Roteiro Cálculo da Poligonal 2016 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES
UNIDADE CURRICULAR DE TOPOGRAFIA
TRABALHO DE TOPOGRAFIA
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
CÁLCULO DA POLIGONAL
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano, é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação destes pontos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:
Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);
Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);
Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).
Poligonal Fechada:
A poligonal fechada é caracterizada por ter o último vértice coincidindo com o seu vértice inicial, formando, desta forma, um POLÍGONO.
Cálculo da Poligonal:
Na poligonal fechada há controle de fechamento de dados angulares e lineares, a partir de uma precisão pré-estabelecida pelas “Normas Técnicas para Levantamentos Topográficos” – NBR 13.133 da Associação Brasileira de Normas Técnicas.
Normalmente para precisão linear, são aceitos os seguintes valores:
1:1.000______para Poligonais Taqueométricas.
1:2.000______para Poligonais medidas com Trigonometria.
1:5.000______para Poligonais medidas com Trena.
1:10.000_____para Poligonais Eletrônicas.
Dependendo da precisão da Estação Total pode-se chegar as precisões, no fechamento da poligonal, da ordem de 1: 30.000, ou melhor.
A precisão angular depende, fundamentalmente, do Teodolito ou Estação Total utilizada no levantamento topográfico.
A NBR 13.133 fornece as precisões para os diversos tipos de poligonais.
Exemplo de roteiro para o cálculo das coordenadas dos vértices de uma poligonal fechada
A partir dos dados medidos em campo (ângulos horizontais e distâncias), e as coordenadas conhecidas de dois pontos consecutivos da poligonal levantada, é possível calcular as coordenadas dos demais os vértices desta poligonal.
Vamos a seguir mostrar os procedimentos feitos passo à passo para o cálculo de uma poligonal fechada, tomando um exemplo numérico qualquer para maior clareza do processo.
Transcrição da caderneta de campo:
Tabela I- Exemplo de Caderneta de Campo
	E
	
P.V.
	Ângulo
horizontal
externo
	Distâncias
(m)
	Distâncias médias
(m)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	2
	286°03’35”
	54,360
	1 - 2
	54,355
	
	
	
	
	
	
	
	4
	
	80,464
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	3
	218°44’22”
	50,030
	2 - 3
	50,015
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	54,350
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	4
	288°26’52”
	84,560
	3 - 4
	84,588
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	50,000
	
	
	
	
	
	
	
	
	4
	1
	286°42’23”
	80,470
	4 - 1
	80,467
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	84,616
	
	
	
	
	
	
	
	
Azimute Inicial 
O azimute inicial do primeiro segmento da poligonal é obtido através das coordenadas geográficas de dois pontos topográficos consecutivos conhecidos. No exemplo foi obtido o valor do azimute do alinhamento “4-1” correspondente a 38° 15’ 02”, obtido pela equação:
Az (n, n+1) = arc.tg[(Xn+1 – Xn)/(Yn+1 – Yn)]
Coordenadas dos vértices iniciais ‘n+1’ e ‘n’ são conhecidas. 
O ponto de saída deverá ser sempre o de coordenadas conhecidas.
O azimute de saída deverá ser sempre o do alinhamento à vante do primeiro vértice (estação). 
Tabela II- Transcrição da caderneta de campo para planilha
	E
	PV
	Ângulos (externos)
	Azimute
	Distância (m)
	
	
	Lido
	Erro
	Compensado
	
	
	
	
	°
	‘
	“
	“
	°
	‘
	“
	°
	‘
	“
	
	1
	2
	286
	03
	35
	
	
	
	
	
	
	
	54,355
	2
	3
	218
	44
	22
	
	
	
	
	
	
	
	50,015
	3
	4
	288
	26
	52
	
	
	
	
	
	
	
	84,588
	4
	1
	286
	42
	23
	
	
	
	
	
	
	
