
z w
]2
.
16. Considerando que A =
[
2 6
−5 4
]
e X =
[
x
y
]
, encontre AX.
17. Considerando as matrizes dadas nos itens abaixo, verifique se as matrizes A e B sa˜o inversas.
a) A =
[
2 5
1 3
]
e B =
[
3 −5
−1 2
]
b) A =

 1 0 22 −1 3
4 1 8

 e B =

 −11 2 2−4 0 1
6 −1 −1


26
1.8 A func¸a˜o Determinante de uma Matriz Quadrada
No Ensino Me´dio voceˆ deve ter se deparado com o ca´lculo de determinante de matrizes 2× 2 e
3× 3, fazendo uso de algumas regras e fo´rmulas.
No entanto, nesta sec¸a˜o verificaremos que o ”determinante” e´ um certo tipo de func¸a˜o, que
associa a cada matriz quadrada um nu´mero real, independente da ordem da matriz quadrada.
Para tanto necessitaremos de alguns conceitos preliminares.
Definic¸a˜o 1.11 Uma permutac¸a˜o do conjunto de inteiros {1, 2, ..., n} e´ um rearranjo destes
inteiros em alguma ordem sem omisso˜es ou repetic¸o˜es.
Exemplo 1.23 Existem 6 permutac¸o˜es distintas do conjunto de inteiros {1, 2, 3}
Exerc´ıcio 1.5 Liste todas as permutac¸o˜es dos inteiros {1, 2, 3, 4}.
Definic¸a˜o 1.12 Denotando por (j1, j2, ..., jn) uma permutac¸a˜o arbitra´ria do conjunto {1, 2, ..., n}
dizemos que, ocorre uma inversa˜o numa permutac¸a˜o sempre que um inteiro maior precede um
menor.
Exemplo 1.24 Determine o nu´mero de inverso˜es nas seguintes permutac¸o˜es.
a) (6, 1, 3, 4, 5, 2)
5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8
b) (2, 4, 1, 3)
1 + 2 + 0 = 3
Observac¸a˜o 1.7 Para calcular o nu´mero de inverso˜es de uma permutac¸a˜o devemos:
(1) encontrar a quantia de nu´meros menores que j1 e que esta˜o depois de j1 na permutac¸a˜o;
(2) encontrar a quantia de nu´meros menores que j2 e que esta˜o depois de j2 na permutac¸a˜o.
Continuar este processo ate´ jn−1 e somar estas quantias. A soma destes nu´meros sera´ o nu´mero
de inverso˜es de uma permutac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.13 Uma permutac¸a˜o e´ chamada par se o nu´mero de inverso˜es e´ um inteiro par e
e´ chamada ı´mpar se o nu´mero de inverso˜es e´ ı´mpar.
27
Exerc´ıcio 1.6 Estude o nu´mero de inverso˜es das permutac¸o˜es de {1, 2, 3} e classifique estas
permutac¸o˜es em par ou ı´mpar.
Definic¸a˜o 1.14 Seja A = [aij]n×n uma matriz quadrada e (j1, j2, ..., jn) uma permutac¸a˜o ar-
bitra´ria do conjunto {1, 2, ..., n} . O produto
a1j1 .a2j2 ...anjn
e´ dito um produto elementar de A.
Definic¸a˜o 1.15 Seja A uma matriz quadrada. A func¸a˜o determinante denotada por det e´
definida da seguinte maneira:
det(A) =
∑
(−1)ka1j1 .a2j2 ...anjn
onde k e´ o nu´mero de inverso˜es de (j1, j2, ..., jn) ou seja, det(A) e´ definido como a soma de todos
os produtos elementares de A acompanhados do sinal: (+) se a permutac¸a˜o (j1, j2, ..., jn) e´ par
ou (−) se (j1, j2, ..., jn) e´ ı´mpar.
Exemplo 1.25 Ca´lculo do determinante de uma matriz de 2a ordem.
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Exemplo 1.26 Ca´lculo do determinante de uma matriz de 3a ordem.
detA =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz
Seja A uma matriz n× n.
1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A sa˜o nulos, enta˜o detA = 0.
2. Se B e´ a matriz que resulta quando multiplicarmos uma u´nica linha ou coluna de A por
uma constante k, enta˜o detB = k.detA.
3. Se B e´ a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A sa˜o permutadas,
enta˜o detB = −detA.
28
4. Se B e´ a matriz que resulta quando uma linha de A e´ somada a um mu´ltiplo de outra linha,
enta˜o detB = detA
5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais e´ zero. Se uma
linha e´ mu´ltipla de outra linha, enta˜o o determinante e´ zero.
6. det(A ·B) = detA · detB.
7. det(An) = (detA)n.
Teorema 1.5 Se A e´ uma matriz triangular n × n, enta˜o detA e´ o produto das entradas na
diagonal principal da matriz; ou seja,
det(A) = a11.a22...ann.
1.8.2 Ca´lculo do determinante por triangularizac¸a˜o
Usando as propriedades de determinante e o teorema acima, podemos calcular o determinante
de uma matriz quadrada qualquer reduzindo esta ao formato triangular superior usando as
operac¸o˜es elementares:
1. Li −→ k.Li, para k 6= 0
Neste caso, temos:
det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A)
Portanto, quando utilizarmos esta operac¸a˜o sobre A para triangulariza´-la e ainda obter o
determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante pela frac¸a˜o
1
k
,
pois:
det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A) =⇒ det(A) = 1
k
.det(B)
2. Li −→ Lj,
Neste caso, temos:
det(A) = D =⇒ det(B) = −det(A)
29
Portanto, quando utilizarmos esta operac¸a˜o sobre A para triangulariza´-la e ainda obter o
determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante por k = −1 pois
det(A) = D =⇒ det(B) = −1.det(A) =⇒ det(A) = −1.det(B)
3. Li → Li + k.Lj
Neste caso, sabemos que o determinante na˜o se altera, ou seja,
det(A) = det(B)
Portanto, a operac¸a˜o pode ser utilizada sem que haja preocupac¸o˜es com mudanc¸as no
determinante de A.
Aplicaremos este me´todo de Reduc¸a˜o por linhas em nossas aulas para o ca´lculo do determinante
das seguintes matrizes:
A =

