cálculo aplicado à fisica

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CA´LCULO APLICADO A` FI´SICA
PROF. MS PAULO SE´RGIO COSTA LINO
I´ndice
1 Ca´lculo Diferencial de uma Varia´vel 04
1.1 Derivadas 04
1.1.1 Propriedades 05
1.1.2 Derivadas de Func¸o˜es Compostas e Inversas 06
1.1.3 Derivadas de Ordem Superior 07
1.1.4 Ma´ximos e Mı´nimos de Func¸o˜es de uma Varia´vel 07
1.2 Aplicac¸o˜es 10
1.2.1 Movimento Retil´ıneo 10
1.2.2 Esta´tica 11
1.2.2 Termodinaˆmica 13
1.2.3 O´ptica 14
1.3 Exerc´ıcios Propostos 16
2 Ca´lculo Integral de uma Varia´vel 19
2.1 A Integral Indefinida 19
2.1.1 Introduc¸a˜o 19
2.1.2 Definic¸a˜o e Propriedades 19
2.1.3 Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o de Varia´veis e por Partes 20
2.2 A Integral Definida 21
2.2.1 Somas de Riemann 21
2.2.2 Propriedades da Integral Definida 23
2.2.3 Integrais Impro´prias 24
3
2.3 Aplicac¸o˜es 26
2.3.1 A´reas de Placas Planas 26
2.3.2 Movimentos Sob a Gravidade e Velocidade de Escape 28
2.3.3 Movimento Curvil´ıneo de uma Part´ıcula 32
2.3.4 Lanc¸amento de Proje´teis 37
2.3.5 Trabalho e Energia 40
2.3.6 Movimento Harmoˆnico Simples 46
2.3.7 Centro de Gravidade 53
2.3.8 Momento de Ine´rcia 53
2.3.8 Forc¸as Hidrosta´ticas Sobre Superf´ıcies Submersas 61
2.4 Exerc´ıcios Propostos 61
3 Ca´lculo Diferencial de Va´rias Varia´veis 68
3.1 To´picos de Ca´lculo Diferencial de Va´rias Varia´veis 68
3.1.1 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis 68
3.1.2 Derivadas Parciais e Interpretac¸a˜o Geome´trica 68
3.1.3 Crescimento Total e Diferencial Total 68
3.1.4 Derivadas de Func¸o˜es Compostas e Derivadas de Diferentes Or-
dens
68
3.1.5 Derivadas Direcionais e Gradientes 68
3.1.6 Ma´ximos e Mı´nimos de Func¸o˜es de Duas Varia´veis 68
3.2 Aplicac¸o˜es 68
4 Ca´lculo Integral de Va´rias Varia´veis 68
Respostas dos Exerc´ıcios Propostos 79
Refereˆncias Bibliogra´ficas 83
4
Cap´ıtulo 1
Ca´lculo Diferencial de uma
Varia´vel
1.1 Derivadas
Nesta sec¸a˜o, admitimos que os alunos ja´ estejam familiarizados com os conceitos ba´sicos
da matema´tica, tais como: Geometria Anal´ıtica, A´lgebra Elementar e Limites.
Definic¸a˜o 1.1 Sejam I um intervalo aberto da reta e f : I → R. Suponhamos que se
da´ um acre´scimo ∆x (positivo ou negativo) dado a varia´vel x. A derivada de f em x e´
definida por:
lim
∆x→0
∆y
∆x
(1.1)
se este limite existir, onde ∆y := f(x+∆x)−f(x) e´ o acre´scimo recebido pela varia´vel
y.
Esta derivada quando existe e´ denotada por f ′(x) ou
dy
dx
e dizemos que f e´ deriva´vel
ou diferencia´vel em x (Fig. 1.1).
5
6 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 1.1:
Geometricamente, f ′(x) = tan θ. A tabela abaixo apresenta a derivada de algumas
func¸o˜es elementares:
f(x) f ′(x)
c 0
xn nxn−1
ex ex
cosh(x) sinh(x)
sinh(x) cosh(x)
cos(x) − sin(x)
sin(x) cos(x)
ln(x) 1/x
Tabela 1.1: Derivadas de func¸o˜es elementares
1.1.1 Propriedades
Teorema 1.1 Sejam u e v duas func¸o˜es definidas em um intervalo I da reta e k ∈ R.
Enta˜o:
1.1. DERIVADAS 7
i) (ku)′ = ku′;
ii) (u+ v)′ = u′ + v′;
iii) (uv)′ = u′v + uv′
iv) Se v 6= 0, enta˜o
(
u
v
)′
=
u′v − uv′
v2
Atrave´s do Teor.(1.1) podemos obter a derivada de va´rias outras func¸o˜es elementares,
tais como tan(x), sec(x), cot(x), xnex, etc.
Seja y = f(x) uma func¸a˜o composta, isto e´, pode ser escrita sob a forma:
y = f(u) onde u = g(x) (1.2)
ou ainda, y = f(g(x)). Na expressa˜o (1.2), u chama-se varia´vel intermedia´ria.
1.1.2 Derivadas de Func¸o˜es Compostas e Inversas
Teorema 1.2 (Regra da Cadeia) Se a func¸a˜o u = g(x) tem derivada u′(x) = g′(x)
no ponto x e a func¸a˜o y = f(u) tem derivada y′u = f ′(u) para o valor correspondente
de u, enta˜o no ponto considerado x a func¸a˜o composta y = f(g(x)) tem derivada em x
dada por y′x = f ′u(u)g′(x), onde u deve ser substitu´ıda pela expressa˜o u = g(x). Mais
precisamente,
dy
dx
=
dy
du
du
dx
(1.3)
Exemplo 1.1 Consideremos o problema de derivar a func¸a˜o y = (x2 − 1)5.
Note que y e´ uma func¸a˜o composta, isto e´, se definirmos u(x) = x2 − 1, enta˜o
y = u5, segue que y′(x) = y′(u)u′(x) = 5u4 · 2x = 10x(x2 − 1)4.
8 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Corola´rio 1.1 (Derivada da func¸a˜o inversa) Se a func¸a˜o y = f(x) admite uma func¸a˜o
inversa x = g(y) em que a derivada g′(y) e´ diferente de zero em y, enta˜o, a func¸a˜o
y = f(x) possui no correspondente x uma derivada f ′(x) igual a 1/g′(y), ou seja,
dy
dx
=
1
dx
dy
(1.4)
Exemplo 1.2 Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f : [−1, 1]→ [−pi/2, pi/2], sabendo que f e´ a inversa de sinx;
b) f : R→ (−pi/2, pi/2), sabendo que f e´ a inversa de tanx.
As func¸o˜es nos ı´tens a) e b) sa˜o conhecidas por arcsinx e arctan(x) respectivamente.
a)
y = f(x) = sin−1 x ⇒ x = sin y ⇒ dx
dy
= cos y =
√
1− sin2 y =
√
1− x2
Logo, pelo Cor. (1.1),
dy
dx
=
1
dx
dy
=
1√
1− x2
Tomamos o sinal + antes da raiz, porque a func¸a˜o y = arcsinx toma os seus valores
sobre o segmento −pi/2 ≤ y ≤ pi/2 de modo que cos y ≥ 0. O item b) segue de maneira
ana´loga e fica como exerc´ıcio.
1.1.3 Derivadas de Ordem Superior
A derivada de y = x3 e´ y′ = 3x2. Mas 3x2 tambe´m pode ser derivada, obtendo 6x. E´
natural denotar essa func¸a˜o por y′′ e chama´-la a segunda derivada da func¸a˜o original.
Derivando a segunda derivada y′′ = 6x, obtemos a terceira derivada y′′′ = 6, e assim
1.1. DERIVADAS 9
indefinidamente. Dada a func¸a˜o y = f(x), e´ comum denotar a ene´sima derivada de y
em relac¸a˜o a x por
dny
dxn
Exemplo 1.3 Calcule a derivada segunda das func¸o˜es abaixo:
a) y = cosh(2x);
b) y = arctan(t2 + 1).
a) Usando a tabela e a regra da cadeia, temos: y′(t) = 2 sinh(2x) ⇒ y′′(t) =
4 cosh(2x);
b) Pelo item b) do Exemplo anterior, temos:
y′ =
2t
1 + (1 + t2)2
⇒ y′′ = 2[1 + (1 + t
2)2]− 2(1 + t2)(2t)2
[1 + (1 + t2)]2
=
4− 4t2 − 4t4
(2 + 2t2 + t4)2
Exemplo 1.4 Determine a derivada de quarta ordem da func¸a˜o f(t) = 2 sin(3t).
Usando a regra da cadeia e tabela acima, temos: f ′(t) = 6 cos(3t) ⇒ f ′′(t) =
−18 sin(3t) ⇒ f ′′′(t) = −54 cos(3t) ⇒ f (4)(t) = 162 sin(3t).
1.1.4 Ma´ximos e Mı´nimos de Func¸o˜es de uma Varia´vel
Definic¸a˜o 1.2 Dizemos que f e´ crescente num certo intervalo I da reta se, nesse
intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2).
Em linguagem geome´trica, isto significa que o gra´fico e´ ascendente quando o ponto que
o trac¸a se move da esquerda para direita. De maneira ana´loga, definimos uma func¸a˜o
decrescente.
10 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Teorema 1.3 Uma func¸a˜o f(x) e´ crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0 e e´ de-
crescente nos intervalos em que f ′(x) < 0.
Definic¸a˜o 1.3 Dizemos que x0 e´ um ponto cr´ıtico da func¸a˜o f(x) se f ′(x0) = 0.
Geometricamente, a reta tangente num ponto cr´ıtico e´ paralela ao eixo x (Fig. 1.2).
Figura 1.2:
Definic¸a˜o 1.4 Seja x∗ um ponto cr´ıtico de f(x).
i) Dizemos que x∗ e´ um ponto de ma´ximo local de f(x) se existe � > 0 tal que
f ′(x) > 0 para x ∈ (x∗ − �, x∗) e decrescente para x ∈ (x∗, x∗ + �);
ii) Dizemos que x∗ e´ um ponto de m´ınimo local de f(x) se existe � > 0 tal que
f ′(x) < 0 para x ∈ (x∗ − �, x∗) e crescente para x ∈ (x∗, x∗ + �);
iii) Se existe � > 0 tal que, f ′(x) na˜o muda de sinal para x ∈ (x∗−�, x∗+�), dizemos
que x∗ e´ um ponto de inflexa˜o.
1.1. DERIVADAS 11
Exemplo 1.5 Na (Fig. 1.2) acima, x0 e´ um ponto de m´ınimo local e x1 e´ um ponto
de ma´ximo local de f(x).
Exemplo 1.6 Verifique que x = 0 e´ um ponto de inflexa˜o de f(x) = x3.
Como f ′(x) = 3x2 ≥ 0 ∀x ∈ R, o resultado segue da Def. 1.4.
Teorema 1.4 (Fermat) Seja x∗ um ponto cr´ıtico de f(x).
i) Se f ′′(x∗) < 0, enta˜o x∗ e´ um ponto de ma´ximo local de f(x);ii) Se f ′′(x∗) > 0, enta˜o x∗ e´ um ponto de m´ınimo local de f(x);
iii) Se f ′′(x∗) = 0 e f ′′′(x∗) 6= 0, enta˜o x∗ e´ um ponto de inflexa˜o de f(x).
Geometricamente, uma segunda derivada positiva f ′′(x), indica que o coeficiente
angular f ′(x) e´ uma func¸a˜o crescente de x. Isto significa que a tangente a` curva gira no
sentido anti-hora´rio quando nos movemos ao longo da curva, da esquerda para direita.
Neste caso, a curva e´ dita coˆncava para cima. Tal curva esta´ acima de sua tangente,
exceto no ponto de tangeˆncia. Analogamente, define-se uma curva coˆncava para baixo.
Exemplo 1.7 Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) = x3/3 + x2/2− 6x+ 8 e
esboce seu gra´fico.
f ′(x) = x2 + x − 6 = 0 ⇒ x1 = −3 e x2 = 2 sa˜o os pontos cr´ıticos. Sendo
f ′′(x) = 2x + 1, enta˜o, para x1 = −3 ⇒ f ′′(−3) = −5 < 0, de modo que x1 e´
um ponto de ma´ximo local e para x2 = 2 ⇒ f ′′(2) = 5 > 0, de modo que x2 e´ um
ponto de m´ınimo local. Ale´m disso, note que para x < −3, a f(x) e´ crescente, para
−3 < x < 2, f(x) e´ decrescente e para x > 2, f(x) volta a crescer. Assim, calculando
f(−3) e f(2) e mais alguns pontos temos o gra´fico abaixo:
12 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 1.3:
Observac¸a˜o 1.1 Os ma´ximos e m´ınimos podem ocorrer de treˆs maneiras que na˜o foram
cobertas pela discussa˜o precedente: nas extremidades, cu´spides e quinas. Como exem-
plos consideremos a treˆs func¸o˜es y =
√
1− x2, y = x2/3 e y = 1− |x| (Fig. 1.4).