	80,467
Cálculo das distâncias:
Foi medido no campo duas distâncias para um mesmo alinhamento, com o auxílio da trena, resultando de uma medida do alinhamento de vante (visada a vante) e uma medida no alinhamento de ré (visada a ré). (ver Tabela I)
A distância adotada para cada alinhamento será a média aritmética dos dois valores medidas no campo, neste alinhamento. (ver Tabela I)
Soma dos ângulos internos ou externos:
APARELHO ORIENTADO NA RÉ
Na poligonal fechada, se o caminhamento do levantamento for realizado no sentido horário, zera-se o instrumento na direção do alinhamento à ré, e faz-se a pontaria para o alinhamento à vante, sendo medido o ângulo externo. (Figura 1a)
APARELHO ORIENTADO NA VANTE
Se o caminhamento do levantamento for realizado no sentido horário, e o equipamento é zerado no alinhamento à vante, e faz-se a pontaria para o alinhamento a ré, sendo medido o ângulo interno. (Figura 1b)
Figura 1 – Tipos de ângulos de uma poligonal fechada
A poligonal está geometricamente fechada se:
Ai = (n-2).180° (ângulos internos) ou Ae = (n+2).180° (ângulos externos) (1)
Onde:
Ai Soma dos ângulos internos.
Ae Soma dos ângulos externos.
n Número de Vértices.
No nosso exemplo,
Nº de vértice da poligonal (n) = 4;
Os ângulos medidos externos devem somar:
Ai = ((4+2)x180°) = 1080° 
Cálculo do erro angular cometido:
É dado pela diferença entre as somas dos ângulos lidos em campo e a soma calculada pela fórmula (1).
E(E) = A(E) - [( n + 2) . 180o] (1)
Onde:
E(E) Erro angular.
A(E) Somatório dos ângulos externos da poligonal, lidos em campo.
N + 2 se forem medidos os ângulos externos;
Tolerância para o erro angular:
O erro angular terá que ser menor que a tolerância angular (εa), que pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável nas medições. Se o erro medido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro cometido entre as estações, e somente depois passar a utilizar estes ângulos nos cálculos dos azimutes. É comum encontrar a seguinte equação para o cálculo da tolerância angular:
ɛ(a) = p. n1/2
onde, 
n é o número de ângulos medidos na poligonal, e 
p é precisão nominal do equipamento de medição angular.
Ou seja,
ɛ(a) = 1,5’. n (2)
Observação:
Caso o erro angular cometido esteja dentro da tolerância (para mais ou para menos), os valores levantados são aceitos. No caso contrário, a soma dos ângulos foi bem maior, ou menor, que a tolerância, estes deverão ser novamente medidos com mais atenção, e cuidado com a operação do aparelho e com os procedimentos.
Correção dos ângulos:
C(E) = - (± E(α(E))) / n (3)
Onde:
C(E) Correção angular.
E(α(E)) Erro angular.
n número de ângulos medidos na poligonal (vértices).
Observações:
O “sinal negativo/positivo” resultante da formula (3) indicará que devemos subtrair, ou somar, o valor da correção, no ângulo medido.
A distribuição do erro pode ser feita em quantidades iguais por vértice, no entanto, caso haja frações de segundo para distribuir entre os ângulos, podemos adotar uma maneira de distribuir apenas valores inteiros de minutos e segundos entre os ângulos, para facilitar os cálculos.
Cálculos do ângulos compensados:
O ângulo compensado é obtido adicionando, ou subtraindo, a correção ao ângulo lido:
Ângulo compensado = Ângulo lido C(E) (4)
Ao final destes procedimentos, deveremos ter completa esta tabela.
Tabela III- Soma dos ângulos
	E
	PV
	Ângulos externos
	Azimute
	Distância (m)
	
	
	Lido
	Erro
	Compensado
	
	
	
	
	°
	‘
	“
	“
	°
	‘
	“
	°
	‘
	“
	
	1
	2
	286°
	06
	35
	-3
	286
	06
	32
	
	
	
	54,355
	2
	3
	218
	44
	22
	-3
	218
	44
	19
	
	
	
	50,015
	3
	4
	288
	26
	52
	-3
	288
	26
	49
	
	
	
	84,588
	4
	1
	286
	42
	23
	-3
	286
	42
	20
	
	
	
	80,467
	Soma
	1080
	0
	12
	12
	1080
	00
	00
	
	
	
	269,425
	180°.(n+2)
	1080
	00
	00
	
	Distribuição do erro angular
	3” por Vértice
	Erro
	= 12”
	
	
 
