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UFRGS – Inst. de Matema´tica e Estat´ıstica Dept. de Matema´tica Pura e Aplicada MAT01355 – A´lgebra Linear I - A Prof. Diego Marcon Farias 1 2 3 4 5 6 x Total Nome: Em azul, as soluc¸o˜es Carta˜o: Turma: Prova da A´rea 1 – 26 de Outubro de 2017 Para as Questo˜es 1 e 2, considere a matriz C = 1 4 0 2 1 0 2 1 3 5 0 0 0 1 1 0 0 0 7 3 0 0 0 0 2 ∼ 1 4 0 2 1 0 2 1 3 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −4 0 0 0 0 2 ∼ 1 4 0 2 1 0 2 1 3 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Questa˜o 1. (1,0 ponto) Considere as afirmac¸o˜es sobre C: I. C na˜o e´ invert´ıvel. Verdade. Podemos usar as va´rias equivaleˆncias de uma matriz ser invert´ıvel (e de mais de uma forma). Por exemplo, para ser C invert´ıvel C~x = ~0 deveria possuir somente a soluc¸a˜o trivial (mas na˜o e´ verdade porque a forma escalonada tem uma coluna que na˜o e´ pivoˆ – logo, infinitas soluc¸o˜es). Uma outra forma de fazer: para ser C invert´ıvel, deveria ser verdade que todo sistema C~x = ~b possui soluc¸a˜o (o que na˜o vale, por causa da u´ltima linha so´ de zeros na forma escalonada). Pense em outras maneiras olhando para o teorema de caracterizac¸a˜o de matrizes invert´ıveis. II. A transformac¸a˜o linear definida por T~x = C~x e´ injetiva. Falsa. Esta tambe´m e´ uma das equivaleˆncias. Se a matriz for quadrada, enta˜o ser injetiva ou sobrejetiva ou invert´ıvel e´ tudo equivalente. III. dim NulC = 1. Verdade. A forma escalonada possui uma coluna que na˜o e´ pivoˆ. Isto corre- sponde a uma varia´vel livre na soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado. IV. dim ColC = 3. Falsa. Olhando para a forma escalonada, vemos que temos 4 colunas pivoˆ e, portanto, dim ColC = 4. Assinale a alternativa que conte´m todas as afirmac¸o˜es que sa˜o verdadeiras: (a) I, II e III (b) I, II e IV (c) II, III e IV (d)� I e III (e) III e IV Questa˜o 2. (1,0 ponto) Considere as afirmac¸o˜es sobre C: I. Existe ~b ∈ R5 tal que C~x = ~b e´ inconsistente. Verdade. Como a forma escalonada tem uma linha de zeros, algumas escolhas do vetor ~b fazem com que o sistema seja imposs´ıvel. II. Vale que dim NulC + dim ColC = 4. Falsa. Sabendo que dim NulC e´ o nu´mero de varia´veis livres no sistema homogeˆneo associado (neste caso uma) e que dim ColC e´ o nu´mero de colunas pivoˆ (neste caso 4), concluimos que dim NulC + dim ColC = 5. Equivalentemente, poder´ıamos usar o teorema geral que diz que dim NulC + dim ColC = nu´mero de colunas = 5. III. A matriz C esta´ na forma escalonada reduzida. Falsa. Nem esta´ na forma escalonada, muito menos reduzida. Assinale a alternativa que conte´m todas as afirmac¸o˜es que sa˜o verdadeiras: (a)� I (b) I e II (c) I e III (d) II e III (e) I, II e III Questa˜o 3. (3,0 pontos) Classifique cada uma das afirmac¸o˜es como Verdadeiro (V) ou Falso (F). (V) O sistema linear A~x = ~b em que A e´ uma matriz 13× 12 possui mais equac¸o˜es do que varia´veis. O nu´mero de linhas representa o nu´mero de equac¸o˜es do sistema e o nu´mero de colunas o nu´mero de varia´veis. (F) Qualquer que seja o valor de h, o sistema linear cuja matriz completa associada e´ 1 3 −1 0 1 00 0 0 1 h 3 0 0 0 0 h− 2 1 na˜o possui soluc¸a˜o. Para qualquer h 6= 2, o sistema possui soluc¸a˜o. (V) Se