 0 1 53 −6 9
2 6 1

 , B =

 3 6 −90 0 −2
−2 1 5

 e C =

 0 3 11 1 2
3 2 4

 .
Exerc´ıcio 1.7 Calcule o determinante das matrizes indicadas abaixo usando o Me´todo de Reduc¸a˜o
por linhas:
1. A =


2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

 2. B =


0 1 1 1
1
2
1
2
1 1
2
2
3
1
3
1
3
0
−1
3
2
3
0 0


30
1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansa˜o em cofatores
Observando o Exemplo (1.26) notamos que o determinante da matriz de ordem 3 × 3 pode ser
desenvolvimento em func¸a˜o de determinantes de submatrizes 2× 2 como segue:
detA = a11 (a22a33 − a23a32) + a12 (−a21a33 + a23a31) + a13 (a21a32 − a22a31) (1)
= a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ .
Observe que o determinante da matriz 3× 3 pode ser expresso em func¸a˜o dos determinantes
de submatrizes 2× 2, isto e´,
detA = a11M11 − a12M12 + a13M13,
no qual Mij e´ o determinante da submatriz obtida de A, onde a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna
foram retiradas. Ale´m disso, se chamarmos Cij = (−1)i+jMij, obtemos a expressa˜o
detA = a11C11 + a12C12 + a13C13.
Rearranjando os termos em (1), e´ poss´ıvel obter outras fo´rmulas como:
detA = a11C11 + a21C21 + a31C31
= a12C12 + a22C22 + a32C32
= a13C13 + a23C23 + a33C33.
= a21C21 + a22C22 + a23C23
= a31C31 + a32C32 + a33C33
Note que em cada uma dessas equac¸o˜es as entradas e os cofatores sa˜o todos da mesma linha
ou coluna. Estas equac¸o˜es sa˜o chamadas expansa˜o em cofatores de det(A).
Estes resultados que acabamos de ver para matrizes 3 × 3 formam somente um caso especial
de um teorema geral, que enunciaremos a seguir:
31
Teorema 1.6 Expansa˜o em Cofatores
O determinante de uma matriz A de tamanho n × n pode ser calculado multiplicando as
entradas de qualquer linha(ou coluna) pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes, ou
seja,
detAn×n = ai1Ci1 + · · ·+ ainCin =
n∑
j=1
aijCij
(expansa˜o em cofatores ao longo da i-e´sima linha)
detAn×n = a1jC1j + · · ·+ anjCnj =
n∑
i=1
aijCij
(expansa˜o em cofatores ao longo da j-e´sima coluna)
O nu´mero Cij e´ chamado cofator ou complemento alge´brico do elemento aij, onde Cij e´ o
determinante afetado pelo sinal (−1)i+j da submatriz obtida de A retirando-se a i-e´sima linha e
a j-e´sima coluna.
Exemplo 1.27 Encontre o determinanteda matriz A =

 3 1 −42 5 6
1 4 8

 usando Laplace.
Primeiro vamos calcular o determinante menor da entrada aij.
O menor de a11 e´ M11 =
∣∣∣∣ 5 64 8
∣∣∣∣ = 40− 24 = 16;
O menor de a12 e´ M12 =
∣∣∣∣ 2 61 8
∣∣∣∣ = 16− 6 = 10;
O menor de a13 e´ M13 =
∣∣∣∣ 2 51 4
∣∣∣∣ = 8− 5 = 3. Enta˜o
detA = a11M11 − a12M12 + a13M13 = 3(16)− 1(10) + (−4)3 = 26.
Exerc´ıcio 1.8 Encontre o determinante da matriz abaixo usando o me´todo de Laplace.
A =

 2 4 31 −5 7
−3 8 9

 resposta: detA = −343
O desenvolvimento de Laplace e´ uma fo´rmula de recorreˆncia que permite calcular o determi-
nante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem
n−1. Em grande parte dos casos ele simplifica muito o ca´lculo de determinantes, principalmente
se for utilizado em conjunto com outras propriedades dos determinantes.
32
1.8.4 Ca´lculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3
O ca´lculo de determinante de ordem maior que 3 envolve um nu´mero elevado de operac¸o˜es, por
isso, na˜o e´ feito usando a definic¸a˜o. Usaremos me´todos alternativos para calcular determinante
para ordem maior que 3.
O me´todo de Laplace pode ser usado, ou podera´ ser feito o ca´lculo do determinante por meio
de reduc¸a˜o de linhas.
Exerc´ıcio 1.9 Aplique o me´todo de Laplace para calcular o determinante de
A =


−5 2 3 −4
0 2 0 0
−5 2 −3 0
−8 5 3 1


(Observe que e´ mais conveniente usar a linha 2, pois esta tem como elementos o maior
nu´meros de zeros e isso facilita os ca´lculos).
det A =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−5 2 3 −4
0 2 0 0
−5 2 −3 0
−8 5 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 + 2(−1)2+2
∣∣∣∣∣∣
−5 3 −4
−5 −3 0
−8 3 1
∣∣∣∣∣∣+ 0 + 0 = 372.
Exerc´ıcio 1.10 Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 3 −4
4 2 0 0
−1 2 −3 0
2 5 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
usando a linha (e depois a coluna) mais
apropriada.
1.9 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Cofatores
Estamos em condic¸o˜es de obter uma fo´rmula para a inversa de uma matriz invert´ıvel usando os
cofatores.
Definic¸a˜o 1.16 Se A e´ uma matriz n × n e Cij e´ o cofator de Aij , enta˜o a matriz
Cof = [Cij]
e´ chamada matriz de cofatores de A ou Cofatora de A. A transposta desta matriz e´
chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
33
Exemplo 1.28 Seja
A =

