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1 
 
CARLOS WALTER VICENTINI 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – MOMENTO DE 
INÉRCIA OU DE SEGUNDA ORDEM 
NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA 
CIVIL (4º/5º CICLO) DA UNIP 
 
Santos, abril de 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1. Determine a localização do centróide C (x,y), os momentos de 
inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a seção transversal da viga 
abaixo. Medidas em mm. 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos A e B como 
mostrado na figura abaixo: 
 
3 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
No nosso caso o eixo y é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição desse eixo, logo, devemos 
determinar somente y pois x é zero. 
4º passo: Determinar, para cada figura, A e B, os valores de seus 
xA, xB, yA e yB . 
 
No nosso caso: 
xA = 0; xB = 0; yA = 275 mm; yB = 125 mm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A e B, e a área total da figura. 
Figura A – área = AA = 300 x 50 = 15000 mm² 
Figura B – área = AB = 250 x 50 = 12500 mm² 
Figura total = fig A + fig B => AT = 27500 mm² 
6º passo: finalmente calcular y que é dado por y AT = yA AA + yB AB 
Portanto y = (yA AA + yB AB) / AT => y = (275 x 15000 + 125 x 
12500) / 27500 
y ≈ 207 mm Resposta 
x ≈ 0 Resposta 
 
4 
 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras A e B em 
relação aos seus pares de eixos centróides x’A, y’A e x’B, y’B. 
 
 
Para a figura A: 
Ix’A = bh³/12 = (300 x 50³)/12 = 31,25 10
5 mm4 
Iy’A = hb³/12 = (50 x 300³)/12 = 11,25 10
7 mm4 
Para a figura B: 
Ix’B = bh³/12 = (50 x 250³)/12 = 6,51 10
7 mm4 
Iy’B = hb³/12 = (250 x 50³)/12 = 26,04 10
5 mm4 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos a figura 
A e figura B 
 
 
 
5 
 
Devido a figura A: 
Ix’ = Ix’A + AA x a² = 31,25 10
5 + 15000 x (275 – 207)² = 7,3 107 
mm4 
Iy’ = Iy’A + AA x 0 = Iy’A = 11,25 10
7 mm4 
Devido a figura B: 
Ix’ = Ix’B + AB x b² = 6,51 10
7 + 12500 x (207 – 125)² = 14,91 107 
mm4 
Iy’ = Iy’B + AB x 0 = Iy’B = 26,04 10
5 mm4 
 
3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras A e B: 
Ix’ = Ix’ devido a fig. A + Ix’ devido a fig. B = 7,3 10
7 + 14,91 107 => 
Ix’ = 2,2 10
8 mm4 Resposta 
Iy’ = Iy’ devido a fig. A + Iy’ devido a fig. B = 11,25 10
7 + 26,04 105 
=> Iy’ = 1,1 10
8 mm4 Resposta 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 2,2 10
8 + 1,1 108 => 
JO = 3,3 10
8 mm4 Resposta 
NOTA: Não determinaremos o produto de inércia nem a posição dos 
eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima 
inércia. Porque? 
 
2. Determine a localização do centróide C (x,y), os momentos de 
inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para a seção transversal da viga 
abaixo. Medidas em cm. 
 
 
6 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos 1 e 2 como 
mostrado na figura abaixo: 
 
 3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao 
par de eixos x,y adotados. 
Neste caso não há eixo de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição fora do par de eixos x,y, logo, 
devemos determinar x e y. 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1 e 2, os valores de seus 
x1, x2, y1 e y2 como indicado na figura seguinte. 
7 
 
 
Para a figura do nosso caso: 
x1 = 0,5 cm; x2 = 2,5 cm; y1 = 1,5 cm; y2 = 0,5 cm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1 e 2, e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 1 x 3 = 3 cm² 
Figura 2 – área = A2 = 3 x 1 = 3 cm² 
Figura total = fig 1 + fig 2 => AT = 6 cm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x AT = x1A1 + x2A2 => x = (x1A1 + x2A2)/AT = (0,5x3 + 2,5x3)/6 
 x = 1,5 cm Resposta 
y AT = y1A1 + y2A2 => y = (y1A1 + y2A2)/AT = (1,5x3 + 0,5x3)/6 
=> y = 1 cm Resposta 
 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1 e 2 em 
relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1 e x’2, y’2. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm
4 
Iy’1 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm
4 
Para a figura 2: 
Ix’2 = bh³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm
4 
8 
 
Iy’2 = hb³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm
4 
 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos a figura 
1 e figura 2 θP2 
 θP1 
Devido a figura 1: 
Ix’ = Ix’1 + A1 x b² = 2,25 + 3 x (1,5 – 1)² = 3 cm
4 
Iy’ = Iy’1 + A1 x a² = 0,25 + 3 x (1,5 – 0,5)² = 3,25 cm
4 
Devido a figura 2: 
Ix’ = Ix’2 + A2 x e² = 0,25 + 3 x (1 – 0,5)² = 1 cm
4 
Iy’ = Iy’2 + A2 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 - 1,5)² = 5,25 cm
4 
 
3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras 1 e 2: 
Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 = 3 + 1 => 
Ix’ = 4 cm
4 Resposta 
 
9 
 
Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 = 3,25 + 5,25 => 
Iy’ = 8,5 cm
4 Resposta 
 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 4 + 8,5 => 
JO = 12,5 cm
4 Resposta 
 
O exercício termina aqui mas, para exercitarmos os cálculos de 
produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como se 
o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
 
Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos 
paralelos para cada figura, 1 e 2, para sabermos com que parcela 
cada figura contribui. 
Devido a figura 1: 
Ix’y’ = Ix’y’fig1 + a x b x A1 
Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: 
Ix’y’ = 0 + (-1) x 0,5 x 3 = -1,5 cm
4 
Devido a figura 2: 
Ix’y’ = Ix’y’fig2 + d x e x A2 com Ix’y’fig2 = 0 pois seus eixos centróides 
são de simetria. Então teremos: 
Ix’y’ = 0 + 1 x (-0,5) x 3 = -1,5 cm
4 
Logo para a figura toda teremos: 
Ix’y’ = (-1,5) + (-1,5) = -3 cm
4 Resposta 
 
Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: 
tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 4 cm
4 ; Iy’ = 8,5 cm
4 e 
Ix’y’ = -3 cm
4 
logo, tg2θP = -(-3)/[(4 – 8,5)/2] = -1,33 
então 2θP = -53,13° e, portanto, θP1 = -26,56° 
e θP2 = -26,56° + 90° => θP2 = 63,44° 
Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² 
Imáx/mín = (4 + 8,5)/2 ± √[(4 – 8,5)/2]² + (-3)² 
Imáx/mín = 6,25 ± 3,75 
Imáx = 10 cm
4 Resposta 
e Imín= 2,5 cm
4 Resposta 
 
 
10 
 
3. Determine a localização y do centróide C, os momentos de inércia 
Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da 
viga. A viga é simétrica em relação ao eixo y’. Medidas em cm. 
 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em cinco retângulos 1 (maior: 12 cm x 
4 cm), 2 e 3 que são iguais (1 cm x 3 cm), 4 e 5 que são iguais 
também (1 cm x 1 cm) como mostrado na figura abaixo: 
 
 
11 
 
Devemos notar que os retângulos azuis, 2, 3, 4 e 5 são “furos”. 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
Neste caso o eixo y≈y’ é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição pertencente ao eixo y, logo, 
devemos determinar y já que x = 0. 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2, 3, 4 e 5, os valores de 
x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 
 
x1 = 0; x2 = -5,5; x3 = 5,5; x4 = -2,5; x5 = 2,5 
y1 = 2; y2 = 2,5; y3 = 2,5; y4 = 0,5; y5 = 0,5 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1, 2, 3, 4 e 5 e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 12 x 4 = 48 cm² 
Figura 2 – área = A2 = 1 x 3 = 3 cm² (furo) 
Figura 3 – área = A3 = 1 x 3 = 3 cm² (furo) 
Figura 4 – área = A4 = 1 x 1 = 1 cm² (furo) 
Figura 5 – área = A5 = 1 x 1 = 1 cm² (furo) 
Figura total = fig 1 - fig 2 - fig 3 - fig 4 - fig 5 => AT = 48 - 3 – 3 – 
1 – 1 = 40 cm² 
 
12 
 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x = 0 Resposta 
 
 y AT = y1A1 - y2A2 - y3 A3 – y4 A4 – y5 A5 => y = (y1A1 - y2A2 - 
y3 A3 – y4 A4 – y5 A5)/AT = (2x48 - 2,5x3 – 2,5x3 + 0,5x1 – 
0,5x1 )/40 
=> y = 2 cm Resposta 
 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2, 3, 4 e 
5 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, 
y’3; x’4, y’4 e x’5, y’5. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (12 x 4³)/12 = 64 cm
4 
Iy’1 = hb³/12 = (4 x 12³)/12 = 576 cm
4 
Para a figura 2: 
Ix’2 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm
4 
Iy’2 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm
4 
Para a figura 3: 
Ix’3 = bh³/12 = (1 x 3³)/12 = 2,25 cm
4 
Iy’3 = hb³/12 = (3 x 1³)/12 = 0,25 cm
4 
Para a figura 4: 
Ix’4 = bh³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm
4 
Iy’4 = hb³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm
4 
Para a figura 5: 
Ix’5 = bh³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm
4 
Iy’5 = hb³/12 = (1 x 1³)/12 = 0,08 cm
4 
 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às 
figuras 1, 2, 3, 4 e 5. 
13 
 
 
Devido a figura 1: 
Ix’ = Ix’1 + A1 x 0 = 64 cm
4 
Iy’ = Iy’1 + A1 x 0 = 576 cm
4 
Devido a figura 2 (FURO): 
Ix’ = Ix’2 + A2 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 – 2)² = 3 cm
4 
Iy’ = Iy’2 + A2 x a² = 0,25 + 3 x (-5,5)² = 91 cm
4 
Devido a figura 3 (FURO): 
Ix’ = Ix’3 + A3 x d² = 2,25 + 3 x (2,5 – 2) = 3 cm
4 
Iy’ = Iy’3 + A3 x a² = 0,25 + 3 x (5,5)² = 91 cm
4 
Devido a figura 4 (FURO): 
Ix’ = Ix’4 + A4 x e² = 0,08 + 1 x (2 – 0,5)² = 2,33 cm
4 
Iy’ = Iy’4 + A4 x b² = 0,08 + 1 x (-2,5)² = 6,33 cm
4 
Devido a figura 5 (FURO): 
Ix’ = Ix’5 + A5 x e² = 0,08 + 1 x (2 – 0,5)² = 2,33 cm
4 
Iy’ = Iy’5 + A5 x b² = 0,08 + 1 x (2,5)² = 6,33 cm
4 
 
