função quadrática -completando quadrado

Prévia do material em texto

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 15
26 de novembro de 2010
Aula 15 Pré-Cálculo 1
A função quadrática
Aula 15 Pré-Cálculo 2
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Aula 15 Pré-Cálculo 3
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Aula 15 Pré-Cálculo 4
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Aula 15 Pré-Cálculo 5
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Aula 15 Pré-Cálculo 6
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x .
Aula 15 Pré-Cálculo 7
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos de abscissas:
x1 =
−b −√∆
2 · a a x2 =
−b +√∆
2 · a .
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x
no ponto de abscissa:
x1 = − b2 · a .
Aula 15 Pré-Cálculo 8
A função quadrática
y = f (x) = a · x2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos de abscissas:
x1 =
−b −√∆
2 · a a x2 =
−b +√∆
2 · a .
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x
no ponto de abscissa:
x1 = − b2 · a .
Aula 15 Pré-Cálculo 9
A função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Aula 15 Pré-Cálculo 10
Completamento de quadrados
Aula 15 Pré-Cálculo 11
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =
(
x2 − 2 (x) (4) + ?
)
− ? + 15
=
(
x2 − 2 (x) (4) + 16
)
− 16 + 15
=
(
x − 4
)2 − 1
Aula 15 Pré-Cálculo 12
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =
(
x2 − 2 (x) (4) + ?
)
− ? + 15
=
(
x2 − 2 (x) (4) + 16
)
− 16 + 15
=
(
x − 4
)2 − 1
Aula 15 Pré-Cálculo 13
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =
(
x2 − 2 (x) (4) + ?
)
− ? + 15
=
(
x2 − 2 (x) (4) + 16
)
− 16 + 15
=
(
x − 4
)2 − 1
Aula 15 Pré-Cálculo 14
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 − 8 x + 15 =
(
x2 − 2 (x) (4) + ?
)
− ? + 15
=
(
x2 − 2 (x) (4) + 16
)
− 16 + 15
=
(
x − 4
)2 − 1
Aula 15 Pré-Cálculo 15
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 16
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 17
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 18
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 19
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 20
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 21
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ (x − 4)2 − 1 = 0
⇔ (x − 4)2 = 1
⇔
√
(x − 4)2 =
√
1
⇔ |x − 4| = 1
⇔ x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔ x = 3 ou x = 5.
Aula 15 Pré-Cálculo 22
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+ ?
)
− ? + 2
=
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+
9
4
)
− 9
4
+ 2
=
(
x +
3
2
)2
− 1
4
.
Aula 15 Pré-Cálculo 23
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+ ?
)
− ? + 2
=
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+
9
4
)
− 9
4
+ 2
=
(
x +
3
2
)2
− 1
4
.
Aula 15 Pré-Cálculo 24
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+ ?
)
− ? + 2
=
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+
9
4
)
− 9
4
+ 2
=
(
x +
3
2
)2
− 1
4
.
Aula 15 Pré-Cálculo 25
Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 3 x + 2 =
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+ ?
)
− ? + 2
=
(
x2 + 2 (x)
(
3
2
)
+
9
4
)
− 9
4
+ 2
=
(
x +
3
2
)2
− 1
4
.
Aula 15 Pré-Cálculo 26
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 27
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 28
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 14
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 29
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 30
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 31
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 32
Completamento de quadrados: exemplo 2
Logo:
x2 + 3 x + 2 = 0 ⇔
(
x +
3
2
)2
− 1
4
= 0
⇔
(
x +
3
2
)2
=
1
4
⇔
√(
x +
3
2
)2
=
√
1
4
⇔
∣∣∣∣x + 32
∣∣∣∣ = 12
⇔ x + 3
2
= −1
2
ou x +
3
2
=
1
2
⇔ x = −2 ou x = −1.
Aula 15 Pré-Cálculo 33
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+ ?
)
− ? − 1
= 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+
9
16
)
− 9
8
− 1
= 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
Aula 15 Pré-Cálculo 34
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+ ?
)
− ? − 1
= 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+
9
16
)
− 9
8
− 1
= 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
Aula 15 Pré-Cálculo 35
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+ ?
)
− ? − 1
= 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+
9
16
)
− 9
8
− 1
= 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
Aula 15 Pré-Cálculo 36
Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
2 x2 − 3 x + 1 = 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+ ?
)
− ? − 1
= 2
(
x2 − 2 (x)
(
3
4
)
+
9
16
)
− 9
8
− 1
= 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
Aula 15 Pré-Cálculo 37
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 38
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 39
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 40
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 41
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 42
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 43
Completamento de quadrados: exemplo 3
Logo:
2 x2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ 2
(
x − 3
4
)2
− 1
8
= 0
⇔
(
x − 3
4
)2
=
1
16
⇔
√(
x − 3
4
)2
=
√
1
16
⇔
∣∣∣∣x − 34
∣∣∣∣ = 14
⇔ x − 3
4
= −1
4
ou x − 3
4
=
1
4
⇔ x = 1 ou x = 1
2
.
Aula 15 Pré-Cálculo 44
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −
(
x2 − 2 (x) (1) + ?
)
+ ? − 1
= −
(
x2 − 2 (x) (1) + 1
)
+ 1 − 1
= −
(
x − 1
)2
Aula 15 Pré-Cálculo 45
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −
(
x2 − 2 (x) (1) + ?
)
+ ? − 1
= −
(
x2 − 2 (x) (1) + 1
)
+ 1 − 1
= −
(
x − 1
)2
Aula 15 Pré-Cálculo 46
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −
(
x2 − 2 (x) (1) + ?