 3 2 −11 6 3
2 −4 0


Verifique que,
adj(A) =

 12 4 126 2 −10
−16 16 16


Calcule enta˜o det(A) e verifique que,
A−1 =
1
det(A)
adj(A).
Para generalizar este resultado, verificamos que
A.adj(A) = det(A).I
considerando o produto A.adj(A) e observando que a entrada na i-e´sima linha e j-e´sima coluna
do produto A.adj(A) e´:
ai1Cj1 + · · ·+ ainCjn = 0, i 6= j
pois e´ o determinante de uma matriz A, obtida de A trocando a linha j pela linha i. E,
ai1Ci1 + · · ·+ ainCin = det(A), i = j
Assim, podemos enunciar o seguinte resultado:
Teorema 1.7 A inversa de uma Matriz usando a Adjunta
Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o
A−1 =
1
det(A)
adj(A).
Exemplo 1.29 Usando a matriz A enunciada no exemplo (1.28) e o teorema (1.7) temos:
A−1 =
1
64

 12 4 126 2 −10
−16 16 16


Exerc´ıcio 1.11 Calcule a inversa de A utilizando o teorema (1.7), sendo:
A =

 2 5 5−1 −1 0
2 4 3


34
1.10 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Operac¸o˜es Ele-
mentares
Nesta sec¸a˜o vamos desenvolver um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel
fazendo uso das operac¸o˜es elementares ja´ enunciadas.
Definic¸a˜o 1.17 Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executando uma
u´nica operac¸a˜o elementar sobre linhas e´ chamada matriz elementar.
Teorema 1.8 Operac¸o˜es sobre Linhas por Multiplicac¸a˜o Matricial
Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa operac¸a˜o sobre linhas em Im e se A
e´ uma matriz m × n, enta˜o o produto EA e´ a matriz que resulta quando esta mesma operac¸a˜o
sobre linhas e´ efetuada sobre A.
Este teorema nos auxiliara´ nos ca´lculos, pois e´ prefer´ıvel (e a´gil) efetuar operac¸o˜es sobre
linhas diretamente sobre uma matriz A do que calcular o produto EA, multiplicando a` esquerda
por uma matriz elementar.
Teorema 1.9 Qualquer matriz elementar e´ invert´ıvel e a inversa e´, tambe´m, uma matriz ele-
mentar.
Teorema 1.10 Afirmac¸o˜es Equivalentes
Se A e´ uma matriz n × n enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) A e´ invert´ıvel.
(b) Usando operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A obtermos a matriz In.
Ek...E2.E1.A = In (2)
(c) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
A = (E1)
−1.(E2)
−1...(Ek)
−1 (3)
1.10.1 Um Me´todo para Inverter Matrizes
Usando a equac¸a˜o (2) apontada anteriormente podemos escrever:
A−1 = Ek...E2.E1.In (4).
35
Esta equac¸a˜o nos indica que A−1 pode ser obtida multiplicando In sucessivamente a` esquerda
pelas matrizes elementares.
Por outro lado, observe que estas mesmas operac¸o˜es aplicadas sobre A faz com que obtemos
In.
Portanto, podemos enunciar o seguinte Me´todo:
Para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel A, no´s devemos encontrar uma
sequeˆncia de operac¸o˜es elementares sobre linhas que reduz A a` identidade I. Estas
mesmas operac¸o˜es efetuadas em I nos dara´ A−1.
Simbolicamente temos:
[A|I] ≈ [I|A−1]
Exemplo 1.30 Encontre a inversa de
A =

 1 2 32 5 3
1 0 8


Exemplo 1.31 Verifique se
A =

 1 6 42 4 −1
−1 2 5


e´ invert´ıvel.
Exemplo 1.32 Determine a inversa de
A =


1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7


1.11 Sugesta˜o de Leitura e Estudo
• Anton, H.; Rorres, C. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman,
2001. Sec¸a˜o 1.5 e Cap´ıtulo 2.
• Boldrini, J. L.. A´lgebra Linear . 3a Ed.. Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e
Sistemas Lineares.
• Steinbruch, A.; Winterle, P. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.Sa˜o Paulo: Makron Books, 1990.
Apeˆndice.
• Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear .
4a Ed. Sa˜o Paulo: Thompson Learning, 2007.
36
1.12 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o (Lista 2)
Exerc´ıcio 1.12 Encontrar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
a) A =
[
3 5
1 2
]
resposta: A−1 =
[
2 −5
−1 3
]
b) B =

 −3 4 −50 1 2
3 −5 4

 resposta: B−1 =

 −143 −93 −133−2 −1 −2
1 1 1


c) C =


1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1

 , resposta: C−1 =


1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1

.
d) D =

 1 0 −22 −2 −2
−3 0 2

 resposta: D−1 =

 −12 0 −121
4
−1
2
−1
4−3
4
0 −1
4

.
e) E =

 −4 0 −10−2 −4 −4
2 −2 6

 resposta: E−1 =

 −4 52 −51
2
−1
2
1
2
3
2
−1 2

.
f) F =

 −3 −6 −120 3 −3
−6 −9 −24

 resposta: F−1 =

 113 43 −2−2
3
0 1
3−2
3
−1
3
1
3

.
g) G =

 1 2 32 5 3
1 0 8

 resposta: G−1 =

 −40 16 9−13 −5 −3
5 −2 −1

.
Exerc´ıcio 1.13 Seja dada a matriz A =

 1 0 22 −1 3
4 1 8

, encontre sua inversa.
Exerc´ıcio 1.14 Encontre a inversa da matriz dada usando operac¸o˜es elementares.
a)


