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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TRANSPORTES
TOPOGRAFIA
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
CÁLCULO DA POLIGONAL
ENGENHARIA CIVIL – 3° SEMESTRE
PROFESSORA MARIA ELISABETH PINHEIRO MOREIRA
FORTALEZA – CE
2017
LEVANTAMENTO PLANIMETRICO
CALCULO DA POLIGONAL
Primeiro trabalho prático da disciplina de Topografia para o curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos para aprovação na disciplina já citada. 
Orientadora: Professora Maria Elisabeth Pinheiro Moreira 
FORTALEZA – CE
2017
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
O trabalho aqui apresentado tem como objetivo a elaboração de um levantamento planimétrico e cálculo de uma poligonal situada no Campus do Pici da Universidade Federal do Ceará, a fim de fazer com que os alunos da disciplina de Topografia do Curso de Engenharia Civil tenham conhecimento e prática suficiente para serem capazes de exercer trabalhos topográficos como profissional da área quando solicitado, já que tal prática é de extrema importância para execução de qualquer obra.
Para execução do trabalho foram necessários equipamentos, tais como, Estação total ou teodolito com tripé, trena, balizas e caderneta de campo.
O trabalho se insere na área da topografia, cujo objetivo é estudar e desenvolver métodos e instrumentos afim de processar dados do terreno, permitindo que seja possível a representação gráfica do mesmo sobre uma superfície plana. 
Dentro da topografia ainda temos o assunto aqui abordado dentro da área da topometria, que estuda métodos de medição de distancias, ângulos e desníveis, com objetivo de determinar as posições de certos pontos. Na topometria ainda temos as áreas de planimetria e altimetria, nesse trabalho abordaremos conceitos de planimetria, cujo objetivo é determinar a posição de pontos no plano de projeção horizontal (coordenadas x e y).
O objeto do nosso estudo será uma poligonal fechada, que é uma série de alinhamentos consecutivos que começam e terminam no mesmo ponto, formando uma figura fechada matematicamente e geometricamente.
DESENVOLVIMENTO
A poligonal de estudo escolhida é formada pelos pontos B1, J1, N1 e L2, e o ponto C3 foi um ponto escolhido fora da poligonal para auxiliar a retirada de medidas.
CADERNETA DE CAMPO
Tabela 1: Dados da caderneta de campo
	Posição
	Estação
	Ponto Visado
	Ângulo Horário Medido
	Ângulo Horário Calculado
	Distância Horizontal Medida (m)
	D
	B1
	C3
	0°0’ 0’’
	121°56’ 27’’
	
	
	
	J1
	121°56’ 27’’
	
	31,55
	I
	B1
	C3
	180°0’ 5’’
	121°55’ 58’’
	
	
	
	J1
	301°56’ 3’’
	
	
	Média
	
	
	
	121°56’ 12,5’’
	
	D
	J1
	B1
	0°0’ 0’’
	322°11’ 38’’
	31,51
	
	
	N1
	322°11’ 38’’
	
	25,05
	I
	J1
	B1
	180°0’ 29’’
	322°10’ 50’’
	
	
	
	N1
	142°11’ 19’’
	
	
	Média
	
	
	
	322°11’ 14’’
	
	D
	N1
	J1
	0°0’ 0’’
	202°56’ 33’’
	25,07
	
	
	L2
	202°56’ 33’’
	
	30,03
	I
	N1
	J1
	179°59’ 47’’
	202°56’ 30’’
	
	
	
	L2
	22°56’ 17’’
	
	
	Média
	
	
	
	202°56’ 31,5’’
	
	D
	L2
	N1
	0°0’ 0’’
	322°58’ 41’’
	31,11
	
	
	B1
	322°58’ 41’’
	
	29,77
	I
	L2
	N1
	180°0’ 3’’
	322°58’ 45’’
	
	
	
	B1
	142°58’ 48’’
	
	
	Média
	
	
	
	322°58’ 43’’
	
	D
	B1
	L2
	0°0’ 0’’
	231°54’ 58’’
	29,67
	
	
	J1
	231°54’ 58’’
	
	
	I
	B1
	L2
	179°59’ 58’’
	231°54’ 38’’
	
	
	
	J1
	51°54’ 36’’
	
	
	Média
	
	
	
	231°54’ 48’’
	
