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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP1) 2º. Semestre de 2017 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) Gabarito Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56 resolva os problemas de 1 a 10. 1 12 12 12 12 12 12 2 77 77 77 77 77 77 77 3 10 10 10 10 4 00 5 15 15 56 56 56 56 56 1) (0,5 pt) Qual é a amplitude total dos dados? 2) (0,5 pt) Qual é o tamanho desta amostra? 3) (0,5 pt) Qual é a moda desta amostra? 4) (0,5 pt) Qual é a média destes dados? 5) (0,5 pt) Obtenha a mediana; 6) (1,0 pt) Obtenha a variância; 7) (0,5 pt) Obtenha o desvio padrão; 8) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 9) (0,5 pt) Obtenha o coeficiente de assimetria; 10) (1,0 pt) Obtenha os quartis 𝑄1 e 𝑄3. Para resolver os problemas de 11 a 14, utilize o seguinte contexto: Um dado honesto de 6 faces e uma moeda honesta são lançados simultaneamente e suas faces voltadas para cima são observadas. Defina os seguintes eventos: 𝑨 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒑𝒂𝒓" 𝑩 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒂𝒓𝒂" 𝑪 = "𝑨 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒅𝒐 é 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑 𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂 é 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂" 11) (0,5 pt) Construa o espaço amostral Ω deste experimento; 12) (0,5 pt) Explicite o evento A; 13) (0,5 pt) Explicite o evento B; 14) (0,5 pt) Explicite o evento C; 15) (0,5 pt) Defina Experimento Aleatório; 16) (0,5 pt) Defina Espaço amostral; 17) (0,5 pt) Defina Evento Aleatório; 18) (0,5 pt) Defina Eventos Mutuamente Exclusivos. Solução: 1) A amplitude total é igual a diferença entre o maior e o menor valor: Δ = 𝑥max − 𝑥min = 5,56 − 1,12 = 𝟒, 𝟒𝟒 2) O tamanho da amostra é igual à: 𝑛 = 𝟐𝟓 3) A moda é o valor de maior frequência: 𝑥∗ = 𝟐, 𝟕𝟕 4) Para o cálculo da média, vamos fazer uma tabela de distribuição de frequências: 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 1,12 6 6,72 2,77 7 19,39 3,10 4 12,40 4,00 1 4,00 5,15 2 10,30 5,56 5 27,80 Total 25 80,61 𝑋 = ∑𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛 = 80,61 25 = 𝟑, 𝟐𝟐 5) Como n é ímpar, então: 𝑄2 = 𝑥(𝑛+1 2 ) = 𝑥13 = 𝟐, 𝟕𝟕 6) Para o cálculo da variância, vamos completar a tabela de distribuição de frequências: 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 1,12 6 6,72 7,53 2,77 7 19,39 53,71 3,10 4 12,40 38,44 4,00 1 4,00 16,00 5,15 2 10,30 53,05 5,56 5 27,80 154,57 Total 25 80,61 323,29 𝜎2 = ∑𝑛𝑖𝑥𝑖 2 − 𝑛𝑋 2 𝑛 = 323,29 − 25 × (3,22)2 25 = 323,29 − 259,21 25 = 64,08 25 = 𝟐, 𝟓𝟔𝟑 7) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 𝜎 = √2,563 = 𝟏, 𝟔. 8) O coeficiente de variação: 𝐶𝑉 = 𝜎 𝑋 = 1,6 3,22 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟔𝟗 9) Coeficiente de assimetria: 𝑒 = 𝑋 − 𝑥∗ 𝜎 = 3,22 − 2,77 1,6 = 0,45 1,6 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓 10) Como a mediana é um valor observado, ou seja, 𝑥13, então os valores de 𝑄1 e 𝑄3 são obtidos incluindo o valor da mediana. Desta forma, o valor de 𝑄1 será a mediana entre 𝑥1 e 𝑥13 e o valor de 𝑄2 obtido como a mediana entre 𝑥13 e 𝑥25. 𝑄1 = 𝑥7 = 𝟐, 𝟕𝟕 𝑄3 = 𝑥19 = 𝟓, 𝟏𝟓 11) Considere os eventos: C: a face da moeda voltada pra cima é “cara”; K: a face da moeda voltada pra cima é “coroa”; O espaço amostral é: 𝛀 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔); (𝑲𝟏); (𝑲𝟐); (𝑲𝟑); (𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 12) 𝑨 = {(𝑪𝟐); (𝑪𝟒); (𝑪𝟔); (𝑲𝟐); (𝑲𝟒); (𝑲𝟔)} 13) 𝑩 = {(𝑪𝟏); (𝑪𝟐); (𝑪𝟑); (𝑪𝟒); (𝑪𝟓); (𝑪𝟔)} 14) 𝑪 = {(𝑲𝟒); (𝑲𝟓); (𝑲𝟔)} 15) Experimento Aleatório: É aquele experimento que, repetido sob mesmas condições, pode produzir resultados diferentes. 16) Espaço Amostral: É o conjunto com todos os possíveis resultados do experimento aleatório. 17) Evento Aleatório: É um subconjunto do espaço amostral. 18) Dois eventos A e B são ditos Mutuamente Exclusivos se não tem elementos em comum, ou seja: 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
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