Figura 1.4:
1.2. APLICAC¸O˜ES 13
1.2 Aplicac¸o˜es
Dentre as aplicac¸o˜es mais nota´veis do Ca´lculo esta˜o aquelas em que se buscam os valores
ma´ximos e m´ınimos de func¸o˜es.
O dia-a-dia esta´ cheio de tais problemas e e´ natural que os matema´ticos e outras
pessoas os considerem interessantes e importantes. Um engenheiro ao projetar um novo
automo´vel deseja maximizar a eficieˆncia. Um piloto de linha ae´rea tenta minimizar o
tempo de voˆo e o consumo de combust´ıvel. Em cieˆncia, no´s, muitas vezes, achamos
que a natureza age de maneira maximizar ou minimizar uma certa quantidade. Nesta
sec¸a˜o veremos atrave´s de va´rios exemplos, aplicac¸o˜es do Ca´lculo Diferencial a` F´ısica.
1.2.1 Movimento Retil´ıneo
O movimento de uma part´ıcula P ao longo de uma reta e´ definido pela equac¸a˜o s = f(t),
onde t ≥ 0 e´ o tempo e s e´ a distaˆncia de P a um ponto fixo O de sua trajeto´ria.
A velocidade de P no tempo t e´ v =
ds
dt
.
• Se v > 0, P esta´ se movendo no sentido de s crescente;
• Se v < 0, P esta´ se movendo no sentido de s decrescente;
• Se v = 0, P esta´ em repouso naquele instante.
A acelerac¸a˜o de P no tempo t e´ a =
dv
dt
=
d2s
dt2
.
• Se a > 0, v e´ crescente;
• Se a < 0, v e´ decrescente.
Ale´m disso, se a e v tiverem o mesmo sinal, o movimento de P e´ acelerado e se a e v
tiverem sinais opostos, o movimento de P e´ retardado.
14 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Exemplo 1.8 O caminho percorrido por uma part´ıcula sobre uma reta e´ dado por s(t) =
t3 − 6t2 + 9t+ 4.
a) Achar s e a quando v = 0;
b) Achar s e v quando a = 0;
c) Quando s e´ crescente?
d) Quando v e´ crescente?
e) Quando e´ mudado o sentido do movimento?
A velocidade e´ v(t) = 3t2 − 12t+ 9 e a acelerac¸a˜o e´ a(t) = 6t− 12.
a) Para v = 0, temos t = 1 s e t = 3 s, de modo que s(1) = 8 m, s(3) = 4 m e
a(1) = −6 m/s2 e a(3) = 6 m/s2;
b) Para a = 0, temos t = 2 s, de modo que s(2) = 6 m e v(2) = −3 m/s;
c) Para t < 1 s e t > 3 s, v(t) e´ maior que zero, donde segue que s(t) e´ crescente
nesses intervalos.
Os ı´tens d) e e) ficam como exerc´ıcios.
Exemplo 1.9 Um navio A esta´ navegando, rumo sul, a 16 km/h e um segundo navio
B, 32 km ao sul de A, navega rumo a leste a 12 km/h (Fig.1.5)
a) A que raza˜o esta˜o eles esta˜o se aproximando ou separando no fim de 1 h?
b) Em que instante deixam eles de se aproximar um do outro e qual a distaˆncia que
os separa nesse momento?
1.2. APLICAC¸O˜ES 15
Figura 1.5:
A figura abaixo representa as posic¸o˜es dos navios apo´s um tempo t. A distaˆncia s(t)
entre os navios e´ dada por:
s(t) =
√
(12t)2 + (32− 16t)2 =
√
144t2 + (32− 16t)2 (1.5)
Derivando (1.5), temos a velocidade relativa entre eles, isto e´:
v(t) =
16(25t− 32)√
144t2 + (32− 16t)2 (1.6)
a) No fim de 1 h, temos v(1) = −28/5 km/h, ou seja, os navios esta˜o se aproxi-
mando;
b) Eles deixam de aproximar um do outro quando v = 0, isto e´, para t = 32/25 =
1, 28 h. Nesse instante, s = 96/5 = 19, 2 km.
1.2.2 Esta´tica
Vejamos uma aplicac¸a˜o do Ca´lculo Diferencial a` Esta´tica
16 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Exemplo 1.10 Uma barra uniforme AB que pode girar em torno do ponto A suporta
uma carga de Q kgf a` distaˆncia de a cm do ponto A e e´ mantida em equil´ıbrio por meio
de uma forc¸a vertical P , aplicada no seu extremo livre B, (Fig. 1.6). Cada cent´ımetro
de comprimento da barra pesa q kgf . Determinar o comprimento x da mesma de tal
forma que a forc¸a P seja a m´ınima poss´ıvel e achar Pmin.
Calculando a soma dos momentos em relac¸a˜o a` parede no sentido anti-hora´rio e
igualando a zero, temos:
−aQ− qx · x
2
+ Px = 0 ⇒ P (x) = aQ
x
+
qx
2
Calculando P ′(x) e igualando a zero, temos x =
√
2aQ/q. Fazendo o teste da segunda
derivada, vemos que esse valor minimiza P (x) e Pmin = P (
√
2aQ/q) =
√
2aQq.
Figura 1.6:
1.2.3 Termodinaˆmica
Exemplo 1.11 (Lei de Boyle) Numa amostra de ga´s mantida a uma temperatura con-
stante enquanto esta´ sendo comprimida por um pista˜o num cilindro, sua pressa˜o p e seu
volume V esta˜o relacionados pela equac¸a˜o pV = c, onde c e´ uma constante. Determine
dp
dt
em termos de p e
dV
dt
.
1.2. APLICAC¸O˜ES 17
Sendo p = cV −1, temos:
dp
dt
=
dp
dV
dV
dt
= −cV −2dV
dt
= − p
V
dV
dt
Exemplo 1.12 Os meteorologistas teˆm interesse na expansa˜o adiaba´tica de grandes
massas de ar, em que as temperaturas podem variar, mas nenhum calor e´ adicionado ou
retirado. A lei de transformac¸a˜o adiaba´tica para o ar e´ pV 1,4 = c, onde p e´ a pressa˜o,
V e´ o volume e c e´ uma constante. O volume de uma certa caˆmara de ar isolada esta´
decrescendo uniformemente a uma taxa de 2, 83× 10−2 m3/s. Determine a velocidade
com que a pressa˜o cai no instante em que ela e´ 45 N/cm2 e o volume e´ 37× 10−2 m3.
Sendo p = cV −1,4, temos:
dp
dt
=
dp
dV
dV
dt
= −1, 4cV −2,4dV
dt
= −1, 4 p
V
dV
dt
No instante t∗ em que a pressa˜o e´ 45 N/cm2, a taxa de decrescimento do volume e´
−2, 83× 10−2 m3/s e o volume e´ 37× 10−2 m3, a taxa em que a pressa˜o esta´ caindo
e´ dada por:
p′(t∗) = −1, 4× 45
10−4
N
m2
× 1
37× 10−2 m3 ×−2, 83× 10
−2m3
s
= 4, 818 N/cm2s
1.2.4 O´ptica
O ”princ´ıpio de Fermat”, afirma que um raio luminoso se propaga numa trajeto´ria de
modo que o tempo de percurso e´ m´ınimo. Usaremos esse princ´ıpio para deduzir a lei de
refrac¸a˜o da luz.
Exemplo 1.13 (Refrac¸a˜o da Luz) Em meios diferentes (ar, a´gua, vidro), a luz tem
velocidades diferentes. Se um raio de luz passa do ar para a a´gua, (Fig.1.7), ele e´
refratado passando a uma direc¸a˜o mais pro´xima da perpendicular a` interface. Suponha
18 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
que o raio de luz de A a M tem velocidade va e de M a B tem velocidade vw. Prove
que
sinα
sinβ
=
va
vw
Colocando um sistema de eixos cartesianos passando por A1MB1, de modo que M e´
a origem, segue que a abscissa de B1 e´ x e de A1 e´ c − x. Por outro lado, sendo a
velocidade da luz no ar va e na a´gua e´ vw, enta˜o o tempo total de percurso T e´ o tempo
no ar mais o tempo na a´gua, isto e´,
T (x) =
√
b2 + x2
vw
+
√
a2 + (c− x)2
va
Calculando a derivada desta func¸a˜o e igualandoa zero, segue o resultado.
Figura 1.7:
Exemplo 1.14 Considere a reta tangente em um ponto P = (x, y) da para´bola y2 =
4px (Fig.1.8), onde F = (p, 0) e´ o foco. Seja α o aˆngulo entre a tangente e o segmento
FP e seja β o aˆngulo entre a tangente e a reta horizontal que passa por P . Prove que
α = β.
1.2. APLICAC¸O˜ES 19
Figura 1.8:
O coeficiente da reta tangente que passa por P e´
dy
dx
=
1
dx
dy
=
1
y
2p
=
2p
y
= tanβ (1.7)
Por outro lado, o coeficiente da reta que passa por P e pelo foco F e´
tan θ =
∆y
∆x
=
y
x− p (1.8)
onde θ e´ o aˆngulo formado por FP e o eixo x. Prolongando a tangente ate´ o eixo x,
teremos um triaˆngulo e pelo Teor. do aˆngulo externo, temos θ = α+ β. Assim, usando
(1.7) e (1.8), temos:
tanα = tan(θ − β) = tan θ − tanβ
1 + tan θ tanβ
=
y
x− p −
2p
y
1 +
y
x− p ·
2p
y
=
2p
y
(1.9)
De (1.7) e (1.9), temos o resultado desejado.
20 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Observac¸a˜o 1.2 O fato acima e´ conhecida por propriedade de reflexa˜o das para´bolas
e tem muitas aplicac¸o˜es. E´ usada, por exemplo, no desenho do espelho dos faro´is. Para
construir, tal espelho giramos a para´bola ao redor de seu eixo a fim de formar uma
superf´ıcie de revoluc¸a˜o; depois pintamos a parte interna com tinta prateada criando
uma superf´ıcie refletora. Colocando-se uma fonte de luz no foco F , cada raio que a
fonte irradia sera´ refletido na superf´ıcie e adotara´ como trajeto´ria uma reta paralela ao
eixo. O mesmo princ´ıpio e´ utilizado no desenho de espelho de telesco´pios refletores e
fornos solares.
1.3 Exerc´ıcios Propostos
1. Um corpo se move sobre uma reta segundo a lei s =
t3
2
− 2t. Determine sua
velocidade e acelerac¸a˜o no fim de 2 segundos.
2. Um corpo se move sobre uma horizontal de acordo com a lei s = f(t) = t3 −
9t2 + 24t.
(a) Quando s e´ crescente e quando e´ decrescente?
(b) Quando v e´ crescente e quando e´ decrescente?
(c) Quando o movimento do corpo e´ acelerado e quando e´ retardado?
(d) Determinar a distaˆncia total percorrida nos primeiros 5 segundos do movi-
mento.
3. O alcance da trajeto´ria de um proje´til lanc¸ado (no va´cuo) com uma velocidade
inicial v0 sob um aˆngulo θ com o horizonte e´ dado pela fo´rmula
R =
v20
g
sin(2θ)
1.3. EXERCI´CIOS PROPOSTOS 21
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Para uma dada velocidade inicial v0, deter-
minar para que valor de θ o alcance da trajeto´ria sera´ ma´ximo.
4. Um raio de luz parte de um ponto A e um ponto P sobre um espelho plano, sendo
enta˜o refletido e passando por um ponto B (Fig. 1.9). Medidas acuradas mostram
que o raio incidente e o raio refletido formam aˆngulos iguais com o espelho: α = β.
Use o princ´ıpio de Fermat e prove este resultado.
5. Eleva-se um peso w com ajuda de uma alavanca. O peso encontra-se a distaˆncia
a cent´ımetros do ponto de apoio, cada parte da alavanca de 1 cm de compri-
mento pesa q gramas. Qual deve ser o comprimento da alavanca para que a forc¸a
necessa´ria para elevar o peso seja m´ınima?
Figura 1.9:
6. A parte inferior de um mural de 12 m de altura, esta´ a 6 m de altura com relac¸a˜o
aos olhos do observador. Partindo da hipo´tese de que a vista mais favora´vel
e´ obtida quando o aˆngulo sob o qual e´ visto o mural e´ ma´ximo, determinar a
distaˆncia que deve separar o observador da parede.
22 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Sugesta˜o: Seja θ o aˆngulo sob o qual o mural e´ visto e x a distaˆncia procurada,
(Fig. 1.10), e deduza uma relac¸a˜o entre θ e x.
