função de variável reais

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 8
27 de setembro de 2010
Aula 8 Pré-Cálculo 1
Funções reais
Aula 8 Pré-Cálculo 2
O que é uma função?
Aula 8 Pré-Cálculo 3
O que é uma função?
Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um
subconjunto D de R faz corresponder exatamente um elemento
chamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 4
O que é uma função?
Uma função real f é uma lei a qual para cada elemento x em um
subconjunto D de R faz corresponder exatamente um elemento
chamado f (x), em um subconjunto C de R.
D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 5
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 6
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 7
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 8
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 9
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 10
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 11
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 12
Exemplo
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
f (0) = 0, f (2) = 4, f (a+ b) = 2 (a+ b), f (�) = 2�.
f (p + h)− f (p)
h
=
2 (p + h)− 2p
h
=
2p + 2h − 2p
h
= 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 13
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Aula 8 Pré-Cálculo 14
Lembram-se dos diagramas de Venn?
CD
Aula 8 Pré-Cálculo 15
Lembram-se dos diagramas de Venn?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 8 Pré-Cálculo 16
Uma outra representação para funções
(entrada) (saída)
Aula 8 Pré-Cálculo 17
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 18
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 19
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 20
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumidopela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 26
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 29
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 30
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
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Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 32
Cuidado!
f : D → C
x 7→ y = f (x)
Aqui x é um número real no domínio D!
Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ C
chama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.
Aqui f é uma função real que a cada número real x
no domínio D associa um único número real f (x) no
contradomínio C!
O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou
“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros e
pessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer
“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal que
y = f (x) = 2 x”.
Aula 8 Pré-Cálculo 33
O que é a imagem de uma função real?
Aula 8 Pré-Cálculo 34
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 35
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 36
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 37
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Aula 8 Pré-Cálculo 38
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Aula 8 Pré-Cálculo 39
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!
Aula 8 Pré-Cálculo 40
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Aula 8 Pré-Cálculo 41
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existepelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!
Aula 8 Pré-Cálculo 42
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
√
3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√
3/2) =
√
3!
Aula 8 Pré-Cálculo 43
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
√
3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√
3/2) =
√
3!
Aula 8 Pré-Cálculo 44
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Aula 8 Pré-Cálculo 45
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!
Aula 8 Pré-Cálculo 46
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = 2 x
Moral: Imagem de f = R!
Aula 8 Pré-Cálculo 47
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√
2) = 2!
Aula 8 Pré-Cálculo 48
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (
√
2) = 2!
Aula 8 Pré-Cálculo 49
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
Temos que f (
√
2) = 2. Note, também, que f (−√2) = 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 50
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
Temos que f (
√
2) = 2. Note, também, que f (−√2) = 2.
Aula 8 Pré-Cálculo 51
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !
Aula 8 Pré-Cálculo 52
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 53
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 54
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 55
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 56
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 57
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 58
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ Dtal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√b) = b!
Aula 8 Pré-Cálculo 59
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√b) = b!
Aula 8 Pré-Cálculo 60
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 61
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 62
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 63
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!
Aula 8 Pré-Cálculo 64
O que é a imagem de uma função real?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores
que ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de uma
função real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para os
quais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :
Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.
Definição
Exemplo
f : R → R
x 7→ f (x) = x2
Moral: Imagem de f = [0,+∞)!
Aula 8 Pré-Cálculo 65
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 66
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 67
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 68
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 69
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 70
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!
Qual é a imagem da função f abaixo?
f : R → R
x 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Imagem de f =
1695 + (−135 + 20√6) 3√135 + 60√6 + (−49 + 24√6) 3
√
(135 + 60
√
6)2
2304
,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).
A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver
questões deste tipo!
Aula 8 Pré-Cálculo 71
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 72
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 73
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 74
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 75
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 76
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Exemplo: f (x) =
1
x
.
O domínio natural de f é D = R− {0}.
Aula 8 Pré-Cálculo 77
Domínio e imagem naturais de uma função
Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de
associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior
subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que
o seu contradomínio é R.
Convenção
Atenção: aqui, o termo “domínionatural” não significa
que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!
Aula 8 Pré-Cálculo 78
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 79
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 80
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 81
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 82
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 83
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 84
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 85
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 86
Domínio natural de uma função
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
2 x − 4?
2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x > 4
2
⇔ x > 2.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).
0 1 2
2
Aula 8 Pré-Cálculo 87
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 88
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 89
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 90
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 91
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 92
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 93
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 94
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1
x3 − x ?
x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.
Resposta: o domínio natural de f é
D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.
−1
−1
0
0
1
1
Aula 8 Pré-Cálculo 95
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 96
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 97
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 98
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 99
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 100
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 101
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 102
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 103
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
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1
1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 104
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 105
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 106
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 107
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
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D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 108
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 109
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 110
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 111
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 112
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 113
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 114
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
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D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 115
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
?
1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 116
Exercício
Qual é o domínio natural de f (x) =
1√
1− 2 x − 6
x − 1
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1−2 x − 6
x − 1 > 0 ⇔
2 x − 6
x − 1 −1 < 0 ⇔
2 x − 6− (x − 1)
x − 1 < 0 ⇔
x − 5
x − 1 < 0
Sinal de
x − 5
Sinal de
x − 1
Sinal de
(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
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1
D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).
Aula 8 Pré-Cálculo 117
O que é o gráfico de uma função real?
Aula 8 Pré-Cálculo 118
O que é o gráfico de uma função real?
O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto de
pontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):
Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.
Definição
Aula 8 Pré-Cálculo 119
O que é o gráfico de uma função real?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 8 Pré-Cálculo 120
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
para se construir gráficos de funções!
Aula 8 Pré-Cálculo 121
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
para se construir gráficos de funções!
Aula 8 Pré-Cálculo 122
Como construir o gráfico de uma função real?
Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!
para se construir gráficos de funções!
Aula 8 Pré-Cálculo 123
Como construir o gráfico de uma função real?
A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadas
para se construir gráficos de funções!
Aula 8 Pré-Cálculo 124
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 8 Pré-Cálculo 125
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 8 Pré-Cálculo 126
Toda curva é gráfico de uma função real?
A resposta é não!
Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!
Aula 8 Pré-Cálculo 127
Exemplo
Aula 8 Pré-Cálculo 128
Exemplo
Aula 8 Pré-Cálculo 129
	Funções reais