)
+ ? − 1
= −
(
x2 − 2 (x) (1) + 1
)
+ 1 − 1
= −
(
x − 1
)2
Aula 15 Pré-Cálculo 47
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
− x2 + 2 x − 1 = −
(
x2 − 2 (x) (1) + ?
)
+ ? − 1
= −
(
x2 − 2 (x) (1) + 1
)
+ 1 − 1
= −
(
x − 1
)2
Aula 15 Pré-Cálculo 48
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 49
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 50
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 51
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 52
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 53
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 54
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ − (x − 1)2 = 0
⇔ (x − 1)2 = 0
⇔
√
(x − 1)2 =
√
0
⇔ |x − 1| = 0
⇔ x − 1 = 0
⇔ x = 1.
Aula 15 Pré-Cálculo 55
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =
(
x2 + 2 (x) (1) + ?
)
− ? + 4
=
(
x2 + 2 (x) (1) + 1
)
− 1 + 4
=
(
x + 1
)2
+ 3
Aula 15 Pré-Cálculo 56
Completamentode quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =
(
x2 + 2 (x) (1) + ?
)
− ? + 4
=
(
x2 + 2 (x) (1) + 1
)
− 1 + 4
=
(
x + 1
)2
+ 3
Aula 15 Pré-Cálculo 57
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =
(
x2 + 2 (x) (1) + ?
)
− ? + 4
=
(
x2 + 2 (x) (1) + 1
)
− 1 + 4
=
(
x + 1
)2
+ 3
Aula 15 Pré-Cálculo 58
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
(u + v)2 = u2 + 2 (u)(v) + v2 e (u − v)2 = u2 − 2 (u)(v) + v2.
x2 + 2 x + 4 =
(
x2 + 2 (x) (1) + ?
)
− ? + 4
=
(
x2 + 2 (x) (1) + 1
)
− 1 + 4
=
(
x + 1
)2
+ 3
Aula 15 Pré-Cálculo 59
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 60
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 61
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 62
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 63
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 64
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 = 0
⇔ (x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 65
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 66
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 67
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 68
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 69
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 70
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 71
Completamento de quadrados: caso geral
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+ ?
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− ? + c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
− b
2
4a
+ c
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2
4a
− c
)
= a
(
x2 + 2 (x)
(
b
2a
)
+
b2
4a2
)
−
(
b2 − 4ac
4a
)
= a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 72
A forma canônica do trinômio
Aula 15 Pré-Cálculo 73
A forma canônica do trinômio
Forma canônica do trinômio: se a 6= 0, então
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
Aula 15 Pré-Cálculo 74
Aplicação: raízes de uma equação
quadrática
Aula 15 Pré-Cálculo 75
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 76
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 77
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 78
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 79
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 80
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 81
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 82
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 83
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔ a
(
x +
b
2a
)2
−
(
∆
4a
)
= 0
⇔ a
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a
⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
.
Moral: se ∆ = b2 − 4ac < 0, então
∆
4a2
< 0 e
(
x +
b
2a
)2
≥ 0.
Logo, a equação quadrática a x2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15 Pré-Cálculo 84
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 85
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 86
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 87
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 88
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 89
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 90
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 91
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 92
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4ac ≥ 0.
a x2 + b x + c = 0 ⇔
(
x +
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇔
√(
x +
b
2a
)2
=
√
∆
4a2
⇔
∣∣∣∣x + b2a
∣∣∣∣ =
√
∆√
4a2
=
√
∆
2|a| =
∣∣∣∣∣
√
∆
2a
∣∣∣∣∣
⇔ x + b
2a
= −
√
∆
2a
ou x +
b
2a
= +
√
∆
2a
⇔ x = − b
2a
−
√
∆
2a
ou x = − b
2a
+
√
∆
2a
⇔ x = −b −
√
∆
2a
ou x =
−b +√∆
2a
.
Aula 15 Pré-Cálculo 93
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resoluçãoda equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 94
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 95
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 96
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 97
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 98
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 99
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 100
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundograu, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 101
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
Aula 15 Pré-Cálculo 102
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 103
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 104
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 105
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 106
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 107
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 108
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 109
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 110
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízesda equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 111
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 112
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x2,
de modo que
x2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15 Pré-Cálculo 113
Aplicação: o gráfico de uma função
quadrática
Aula 15 Pré-Cálculo 114
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 115
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 116
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 117
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 118
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 119
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
segue-se que se f (x) = x2 e g(x) = a x2 + b x + c, então
g(x) = a f (x + r) + s, onde r =
b
2a
e s = −b
2 − 4ac
4a
.
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x2.
Aula 15 Pré-Cálculo 120
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Aula 15 Pré-Cálculo 121
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
f (x) = a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
têm coordenadas
V =
(
− b
2a
,−b
2 − 4ac
4a
)
.
Aula 15 Pré-Cálculo 122
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
f (x) = a x2 + b x + c = a
(
x +
b
2a
)2
−
(
b2 − 4ac
4a
)
,
têm coordenadas
V =
(
− b
2a
,−b
2 − 4ac
4a
)
.
Aula 15 Pré-Cálculo 123
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(http://www.uff.br/cdme/fqa/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/fqa/)
Aula 15 Pré-Cálculo 124
	A função quadrática
	Completamento de quadrados
	A forma canônica do trinômio
	Aplicação: raízes de uma equação quadrática
	Aplicação: o gráfico de uma função quadrática