A e´ uma matriz quadrada invert´ıvel, enta˜o as colunas de A sa˜o linearmente independentes. Esta e´ uma das equivaleˆncias do Teorema da Matriz Invert´ıvel. Quem na˜o se lembrava do teorema poderia pensar que para a matriz ser invert´ıvel, deve ser equivalente por linhas a` matriz identidade, de modo que todas as colunas sa˜o colunas pivoˆ. Portanto, os vetores nas colunas de A devem ser LI. (F) Se A e´ uma matriz quadrada invert´ıvel, enta˜o o sistema linear A~x = ~0 possui infinitas soluc¸o˜es. Quem lembra do Teorema da Matriz Invert´ıvel, sabe que a soluc¸a˜o deve ser u´nica (e na˜o infinitas). Quem na˜o lembra, usa a argumentac¸a˜o do item anterior de que todas as colunas sa˜o pivoˆ, de modo que a soluc¸a˜o so´ pode ser ~x = ~0. Ainda um terceiro argumeto e´ que se A e´ invert´ıvel e A~x = ~0, enta˜o ~x = A−1 · ~0 = ~0 (qualquer matriz multiplicada pelo vetor nulo so´ pode dar igual ao vetor nulo.) (F) O conjunto H = { ~x ∈ R2; ~x = [ x1 + x2 5 ]} e´ um subespac¸o vetorial de R2. Para ser subespac¸o, deve conter a origem. Por causa da segunda coordenada fixa igual a 5, nenhuma escolha de valores de x1, x2 vai chegar no vetor nulo. (F) A matriz associada a uma transformac¸a˜o linear sobrejetiva e´ sempre invert´ıvel. So´ e´ verdade se a matriz for quadrada. Matrizes na˜o quadradas que sa˜o sobrejetivas na˜o sa˜o invert´ıveis. (F) Se A e´ uma matriz 6× 7 com 6 colunas pivoˆ, enta˜o a equac¸a˜o A~x = ~0 possui so´ uma soluc¸a˜o. Sa˜o 7 colunas, de modo que uma delas na˜o e´ pivoˆ. Logo, o sistema homogeˆneo possui infinitas soluc¸o˜es (dim NulA = 1). (V) Se A e´ uma matriz 4× 7, enta˜o A pode ter no ma´ximo 4 posic¸o˜es de pivoˆ. Porque podemos ter apenas uma posic¸a˜o de pivoˆ por linha. (V) A transformac¸a˜o T : R5 → R5, definida por T (~x) = 3~x, e´ uma transformac¸a˜o linear. Este e´ o primeiro exemplo de transformac¸o˜a linear (que generaliza a func¸a˜o linear do ensino ba´sico f(x) = ax). Se quise´ssemos verificar que e´ linear (o que na˜o pedia no enunciado para fazer), dever´ıamos verificar: T (c~x) = 3 · c~x = c · 3~x = cT (~x) e T (~x + ~y) = 3(~x + ~y) = 3~x + 3~y = T (~x) + T (~y). (V) A dimensa˜o de Span{~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5}, onde ~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5 ∈ R2, e´ no ma´ximo 2. Como os vetores esta˜o todos contidos em R2, qualquer combinac¸a˜o linear dos cinco vetores ainda pertence a R2; portanto, a dimensa˜o e´ no ma´ximo a do espac¸o inteiro, que e´ 2. Questa˜o 4. (2,0 pontos) Seja T : R3 → R4 a transformac¸a˜o linear dada por T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2 − 3x3, x1 − x2, x3 − 4x1, 3x1 + 4x3). (a) (1,0 ponto) Determine a matriz canoˆnica associada a` transformac¸a˜o T . Escrever a “lei” da transformac¸a˜o em forma matricial revela a matriz canoˆnica: T x1x2 x3 = 2x1 + x2 − 3x3 x1 − x2 −4x1 + x3 3x1 + 4x3 = 2 1 −3 1 −1 0 −4 0 1 3 0 4 x1x2 x3 =⇒ 2 1 −3 1 −1 0 −4 0 1 3 0 4 = m canoˆnica (b) (0,5 ponto) Determine se T e´ injetora. Para que T seja injetora, devemos verificar se o sistema homogeˆneo associado possui apenas a soluc¸a˜o trivial. Ou, equivalentemente, se as colunas da matriz associada sa˜o linearmente independentes. Tudo isto se verifica da mesma forma: todas as colunas devem