Todos os dados aqui apresentados foram medidos em campo com o auxílio do equipamento já citado.
AZIMUTE INICIAL
É obtido a partir das coordenadas geográficas de dois pontos topográficos consecutivos conhecidos, no nosso caso, usaremos C3 e B1, cujas coordenadas são dadas abaixo:
Para C3:
XC3 = 547040,234 e YC3 = 9586113,375
Para B1:
XB1 = 547091,140 e YB1 = 9586131,641
Podemos calcular o azimute inicial pela seguinte fórmula: 
Substituindo as coordenadas conhecidas na fórmula temos:
Az(C3, B1) = 70°18’ 0’’
CÁLCULO DAS DISTÂNCIAS
Em campo medimos duas distancias para um mesmo alinhamento, uma visada a vante e uma visada a ré, a distância que será adotada para cada alinhamento será a média aritmética dos dois valores obtidos em campo.
Tabela 2: Distâncias dos alinhamentos e suas médias
	Distâncias (m)
	Média (m)
	B1 → J1
	31,55
	31,53
	J1 → B1
	31,51
	
	J1 → N1
	25,05
	25,06
	N1 → J1
	25,07
	
	N1 → L2
	31,03
	31,07
	L2 → N1
	31,11
	
	L2 → B1
	29,77
	29,72
	B1 → L2
	29,67
	
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
A poligonal está geometricamente fechada se: 
⅀Ae = (n+2)*180° , onde ⅀Ae = Soma dos ângulos externos e n = n° de vértices
No nosso caso, o n° de vértices, n = 4, então ⅀Ae = (4+2)*180° = 1080° , que é um valor teórico, agora acharemos o somatório real com as médias dos valores obtidos em campo que foram expostos na Tabela 1.
⅀Aereal= 322°11’ 43’’ +202°56’ 18,5 + 322°58’ 46’’ + 231°54’ 46’’
⅀Aereal= 1080°1’ 33,5’’
Com o valor teórico e o real, podemos calcular o erro angular cometido, pela fórmula: 
Eα(E) = ⅀A(E) - [( n + 2) * 180°] = 1080°1’ 33,5’’ - [( 4 + 2) * 180°] = 1’ 33,5’’
TOLERÂNCIA PARA O ERRO ANGULAR
O erro angular terá que ser menor que a tolerância angular (εa), que pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável nas medições. Se o erro medido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro cometido entre as estações, e somente depois passar a utilizar estes ângulos nos cálculos dos azimutes. O erro angular pode ser calculado através da fórmula abaixo:
 ε(a) = 1,5’. n
No nosso caso n = 4, então:
ε(a) = 1,5’. 4 = 3’
Comparando com o erro angular anteriormente calculado, temos:
Eα(E) < ε(a) → 1’ 33,5’’ < 3’ , então temos um erro angular dentro do permitido.
CORREÇÃO DOS ANGULOS
Podemos corrigir os ângulos somando ou subtraindo a correção dos ângulos, temos então os ângulos compensados que estão na Tabela 3:
Tabela 3: ângulos Compensados
	E
	PV
	Lido
	Erro
	Compensado
	B1
	C3,J1
	121°56’ 12,5’’
	-23,4’’
	121°55’ 49’’
	J1
	B1, N1
	322°11’ 14’’
	-23,4’’
	322°10’ 50,6’’
	NI
	J1, L2
