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p3 2012

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Nesta prova, se V e´ um espac¸o vetorial, o vetor nulo de V sera´ denotado
por 0V . Se u1, . . . , un forem vetores de V , o subespac¸o vetorial de V gerado
por {u1, . . . , un} sera´ denotado por [u1, . . . , un].
Q1. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de M3(R):
S = {A ∈M3(R) : A = A
t} e T = {A ∈M3(R) : tr(A) = 0},
onde At denota a matriz transposta de A e tr(A) denota o trac¸o de A, isto
e´, a soma dos elementos na diagonal principal de A. Enta˜o, a dimensa˜o de
S ∩ T e´ igual a
(a) 3.
(b) 7.
(c) 6.
(d) 4.
(e) 5.
Q2. O conjunto V = {(x, y) : x, y ∈ R} e´ um espac¸o vetorial quando munido
das operac¸o˜es de soma ⊕ e de multiplicac¸a˜o por escalar ⊙ definidas por
(x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1)
e
α⊙ (x, y) = (αx− α+ 1, αy − α+ 1),
para todos (x1, y1), (x2, y2), (x, y) ∈ V e α ∈ R.
Assinale a alternativa que conte´m uma base desse espac¸o vetorial.
(a) {(1, 1), (0, 2)}.
(b) {(1, 0), (1, 1)}.
(c) {(0, 0), (1, 0)}.
(d) {(1, 2), (1, 3)}.
(e) {(2, 3), (3, 5)}.
Q3. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais do espac¸o vetorial M2(R):
S1 =
{(
x y
z w
)
∈M2(R) : x− 3y + z = 0
}
e
S2 =
[(
1 1
1 0
)
,
(
0 1
1 1
)
,
(
1 0
0 0
)]
.
Enta˜o, pode-se afirmar que
(a) S1 ∩ S2 = ∅.
(b) dim(S1 ∩ S2) = 2.
(c) dim(S1 ∩ S2) = 3.
(d) dim(S1 ∩ S2) = 1.
(e) dim(S1 ∩ S2) = 0.
Q4. Considere as matrizes v1, v2, v3, v4 e w definidas abaixo:
v1 =
(
4 3
2 1
)
, v2 =
(
3 2
1 0
)
, v3 =
(
2 1
0 0
)
, v4 =
(
1 0
0 0
)
, w =
(
0 0
1 1
)
.
Se (a, b, c, d) sa˜o as coordenadas de w com respeito a` base E = {v1, v2, v3, v4}
do espac¸o vetorial M2(R), enta˜o a− b− c+ d e´ igual a
(a) 2.
(b) 1.
(c) 0.
(d) 3.
(e) 4.
Q5. Sejam α, β ∈ R e considere o subconjunto S = {f(x), g(x), h(x)} do
espac¸o vetorial da func¸o˜es reais definidas em R, onde
f(x) = sen(x) + α cos(x) + 2β sen(2x),
g(x) = sen(x) + β cos(x) + α sen(2x) e
h(x) = sen(x) + cos(x) + 2β sen(2x).
Enta˜o, o conjunto S e´ linearmente independente se, e somente se,
(a) β 6= 2 e 2α 6= β.
(b) α 6= 1 e α 6= 2β.
(c) α 6= β e α 6= −β.
(d) α 6= 2 e α 6= β.
(e) β 6= 1 e α 6= 2β.
Q6. Considere os seguintes vetores de R5:
v1 = (1, 2, 1, 2, 1), v2 = (1, 2, 2, 2, 1), v3 = (1, 2, 3, 2,−1).
Assinale a alternativa que conte´m vetores v4 e v5 de modo que o conjunto
{v1, v2, v3, v4, v5} seja uma base de R
5.
(a) v4 = (0, 0, 1, 0, 0) e v5 = (1, 1, 0, 1, 1).
(b) v4 = (0, 1, 1, 1, 1) e v5 = (0, 0, 0, 1, 1).
(c) v4 = (0, 0, 0, 1, 1) e v5 = (0, 0, 0, 0, 1).
(d) v4 = (0, 0, 1, 0, 1) e v5 = (1, 0, 0, 1, 0).
(e) v4 = (1, 0, 0, 0, 0) e v5 = (0, 0, 1, 0,−1).
Q7. Seja S o subconjunto do espac¸o vetorial M2(R) definido por
S =
{
A ∈M2(R) : A
(
1 2
0 2
)
=
(
1 2
0 2
)
A
}
.
Enta˜o, pode-se afirmar que
(a) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 1.
(b) S na˜o e´ um subespac¸o vetorial de M2(R).
(c) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 3.
(d) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 0.
(e) S e´ um subespac¸o vetorial de M2(R) e dim(S) = 2.
Q8. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de M2×3(R):
S =
{(
a a d
b c a
)
: a, b, c, d ∈ R
}
e
T =
[(
1 1 2
1 1 2
)
,
(
−1 2 1
1 0 1
)
,
(
1 1 2
2 −1 0
)
,
(
0 1 −1
0 2 3
)]
.