Figura 1.10:
7. Como as para´bolas, as elipses teˆm tambe´m uma propriedade de reflexa˜o. Seja P
um ponto sobre uma elipse com focos F e F ′ e seja T a tangente em P (Fig.
2.1). Se T faz aˆngulo α e β com os dois raios focais PF e PF ′, enta˜o α = β.
Prove este resultado.
Figura 1.11:
Observac¸a˜o 1.3 Essa propriedade de reflexa˜o na˜o tem aplicac¸o˜es importantes
1.3. EXERCI´CIOS PROPOSTOS 23
como as que vimos no caso das para´bolas, mas ha´ pelo menos uma consequeˆncia
divertida. Seja a elipse da figura girada ao redor de seu eixo maior para formar uma
superf´ıcie de revoluc¸a˜o e imagine que e´ constru´ıdo um quarto com suas paredes
e teto tendo a forma da parte superior dessa superf´ıcie, com os dois focos mais
ou menos na altura dos ombros. Enta˜o um susurro emitido num foco pode ser
claramente ouvido a uma distaˆncia considera´vel, no outro foco, mesmo que seja
inaud´ıvel em pontos intermedia´rios, pois as ondas sonoras batem nas paredes e
sa˜o refletidas dirigindo-se ao segundo foco, e ale´m de chegarem juntas, pois todas
elas percorrem a mesma distaˆncia.
8. Num certo instante, uma amostra de ga´s que obedece a` Lei de Boyle ocupa
um volume de 1000 cm3 a uma pressa˜o de 10 N/cm2. Se esse ga´s esta´ sendo
comprimido isotermicamente a` taxa de 12 cm3/min, ache a taxa com que a
pressa˜o esta´ crescendo no instante em que o volume e´ de 600 cm3.
24 CAPI´TULO 1. CA´LCULO DIFERENCIAL DE UMA VARIA´VEL
Cap´ıtulo 2
Ca´lculo Integral de uma
Varia´vel
2.1 A Integral Indefinida
2.1.1 Introduc¸a˜o
Nosso estudo no cap´ıtulo anterior tratou do problema das tangentes e suas diversas
aplicac¸o˜es na F´ısica. A noc¸a˜o de derivadas e´ estendido para func¸o˜es de va´rias varia´veis,
func¸o˜es vetoriais, func¸o˜es de uma varia´vel complexa, enriquecendo toda Matema´tica.
Ale´m de iniciar o estudo intensivo de derivadas, Newton e Leibniz descobriram
tambe´m que muitos problemas de geometria e f´ısica dependem de ”derivac¸a˜o para
tra´s”ou ”antiderivac¸a˜o”. Esse e´, a`s vezes, chamado problema inverso das tangentes:
dada a derivada de uma func¸a˜o, achar a pro´pria func¸a˜o.
25
26 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
2.1.2 Definic¸a˜o e Propriedades
Definic¸a˜o 2.1 Se F (x) e´ uma func¸a˜o cuja derivada F ′ = f(x), F (x) e´ denominada
uma integral de f(x) e denotamos por
F (x) =
∫
f(x)dx
Note que se F (x) for uma integral de f(x), F (x) + C tambe´m o sera´, sendo C uma
constante arbitra´ria. Desse fato, segue a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 2.2 A integral indefinida de f(x) e´ a integral mais geral da func¸a˜o, isto e´,∫
f(x)dx = F (x) + C
Teorema 2.1 Da Def. (2.2) e das propriedades de derivac¸a˜o, temos:
i)
∫ d
dx
[f(x)]dx = f(x) + C;
ii)
∫
(u+ v)dx =
∫
udx+
∫
vdx;
iii)
∫
audx = a
∫
udx, onde a e´ uma constante qualquer.
iv)
∫
undu =
un+1
n+ 1
+ C, se n 6= −1;
v)
∫ du
u
= lnu+ C, se u > 0;
vi)
∫
eudu = eu + C;
vii)
∫
sinudu = − cosu+ C;
viii)
∫
cosudu = sinu+ C;
ix)
∫ du√
a2 − u2 = arcsin
u
a
+ C, se u2 < a2;
x)
∫ du
a2 + u2
=
1
a
arctan
u
a
+ C
2.1. A INTEGRAL INDEFINIDA 27
2.1.3 Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o de Varia´veis e por Partes
No me´todo de substituic¸a˜o de varia´veis introduzimos a varia´vel auxiliar u como um
novo s´ımbolo para uma parte do integrando na esperanc¸a de que sua diferencial du va´
responder por alguma outra parte, e por meio disso, reduzir a integral completa a uma
forma facilmente reconhec´ıvel.
Quando escrevemos a fo´rmula da derivada de um produto (a regra do produto) na
notac¸a˜o de diferencial, temos
d(uv) = udv + vdu ou udv = d(uv)− vdu
e por integrac¸a˜o obtemos, a regra de integrac¸a˜o por partes∫
udv = uv −
∫
vdu (2.1)
Para aplicar a regra separar o integrando em duas partes, uma que e´ u e a outra que,
juntamente com dx, e´ dv. Tem-se duas regras gerais:
i) A parte escolhida como dv deve ser facilmente integra´vel;
ii)
∫
vdu deve ser mais simples do que
∫
udv.
Exemplo 2.1 Calcule as integrais abaixo:
a)
∫ cosxdx√
1 + sinx
;
b)
∫
xe2xdx.
a) Escolhemos u = 1 + sinx, de modo que du= cosxdx e∫
cosxdx√
1 + sinx
=
∫
du√
u
= 2
√
u+ C = 2
√
1 + sinx+ C
28 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
b) Escolhemos u = x ⇒ du = dx e dv = e2x ⇒ v = e2x/2. Assim, pela fo´rmula
de integrac¸a˜o por partes segue que:∫
xe2xdx =
(
x
2
− 1
4
)
e2x + C
Existem outras te´cnicas de integrac¸a˜o, tais como integrais por substituic¸a˜o trigonome´trica,
frac¸o˜es parciais, completamento de quadrados, etc. Para o leitor interessado recomen-
damos os livros [2, 3] e [4].
2.2 A Integral Definida
2.2.1 Somas de Riemann
Seja f(x) uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b]. Para definir a integral definida, dividimos
o intervalo [a, b] em n subintervalos pelos pontos a = x0, x1, . . . , xn = b, com x0 <
x1 < x2 < . . . < xn e fac¸amos xk − xk−1 = ∆xk, para k = 1, . . . n. Sejam mk e Mk
e´ o menor e o maior valor de f(x) sobre o subintervalo [xk−1, xk], respectivamente e
formemos a soma
S n :=
n∑
k=1
mk∆xk
Sn :=
n∑
k=1
Mk∆xk
A soma S n chama-se soma inferior de Riemann e Sn soma superior de Riemann;
Seja ξk ∈ (xk−1, xk) para k = 1, . . . , n e formemos a soma (Fig. 2.1).
Sn =
n∑
k=1
f(ξk)∆xk
2.2. A INTEGRAL DEFINIDA 29
Figura 2.1:
que se chama soma de Riemann para a func¸a˜o f(x) sobre o intervalo [a, b]. Dado
que, qualquer que seja ξk sobre o segmento [xk−1, xk] se tem mk ≤ f(ξk) ≤Mk e que
∆xk > 0, deduz-se mk∆xk ≤ f(ξk)∆xk ≤Mk∆xk, donde segue que
n∑
k=1
mk∆xk ≤
n∑
k=1
f(ξk)∆xk ≤
n∑
k=1
Mk∆xk ou S n ≤ Sn ≤ Sn
Designemos por max[xk−1, xk] o comprimento do maior dos segmentos, |xk − xk−1|
para k = 1, . . . , n. Consideremos diversos cortes de [a, b] em subintervalos [xk−1, xk]
tais que max[xk−1, xk] → 0. E´ evidente que o nu´mero n de subintervalos de uma
decomposic¸a˜o tende para o infinito. Pode-se formar para cada corte, escolhendo os
valores correspondentes ξk, a soma de Riemann
n∑
k=1
f(ξk)∆xk
de modo que se possa falar de cortes sucessivos e da se´rie das somas de Riemann que
lhes correspondem.
30 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Definic¸a˜o 2.3 Suponhamos que para uma se´rie de cortes dados, com max ∆xk → 0 e
para ξk quaisquer, a soma
∑n
k=1 f(xk)∆xk, tende para um u´nico limite I, dizemos que
a func¸a˜o f(x) e´ integra´vel sobre o intervalo [a, b].
O limite I chama-se integral definida da func¸a˜o f(x) sobre [a, b]. Designa-se por∫ b
a f(x)dx e escreve-se:
lim
max ∆xk→0
n∑
k=1
f(ξk)∆xk =
∫ b
a
f(x)dx
O nu´mero a e´ o limite inferior da integral e b o limite superior. E´ poss´ıvel demonstrar
que se uma func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua sobre [a, b], enta˜o ela e´ integra´vel sobre esse
intervalo. Ale´m disso, se f(x) ≥ 0, enta˜o ∫ ba f(x)dx e´ numericamente igual a` a´rea de
f(x) sobre esse intervalo.
2.2.2 Propriedades da Integral Definida
Teorema 2.2 Suponhamos que as func¸o˜es f(x) e g(x) sejam integra´veis no intervalo
[a, b]. Enta˜o
i)
∫ a
a f(x)dx = 0;
ii)
∫ b
a f(x)dx = −
∫ a
b f(x)dx;
iii)
∫ b
a f(x)dx =
∫ c
a f(x)dx+
∫ b
c f(x)dx, sendo a < c < b;
iv)
∫ b
a kf(x)dx = k
∫ b
a f(x)dx;
v)
∫ b
a [f(x) + g(x)]dx =
∫ b
a f(x)dx+
∫ b
a g(x)dx;
vi) Se f(x) ≤ g(x) em [a, b], enta˜o ∫ ba f(x)dx ≤ ∫ ba g(x)dx.
2.2. A INTEGRAL DEFINIDA 31
Teorema 2.3 (Teorema Fundamental do Ca´lculo) Se F (x) e´ uma primitiva da func¸a˜o
cont´ınua f(x), enta˜o ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Teorema 2.4 (Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Definida) Seja a integral
∫ b
a f(x)dx,
em que f(x) e´ cont´ınua sobre o segmento [a, b]. Introduzimos a nova varia´vel t pela
fo´rmula x = φ(t). Se
i) φ(α) = a e φ(β) = b;
ii) φ(t) e φ′(t) sa˜o cont´ınuas sobre o segmento [a, b];
iii) f [φ(t)] e´ definida e cont´ınua sobre [α, β], enta˜o,∫ b
a
f(x)dx =
∫ β
α
f [φ(t)]φ′(t)dt
Exemplo 2.2 Calcule a integral
∫ r
−r
√
r2 − x2dx e interprete-a geometricamente.
Seja I a integral acima. Por simetria, podemos integrar de 0 a r e duplicar o valor, mas
para isso, seja x = r sin θ ⇒ dx = r cos θdθ e
I = 2
∫ pi/2
0
√
r2 − (r sin θ)2 r cos θdθ = 2r2
∫ pi/2
0
cos2 θdθ =
∫ pi/2
0
[1+cos(2θ)]dθ =
pir2
2
Geometricamente, I representa a a´rea compreendida acima do eixo x e abaixo da cir-
cunfereˆncia de raio r centrada na origem.
2.2.3 Integrais Impro´prias
Definimos a integral ∫ ∞
a
f(x)dx (2.2)
32 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
em que o limite superior e´ infinito e o integrando f(x) e´ suposto cont´ınuo no intervalo
ilimitado a ≤ x <∞ , de maneira natural sugerida pela integral acima, isto e´, integramos
de a ate´ um limite superior finito pore´m varia´vel t e depois fazemos t tender a∞. Assim,∫ ∞
a
f(x)dx = lim
t→∞
∫ t
a
f(x)dx
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral impro´pria diz-se convergente,
e esse valor e´ atribu´ıdo a ele. Caso contra´rio, a integral e´ chamada divergente. Se
f(x) ≥ 0, enta˜o (2.2) pode ser encarada como a a´rea da regia˜o ilimitada (Fig.). Nesse
caso, a a´rea da regia˜o e´ finita ou infinita conforme a integral impro´pria (2.2) convirja
ou divirja.