0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3

 b)


−8 17 2 1
3
4 0 2
5
−9
0 0 0 0
−1 13 4 2

 c)


√
2 3
√
2 0
−4√2 √2 0
0 0 1


d)

 −1 3 −42 4 1
−4 2 −9

 e)

 2 6 62 7 6
2 7 7


37
Exerc´ıcio 1.15 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4× 4, onde k, k1, k2, k3, k4
e k5 sa˜o todos na˜o nulos.
a)


k1 0 0 0
0 k2 0 0
0 0 k3 0
0 0 0 k4

 b)


0 0 0 k1
0 0 k2 0
0 k3 0 0
k4 0 0 0

 c)


k 0 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 k


d)

k 1 0 0
0 k 1 0
0 0 k 1
0 0 0 0

 e)

 k k k0 k k
0 0 k


Exerc´ıcio 1.16 Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante
e as operac¸o˜es elementares.
a)


0 0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 0 0

 b)


5 0 0 0 0
0 0 0 −4 0
0 0 3 0 0
0 0 0 1 0
0 −2 0 0 0

 c)


4 −9 9 2
−2 5 6 4
1 2 −5 −3
1 −2 0 −2


d)


2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

 e)


1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 −0 0 1 1


Exerc´ıcio 1.17 Sabendo que
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = −6, encontre
a)
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣
a+ g b+ h c+ i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h− 4e i− 4f
∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣
3d 3e 3f
a b c
g h i
∣∣∣∣∣∣
Exerc´ıcio 1.18 Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sa˜o invert´ıveis.
a)

 1 0 −19 −1 4
8 9 −1

 b)

 4 2 8−2 1 −4
3 1 6

 c)


√
2 −√7 0
3
√
2 −3√7 0
5 −9 0

 d)

 −3 0 15 0 6
8 0 3


38
e)

 3 0 61 0 2
2 3 7


Exerc´ıcio 1.19 Seja
A =

 a b cd e f
g h i


Supondo que det(A) = −7, obtenha
a) det(3A) b) det(A−1) c) det((2A)−1) d) det(2A−1) e) det

 a d gb e h
c f i


Exerc´ıcio 1.20 Estude o determinante de A por cofatores da linha ou coluna mais apropriada
e use A−1 = 1
detA
.adjA para o ca´lculo da inversa de A.
a)

 2 −3 50 1 −3
0 0 2

 b)

 2 0 08 1 0
−5 3 6

 c)


3 3 0 5
2 2 0 −2
4 1 −3 0
2 10 3 2


d)


4 0 0 1 0
3 3 3 −1 0
1 2 4 2 3
9 4 6 2 3
2 2 4 2 3

 e)

 2 0 30 3 2
−2 0 −4


1.13 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Os sistemas de equac¸o˜es alge´bricas lineares e suas soluc¸o˜es constituem um dos principais to´picos
estudados em cursos de A´lgebra Linear. Nesta sec¸a˜o iremos introduzir alguma terminologia
ba´sica e discutir um me´todo para resolver estes sistemas.
Definic¸a˜o 1.18 Equac¸a˜o Linear Definimos uma equac¸a˜o linear nas n varia´veis x1, x2, ..., xn
como uma equac¸a˜o que pode ser expressa na forma
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b
onde a1, a2, ..., an e b sa˜o constantes reais. As varia´veis de uma equac¸a˜o linear sa˜o chamadas
inco´gnitas.
39
Observac¸a˜o 1.8 Uma equac¸a˜o linear na˜o envolve quaisquer produtos ou ra´ızes de varia´veis.
Todas as varia´veis ocorrem somente na primeira poteˆncia e na˜o aparecem como argumentos de
func¸o˜es trigonome´tricas ou exponenciais.
Exemplo 1.33 As equac¸o˜es
x+ 3y = 7, y = 1
2
x+ 3z + 1 e x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 7 sa˜o lineares. Ja´ as equac¸o˜es,
x+ 3
√
y = 5, 3x+ 2y − z + xz = 4 e y = senx
sa˜o na˜o-lineares.
Exerc´ıcio 1.21 Classifique as equac¸o˜es em lineares ou na˜o lineares.
a) x1 + 3x2 + x1x3 = 2 b) x
−2
1 + x2 + 8x3 = 5 c) πx1 −
√
2x2 +
1
3
x3 = 7
1
3
Definic¸a˜o 1.19 Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear a1x1+a2x2+ ...+anxn = b e´ uma n-upla
(s1, s2, ..., sn) tais que a equac¸a˜o e´ satisfeita quando substitu´ımos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O
conjunto de todas as soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o e´ chamado seu conjunto-soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o
geral da equac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.20 Um conjunto finito de equac¸o˜es lineares nas varia´veis (x1, x2, . . . , xn) e´ chamado
de sistema de equac¸o˜es lineares ou um sistema linear. A n-upla (x1, x2, . . . , xn) e´ chamada
soluc¸a˜o do sistema se x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn e´ soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es:
S1 :


a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
... · · · ...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
(1.13.1)
onde bi, aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, pertencem a R. O conjunto de equac¸o˜es 1.13.1 chama-se
sistema de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas.
O sistema S1 pode ser escrito como AX = B, onde
A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

