Buscar

Apostila Elementos de Máquinas II - UFSC

Prévia do material em texto

Disciplina EMC 5301
http://www.emc.ufsc.br/~emc5332/
ELEMENTOS DE MÁQUINAS II
EMC 5332
Disciplina de Graduação em Engenharia Mecânica
INFORMAÇÕES GERAIS
 
 NOME Elementos de Máquinas II
 CÓDIGO EMC 5332
HORÁRIO SEXTA / 9:10 - 12:00 / 03 aulas
 LOCAL Sala CTC 111
 
MATERIAL ONLINE
EMENTA DA DISCIPLINA 
 
CRONOGRAMA DE AVALIAÇÃO
Projeto Mecânico Provas
 
PROGRAMA DIDÁTICO
AULAS Aulas Teóricas 
MANUAIS
Apostilas 
Engrenagens 
TAREFAS 
 
OBSERVAÇÃO: Para visualizar os arquivos do material online, se você não tiver o Acrobat Reader, utilize este link abaixo para
carregar o arquivo de instalação 
 
MAIORES INFORMAÇÕES
Prof. Altamir Dias , Sala 15 - Bloco A - E M C 
Fone: (0xx48) 331 9264
Homepage: http://www.emc.ufsc.br/professores/altamir 
 
Sugestões para webmaster .
Atualizada em 11-Jul-2001 13:22
Aulas Teóricas EMC 5301
http://www.emc.ufsc.br/~emc5332/emc5332-apostilas.html
Apostilas de Elementos de Máquinas
EMC 5332
Introdução 
Cap. 2 - Cinemática de Engrenamento 
Cap. 3 - A Curva Evolvente 
Cap. 4 - A Engrenagem 
Cap. 5 - Deslocamento de Perfis 
Cap. 6 - Tipos de Engrenagens 
Cap. 7 - Engrenagens Cilíndricas de DentesHelicoidais 
Cap. 8 - Análise de Forças nas Engrenagens Cilíndricas 
Cap. 9 - Recomendações de Projeto 
Cap. 10 - Materiais para Engrenagens 
 
Volte para a página principal da disciplina 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
1 INTRODUÇÃO1
1.1 Engrenagens
Engrenagens são usadas em vários tipos de máquinas e equipamentos. Estão presentes nas
mais diversas aplicações: área da mobilidade (aérea, naval, agrícola, automotiva); área industrial
(usinagem, produção, transporte, movimentação de carga, controle de qualidade, robôs); área
comercial (equipamentos de controle, registradores, componentes eletrônicos); eletrodomésticos
(liquidificadores, batedeiras, máquinas de lavar). 
É um elemento de máquina razoavelmente complexo, tanto para o projeto como para a
fabricação, e para a manutenção. Dependendo da aplicação exige projeto específico, ou pode ser
selecionada a partir das dimensões normalizadas. Utilizam-se engrenagens principalmente na
transmissão de movimentos com o objetivo de ganho de torque, controle do movimento,
alteração de direção de movimento. Exemplo: diferencial (figura 1.1). 
 
Figura 1.1.1 – Diferencial de automóvel 
O projeto de engrenagens é um procedimento bastante complexo que sofre pressões na
construção por menor custo, maior capacidade de transmissão de potência, maior vida de
utilização, menor peso e funcionamento com baixo ruído. A satisfação de cada um desses itens
envolve um grande número de variáveis, tais como : parâmetros de projeto, tipos de materiais,
custo, possíveis processos de fabricação e as características resultantes de cada processo,
máquinas-ferramenta disponíveis, quantidade requerida, tipos de engrenagens, dimensões,
qualidade, interação com outros elementos da máquina, montagem, lubrificação, etc.. 