Figura 2.2:
Exemplo 2.3 Calcule as integrais impro´prias abaixo:
a)
∫∞
4
dx
x
√
x
;
b) Sabendo que
∫∞
0 sin(x)dx/x = pi/2, calcule
∫∞
0
e−x sinx
x
dx.
a) ∫ ∞
4
dx
x
√
x
= lim
t→∞
∫ t
4
x−3/2dx = lim
t→∞
x−1/2
−1/2
]t
4
= 1
2.2. A INTEGRAL DEFINIDA 33
b) Seja I(p) =
∫∞
0
e−px sinx
x
dx para p > 0. Note que I(0) =
∫∞
0 sin(x)dx/x =
pi/2 e I(1) e´ o que queremos achar. Derivando I(p), temos:
I ′(p) =
d
dp
∫ ∞
0
e−px sinx
x
dx =
∫ ∞
0
∂
∂p
[
e−px sinx
x
]
dx = −
∫ ∞
0
e−px sinx dx
= − 1
p2 + 1
onde a u´ltima igualdade foi obtida atrave´s de duas integrac¸o˜es por partes. Assim,
I(p) = − arctan p+ C. Sendo I(0) = pi/2, segue que I(p) = pi/2− arctan p, de
modo que, I(1) = pi/4.
Se f(x) e´ cont´ınua em toda reta, enta˜o escrevemos, por definic¸a˜o∫ ∞
−∞
f(x)dx =
∫ 0
−∞
f(x)dx+
∫ ∞
0
f(x)dx = lim
t→−∞
∫ 0
t
f(x)dx+ lim
t→∞
∫ t
0
f(x)dx
= lim
t→∞
∫ t
−t
f(x)dx
Exemplo 2.4 Sabendo que ∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
calcule o que se pede nos itens abaixo:
a) Use o me´todo de integrac¸a˜o por substituic¸a˜o de varia´veis e mostre que∫ ∞
−∞
e−ax
2
dx =
√
pi
a
, a > 0
b) Use o me´todo de integrac¸a˜o por partes e mostre que∫ ∞
−∞
x2e−x
2
dx =
√
pi
2
a) Fazendo u =
√
ax, enta˜o dx = du/
√
a, temos:∫ ∞
−∞
e−ax
2
dx =
∫ ∞
−∞
e−y2√
a
dy =
√
pi
a
34 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
b) Fazemos u = x ⇒ du = dx e dv = xex2 ⇒ v = ex2/2, de modo que∫ ∞
−∞
x2e−x
2
dx =
xe−x2
2
]∞
−∞
−
∫ ∞
−∞
e−x2/2
2
dx =
√
pi
2
2.3 Aplicac¸o˜es
Ha´ muitas quantidades na F´ısica que podem ser tratadas essencialmente atrave´s de in-
tegrais definidas. Entre elas esta˜o os volumes, os comprimentos de cabos, as a´reas de
superf´ıcie, o trabalho realizado por uma forc¸a varia´vel agindo ao longo de um segmento
de reta, centro de massa, momentos de ine´rcia, forc¸a hidrosta´tica total que age sob
uma barragem, etc. Em cada caso, o processo e´ o mesmo: um intervalo de varia´vel
independente e´ dividido em pequenos subintervalos, a quantidade em questa˜o e´ aprox-
imada por certas somas correspondentes e o limite dessas somas fornece o valor exato
da quantidade na forma de uma integral definida, que e´ enta˜o calculada por meio do
Teorema Fundamental.
2.3.1 A´reas de Placas Planas
Uma vez que ja´ vimos os detalhes do processo de limite de somas efetuadas para a a´rea
sob uma curva, como foi feito anteriormente, seria desnecessa´rio e mono´tono reveˆ-los a
cada nova quantidade que encontrarmos. Com essa ide´ia, na (Fig.2.3) consideramos
a maneira fa´cil e intuitiva de construir a integral definida de uma func¸a˜o y = f(x).
Podemos imaginar que a a´rea sob a curva e´ composta de uma grande quantidade de
faixas retangulares verticais finas. A faixa t´ıpica mostrada na (Fig. 2.3) tem altura y e
largura dx e, portanto, a´rea
dA = ydx ⇒ A =
∫
dA =
∫ b
a
ydx =
∫ b
a
f(x)dx (2.3)
2.3. APLICAC¸O˜ES 35
Figura 2.3:
Para func¸o˜es na varia´vel y ,isto e´, x = g(y), a a´rea sob o gra´fico e o eixo y entre os
limites c e d (Fig.2.4), o elemento infinitesimal de a´rea e´ dado por
dA = xdy ⇒ A =
∫
dA =
∫ d
c
xdy =
∫ d
c
g(y)dy (2.4)
Assim, intuitivamente podemos concluir que a integrac¸a˜o e´ o ato de calcular o todo
Figura 2.4:
36 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
de uma quantidade contando-a numa grande quantidade de pedac¸os convenientemente
pequenos e depois adicionando esses pedac¸os. Essa abordagem foi desenvolvida por G.
W. Leibniz no se´c. XVII na resoluc¸a˜o de va´rios problemas geome´tricos e mecaˆnicos.
Observac¸a˜o 2.1 Se ρ = f(θ) representa a equac¸a˜o de uma curva em coordenadas
polares, em que f(θ) e´ uma func¸a˜o cont´ınua quando α ≤ θ ≤ β, enta˜o a a´rea desse
setor curvil´ıneo e´ dada por
S =
1
2
∫ β
α
ρ2dθ (2.5)
Exemplo 2.5 Calcule a a´rea de uma placa contida no interior de um c´ırculo ρ = 6a cos θ
e exterior a` cardio´ide ρ = 2a(1 + cos θ).
Figura 2.5:
Igualando os ρ e resolvendo para θ, vemos que as curvas se interceptam no primeiro
quadrante em θ = pi/3. Assim, por simetria,
A = 2×1
2
∫ pi/3
0
(ρ2c´ırculo−ρ2cardio´ide)dθ = 4a2
∫ pi/3
0
[(6a cos θ)2−4a2(1+cos θ)2]dθ = 4pia2 u.a.
Observe que para calcular a massa de uma placa plana, uniforme e homogeˆnea, basta
conhecermos sua a´rea e sua densidade superficial. Vejamos um exemplo.
2.3. APLICAC¸O˜ES 37
Exemplo 2.6 Determine a massa de uma placa plana, uniforme e homogeˆnea, sabendo
que ela tem o formato da regia˜o limitada pela para´bola x = 8 + 2y − y2 e o eixo y e
que sua densidade e´ σ = 6g/cm2 (Fig. 2.6).
Figura 2.6:
A =
∫ 4
−2
(8 + 2y − y2)dy = 36u.a.
donde segue que
M = σA = 6× 36 = 216 g
2.3.2 Movimentos Sob a Gravidade e Velocidade de Escape
Grande parte da inspirac¸a˜o original para o desenvolvimento do Ca´lculo proveio da cieˆncia
da Mecaˆnica, e esses dois assuntos continuaram inseparavelmente ligados ate´ hoje. A
Mecaˆnica repousa sobre certos princ´ıpios ba´sicos que foram primeiramente formulados
por Newton. O enunciado desses princ´ıpios requer o conceito de derivada, e veremos
nesta sec¸a˜o que suas aplicac¸o˜es dependem da integrac¸a˜o e soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferen-
ciais.
Na Sec. 1.2.1, introduzimos o conceito de movimento ao longo de uma reta. Em
contraste, o movimento ao longo de uma trajeto´ria curva chama-se, a`s vezes, movimento
38 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
curvil´ıneo. Nosso objetivo agora e´ completar esse estudo, uma vez que ja´ temos as
ferramentas necessa´rias (Ca´lculo Integral). Para isso, precisaremos da Segunda Lei de
Newton cujo o enunciado e´ o seguinte: A acelerac¸a˜o de uma part´ıcula e´ diretamente
proporcional a` forc¸a F que atua nela e inversamente proporcional a sua massa m, isto
e´, a =
F
m
ou, de modo equivalente,
F = ma = m
dv
dt
= m
d2s
dt2
(2.6)
Essa equac¸a˜o tem profundas consequeˆncias, pois, em princ´ıpio podemos, determinar a
posic¸a˜o da part´ıcula em qualquer instante t, resolvendo (2.6) com condic¸o˜es iniciais
apropriadas.
Exemplo 2.7 Um garoto arremessa uma bola na direc¸a˜o vertical ao lado de um bar-
ranco, como mostrado na (Fig. 2.7). Se a velocidade inicial da bola e´ 15 m/s para
cima, e a bola e´ largada a 40 m do fundo do barranco, determine:
a) A altura ma´xima alcanc¸ada pela bola;
b) A velocidade da bola imediatamente antes de se chocar com o solo.
Durante todo tempo em que a bola esta´ em movimento, a mesma esta´ sujeita a uma
acelerac¸a˜o constante para baixo de 9, 81 m/s2 devido a` gravidade. Despreze o efeito da
resisteˆncia do ar.
O eixo de coordenadas para a posic¸a˜o s = 0 e´ tomado na base do barranco conforme
mostrado na figura.
a) Pela Segunda Lei de Newton, mdv/dt = −mg, donde segue que
dv
ds
ds
dt
= −g ⇒
∫ vB
vA
vdv = −
∫ sB
sA
gds ⇒
∫ 0
15
vdv = −
∫ sB
40
gds
Resolvendo as integrais acima, segue que sB = 51, 5 m;
2.3. APLICAC¸O˜ES 39
Figura 2.7:
b) Para obter a velocidade vC da bola imediatamente antes de chocar-se com o solo,
usamos a equac¸a˜o vdv = −gds do item a) para obter∫ vC
vB
vdv = −
∫ sC
sB
gds ⇒
∫ vC
0
vdv = −
∫ 0
51,5
gds ⇒ vC = −31, 8 m/s
Exemplo 2.8 (Velocidade de Escape) Suponha que um foguete seja disparado para
cima com velocidade inicial v0 e depois se mova sem posterior gasto de energia. Para
valores grandes de v0, ele sobe bastante antes de chegar ao repouso e cair de volta a`
Terra. Qual deve ser v0 para que o foguete jamais chegue ao repouso e por causa disso
escape da atrac¸a˜o gravitacional da Terra?
De acordo com a Lei de Gravitac¸a˜o de Newton, duas part´ıculas quaisquer de mate´ria
no universo se atraem com uma forc¸a que e´ proporcional a suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre elas. Considerando que toda massa da
40 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Terra esta´ concentrada em seu centro, podemos trata´-la como se fosse uma part´ıcula
(veja a Fig. 2.8), temos:
F = −GMm
s2
onde G e´ a constante universal de gravitac¸a˜o, M e m sa˜o as massas da Terra e do
Figura 2.8:
foguete respectivamente e s e´ a distaˆncia do foguete ao centro da Terra. Aplicando a
Segunda Lei de Newton, temos:
m
d2s
dt2
= −GMm
s2
⇒ d
2s
dt2
= −GM
s2
(2.7)
Esta equac¸a˜o nos diz que o movimento do foguete na˜o depende de sua massa. Note
que
d2s
dt2
=
d
dt
(
ds
dt
)
=
dv
ds
ds
dt
= v
dv
ds
(2.8)
Substituindo (2.7) em (2.8), segue que
v
dv
ds
= −GM
s2
(2.9)
2.3. APLICAC¸O˜ES 41
Na superf´ıcie da Terra, para s = R, a forc¸a gravitacional agindo sobre o foguete e´ igual
ao seu pro´prio peso, ou seja, GMm/R2 = mg ⇒ GM = gR2. Substituindo em (2.9),
temos:
vdv = −gR2ds
s2
⇒
∫ v
v0
vdv = −gR2
∫ s
R
ds
s2
⇒ v
2
2
=
gR2
s
+
(
v20
2
− gR
)
(2.10)
Nossa conclusa˜o final emerge de (2.10) como se segue: para o foguete escapar da
Terra, ele deve mover-se de tal modo que v2/2 seja sempre positivo, pois, se v2/2 se
anula, o foguete pa´ra e enta˜o cai de volta a` Terra. Mas o primeiro termo a` direita de
(2.10) evidentemente tende para zero quando s cresce. Portanto, para garantir que v2/2
seja positivo, na˜o importa qua˜o grande seja s, devemos ter v20/2 − gR ≥ 0, ou seja,
v0 ≥
√
2gR. A quantidade ve :=
√
2gR e´ usualmente conhecida como a velocidade de
escape da Terra. Sendo R = 6, 37×106 m e g = 9, 81 m/s2, segue que ve = 11, 3 km/s;
Exemplo 2.9 Uma barra fina uniforme e homogeˆnea de massa M e´ deformada ate´
adquirir a forma de um semic´ırculo de raio R (Fig. 2.9).
a) Qual a forc¸a gravitacional (em mo´dulo e direc¸a˜o) sobre uma part´ıcula de massa
m colocada em P , centro de curvatura da barra?
b) Qual seria a forc¸a gravitacional sobre m, se a barra tivesse a forma de um c´ırculo
completo?
Sendo a barra e´ homogeˆnea, sua densidade ρ e´ constante, a sua massa e´ M = ρl = ρpiR.
