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1 CARLOS WALTER VICENTINI RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – MOMENTO DE INÉRCIA OU DE SEGUNDA ORDEM NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA CIVIL (4º/5º CICLO) DA UNIP Santos, abril de 2011 2 1. Determine a localização do centróide C (x,y), os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a seção transversal da viga abaixo. Medidas em mm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos A e B como mostrado na figura abaixo: 3 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. No nosso caso o eixo y é de simetria. Isso significa que o centróide C está localizado em alguma posição desse eixo, logo, devemos determinar somente y pois x é zero. 4º passo: Determinar, para cada figura, A e B, os valores de seus xA, xB, yA e yB . No nosso caso: xA = 0; xB = 0; yA = 275 mm; yB = 125 mm 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso A e B, e a área total da figura. Figura A – área = AA = 300 x 50 = 15000 mm² Figura B – área = AB = 250 x 50 = 12500 mm² Figura total = fig A + fig B => AT = 27500 mm² 6º passo: finalmente calcular y que é dado por y AT = yA AA + yB AB Portanto y = (yA AA + yB AB) / AT => y = (275 x 15000 + 125 x 12500) / 27500 y ≈ 207 mm Resposta x ≈ 0 Resposta 4 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras A e B em relação aos seus pares de eixos centróides x’A, y’A e x’B, y’B. Para a figura A: Ix’A = bh³/12 = (300 x 50³)/12 = 31,25 10 5 mm4 Iy’A = hb³/12 = (50 x 300³)/12 = 11,25 10 7 mm4 Para a figura B: Ix’B = bh³/12 = (50 x 250³)/12 = 6,51 10 7 mm4 Iy’B = hb³/12 = (250 x 50³)/12 = 26,04 10 5 mm4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos a figura A e figura B 5 Devido a figura A: Ix’ = Ix’A + AA x a² = 31,25 10 5 + 15000 x (275 – 207)² = 7,3 107 mm4 Iy’ = Iy’A + AA x 0 = Iy’A = 11,25 10 7 mm4 Devido a figura B: Ix’ = Ix’B + AB x b² = 6,51 10 7 + 12500 x (207 – 125)² = 14,91 107 mm4 Iy’ = Iy’B + AB x 0 = Iy’B = 26,04 10 5 mm4 3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras A e B: Ix’ = Ix’ devido a fig. A + Ix’ devido a fig. B = 7,3 10 7 + 14,91 107 => Ix’ = 2,2 10 8 mm4 Resposta Iy’ = Iy’ devido a fig. A + Iy’ devido a fig. B = 11,25 10 7 + 26,04 105 => Iy’ = 1,1 10 8 mm4 Resposta 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 2,2 10 8 + 1,1 108 => JO = 3,3 10 8 mm4 Resposta NOTA: Não determinaremos o produto de inércia nem a posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima inércia. Porque? 2. Determine a localização do centróide C (x,y), os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a seção transversal da viga abaixo. Medidas em cm. 6 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos 1 e 2 como mostrado na figura abaixo: 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso não há eixo de simetria. Isso significa que o centróide C está localizado em alguma posição fora do par de eixos x,y, logo, devemos determinar x e y. 4º passo: Determinar, para cada figura, 1 e 2, os valores de seus x1, x2, y1 e y2 como indicado na figura seguinte. 7 Para a figura do nosso caso: x1 = 0,5 cm; x2 = 2,5 cm; y1 = 1,5 cm; y2 = 0,5 cm 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1 e 2, e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 1 x 3 = 3 cm² Figura 2 – área = A2 = 3 x 1 = 3 cm² Figura total = fig 1 + fig 2 => AT = 6 cm² 6º passo: finalmente calcular x e y x AT = x1A1 + x2A2 => x = (x1A1 + x2A2)/AT = (0,5x3 + 2,5x3)/6 x = 1,5 cm Resposta y AT = y1A1 + y2A2 => y = (y1A1 + y2A2)/AT = (1,5x3 + 0,5x3)/6 => y = 1 cm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1 e 2 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1 e x’2, y’2. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm 4 Iy’1 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm 4 Para a figura 2: Ix’2 = bh³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm 4 8 Iy’2 = hb³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm 4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos a figura 1 e figura 2 θP2 θP1 Devido a figura 1: Ix’ = Ix’1 + A1 x b² = 2,25 + 3 x (1,5 – 1)² = 3 cm 4 Iy’ = Iy’1 + A1 x a² = 0,25 + 3 x (1,5 – 0,5)² = 3,25 cm 4 Devido a figura 2: Ix’ = Ix’2 + A2 x e² = 0,25 + 3 x (1 – 0,5)² = 1 cm 4 Iy’ = Iy’2 + A2 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 - 1,5)² = 5,25 cm 4 3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras 1 e 2: Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 = 3 + 1 => Ix’ = 4 cm 4 Resposta 9 Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 = 3,25 + 5,25 => Iy’ = 8,5 cm 4 Resposta 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 4 + 8,5 => JO = 12,5 cm 4 Resposta O exercício termina aqui mas, para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos paralelos para cada figura, 1 e 2, para sabermos com que parcela cada figura contribui. Devido a figura 1: Ix’y’ = Ix’y’fig1 + a x b x A1 Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: Ix’y’ = 0 + (-1) x 0,5 x 3 = -1,5 cm 4 Devido a figura 2: Ix’y’ = Ix’y’fig2 + d x e x A2 com Ix’y’fig2 = 0 pois seus eixos centróides são de simetria. Então teremos: Ix’y’ = 0 + 1 x (-0,5) x 3 = -1,5 cm 4 Logo para a figura toda teremos: Ix’y’ = (-1,5) + (-1,5) = -3 cm 4 Resposta Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 4 cm 4 ; Iy’ = 8,5 cm 4 e Ix’y’ = -3 cm 4 logo, tg2θP = -(-3)/[(4 – 8,5)/2] = -1,33 então 2θP = -53,13° e, portanto, θP1 = -26,56° e θP2 = -26,56° + 90° => θP2 = 63,44° Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² Imáx/mín = (4 + 8,5)/2 ± √[(4 – 8,5)/2]² + (-3)² Imáx/mín = 6,25 ± 3,75 Imáx = 10 cm 4 Resposta e Imín= 2,5 cm 4 Resposta 10 3. Determine a localização y do centróide C, os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da viga. A viga é simétrica em relação ao eixo y’. Medidas em cm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em cinco retângulos 1 (maior: 12 cm x 4 cm), 2 e 3 que são iguais (1 cm x 3 cm), 4 e 5 que são iguais também (1 cm x 1 cm) como mostrado na figura abaixo: 11 Devemos notar que os retângulos azuis, 2, 3, 4 e 5 são “furos”. 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso o eixo y≈y’ é de simetria. Isso significa que o centróide C está localizado em alguma posição pertencente ao eixo y, logo, devemos determinar y já que x = 0. 4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2, 3, 4 e 5, os valores de x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. x1 = 0; x2 = -5,5; x3 = 5,5; x4 = -2,5; x5 = 2,5 y1 = 2; y2 = 2,5; y3 = 2,5; y4 = 0,5; y5 = 0,5 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1, 2, 3, 4 e 5 e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 12 x 4 = 48 cm² Figura 2 – área = A2 = 1 x 3 = 3 cm² (furo) Figura 3 – área = A3 = 1 x 3 = 3 cm² (furo) Figura 4 – área = A4 = 1 x 1 = 1 cm² (furo) Figura 5 – área = A5 = 1 x 1 = 1 cm² (furo) Figura total = fig 1 - fig 2 - fig 3 - fig 4 - fig 5 => AT = 48 - 3 – 3 – 1 – 1 = 40 cm² 12 6º passo: finalmente calcular x e y x = 0 Resposta y AT = y1A1 - y2A2 - y3 A3 – y4 A4 – y5 A5 => y = (y1A1 - y2A2 - y3 A3 – y4 A4 – y5 A5)/AT = (2x48 - 2,5x3 – 2,5x3 + 0,5x1 – 0,5x1 )/40 => y = 2 cm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3; x’4, y’4 e x’5, y’5. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (12 x 4³)/12 = 64 cm 4 Iy’1 = hb³/12 = (4 x 12³)/12 = 576 cm 4 Para a figura 2: Ix’2 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm 4 Iy’2 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm 4 Para a figura 3: Ix’3 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm 4 Iy’3 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm 4 Para a figura 4: Ix’4 = bh³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm 4 Iy’4 = hb³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm 4 Para a figura 5: Ix’5 = bh³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm 4 Iy’5 = hb³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm 4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às figuras 1, 2, 3, 4 e 5. 