O dimensionamento de engrenagens, nas suas diferentes configurações, é função do
conhecimento acumulado sobre a cinemática das relações de transmissão, dos esforços
1 Este texto está sendo montado para o Curso de Elementos de Máquinas II, Engenharia Mecânica, pelo professor Acires
Dias, a partir do texto do Professor Renan Brazzale, e de outros professores que lecionaram elementos de máquinas no curso
de Engenharia Mecânica da UFSC. A bibliografia de referência é o livro do HENRIOT, G., Traité Theórique et Pratique des
Engrenages. Dunod, 4a. ed., 1972. A apostila foi estruturada a partir da ementa do curso de elementos de máquinas do
EMC/UFSC. (versão 1 – Jan 2002).
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
existentes, das limitações impostas, dos processos de fabricação, e outros fatores. Na prática,
alguns procedimentos utilizados para a obtenção de uma boa transmissão dependem também da
tradição e experiência no projeto desse elemento de máquina, o que leva algumas empresas a
acumularem tecnologia própria para o projeto e fabricação de redutores e variadores de
velocidades . Devido a isso, é muito provável que um projeto independente, baseado apenas em
normas e outras informações disponíveis na literatura, não se assemelhará a um projeto de uma
empresa especializada. Normalmente, as dimensões das engrenagens e por sua vez do redutor
ficam maiores. 
1.2 Tipos de engrenagens
Denomina-se engrenagem toda roda dentada de forma constante, destinada a transmitir
e\ou receber movimento de outro elemento mecânico dentado também de forma constante, pela
ação dos dentes em contatos sucessivos. 
Existem três tipos básicos de engrenagens: cilíndricas, cônicas, e hiperbolóidicas.
a) Cilíndricas: dentes retos, dentes helicoidais.
b) Cônicas: dentes retos, dentes curvos.
c) Hiperbolóidicas: hipóide, palóide.
d) Não cilíndricas.
A cremalheira é outro tipo importante não só como engrenagem mas porque é necessária ao
estudo teórico das engrenagens. É também a forma básica de várias ferramentas empregadas na
fabricação por geração. A cremalheira poder ser considerada uma engrenagem cilíndrica cujo
raio primitivo tende para o infinito.
1.3 Transmissões por engrenagens
Ao decidir o tipo e a forma construtiva mais adequada para o projeto de uma determinada
transmissão é requerido conhecimento preciso das condições básicas de funcionamento, a
potência nominal, o número de rotações por minuto e a relação de transmissão, bem como
momento torçor de partida, número de partidas, tempo de funcionamento por dia, número de
ciclos total de funcionamento, grau de solicitação, freqüências naturais, funcionamento geral da
máquina, etc. 
Reunindo informações suficientes pode-se então determinar as transmissões a serem adotadas e
as suas principais dimensões para o funcionamento desejado. Outros dados ainda devem ser
considerados para estimar tamanho, peso, o preço, material, processo de fabricação, facilidade
comercialização e manutenção. 
A transmissão por engrenagens pode também ser feita por correntes, correias, rodas de atrito,
motores de passo. A opção por um desses tipos de transmissão depende das características e
propriedades específicas de cada tipo de transmissão e das características exigidas pelo
ambiente onde a transmissão é requerida.
Transmissões por engrenagens podem ser usadas em eixos paralelos, reversos ou concorrentes e
possui uma extensa gama de aplicações considerando-se as combinações de potências, rotações
e relações de transmissão. A relação de transmissão permanecerá sempre constante
independentemente das solicitações pois a transmissão das forças é feita sem deslizamento, o
rendimento é alto, há grande resistência a sobrecargas, vida longa, segurança de funcionamento
e a manutenção é pequena. Outros pontos a favor são (quais os outros tipos de elementos que
transmitem movimento e torque? Para que se possa comparar...) o menor espaço que a
transmissão por engrenagens ocupa e a adaptabilidade a distâncias entre eixos pré-determinadas.
As desvantagens estão associadas a maior complexidade, maior custo, ruídos durante o
funcionamento e transmissão relativamente rígida.
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
A seguir é apresentada uma lista de figuras (figuras 1.2 até 1.11) de transmissão por
engrenagens:
Figura 1.1.2 – Engrenagens cilíndricas de dentes
retos 
Engrenagens cilíndricas de dentes retos é muito
utilizada na transmissão entre eixos paralelos. 