3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras 1, 2, 3, 4 e 5 (NÃO ESQUECENDO QUE FUROS 
SÃO SUBTRAIDOS): 
Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 - Ix’ devido a fig. 2 - Ix’ devido a fig. 3 - Ix’ 
devido a fig. 4 - Ix’ devido a fig. 5 = 64 - 3 - 3 - 2,33 - 2,33 => 
Ix’ = 53,34 cm
4 Resposta 
Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 - Iy’ devido a fig. 2 - Iy’ devido a fig. 3 - Iy’ 
devido a fig. 4 - Iy’ devido a fig. 5 = 576 - 91 - 91 – 6,33 – 6,33 => 
Iy’ = 381,34 cm
4 Resposta 
 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 53,34 + 381,34 => 
JO = 434,68 cm
4 Resposta 
14 
 
NOTA: O exercício termina aqui mas, para exercitarmos os cálculos 
de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como 
se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
Mas não precisamos determinar o produto de inércia nem a posição 
dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e mínima 
inércia. Porque? 
 
 
4. Determine a localização y do centróide C, os momentos de inércia 
Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da 
viga. Medidas em mm. 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (com y coincidindo com o eixo y’, o desenho já mostra ). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em três retângulos 1 (maior: 300 mm 
x 25 mm), 2 e 3 que são iguais (100 mm x 25 mm) como mostrado 
na figura abaixo: 
15 
 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
Neste caso o eixo y≈y’ é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição pertencente ao eixo y, logo, 
devemos determinar y já que x = 0. 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de 
x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 
 
x1 = 0; x2 = -87,5; x3 = 87,5 
y1 = 12,5; y2 = 75; y3 = 75; 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 300 x 25 = 7500 mm² 
Figura 2 – área = A2 = 25 x 100 = 2500 mm² 
Figura 3 – área = A3 = 25 x 100 = 2500 mm² 
16 
 
Figura total = fig 1 + fig 2 + fig 3 => AT = 7500 + 2500 x 2 = 
12500 mm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x = 0 Resposta 
 
 y AT = y1A1 + y2A2 + y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 + y3 A3 )/AT = 
(12,5 x 7500 + 75 x 2500 + 75 x 2500 )/12500 
=> y ≈ 37,5 mm Resposta 
 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em 
relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (300 x 25³)/12 = 3,9 10
5 mm4 
Iy’1 = hb³/12 = (25 x 300³)/12 = 5,63 10
7 mm4 
Para a figura 2: 
Ix’2 = bh³/12 = (25 x 100³)/12 = 2,1 10
6 mm4 
Iy’2 = hb³/12 = (100 x 25³)/12 = 1,3 10
5 mm4 
Para a figura 3: 
Ix’3 = bh³/12 = (25 x 100³)/12 = 2,1 10
6 mm4 
Iy’3 = hb³/12 = (100 x 25³)/12 = 1,3 10
5 mm4 
 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às 
figuras 1, 2 e 3. 
 
17 
 
Devido a figura 1: 
Ix’ = Ix’1 + A1 x a² = 3,9 10
5 + 7500 x (37,5 – 12,5)² = 5,077 106 
mm4 
Iy’ = Iy’1 + A1 x 0 = 5,63 10
7 mm4 
Devido a figura 2: 
Ix’ = Ix’2 + A2 x b² = 2,1 10
6 + 2500 x (75 – 37,5)² = 5,616 106 mm4 
Iy’ = Iy’2 + A2 x d² = 1,3 10
5 + 2500 x (-87,5)² = 1,93 107 mm4 
Devido a figura 3: 
Ix’ = Ix’3 + A3 x b² = 2,1 10
6 + 2500 x (75 – 37,5)² = 5,616 106 mm4 
Iy’ = Iy’3 + A3 x d² = 1,3 10
5 + 2500 x (87,5)² = 1,93 107 mm43º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras 1, 2 e 3: 
Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 + Ix’ devido a fig. 3 = 
5,077 106 + 5,616 106 + 5,616 106 => 
Ix’ = 16,309 10
6 mm4 Resposta 
Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 + Iy’ devido a fig. 3 = 5,63 
107 + 1,93 107 + 1,93 107 => 
 Iy’ = 9,49 10
7 mm4 Resposta 
 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 13,44 10
6 + 9,49 107 => 
JO ≈ 11,12 10
7 mm4 Resposta 
 
NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos 
de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como 
se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a 
posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e 
mínima inércia. Porque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5. Determine os momentos de inércia Ix, Iy e o momento polar da 
seção Z. A origem das coordenadas está no centróide C. Medidas 
em mm. 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (com y coincidindo com o eixo y’, o desenho já mostra ). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em três retângulos 1 (maior: 640 mm 
x 20 mm), 2 e 3 que são iguais (200 mm x 20 mm) como mostrado 
na figura abaixo: 
 
19 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos 
determinar y e x . 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de 
x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 
 
x1 = -310; x2 = 0; x3 = 310 
y1 = 110; y2 = 0; y3 = -110; 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 20 x 200 = 4000 mm² 
Figura 2 – área = A2 = 640 x 20 = 12800 mm² 
Figura 3 – área = A3 = 20 x 200 = 4000 mm² 
Figura total = fig 1 + fig 2 + fig 3 => AT = 4000 x 2 + 12800 = 
20800 mm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x AT = x1A1 + x2A2 + x3 A3 => x = (x1A1 + x2A2 + x3 A3 )/AT = 
(-310 x 4000 + 0 x 12800 + 310 x 4000 )/20800 
x = 0 Resposta 
 
