Solução da lista de exercícios número 1

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CARLOS WALTER VICENTINI 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
NOTAS DE AULAS MINISTRADAS PARA A TURMA DE ENGENHARIA 
CIVIL (4º/5º CICLO) DA UNIP 
Resolução da lista de exercícios número 1 
Santos, março de 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução da lista de exercícios número 1 
Centróide (ou baricentro ou centro de gravidade) 
 
Determinar a posição do centróide das figuras a seguir: 
Observação: todas as medidas estão em centímetros. 
 
1. 
 Y 
 2 
 
10 X 
 
 4 12 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos A e B como 
mostrado na figura abaixo: 
 y 
 
 A 
 
B 
 X 
 
3 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
No nosso caso o eixo x é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição desse eixo, logo, devemos 
determinar somente x pois y é zero. 
4º passo: Determinar, para cada figura, A e B, os valores de seus 
xA, xB, yA e yB . 
 y 
 xB 
 x 
 A C 
 
 B x 
 
 xA 
 
No nosso caso: 
xA = 2cm; xB = 10 cm (= 4 + 12/2) yA = yB = 0 pois x é de simetria. 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A e B, e a área total da figura. 
Figura A – área = AA = 4 x 10 = 40 cm² 
Figura B – área = AB = 12 x 2 = 24 cm² 
Figura total = fig A + fig B => AT = 64 cm² 
6º passo: finalmente calcular x que é dado por x AT = xA AA + xB AB 
Portanto x = (xA AA + xB AB) / AT => x = (2 40 + 10 24) / 64 
x = 5 cm Resposta 
 
 
4 
 
2. y 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em um retângulo A, um triângulo B e 
um semi círculo D como mostrado na figura abaixo: 
 Retângulo A 
 
 Triângulo B Semi círculo D 
x’ 
x 
 
y 
5 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
No nosso caso o eixo y é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em alguma posição desse eixo, logo, devemos 
determinar somente y pois x é zero. 
4º passo: Determinar, para cada figura, A, B e D os valores de seus 
yA , yB e yD pois xA = xB = xD = 0 como na figura abaixo. 
 
 
Retângulo A: yA = hA/2 = 14/2 = 7 cm 
Triângulo B: yB = hB/3 = 6/3 = 2 cm 
Semi círculo D: yD = h – 4 R/3∏ = 14 – 4 4/3∏ = 12,3 cm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A, B e D, e a área total da figura. 
Retângulo A – área = AA = 14 x 8 = 112 cm² 
Triângulo B – área = AB = bB hB/2 = 8 x 6 / 2 = 24 cm² 
Semi círculo D – área = AD = ∏R²/2 = (∏ x 4²)/2 = 25,1 cm² 
Figura total = fig A - fig B – fig D => AT = 112 – 24 – 25,1 = 62,9 
cm² (lembrando que os valores negativos são devido ao fato de 
serem furos) 
6º passo: finalmente calcular y dado por y AT = yA AA - yB AB – yD AD 
6 
 
Portanto y = (yA AA - yB AB – yD AD) / AT => y = (7x112 – 2x24 – 
12,3x25,1 ) / 62,9 => y = 6,8 cm Resposta 
3. y 
 1 
 
 
 16 
 
 1 x 
 10 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em dois retângulos A e B como 
mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 Retângulo A x 
 C 
 y 
 Retângulo B 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
7 
 
No nosso caso não há eixos de simetria. Isso significa que o centróide 
C está localizado em alguma posição fora dos dois eixos x e y 
adotados. Logo, teremos que calcular os valores tanto de x quanto de 
y. 
4º passo: Determinar, para cada figura, A e B os valores de seus 
xA, xB, yA e yB como na figura abaixo. 
 
 y 
 xA 
 A 
 y’ 
 x 
 yA C x’ 
 y 
 yB B x 
 xB 
 
Retângulo A: xA = 0,5 cm e yA = 8,5 cm 
Retângulo B: xB = 5 cm e yB = 0,5 cm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A e B, e a área total da figura. 
Retângulo A – área = AA = 15 x 1 = 15 cm² 
Retângulo B – área = AB = 10 x 1 = 10 cm² 
Figura total = fig A + fig B => AT = 15 + 10 = 25 cm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x AT = xA AA + xB AB 
Portanto x = (xA AA + xB AB ) / AT => x = (0,5x15 + 5x10) / 25 
=> x = 2,3 cm Resposta 
8 
 
 
 
y AT = yA AA + yB AB 
Portanto y = (yA AA + yB AB) / AT => y = (8,5x15 + 0,5x10) / 25 
=> y = 5,3 cm Resposta 
 
4. 
 y 
 
 1 
 
 
 
 17 
 
 1 x 
 10 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em três retângulos A, B e D como 
mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 y 
 
 Retângulo B 
 
 
 Retângulo A 
 
 x 
 Retângulo D 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
No nosso caso não há eixos de simetria. Isso significa que o centróide 
C está localizado em alguma posição fora dos dois eixos x e y 
adotados. Logo, teremos que calcular os valores tanto de x quanto de 
y como mostra a figura abaixo. 
 
 
 y 
 
 
 y’ 
 C 
 x’ 
 x y 
 x 
 
10 
 
4º passo: Determinar, para cada figura, A, B e D os valores de seus 
xA, xB, xD, yA , yB e yD como na figura abaixo. 
 
 
xA = 0,5 cm xB = 5 cm xD = 5 cm 
yA = 8,5 cm yB = 16,5 cm yD = 0,5 cm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A, B, D e a área total da figura. 
Retângulo A – área = AA = 15 x 1 = 15 cm² 
Retângulo B – área = AB = 10 x 1 = 10 cm² 
Retângulo D – área = AD = 10 x 1 = 10 cm² 
Figura total = fig A + fig B + fig D => AT = 15 + 10 + 10 = 35 cm² 
6º passo: finalmente calcular x e y 
x AT = xA AA + xB AB + xD AD = 0,5 x 15 + 5 x 10 + 5 x 10 
Portanto x = (7,5 + 50 + 50 ) / AT => x = 107,5/ 35 => 
x = 3,1 cm Resposta 
 
y AT = yA AA + yB AB + yD AD = 8,5 x 15 + 16,5 x 10 + 0,5 x 10 
11 
 
Portanto y = (127,5 + 165 + 5) / AT => y = 297,5 / 35 => 
y = 8,5 cm Resposta 
Nota: não precisávamos ter efetuado os cálculos para y pois 
analisando a figura, notamos que x’ é um eixo de simetria. Logo o 
valor de y poderia ser determinado por uma simples análise visual. 
 
5. 
 y 
 20 
 12 
 1 
 5 2 
 
 20 
 2 17x 
 
 1 
 
 
1º passo: Estabelecer um par de eixos x,y convenientemente 
posicionado (o desenho já mostra). 
2º passo: Dividir a figura em figuras geométricas básicas de modo a 
facilitar os cálculos (retângulo, triângulo, círculo, etc). 
No nosso caso vamos dividi-la em cinco retângulos A, B, D, E e F 
como mostrado na figura abaixo: 
 
12 
 
 y 
 
 Retângulo B 
 
 Retângulo A Retângulo D 
 Retâng. E 
 
 
 Retângulo F 
 x 
 
3º passo: analisar se há algum eixo de simetria em relação ao par 
de eixos x,y adotados. 
No nosso caso o eixo y é de simetria. Isso significa que o centróide C 
está localizado em algum ponto pertencente ao eixo y. Logo, teremos 
que calcular o valor de y, já que x = 0 como mostra a figura abaixo. 
 y≈y’ 
 
 B 
 
 A E x’ D 
 C 
 F y 
 X 
 
 
 
13 
 
4º passo: Determinar, para cada figura, A, B, D, E e F os valores de 
seus xA, xB, xD, xE, xF, yA, yB, yD, yE e yF como na figura abaixo. 
 
Analisando a figura, determinamos os seguintes valores: 
 xA = - 9 cm; xB = 0 cm; xD = 9 cm; xE = 0 cm; xF = 0 cm 
yA = 17,5 cm; yB = 19,5 cm; yD = 17,5 cm; yE = 18 cm; yF = 8,5 cm 
5º passo: determinar os valores de área para cada figura escolhida, 
no nosso caso A, B, D, E, F e a área total da figura. 
Retângulo A – área = AA = 2 x 5 = 10 cm² 
Retângulo B – área = AB = 16 x 1 = 16 cm² 
Retângulo D – área = AD = 2 x 5 = 10 cm² 
Retângulo E – área = AE = 12 x 2 = 24 cm² 
Retângulo F – área = AF = 1 x 17 = 17 cm² 
Figura total = fig A + fig B + fig D + fig E + fig F => AT = 10 + 16 + 
10 + 24 + 17 = 77 cm² 
 
 
14 
 
6º passo: finalmente calcular x e y 
Como já dissemos anteriormente, o eixo y (≈y’) é de simetria, logo 
 x = 0 Resposta 
y AT = yA AA + yB AB + yD AD + yE AE + yF AF = 17,5 x 10 + 19,5 x 16 
+ 17,5 x 10 + 18 x 24 + 8,5 x 17 
Portanto y = (175 + 312 +175 + 432 + 144,5) / AT => 
y = 1238,5/ 77 => y = 16,1 cm Resposta