Cálculos dos Azimutes de Vante:
Como a orientação inicial (azimute inicial) foicalculada para o primeiro alinhamento da poligonal, é necessário efetuar os cálculos dos demais azimutes dos alinhamentos da poligonal. Isto é feito utilizando os ângulos horizontais medidos em campo.
O Azimute de um alinhamento entre “n+1” e “n”, é dado por:
Azn+1 = (Azn ± an+1) 180o (5) 
Onde:
Azn+1 Azimute do alinhamento à vante a ser calcualdo.
Azn Azimute da alinhamento anterior (já calculado, ou obtido).
- an se foi medido o ângulo horizontal Interno, para o caminhamento à direita (ângulo no sentido horário a partir do alinhamento de vante).
+ an se foi medido o ângulo horizontal Externo, para o caminhamento à direita (ângulo no sentido horário a partir do alinhamento de ré).
Se (Azn an+1) > 180o devemos subtrair 180o na formula (5)
Se (Azn an+1) < 180o devemos somar 180o na formula (5).
Obs: A diferença entre os Azimutes de vante e o de ré, de um mesmo alinhamento, é sempre de 180o.
A Figura 2 mostra o cálculo do azimute a vante, se os ângulos horizontais medidos foram os externos.
Figura 2 – Esquema gráfico do cálculo do azimute a vante do alinhamento “P1-P”
Observação: Se o valor resultante do azimute for maior que 360º, deve-se subtrair 360º do valor calculado, e se for negativo, deverá ser somado 360º a este resultado. Quando se trabalhar com ângulos medidos no sentido anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o valor de “α” do azimute.
Tabela IV- Ângulos compensados e valores dos azimutes
	E
	PV
	Ângulos
	Azimute
	Distância (m)
	
	
	Lido
	Erro
	Compensado
	
	
	
