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Nesta prova, se V e´ um espac¸o vetorial, o vetor nulo de V sera´ denotado por 0V . Se u1, . . . , un forem vetores de V , o subespac¸o vetorial de V gerado por {u1, . . . , un} sera´ denotado por [u1, . . . , un]. Q1. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de M3(R): S = {A ∈M3(R) : A = A t} e T = {A ∈M3(R) : tr(A) = 0}, onde At denota a matriz transposta de A e tr(A) denota o trac¸o de A, isto e´, a soma dos elementos na diagonal principal de A. Enta˜o, a dimensa˜o de S ∩ T e´ igual a (a) 3. (b) 7. (c) 6. (d) 4. (e) 5. Q2. O conjunto V = {(x, y) : x, y ∈ R} e´ um espac¸o vetorial quando munido das operac¸o˜es de soma ⊕ e de multiplicac¸a˜o por escalar ⊙ definidas por (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1) e α⊙ (x, y) = (αx− α+ 1, αy − α+ 1), para todos (x1, y1), (x2, y2), (x, y) ∈ V e α ∈ R. Assinale a alternativa que conte´m uma base desse espac¸o vetorial. (a) {(1, 1), (0, 2)}. (b) {(1, 0), (1, 1)}. (c) {(0, 0), (1, 0)}. (d) {(1, 2), (1, 3)}. (e) {(2, 3), (3, 5)}. Q3. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial M2(R): S1 = {( x y z w ) ∈M2(R) : x− 3y + z = 0 } e S2 = [( 1 1 1 0 ) , ( 0 1 1 1 ) , ( 1 0 0 0 )] . Enta˜o, pode-se afirmar que (a) S1 ∩ S2 = ∅. (b) dim(S1 ∩ S2) = 2. (c) dim(S1 ∩ S2) = 3. (d) dim(S1 ∩ S2) = 1. (e) dim(S1 ∩ S2) = 0. Q4. Considere as matrizes v1, v2, v3, v4 e w definidas abaixo: v1 = ( 4 3 2 1 ) , v2 = ( 3 2 1 0 ) , v3 = ( 2 1 0 0 ) , v4 = ( 1 0 0 0 ) , w = ( 0 0 1 1 ) . Se (a, b, c, d) sa˜o as coordenadas de w com respeito a` base E = {v1, v2, v3, v4} do espac¸o vetorial M2(R), enta˜o a− b− c+ d e´ igual a (a) 2. (b) 1. (c) 0. (d) 3. (e) 4. Q5. Sejam α, β ∈ R e considere o subconjunto S = {f(x), g(x), h(x)} do espac¸o vetorial da func¸o˜es reais definidas em R, onde f(x) = sen(x) + α cos(x) + 2β sen(2x), g(x) = sen(x) + β cos(x) + α sen(2x) e h(x) = sen(x) + cos(x) + 2β sen(2x). Enta˜o, o conjunto S e´ linearmente independente se, e somente se, (a) β 6= 2 e 2α 6= β. (b) α 6= 1 e α 6= 2β. (c) α 6= β e α 6= −β. (d) α 6= 2 e α 6= β. (e) β 6= 1 e α 6= 2β. Q6. Considere os seguintes vetores de R5: v1 = (1, 2, 1, 2, 1), v2 = (1, 2, 2, 2, 1), v3 = (1, 2, 3, 2,−1). Assinale a alternativa que conte´m vetores v4 e v5 de modo que o conjunto {v1, v2, v3, v4, v5} seja uma base de R 5. (a) v4 = (0, 0, 1, 0, 0) e v5 = (1, 1, 0, 1, 1). (b) v4 = (0, 1, 1, 1, 1) e v5 = (0, 0, 0, 1, 1). (c) v4 = (0, 0, 0, 1, 1) e v5 = (0, 0, 0, 0, 1). (d) v4 = (0, 0, 1, 0, 1) e v5 = (1, 0, 0, 1, 0). (e) v4 = (1, 0, 0, 0, 0) e v5 = (0, 0, 1, 0,−1). Q7. Seja S o subconjunto do espac¸o vetorial M2(R) definido por S = { A ∈M2(R) : A ( 1 2 0 2 ) = ( 1 2 0 2 ) A } . Enta˜o, pode-se afirmar que (a) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 1. (b) S na˜o e´ um subespac¸o vetorial de M2(R). (c) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 3. (d) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 0. (e) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 2. Q8. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de M2×3(R): S = {( a a d b c a ) : a, b, c, d ∈ R } e T = [( 1 1 2 1 1 2 ) , ( −1 2 1 1 0 1 ) , ( 1 1 2 2 −1 0 ) , ( 0 1 −1 0 2 3 )] . Enta˜o, pode-se garantir que (a) dim(S + T ) = 7. (b) dim(S + T ) = 5. (c) a intersec¸a˜o S ∩ T conte´m apenas a matriz nula. (d) S esta´ contido em T . (e) S + T =M2×3(R). Q9. Seja U um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e sejam V e W dois subespac¸os vetoriais de U . Considere as afirmac¸o˜es abaixo. (I) Se dim(V +W ) = dim(U), enta˜o todo vetor u ∈ U pode ser decom- posto de modo u´nico como u = v + w, com v ∈ V e w ∈W . (II) Se dim(V ∩W ) ≥ 1, B e´ uma base de V e C e´ uma base de W , enta˜o as bases B e C possuem pelo menos um vetor em comum. (III) Seja B uma base de V e seja C uma base de W . Enta˜o, B ∪ C e´ uma base de V +W se, e somente se, V ∩W conte´m apenas o vetor nulo. Assinale a alternativa correta. (a) Apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira. (b) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras. (c) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras. (d) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira. (e) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras. Q10. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de P3(R): V = {p(x) ∈ P3(R) : p(1)+p(−1) = 0} e W = {p(x) ∈ P3(R) : p ′(1) = 0}. Enta˜o, a dimensa˜o de V ∩W e´ igual a (a) 4. (b) 3. (c) 1. (d) 0. (e) 2. Q11. Seja n um inteiro tal que n ≥ 10 e sejam v1, . . . , vn vetores na˜o nulos em um espac¸o vetorial. Considere as afirmac¸o˜es abaixo. (I) Se {v1, . . . , vn} e´ linearmente dependente, enta˜o v1 e´ uma com- binac¸a˜o linear de v2, . . . , vn. (II) Sejam V = [v1, . . . , v5, v6] eW = [v5, v6, . . . , vn]. Se dim(V ∩W ) = 2, enta˜o {v5, v6} e´ uma base de V ∩W . (III) Se para todo inteiro j, com 1 ≤ j < n, a intersec¸a˜o [v1, . . . , vj ] ∩ [vj+1, . . . , vn] conte´m apenas o vetor nulo, enta˜o {v1, . . . , vn} e´ line- armente independente. Assinale a alternativa correta. (a) Apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira. (b) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira. (c) Apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira. (d) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras. (e) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamene verdadeiras. Q12. Seja {u, v, w} uma base do espac¸o vetorial V e sejam α, β, γ, δ ∈ R. Considere o seguinte subconjunto C = {u+ αv + w, u+ βv + γw, u+ βv + δw} de V . Enta˜o, pode-se afirmar que (a) C e´ uma base de V se, e somente se, (α− β)γδ 6= 0. (b) C e´ uma base de V se, e somente se, αβ(γ − δ) 6= 0. (c) C e´ uma base de V se, e somente se, αβγδ 6= 0. (d) C nunca sera´ uma base de V . (e) C e´ uma base de V se, e somente se, (α− β)(γ − δ) 6= 0. Q13. Considere o seguinte subespac¸o vetorial de P3(R): V = {p(x) ∈ P3(R) : p(1) = p(−1)}. Enta˜o, uma base para um subespac¸o vetorial W de P3(R) tal que P3(R) = V ⊕W e´ (a) {−x3 + x+ 2}. (b) {2x+ 1}. (c) {x3 − x+ 1}. (d) {x2 + x, 2x+ 1}. (e) {x2 − 1}. Q14. Sejam a, b ∈ R e considere os seguintes elementos do espac¸o vetorial P3(R): p1(x) = 1 + 2x+ x 3, p2(x) = x+ x 2 − x3, p3(x) = a+ x+ bx 2 + 5x3. Se p3(x) ∈ [p1(x), p2(x)], enta˜o a+ b e´ igual a (a) 1. (b) 3. (c) −2. (d) 2. (e) −1. Q15. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita ≥ 4, seja E = {v1, v2, v3} um subconjunto de V e seja w ∈ V . Se E∪{w} e´ um conjunto gerador para V , enta˜o pode-se afirmar que (a) w ∈ [v1, v2, v3]. (b) w 6= 0V . (c) o conjunto E ∪ {w} pode ou na˜o ser linearmente independente. (d) o conjunto E e´ linearmente dependente. (e) dim ( [v1, v2] ∩ [v3, w] ) ≥ 1. Q16. Sejam a, b ∈ R. Enta˜o o conjunto {a+ x, 1 + bx+ x2, x+ ax2} gera o espac¸o vetorial P2(R) se, e somente se, (a) a(2− ab) 6= 0. (b) 2 + ab 6= 0. (c) ab 6= 0. (d) a(1− b) 6= 1. (e) a 6= 0.
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