O dimensionamento, fabricação, montagem e
manutenção desse engrenamento é mais simples,
em relação às cônicas, helicoidais e hipoidais. 
O rendimento é alto, podendo chegar a 98-99%.
Em altas velocidades apresenta problema de ruído. 
As cargas transmitidas aos eixos são apenas radiais.
Exige, portanto, mancais que suportem apenas esse
tipo de carregamento.
Admitem grandes relações de transmissão.
Figura 1.1.3– Engrenagens cilíndricas de dentes
helicoidais
Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais é
também muito utilizada na transmissão entre eixos
paralelos.
São apropriadas para cargas e velocidades
elevadas. Trabalham de modo mais suave que as de
dentes retos. 
Devido aos dentes helicoidais gera carregamentos
axiais sobre os mancais além dos radiais. 
O rendimento desse tipo de engrenamento também
é bastante alto, podendo ser utilizada para grandes
relações de transmissão. 
Figura 1.1.4 – Engrenagens cônicas
As engrenagens cônicas, são usadas para
transmissão entre eixos ortogonais ou concorrentes
com distintos ângulos entre eles.
A transmissão por engrenagem cônica exige
precisão na montagem. 
Os dentes podem ser oblíquos ou retos, neste caso,
as velocidades são restritas. 
A relação de transmissão é limitada .
Figura 1.1.5 – Cremalheira de dentes retos
A cremalheira é usada para transformar um
movimento de rotação num de translação e pode
ser de dentes retos ou de dentes helicoidais.
É de fácil fabricação.
É utilizada como ferramenta de corte para gerar
engrenagens pelo processo de geração MAAG. 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
Figura 1.1.6 – Coroa e parafuso-sem-fim
O conjunto coroa-parafuso-sem-fim, é utilizado na
transmissão de potência ou para o controle do
movimento e, principalmente, como redutor de
velocidade, na transmissão de certa potência. 
O rendimento é baixo e a capacidade de amortecer
vibrações é maior que de todos os outros tipos.
O parafuso é de aço e a coroa deve ser de um
material com dureza menor do que a do parafuso.
Figura 1.1.7 – Engrenagens cilíndricas de dentes
helicoidais entre eixos concorrentes
Esta transmissão é utilizada para fazer mudança de
direção de movimento.
Neste caso a relação de transmissão é um. As
hélices são projetadas para proporcionar mudança
de direção de movimento em 90o. 
Figura 1.1.8 – Engrenagens helicoidais duplas
A transmissão por engrenagem com helicóide
dupla tem a vantagem de transmitir grandes
carregamentos sem gerar carga axial sobre os
mancais, dado que a hélice tem direção oposta. 
Este efeito também pode ser conseguido através da
montagem de duas engrenagens helicoidais,
montadas com a hélice oposta uma em relação a
outra.
Necessita de precisão de montagem e recomenda-se
alta rigidez para o eixo e mancais. 
Estas engrenagens exigem máquinas especiais para
sua fabricação. Há engrenagens helicoidais duplas
com dentes não contínuos, o que facilita a saída da
ferramenta e, por sua vez, a fabricação. 
Figura 1.1.9 – Engrenagens cilíndricas de dentes
internos
Engrenagens cilíndricas de dentes internos são
usadas onde há restrição de espaço ou quando se
quer proteger os dentes da engrenagem. Os dois
eixos possuem o mesmo sentido de rotação.
Este é um recurso utilizado para redutores
planetários. Obtém-se boa relação de transmissão
em espaços muito pequenos. 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
Figura 1.1.10 – Engrenagens de face
A transmissão por engrenagem de face, representa
o caso limite das engrenagens cônicas, com um
ângulo de abertura de 180o. 
A ação da engrenagem de face corresponde a da
cremalheira, onde os dentes se movem em um
plano.