20 
 
 y AT = y1A1 + y2A2 + y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 + y3 A3 )/AT = 
(110 x 4000 + 0 x 12800 + (-110) x 4000 )/20800 
=> y = 0 mm Resposta 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em 
relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (20 x 200³)/12 = 1,33 10
7 mm4 
Iy’1 = hb³/12 = (200 x 20³)/12 = 1,33 10
5 mm4 
Para a figura 2: 
Ix’2 = bh³/12 = (640 x 20³)/12 = 4,27 10
5 mm4 
Iy’2 = hb³/12 = (20 x 640³)/12 = 4,37 10
8 mm4 
Para a figura 3: 
Ix’3 = bh³/12 = (20 x 200³)/12 = 1,33 10
7 mm4 
Iy’3 = hb³/12 = (200 x 20³)/12 = 1,33 10
5 mm4 
 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às 
figuras 1, 2 e 3. 
 
Devido a figura 1: 
Ix’ = Ix’1 + A1 x b² = 1,33 10
7 + 4000 x (110)² = 6,17 107 mm4 
Iy’ = Iy’1 + A1 x a² = 1,33 10
5 + 4000 x (-310)² = 3,85 108 mm4 
Devido a figura 2: 
Ix’ = Ix’2 + A2 x 0 = 4,27 10
5 mm4 
Iy’ = Iy’2 + A2 x 0 = 4,37 10
8 mm4 
21 
 
Devido a figura 3: 
Ix’ = Ix’3 + A3 x b² = 1,33 10
7 + 4000 x (-110)² = 6,17 107 mm4 
Iy’ = Iy’3 + A3 x a² = 1,33 10
5 + 4000 x (310)² = 3,85 108 mm4 
 
3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras 1, 2 e 3: 
Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 + Ix’ devido a fig. 3 = 6,17 
107 + 4,27 105 + 6,17 107 => 
Ix’ = 1,24 10
8 mm4 Resposta 
Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 + Iy’ devido a fig. 3 = 3,85 
108 + 4,37 108 + 3,85 108 => 
 Iy’ = 12,07 10
8 mm4 Resposta 
 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 1,24 10
8 + 12,07 108 => 
JO ≈ 13,31 10
8 mm4 Resposta 
 
NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos 
de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como 
se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
 
Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos 
paralelos para cada figura, 1, 2 e 3, para sabermos com que parcela 
cada figura contribui. 
Devido a figura 1: 
Ix’y’ = Ix’y’fig1 + a x b x A1 
Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: 
Ix’y’ = 0 + (-310) x 110 x 4000 = -1,36 10
8 mm4 
Devido a figura 2: 
Ix’y’ = Ix’y’fig2 + x y A2 com Ix’y’fig2 = 0 pois seus eixos centróides são 
de simetria. Então teremos: 
Ix’y’ = 0 + 0 x 0 x 3 = 0 mm
4 pois x = y = 0 
Devido a figura 3: 
Ix’y’ = Ix’y’fig3 + a x b x A3 com Ix’y’fig3 = 0 pois seus eixos centróides 
são de simetria. Então teremos: 
Ix’y’ = 0 + 310 x (-110) x 4000 = -1,36 10
8 mm4 
 
Logo para a figura toda teremos: 
Ix’y’ = 2 x -1,36 10
8 + 0 = -2,72 108 mm4 Resposta 
 
Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: 
22 
 
tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 1,24 10
8 mm4; Iy’ = 12,07 
108 mm4 e Ix’y’ = -2,72 10
8 mm4 
logo, tg2θP = -(-2,72 10
8)/[(1,24 108 – 12,07 108)/2] = -0,5023 
então 2θP = -26,67° e, portanto, θP1 = -13,3° 
e θP2 = -13,3° + 90° => θP2 = 76,7° 
Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² 
Imáx/mín = (1,24 10
8 + 12,07 108)/2 ± √[(1,24 108 – 12,07 108)/2]² + 
(-2,72 108 )² 
Imáx/mín = 6,65 10
8 ± 4,92 108 
 Imáx = 11,57 10
8 mm4 Resposta 
e Imín = 1,73 10
8 mm4 Resposta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
6. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia 
Ix’, Iy’ e o momento polar para a área da seção transversal da 
viga. Medidas em cm. 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra ). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um retângulo (90 cm x 60 
cm); fig 2 - um triângulo (b=30 cm, h=60 cm) e fig 3 (FURO) - um 
semi círculo (de 20 cm de raio) como mostrado na figura abaixo: 
 
24 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos 
determinar y e x . 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de 
x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 
 
x1 = 45 cm; x2 = 100 cm; x3 = 60 cm 
y1 = 30 cm; y2 = 20 cm; y3 = 4r/3∏ = 8,5 cm 
 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 90 x 60 = 5400 cm² 
Figura 2 – área = A2 = 30 x 60 / 2 = 900 cm² 
Figura 3 – área = A3 = ∏ x 20² / 2 = 628,3 cm² 
Figura total = fig 1 + fig 2 - fig 3 => AT = 5400 + 900 - 628,3 = 
5671,7 cm² 
6º passo:finalmente calcular x e y 
x AT = x1A1 + x2A2 - x3 A3 => x = (x1A1 + x2A2 - x3 A3 )/AT = 
(45 x 5400 + 100 x 900 - 60 x 628,3 )/5671,7 
25 
 
x = 52 cm Resposta 
 y AT = y1A1 + y2A2 - y3 A3 => y = (y1A1 + y2A2 - y3 A3 )/AT = 
(30 x 5400 + 20 x 900 - 8,5 x 628,3)/5671,7 
=> y = 30,8 cm Resposta 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix’, Iy’. 
 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 3 em 
relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, y’2; x’3, y’3. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (90 x 60³)/12 = 1,62 10
6 cm4 
Iy’1 = hb³/12 = (60 x 90³)/12 = 3,65 10
6 cm4 
Para a figura 2: 
Ix’2 = bh³/36 = (30 x 60³)/36 = 1,8 10
5 cm4 
Iy’2 = hb³/36 = (60 x 30³)/36 = 0,45 10
5 cm4 
Para a figura 3 (FURO) que é um semi círculo temos uma 
particularidade: temos que calcular Ix’3 aplicando o teorema dos eixos 
paralelos como trata a figura abaixo. 
 
