1 EE Calculo 4 UFPE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 4
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005 — (06–06–2005)
1a Questa˜o (4,0 pts) Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso.
a) yy′ = 2x exp(y2).
b) x−1 cos 2ydx = 2 lnx sen 2ydy.
c) y′ − x3y = −4x3, y(0) = 6.
d) xy′ = e−xy − y. (Sugesta˜o: Use a mudanc¸a de varia´vel xy = v).
Soluc¸a˜o:
(a) A equac¸a˜o e´ do tipo separa´vel, pois a mesma pode ser escrita como exp(−y2)yy′ = 2x. Integrando ambos os
membros desta equac¸a˜o temos
exp(−y2) = 2x2 + C.
(b) Escrevendo a equac¸a˜o dada na forma x−1 cos 2ydx− 2 lnx sen 2ydy = 0 vemos que a mesma e´ exata, pois,
se M = x−1 cos 2y e N = −2 lnx sen 2y tem-se que My = Nx = −2x
−1 sen 2y. Assim, a soluc¸a˜o desta equac¸a˜o
e´ da forma f(x, y) = C, onde f e´ uma func¸a˜o tal que fx = M e fy = N .
Integrando esta u´ltima equac¸a˜o em relac¸a˜o a y obtemos f(x, y) = lnx cos 2y + α(x). Derivando f em relac¸a˜o
a x e levando em conta que fx = M , temos x
−1 cos 2y = x−1 cos 2y + α′, donde α = 0. Assim, a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o e´
lnx cos 2y = C.
(c) Equac¸a˜o linear, com fator integrante exp(−
x4
4
), portanto, teremos que
(
exp(−
x4
4
)y
)′
= −4x3 exp(−
x4
4
),
ou seja, exp(−
x4
4
)y = 4 exp(−
x4
4
) + C. y(0) = 6, implica que C = 2, portanto,
y = 4 + 2 exp(−
x4
4
).
(d) Usando a sugesta˜o v = xy, nos da´ v′ = y + xy′ que substitu´ıda na equac¸a˜o resulta em v′ = e−v, ou seja,
ev = x+ C, portanto a soluc¸a˜o e´
exy = x+ C.
2a Questa˜o (3,0 pts) Sabendo que y1 = x
3 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de segunda ordem
2x2y′′ − 3xy′ − 3y = 0, x > 0,
a) Encontre outra soluc¸a˜o y2 desta equac¸a˜o que seja linearmente independente de y1.
b) Calcule uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o 2x2y′′ − 3xy′ − 3y = x2.
c) Determine a soluc¸a˜o y da equac¸a˜o do ı´tem (b) tal que y(1) = y′(1) = 1
Soluc¸a˜o: (a)Usando o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros procuramos uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada da forma
y2 = x
3v(x), com v na˜o constante. Substituindo na equac¸a˜o e simplificando ao ma´ximo, obtemos 2xv′′+9v′ = 0.
Resolvendo esta u´ltima equac¸a˜o (fazendo u = v′ ), encontramos v′ = x−9/2, e portanto v = (−2x−7/2)/7. Enta˜o
y2 = x
3
· x−7/2 = x−1/2, ja´ que estamos procurando soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o homogeˆnea e portanto podemos
multiplicar ou dividir por constantes na˜o-nulas. Assim a segunda soluc¸a˜o linearmente independente da equac¸a˜o
homogeˆnea dada e´
y2 = x
−
1
2 .
(b) Para encontrar uma soluc¸a˜o particular desta equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea deveremos primeiro escreveˆ-la na forma
y′′ −
3
2x
y′ −
3
2x2
y =
1
2
.
Usando o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros, procuramos uma soluc¸a˜o particular yp da forma yp = y1v1 + y2v2,
de modo que v′
1
e v′
2
satisfazem o sistema em v′
1
e v′
2
,{
y1v
′
1
+ y2v
′
2
= 0
y′
1
v′
1
+ y′
2
v′
2
= 1
2
.