Figura 1.1.11 – Engrenagens cônicas
descentradas (hipóides)
A transmissão por engrenagens cônicas
descentradas (hipóides), possuem grande
capacidade de carga e permitem grande variação
nas velocidades.. 
São empregadas extensivamente em carros,
caminhões e tratores.
Exige maior precisão na montagem.
Tem a vantagem de ocupar pouco espaço. 
1.4 Aplicações
1.4.1 Engrenagens para brinquedos, mecanismos e eletrodomésticos
No setor de brinquedos e mecanismos há a aplicação de engrenagens que não precisam
de vida muito elevada, trabalham a baixas velocidades e as tensões nos dentes são pequenas e
têm pouca importância em relação aos esforços ou a vida esperada dos elementos. Nessas
situações o projetista deve priorizar a escolha de processos de fabricação, material adequado,
baixo custo e produção em larga escala.
Deve-se sempre atentar às características de utilização destes elementos em
eletrodomésticos como por exemplo: engrenagens de ventiladores não podem apresentar ruído e
em outros aparelhos como processadores de comida, máquinas de lavar, não haverá lubrificação
além daquela feita em fábrica.
Figura 1.1.12 – Engrenagens montadas em um brinquedo
Figura 1.1.13 – Engrenagens utilizadas em
eletrodomésticos 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
1.4.2 Engrenagens para Máquinas Ferramenta
Precisão e capacidade de transmissão de potência é absolutamente importante em
máquinas ferramenta. Engrenagens de dentes retos, helicoidais e parafusos-sem-fim são usados
para controle da velocidade de avanço e da rotação de trabalho.
Na realidade, máquina ferramenta representa um bom exemplo para o projetista em relação
a grande complexidade no dimensionamento da engrenagem. As cargas variam amplamente
dependendo dos avanços, velocidades de corte, dimensões do trabalho e material que está sendo
usinado, a forma como o operador utiliza a máquina também é um fator importante. Como
certas máquinas têm preço bastante competitivo, o superdimensionamento pode se tornar
relativamente muito caro. O projetista então precisa conciliar o superdimensionamento, no
sentido do aumento da rigidez, sabendo que a máquina está sujeita a sobrecargas, dentro de
custo competitivo.
Figura 1.1.14 – Acionamento de máquina ferramenta
1.4.3 Engrenagens de Controle
O objetivo principal desses tipos de engrenagem é a transmissão de movimento. A potência
envolvida é secundária em relação ao controle preciso do movimento angular. Esse
engrenamento deve ser mantido com a folga de flanco (backlash) mínima possível, tal que, por
exemplo, a redução de apenas 0,01mm na espessura do dente seja considerada uma falha na
engrenagem. Significa dizer que as falhas por desgaste ou por dimensionamento indevido são
mais presentes do que as falhas por fadiga superficial ou ruptura de dentes. 
Para eliminar a folga de flanco (backlash) e obter este tipo de precisão é necessário
dimensionar os dentes com rigor no ajuste e utilizar técnicas especiais de fabricação e inspeção. 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
Equipamentos bélicos em navios, helicópteros e tanques, sistemas de controle em
indústrias, robôs entre outros são controladas por esses tipos de engrenagens. Em alguns casos
as engrenagens de controle são construídas em diâmetros enormes como em telescópios de
observatórios e antenas de rastreamento de satélites.
Figura 1.1.15 – Engrenagem de acionamento e controle de radar
1.4.4 Engrenagens para veículos automotivos
Automóveis geralmente usam engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais, de dentes
retos e engrenagens cônicas em transmissões e diferenciais. O uso de transmissões automáticas
não descarta engrenagens, pelo contrário, a maioria das transmissões automáticas tem mais
engrenagens que as transmissões normais.
