prova pré cálculo resolução

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GMA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
GMA
PRIMEIRA VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM
Pre´-Ca´lculo
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
Nome leg´ıvel:
Assinatura:
[01] (2.0) Apresente uma quantidade infinita de nu´meros racionais e uma quantidade in-
finita de nu´meros irracionais que pertenc¸am ao intervalo [2, 3]. Sua resposta deve
indicar de maneira bem clara o processo de se gerar estas quantidades infinitas de
nu´meros.
Soluc¸a˜o. Sejam a = 2 e b = 3 os extremos do intervalo [2, 3]. Os infinitos nu´meros
r1 =
a + b
2
, r2 =
r1 + b
2
, r3 =
r2 + b
2
, . . . , ri+1 =
ri + b
2
, . . .
pertencem ao intervalo [2, 3]. Estes nu´meros sa˜o todos racionais, pois a soma e a di-
visa˜o de nu´meros racionais sa˜o ainda nu´meros racionais.
Seja p =
√
5. Note que p ∈ [2, 3], pois 22 < 5 < 32. Os infinitos nu´meros
s1 =
p + b
2
, s2 =
s1 + b
2
, s3 =
s2 + b
2
, . . . , si+1 =
si + b
2
, . . .
pertencem ao intervalo [2, 3]. Estes nu´meros sa˜o todos nu´meros irracionais, pois a
soma de um nu´mero irracional com um nu´mero racional e´ ainda um nu´mero irracional
e a divisa˜o de um nu´mero irracional por um nu´mero racional e´ ainda um nu´mero
irracional.
[02] (2.0) Quais das implicac¸o˜es abaixo sa˜o falsas? Para as implicac¸o˜es verdadeiras, indique
o axioma ou a propriedade de nu´mero real que esta˜o sendo usados. Para as implicac¸o˜es
falsas, apresente um contraexemplo.
x = 2
(1)
=⇒ x · (x− 1) = 2 · (x− 1) (2)=⇒ x2 − x = 2 · x− 2
(3)
=⇒ x2 − 2 · x = x− 2 (4)=⇒ x · (x− 2) = x− 2
(5)
=⇒ x = 1
Soluc¸a˜o. (1): verdadeira, por [PA25]. (2): verdadeira, por (C4) e (C5). (3): verda-
deira, por [PA27], (C3), (C6), [PA07] e (C5). (4): verdadeira, por (C4). (5): falsa, pois
x = 2 e´ uma contraexemplo, uma vez que x = 2 satisfaz a hipo´tese x · (x− 2) = x− 2,
mas na˜o satisfaz a tese x = 1.
[03] (2.0) Resolva a inequac¸a˜o
5
x− 1 < −1
no conjunto dos nu´meros reais. Deˆ sua resposta usando intervalos e representa-a
geometricamente em uma reta nume´rica.
Soluc¸a˜o. Temos que
5
x− 1 < −1⇔
5
x− 1 + 1 < 0⇔
5 + (x− 1)
x− 1 < 0⇔
x + 4
x− 1 < 0.
Fazendo o estudo do sinal, obtemos o seguinte diagrama:
Sinal de
x + 4
Sinal de
x− 1
Sinal de
(x + 4)/(x− 1)
−4
−4
−4
1
1
1
Assim, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ S = (−4, 1), cuja representac¸a˜o geome´trica
encontra-se na reta nume´rica desenhada a seguir.
−4 1
[04] Dizemos que um nu´mero real x e´ uma aproximac¸a˜o do nu´mero real p com erro menor
do que � > 0 se a distaˆncia entre x e p e´ menor do que �, isto e´, se |x− p| < �.
(a) (1.0) Mostre que se x e´ uma aproximac¸a˜o de p = 2 com erro menor do que 1/4,
enta˜o x ∈ (1, 3). Em particular, conclua que 0 < 1/|x| = 1/x < 1.
Soluc¸a˜o. Se x e´ uma aproximac¸a˜o de p = 2 com erro menor do que 1/4, enta˜o
|x − 2| < 1/4. Logo, −1/4 < x − 2 < 1/4, isto e´, 2 − 1/4 < x < 2 + 1/4 ou,
ainda, 7/4 < x < 9/4. Assim, se x e´ uma aproximac¸a˜o de p = 2 com erro menor
do que 1/4, enta˜o x ∈ (7/4, 9/4). Como o intervalo (7/4, 9/4) esta´ contido no
intervalo (1, 3), segue-se que x ∈ (1, 3). Agora, uma vez que x > 1 e x > 0, temos
que 1/x < 1 e 1/x > 0. Em particular, segue-se que 0 < 1/|x| < 1/x < 1.
(b) (1.0) Seja f(x) = 1/x. Mostre que se x e´ uma aproximac¸a˜o de p = 2 com erro
menor do que 1/4, enta˜o f(x) e´ uma aproximac¸a˜o de f(p) com erro menor do
que 1/8.
Soluc¸a˜o. Se x e´ uma aproximac¸a˜o de p = 2 com error menor do que 1/4, pelo
item (a), temos que |x− 2| < 1/4 e 0 < 1/|x| < 1. Logo,
|f(x)− f(p)| =
∣
∣
∣
∣
1
x
− 1
2
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
2− x
2 · x
∣
∣
∣
∣
=
|2− x|
|2 · x| =
|x− 2|
2
· 1|x| <
1/4
2
· 1 = 1
8
,
isto e´, f(x) e´ uma aproximac¸a˜o de f(p) com error menor do que 1/8.
[05] (a) (1.0) Deˆ a definic¸a˜o de gra´fico de func¸a˜o real f : D → C.
Soluc¸a˜o. O gra´fico de f : D → C e´ o conjunto
{(x, y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f(x)}.
(b) (1.0) Desenhe o gra´fico de uma func¸a˜o real f cujo domı´nio e´ o conjunto [1, 2]
e cuja imagem e´ o conjunto [−2,−1] ∪ [3, 4].
Soluc¸a˜o. A figura a seguir exibe o gra´fico de uma func¸a˜o cujo domı´nio e´ o
conjunto [1, 2] e cuja imagem e´ o conjunto [−2,−1] ∪ [3, 4].
2
1 2 x
−2
−1
1
2
3
4
y
0 32
7
4
Texto composto em LATEX2e, HJB, 23/10/2010.
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