 
Ix = Iy = ∏ r
4 / 8 
Ix = Ix’ + A a² como a = 4 r / 3 ∏ = 4 x 20 / 3 ∏ = 8,5 cm 
Então Ix’ = Ix – A a² que no nosso caso é: 
Ix’3 = (∏ 20
4 / 8) – 628,3 x 8,5² = 0,17 105 cm4 
Iy’3 = ∏ r
4 / 8 = ∏ x 204 / 8 = 0,63 105 cm4 
 
2º passo – Aplicar o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
calcular as parcelas dos momentos de inércia Ix’ e Iy’ devidos às 
figuras 1, 2 e 3. 
 
26 
 
 
Devido a figura 1: 
Ix’ = Ix’1 + A1 x y1² = 1,62 10
6 + 5400 x (-30,8 – (-30))² = 
16,23 105 cm4 
Iy’ = Iy’1 + A1 x x1² = 3,65 10
6 + 5400 x (-52 – (-45))² = 39,12 105 
cm4 
Devido a figura 2: 
Ix’ = Ix’2 + A2 x y2² = 1,8 10
5 + 900 x (-30,8 – (-20))² = 2,85 105 
cm4 
Iy’ = Iy’2 + A2 x x2
2 = 0,45 105 + 900 x (100 – 52)² = 21,2 105 cm4 
Devido a figura 3 (FURO): 
Ix’ = Ix’3 + A3 x y3² = 0,17 10
5 + 628,3 x (-(30,8 – 8,5))² = 3,3 105 
cm4 
Iy’ = Iy’3 + A3 x x3² = 0,63 10
5 + 628,3 x (60 - 52)² = 0,57 105 cm4 
 
3º passo – Calcular, finalmente, Ix’ e Iy’ somando-se as parcelas 
relativas às figuras 1, 2 e 3: 
Ix’ = Ix’ devido a fig. 1 + Ix’ devido a fig. 2 - Ix’ devido a fig. 3 = 16,23 
105 + 2,85 105 – 3,3 105 => 
Ix’ = 15,78 10
5 cm4 Resposta 
Iy’ = Iy’ devido a fig. 1 + Iy’ devido a fig. 2 - Iy’ devido a fig. 3 = 39,12 
105 + 21,2 105 – 0,57 105 => 
 Iy’ = 59,75 10
5 cm4 Resposta 
 
 
27 
 
3. Determinação do momento polar em relação ao centróide C. 
JO = Ix’ + Iy’ = 15,78 10
5 + 59,75 105 => 
JO ≈ 75,53 10
5 cm4 Resposta 
 
NOTA: continuaremos como se o enunciado tivesse pedido os 
cálculos de produto de inércia e eixos centrais de inércia. 
 
Para cálculo do produto de inércia aplicaremos o teorema dos eixos 
paralelos para cada figura, 1, 2 e 3, para sabermos com que parcela 
cada figura contribui. 
Devido a figura 1: 
Ix’y’ = Ix’y’fig1 + x1 x y1 x A1 
Como Ix’y’fig1 = 0, pois seus eixos centróides são de simetria, temos: 
Ix’y’ = 0 + (-7) x (-0,8) x 5400 = 30240 cm
4 
Devido a figura 2: 
Ix’y’ = Ix’y’fig2 + x y A2 = -(b² h²)/72 + 48 x (-10,8) x 900 
Ix’y’ = -(30² x 60²) / 72 - 466560 = -511560 cm
4 
Devido a figura 3 (FURO): 
Ix’y’ = Ix’y’fig3 + x3 x y3 x A3 com Ix’y’fig3 = 0 pois um de seus eixos 
centróides são de simetria. Então teremos: 
Ix’y’ = 0 + 8 x (-22,3) x 628,3 = -112089 cm
4 
 
Logo para a figura toda teremos: 
Ix’y’ = 30240 – 511560 - 112089 = -5,93 10
5 cm4 
 Resposta 
 
Para cálculo dos eixos centrais de inércia teremos: 
tg2θP = -Ixy / [(Ix – Iy)/2] com Ix’ = 15,78 10
5 cm4; Iy’ = 59,75 
105 cm4 e Ix’y’ = -5,93 10
5 mm4 
logo, tg2θP = -(-5,93 10
5)/[(15,78 105 – 59,75 105)/2] = -0,26973 
então 2θP = -15,1° e, portanto, θP1 = -7,55° 
e θP2 = -7,55° + 90° => θP2 = 82,45° 
Imáx/mín = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix – Iy)/2]² + Ixy² 
Imáx/mín = (15,78 10
5 + 59,75 105)/2 ± √[(15,78 105 – 59,75 
105)/2]² + (-5,93 105 )² 
Imáx/mín = 37,77 10
5 ± 22,77 105 
 Imáx = 60,54 10
5 cm4 Resposta 
e Imín = 15 10
5 cm4 Resposta 
28 
 
 
 
7. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia 
Ix, Iy e o momento polar para a área da seção transversal da viga. 
Medidas em cm. 
 