Enta˜o, pode-se garantir que
(a) dim(S + T ) = 7.
(b) dim(S + T ) = 5.
(c) a intersec¸a˜o S ∩ T conte´m apenas a matriz nula.
(d) S esta´ contido em T .
(e) S + T =M2×3(R).
Q9. Seja U um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e sejam V e W dois
subespac¸os vetoriais de U . Considere as afirmac¸o˜es abaixo.
(I) Se dim(V +W ) = dim(U), enta˜o todo vetor u ∈ U pode ser decom-
posto de modo u´nico como u = v + w, com v ∈ V e w ∈W .
(II) Se dim(V ∩W ) ≥ 1, B e´ uma base de V e C e´ uma base de W , enta˜o
as bases B e C possuem pelo menos um vetor em comum.
(III) Seja B uma base de V e seja C uma base de W . Enta˜o, B ∪ C e´ uma
base de V +W se, e somente se, V ∩W conte´m apenas o vetor nulo.
Assinale a alternativa correta.
(a) Apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ verdadeira.
(b) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras.
(c) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o verdadeiras.
(d) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ verdadeira.
(e) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras.
Q10. Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de P3(R):
V = {p(x) ∈ P3(R) : p(1)+p(−1) = 0} e W = {p(x) ∈ P3(R) : p
′(1) = 0}.
Enta˜o, a dimensa˜o de V ∩W e´ igual a
(a) 4.
(b) 3.
(c) 1.
(d) 0.
(e) 2.
Q11. Seja n um inteiro tal que n ≥ 10 e sejam v1, . . . , vn vetores na˜o nulos
em um espac¸o vetorial. Considere as afirmac¸o˜es abaixo.
(I) Se {v1, . . . , vn} e´ linearmente dependente, enta˜o v1 e´ uma com-
binac¸a˜o linear de v2, . . . , vn.
(II) Sejam V = [v1, . . . , v5, v6] eW = [v5, v6, . . . , vn]. Se dim(V ∩W ) = 2,
enta˜o {v5, v6} e´ uma base de V ∩W .
(III) Se para todo inteiro j, com 1 ≤ j < n, a intersec¸a˜o [v1, . . . , vj ] ∩
[vj+1, . . . , vn] conte´m apenas o vetor nulo, enta˜o {v1, . . . , vn} e´ line-
armente independente.
Assinale a alternativa correta.
(a) Apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ necessariamente verdadeira.
(b) Apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ necessariamente verdadeira.
(c) Apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ necessariamente verdadeira.
(d) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o necessariamente verdadeiras.
(e) Apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o necessariamene verdadeiras.
Q12. Seja {u, v, w} uma base do espac¸o vetorial V e sejam α, β, γ, δ ∈ R.
Considere o seguinte subconjunto
C = {u+ αv + w, u+ βv + γw, u+ βv + δw}
de V . Enta˜o, pode-se afirmar que
(a) C e´ uma base de V se, e somente se, (α− β)γδ 6= 0.
(b) C e´ uma base de V se, e somente se, αβ(γ − δ) 6= 0.
(c) C e´ uma base de V se, e somente se, αβγδ 6= 0.
(d) C nunca sera´ uma base de V .
(e) C e´ uma base de V se, e somente se, (α− β)(γ − δ) 6= 0.
Q13. Considere o seguinte subespac¸o vetorial de P3(R):
V = {p(x) ∈ P3(R) : p(1) = p(−1)}.
Enta˜o, uma base para um subespac¸o vetorial W de P3(R) tal que P3(R) =
V ⊕W e´
(a) {−x3 + x+ 2}.
(b) {2x+ 1}.
(c) {x3 − x+ 1}.
(d) {x2 + x, 2x+ 1}.
(e) {x2 − 1}.
Q14. Sejam a, b ∈ R e considere os seguintes elementos do espac¸o vetorial
P3(R):
p1(x) = 1 + 2x+ x
3, p2(x) = x+ x
2 − x3, p3(x) = a+ x+ bx
2 + 5x3.
Se p3(x) ∈ [p1(x), p2(x)], enta˜o a+ b e´ igual a
(a) 1.
(b) 3.
(c) −2.
(d) 2.
(e) −1.
Q15. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita ≥ 4, seja E = {v1, v2, v3}
um subconjunto de V e seja w ∈ V . Se E∪{w} e´ um conjunto gerador para
V , enta˜o pode-se afirmar que
(a) w ∈ [v1, v2, v3].
(b) w 6= 0V .
(c) o conjunto E ∪ {w} pode ou na˜o ser linearmente independente.
(d) o conjunto E e´ linearmente dependente.
(e) dim
(
[v1, v2] ∩ [v3, w]
)
≥ 1.
Q16. Sejam a, b ∈ R. Enta˜o o conjunto
{a+ x, 1 + bx+ x2, x+ ax2}
gera o espac¸o vetorial P2(R) se, e somente se,
(a) a(2− ab) 6= 0.
(b) 2 + ab 6= 0.
(c) ab 6= 0.
(d) a(1− b) 6= 1.
(e) a 6= 0.

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