Substituindo y1 e y2 no sistema acima temos{
x3v′
1
+ x−
1
2 v′
2
= 0
3x2v′
1
−
1
2
x−
3
2 v′
2
= 1
2
.
Resolvendo o sistema acima encontramos v′
1
=
x−2
7
, donde v1 = −
x−1
7
e v′
2
= −
x3/2
7
, donde v2 = −
2x5/2
35
.
Temos portanto que a soluc¸a˜o particular desejada e´
yp = −
x2
5
.
(c) A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea do ı´tem (b) e´
y = −
x2
5
+ C1x
3 + C2x
−
1
2 .
Substituindo as condic¸o˜es iniciais ficamos com o sistema linear{
C1 + C2 =
6
5
3C1 − 2C2 =
7
5
.
.
Resolvendo o sistema encontramos C1 = 19/25 e C2 = 11/25. Assim a soluc¸a˜o deste problema de valor inicial e´
y = −
x2
5
+
19
25
x3 +
11
25
x−
1
2 .
3a Questa˜o Considere a fam´ılia F de circunfereˆncias x2 + (y − c)2 = c2.
a) (1,5 pts) Encontre a fam´ılia de curvas ortogonal a F .
b) (0,5 pts) Identifique e esboce as curvas da fam´ılia encontrada .
Soluc¸a˜o:
(a) E´ claro que a fam´ılia F e´ constitu´ıda por todas as circunfereˆncias com centro no eixo vertical e que passam
pela origem. A equac¸a˜o da fam´ılia dada pode ser re-escrita como x2 + y2 − 2yc = 0. Derivando e simplificando
esta u´ltima expressa˜o obtemos x+ yy′ − 2y′c = 0. Eliminando c entre estas duas u´ltimas equac¸o˜es obte´m-se
y′ =
2xy
x2 + y2
,
que e´ a equac¸a˜o que define a fam´ılia F .
Para obtermos a equac¸a˜o que define a fam´ılia ortogonal de F trocamos y′ por −1/y′, o que resulta na equac¸a˜o
y′ =
y2 − x2
2xy
.
Podemos identificar esta equac¸a˜o como uma equac¸a˜o homogeˆnea com soluc¸a˜o x2 − 2Cx + y2 = 0, facilmente
calculada. Estas equac¸o˜es definem a fam´ılia ortogonal a` fam´ılia F .
(b) Pode-se escrever as soluc¸o˜es obtidas acima na forma (x−C)2 +y2 = C2. Consequ¨entemente a fam´ılia obtida
e´ a das circunfereˆncias que passam pela origem e tem centro sobre o eixo x. A figura abaixo conte´m elementos
de ambas as fam´ılias envolvidas neste problema.
x
y
4a Questa˜o (1,0 pts) Encontre duas soluc¸o˜es do problema de valor inicial xy′ = 4y, y(0) = 0. Isto contradiz o
Teorema da Existeˆncia e Unicidade? Por que?
Soluc¸a˜o: Podemos re-escrever a equac¸a˜o do problema como y′ − 4xy = 0 que e´ uma equac¸a˜o linear com fator
integrante exp(−4 lnx) = x−4, donde, (yx−4)′ = 0, e portanto, y = Cx4 e´ a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o. Ale´m
disso, todas estas soluc¸o˜es satisfazem a condic¸a˜o inicial y(0) = 0; se quiser ser espec´ıfico escolha dois valores para
C, por exemplo C = 0 e C = 1, o que nos da´ as soluc¸o˜es y = 0 e y = x4, respectivamente.
Obter duas soluc¸o˜es para este problema de valor inicial na˜o contradiz o Teorema de Existeˆncia e Unicidade, pois
a equac¸a˜o e´ y′ = 4yx , e o segundo membro da mesma na˜o e´ cont´ınuo no ponto (0, 0).