ser pivoˆ. Escalonar (parece que trocar primeira linha com a segunda ajuda, para ficar com um 1 na posic¸a˜o de pivoˆ): 2 1 −3 1 −1 0 −4 0 1 3 0 4 ∼ 1 −1 0 2 1 −3 −4 0 1 3 0 4 ∼ 1 −1 0 0 3 −3 0 −4 1 0 3 4 ∼ 1 −1 0 0 1 −1 0 0 −3 0 0 7 ∼ 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 Todas as colunas tem posic¸a˜o de pivoˆ. Portanto, e´ injetora. (c) (0,5 ponto) Explique, sem fazer contas, que T na˜o pode ser sobrejetora. Treˆs vetores em R4 (as colunas da matriz associada a` transformac¸a˜o T ) geram no ma´ximo um subespac¸o de dimensa˜o 3 (neste exemplo, exatamente igual a 3, pois ja´ vimos no item (b) que as colunas sa˜o LI); portanto, imagem de T 6= R4. Questa˜o 5. (2,0 pontos) Considere a matriz de ordem 4× 4 A = 1 3 −3 11 3 2 5 12 5 1 13 13 −1 4 11 10 para resolver os dois itens abaixo: (a) (1,5 ponto) Encontre uma base para o espac¸o NulA. Por escalonamento: 1 3 −3 11 3 2 5 12 5 1 13 13 −1 4 11 10 ∼ 1 3 −3 11 0 1 −2 3 0 7 4 21 0 0 0 0 ∼ 1 3 −3 11 0 1 −2 3 0 0 1 0 0 0 0 0 ∼ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 . Assim, qualquer soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo pode ser escrita como x1 x2 x3 x4 = x4 −2 −3 0 1 =⇒ (Basede NulA) = −2 −3 0 1 . (b) (0,5 ponto) Encontre a dimensa˜o do espac¸o ColA. Pelo escalonamento do item (a), vemos que A possui 3 posic¸o˜es de pivoˆ; portanto, dim ColA = 3. Questa˜o 6. (1,0 ponto) Determine quais dos conjuntos abaixo sa˜o linearmente independentes. I. {[ 3 1 ] , [ 2 3 ] , [ 1 4 ]} II. 3 0 0 4 , 0 2 0 0 , −1 4 5 0 III. 31 4 , 00 0 , 23 9 IV. 3 0 0 4 , 0 2 0 0 , 3 4 0 4 (a) Somente I e III. (b) Somente III. (c) Somente II e IV. (d)� Somente II (e) Sa˜o todos linearmente independentes. No item I temos 3 vetores de R2, que so´ podem ser LD pois dimR2 = 2. Em II, vamos verificar se todas as colunas da matriz cujas colunas sa˜o os vetores dados sa˜o colunas pivoˆ: 3 0 −1 0 2 4 0 0 5 4 0 0 ∼ 3 0 −1 0 1 2 0 0 5 0 0 4/3 ∼ 3 0 −1 0 1 2 0 0 5 0 0 0 =⇒ todas as colunas pivoˆ =⇒ colunas LI. No item III, aparece o vetor nulo e nenhum conjunto com o vetor nulo pode ser LI; portanto, LD. No item IV, utilizamos o mesmo racioc´ınio do segundo item: 3 0 3 0 2 4 0 0 0 4 0 4 ∼ 1 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 =⇒ uma coluna (terceira) na˜o e´ pivoˆ =⇒ colunas LD. Questa˜o Extra. (1,0 ponto) Sabendo que a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 satisfaz T (6, 0) = (2, 4) e T (2, 1) = (1, 5), determine T (1, 2). Uma forma de fazer: escrever o vetor que desejamos calcular a transformac¸a˜o em termos dos que ja´ sabemos:[ 1 2 ] = −1 2 [ 6 0 ] + 2 [ 2 1 ] =⇒ T ([ 1 2 ]) = −1 2 T ([ 6 0 ]) + 2T ([ 2 1 ]) = −1 2 [ 2 4 ] + 2 [ 1 5 ] = [ 1 8 ] . Outra forma: Encontrar a matriz da transformac¸a˜o a partir das informac¸o˜es dadas. Esta forma e´ mais trabalhosa, mas, por outro lado, depois permite que calculemos a transformac¸a˜o em qualquer vetor de R2 (e na˜o apenas no que e´ pedido no enunciado): Escrevendo T (~x) = A~x, temos[ a b c d ] [ 6 0 ] = [ 2 4 ] , [ a b c d ] [ 2 1 ] = [ 1 5 ] Assim, temos { 6a = 2 2a + b = 1 ; { 6c = 4 2c + d = 5 Logo, temos a = 1/3 b = 1/3 c = 2/3 d = 5− 4/3 = 11/3 . Portanto, T ([ 1 2 ]) = [ 1/3 1/3 2/3 11/3 ] [ 1 2 ] = [ 1 8 ] .
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