	202°56’ 31,5’’
	-23,4’’
	202°56’ 8’’
	L2
	N1, B1
	322°58’ 43’’
	-23,4’’
	322°58’ 19,6’’
CÁLCULO DOS AZIMUTES DE VANTE
Com o valor do azimute inicial e os ângulos corrigidos podemos calcular os demais azimutes dos alinhamentos da poligonal, através da fórmula:
Azn+1 = (Azn ± an+1) 180°, onde:
Azn+1 Azimute do alinhamento à vante a ser calcualdo. 
 Azn Azimute do alinhamento anterior (já calculado, ou obtido).
 - an se foi medido o ângulo horizontal Interno, para o caminhamento à direita (ângulo no sentido horário a partir do alinhamento de vante).
 + an se foi medido o ângulo horizontal Externo, para o caminhamento à direita (ângulo no sentido horário a partir do alinhamento de ré).
 	 Se (Azn an+1) > 180° devemos subtrair 180o na formula.
 	 Se (Azn an+1) < 180° devemos somar 180o na formula. 
Assim, para os nossos dados temos:
AzC3B1 = 70°18’ 0’’ (calculado anteriormente) 
AzB1J1= 70°18’ 0’’ + 121°55’ 49’’ – 180° = 12°13’ 49’’
AzJ1N1 = 12°13’ 49’’ + 322°10’ 50,6’’ – 180° = 154°24’ 39,6’’
AzN1L2 = 154°24’ 39,6’’ + 202°56’ 8’’ – 180° = 177°20’ 47,6’’
AzL2B1 = 177°20’ 47,6’’+ 322°58’ 19,6’’ – 180° = 320°19’ 7,2’’
CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS (PROJEÇÕES)
As projeções dos alinhamentos, em um sistema de coordenadas geográficas, são calculadas pela fórmula:
ΔXn,n+1 = Dn,n+1 . sen Azn,n+1 ou ΔYn,n+1 = Dn,n+1 . cos Azn,n+1
Onde:
ΔX n,n+1 = Projeção do alinhamento (n, n+1) na direção X. 
ΔY n,n+1 = Projeção do alinhamento (n, n+1) na direção Y. 
D n,n+1 = Distância (comprimento) do alinhamento (n, n+1). 
Az n,n+1 = Azimute a vante do alinhamento (n, n+1). 
Para os nossos valores temos:
Para B1,J1:
ΔXB1,J1 = DB1,J1 . sen AzB1,J1 = 31,53 * sen(12°13’ 49’’) = 6,68m
ΔYB1,J1 = DB1,J1 . cos AzB1,J1 = 31,53 * cos(12°13’ 49’’)= 30,8m
Para J1,N1:
ΔXJ1,N1 = DJ1,N1 . sen AzJ1,N1 = 25,06 * sen(154°24’ 39,6’’) = 10,8m
ΔYJ1,N1 = DJ1,N1 . cos AzJ1,N1 = 25,06 * cos(154°24’ 39,6’’) = -22,6m
Para N1,L2
ΔXN1,L2 = DN1,L2. sen AzN1,L2 = 31,07 * sen(177°20’ 47,6’’) = 1,44m
ΔYN1,L2 = DN1,L2. cos AzN1,L2 = 31,07 * cos(177°20’ 47,6’’) = -31,0m
Para B1,L2
ΔXL2B1 = DL2B1. sen AzL2B1= 29,72 * sen(320°19’ 7,2’’) = -18,98m
ΔYL2B1= DL2B1. cos AzL2B1= 29,72 * cos(320°19’ 7,2’’) = 22,9m
VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR (SOMA COORDENADAS PARCIAIS)
Projeções no eixo X
Soma com sinal = ⅀ΔXi,i+1
ΔXB1,J1 = 6,68m
ΔXJ1,N1 = 10,8m
ΔXN1,L2 = 1,44m
ΔXL2B1 = -18,98m 
⅀ΔXi,i+1 = -0,06m
Projeções no eixo Y
Soma com sinal = ⅀ΔYi,i+1
ΔYB1,J1 = 30,8m
ΔYJ1,N1 = -22,6m
ΔYN1,L2 = -31,0m
ΔYL2B1 = 22,9m
⅀ΔYi,i+1 = 0,1m
O erro linear será dado por:
 