 
1. Cálculo das coordenadas do centroide C(x,y) 
1º passo – A localização do centróide já está definida pela 
própria condição de simetria da figura, ou seja, C é o ponto que 
29 
 
representa o centroide. Portanto x e y são os eixos centroidais e 
coincidem com x’ e y’. 
2. Cálculo dos momentos de inércia Ix e Iy 
1º passo – Temos que dividir a figura em outras figuras básicas 
conhecidas para facilidade dos cálculos. Vamos dividi-la em dois 
retângulos como mostrado na figura abaixo. 
 
 
Um retângulo maior de 100 cm x 150 cm contornado na cor 
vermelha, figura 1, e outro menor de 80 cm x 130 cm contornado 
na cor verde, figura 2 (que é um FURO). 
2º passo – Aplicando as fórmulas de momento de inércia para 
cada figura temos: 
Para a figura 1 
Ix = bh³/12 = 100 150³ / 12 = 2,81 10
7 cm4 
Iy = hb³/12 = 150 100³ /12 = 1,25 10
7 cm4 
Para a figura 2 (FURO) 
Ix = bh³/12 = 80 130³ / 12 = 1,47 10
7 cm4 
Iy = hb³/12 = 130 80³ / 12 = 0,56 10
7 cm4 
3º passo – somando-se as influências das figuras 1 e 2 temos: 
Ix = Ixfig1 - Ixfig2 = 2,81 10
7 - 1,47 107 => 
Ix = 1,34 10
7 cm4 Resposta 
Iy = Iyfig1 – Iyfig2 = 1,25 10
7 - 0,56 107 => 
Iy = 0,69 10
7 Resposta 
3. Cálculo do momento polar de inércia em relação aos eixos 
centróides x,y 
JO = Ix + Iy = 1,34 10
7 + 0,69 107 => 
JO = 2,03 10
7 cm4 Resposta 
30 
 
NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos 
de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como 
se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a 
posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e 
mínima inércia. Porque? 
 
 
8. Determine os momentos de inércia Ix’, Iy’ e o momento polar para 
a área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 
 
 
1. Cálculo das coordenadas do centroide C(x,y) 
1º passo – A localização do centróide já está definida pela 
própria condição de simetria da figura, ou seja, C é o ponto que 
representa o centroide. Portanto x e y são os eixos centroidais e 
coincidem com x’ e y’. 
2. Cálculo dos momentos de inércia Ix e Iy 
1º passo – Temos que dividir a figura em outras figuras básicas 
conhecidas para facilidade dos cálculos. Vamos dividi-la em três 
retângulos como mostrado na figura abaixo. 
 
31 
 
 
Um retângulo maior de 100 cm x 150 cm contornado na cor 
vermelha, figura 1, e outros dois menores, iguais, de 45 cm x 130 
cm contornado na cor azul, figura 2 e figura 3 (que são FUROS). 
2º passo – Aplicando as fórmulas de momento de inércia em 
relação aos seus eixos centroides para cada figura temos: 
Para a figura 1 
Ix’fig1 = bh³/12 = 100 150³ / 12 = 2,81 10
7 cm4 
Iy’fig1 = hb³/12 = 150 100³ /12 = 1,25 10
7 cm4 
Para a figura 2 = figura 3 (FUROS) 
Ix’fig = bh³/12 = 45 130³ / 12 = 0,82 10
7 cm4 
Iy’fig = hb³/12 = 130 45³ / 12 = 0,10 10
7 cm4 
3º passo – aplicando-se o teorema dos eixos paralelos (Steiner) 
para as figuras 2 e 3 com o objetivo de descobrirmos quais os 
valores dos momentos de inércia dessas figuras em relação ao 
eixo centróide y’ da figura total temos: 
 
 
 
Para a figura 2 = figura 3 
Iy’ = Iy’fig2 + Afig2 x2
2 = 0,10 107 + 45 x 130 x (50 – 45/2)² = 
32 
 
= 0,10 107 + 0,44107 = 0,54 107 cm4 
4º passo – Agora que já temos todos os valores de momento de 
inércia em relação aos mesmos eixos y’ e x’, é só somarmos as 
parcelas relativas aos seus eixos como segue: 
Ix’ = Ix’fig1 - Ix’fig2 - Ix’fig3 = 2,81 10
7 – 2 x 0,82 107 => 
Ix’ = 1,17 10
7 cm4 Resposta 
Iy’ = Iy’fig1 – Iy’fig2 - Iy’fig3 = 1,25 10
7 – 2 x 0,54 107 => 
Iy = 0,17 10
7 cm4 Resposta 
4. Cálculo do momento polar de inércia em relação aos eixos 
centróides x,y 
JO = Ix’ + Iy’ = 1,17 10
7 + 0,17 107 => 
JO = 1,34 10
7 cm4 Resposta 
 
NOTA: O exercício termina aqui, mas para exercitarmos os cálculos 
de produto de inércia e eixos centrais de inércia, continuaremos como 
se o enunciado tivesse pedido esses cálculos. 
Contudo, não precisamos determinar o produto de inércia nem a 
posição dos eixos centrais de inércia e nem os valores de máxima e 
mínima inércia. Porque? 
 