	
	°
	‘
	“
	“
	°
	‘
	“
	°
	‘
	“
	
	1
	2
	286°
	06
	35
	-3
	286
	06
	32
	292
	08
	30
	54,355
	2
	3
	218
	44
	22
	-3
	218
	44
	19
	253
	24
	11
	50,015
	3
	4
	288
	26
	52
	-3
	288
	26
	49
	144
	57
	22
	84,588
	4
	1
	286
	42
	23
	-3
	286
	42
	20
	38
	15
	02
	80,467
Temos então, para o exemplo dado, os seguintes valores dos azimutes à vante:
Az1-2 = (38° 15’ 02” + 286º06’32”) - 180°
Az1-2 = 144° 21’ 34”
Az2-3 = ( 144° 21’ 34”+ 218° 44’ 19”) - 180°
Az2-3 = 183°05’ 53”
Az3-4 =( 183°05’ 53”+ 288° 26’ 49” ) - 180°
Az3-4 = 291°32’ 42”
Az4-1 = ( 291°32’ 42”+ 286° 42’ 23”) - 180°
Az4-1 = 38°15’ 02”
Cálculo das coordenadas parciais (projeções):
As projeções dos alinhamentos, em um sistema de coordenadas geográficas, são calculadas pela fórmula:
Xn,n+1 = Dn,n+1 . sen Azn,n+1 (6)
Yn,n+1 = Dn,n+1 . cos Azn,n+1 (7)
Onde:
X n,n+1 Projeção do alinhamento (n, n+1) na direção X.
Y n,n+1 Projeção do alinhamento (n, n+1) na direção Y.
D n,n+1 Distância (comprimento) do alinhamento (n, n+1).
Az n,n+1 Azimute a vante do alinhamento (n, n+1).
X1-2 = 54,355 x sen 144° 21’ 34”
X1-2 = +31,67
Y1-2 = 54,355 x cos 144° 21’ 34”
Y1-2 = - 44,174
X2-3 = 50,015 x sen 183°05’ 53”
X2-3 = - 2,703
Y2-3 = 50,015 x cos 183°05’ 53”
Y2-3 = - 49,942
X3-4 = 84,588 x sen 291°32’ 42”
X3-4 = - 78,678
Y3-4 = 84,588 x cos 291°32’ 42”
Y3-4 = + 31,063
X4-1 = 80,467 x sen 38°15’ 02”
X4-1 = + 49,817
Y4-1 = 80,467 x cos 38°15’02”
Y4-1 = + 63,192
Verificação do Erro de Fechamento Linear (Soma das coordenadas parciais):
Cálculo da Poligonal	Página 12
Projeções no eixo X
Soma com sinal = Xi,i+1
X1-2 = + 31,67
X2-3 = - 2,703
X3-4 = - 78,678
X4-1 = + 49,817 
X i,i+1 = + 0,106m
Projeções no eixo Y
Soma com sinal = Y i,i+1
Y1-2 = - 44,174
Y2-3 = - 49,942
Y3-4 = + 31,063
Y4-1 = + 63,192
Y i,i+1 = + 0,139
O erro planimétrico (ep), ou erro linear, ou erro de fechamento, será dado por: 
ep = [( Xn,n+1)2 + (Yn,n+1)2] (8)
Onde:
ep erro planimétrico (linear) absoluto.
Xn,n+1 Somatório das coordenadas na direção X, com o sinal.
Y n,n+1 Somatório das coordenadas na direção Y, com o sinal.
No caso de exemplo, tem-se:
eP = [( 0,106)2 + (0,139)2]
eP = 0,175m
Tolerância do Erro Planimétrico (Linear) Absoluto:
M = P / eP (9)
onde:
eP Erro planimétrico linear absoluto.
P Perímetro da Poligonal.
M Módulo da Escala.
Observação:
A precisão indica o quanto o perímetro da poligonal deve medir, para se obter o erro planimétrico de 1 metro.
Normalmente esta é dada em forma de escala, como por exemplo, se a precisão foi de 1:1000, isto significa que, em uma poligonal com 1000 m de comprimento, o erro aceitável será de 1m.
1: M 
Temos no exemplo, então:
M= 269,425m/0,175m
M = 1540
Ou seja, Precisão = 1: 1540
Observação: De acordo com a NBR 13.133, para poligonais taqueométricas considerando que a poligonal analisada seja deste tipo, a precisão de 1:1000 é aceita, ou seja, podemos errar 1m em cada 1000m de perímetro levantado. No exemplo erramos 1m em 1522m de perímetro levantado, portanto estamos dentro do tolerável pela Norma.
	Erro Linear
	Precisão
	0,175
	1: 1540
Cálculos das correções (erro linear).
Se o erro linear cometido for menor que o permitido (Norma), parte-se então para a eliminação do erro cometido. Os valores para as correções dos erros das coordenadas parciais serão calculados proporcionais aos comprimentos dos lados da poligonal. Ou seja, quanto maior for o comprimento do lado, maior serão os valores das correções para as projeções (coordenadas parciais, ΔXn, n+1 e ΔYn,n+1) deste lado.
AS correções para as projeções no eixo X são:
 (10)
As correções para as projeções no eixo Y são:
 (11)
onde:
± X n,n+1 Somatório das projeções na direção X, com o sinal.
± Y n,n+1 Somatório das projeções na direção Y, com o sinal.
Ln,n+1 Comprimento (distância) do alinhamento “n, n+1”;
P perímetro da poligonal
Observação:
Nas formulas (10) e (11), temos uma constante Kx e Ky, iguais à Xn,n+1/P e Yn,n+1/P, respectivamente, pois são invariáveis em ambos os casos.
Temos no exemplo, então:
Kx= 0,106/269,425
Kx= 0,000393
Ky= 0,139/269,425
Ky= 0,000516
Correções das projeções no eixo X:
Cx1-2 = - (54,355) x 0,000393 = 
- 0,021
Cx2-3 = - (50,015) x 0,000393 = - 0,020
Cx3-4 = - (84,588) x 0,000393 = - 0,0332
Cx4-1 = - (80,467) x 0,000393 = - 0,0316
orreções das projeções no eixo Y:
Cy1-2 = - (54,355) x 0,000516 = - 0,028
Cy2-3 = - (50,015) x 0,000516 = - 0,026
Cy3-4 = - (84,588) x 0,000516 = - 0,044
Cy4-1 = - (80,467) x 0,000516 = - 0,042
 
