EP12 Met_Est_I Tutor CEDERJ UFRRJ

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 12
2o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta tal que a sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada e´ dada por:
FX(−2) = 0, 3 FX(0) = 0, 5 FX(1) = 0, 6 FX(2) = 0, 8 FX(5) = 1
a) Determine a me´dia de X ;
b) Determine P (−1 ≤ X ≤ 4) ;
c) Determine a variaˆncia de X .
2. Em uma classe ha´ 6 homens e 3 mulheres. Sorteados 3 alunos desta classe ao acaso e sem reposic¸a˜o,
defina X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero de homens sorteados. Determine a me´dia e o desvio
padra˜o da distribuic¸a˜o de X .
3. O lucro unita´rio (L) de um produto e´ dado por L = 1, 2V − 0, 8C − 3, 5 . Sabendo-se que o prec¸o
unita´rio de venda (V ) tem me´dia $60, 00 e um desvio padra˜o $5, 00 e que o custo unita´rio (C)
tem uma distribuic¸a˜o de me´dia $50, 00 e o desvio padra˜o de $2, 00 . Determine a me´dia e o desvio
padra˜o do lucro unita´rio.
4. O nu´mero de chamadas telefoˆnicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para
um intervalo de 3 minutos sa˜o:
Nu´mero de chamadas 0 1 2 3 4 5
Frequeˆncia relativa 0,60 0,20 0,10 0,04 0,03 0,03
Em me´dia, quantas chamadas podem ser esperadas em um intervalo de 3 minutos?
5. Um bilhete de loteria tem 0,00001 de chance de dar um preˆmio de $100.000, 00 . A chance de dar
um preˆmio de $50.000, 00 e´ de 0,0002 e a chance de um preˆmio de $25, 00 e´ de 0,004. Qual seria o
prec¸o justo de venda do bilhete?
1
Soluc¸o˜es:
1.
Temos que:
FX(x) =

0, se x < −2
0, 3, se −2 ≤ x < 0
0, 5, se 0 ≤ x < 1
0, 6, se 1 ≤ x < 2
0, 8, se 2 ≤ x < 5
1, se x ≥ 5
Como esta e´ a distribuic¸a˜o acumulada, enta˜o:
fX(−2) = FX(−2) = 0, 3 ;
fX(0) = FX(0)− FX(−2) = 0, 5− 0, 3 = 0, 2 ;
fX(1) = FX(1)− FX(0) = 0, 6− 0, 5 = 0, 1 ;
fX(2) = FX(2)− FX(1) = 0, 8− 0, 6 = 0, 2 ;
fX(5) = FX(5)− FX(2) = 1− 0, 8 = 0, 2.
Logo:
x -2 0 1 2 5
fX(x) 0,3 0,2 0,1 0,2 0,2
a)
E(X) = −0, 2× 0, 3 + 0× 0, 2 + 1× 0, 1 + 2× 0, 2 + 5× 0, 2 = −0, 6 + 0 + 0, 1 + 0, 4 + 1 = 0, 9.
b)
P (−1 ≤ X ≤ 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 5.
c)
Para calcularmos a variaˆncia de X , precisamos encontrar E(X2) .
E(X2) = (−22)× 0, 3 + (02)× 0, 2 + (12)× 0, 1 + (22)× 0, 2 + (52)× 0, 2
= 4× 0, 3 + 0× 0, 2 + 1× 0, 1 + 4× 0, 2 + 25× 0, 2 = 1, 2 + 0 + 0, 1 + 0, 8 + 5 = 7, 1.
Logo:
V AR(X)− E(X2)− E2(X) = 7, 1− (0, 9)2 = 7, 1− 0, 81 = 6, 29.
2.
Temos 6 homens e 3 mulheres. Sejam os eventos:
M : “mulher selecionada”;
H : “homem selecionado”.
2
Como X conta o nu´mero de homens seleconados, enta˜o os valores que X pode assumir sa˜o 0, 1, 2 e
3 e as probabilidades sa˜o:
P (X = 0) (treˆs mulheres)
M M M
=
3
9
× 2
8
× 1
7
=
6
504
.
P (X = 1) (duas mulheres e um homem)
M M H
ou
M H M
ou
H M M
=
3
9
× 2
8
× 6
7
+
3
9
× 6
8
× 2
7
+
6
9
× 3
8
× 2
7
= 3× 36
504
=
108
504
.
P (X = 2) (uma mulher e dois homens)
H H M
ou
H M H
ou
M H H
=
6
9
× 5
8
× 3
7
+
6
9
× 3
8
× 5
7
+
3
9
× 6
8
× 5
7
= 3× 90
504
=
270
504
.
P (X = 3) (treˆs homens)
H H H
=
6
9
× 5
8
× 4
7
=
120
504
.
Logo, a distribuic¸a˜o de X sera´:
x 0 1 2 3
fX(x)
6
504
108
504
270
504
120
504
Assim:
E(X) = 0× 6
504
+ 1× 108
504
+ 2× 270
504
+ 3× 120
504
= 0 +
108
504
+
540
504
+
360
504
=
1008
504
= 2.
Para o ca´lculo da varaˆncia, precisamos calcular E(X2) .
E(X2) = 02 × 6
504
+ 12 × 108
505
+ 22 × 270
504
+ 32 × 120
504
=
0 +
108
504
+ 4× 270
504
+ 9× 120
504
=
108
504
+
1080
504
+
1080
504
=
2268
504
= 4, 5.
V AR(X) = E(X2)− E2(X) = 4, 5− (2)2 = 4, 5− 4 = 0, 5.
DP (X) =
√
V AR(X) =
√
0, 5 = 0, 71.
3.
Temos:
3
E(V ) =60, DP (V ) = 5⇒ V AR(V ) = 25 , E(C) = 50 , DP (C) = 2⇒ V AR(C) = 4 .
Para o ca´lculo da me´dia, queremos:
E(L) = E(1, 2V − 0, 8C − 3, 5)
Segundo as propriedades da esperanc¸a, E(cX) = cE(X) , E(c) = c e E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) ,
onde c e´ constante.
Assim:
E(L) = E(1, 2V−0, 8C−3, 5) = 1, 2E(V )−0, 8E(C)−3, 5 = 1, 2×60−, 8×50−3, 5 = 72−40−3, 5 = 28, 5.
Logo:
E(L) = $28, 50.
Para o ca´lculo do desvio padra˜o, queremos DP (L) . Mas na˜o temos propriedades do desvio padra˜o e
sim da variaˆncia. Para isso, inicialmente calculamos a variaˆncia V AR(L) para em seguida obtermos
o desvio padra˜o desejado.
Queremos:
V AR(L) = V AR(1, 2V − 0, 8C − 3, 5)
Segundo as propriedades da variaˆncia, V AR(cX) = c2V AR(X) , V AR(c) = 0 e V AR(X ± Y ) =
V AR(X) + V AR(Y ) , onde c e´ constante e X e Y sa˜o independentes.
Assim:
V AR(L) = V AR(1, 2V − 0, 8C − 3, 5) = (1, 2)2V AR(V ) + (0, 8)2V AR(C) + V AR(3, 5) =
1, 44× 25 + 0, 64× 4 + 0 = 36 + 21, 26 = 38, 56.
Queremos o desvio padra˜o, enta˜o:
DP (L) =
√
V AR(L) =
√
38, 56 = 6, 21.
Logo:
DP (L) = $6, 21.
4.
Ja´ temos a distribuic¸a˜o de probabilidades e estamos interessados em calcualr a esperanc¸a do nu´mero
de chamadas, que podemos chamar de N .
Assim:
E(N) = 0× 0, 60 + 1× 0, 20 + 2× 0, 10 + 3× 0, 04 + 4× 0, 03 + 5× 0, 03 =
0 + 0, 20 + 0, 20 + 0, 12 + 0, 12 + 0, 15 = 0, 79.
5.
O prec¸o justo a ser coberado sera´ a me´dia (esperanc¸a) dos poss´ıveis preˆmios.
Ou seja, temos a distribuic¸a˜o:
X 100.000 50.000 25
fX(x) 0,00001 0,0002 0,004
e vamos calcular E(X) .
E(X) = 100.000× 0, 00001 + 50.000× 0, 0002 + 25× 0, 004 = 1 + 10 + 0, 1 = 11, 1.
Logo o prec¸o justo sera´: $ 11,10.
4