 
9. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia 
Ix, Iy, Ix’, Iy’ e os momentos polares em relação a O e a C para a 
área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 
 
 
 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
33 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra ). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um quadrado em linha 
vermelha (60 cm x 60 cm); fig 2 (FURO) = fig 3 (FURO) - dois 
círculos em azul (raio=7,5 cm) como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
Neste caso não temos eixos de simetria. Isso significa que devemos 
determinar y e x . 
 
 
4º passo: Determinar, para cada figura, 1, 2 e 3, os valores de 
x, y de seus centróides como mostrados na figura seguinte. 
34 
 
 
x1 = 30 cm; x2 = 15 cm; x3 = 60 – 15 = 45 cm 
y1 = 30 cm; y2 = 15 cm; y3 = 60 - 15 = 45 cm 
 5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso 1, 2 e 3 e a área total da figura. 
Figura 1 – área = A1 = 60 x 60 = 3600 cm² 
Figura 2 – área = A2 = ∏ r2² = ∏ x 7,5² = 176,7 cm² 
Figura 3 – área = A3 = ∏ x r3² = ∏ x 7,5² = 176,7 cm² 
Figura total = fig 1 - fig 2 - fig 3 => AT = 3600 – 176,7 – 176,7 = 
3246,6 cm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x AT = x1A1 - x2A2 - x3 A3 => x = (x1A1 - x2A2 - x3 A3 )/AT = (30 
x 3600 - 15 x 176,7 - 45 x 176,7 )/3246,6 
x = 30 cm Resposta 
 y AT = y1A1 - y2A2 - y3 A3 => y = (y1A1 - y2A2 - y3 A3 )/AT = (30 
x 3600 - 15 x 176,7 - 45 x 176,7)/3246,6 
=> y = 30 cm Resposta 
 
2. Determinação dos momentos de inércia Ix e Iy em relação ao 
par de eixos x,y. 
35 
 
1º passo – Cálculo dos momentos de inércia das figuras 1, 2 e 
3 em relação aos seus pares de eixos centróides x’1, y’1; x’2, 
y’2; x’3, y’3. 
Para a figura 1: 
Ix’1 = bh³/12 = (60 x 60³)/12 = 1,08 10
6 cm4 
Iy’1 = hb³/12 = (60 x 60³)/12 = 1,08 10
6 cm4 
Para a figura 2 = figura 3 (FUROS): 
Ix’FIG = ∏ d
4/64 = ∏ x 154/64 = 2485 cm4 
Iy’FIG = ∏ d
4/64 = ∏ x 154/64 = 2485 cm4 
2º passo – Aplicando o teorema dos eixos paralelos para as 
figuras separadamente, encontramos os valores de Ix e Iy em 
relação ao par de eixos x,y para cada figura. 
Para figura 1: 
Ix1 = Ix’1 + A1 y1
2 = 1,08 106 + 3600 x 30² = 4,32 106 cm4 
Iy1 = Iy’1 + A1 x1
2 = 1,08 106 + 3600 x 30² = 4,32 106 cm4 
Para figura 2 (FURO): 
Ix2 = Ix’2 + A2 y2
2 = 2485 + 176,7 x 15² = 42242,5 cm4 
Iy2 = Iy’2 + A2 x2
2 = 2485 + 176,7 x 15² = 42242,5 cm4 
Para figura 3 (FURO): 
Ix3 = Ix’3 + A3 y3
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 360302,5 cm4 
Iy3 = Iy’3 + A3 x3
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 360302,5 cm4 
3º passo – Finalmente para calcularmos os momentos de 
inércia da figura toda em relação ao par de eixos x,y é só 
somarmos as parcelas relativas às figuras separadamente como 
segue: 
Ix = Ix1 – Ix2 – Ix3 = 4320000 – 42242,5 – 360302,5 => 
Ix = 3,92 10
6 cm4 Resposta 
Iy = Iy1 – Iy2 – Iy3 = 4320000 – 42242,5 – 360302,5 => 
Iy = 3,92 10
6 cm4 Resposta 
 
3. Determinação dos momentos polares em relação ao ponto O 
 
JO = Ix + Iy = 2 x 3,92 10
6 => 
 
JO = 7,84 10
6 cm4 Resposta 
 
 
 
 
 
36 
 
4. Determinação dos momentos de inércia em relação ao par de 
eixos centroidais x’,y’ como mostra a figura abaixo: 
 
1º passo – Como já sabemos os valores dos momentos de 
inércia das figuras 1, 2 e 3 em relação aos seus eixos 
centroidais (Ix’1, Iy’1, Ix’2, Iy’2, Ix’3 e Iy’3) separadamente, agora é 
só aplicarmos o teorema dos eixos paralelos (Steiner) para 
obtermos os valores de Ix’ e Iy’ de cada figura. 
Para figura 1: 
Ix’fig1 = Ix’1 + A1 y1
2 = 1,08 106 + 3600 x 0 = 1,08 106 cm4 
Iy’fig1 = Iy’1 + A1 x1
2 = 1,08 106 + 3600 x 0 = 1,08 106 cm4 
Para figura 2 (FURO): 
Ix’fig2 = Ix’2 + A2 y2
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 
Iy’fig2 = Iy’1 + A2 x2
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 
Para figura 3 (FURO): 
Ix’fig3 = Ix’3 + A3 y3
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 
Iy’fig3 = Iy’3 + A3 x3
2 = 2485 + 176,7 x 45² = 0,36 106 cm4 
 