 X =


x1
x2
...
xm

 B =


b1
b2
...
bm


matriz dos coeficientes matriz das inco´gnitas matriz dos termos independentes
Outra matriz associada ao sistema e´:
40


a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 · · · amn bm

 , chamada matriz ampliada do sistema.
Observac¸a˜o 1.9 O sistema S1 e´ dito homogeˆneo se b1 = b2 = · · · = bm = 0.
Exemplo 1.34 A forma matricial do sistema S1 :


x− 2y + z = 0
2x+ y − z = 0
3x− y + 2z = 0
e´

 1 −2 12 1 −1
3 −1 2



 xy
z

 =

 00
0


e a matriz ampliada associada ao sistema e´:

 1 −2 1 02 1 −1 0
3 −1 2 0


Exerc´ıcio 1.22 Encontre a matriz ampliada de cada um dos seguintes sistemas de equac¸o˜es
lineares.
(a)


3x− 2y = −1
4x+ 5y = 3
7x+ 3y = 2
(b)


2x+ 2z = 1
3x− y + 4z = 7
6x+ y − z = 0
(c)


x+ 2y − t+ w = 1
3y + z − w = 2
z + 7w = 1
Nosso objetivo agora, e´ estudar um me´todo para resoluc¸a˜o de sistemas em geral. O processo
consiste em substituir o sistema inicial por um sistema ”equivalente” cada vez mais simples,
fazendo a eliminac¸a˜o sucessiva das inco´gnitas atrave´s de operac¸o˜es elementares (ja´ apresen-
tadas no estudo das Matrizes e Determinantes) ate´ que possamos visualizar facilmente a soluc¸a˜o
do sistema.
1.13.1 Operac¸o˜es Elementares sobre as equac¸o˜es de um Sistema
1. Multiplicar uma equac¸a˜o inteira por uma constante na˜o nula.
41
2. Trocar duas equac¸o˜es entre si.
3. Somar um mu´ltiplo de uma equac¸a˜o a uma outra equac¸a˜o
1.13.2 Operac¸o˜es Elementares sobre as linhas da matriz ampliada
Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem a`s equac¸o˜es no sistema
associado, as treˆs operac¸o˜es elementares aplicadas sobre as equac¸o˜es de um sistema linear
correspondem a`s seguintes operac¸o˜es nas linhas da matriz ampliada do sistema:
1. Multiplicac¸a˜o de uma linha inteira por um escalar c na˜o-nulo (Li −→ cLi);
2. Permutac¸a˜o da i -e´sima linha pela j -e´sima linha (Li ←→ Lj).
3.Substituic¸a˜o da i -e´sima linha pela i -e´sima linha mais c vezes a j -e´sima linha (Li −→ Li+cLj);
Exemplo 1.35 Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo, realizando operac¸o˜es elementares sobre
as linhas da matriz ampliada.

x+ y + 2z = 9
2x+ 4y − 3z = 1
3x+ 6y − 5z = 0
1.14 Eliminac¸a˜o Gaussiana
Apresentaremos um procedimento para reduzir a matriz ampliada de um sistema a uma outra
matriz ampliada ”escalonada”.
Definic¸a˜o 1.21 Uma matriz A chama-se escalonada ou dizemos que esta´ na forma escalonada,
se o nu´mero de zeros precedendo o primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha aumenta por linhas
e se aparecerem linhas nulas, estas devem estar abaixo de todas as outras linhas.
Definic¸a˜o 1.22 Uma matriz A chama-se escalonada reduzida por linhas se:
a) esta´ na escalonada;
42
b) o primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha na˜o-nula de A for igual a 1. Chamamos este
nu´mero 1 de pivoˆ;
c) cada coluna de A que conte´m o primeiro elemento na˜o-nulo de alguma linha de A tiver
todos os outros elementos iguais a zero.
Exemplo 1.36 Dadas as matrizes A =

 1 0 0 00 1 −1 0
0 0 1 0

 B =

 0 2 11 0 −3
0 0 0


C =

 0 1 −3 0 10 0 0 0 0
0 0 0 −1 2

 D =

 0 1 −3 0 20 0 0 1 2
0 0 0 0 0


Quais sa˜o escalonadas e quais sa˜o escalonadas reduzidas por linhas?
Definic¸a˜o 1.23 Se A e B sa˜o matrizes de ordem m × n, diremos que A e´ equivalente por
linhas a B se B pode ser obtida de A apo´s um nu´mero finito de operac¸o˜es elementaressobre as
linhas de A.
Notac¸a˜o: A ∼ B
Exemplo 1.37 A matriz A =

 1 04 −1
−3 4

 e´ equivalentes por linhas a B =

 1 00 1
0 0


Teorema 1.11 Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada reduzida
por linhas.
Definic¸a˜o 1.24 Dois sistemas lineares sa˜o equivalentes se, e somente se, toda soluc¸a˜o de um
deles, e´ tambe´m soluc¸a˜o do outro.
Teorema 1.12 Todo sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo, cujo nu´mero de equac¸o˜es e´ menor
que o nu´mero de inco´gnitas, possui soluc¸a˜o na˜o-nula, isto e´, possui infinitas soluc¸o˜es.
43
Teorema 1.13 Dois sistemas de equac¸o˜es lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes
sa˜o equivalentes.
Definic¸a˜o 1.25 O posto de uma matriz A e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de alguma matriz
escalonada , equivalente a A.
Exemplo 1.38 Determine o posto da matriz A =