Considere um elemento infinitesimal de massa dM sobre o arco.
a) Seja dF o elemento infitesimal de forc¸a entre dM e m. Como a soma de todos os
elementos infinitesimais de forc¸a na horizontal se cancelam, pela Lei da Gravitac¸a˜o
42 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.9:
Universal de Newton, segue que o mo´dulodo infinite´simo de forc¸a na vertical dFv
entre dM e m e´ dado por:
dFv =
GmdM sin θ
R2
=
GmρR sin θdθ
R2
donde segue que
Fv =
∫ pi
0
GmρR sin θdθ
R2
=
2Gmρ
R
=
2
pi
GMm
R2
b) Por simetria, a forc¸a gravitacional seria nula.
2.3.3 Movimento Curvil´ıneo de uma Part´ıcula
Quando uma part´ıcula se desloca ao longo de uma trajeto´ria curva, o movimento e´
chamado movimento curvil´ıneo. Por causa da trajeto´ria ser frequentemente repre-
sentada em treˆs dimenso˜es, a ana´lise vetorial sera´ usada para descrever a posic¸a˜o,
velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula.
A posic¸a˜o de uma part´ıcula, localizada no ponto P = (x, y, z) em um espac¸o curvo,
sera´ designado pelo vetor posic¸a˜o
r = r(t) (2.11)
2.3. APLICAC¸O˜ES 43
As coordenadas x, y e z do vetor posic¸a˜o r(t) sera˜o tambe´m func¸o˜es de t, ou seja:
x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
Reciprocamente, treˆs func¸o˜es x(t), y(t) e z(t), consideradas como componentes do vetor,
determinam a func¸a˜o vetorial.
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (2.12)
De (2.12), segue que o mo´dulo de r(t) e´ dado por
r =
√
x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 (2.13)
Suponha que durante um pequeno intervalo de tempo ∆t, a part´ıcula percorre uma
distaˆncia ∆s ao longo da curva para uma nova posic¸a˜o P (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z),
definida por r(t+ ∆) = r(t) + ∆r (Fig. 2.10).
Figura 2.10:
Definic¸a˜o 2.4 O deslocamento ∆r da part´ıcula e´ definido por ∆r = r(t+ ∆t)− r(t).
Definic¸a˜o 2.5 Durante o tempo ∆t, a velocidade me´dia da part´ıcula e´ definida por
vm =
∆r
∆t
(2.14)
44 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Definic¸a˜o 2.6 A velocidade instantaˆnea e´ definida a partir de (2.14) fazendo ∆t→ 0,
ou seja,
v = lim
∆t→0
∆r
∆t
=
dr
dt
= x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k (2.15)
Se denotarmos por vx, vy e vz as componentes da velocidade instantaˆnea, enta˜o de
(2.15) temos
vx = x′(t) = x˙, vy = y′(t) = y˙, vz = z′(t) = z˙ (2.16)
A notac¸a˜o por meio de ”pontos”x˙, y˙ e z˙ representam as derivadas primeiras em relac¸a˜o
ao tempo de x = x(t), y = y(t) e z = z(t), respectivamente.
Conforme mostrado na (Fig. 2.11), a direc¸a˜o de v e´ sempre tangente a` trajeto´ria
do movimento. O mo´dulo de v, que e´ chamado de velocidade escalar, pode ser obtido
observando que o mo´dulo do deslocamento ∆r e´ o comprimento do segmento linear P
a P ′, (Fig.2.10).
Figura 2.11:
v =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
=
√
dx2 + dy2 + dz2
dt
=
ds
dt
(2.17)
Assim, a velocidade escalar pode ser obtida diferenciando a func¸a˜o trajeto´ria s em relac¸a˜o
ao tempo.
2.3. APLICAC¸O˜ES 45
Definic¸a˜o 2.7 Se a part´ıcula possui uma velocidade v(t) no tempo t e uma velocidade
v(t + ∆t) = v(t) + ∆v em t + ∆t, enta˜o a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula durante o
intervalo de tempo ∆t e´ definida como
am =
∆v
∆t
(2.18)
onde ∆v = v(t+ ∆t)− v(t).
Definic¸a˜o 2.8 A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ definida a partir de (2.18) fazendo ∆t→ 0,
ou seja,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
=
d
dt
[x′(t)i + y′(t)j + z′(t)k] =
d2r
dt2
(2.19)
Analogamente, se denotarmos por ax, ay e az as componentes da acelerac¸a˜o instantaˆnea,
enta˜o de (2.19) temos
ax = v˙x = x¨
ay = v˙y = y¨
az = v˙z = z¨
(2.20)
Exemplo 2.10 (Movimento Circular Uniforme) Uma part´ıcula de massa m move-se
no sentido anti-hora´rio na circunfereˆncia x2 + y2 = R2 com velocidade constante v
(Fig.2.12). Calcule a acelerac¸a˜o da part´ıcula e a forc¸a necessa´ria para produzir esse
movimento.
Note que cos θ = x/R ⇒ x(θ) = R cos θ. Analogamente, sin θ = y/R ⇒ y(θ) =
R sin θ, de modo que r(θ) = R cos θi +R sin θj, onde θ e´ o paraˆmetro. Como s = Rθ,
temos
v =
ds
dt
= R
dθ
dt
⇒ dθ
dt
=
v
R
(2.21)
46 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.12:
A partir de (2.21), podemos calcular a velocidade e acelerac¸a˜o, usando a regra da cadeia.
De fato,
v =
dr
dt
=
dr
dθ
dθ
dt
= (−R cos θi +R sin θj) v
R
= v(− sin θi + cos θj) (2.22)
De (2.22), segue que
a =
dv
dt
=
dv
dθ
dθ
dt
= v
d
dθ
(− sin θi + cos θj)dθ
dt
= − v
2
R2
r
Assim, o vetor acelerac¸a˜o a aponta no sentido do centro da circunfereˆncia e tem mo´dulo
dado por
a =
v2
R2
r =
v2
R
, pois r = R
De acordo com a Lei de Newton, a forc¸a F necessa´ria para produzir esse movimento
deve apontar para o centro da circunfereˆncia com intensidade constante mv2/R. Tal
forc¸a chama-se forc¸a centr´ıpeta.
Exemplo 2.11 O movimento de uma gota B deslizando para baixo ao longo da tra-
jeto´ria espiral mostrada na (Fig.2.13) e´ definido pelo vetor posic¸a˜o r = 2 sin(2pit)i +
2.3. APLICAC¸O˜ES 47
2 cos(2pit)j+ tk, onde o mo´dulo de r e´ dado em metros, t em segundos e os argumentos
para o seno e cosseno sa˜o dados em radianos. Determine a localizac¸a˜o da gota quando
t = 2/3 s, e os mo´dulos da velocidade e acelerac¸a˜o da gota neste instante
Figura 2.13:
A posic¸a˜o da gota para t = 2/3 s e´ r(2/3) = 2 sin(4pi/3)i + 2 cos(4pi/3)j + 2/3k =
−√3i− j+2/3k. O mo´dulo deste vetor representa a distaˆncia da gota desde da origem
O, que e´
r(2/3) =
√
(
√
3)2 + (−1)2 + (2/3)2 = 2
√
10
3
A velocidade e´ definida por
v =
dr
dt
= 4pi cos(2pit)i− 4pi sin(2pit)j + k
Portanto, para t = 2/3 s o mo´dulo da velocidade, ou velocidade escalar, sera´
v =
√
v2x + v2y + v2z =
√
[4pi cos(4pi/3)]2 + [−4pi sin(4pi/3)]2 + 12 =
√
16pi2 + 1 m/s
Pelo que vimos anteriormente, a velocidade e´ tangente a` trajeto´ria. A acelerac¸a˜o e seu
mo´dulo sa˜o dados por
a =
dv
dt
= −8pi2 sin(2pit)i− 8pi2 cos(2pit)j
48 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Portanto, para t = 2/3 s o mo´dulo da acelerac¸a˜o e´
a =
√
a2x + a2y + a2z =
√
[−8pi2 sin(2pit)]2 + [−8pi2 cos(2pit)]2 + 02 = 8pi2 m/s2
A acelerac¸a˜o na˜o e´ tangente a` trajeto´ria; se necessa´rio, sua direc¸a˜o pode ser estabelecida
atrave´s dos aˆngulos diretores α, β e γ, definidos a partir das componentes do vetor
unita´rio ua = a/a.
2.3.4 Movimento de Proje´teis
Um objeto disparado de uma arma ou solto de um avia˜o em movimento e´, geralmente,
chamado de proje´til. O estudo do movimento dos proje´teis (ideal) no ensino da Mecaˆnica
e´ importante por ser o primeiro caso - fora talvez o do movimento circular uniforme -,
de composic¸a˜o de movimentos no plano.
Para ilustrar os conceitos envolvidos na ana´lise cinema´tica, considere um proje´til
disparado de um canha˜o localizado no ponto (x1, y1), conforme mostrado na (Fig. 2.14).
Como o peso e´ a u´nica forc¸a que atua sobre o proje´til, enta˜o pela Segunda Lei de Newton,
a = P = −mgj.
A componente da acelerac¸a˜o na direc¸a˜o x e´ ax(t) = 0. Integrando esta equac¸a˜o
temos vx(t) = v0x, ou seja, a componente horizontal da velocidade e´ constante. Fazendo
mais uma integrac¸a˜o, segue que x(t) = x0 + v0xt.
Por outro lado, sendo o sentido positivo do eixo y orientado para cima, a componente
da acelerac¸a˜o na direc¸a˜o y e´ ay(t) = −g. Por integrac¸a˜o, vy(t) = v0y − gt e y(t) =
y0 + v0yt− gt2/2. Assim, podemos escrever os vetores posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o
2.3. APLICAC¸O˜ES 49
Figura 2.14:
do proje´til, ou seja,
r(t) = (x0 + v0x)i +
(
y0 + v0yt− 12gt
2
)
j
v(t) = (v0x)i + (v0y − gt)j
a(t) = −gj
Seja θ o aˆngulo entre o canha˜o e o eixo (medido no sentido anti-hora´rio). Assim,
tan θ = v0y/v0x e a equac¸a˜o que descreve a trajeto´ria do proje´til e´ dada por
y = y0 + (x− x0) tan θ − g2v20
sec2 θ(x− x0)2 (2.23)
De fato,
dy
dx
=
dy
dt
dt
dx
=
v0y − gt
v0x
=
v0y
v0x
− g
v0x
(x− x0)
v0x
= tan θ − g
v20x
(x− x0) (2.24)
Em seguida, integramos a equac¸a˜o (2.24) e usamos a condic¸a˜oinicial y(x0) = y0 para
obter
y(x) = y0 + (x− x0) tan θ − g2v20x
(x− x0)2
Sendo v20 = v
2
0x sec
2 θ, segue o resultado.
50 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Exemplo 2.12 De um canha˜o que esta´ sobre um plano inclinado conforme a (Fig. 2.15),
e´ lanc¸ado um proje´til com velocidade v0. Determine a inclinac¸a˜o do cano do canha˜o em
relac¸a˜o a horizontal (aˆngulo θ) para que o alcance seja ma´ximo?
Figura 2.15:
Suponhamos que um sistema de coordenadas cartesianas passe pela extremidade do
canha˜o e que suas dimenso˜es sejam desprez´ıveis. A equac¸a˜o da reta que passa pela
hipotenusa da rampa e´
y = x tanα (2.25)
Usando (2.23), a equac¸a˜o da trajeto´ria e´ dada por
y = x tanβ − gx
2
2v20 cos2 β
(2.26)
O proje´til toca a rampa quando (2.25) e (2.26) sa˜o iguais, ou seja,
x(tanβ − tanα) = gx
2
2v20 cos2 β
(2.27)
2.3. APLICAC¸O˜ES 51
A soluc¸a˜o que nos interessa de (2.27) e´ na˜o-nula, de modo que
x(β) =
2v20
g
[sin(2β)− 2 tanα cos2 β] (2.28)
Derivando (2.28) em relac¸a˜o a β e igualando a zero, segue que aˆngulo que ira´ propor-
cionar o ma´ximo alcance do proje´til sobre a rampa e´ dado por β = pi/4 + α/2.
Exemplo 2.13 Um proje´til, tendo um alcance horizontal R, alcanc¸a a ma´xima altura
H. Prove que ele deve ser lanc¸ado com:
a) Uma velocidade inicial em mo´dulo igual a
√
g(R2 + 16H2)/8H;
b) A um aˆngulo com a horizontal dado por arcsin 4H/
√
R2 + 16H2.