Engrenagens de veículos sofrem a ação de cargas elevadas em relação ao espaço
ocupado, mas as cargas de maior intensidade são de curta duração. Isso torna possível projetar
as engrenagens para vida limitada em máximo torque e ainda obter engrenagens que duram
muitos anos trabalhando no torque médio de funcionamento. 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
Figura 1.1.16 – Acionamento 
1.4.5 Engrenagens veículos de transporte de carga
Ônibus, metrôs, veículos mineradores, trens usam engrenagens onde a ação das cargas
elevadas, ao contrário dos automóveis, duram longos períodos de tempo (exemplo: um trem
atravessando uma longa cadeia de montanhas). Em algumas aplicações ocorrem ainda cargas
geradas por impactos, reversão das cargas.
1.4.6 Engrenagens navais
A propulsão em navios mercante ou de combate requer engrenagens de grandes dimensões,
que possam trabalhar comalta potência e em altas velocidades. São utilizadas potências na
ordem de 30.000-40.000kW e velocidades tangenciais na ordem de 100m/s.
Devido à alta velocidade, a precisão de fabricação deve ser grande. Em rotações elevadas,
a velocidade de engrenamento pode ser tal que até 6000 pares de dentes podem entrar em
contato num tempo muito curto. Isto requer muito cuidado em relação ao acabamento
superficial, processo de lubrificação, rigidez dos mancais e eixos. 
O projetista deve-se preocupar com ambos, ruído e capacidade de carga. Tratados
isoladamente as cargas nos dentes não são elevadas em comparação àquelas em engrenagens de
transporte. Em função da vida do navio ser longa, o ciclo de carga num pinhão de alta
velocidade pode variar entre 10 e 11 bilhões de ciclos, tornando crítico o dimensionamento para
fadiga.
Em todas as engrenagens de um navio é requerido um nível de ruído baixo. Depende do
conforto requerido para os passageiros e para a saúde de operadores da casa de máquinas.
Devido a isso, há que tomar cuidado com as engrenagens dos sistemas auxiliares, localizadas
próximas as acomodações como, por exemplo, em geradores, elevadores. 
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
Figura 1.1.17 – Engrenagens para acionamento de navio
1.4.7 Aplicações aeroespaciais
Em aviões os sistemas com engrenagens são usados em propulsores, geradores, bombas,
reguladores hidráulicos, trens de pouso e outros acessórios. Nos helicópteros, o motor principal
e de cauda utilizam várias engrenagens.
Os esforços sobre os dentes e as velocidades são sempre elevados. O projeto deve ainda se
preocupar com o tipo de lubrificação que pode ser aplicado e o espaço disponível.
1.4.8 Engrenagens industriais
Engrenagens industriais são assim chamadas por serem utilizadas nas fábricas e nos
equipamentos por elas fabricados que, normalmente, são utilizadas em edifícios comerciais e
residenciais. Geralmente essas engrenagens são usadas com motores elétricos no acionamento
de dispositivos como bombas, misturadores de líquido, abertura de porta de garagem,
compressor de ar, sistemas de refrigeração, misturadores de concreto em caminhões,
eletrodomésticos.
As engrenagens deste setor trabalham em relativa baixa potência e baixa velocidade.
Tipicamente velocidades tangenciais variam em torno de 0.5m/s a 20m/s , as potências vão de
menos de 1kW a algumas centenas de kW. As rotações de acionamento são as comuns aos
motores elétricos, como 1800,1500,1200 e 1000 rpm.
Nesse campo, exige-se engrenagens com vida razoavelmente longa e boa confiabilidade.
1.4.9 Engrenagens para a indústria de petróleo e gás
Potência e velocidade também são elevadas nesse campo de aplicação. As engrenagens são
usadas nos equipamentos localizados nas plataformas de extração, como: estações de
bombeamento, perfurações, refinarias e turbinas. A potencia de acionamento, na maioria dos
casos, é turbina ou motor diesel. A potência de acionamento varia em torno de 750kw a mais de
50.000kw, as velocidades variam entre 20 a 200m/s.
Engrenagem
 Capítulo 1 - Introdução.sxw
1.4.10 Engrenagens para moinhos e laminadores
Indústrias de fabricação de cimento, de borracha, de aço e em tratamento de minério é
comum à transmissão de elevada potência e torque através de redutores dois ou mais estágios
para acionar processos massivos de trituração ou laminação.
A confiabilidade deve ser alta pois esses processos precisam prosseguir continuamente
durante meses e qualquer parada cessa completamente a produção.
1.5 Bibliografia [itens 1.4.2 até 1.4.10 Petes Lenwander e Marrit –falta
detalhar a bibliografia]
Tarefa 01 - Grupo de 3 alunos
1. Identificar duas aplicações de engrenagens, e apresentar estas aplicações através de
desenhos, fotografias, figuras copiadas, e descrever o mais detalhado possível as
características relativas ao tipo de engrenamento, materiais, lubrificação, manutenção,
fabricação.
2. Expressar uma dúvida relativa a aplicação de engrenagens que gostarias de ver resolvida no
decorrer do curso de elementos de máquinas .
0
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc
2 CINEMÁTICA DO ENGRENAMENTO1
2.1 Transmissão do movimento por contato direto
A transmissão de movimento entre duas engrenagens pode ser modelada através da
representação de dois sólidos rígidos que giram em torno de seus centros. Para um ponto de
contato num dado instante, deve-se determinar a lei geral do engrenamento, a relação ω1/ω2. A
transmissão mais comum é a do movimento circular contínuo entre dois elementos de centros
O1 e O2, cuja distância é fixa (Figura 2.1).
N
N
T
T
r1
VTA
VTB
α
ω1
O1
A=B
ω2
O2
r2
VA
VB
VNA,VNB
C
Figura 2.1 – Velocidades na transmissão por contato direto
Supondo conhecidos:
•A distância entre os centros 21OO ;
•a velocidade angular 1ω ; e
•os perfis 1 e 2.
Considera-se como elemento incógnito: a velocidade angular
→
2ω
Sejam: A e B os pontos em contato num instante qualquer, a reta NN é a normal comum no
ponto de contato e TT a tangente comum neste ponto.
Sendo ω1 a velocidade angular do elemento 1, este elemento tem velocidade VA no ponto
A, perpendicular a O1A cujo valor é dado por:
VA = 1
_____
1 .AO ω (2.1)
1 Este texto está sendo montado para o Curso de Elementos de Máquinas II, Engenharia Mecânica, pelo professor
Acires Dias, a partir do texto estruturado pelo Professor Renan Brazzale. Tem por base a ementa do curso de
elementos de máquinas do EMC/UFSC. (versão 1 – Jan 2002)
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 12
A velocidade
→
AV pode ser decomposta segundo as direções normal (reta NN) e tangente
(reta TT) ao perfil no ponto de contato.
→→→
+= TANAA VVV (2.2)
Analogamente, para o elemento 2, há a velocidade angular ω2 e a velocidade VB, também
pode ser decomposta em componentes normal e tangencial:
→→→
+= TBNBB VVV (2.3)
Admite-se que os corpos são impenetráveis, quando da ocorrência de contato entre os
pontos A e B, de tal maneira que
→→
= NBNA VV (que é a equação da transmissão do movimento
por contato direto).
2.2 Relação entre as velocidades
Dado que as componentes normais são iguais, a velocidade relativa de A em relação a B
será:
→→→→→
−=−= TBTABAAB VVVVV (2.4)
e
→→→→→
−=−= TATBABBA VVVVV (2.5)
Se VTA > VTB durante certo tempo, um maior número de pontos do elemento 1 estará em
contato com um ponto do elemento 2, ocorrendo então escorregamento ou deslizamento
relativos, isso ocasiona atrito com dissipação de energia e geração de calor.
Essa velocidade relativa é a velocidade de escorregamento e é dada por:
Ve = VAB = VTA – VTB (2.6)
Num determinado instante A ≡ B, ou seja, estão em contato sejam O1C ⊥ NN e O2D ⊥ NN,
considerando semelhança de triângulos retângulos:
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 13
N
N
T
T
r1
VTA
VTB
ω1
O1
A=B
ω2
O2
r2
VA
VB
VNA,VNB
b
a
C
I
D
n
Figura 2.2 – Triângulos retângulos semelhantes.