 1 3 1 02 6 2 0
1 −3 −1 0

 .
1.14.1 Classificac¸a˜o de um Sistema Linear quanto a` Soluc¸a˜o
No teorema a seguir veremos que um sistema so´ admite uma (e somente uma) das seguintes
classificac¸o˜es:
SPD: Sistema Poss´ıvel Determinado, com uma u´nica soluc¸a˜o.
SPI: Sistema Poss´ıvel Indeterminado, com infinitas soluc¸o˜es.
S.I: Sistema Imposs´ıvel, sem nenhuma soluc¸a˜o.
O estudo do posto de uma matriz nos auxiliara´ na classificac¸a˜o de um sistema linear.
Teorema 1.14 Consideremos um sistema linear de m equac¸o˜es a n varia´veis. Seja Pc o posto
da matriz dos coeficientes e Pα o posto da matriz ampliada do sistema.
a) Se Pc = Pα = p, enta˜o o sistema tem soluc¸a˜o u´nica no caso em que n = p (SPD)
e tem infinitas soluc¸o˜es se p < n; (SPI)
b) Se Pc 6= Pα enta˜o o sistema na˜o tem soluc¸a˜o. ( SI)
Observac¸a˜o 1.10 No caso de um sistema de n inco´gnitas apresentar infinitas soluc¸o˜es, p varia´veis
podem ser escrita em func¸a˜o de outras n− p escolhidas convenientemente. Estas n− p varia´veis
sa˜o chamadas de varia´veis livres e o nu´mero (n− p) denota o grau de liberdade do sistema.
Quando aplicamos operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada associada a
um sistema ate´ transformarmos na forma escalonada, obtemos um novo sistema equivalente
que pode ser resolvido por substituic¸a˜o de tra´s para frente, tambe´m dita retro substituic¸a˜o.
44
1.14.2 O Me´todo de Gauss
1. Escreva a matriz ampliada A do sistema;
2. Use operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz A ate´ transforma´-la numa matriz A′
escalonada;
3. Fazendo substituic¸a˜o de tra´s para frente, resolva o sistema equivalente associado a A′.
Exemplo 1.39 Determine a soluc¸a˜o do sistema S :


x+ 2y + z = 0
−x+ 3z = 5
x− 2y + z = 1
utilizando o Me´todo de
Gauss.
1.14.3 O Me´todo de Gauss-Jordan
Neste me´todo, procedemos como no me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss, mas reduzimos ainda mais
a matriz ampliada ate´ a` forma escalonada reduzida por linha.
1. Escreva a matriz ampliada A do sistema;
2. Use operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A ate´ transforma´-la numa matriz A′ escalo-
nada reduzida por linhas;
3. Se o sistema for poss´ıvel e determinado, a matriz A′ indica a soluc¸a˜o;
4. Se o sistema resultante for poss´ıvel e indeterminado, resolva-o para as varia´veis dependentes
em termos de quaisquer varia´veis livres que tenham sobrado.
Exemplo 1.40 Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo usando eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.

2x+ 4y + 6z = −6
3x+−2y − 4z = −38
x+ 2y + 3z = −3
Exerc´ıcio 1.23 Determine a soluc¸a˜o de cada sistema abaixo usando eliminac¸a˜o de Gauss-
Jordan.
45
(a)


2x+ 2y + z = 5
−x− y = −2
x+ 2y + 3z = 6
(b)


2x+ 2y − z + w = 0
−x− y + 2z − 3t+ w = 0
x+ y − 2z − w = 0
z + t+ w = 0
(c)


2x+ 2y + z = 2
−x− y = 0
x+ y + z = 5
46
1.15 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o ( Lista 3)
1. Considere as matrizes
A =

 3 0−1 2
1 1

 , B = [ 4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
, D =

 1 5 2−1 0 1
3 2 4

 , E =

 6 1 3−1 1 2
4 1 3


Calcule, quando poss´ıvel:
a) D + E b)D − E c) 2B − C d) 4E − 2D e) − 3(D + 2E).
2. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule (se poss´ıvel):
a) tr(D) b) 4tr(7B) c) tr(DDT ) d) tr(4ET −D) e) tr(CTAT + 2ET ).
3. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule os seguintes (quando poss´ıvel).
a) (2DT−E)A b) (4B)C+2B c) (−AC)T+5DT d) (BAT−2C)T e)BT (CCT−AAT ).
4. Sejam
A =

 3 −2 76 5 4
0 4 9

 e B =

 6 −2 40 1 3
7 7 5


Use a definic¸a˜o de produto de matrizes da pa´gina 9 do Cap´ıtulo 1 para encontrar
a) a primeira linha de AB b) a terceira linha de AB c) a segunda coluna de AB
d) a primeira coluna de BA e) a terceira coluna de AA.
5. Em cada item, encontre uma matriz [aij ] de tamanho 6 × 6 que satisfaz a condic¸a˜o dada.
Deˆ respostas ta˜o gerais quanto poss´ıvel, usando letras e na˜o nu´meros para entradas na˜o
nulas espec´ıficas. Classifique as matrizes obtidas quanto ao tipo, utilizando a sec¸a˜o 1.2.
a) aij = 0 se i 6= j b) aij = 0 se i > j c) aij = 0 se i < j
d) aij = i+ j e) aij = i− j
6. Sejam
A =

 2 −1 30 4 5
−2 1 4

 , B =

 8 −3 −50 1 2
4 −7 6

 , e
C =

 0 −2 31 7 4
3 5 9

 , a = 4, b = −7.
Mostre que
47
a) A + (B + C) = (A+ B) + C b) (AB)C = A(BC) c) a(B − C) = aB − aC
d) (AT )T = A e) (AB)T = BT .AT .
7. Use o Teorema 1.3 para calcular as inversas das seguintes matrizes.
a) A =
[
3 1
5 2
]
b) B =
[
2 −3
4 4
]
c) C =
[
6 −4
−2 −1
]
d) D =
[
2 0
0 3
]
e) E =
[
3 0
0 2
]
.
8. Use as matrizes A e B do exerc´ıcio anterior para verificar que
a) (A−1)−1 = A b) (BT )−1 = (B−1)T c) (AB)−1 = B−1.A−1
d) (ABC)−1 = C−1.B−1.A−1 e)(CA)−1 = A−1.C−1 .
9. Em cada parte use a informac¸a˜o dada para encontrar A.
a) A−1 =
[
2 −1
3 5
]
b) (7A)−1 =
[ −3 7
1 −2
]
c) (5AT )−1 =
[ −3 −1
5 2
]
d) (I + 2A)−1 =
[ −1 2
4 5
]
e) A−1 =
[
2 3
−1 5
]
.
10. Mostre que
a) An×n =


a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · ann

 e´ invert´ıvel e encontre sua inversa,
sabendo que a11.a22. · · · .ann 6= 0
b) Uma matriz An×n com uma linha de zeros na˜o pode ter inversa.
c) Uma matriz An×n com uma coluna de zeros na˜o pode ter inversa.
d) Se A,B sa˜o matrizes quadradas tais que AB = 0 e A e´ invert´ıvel enta˜o,B = 0.
e) Se A e´ uma matriz quadrada tal que Li = k.Lj enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel.
11. Encontre uma operac¸a˜o sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz
identidade.
a)
[
1 0
−3 1
]
b)

 1 0 00 1 0
0 0 3

 c)


0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0

 d)


1 0 −1
7
0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0

 e)


2 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


12. Encontre a inversa da matriz dada usando operac¸o˜es elementares.
48
a)


0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3

 b)


−8 17 2 1
3
4 0 2
5
−9
0 0 0 0
−1 13 4 2

 c)


√
2 3
√
2 0
−4√2 √2 0
0 0 1


d)

 −1 3 −42 4 1
−4 2 −9

 e)

 2 6 62 7 6
2 7 7


13. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 × 4, onde k, k1, k2, k3, k4 e k5 sa˜o
todos na˜o nulos.
a)


k1 0 0 0
0 k2 0 0
0 0 k3 0
0 0 0 k4

 b)


0 0 0 k1
0 0 k2 0
0 k3 0 0
k4 0 0 0

 c)


k 0 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 k


d)


k 1 0 0
0 k 1 0
0 0 k 1
0 0 0 0

 e)

 k k k0 k k
0 0 k


14. Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as
operac¸o˜es elementares.
a)


0 0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 0 0

 b)

5 0 0 0 0
0 0 0 −4 0
0 0 3 0 0
0 0 0 1 0
0 −2 0 0 0

 c)


4 −9 9 2
−2 5 6 4
1 2 −5 −3
1 −2 0 −2


d)


2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

 e)


1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 −0 0 1 1


15. Sabendo que
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = −6, encontre
a)
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣
a+ g b+ h c+ i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣
49
d)
∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h− 4e i− 4f
∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣
3d 3e 3f
a b c
g h i
∣∣∣∣∣∣
16. Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sa˜o invert´ıveis.
a)

 1 0 −19 −1 4
8 9 −1

 b)

 4 2 8−2 1 −4
3 1 6

 c)


√
2 −√7 0
3
√
2 −3√7 0
5 −9 0

 d)

 −3 0 15 0 6
8 0 3


e)

 3 0 61 0 2
2 3 7


17. Seja
A =

 a b cd e f
g h i


Supondo que det(A) = −7, obtenha
a) det(3A) b) det(A−1) c) det((2A)−1) d) det(2A−1) e) det

 a g db h e
c i f


18. Use A−1 = 1
detA
.adjA para o ca´lculo da inversa de A e estude o determinante de A por
cofatores da linha ou coluna mais apropriada.
a)

 2 −3 50 1 −3
0 0 2

 b)

 2 0 08 1 0
−5 3 6

 c)


3 3 0 5
2 2 0 −2
4 1 −3 0
2 10 3 2


d)


4 0 0 1 0
3 3 3 −1 0
1 2 4 2 3
9 4 6 2 3
2 2 4 2 3

 e)

 2 0 30 3 2
−2 0 −4


50
19. Quais das seguintes matrizes 3× 3 esta˜o em forma escalonada?
a)

 1 2 00 1 0
0 0 0

 b)

 1 0 00 1 0
0 2 0

 c)

 1 3 40 0 1
0 0 0


d)

 1 5 −30 1 1
0 0 0

 e)

 1 2 30 0 0
0 0 1


20. Quais das seguintes matrizes 3× 3 esta˜o em forma escalonada reduzida por linhas?
a)

 1 0 00 1 0
0 0 0

 b)

 0 1 00 0 1
0 0 0

 c)

 1 0 00 0 1
0 0 0


d)

 1 1 00 1 0
0 0 0

 e)

 1 0 20 1 3
0 0 0


21. Em cada parte, determine se a matriz esta´ em forma escalonada, escalonada reduzida por
linhas, ambas ou nenhuma das duas.
a)


1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

 b)

 1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4

 c) [ 1 0 3 1
0 1 2 4
]
d)
[
1 −7 5 5
0 1 3 2
]
e)


1 3 0 2 0
1 0 2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0


22. Em cada parte, suponha que a matriz de um sistema de equac¸o˜es lineares foi reduzida
por operac¸o˜es sobre linhas a` forma escalonada ou a` forma escalonada reduzida por linhas.
Resolva o sistema.
a)

 1 0 0 −30 1 0 0
0 0 1 7

 b)

 1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5

 c)

 1 0 8 −5 60 1 4 −9 3
0 0 1 1 2


51
d)

 1 −3 0 00 0 1 0
0 0 0 1

 e)