13 Devido a figura 1: Ix’ = Ix’1 + A1 x 0 = 64 cm 4 Iy’ = Iy’1 + A1 x 0 = 576 cm 4 Devido a figura 2 (FURO): Ix’ = Ix’2 + A2 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 – 2)² = 3 cm 4 Iy’ = Iy’2 + A2 x a² = 0,25 + 3 x (-5,5)² = 91 cm 4 Devido a figura 3 (FURO): Ix’ = Ix’3 + A3 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 – 2) = 3 cm 4 Iy’ = Iy’3 + A3 x a² = 0,25 + 3 x (5,5)² = 91 cm 4 Devido a figura 4 (FURO): Ix’ = Ix’4 + A4 x e² = 0,08 + 1 x (2 – 0,5)² = 2,33 cm 4 Iy’ = Iy’4 + A4 x b² = 0,08 + 1 x (-2,5)² = 6,33 cm 4 Devido a figura 5 (FURO): Ix’ = Ix’5 + A5 x e² = 0,08 + 1 x (2 – 0,5)² = 2,33 cm 4 Iy’ = Iy’5 + A5 x b² = 0,08 + 1 x (2,5)² = 6,33 cm 4 3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras 1, 2, 3, 4 e 5 (NÃO ESQUECENDO QUE FUROS SÃO SUBTRAIDOS): Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 - Ix’ devido a fig. 2 - Ix’ devido a fig. 3 - Ix’ devido a fig. 4 - Ix’ devido a fig. 5 = 64 - 3 - 3 - 2,33 - 2,33 => Ix’ = 53,34 cm 4 Resposta Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 - Iy’ devido a fig. 2 - Iy’ devido a fig. 3 - Iy’ devido a fig. 4 - Iy’ devido a fig. 5 = 576 - 91 - 91 – 6,33 – 6,33 => Iy’ = 381,34 cm 4 Resposta 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 53,34 + 381,34 => JO = 434,68 cm 4 Resposta 14 NOTA: O exercício termina aqui mas, para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Mas não precisamos determinar o produto de inércia nem a posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima inércia. Porque? 4. Determine a localização y do centróide C, os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da viga. Medidas em mm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (com y coincidindo com o eixo y’, o desenho já mostra ). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em três retângulos 1 (maior: 300 mm x 25 mm), 2 e 3 que são iguais (100 mm x 25 mm) como mostrado na figura abaixo: 15 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso o eixo y≈y’ é de simetria. Isso significa que o centróide C está localizado em alguma posição pertencente ao eixo y, logo, devemos determinar y já que x = 0. 4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. x1 = 0; x2 = -87,5; x3 = 87,5 y1 = 12,5; y2 = 75; y3 = 75; 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 300 x 25 = 7500 mm² Figura 2 – área = A2 = 25 x 100 = 2500 mm² Figura 3 – área = A3 = 25 x 100 = 2500 mm² 16 Figura total = fig 1 + fig 2 + fig 3 => AT = 7500 + 2500 x 2 = 12500 mm² 6º passo: finalmente calcular x e y x = 0 Resposta y AT = y1A1 + y2A2 + y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 + y3 A3 )/AT = (12,5 x 7500 + 75 x 2500 + 75 x 2500 )/12500 => y ≈ 37,5 mm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (300 x 25³)/12 = 3,9 10 5 mm4 Iy’1 = hb³/12 = (25 x 300³)/12 = 5,63 10 7 mm4 Para a figura 2: Ix’2 = bh³/12 = (25 x 100³)/12 = 2,1 10 6 mm4 Iy’2 = hb³/12 = (100 x 25³)/12 = 1,3 10 5 mm4 Para a figura 3: Ix’3 = bh³/12 = (25 x 100³)/12 = 2,1 10 6 mm4 Iy’3 = hb³/12 = (100 x 25³)/12 = 1,3 10 5 mm4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às figuras 1, 2 e 3. 17 Devido a figura 1: Ix’ = Ix’1 + A1 x a² = 3,9 10 5 + 7500 x (37,5 – 12,5)² = 5,077 106 mm4 Iy’ = Iy’1 + A1 x 0 = 5,63 10 7 mm4 Devido a figura 2: Ix’ = Ix’2 + A2 x b² = 2,1 10 6 + 2500 x (75 – 37,5)² = 5,616 106 mm4 Iy’ = Iy’2 + A2 x d² = 1,3 10 5 + 2500 x (-87,5)² = 1,93 107 mm4 Devido a figura 3: Ix’ = Ix’3 + A3 x b² = 2,1 10 6 + 2500 x (75 – 37,5)² = 5,616 106 mm4 Iy’ = Iy’3 + A3 x d² = 1,3 10 5 + 2500 x (87,5)² = 1,93 107 mm43º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras 1, 2 e 3: Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 + Ix’ devido a fig. 3 = 5,077 106 + 5,616 106 + 5,616 106 => Ix’ = 16,309 10 6 mm4 Resposta Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 + Iy’ devido a fig. 3 = 5,63 107 + 1,93 107 + 1,93 107 => Iy’ = 9,49 10 7 mm4 Resposta 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 13,44 10 6 + 9,49 107 => JO ≈ 11,12 10 7 mm4 Resposta NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima inércia. Porque? 