Ana ~ O1CA (O1A ⊥ Aa) 1
_____
1
NA
_____
1
A
CO
V
AO
V
ω== (2.7)
Bnb ~ O2DB (O2B ⊥ Bb) 2
_____
2
NB
_____
2
B
DO
V
BO
V
ω== (2.8)
Daí
_____
1
_____
2
2
1
CO
DO
=
ω
ω (2.9)
Por outro lado :
O1CI ~ O2DI
_____
1
_____
2
_____
1
_____
2
IO
IO
CO
DO
= (2.10)
Utilizando (2.6) e (2.7) têm-se:
IO
IO
1
2
2
1
=
ω
ω (2.11)
Então, as velocidades angulares são proporcionais aos seguimentos que a normal às
superfícies de contato determinam no seguimento que une os centros de rotação.
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 14
2.3 Relação de Transmissão Constante
Relação de Transmissão (i) – é a relação entre a velocidade angular do elemento condutor
e a velocidade angular do elemento conduzido.
conduzidocondutori
ω
ω
= (2.12)
Verifica-se que se o elemento 1 gira com velocidade angular constante, a velocidade
angular constante do elemento 2 só ocorre quando o ponto primitivo I de contato for um ponto
fixo sobre a linha de centros.
Seja: ω1 = ωcondutor e
ω2 = ωconduzido
Então:
ctei
IO
IO
_____
1
_____
2
2
1
===
ω
ω (2.13)
se I é fixo:
_____
1
_____
2 IOeIO são constantes, prova:
_____
1
_____
1
_____
2
2
21
IO
IOIO +
=
+
ω
ωω (2.14)
_____
1
2
1 1
IO
a
=+
ω
ω (2.15)
1i
aIO
_____
1
+
= (2.16)
_____
1IO
a1i =+ (2.17)
1
_____
1
−=
IO
ai (2.18)
Logo para centros pré-fixados, o ponto I variará com a relação de transmissão e também,
ao inverso, a relação de transmissão variará com a variação de I, se este permanece constante a
relação de transmissão permanece constante.
É importante que as velocidades angulares permaneçam constantes na prática. As variações
causam cargas dinâmicas que acentuam a fadiga. Se desejarmos a relação de velocidades
constante, para evitar essas acelerações e desacelerações que produzem a fadiga, é preciso que o
ponto I permaneça fixo, isto só ocorrerá em certos casos, como visto a seguir.
Comentar as diferentes condições que podem proporcionar i não constante. Sugerir
exemplos de relação de transmissão.
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 15
2.4 Perfis Conjugados
São perfis conjugados aqueles que permitem satisfazer a condição i constante, isto é,
permitem a transmissão de movimento circular com relação constante de velocidades angulares.
Em essência, um par de perfis de dentes de engrenagens são estruturas que agem um contra
o outro para produzir o movimento de deslocamento requerido. Com certas restrições, um perfil
pode ser escolhido aleatoriamente e um perfil conjugado correto pode ser desenvolvido. Por
outro lado, se os dois perfis forem escolhidos arbitrariamente, a natureza da ação pode ser
determinada, mas quase nunca será a de movimento uniforme.
A fim de transmitir movimento circular uniforme, os valores instantâneos dos raios
primitivos devem permanecer constantes para todas as posições operantes dos perfis de contato.
Disso vem a lei básica da ação conjugada de perfis de dentes de engrenagens: para que o
movimento seja uniforme, as normais aos perfis a cada instante e em todos os pontos de contato
precisam passar pelo ponto primitivo.\2\
2.5 Condição de Rolamento Puro
Sejam dois corpos em contato direto, seja 1 o elemento condutor.