1º passo – Finalmente para o cálculo dos momentos de inércia 
da figura toda em relação ao par de eixos centroidais x’,y’ basta 
somarmos as parcelas relativas às figuras separadamente como 
segue. 
Ix’ = Ix’fig1 - Ix’fig2 - Ix’fig3 = 1,08 10
6 – 2 x 0,36 106 => 
Ix’ = 0,36 10
6 cm4 Resposta 
Iy’ = Iy’fig1 – Iy’fig2 – Iy’fig3 = 1,08 10
6 – 2 x 0,36 106 => 
Iy’ = 0,36 10
6 cm4 Resposta 
37 
 
5. Determinação dos momentos polares em relação ao ponto C 
JC = Ix’ + Iy’ = 0,36 10
6 + 0,36 106 => 
JC = 0,72 10
6 cm4 Resposta 
 
 
10. Determine a localização do centróide C, os momentos de inércia 
Ix, Iy, Ix’, Iy’ e os momentos polares em relação a O e a C para a 
área da seção transversal da viga. Medidas em cm. 
 
 
1. Determinação da localização do centróide C. 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra ). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em: fig 1 - um retângulo em linha 
vermelha (8 cm x 6 cm); fig 2 – um semi-círculo, em linha azul, de 
raio=3 cm; fig 3 – um semi-círculo, em linha azul, com raio também 
igual a 3 cm como mostrado na figura abaixo: 
38 
 
 
Por análise visual, verificamos que C (x,y), devido a simetria da 
figura, coincide com o centróide da figura 1. Portanto x = 4 cm e y = 
3 cm 
2. Determinação dos momentos de inércia em relação ao par de 
eixos x,y. 
1º passo – Determinamos os momentos de inércia de cada figura 
em relação aos seus próprios eixos centroidais (IxC1, IyC1, IxC2, IyC2, 
IxC3, IyC3). 
Para figura 1: 
IxC1 = bh³/12 = 8 x 6³ / 12 = 144 cm
4 
IyC1 = hb³/12 = 6 x 8³ /12 = 256 cm
4 
Para figura 2: 
IxC2 = ∏ r
4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 
IyC2 = ∏ r
4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 
Para figura 3: 
IxC3 = ∏ r
4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 
IyC3 = ∏ r
4/8 = ∏ x 34 / 8 = 31,8 cm4 
2º passo – Aplicamos a teoria dos eixos paralelos (Steiner) para 
cada figura com o objetivo de conhecermos o valor de cada 
parcela com que cada figura contribui. 
Para figura 1: 
Ix1 = IxC1 + A1 y1
2 = 144 + (8 x 6) x 3² = 576 cm4 
Iy1 = IyC1 + A1 x1
2 = 256 + 48 x 4² = 1024 cm4 
Para figura 2: 
Ix2 = IxC2 + A2 y2
2 = 31,8 +(∏ r²/2) x 3² = 286,3 cm4 
Iy2 = IyC2 + A2 x2
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4/3 x r/∏)² = 49,8 cm4 
 
39 
 
Para figura 3: 
Ix3 = IxC3 + A3 y3
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 3² = 286,3 cm4 
Iy3 = IyC3 + A3 x3
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (8 + 4/3 x r/∏)² = 1247,5 
cm4 
3º passo – Finalmente somamos as parcelas relativas às figuras 
separadamente, 1, 2 e 3, e obtemos os valores de Ix e Iy. 
Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 = 576 + 286,3 + 286,3 => 
Ix = 1148,6 cm
4 Resposta 
Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3 = 1024 + 49,8 + 1247,5 => 
Iy = 2321,3 cm
4 Resposta 
 
3. Determinação dos momentos de inércia Ix’ e Iy’, em relação ao 
par de eixos centroidais da figura toda x’,y’. 
 
1º passo – Como já calculamos os valore dos momentos de 
inércia de cada figura em relação ao seu par de eixos centroidais, 
agora é só aplicar o teorema dos eixos paralelos em relação aos 
eixos x’ e y’ para cada figura e depois somar as contribuições de 
cada uma delas. 
Para figura 1: 
Ix’1 = IxC1 + A1 y1
2 = 144 + (8 x 6) x 0² = 144 cm4 
Iy’1 = IyC1 + A1 x1
2 = 256 + 48 x 0² = 256 cm4 
Para figura 2: 
Ix’2 = IxC2 + A2 y2
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 0² = 31,8 cm4 
40 
 
Iy’2 = IyC2 + A2 x2
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4 + 4/3 x r/∏)² = 425 
cm4 
Para figura 3: 
Ix’3 = IxC3 + A3 y3
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x 0² = 31,8 cm4 
Iy’3 = IyC3 + A3 x3
2 = 31,8 + (∏ r²/2) x (4 + 4/3 x r/∏)² = 425 
cm4 
1º passo – Somamos as parcelas de contribuição de cada figura 
e teremos os valores dos momentos de inércia Ix’ e Iy’, em relação 
ao par de eixos centroidais x’,y’. 
Ix’ = Ix’1 + Ix’2 + Ix’3 = 144 + 31,8 + 31,8 => 
Ix’ = 207,6 cm
4 Resposta 
Iy’ = Iy’1 + Iy’2 + Iy’3 = 256 + 425 + 425 => 
Iy’ = 1106 cm
4 Resposta 
 
4. Determinação do momento polar de inércia em relação ao 
ponto O. 
JO = Ix + Iy = 1148,6 + 2321,3 => 
JO = 3470 cm
4 Resposta 
 
5. Determinação do momento polar de inércia em relação ao 
ponto C. 
JC = Ix’ + Iy’ = 207,6 + 1106 => 
JC = 1313,6 cm
4 Resposta

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