Para os nossos dados temos:
TOLERÂNCIA DO ERRO PLANIMETRICO (LINEAR) ABSOLUTO
Onde, M = módulo da escala, P = Perímetro da poligonal e ep = erro linear absoluto
Com nossos dados temos:
Logo, a precisão é de 1:1003,4
CÁLCULO DAS CORREÇÕES (ERRO LINEAR)
Se o erro linear for menor que o erro permitido (NBR 13.133) e no nosso caso é, vamos poder eliminar o erro cometido.
Para correção no eixo X
Para o eixo X temos Kx=
Para corrigirmos basta pegar as distâncias e multiplicar pelo Kx que acabamos de achar:
CxB1J1= - 31,53 * 6x10-5 = -1,89x10-3
CxJ1N1 = -25,06 * 6x10-5 = -1,50x10-3
CxN1L2 = -31,07 * 6x10-5 = -1,86x10-3
CxL2B1 = -29,72 * 6x10-5 = -1,78x10-3
Para correção no eixo Y
Para o eixo Y KY = -0,1/1003,4= -9,97x10-5
Para corrigirmos basta pegar as distâncias e multiplicar pelo KY que acabamos de achar:
CYB1J1= - 31,53 * 9,97x10-5 = -3,14x10-3
CYJ1N1 = -25,06 * 9,97x10-5 = -2,50x10-3
CYN1L2 = -31,07 * 9,97x10-5 = -3,10x10-3
CYL2B1 = -29,72 * 9,97x10-5 = -2,96x10-3
VALORES COORDENADAS PARCIAIS COMPENSADAS
São dadas pelas fórmulas:
 e ΔYn,n+1± C(Yn,n+1)
Na Tabela 4, temos os valores calculados através das fórmulas:
Tabela 4: Coordenadas Parciais Compensadas
	Coordenadas no eixo X
	Coordenadas no eixo Y
	Projeção calculada
	Correção
	Projeção Compensada
	Projeção calculada
	Correção
	Projeção compensada
	ΔXn,n+1
	Cxn,n+1
	ΔX’n,n+1
	ΔYn,n+1
	CYn,n+1
	ΔY’n,n+1
	6,68
	-1,89x10-3
	6,678
	30,8
	-3,14x10-3
	30,797
	10,8
	-1,50x10-3
	10,799
	-22,6
	-2,50x10-3
	-22,60
	1,44
	-1,86x10-3
	1,438
	-31,0
	-3,10x10-3
	-31,00
	-18,98
	-1,78x10-3
	-18,982
	22,9
	-2,96x10-3
	22,89
	Soma
	
	-0,067
	
	
	0,087
As somas das projeções compensadas deve ser zero ou algo bem próximo de zero.
CALCULO DAS COORDENADAS TOTAIS
As coordenadas são calculadas pelas fórmulas abaixo:
Xn+1 = Xn ± ΔX’n,n+1 e Yn+1 = Yn ± ΔY’n,n+1
Com nossos dados temos:
XB1 = 547091,140 é a abcissa conhecida
XJ1 = 547091,140 + 6,678 =547097,818
XN1 = 547097,818 + 10,799 = 547108,617
XL2 = 547108,617 + 1,438 = 547110,055
XB1 = 547110,055 + (-18,982) = 547091,073 → Para conferir com XB1 conhecido
YB1 = 9586131,641 é a ordenada conhecida
YJ1 = 9586131,641 + 30,797 =9586162,438
YN1 = 9586162,438 + (-22,60) = 9586139,838
YL2 = 9586139,838 + (-31,00) = 9586108,838
YB1 = 9586108,838 + 22,89 = 9586131,728 → Para conferir com YB1 conhecido
Temos então na Tabela 5, as coordenadas de cada ponto:
Tabela 5: Coordenadas Totais
	Vértices
	Coordenadas
	
	X
	Y
	B1
	547091,140
	9586131,641
	J1
	547097,818
	9586162,438
	N1
	547108,617
	9586139,838
	L2
	547110,055
	9586108,838
CONCLUSÃO
No ramo da topografia temos vários tipos de correção de erros para vários tipos de dados, para termos o melhor levantamento possível, um levantamento que realmente represente bem a realidade do terreno a ser estudado e analisado, por isso, devemos nos atentar a qualquer erro proposital que pode ser feito, para diminuir ainda mais as incertezas e diferenças entre o valor calculado e o valor real, pois mesmo com todas as correções de erro, sempre haverá uma certa diferença, e dependendo da grandeza desse erro, outro levantamento deverá ser feito, o que prejudica não só por conta do tempo gasto, mas também nos custos, pois terá custos para fazer um segundo levantamento, então para garantir certa produtividade, devemos estar atentos ao fazermos um levantamento topográfico e sempre consultando a norma, para estar tudo dentro do permitido.
Esse levantamento é de grande importância em toda obra, então deve ser bem feito, para não haver confusões posteriormente.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Erba, D.A.; Thum, A. B.; Silva, Carlos. A. Uchôa.; Souza, G.C.; Veronez, M.R.; Leandro, R. F.; Maia, T.C.B. Topografia – Para Estudantes de Arquitetura, Engenharia e Geologia. Editora Unisinos, São Leopoldo, RS, 2003.
Moreira P. Maria Elisabeth. Trabalho de Topografia – Levantamento Planimétrico Cálculo da Poligonal.