Colocando um sistema de eixo no ponto onde o proje´til foi lanc¸ado, enta˜o a equac¸a˜o da
trajeto´ria e´
y = x tan θ − gx
2 sec2 θ
v20
(2.29)
Fazendo y = 0 (2.29), obtemos o alcance
R =
2v20 sin θ cos θ
g
(2.30)
Sendo a trajeto´ria do proje´til uma para´bola, segue que a altura ma´xima H ocorre quando
x = R/2 e´ substituido em (2.29). Assim,
H =
v20 sin
2 θ
2g
(2.31)
De (2.30) e (2.31), segue que
R2+16H2 =
4v40 sin
2 θ
g2
⇒
√
R2 + 16H2 =
2v20 sin θ
g
⇒ sin θ = 4H√
R2 + 16H2
(2.32)
De (2.32), segue o item b). Por outro lado,√
g(R2 + 16H2)
8H
=
2v20 sin θ
g
√
g
8H
=
v0(v0 sin θ)√
2gH
= v0
pois,
√
2gH = v0 sin θ.
52 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
2.3.5 Trabalho e Energia
E´ uma experieˆncia comum, ao ser mover um objeto contra uma forc¸a que age sobre
ele, como por exemplo, quando se levanta uma pedra pesada, a sensac¸a˜o de despender
esforc¸o ou realizar trabalho. Mesmo antes de definir o conceito f´ısico de trabalho,
estamos convencidos de que realizamos o dobro de trabalho para levantar uma pedra de
20 kg a certa altura do que para levantar uma pedra de 10 kg, e tambe´m o trabalho
realizado ao levantar uma pedra 3 m e´ treˆs vezes o de levanta´-la 1 m. Essas ide´ias
indicam o caminho para nossa definic¸a˜o ba´sica: se uma forc¸a constante F age por uma
distaˆncia d, enta˜o o trabalho realizado durante esse processo e´ o produto da forc¸a pela
distaˆncia percorrida:
W = F · d (2.33)
Subentende-se que a forc¸a age no sentido do movimento.
Essa definic¸a˜o e´ satisfato´ria se a forc¸a F e´ constante. No entanto, muitas forc¸as
na˜o permanecem constantes durante o processo de realizar trabalho. Em uma situac¸a˜o
como esta, dividimos o processo em va´rias partes pequenas e calculamos o trabalho
total, integrando os elementos correspondentes a essas partes.
Exemplo 2.14 Dentro de certos limites, a forc¸a necessa´ria para deformar uma mola
e´ proporcional a` deformac¸a˜o (Lei de Hooke), sendo a constante de proporcionalidade
denominada constante da mola. Se uma determinada mola, com o comprimento livre
de 10 cm, exige uma forc¸a de 25 kgf para esticar de 0, 25 cm, calcular o trabalho
efetuado para esticar a mola de 11 cm para 12 cm.
Primeiro, o fato que F = 25 kgf quando esticamos a mola em 0, 25 cm, permite
determinar a constante da mola, pois, 25 = k · 0, 25 ⇒ k = 100 kgf/cm. Para
tornar claras nossas ide´ias, desenhamos a mola em sua condic¸a˜o na˜o-esticada e tambe´m
2.3. APLICAC¸O˜ES 53
apo´s ter sido esticada x cm (Fig. 2.16). Agora, se imaginarmos que a mola e´ esticada
Figura 2.16:
um comprimento adicional muito pequeno dx, enta˜o a forc¸a varia muito pouco nesse
incremento de distaˆncia e pode ser tratada como constante. O trabalho realizado pela
forc¸a de trac¸a˜o da mola nesse incremento de distaˆncia e´ dW = Fdx = 100xdx e o
trabalho total durante esse processo completo de esticamento e´
W =
∫
dW =
∫
Fdx =
∫ 2
1
100xdx = 150 kgfcm
De maneira ana´loga, podemos considerar o trabalho por qualquer forc¸a varia´vel que age
numa dada direc¸a˜o quando seu ponto de aplicac¸a˜o se movo nessa direc¸a˜o. Assim, se o
ponto de aplicac¸a˜o de uma forc¸a F (x) move-se de x = a a x = b, enta˜o dW = Fdx e´
o elemento de trabalho e
W =
∫ b
a
F (x)dx (2.34)
e´ o trabalho total realizado durante o processo.
Exemplo 2.15 Um vaso coˆnico tendo 6 m de raio no topo e 15 m de profundidade,
conte´m o´leo cujo o peso espec´ıfico e´ 800kgf/m3, estando o n´ıvel a 10 m do fundo (Fig.
2.17). Determinar o trabalho necessa´rio para bombear o o´leo ate´ a borda do vaso?
54 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.17:
A esseˆncia do problema e´ o fato de que cada porc¸a˜o de a´gua deve ser erguida de
sua posic¸a˜o inicial ate´ a borda do tanque e descarregada. Tendo em vista o disco
representado na figura, o raio e´ x, a espessura e´ dy, de modo que o trabalho realizado
para levantar essa camada a uma altura 15− y e´
dW = F · d = pix2dy · 800 · (15− y) (2.35)
onde d e´ a distaˆncia dessa camada a borda do vaso. Por semelhanc¸a de triaˆngulos,
x
6
=
y
15
⇒ x = 2
5
y (2.36)
Substituindo (2.36) em (2.35) e integrando de 0 a 10 m, temos o trabalho total, ou
seja:
W =
∫
dW = 800pi
∫ 10
0
(
2y
5
)2
(15− y)dy = 320000pikgm
2.3. APLICAC¸O˜ES 55
Exemplo 2.16 Considere duas part´ıculas de massa M e m, respectivamente. Se M
esta´ fixada na origem, determine o trabalho exigido pela forc¸a gravitacional para mover
m de x = a a x = b.
A forc¸a gravitacional entre essas part´ıculas e´ F = GMm/r2 e o elemento de trabalho
e´ dW = Fdr = GMmdr/r2. Logo, o trabalho total e´
W =
∫
dW = GMm
∫ b
a
dr
r2
= GMm
(
−1
r
)]b
a
= GMm
(
1
a
− 1
b
)
Se pensamos na posic¸a˜o final r = b cada vez mais longe, de modo que b → ∞, enta˜o
o trabalho se aproxima do valor limite GMm/a. Essa quantidade e´ o trabalho que
deve ser realizado contra a forc¸a de atrac¸a˜o para mover m de r = a a uma distaˆncia
infinita, isto e´, para separar as massas completamente. Tal valor e´ o potencial das duas
part´ıculas.
Exemplo 2.17 Um cabo pesando 3 kgf/m esta´ se desenrolando de um tambor cil´ındrico.
Supondo que 15 m ja´ foram desenrolados, achar o trabalho efetuado pela gravidade
quando se desenrolarem mais 50 m.
Seja x o comprimento desenrolado em um tempo qualquer. Enta˜o F (x) = 3x de modo
que
W =
∫ 65
15
3xdx = 6000kgm
Exemplo 2.18 Um cabo com l1 m de comprimento, pesando α N/m, suporta um
peso de P N . Achar o trabalho para enrolar l2 m, (l2 ≤ l1) do cabo em um tambor
(Fig.2.18).
Seja x o comprimento do cabo enrolado no tambor. O peso total (cabo desenrolado
mais peso que suporta) e´ P + α(l1 − x) e o trabalho efetuado para levantar o peso de
56 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.18:
dx e´ dW = [P + α(l1 − x)]dx. Assim, o trabalho efetuado e´:
W =
∫
dW =
∫ l2
0
[P + α(l1 − x)]dx = (P + αl1)l2 − αl
2
2
2
Exemplo 2.19 Um flutuador de madeira cil´ındrico de raio r e altura h flutua sobre a
a´gua. Calcule o trabalho para tira´-lo da a´gua sabendo que sua densidade e´ 0 < ρ < 1
(Fig. 2.19).
Figura 2.19:
2.3. APLICAC¸O˜ES 57
No equil´ıbrio, o peso e´ igual ao empuxo, isto e´,P = E ⇒ pir2hρ = pir2x·1 ⇒ x = ρh,
onde x e´ a parte do cilindro que esta´ submersa. A forc¸a necessa´ria para puxar o cilindro
para uma posic¸a˜o x de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e´
F (x) = P −E(x) = pir2hρ− pir2x · 1 = S(ρh− x)
onde S e´ a a´rea da base do cilindro. Para um pequeno deslocamento dx, temos um
pequeno trabalho dado por dW = F (x)dx. Logo,
W =
∫
dW =
∫ x
0
F (x)dx = S
∫ ρh
0
(ρh− x)dx = ρ
2h2S
2
Exemplo 2.20 (Equac¸a˜o de Einstein) Pela Teoria da Relatividade, a massa m de uma
part´ıcula aumenta a medida que aumentamos sua velocidade, ou seja,
m =
m0√
1− v2/c2 (2.37)
onde m0 e´ a chmada massa de repouso. Supondo que a part´ıcula parte do repouso na
origem do eixo x, use a Segunda Lei Generalizada de Newton, isto e´, F = d(mv)/dt
para mostrar que a energia (trabalho realizado por F sobre a part´ıcula) esta´ relacionada
com o aumento de massa (M = m−m0) pela famosa equac¸a˜o de Einstein
E = Mc2 (2.38)
onde c e´ a velocidade da luz no va´cuo.
Note que
F =
d
dt
(mv) = m0
d
dv
(
v√
1− v2/c2
)
dv
dt
=
m0a
(1− v2/c2)3/2 (2.39)
o que mostra qua˜o pro´xima a Lei de Einstein esta´ da Lei de Newton, quando v e´ muito
menor que c. Entretanto, quando v esta´ perto da velocidade da luz, como na maioria
58 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
dos fenoˆmenos da F´ısica Atoˆmica, enta˜o as duas leis diferem consideravelmente e toda
a evideˆncia experimental apoia a versa˜o de Einstein. Mas,
a =
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
= v
dv
dx
⇒ adx = vdv (2.40)
De (2.39), segue que o trabalho realizado pela forc¸a F sobre a part´ıcula de 0 a x e´ dada
por:
E =
∫ x
0
Fdx = m0
∫ x
0
=
a
(1− v2/c2)3/2dx
(2.40)
= m0
∫ v
0
v(1− v2/c2)−3/2dv
= m0c2
(
1− v
2
c2
)−1/2]v
0
= m0c2
(
1√
1− v2/c2 − 1
)
= c2(m−m0) = Mc2
Observac¸a˜o 2.2 O ponto central da equac¸a˜o de Einstein e´ o fato muito profundo de que
a massa de repouso m0 tem tambe´m energia associada a ela, na quantidade E = m0c2.
Essa energia pode ser encarada como ”energia de ser”da part´ıcula, no sentido de que
a massa possui energia exatamente em virtude de existir. O ponto de vista da F´ısica
Moderna e´ ainda mais direto: mate´ria e´ energia, numa forma altamente concentrada e
localizada.
Exemplo 2.21 (Princ´ıpio da Conservac¸a˜o de Energia) Dada uma part´ıcula de massa
m, assumindo que a forc¸a na˜o-especificada F e´ uma func¸a˜o cont´ınua que so´ depende
da coordenada x sobre o intervalo a ≤ x ≤ b, digamos F = F (x). (Observe que a forc¸a
de atrito na˜o tem essa propriedade, pois ela depende na˜o so´ da localizac¸a˜o da part´ıcula
m mas tambe´m do sentido em que esta´ se movendo). Definimos o potencial de F (x),
uma func¸a˜o Ep(x) tal que dEp/dx = −F (x). Mostre que
Ec + Ep(x) = cte
Observac¸a˜o 2.3 A grandeza Ec := mv2/2 e´ conhecida como energia cine´tica da
part´ıcula m.
2.3. APLICAC¸O˜ES 59
Seja
E(x) =
1
2
mv2 +Ep(x) (2.41)
Derivando (2.41), em relac¸a˜o a x, e usando e expressa˜o (2.40) temos:
E′(x) = mv
dv
dx
+
dEp
dx
= ma− F (x) = 0
donde segue o resultado.
Observac¸a˜o 2.4 Outra forma de expressar o Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Energia e´
Ec(a) + Ep(a) = Ec(b) + Ep(b)
2.3.6 Movimento Harmoˆnico Simples
O estudo de vibrac¸o˜es e´ uma parte importante da cieˆncia, pois elas aparecem em
fenoˆmenos perio´dicos em geral, tais como as ondas sonoras e de ra´dio, correntes ele´tricas
alternadas, vibrac¸o˜es de a´tomos em cristais, etc.
Um dos tipos mais simples de vibrac¸a˜o ocorre quando um objeto ou ponto se move
para frente e para tra´s ao longo de uma reta (o eixo x) de tal modo que sua acelerac¸a˜o
e´ sempre proporcional a sua posic¸a˜o e e´ orientada no sentido oposto ao movimento:
d2x
dt2
= −kx, k > 0 (2.42)
Um movimento dessa natureza chama-se harmoˆnico simples. Para enfatizar que a
constante k e´ positiva, e´ costume escrever k = b2 com b > 0. A equac¸a˜o diferencial (1)
toma enta˜o a forma
d2x
dt2
+ b2x = 0, k > 0 (2.43)
Para achar a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o usamos uma varia´vel auxiliar v = dx/dt, de
modo que
d2x
dt2
=
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
= v
dv
dx
= −b2x ⇒ 2vdv = −2b2xdx (2.44)
60 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Integrando a equac¸a˜o (2.44), temos v2 = c21−b2x2, onde c1 e´ a constante de integrac¸a˜o.