 1 −3 7 10 1 4 0
0 0 0 1


23. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss.
(a)


x+ y + 2z = 8
−x− 2y + 3z = 1
3x− 7y + 4z = 10
(b)


2x+ 2y + 2z = 0
−2x+ 5y + 2z = 1
8x+ y + 4z = −1
(c)


x− y + 2z − w = −1
2x+ y − 2z − 2w = −2
−x+ 2y − 4z + w = 1
3x− 3w = −3
(d)


−2y + 3z = 1
3x+ 6y − 3z = −2
6x+ 6y + 3z = 5
(e)


3x+ 2y − z = −15
5x+ 3y + 2z = 0
3x+ y + 3z = 11
−6x− 4y + 2z = 30
24. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan.
(a)


10y − 4z + w = 1
x+ 4y − z + w = 2
3x+ 2y + z + 2w = 5
−2x− 8y + 2z − 2w = −4
x− 6y + 3z = 1
(b)


x− 2y + z − 4w = 1
x+ 3y + 7z + 2w = 2
x− 12y − 11z − 16w = 5
(c)


w + 2x− y = 4
x− y = 3
w + 3x− 2y = 7
2u+ 4v + w + 7x = 7
(d)


2x− 3y + 4z − w = 0
7x+ y − 8z + 9w = 0
2x+ 8y + z − w = 0
(e)


2x+ 2y + 4z = 0
−y − 3z + w = 0
3x+ y + z + 2w = 0
x+ 3y − 2z − 2w = 0
25. Resolva os seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss ou elimac¸a˜o de Gauss-Jordan.
(a)


2x− y − 3z = 0
−x+ 2y − 3z = 0
x+ y + 4z = 0
(b)


v + 3w − 2x = 0
2u+ v − 4w + 3x = 0
2u+ 3v + 2w − x = 0
−4u− 3v + 5w − 4x = 0
52
(c)


x+ 3y + w = 0
x+ 4y + 2z = 0
−2y − 2z − w = 0
2x− 4y + z + w = 0
x− 2y − z + w = 0
(d)


2x− y + 3z + 4w = 9
x− 2z + 7w = 11
3x− 3y + z + 5w = 8
2x+ y + 4z + 4w = 10
(e)


z + w + t = 0
−x− y + 2z − 3w + t = 0
x+ y − 2z − t = 0
2x+ 2y − z + t = 0
26. As situac¸o˜es apontadas a seguir ilustram aplicac¸o˜es da resoluc¸a˜o de sistemas lineares.
a) (Fuvest2008) Joa˜o entrou na lanchonete BOB pediu 3 hambu´rgues, 1 suco de laranja e
2 cocadas, gastando R$21, 50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambu´rgues, 3
sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$57, 00. Sabendo que o prec¸o de um hambu´rguer,
mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$10, 00, calcule o prec¸o de
cada um desses itens.
b) (Unesp2007) Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no cafe´ da manha˜, 1 pedac¸o de
bolo e 3 pa˜ezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na terc¸a-feira, no cafe´ da manha˜,
consumiu 3 pedac¸os de bolo e 2 pa˜ezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa),
totalizando 210 gramas. Cada 100 gramas de bolo e de pa˜ozinho fornecem (aproximada-
mente) 420 kcal e 270kcal de energia, respectivamente. Usando estas informac¸o˜es, deter-
mine a quantidade em gramas de cada pedac¸o de bolo e de cada pa˜ozinho e calcule o total
de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no cafe´ da manha˜
de segunda-feira.
c) (Fuvest2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas lima˜o e coco. A com-
pra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que
cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma lima˜o do que no aroma coco,
determine o nu´mero de frascos entregues, no aroma lima˜o.
d) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$0, 05 por copo
que lavou e teve de pagar R$0, 25 por copo que quebrou. Terminado o servic¸o, a copeira
recebeu R$35, 80. Determine o nu´mero de copos que ela quebrou.
53
e) (Fuvest2002) Carlos, Lu´ıs e S´ılvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um
ano. Carlos escolheu uma aplicac¸a˜o que rendia 15% ao ano. Lu´ıs, uma que rendia 20% ao
ano. S´ılvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo
a outra metade numa aplicac¸a˜o de risco, com rendimento anual po´s-fixado. Depois de um
ano, Carlos e Lu´ıs tinham juntos 59 mil reais; Carlos e S´ılvio, 93 mil reais; Lu´ıs e S´ılvio,
106 mil reais. Determine, quantos reais cada um tinha inicialmente e qual o rendimento
da aplicac¸a˜o de risco.
54
Cap´ıtulo 2
Vetores
Existem grandezas chamadas escalares, exemplos: a´rea, comprimento, massa, etc...
que ficam completamente determinadas assim que for dada sua magnitude. Outras quantidades
f´ısicas no entanto requerem mais do que isso. Por exemplo, uma forc¸a ou uma velocidade, para
que fiquem bem definidas precisamos dar a direc¸a˜o, a intensidade e o sentido. Tais grandezas
sa˜o chamadas vetoriais.
2.1 Segmentos Orientados
Dois pontos A e B do espac¸o determinam uma reta r. O conjunto dos pontos de r que esta˜o
entre A e B e´ um segmento de reta AB que podemos orientar considerando um dos pontos como
origem e outro como extremidade. Denotaremos por AB o segmento orientado de origem em A
e extremidade em B.
Figura 2.1: segmento AB
O segmento AA e´ dito segmento nulo.
Observac¸a˜o 2.1
a) Tamanho ou comprimento de um segmento orientado AB e´ o comprimento do segmento
geome´trico AB.
43
b) Dizemos que os segmentos orientados AB e A′B′ tem mesma direc¸a˜o se a reta determinada
por A e B e´ paralela a reta determinada por A’ e B’.