Mat 040 - teste 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/II
Teste 1 - Entrega dia 23/08/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio:
Considere a func¸a˜o
f(x) =
{
1− x se x ≤ 1
x2 se x > 1
(a) Simplifique a expressa˜o
f(1 + h)− f(1)
h
, h 6= 0.
(b) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f, explicando sua construc¸a˜o. (Veja a resoluc¸a˜o do exerc´ıcio 6 do primeiro
encontro).
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio:
(a) Vamos dividir em dois casos:
. h > 0 :
Somando 1 a ambos os lados da desigualdade h > 0, obtemos h + 1 > 1. Logo,
f(1 + h)− f(1)
h
=
(1 + h)2 − (1− 1)
h
=
1 + 2h + h2
h
.
. h < 0 :
Somando 1 a ambos os lados da desigualdade h < 0, obtemos h + 1 < 1. Logo,
f(1 + h)− f(1)
h
=
1− (1 + h)− (1− 1)
h
=
1− 1− h
h
= −h
h
= −1.
(b) Vamos analisar cada uma das func¸o˜es que compo˜em f separadamente. Fac¸amos f1(x) = 1−x, para x ≤ 1
e f2(x) = x
2, para x > 1.
(i) f1(x) = 1− x, para x ≤ 1 :
. O gra´fico de f1 e´ uma parte de uma reta, pois e´ uma func¸a˜o da forma g(x) = ax + b. Como
a = −1 < 0, f1 e´ uma func¸a˜o decrescente.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio:
(b) (i) . Vamos determinar os nu´meros reais x para os quais f1(x) = 0. Temos:
f1(x) = 0 ⇒ 1− x = 0 ⇒ x = 1.
Como 1 pertence ao domı´nio de f1 e f1(1) = 0, o ponto (1, 0) pertencera´ ao gra´fico de f1.
. Quando x = 0, obtemos f1(0) = 1− 0 = 1 e, quando x = −1, f1(−1) = 1− (−1) = 2.
Logo, os pontos de coordenadas (0, 1) e (−1, 2) pertencem ao gra´fico de f1.
. A partir das considerac¸o˜es acima, obtemos um esboc¸o do gra´fico de f1, trac¸ando parte de uma
reta.
−1 1 x
y
1
2
(ii) f2(x) = x
2, para x > 1 :
. Observamos que f2 e´ uma func¸a˜o quadra´tica com a = 1 > 0 e, portanto, seu gra´fico e´ uma parte de
uma para´bola voltada pra cima.
. Vamos determinar os nu´meros reais x para os quais f2(x) = 0. Temos:
f2(x) = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0.
Como 0 na˜o pertence ao domı´nio de f2, o ponto (0, 0) na˜o pertencera´ ao gra´fico de f2.
. As coordenadas do ve´rtice da para´bola sa˜o dadas por:
xV = − b
2a
= 0 e yV = −∆
4a
= −0
2 − 4 · 1 · 0
4
= 0.
O ponto (0, 0) na˜o pertence ao gra´fico de f2, uma vez que esta´ definida apenas para os nu´meros reais
x maiores que 1.
. Podemos tomar x um nu´mero ta˜o pro´ximo de 1 por valores menores que 1. Se pude´ssemos calcular
f2(1), obter´ıamos 1. Este ponto de coordenadas (1, 1) na˜o pertencera´ ao gra´fico de f2. No entanto,
estara´ representado em seu gra´fico por meio de “ uma bola aberta.”
. Quando x = 2, obtemos f2(2) = 2
2 = 4 e, quando x = 3, f2(3) = 3
2 = 9.
Logo, os pontos de coordenadas (2, 4) e (3, 9) pertencem ao gra´fico de f2.
. A partir das considerac¸o˜es acima, obtemos um esboc¸o do gra´fico de f2, trac¸ando parte de uma
para´bola.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio:
(b) (ii) f2(x) = x
2, para x > 1 :
. A partir das considerac¸o˜es anteriores, obtemos um esboc¸o do gra´fico de f2, trac¸ando parte de
uma para´bola.
1 2 3 x
y
1
4
9
Quando esboc¸amos os dois gra´ficos obtidos em um mesmo plano cartesiano, obtemos o gra´fico de func¸a˜o
f :
−1 1 2 3 x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9