Isolando u, temos:
v = ±
√
c21 − b2x2 ⇒ ±
dx√
c21 − b2x2
= dt (2.45)
A escolha do sinal aqui depende de a velocidade v ser positiva ou negativa no momento.
Supomos, por exemplo, que v > 0 e integrando (2.45), segue que
arcsin
(
bx
c1
)
= bt+ c ⇒ x(t) = A sin(bt+ c) (2.46)
onde c e´ a constante de integrac¸a˜o e A = c1/b 6= 0. O motivo de A 6= 0 e´ para evitar o
caso trivial em que x e´ identicamente nulo e consequentemente na˜o havera´ movimento.
Como a func¸a˜o sin(bt+ c) oscila entre −1 e 1, a func¸a˜o (2.46), oscila entre −|A| e
|A|. O nu´mero |A| chama-se amplitude do movimento (Fig. 2.20) Ale´m disso, como o
Figura 2.20:
seno e´ perio´dico de per´ıodo 2pi, sin(bt+ c) e´ perio´dico com per´ıodo 2pi/b, pois esta e´ a
quantidade com que t deve crescer para bt + c crescer de 2pi. Esse nu´mero T = 2pi/b
chama-se per´ıodo do movimento e e´ o tempo exigido para a realizac¸a˜o de um ciclo
2.3. APLICAC¸O˜ES 61
completo. Medindo t em segundos, enta˜o o nu´mero f de ciclos por segundos satisfaz a
equac¸a˜o fT = 1 e e´ portanto o inverso do per´ıodo,
f =
1
T
=
b
2pi
(2.47)
Esse nu´mero chama-se frequeˆncia do movimento.
Ha´ uma interpretac¸a˜o f´ısica do movimento harmoˆnico simples, que aparece quando
pensamos na equac¸a˜o (2.42) como descric¸a˜o do movimento de um corpo de massa m.
A Segunda Lei de Newton diz que F = ma; logo, a equac¸a˜o (2.42), torna-se
F
m
= −kx ⇒ F = −kmx
Uma forc¸a F desse tipo chama-se forc¸a de restaurac¸a˜o, pois sua grandeza e´ proporcional
ao deslocamento x e sempre age no sentido de fazer o corpo retornar a` posic¸a˜o de
equil´ıbrio x = 0.
Exemplo 2.22 Considere um carrinho de massa m preso a uma parede por meio de
uma mola (Fig. 2.21). A mola na˜o exerce forc¸a quando o carrinho esta´ em posic¸a˜o
de equil´ıbrio x = 0. Se o carrinho for tirado do equil´ıbrio para uma posic¸a˜o x, enta˜o
pela Lei de Hooke, a mola passara´ a exercer uma forc¸a de restaurac¸a˜o F = −kx, onde
k > 0 e´ a constante da mola. Suponha que o carrinho seja puxado ate´ uma posic¸a˜o
x = x0 e com velocidade inicial zero. Discuta seu movimento subsequente se o atrito e
a resisteˆncia do ar sa˜o desprez´ıveis.
Estamos admitindo que a u´nica forc¸a que age sobre o carrinho e´ a forc¸a de restaurac¸a˜o
F = −kx; logo, pela Segunda Lei de Newton, temos:
m
d2x
dt2
= −kx ⇒ d
2x
dt2
+ b2x = 0 (2.48)
onde b =
√
k/m. A soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ x(t) = A sin(bt + c). Sendo x(0) = x0,
segue que x0 = A sin c. Derivando a soluc¸a˜o, temos x′(t) = Ab cos(bt + c), de modo
62 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.21:
que, A cos c = 0, pois a 6= 0. Assim, x20 + 0 = A2 sin2 b+ A2 cos2 b = A2 ⇒ A = x0
e c = pi/2. Logo,
x(t) = x0 sin(bt+ pi/2) = x0 cos(bt) = x0 cos
(√
k
m
t
)
Ale´m disso, o per´ıodo de oscilac¸a˜o e a frequeˆncia sa˜o dados por:
T =
2pi
b
= 2pi
√
m
k
e f =
1
T
=
1
2pi
√
k
m
Exemplo 2.23 Um peˆndulo e´ um peso suspenso na extremidade de um fio leve e inex-
tens´ıvel, deixado a mover-se para frente e para tra´s sob a ac¸a˜o da gravidade (Fig.2.22).
Idealizando a situac¸a˜o, consideremos que esse peso e´ uma part´ıcula de massa m e que
o comprimento do fio seja L. Determine o per´ıodo desse peˆndulo sob hipo´tese de que
suas oscilac¸o˜es sa˜o pequenas.
A forc¸a da gravidade exercida no prumo para baixo e´ P= mg e sua componente na
direc¸a˜o tangencial a` trajeto´ria e´ mg sin θ. Como s = Lθ, a acelerac¸a˜o tangencial do
peˆndulo e´
d2s
dt2
=
d2(Lθ)
dt2
= L
d2θ
dt2
2.3. APLICAC¸O˜ES 63
Figura 2.22:
e a pela Segunda Lei de Newton, segue que
mL
d2θ
dt2
= −mg sin θ ou d
2θ
dt2
+
g
L
sin θ = 0 (2.49)
A presenc¸a de sin θ torna essa equac¸a˜o diferencial imposs´ıvel de resolver, e o movimento
na˜o e´ harmoˆnico simples. Entretanto, para pequenas vibrac¸o˜es sin θ ∼= θ, de modo que
podemos reescrever (2.49) na forma
d2θ
dt2
+
g
L
θ = 0
Sendo b =
√
g/L, segue que o per´ıodo e´ dado por T =
2pi
b
= 2pi
√
L
g
.
Exemplo 2.24 Um anel de massa m e´ forc¸ado a mover-se em um fio sem atrito na
forma de uma semi-circunfereˆncia de raio r, onde x e y esta˜o em um plano vertical
(Fig.2.23). Se o anel parte do repouso no ponto A, determine:
a) O mo´dulo da velocidade no ponto inferior da trajeto´ria;
64 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
b) Mostre que o per´ıodo de oscilac¸a˜o e´ dado pela integral abaixo:
T = 4
√
r
2g
∫ θ0
0
dθ√
cos θ − cos θ0
Seja P a posic¸a˜o do anel em um instante qualquer t e seja s o comprimento da circun-
fereˆncia medido a partir do ponto A. Pela (Fig.2.23), x = r sin θ e y = r(1− cos θ), de
Figura 2.23:
modo que
dx
dθ
= r cos θ e
dy
dθ
= r sin θ (2.50)
A componente tangencial da forc¸a peso e´ −mg sin θ, de modo que pela Segunda Lei de
Newton, ma = −mg sin θ. Mas,
a =
dv
dt
=
dv
ds
ds
dt
= v
dv
ds
⇒ vdv = −g sin θds
donde segue que∫ v
0
vdv = −rg
∫ θ
θ0
sin θdθ ⇒ v2 = 2rg(cos θ − cos θ0) (2.51)
Fazendo θ = 0, temos o item a), ou seja,
v2 = 2rg(1− cos θ0) ⇒ v = 2√rg sin θ0
2.3. APLICAC¸O˜ES 65
Mas,
v2 =
(
ds
dt
)2
=
(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
=
(
dx
dθ
dθ
dt
)2
+
(
dy
dθ
dθ
dt
)2
(2.52)
Usando (2.50) e (2.51) em (2.52) temos:
2rg(cos θ − cos θ0) = r2
(
dθ
dt
)2
⇒ dθ
dt
= −
√
2g(cos θ − cos θ0)
r
(2.53)
O sinal negativo e´ (2.53), pois o aˆngulo θ diminui quando t aumenta. Separando as
varia´veis e integrando (2.53), segue que∫ 0
θ0
dθ√
cos θ − cos θ0
= −
∫ T/4
0
√
2g
r
dt ⇒ T = 4
√
r
2g
∫ θ0
0
dθ√
cos θ − cos θ0
o que prova o item b).
Exemplo 2.25 Suponha que um tu´nel seja escavado reto atrave´s do centro da Terra de
um lado a outro e que um corpo de massa m seja largado nesse tu´nel. (Fig.2.24). Se o
corpo cai, a forc¸a sobre ele numa posic¸a˜o x e´ devido a atrac¸a˜o gravitacional da esfera
de raio x, onde x e´ a distaˆncia de m ao centro da Terra. Mostre que o corpo atravessa
o tu´nel de uma extremidade a outra, voltando novamente para tra´s num movimento
harmoˆnico simples, e calcule o per´ıodo desse movimento.
Pelo enunciado, a forc¸a que age sobre o corpo de massa m e´
F (x) = −GM(x)m
x2
= −Gm4pix
3ρ
3x2
= −4
3
Gmpiρx
Logo, pela Segunda Lei de Newton,
ma = F (x) = −4
3
Gmpiρx ⇒ d
2x
dt2
+ kx = 0
onde k =
4
3
Gpiρ, de modo que,
T =
2pi√
k
=
√
3pi
Gρ
(2.54)
66 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.24:
Mas,
mg =
GMm
R2
⇒ 1
Gρ
=
4piR
3g
(2.55)
Substituindo, (2.55) em (2.54), segue que
T = 2pi
√
R
g
∼= 6, 3
√
6, 4× 106
9, 8
s ∼= 5091 s ∼= 85 min
Exemplo 2.26 Uma part´ıcula de massa m e´ colocada na parte interna da superf´ıcie de
um parabolo´ide de revoluc¸a˜o, sem atrito e tendo a equac¸a˜o cz = x2 + y2, em um ponto
P que esta´ a uma altura h acima do plano xy horizontal (Fig.2.25). Assumindo que a
part´ıcula parta do repouso, determine:
a) A velocidade com a qual ela alcanc¸a o ve´rtice O;
b) Ache o tempo gasto para atingir esse ponto;
c) O per´ıodo para pequenos deslocamentos.
E´ conveniente escolher o ponto A no plano yz tal que x = 0. Assim, cz = y2, de modo
que as coordenadas do ponto A sa˜o (
√
ch, h). Sendo P = (x, y) um ponto qualquer
2.3. APLICAC¸O˜ES 67
Figura 2.25:
da trajeto´ria, e´ poss´ıvel demonstrar que o Princ´ıpio da Conservac¸a˜o de Energia aplica-se
neste caso, isto e´,
VP+ECP = VA+ECA ⇒ mgz+12mv
2 = mgh+0 ou v2 =
(
ds
dt
)2
= 2g(h−z)
donde segue que
ds
dt
= −
√
2g(h− z) (2.56)
O sinal e´ negativo, pois s decresce com o tempo t.
a) Pondo z = 0 em (2.56), veˆ-se que a velocidade em mo´dulo e´
√
2gh no ve´rtice;
b) Seja τ o tempo para atingir part´ıcula atingir a origem. Como x = 0 e cz = y2,
temos
2g(h− z) =
(
ds
dt
)2
=
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dy
dy
dt
)2
=
(
1 +
4y2
c2
)(
dy
dt
)2
donde segue que
(
dy
dt
)2
=
2g
(
h− y
2
c
)
1 +
4y2
c2
⇒ ds
dt
= −
√
2gc
√
ch− y2√
c2 + 4y2
(2.57)
68 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Separando as varia´veis, integrando (2.57) e usando o fato de que y =
√
ch em
t = 0 enquanto que t = τ em y = 0, segue que
−
∫ τ
0
√
2gcdt =
∫ 0
√
ch
√
ch− y2√
c2 + 4y2
dy ⇒ τ = 1√
2gc
∫ √ch
0
√
ch− y2√
c2 + 4y2
dy
Seja y =
√
ch cos θ, enta˜o a integral pode ser escrita
τ =
1√
2gc
∫ pi/2
0
√
c2 + 4ch cos2 θ dθ
ou seja,
τ =
√
c+ 4h
2g
∫ pi/2
0
√
1− k2 sin2 θdθ (2.58)
onde
k =
√
4h/(c+ 4h) < 1 (2.59)
c) A part´ıcula oscila para frente e para tra´s dentro do parabolo´ide com um per´ıodo
T dado por
T = 4τ = 4
√
c+ 4h
2g
∫ pi/2
0
√
1− k2 sin2 θdθ (2.60)
Para pequenos deslocamentos, o valor de k dado por (2.59) pode ser considerado
muito pro´ximo de zero, de modo que podemos escrever (2.60) na forma T =
2pi
√
(c+ 4h)/2g.