18 5. Determine os momentos de inércia Ix, Iy e o momento polar da seção Z. A origem das coordenadas está no centróide C. Medidas em mm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (com y coincidindo com o eixo y’, o desenho já mostra ). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em três retângulos 1 (maior: 640 mm x 20 mm), 2 e 3 que são iguais (200 mm x 20 mm) como mostrado na figura abaixo: 19 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos determinar y e x . 4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. x1 = -310; x2 = 0; x3 = 310 y1 = 110; y2 = 0; y3 = -110; 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 20 x 200 = 4000 mm² Figura 2 – área = A2 = 640 x 20 = 12800 mm² Figura 3 – área = A3 = 20 x 200 = 4000 mm² Figura total = fig 1 + fig 2 + fig 3 => AT = 4000 x 2 + 12800 = 20800 mm² 6º passo: finalmente calcular x e y x AT = x1A1 + x2A2 + x3 A3 => x = (x1A1 + x2A2 + x3 A3 )/AT = (-310 x 4000 + 0 x 12800 + 310 x 4000 )/20800 x = 0 Resposta 20 y AT = y1A1 + y2A2 + y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 + y3 A3 )/AT = (110 x 4000 + 0 x 12800 + (-110) x 4000 )/20800 => y = 0 mm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (20 x 200³)/12 = 1,33 10 7 mm4 Iy’1 = hb³/12 = (200 x 20³)/12 = 1,33 10 5 mm4 Para a figura 2: Ix’2 = bh³/12 = (640 x 20³)/12 = 4,27 10 5 mm4 Iy’2 = hb³/12 = (20 x 640³)/12 = 4,37 10 8 mm4 Para a figura 3: Ix’3 = bh³/12 = (20 x 200³)/12 = 1,33 10 7 mm4 Iy’3 = hb³/12 = (200 x 20³)/12 = 1,33 10 5 mm4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às figuras 1, 2 e 3. Devido a figura 1: Ix’ = Ix’1 + A1 x b² = 1,33 10 7 + 4000 x (110)² = 6,17 107 mm4 Iy’ = Iy’1 + A1 x a² = 1,33 10 5 + 4000 x (-310)² = 3,85 108 mm4 Devido a figura 2: Ix’ = Ix’2 + A2 x 0 = 4,27 10 5 mm4 Iy’ = Iy’2 + A2 x 0 = 4,37 10 8 mm4 21 Devido a figura 3: Ix’ = Ix’3 + A3 x b² = 1,33 10 7 + 4000 x (-110)² = 6,17 107 mm4 Iy’ = Iy’3 + A3 x a² = 1,33 10 5 + 4000 x (310)² = 3,85 108 mm4 3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras 1, 2 e 3: Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 + Ix’ devido a fig. 3 = 6,17 107 + 4,27 105 + 6,17 107 => Ix’ = 1,24 10 8 mm4 Resposta Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 + Iy’ devido a fig. 3 = 3,85 108 + 4,37 108 + 3,85 108 => Iy’ = 12,07 10 8 mm4 Resposta 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 1,24 10 8 + 12,07 108 => JO ≈ 13,31 10 8 mm4 Resposta NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos paralelos para cada figura, 1, 2 e 3, para sabermos com que parcela cada figura contribui. Devido a figura 1: Ix’y’ = Ix’y’fig1 + a x b x A1 Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: Ix’y’ = 0 + (-310) x 110 x 4000 = -1,36 10 8 mm4 Devido a figura 2: Ix’y’ = Ix’y’fig2 + x y A2 com Ix’y’fig2 = 0 pois seus eixos centróides são de simetria. Então teremos: Ix’y’ = 0 + 0 x 0 x 3 = 0 mm 4 pois x = y = 0 Devido a figura 3: Ix’y’ = Ix’y’fig3 + a x b x A3 com Ix’y’fig3 = 0 pois seus eixos centróides são de simetria. Então teremos: Ix’y’ = 0 + 310 x (-110) x 4000 = -1,36 10 8 mm4 Logo para a figura toda teremos: Ix’y’ = 2 x -1,36 10 8 + 0 = -2,72 108 mm4 Resposta Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: 22 tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 1,24 10 8 mm4; Iy’ = 12,07 108 mm4 e Ix’y’ = -2,72 10 8 mm4 logo, tg2θP = -(-2,72 10 8)/[(1,24 108 – 12,07 108)/2] = -0,5023 então 2θP = -26,67° e, portanto, θP1 = -13,3° e θP2 = -13,3° + 90° => θP2 = 76,7° Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² Imáx/mín = (1,24 10 8 + 12,07 108)/2 ± √[(1,24 108 – 12,07 108)/2]² + (-2,72 108 )² Imáx/mín = 6,65 10 8 ± 4,92 108 Imáx = 11,57 10 8 mm4 Resposta e Imín = 1,73 10 8 mm4 Resposta 23 6. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra ). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um retângulo (90 cm x 60 cm); fig 2 - um triângulo (b=30 cm, h=60 cm) e fig 3 (FURO) - um semi círculo (de 20 cm de raio) como mostrado na figura abaixo: 24 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos determinar y e x . 4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. x1 = 45 cm; x2 = 100 cm; x3 = 60 cm y1 = 30 cm; y2 = 20 cm; y3 = 4r/3∏ = 8,5 cm 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 90 x 60 = 5400 cm² Figura 2 – área = A2 = 30 x 60 / 2 = 900 cm² Figura 3 – área = A3 = ∏ x 20² / 2 = 628,3 cm² Figura total = fig 1 + fig 2 - fig 3 => AT = 5400 + 900 - 628,3 = 5671,7 cm² 6º passo:finalmente calcular x e y x AT = x1A1 + x2A2 - x3 A3 => x = (x1A1 + x2A2 - x3 A3 )/AT = (45 x 5400 + 100 x 900 - 60 x 628,3 )/5671,7 25 x = 52 cm Resposta y AT = y1A1 + y2A2 - y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 - y3 A3 )/AT = (30 x 5400 + 20 x 900 - 8,5 x 628,3)/5671,7 => y = 30,8 cm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (90 x 60³)/12 = 1,62 10 6 cm4 Iy’1 = hb³/12 = (60 x 90³)/12 = 3,65 10 6 cm4 Para a figura 2: Ix’2 = bh³/36 = (30 x 60³)/36 = 1,8 10 5 cm4 Iy’2 = hb³/36 = (60 x 30³)/36 = 0,45 10 5 cm4 Para a figura 3 (FURO) que é um semi círculo temos uma particularidade: temos que calcular Ix’3 aplicando o teorema dos eixos paralelos como trata a figura abaixo. Ix = Iy = ∏ r 4 / 8 Ix = Ix’ + A a² como a = 4 r / 3 ∏ = 4 x 20 / 3 ∏ = 8,5 cm Então Ix’ = Ix – A a² que no nosso caso é: Ix’3 = (∏ 20 4 / 8) – 628,3 x 8,5² = 0,17 105 cm4 Iy’3 = ∏ r 4 / 8 = ∏ x 204 / 8 = 0,63 105 cm4 2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às figuras 1, 2 e 3. 26 Devido a figura 1: Ix’ = Ix’1 + A1 x y1² = 1,62 10 6 + 5400 x (-30,8 – (-30))² = 16,23 105 cm4 Iy’ = Iy’1 + A1 x x1² = 3,65 10 6 + 5400 x (-52 – (-45))² = 39,12 105 cm4 Devido a figura 2: Ix’ = Ix’2 + A2 x y2² = 1,8 10 5 + 900 x (-30,8 – (-20))² = 2,85 105 cm4 Iy’ = Iy’2 + A2 x x2 2 = 0,45 105 + 900 x (100 – 52)² = 21,2 105 cm4 Devido a figura 3 (FURO): Ix’ = Ix’3 + A3 x y3² = 0,17 10 5 + 628,3 x (-(30,8 – 8,5))² = 3,3 105 cm4 Iy’ = Iy’3 + A3 x x3² = 0,63 10 5 + 628,3 x (60 - 52)² = 0,57 105 cm4 3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas relativas às figuras 1, 2 e 3: Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 - Ix’ devido a fig. 3 = 16,23 105 + 2,85 105 – 3,3 105 => Ix’ = 15,78 10 5 cm4 Resposta Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 - Iy’ devido a fig. 3 = 39,12 105 + 21,2 105 – 0,57 105 => Iy’ = 59,75 10 5 cm4 Resposta 27 3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. JO = Ix’ + Iy’ = 15,78 10 5 + 59,75 105 => JO ≈ 75,53 10 5 cm4 Resposta NOTA: continuaremos como se o enunciado tivesse pedido os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia. Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos paralelos para cada figura, 1, 2 e 3, para sabermos com que parcela cada figura contribui. Devido a figura 1: Ix’y’ = Ix’y’fig1 + x1 x y1 x A1 Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: Ix’y’ = 0 + (-7) x (-0,8) x 5400 = 30240 cm 4 Devido a figura 2: Ix’y’ = Ix’y’fig2 + x y A2 = -(b² h²)/72 + 48 x (-10,8) x 900 Ix’y’ = -(30² x 60²) / 72 - 466560 = -511560 cm 4 Devido a figura 3 (FURO): Ix’y’ = Ix’y’fig3 + x3 x y3 x A3 com Ix’y’fig3 = 0 pois um de seus eixos centróides são de simetria. Então teremos: Ix’y’ = 0 + 8 x (-22,3) x 628,3 = -112089 cm 4 Logo para a figura toda teremos: Ix’y’ = 30240 – 511560 - 112089 = -5,93 10 5 cm4 Resposta Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 15,78 10 5 cm4; Iy’ = 59,75 105 cm4 e Ix’y’ = -5,93 10 5 mm4 logo, tg2θP = -(-5,93 10 5)/[(15,78 105 – 59,75 105)/2] = -0,26973 então 2θP = -15,1° e, portanto, θP1 = -7,55° e θP2 = -7,55° + 90° => θP2 = 82,45° Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² Imáx/mín = (15,78 10 5 + 59,75 105)/2 ± √[(15,78 105 – 59,75 105)/2]² + (-5,93 105 )² Imáx/mín = 37,77 10 5 ± 22,77 105 Imáx = 60,54 10 5 cm4 Resposta e Imín = 15 10 5 cm4 Resposta 28 7. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia Ix, Iy e o momento polar para a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 1. Cálculo das coordenadas do centroide C(x,y) 1º passo – A localização do centróide já está definida pela própria condição de simetria da figura, ou seja, C é o ponto que 29 representa o centroide. Portanto x e y são os eixos centroidais e coincidem com x’ e y’. 2. Cálculo dos momentos de inércia Ix e Iy 1º passo – Temos que dividir a figura em outras figuras básicas conhecidas para facilidade dos cálculos. Vamos dividi-la em dois retângulos como mostrado na figura abaixo. Um retângulo maior de 100 cm x 150 cm contornado na cor vermelha, figura 1, e outro menor de 80 cm x 130 cm contornado na cor verde, figura 2 (que é um FURO). 2º passo – Aplicando as fórmulas de momento de inércia para cada figura temos: Para a figura 1 Ix = bh³/12 = 100 150³ / 12 = 2,81 10 7 cm4 Iy = hb³/12 = 150 100³ /12 = 1,25 10 7 cm4 Para a figura 2 (FURO) Ix = bh³/12 = 80 130³ / 12 = 1,47 10 7 cm4 Iy = hb³/12 = 130 80³ / 12 = 0,56 10 7 cm4 3º passo – somando-se as influências das figuras 1 e 2 temos: Ix = Ixfig1 - Ixfig2 = 2,81 10 7 - 1,47 107 => Ix = 1,34 10 7 cm4 Resposta Iy = Iyfig1 – Iyfig2 = 1,25 10 7 - 0,56 107 => Iy = 0,69 10 7 Resposta 3. Cálculo do momento polar de inércia em relação aos eixos centróides x,y JO = Ix + Iy = 1,34 10 7 + 0,69 107 => JO = 2,03 10 7 cm4 Resposta 30 NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima inércia. Porque? 8. Determine os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 1. Cálculo das coordenadas do centroide C(x,y) 1º passo – A localização do centróide já está definida pela própria condição de simetria da figura, ou seja, C é o ponto que representa o centroide. Portanto x e y são os eixos centroidais e coincidem com x’ e y’. 2. Cálculo dos momentos de inércia Ix e Iy 1º passo – Temos que dividir a figura em outras figuras básicas conhecidas para facilidade dos cálculos. Vamos dividi-la em três retângulos como mostrado na figura abaixo. 31 Um retângulo maior de 100 cm x 150 cm contornado na cor vermelha, figura 1, e outros dois menores, iguais, de 45 cm x 130 cm contornado na cor azul, figura 2 e figura 3 (que são FUROS). 2º passo – Aplicando as fórmulas de momento de inércia em relação aos seus eixos centroides para cada figura temos: Para a figura 1 Ix’fig1 = bh³/12 = 100 150³ / 12 = 2,81 10 7 cm4 Iy’fig1 = hb³/12 = 150 100³ /12 = 1,25 10 7 cm4 Para a figura 2 = figura 3 (FUROS) Ix’fig = bh³/12 = 45 130³ / 12 = 0,82 10 7 cm4 Iy’fig = hb³/12 = 130 45³ / 12 = 0,10 10 7 cm4 3º passo – aplicando-se o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para as figuras 2 e 3 com o objetivo de descobrirmos quais os valores dos momentos de inércia dessas figuras em relação ao eixo centróide y’ da figura total temos: Para a figura 2 = figura 3 Iy’ = Iy’fig2 + Afig2 x2 2 = 0,10 107 + 45 x 130 x (50 – 45/2)² = 32 = 0,10 107 + 0,44107 = 0,54 107 cm4 4º passo – Agora que já temos todos os valores de momento de inércia em relação aos mesmos eixos y’ e x’, é só somarmos as parcelas relativas aos seus eixos como segue: Ix’ = Ix’fig1 - Ix’fig2 - Ix’fig3 = 2,81 10 7 – 2 x 0,82 107 => Ix’ = 1,17 10 7 cm4 Resposta Iy’ = Iy’fig1 – Iy’fig2 - Iy’fig3 = 1,25 10 7 – 2 x 0,54 107 => Iy = 0,17 10 7 cm4 Resposta 4. Cálculo do momento polar de inércia em relação aos eixos centróides x,y JO = Ix’ + Iy’ = 1,17 10 7 + 0,17 107 => JO = 1,34 10 7 cm4 Resposta NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima inércia. Porque? 9. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia Ix, Iy, Ix’, Iy’ e os momentos polares em relação a O e a C para a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 1. Determinação da localização do centróide C. 33 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra ). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um quadrado em linha vermelha (60 cm x 60 cm); fig 2 (FURO) = fig 3 (FURO) - dois círculos em azul (raio=7,5 cm) como mostrado na figura abaixo: 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par de eixos x,y adotados. Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos determinar y e x . 4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 34 x1 = 30 cm; x2 = 15 cm; x3 = 60 – 15 = 45 cm y1 = 30 cm; y2 = 15 cm; y3 = 60 - 15 = 45 cm 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. Figura 1 – área = A1 = 60 x 60 = 3600 cm² Figura 2 – área = A2 = ∏ r2² = ∏ x 7,5² = 176,7 cm² Figura 3 – área = A3 = ∏ x r3² = ∏ x 7,5² = 176,7 cm² Figura total = fig 1 - fig 2 - fig 3 => AT = 3600 – 176,7 – 176,7 = 3246,6 cm² 6º passo: finalmente calcular x e y x AT = x1A1 - x2A2 - x3 A3 => x = (x1A1 - x2A2 - x3 A3 )/AT = (30 x 3600 - 15 x 176,7 - 45 x 176,7 )/3246,6 x = 30 cm Resposta y AT = y1A1 - y2A2 - y3 A3 => y = (y1A1 - y2A2 - y3 A3 )/AT = (30 x 3600 - 15 x 176,7 - 45 x 176,7)/3246,6 => y = 30 cm Resposta 2. Determinação dos momentos de inércia Ix e Iy em relação ao par de eixos x,y. 35 1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. Para a figura 1: Ix’1 = bh³/12 = (60 x 60³)/12 = 1,08 10 6 cm4 Iy’1 = hb³/12 = (60 x 60³)/12 = 1,08 10 6 cm4 Para a figura 2 = figura 3 (FUROS): Ix’FIG = ∏ d 4/64 = ∏ x 154/64 = 2485 cm4 Iy’FIG = ∏ d 4/64 = ∏ x 154/64 = 2485 cm4 2º passo – Aplicando o teorema dos eixos paralelos para as figuras separadamente, encontramos os valores de Ix e Iy em relação ao par de eixos x,y para cada figura. Para figura 1: Ix1 = Ix’1 + A1 y1 2 = 1,08 106 + 3600 x 30² = 4,32 106 cm4 Iy1 = Iy’1 + A1 x1 2 = 1,08 106 + 3600 x 30² = 4,32 106 cm4 Para figura 2 (FURO): Ix2 = Ix’2 + A2 y2 2 = 2485 + 176,7 x 15² = 42242,5 cm4 Iy2 = Iy’2 + A2 x2 2 = 2485 + 176,7 x 15² = 42242,5 cm4 Para figura 3 (FURO): Ix3 = Ix’3 + A3 y3 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 360302,5 cm4 Iy3 = Iy’3 + A3 x3 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 360302,5 cm4 3º passo – Finalmente para calcularmos os momentos de inércia da figura toda em relação ao par de eixos x,y é só somarmos as parcelas relativas às figuras separadamente como segue: Ix = Ix1 – Ix2 – Ix3 = 4320000 – 42242,5 – 360302,5 => Ix = 3,92 10 6 cm4 Resposta Iy = Iy1 – Iy2 – Iy3 = 4320000 – 42242,5 – 360302,5 => Iy = 3,92 10 6 cm4 Resposta 3. Determinação dos momentos polares em relação ao ponto O JO = Ix + Iy = 2 x 3,92 10 6 => JO = 7,84 10 6 cm4 Resposta 36 4. Determinação dos momentos de inércia em relação ao par de eixos centroidais x’,y’ como mostra a figura abaixo: 1º passo – Como já sabemos os valores dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus eixos centroidais (Ix’1, Iy’1, Ix’2, Iy’2, Ix’3 e Iy’3) separadamente, agora é só aplicarmos o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para obtermos os valores de Ix’ e Iy’ de cada figura. Para figura 1: Ix’fig1 = Ix’1 + A1 y1 2 = 1,08 106 + 3600 x 0 = 1,08 106 cm4 Iy’fig1 = Iy’1 + A1 x1 2 = 1,08 106 + 3600 x 0 = 1,08 106 cm4 Para figura 2 (FURO): Ix’fig2 = Ix’2 + A2 y2 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 Iy’fig2 = Iy’1 + A2 x2 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 Para figura 3 (FURO): Ix’fig3 = Ix’3 + A3 y3 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 Iy’fig3 = Iy’3 + A3 x3 2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 1º passo – Finalmente para o cálculo dos momentos de inércia da figura toda em relação ao par de eixos centroidais x’,y’ basta somarmos as parcelas relativas às figuras separadamente como segue. Ix’ = Ix’fig1 - Ix’fig2 - Ix’fig3 = 1,08 10 6 – 2 x 0,36 106 => Ix’ = 0,36 10 6 cm4 Resposta Iy’ = Iy’fig1 – Iy’fig2 – Iy’fig3 = 1,08 10 6 – 2 x 0,36 106 => Iy’ = 0,36 10 6 cm4 Resposta 37 5. Determinação dos momentos polares em relação ao ponto C JC = Ix’ + Iy’ = 0,36 10 6 + 0,36 106 => JC = 0,72 10 6 cm4 Resposta 10. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia Ix, Iy, Ix’, Iy’ e os momentos polares em relação a O e a C para a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 1. Determinação da localização do centróide C. 1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente posicionado (o desenho já mostra ). 2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um retângulo em linha vermelha (8 cm x 6 cm); fig 2 – um semi-círculo, em linha azul, de raio=3 cm; fig 3 – um semi-círculo, em linha azul, com raio também igual a 3 cm como mostrado na figura abaixo: 38 Por análise visual, verificamos que C (x,y), devido a simetria da figura, coincide com o centróide da figura 1. Portanto x = 4 cm e y = 3 cm 2. Determinação dos momentos de inércia em relação ao par de eixos x,y. 1º passo – Determinamos os momentos de inércia de cada figura em relação aos seus próprios eixos centroidais (IxC1, IyC1, IxC2, IyC2, IxC3, IyC3). Para figura 1: IxC1 = bh³/12 = 8 x 6³ / 12 = 144 cm 4 IyC1 = hb³/12 = 6 x 8³ /12 = 256 cm 4 Para figura 2: IxC2 = ∏ r 4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 IyC2 = ∏ r 4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 Para figura 3: IxC3 = ∏ r 4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 IyC3 = ∏ r 4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 2º passo – Aplicamos a teoria dos eixos paralelos (Steiner) para cada figura com o objetivo de conhecermos o valor de cada parcela com que cada figura contribui. Para figura 1: Ix1 = IxC1 + A1 y1 2 = 144 + (8 x 6) x 3² = 576 cm4 Iy1 = IyC1 + A1 x1 2 = 256 + 48 x 4² = 1024 cm4 Para figura 2: Ix2 = IxC2 + A2 y2 2 = 31,8 +(∏ r²/2) x 3² = 286,3 cm4 Iy2 = IyC2 + A2 x2 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4/3 x r/∏)² = 49,8 cm4 39 Para figura 3: Ix3 = IxC3 + A3 y3 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 3² = 286,3 cm4 Iy3 = IyC3 + A3 x3 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (8 + 4/3 x r/∏)² = 1247,5 cm4 3º passo – Finalmente somamos as parcelas relativas às figuras separadamente, 1, 2 e 3, e obtemos os valores de Ix e Iy. Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 = 576 + 286,3 + 286,3 => Ix = 1148,6 cm 4 Resposta Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3 = 1024 + 49,8 + 1247,5 => Iy = 2321,3 cm 4 Resposta 3. Determinação dos momentos de inércia Ix’ e Iy’, em relação ao par de eixos centroidais da figura toda x’,y’. 1º passo – Como já calculamos os valore dos momentos de inércia de cada figura em relação ao seu par de eixos centroidais, agora é só aplicar o teorema dos eixos paralelos em relação aos eixos x’ e y’ para cada figura e depois somar as contribuições de cada uma delas. Para figura 1: Ix’1 = IxC1 + A1 y1 2 = 144 + (8 x 6) x 0² = 144 cm4 Iy’1 = IyC1 + A1 x1 2 = 256 + 48 x 0² = 256 cm4 Para figura 2: Ix’2 = IxC2 + A2 y2 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 0² = 31,8 cm4 40 Iy’2 = IyC2 + A2 x2 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4 + 4/3 x r/∏)² = 425 cm4 Para figura 3: Ix’3 = IxC3 + A3 y3 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 0² = 31,8 cm4 Iy’3 = IyC3 + A3 x3 2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4 + 4/3 x r/∏)² = 425 cm4 1º passo – Somamos as parcelas de contribuição de cada figura e teremos os valores dos momentos de inércia Ix’ e Iy’, em relação ao par de eixos centroidais x’,y’. Ix’ = Ix’1 + Ix’2 + Ix’3 = 144 + 31,8 + 31,8 => Ix’ = 207,6 cm 4 Resposta Iy’ = Iy’1 + Iy’2 + Iy’3 = 256 + 425 + 425 => Iy’ = 1106 cm 4 Resposta 4. Determinação do momento polar de inércia em relação ao ponto O. JO = Ix + Iy = 1148,6 + 2321,3 => JO = 3470 cm 4 Resposta 5. Determinação do momento polar de inércia em relação ao ponto C. JC = Ix’ + Iy’ = 207,6 + 1106 => JC = 1313,6 cm 4 Resposta
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