números naturais

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 3
16 de março de 2010
Aula 3 Pré-Cálculo 1
Números
Aula 3 Pré-Cálculo 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.
[Do lat. numeru.]
S. m.
1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
Aula 3 Pré-Cálculo 3
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.
[Do lat. numeru.]
S. m.
1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
Aula 3 Pré-Cálculo 4
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.
[Do lat. numeru.]
S. m.
1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
Aula 3 Pré-Cálculo 5
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada
arbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin
Constant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 3 Pré-Cálculo 6
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada
arbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin
Constant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Aula 3 Pré-Cálculo 7
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por
qual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se
a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado
é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma
medição e o resultado é um número real.
Aula 3 Pré-Cálculo 8
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por
qual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se
a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado
é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma
medição e o resultado é um número real.
Aula 3 Pré-Cálculo 9
Números naturais
Aula 3 Pré-Cálculo 10
Números naturais
números
naturais
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 3 Pré-Cálculo 11
Números naturais
números
naturais
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 3 Pré-Cálculo 12
Números naturais
números
naturais
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 3 Pré-Cálculo 13
Números naturais
números
naturais
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Aula 3 Pré-Cálculo 14
Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes
propriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.
(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.
Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
Aula 3 Pré-Cálculo 15
Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes
propriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.
(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.
Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
Aula 3 Pré-Cálculo 16
Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 1
3 é o sucessor de 2
4 é o sucessor de 3
...
...
...
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 3 Pré-Cálculo 17
Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 1
3 é o sucessor de 2
4 é o sucessor de 3
...
...
...
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 3 Pré-Cálculo 18
Números naturais como números ordinais
N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .}.
2 é o sucessor de 1
3 é o sucessor de 2
4 é o sucessor de 3
...
...
...
Deve ficar claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6,7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio,são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 3 Pré-Cálculo 19
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 20
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 21
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 22
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 23
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 24
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 25
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 26
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}
2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}
3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}
...
...
...
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 27
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}
0 ∅
1 {∅} {0}
2 {{∅}} {1}
3 {{{∅}}} {2}
...
...
...
n {n − 1}
Aula 3 Pré-Cálculo 28
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Aula 3 Pré-Cálculo 29
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Aula 3 Pré-Cálculo 30
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Aula 3 Pré-Cálculo 31
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000
I II III IV V X L C D M
Aula 3 Pré-Cálculo 32
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 3 Pré-Cálculo 33
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Aula 3 Pré-Cálculo 34
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Aula 3 Pré-Cálculo 35
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 36
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 37
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 40
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 41
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 42
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é,por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 43
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 44
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 45
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 46
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 47
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 48
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 49
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 50
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 51
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 52
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 53
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 54
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 55
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 =n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
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Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 57
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 58
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 59
Números naturais como números ordinais: operações
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Adição
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · ·+ n (com p + 1 parcelas).
Multiplicação
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
Aula 3 Pré-Cálculo 60
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 61
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 62
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 63
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 64
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 65
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 66
Números naturais como números ordinais: ordem
Dados m,n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.Ordem
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
(Tricotomia) Se m,n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
Propriedades
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
Aula 3 Pré-Cálculo 67
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 68
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 69
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 70
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 71
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 72
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 73
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 74
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 75
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 76
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 77
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 78
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer umafunção bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Aula 3 Pré-Cálculo 79
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 80
Números naturais como números cardinais
X Y
Aula 3 Pré-Cálculo 81
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 3 Pré-Cálculo 82
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Aula 3 Pré-Cálculo 83
Números naturais como números cardinais
O Hotel Infinito de Hilbert
Aula 3 Pré-Cálculo 84
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, as
palavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.
Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, dois
meses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,
isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” não
são substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas
(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral
e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,
resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar a
diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e
o seu emprego como números cardinais.
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
Aula 3 Pré-Cálculo 85
Semelhança dos nomes dos números
Sânscrito
Grego
Antigo
Latim Alemão Inglês Francês Russo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
ƒve
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Aula 3 Pré-Cálculo 86
Giuseppe Peano
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Aula 3 Pré-Cálculo 87
David Hilbert
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Aula 3 Pré-Cálculo 88
Leitura extraclasse
Aula 3 Pré-Cálculo 89
Leitura extraclasse
Capítulos 1, 2 e 3.
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.
A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
Aula 3 Pré-Cálculo 90
Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube
http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI
Aula 3 Pré-Cálculo 91
	Números
	Números naturais
	Leitura extraclasse