Observac¸a˜o 2.5 A integral em (2.58) e´ uma integral el´ıptica e na˜o pode ser avaliada
em termos de func¸o˜es elementares. Ela pode, entretanto, ser avaliada em termos de
se´ries infinitas.
2.3.7 Centro de Gravidade
Como veremos, esse conceito tem implicac¸o˜es geome´tricas, sendo poss´ıvel usa´-lo para
se obter uma noc¸a˜o razoa´vel de ”centro”de uma figura geome´trica gene´rica.
2.3. APLICAC¸O˜ES 69
Comec¸amos considerando duas crianc¸as de pesos w1 e w2 sentadas a distaˆncias d1
e d2, respectivamente, do ponto de apoio de uma gangorra (Fig. 2.26).
Figura 2.26:
Como sabemos, cada crianc¸a pode tentar fazer o lado em que esta´ sentada ir para
baixo movendo-se para mais longe do ponto de apoio. O equil´ıbrio ocorre quando
w1d1 = w2d2 (2.61)
Esse princ´ıpio foi descoberto por Arquimedes e e´ conhecido como a Lei da Alavanca.
Se estabelecermos um eixo horizontal com sua origem no ponto de apoio e o sentido
positivo para a direita, enta˜o (2.61), pode ser escrrita sob a forma w1x1 + w2x2 = 0,
onde x1 = d1 e x2 = −d2
Estendendo agora essa discussa˜o considerando o eixo x como uma barra horizontal
sem peso com fulcro no ponto P (Fig. 2.27) considerando que n pesos wk esta˜o
colocados nos pontos xk, k = 1, 2, . . . n.
Figura 2.27:
Pela Lei de Arquimedes, esse sistema de pesos estara´ em equil´ıbrio ao redor de p
70 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
quando
n∑
k=1
wk(xk − P ) = 0
De modo mais geral, estando ou na˜o o sistema em equil´ıbrio, a soma
∑n
k=1wk(xk−P )
mede a tendeˆncia do sistema de girar no sentido hora´rio ao redor do fulcro P . Essa soma
recebe o nome de momento do sistema em relac¸a˜o a P . O sistema esta´ em equil´ıbrio
quando o momento e´ nulo. Suponha que os pesos wk e suas posic¸o˜es sejam dados de
modo arbitra´rio; movendo-se o fulcro P , sera´ fa´cil determinarmos o ponto x em que o
sistema estara´ em equil´ıbrio, isto e´, a posic¸a˜o do fulcro em que o momento do sistema
em relac¸a˜o a esse fulcro sera´ zero. A condic¸a˜o que x devera´ obedecer e´
n∑
k=1
wk(xk − x) = 0 ⇒ x =
∑nk=1wkxk∑n
k=1wk
(2.62)
Esse ponto x onde o equil´ıbrio e´ alcanc¸ado chama-se centro de gravidade do sistema
de pesos dado.
Sendo o peso de um corpo de massa m igual a mg, enta˜o wk = mkg, onde mk e´ a
massa do k-e´simo corpo. A fo´rmula (2.62), pode portanto, ser escrita como
x =
∑n
k=1mkgxk∑n
k=1mkg
=
∑n
k=1mkxk∑n
k=1mk
(2.63)
Tendo-se afastado da discussa˜o a influeˆncia da gravidade, ou seja, tendo-se substitu´ıdo
os pesos wk em (2.62) pelas massas mk em (2.63), o ponto x passa a se chamar centro
de massa do sistema.
E´ fa´cil estender essas ide´ias a um sistema de massas mk localizadas em pontos
(xk, yk) ou (xk, yk, zk) num plano xy ou no espac¸o xyz. No caso planar, definimos o
momento desse sistema em relac¸a˜o ao eixo y por
My =
n∑
k=1
mkxk (2.64)
2.3. APLICAC¸O˜ES 71
Se pensarmos no plano xy como uma bandeja horizontal sem peso, enta˜o em linguagem
f´ısica, a condic¸a˜o My = 0 significa que essa bandeja com a dada distribuic¸a˜o de massas
estara´ em equil´ıbrio quando pousada num fio de navalha ao longo do eixo y. Analoga-
mente, o momento do sistema em relac¸a˜o ao eixo x e´ definido por
Mx =
n∑
k=1
mkyk
Denotando a massa total das part´ıculas do sistema por m, ou seja,
m =
n∑
k=1
mk
enta˜o o centro de massa do sistema e´ definido como sendo o ponto (x, y) para o qual
x =
My
m
e y =
Mx
m
(2.65)
Reescrevendo as fo´rmulas em (2.65) na forma
n∑
k=1
mk(xk − x) = 0 e
n∑
k=1
mk(yk − y) = 0
e considerando o nosso sistema como uma distribuic¸a˜o de massas numa bandeja hori-
zontal, sem peso, essas equac¸o˜es revelam que a bandeja estara´ em equil´ıbrio ao se apoiar
sobre um fio de navalha ao longo de qualquer reta que passe por (x, y). Portanto estara´
em equil´ıbrio tambe´m se for apoiada na ponta de uma agulha colocada exatamente no
ponto (x, y).
Agora veremos como a integrac¸a˜o pode ser utilizada para generalizar essas ide´ias a
uma distribuic¸a˜o cont´ınua de massas numa regia˜o R do plano xy (2.28). Considere a
placa fina de material homogeˆneo delimitada por uma regia˜o R e pelas retas x = a e
x = b, cuja densidade superficial σ(= massa por unidade de a´rea) seja constante.
Observamos que o centro de uma folha papel retangular se encontra entre duas
faces, pore´m pode ser considerado como existindo em uma das faces, na intersec¸a˜o das
72 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.28:
diagonais. Assim, o centro de massa de uma folha de pequena espessura coincide com
o centro de geome´trico da folha considerada como uma a´rea plana. Assim, o centro de
massa da faixa retangular de largura dx e altura y se encontra no ponto de coordenadas
(x, y/2).
O momento dessa faixa em relac¸a˜o ao eixo y e´ o produto de sua massa dm = σydx
pela sua distaˆncia do eixo y, ou seja, dMy = xdm = xσydx. Por integrac¸a˜o, o momento
de toda placa e´ dado por
My =
∫ b
a
σxydx
donde segue que
x =
My
m
=
∫ b
a σxydx∫ b
a σydx
=
∫ b
a xydx∫ b
a ydx
(2.66)
pois σ e´ constante. Analogamente, O momento dessa faixa em relac¸a˜o ao eixo x e´
o produto de sua massa dm = σydx pela sua distaˆncia do eixo x, ou seja, dMx =
ydm/2 = (y/2)σydx. Por integrac¸a˜o,
Mx =
1
2
∫ b
a
y2σdx
2.3. APLICAC¸O˜ES 73
donde segue que
y =
Mx
m
=
1
2
∫ b
a σy
2dx∫ b
a σydx
=
1
2
∫ b
a y
2dx∫ b
a ydx
(2.67)
O centro de massa e´, portanto, determinado somente pela configurac¸a˜o geome´trica da
regia˜o R e na˜o depende da densidade de massa dessa regia˜o. Por essa raza˜o, o ponto
(x, y) chama-se centro´ide da regia˜o, significando ”ponto assemelhado a centro”.
Observac¸a˜o 2.6 Na˜o e´ dif´ıcil adaptar esse argumento para uma placa que e´ uma regia˜o
R delimitada por duas func¸o˜es de x, (f(x) e g(x)) e pelas retas x = a e x = b.
Observac¸a˜o 2.7 Podemos tambe´m adaptar esse argumento para uma regia˜o R delim-
itada por uma func¸a˜o g(y) e pelas retas y = c e y = d (Fig. 2.29)
Figura 2.29:
para obter
x =
My
m
=
∫ d
c (x/2)(σxdy)∫ d
c σxdy
=
1
2
∫ d
c x
2dy∫ d
c xdy
(2.68)
74 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
e
y =
Mx
m
=
∫ d
c y(σxdy)∫ d
c σxdy
=
∫ d
c xydy∫ d
c xdy
(2.69)
Exemplo 2.27 Achar o centro´ide da a´rea limitada pela para´bola y = 4− x2 e o eixo x
(Fig.2.30).
Figura 2.30:
A a´rea da figura e´ dada por
A =
∫ 2
−2
ydx = 2
∫ 2
0
(4− x2)dx = 32
3
u.a. (2.70)
Os momentos em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o respectivamente:
Mx =
∫ 2
−2
y2
2
dx =
∫ 2
0
(4− x2)2dx = 256
15
e My =
∫ 2
−2
xydx = 0 (2.71)
De (2.70) e (2.71), segue que as coordenadas do centro´ide sa˜o:
x =
My
A
=
0
32/3
= 0 e y =
Mx
A
=
256
15
× 3
32
=
8
5
Observac¸a˜o 2.8 O fato de x ser nulo na˜o e´ coincideˆncia, na verdade o centro´ide de
uma regia˜o esta´ numa linha de simetria da regia˜o, se tal linha existir. De fato, seja L
2.3. APLICAC¸O˜ES 75
Figura 2.31:
uma reta de simetria de uma regia˜o R; podemos escolher essa reta na posic¸a˜o do eixo
y (Fig. 2.31).
Desejamos nos convencer de que x = 0. Se dA e´ um elemento fino de a´rea vertical
na posic¸a˜o x, enta˜o, por simetria, existe um elemento de a´rea correspondente na posic¸a˜o
−x; e como xdA+ (−xdA) = 0, temos∫
xdA = 0, e, portanto,
∫
xdA∫
dA
= 0
Exemplo 2.28 Determine o centro´ide de um arco de ciclo´ide cujas as equac¸o˜es parame´tricas
sa˜o x(t) = a(t− sin t) e y(t) = a(1− cos t) (Fig.2.32)
Pela Obs. 2.8, segue que x = pia. A a´rea de um arco de ciclo´ide e´ dado por
A =
∫
ydx = a2
∫ 2pi
0
(1− cos t)2dt = 3pia2 u.a.
E o momento em relac¸a˜o ao eixo y e´
My =
∫
xydx = a3
∫ 2pi
0
(t− sin t)(1− cos t)2dt = 3pia3
Logo, y = My/A = a, ou seja, a ordenada do centro´ide de um arco de ciclo´ide e´ igual
ao raio do c´ırculo rolante.
76 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
Figura 2.32:
Exemplo 2.29 Ache o centro de gravidade da regia˜o limitada pelas para´bolas x = y2
e y = −x2/8 (Fig.2.33).
Figura 2.33:
O centro´ide do retaˆngulo elementar e´ [x, (−x2/8−√x)/2]. Sendo
A =
∫ 4
0
(
−x
2
8
+
√
x
)
dx =
8
3
u.a., Mx =
∫ 4
0
1
2
(
−x
2
8
−√x
)(
−x
2
8
+
√
x
)
dx = −12
5
e o momento em relac¸a˜o ao eixo y dado por
My =
∫ 4
0
x
(
−x
2
8
+
√
x
)
dx =
24
5
2.3. APLICAC¸O˜ES 77
segue que
x =
My
A
=
24
5
× 3
8
=
9
5
e y =
Mx
A
= −12
5
× 3
8
= − 9
10
Abordamos centro´ides de regio˜es planas, mas podemos facilmente falar de centro´ide
de um arco no plano xy ou de uma regia˜o no espac¸o tridimensional. As definic¸o˜es e
fo´rmulas sa˜o ana´logas ao que ja´ fizemos, e na˜o abordaremos os estudantes com ex-
planac¸o˜es detalhadas. Entretanto, observamos que para determinar o centro´ide de um
arco (Fig.2.34)
Figura 2.34:
pode ser u´til pensar no arco como um pedac¸o de fio curvado com densidade constante
1, de modo que a massa de um pedac¸o de fio e´ simplesmente seu comprimento. Sendo
ds o comprimento infinitesimal de arco, enta˜o
x =
∫
xds∫
ds
e y =
∫
yds∫
ds
(2.72)
Cada denominador em (2.72) e´ o comprimento do arco e os numeradores sa˜o, respecti-
vamente, os momentos do arco em relac¸a˜o ao eixo y e ao eixo x.
Papus de Alexandria (se´culo IV d.C.) foi um grande matema´tico grego sucessor
de Euclides, Arquimedes e Apoloˆnio, sua principal obra e´ a Colec¸a˜o Matema´tica, uma
78 CAPI´TULO 2. CA´LCULO INTEGRAL DE UMA VARIA´VEL
mistura de guia da geometria da e´poca, acompanhada de comenta´rios, com numerosas
proposic¸o˜es originais, aprimoramentos, extenso˜es e notas histo´ricas. No livro VII, aparece
uma antecipac¸a˜o do teorema