Observação:
Observando os valores calculados acima, verifica-se que o sinal das correções nas projeções (coordenadas parciais) será sempre contrário do sinal do erro.
Valores das coordenadas parciais compensadas:
São dadas pelas fórmulas:
X´(n,n+1)= ± Xn ± Cx(n,n+1) (12)
Y´(n,n+1) = ± Yi+1 ± Cy(n,n+1) (13) 
Tabela V- Coordenadas e correções
	Coordenadas no eixo X
	Coordenadas no eixo Y
	Projeção calculada
	Correção
	Projeção
compensada
	Projeção calculada
	Correção
	Projeção
compensada
	X(n,n+1)
	Cx(n,n+1)
	X´(n,n+1)
	Y (n,n+1)
	Cy(n,n+1)
	Y´ (n,n+1)
	+31.67
	- 0,021
	+ 31,649
	- 44,174
	- 0,028
	- 44,202
	-2,703
	- 0,020
	- 2,703
	- 49,942
	- 0,026
	- 49,968
	-78,678
	0,0332
	- 78,711
	+ 31,063
	- 0,044
	+ 31,019
	+49,817
	- 0,0316
	+49,785
	+ 63,192
	-0,042
	+ 63,150
	Soma
	
	0,02
	
	
	0,001
Observação:
O somatório das projeções compensadas deverá ser obrigatoriamente igual a ZERO, ou bem próximo de sero como ocorreu no exemplo.
Cálculos das coordenadas totais:
As coordenadas (abscissas e ordenadas) são calculadas pelas fórmulas:
Xn+1 = Xn ± X´(n,n+1) (14)
Yn+1 = Yn ± Y´(n,n+1) (15)
Onde:
Xn+1 Abscissa do ponto a ser calculado.
Yn+1 Ordenada do ponto a ser calculado.
Xn Abscissa do ponto (vértice) conhecido.
Yn Ordenada do ponto (vértice) conhecido.
X’(n,n+1) Projeção compensada no eixo X.
Y’(n,n+1) Projeção compensada no eixo Y.
No exemplo, tem-se:X1 = 108,310 (Abcissa inicial conhecida)
X2 = X1 ± X1-2
X2 = 108,310 + ( 31,649)
X2 = 139,959
X3 = 139,959+ (- 2,703)
X3 = 137,256
X4 = 137,256 + (- 78,711)
X4 = 58,545
X1 = 58,545+ (+49,785)
X1 = 108,33 ( igual ao valor inicial, confirmação)
Y1 = 106,215 (Ordenada inicial conhecida)
Y2 = Y1 ± Y1-2
Y2 =106,215 + (- 44,202)
Y2 = 62,013
Y3 = 62,013+ (-49,968)
Y3 = 12,045
Y4 = 12,045+ (+31,019)
Y4 = 43,064
Y1 =43,064+ (63,150)
Y1 = 106,214 (igual ao valor inicial, confirmação)
Ou seja,
As coordenadas do ponto de chegada deverão ser iguais às coordenadas do ponto de saída. 
Tabela IV- Coordenadas totais
	Vértices
	Coordenadas
	
	X
	Y
	1
	108,310
	106,215
	2
	139,959
	62,013
	3
	137,256
	12,045
	4
	58,545
	43,064
 Desenho da Planta:
Consultar o site do LAG, e ver as instruções sobre execução do desenho topográfico.
Os vértices da poligonal devem ser plotados segundo suas coordenadas (eixos X e Y). Também no desenho deve constar:
As feições naturais e/ou artificiais;
A orientação verdadeira;
A data do levantamento;
A escala numérica;
A legenda e convenções utilizadas; 
O título (do trabalho);
O número dos vértices, distâncias e azimutes dos alinhamentos;
Os eixos de coordenadas;
Área e perímetro; e
Os responsáveis pela execução. 
Memorial Descritivo:
Documento indispensável para o registro em cartório da superfície levantada. Deve conter a descrição pormenorizada da superfície levantada, no que diz respeito à sua localização, confrontação, área, perímetro, nome do proprietário, etc.
 
___________________________________________________________________
Estrutura do Relatório a ser entregue:
A capa do relatório deve conter (1ª folha): 
título do trabalho; 
curso do aluno; 
semestre; 
nome do aluno e matrícula; e 
nome do professor. 
No relatório deve apresentar todos os cálculos que foram realizados para determinações das coordenadas totais (obs: se o trabalho que foi feito por planilhas eletrônicas, apresentar a memória de cálculos e dados obtidos, e não só os resultados);
Apresentar os cálculos para determinação da escala a ser usada no desenho;
Plotar no desenho as coordenadas totais dos vértices da poligonal e interligar estes vértices (desenho da poligonal).
Colocar a legenda e carimbo no desenho.
MODELO DE DESENHO DE UMA POLIGONAL: