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EP13 Met_Est_I Tutor CEDERJ UFRRJ

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 13
2o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez a face 3 em n jogadas de um dado na˜o viciado?
2. O time X tem 2
3
de probabilidade de vencer sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, qual a
probabilidade de ele vencer:
a) exatamente 3 partidas?
b) vencer ao menos uma partida?
c) vencer mais da metade das partidas?
3. A probabilidade de um atirador acertar um alvo e´ 1
3
. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade
de:
a) acertar exatamente 2 tiros?
b) na˜o acertar nenhum tiro?
4. Uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o binomial tem a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada dada
por:
FX(0) =
1
243
, FX(1) =
11
243
, FX(2) =
51
243
, FX(3) =
131
243
, FX(4) =
211
243
, FX(5) = 1.
Determine:
a) n , b) p , c) E(X) , d) V AR(X) , e) P (X ≥ 1) .
5. Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal
suspeita e´ confirmada, determine a probabilidade que, numa amostra de 5 mesas, na˜o haja nenhuma
defeituosa.
6. Um vendedor de automo´veis novos constatou que 80% dos carros vendidos sa˜o devolvidos ao
departamento de mecaˆnica para corrigir defeitos de fabricac¸a˜o nos primeiros 25 dias depois da venda.
De 11 carros vendidos num per´ıodo de 5 dias qual a probabilidade de que:
a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo;
b) So´ um na˜o volte.
1
Soluc¸o˜es:
1.
Quando lanc¸amos um dado na˜o viciado, cada uma das seis faces tem a mesma chance de ser mostrada,
1
6
. Assim, a probabilidade de sair a face 3 em um lanc¸amento de uma dado na˜o viciado e´ 1
6
.
Logo:
p =
1
6
⇒ 1− p = 5
6
.
Seja X a varia´vel que conta o nu´mero de vezes qua a face 3 e´ mostrada em n lanc¸amentos. Como
cada lanc¸amento e´ independente do outo, enta˜o X segue uma distribuic¸a˜o binomial de probabilidade.
Assim, a probabilidade de a face 3 ser mostrada pelo menos uma vez sera´:
P (pelo menos uma vez) = 1− P (nenhuma) = 1− P (X = 0) = 1−
[(
n
0
)(
1
6
)0(
5
6
)n]
=
1− 1× 1×
(
5
6
)n
= 1−
(
5
6
)n
.
2.
Seja X a vara´vel que conta o nu´mero de vito´rias do time X . Assim, seu pro´prio nome e´ uma varia´vel
aleato´ria. X segue distribuic¸a˜o binomial de probabilidade porque cada jogo tem probabilidade de
vito´ria independente do outro. Em 5 jogos, temos n = 5 .
a)
P (X = 3) =
(
5
3
)(
2
3
)3(
1
3
)2
=
5!
2!3!
× 8
27
× 1
9
=
5× 4
2
× 8
27× 9 =
160
486
=
80
243
.
b)
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1−
[(
5
0
)(
2
3
)0(
1
3
)5]
=
1− 1× 1×
(
1
3
)5
= 1− 1
35
= 1− 1
243
=
243− 1
243
=
242
243
.
c)
P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) =(
5
3
)(
2
3
)3(
1
3
)2
+
(
5
4
)(
2
3
)4(
1
3
)1
+
(
5
5
)(
2
3
)5(
1
3
)0
=
Como vimos no item a), P (X = 3) = 80
243
. Logo:
P (X ≥ 3) = 80
243
+ 5×
(
2
3
)4
× 1
3
+ 1×
(
2
3
)5
× 1 = 80
243
+
5× 24
35
+
25
35
=
80
243
+
80
243
+
32
243
=
192
243
=
64
81
.
2
3.
Sa˜o dados da questa˜o:
p = 1
3
, 1− p = 2
3
e n = 6 .
a)
Seja X o nu´mero de vezes que o atirador acerta o alvo.
Estamos interessados em P (X = 2).
P (X = 2) =
(
6
2
)(
1
3
)2(
2
3
)4
=
6!
2!4!
× 1
9
× 16
81
=
6× 5× 4!
4!× 2 ×
16
729
=
30
2
× 16
729
=
240
729
=
80
243
.
b)
Com a mesma varia´vel X definida no item anterior, desejamos encontrar P (X = 0) .
P (X = 0) =
(
6
0
)(
1
3
)0(
2
3
)6
= 1× 12
6
36
=
64
729
.
4.
Podemos encontrar a distribuic¸a˜o de probabilidade desta varia´vel atrave´s da func¸a˜o de distibuic¸a˜o.
fX(0) = FX(0) =
1
243
,
fX(1) = FX(1)− FX(0) = 11243 − 1243 = 10243 ,
fX(2) = FX(2)− FX(1) = 51243 − 11243 ,
fX(3) = FX(3)− FX(2) = 131243 − 51243 = 80243 ,
fX(4) = FX(4)− FX(3) = 211243 − 131243 = 80243 ,
fX(5) = FX(5)− FX(4) = 1− 211243 = 243−211243 = 32243 .
Assim:
X 0 1 2 3 4 5
fX(x)
1
243
10
243
40
243
80
243
80
243
32
243
a)
n = 5. (e´ o valor ma´ximo que X pode assumir.)
b)
Temos que P (X = 0) = 1
243
. Como a distribuic¸a˜oe´ binomial, enta˜o:
P (X = 0) =
(
n
0
)
p0 (1− p)n .
Como n = 5 , enta˜o:
P (X = 0) =
(
5
0
)
p0 (1− p)5 = 1× 1× (1− p)5 = (1− p)5 .
3
Mas P (X = 0) = 1
243
.
Logo:
1
243
= (1− p)5 ⇒
(
1
3
)5
= (1− p)5 ⇒ 1
3
= 1− p ⇒ p = 1− 1
3
⇒ p = 3− 1
3
⇓
p = 2
3
.
c)
E(X) = n× p = 5× 2
3
=
10
3
.
d)
V AR(X) = n× p× (1− p) = 10
3
× 1
3
=
10
9
.
e)
P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1− 1
243
=
242
243
.
5.
Temos os seguintes dados da questa˜o:
p = 0, 02 , 1− p = 0, 98 e n = 5 . Logo:
P (X = 0) =
(
5
0
)
p0 (1− p)5 = 1× 1× (0, 98)5 = 0, 904.
6.
Dados da questa˜o:
p = 0, 8 , 1− p = 0, 2 e n = 11 .
a)
P (X = 11) =
(
11
11
)
(0, 8)11(0, 2)0 = 1× (0, 8)11 × 1 = 0, 086.
b)
Temos que 20% dos carros na˜o voltam. Assim, a probabilidade de so´ um na˜o voltar sera´:
P (X = 1) =
(
11
1
)
(0, 2)1(0, 8)10 = 11× 0, 2× (0, 8)10 = 11× 0, 2× 0, 107 = 0, 235.
4

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