Sejam: r1 = raio vetor do ponto de contato do elemento 1
r2 = raio vetor do ponto de contato do elemento 2
v1 = ω1r1 → ω1 =
1
1
r
v (2.19)
v2 = ω2r2 → ω2 =
2
2
r
v (2.20)
ω1
r 1
r2
O1
O2
ω2
Figura 2.1 – Rolamento puro
Utilizando a equação (1.8), e aplicando as equações (2.20) e (2.21), tem-se:
V1 = V2
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 16
2
1
_____
1
_____
2
2
1
r
r
IO
IO
V
V
= (2.21)
Para que haja rolamento puro não pode ocorrer deslizamento, logo →→ = 21 VV , e isto só se
verifica se o contato ocorrer sobre a linha de centros(Figura 2.1).
Portanto:
_____
2IO = r2 e
_____
1IO = r1
A condição de rolamento puro pode ser resumida da seguinte forma:
Para que haja rolamento puro, na transmissão por contato direto do movimento circular, o
ponto de contato deve coincidir, a cada instante, com o ponto primitivo I.
Com a utilização do conceito de circunferências primitivas, a relação de transmissão para
perfis conjugados passa a ser:
1
2
2
1
r
r
i ==
ω
ω (2.22)
Ou seja, os tamanhos das circunferências primitivos são inversamente proporcionais às
velocidades angulares das duas engrenagens. Para uma transmissão duas vezes maior, a
circunferência primitiva da engrenagem mais lenta é duas vezes maior que a circunferência da
menor. As proporções dos dentes podem ser simétricas ou assimétricas em relação à linha
primitiva.\2\
2.6 Definições
Perfil Ativo – é a porção de um perfil que compreende os pontos de contato durante a
condução considerada.
Circunferência Primitiva – as circunferências traçadas com centros O1 e O2 e raios r1=
_____
1IO
e r2=
_____
2IO são chamadas circunferências primitivas ou de rolamento. Elas são de tal tamanho que
se fossem transmitir o movimento por atrito e sem escorregamento, como duas rodas, elas
transmitiriam o movimento requerido.
Ponto de Contato Primitivo ou de Rolamento (I) – é o ponto determinado pela interseção
da normal comum aos perfis com a linha de centros. É o ponto de tangência das duas
circunferências primitivas.
Linha de Contato ou Trajetória de Contato – é o lugar geométrico de todos os pontos de
contato durante a condução.
Linha de Ação – de qualquer ponto de contato, uma linha reta, normal aos dois perfis no
ponto de contato, pode ser traçada deste ao ponto primitivo. Essa reta, ou normal comum aos
perfis, é chamada linha de ação.
Ângulo de Condução ou Ação (φ) – é o ângulo de que gira um elemento, a partir do
instante que se inicia o contato até o instante em que cessa o contato.
Capítulo 02 - Cinemática do engrenamento.doc 17
Ângulo de Aproximação (φa) – é o ângulo de que gira um dos elementos, a partir do
instante em que se inicia o contato até o instante em que o contato ocorre sobre a linha de
centros.
Ângulo de Afastamento ou de Separação (φs) – é o ângulo descrito por um dos elementos, a
partir do instante em que o contato ocorre sobre a linha de centros até o instante em que o
contato cessa.
φ = φa + φs (2.23)
Correspondentemente, tem-se:
∆t = intervalo de tempo de ação ou condução
∆ta = intervalo de tempo de aproximação
∆ts = intervalo de tempo de separação
Aos conceitos de ângulo de ação, aproximação e separação correspondem também os
conceitos de:
gα = arco de condução ou ação
ga = arco de aproximação
gs = arco de separação ou afastamento
a
r2
ra2
rb2
α
I
α
x
y
gs
ga
ω1
O2
O1
ra1
r1
rb1
T2
T1
Ângulo de Pressão (α) – é o menor ângulo formado pela normal aos perfis, no ponto de
contato, a linha de ação, com a perpendicular à linha de centros que passa pelo ponto primitivo,
ou, o ângulo formado entre a linha de ação e a tangente comum às duas circunferências
primitivas no ponto primitivo.
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc
3 A CURVA EVOLVENTE1
3.1 Definição
É a curva descrita por um ponto de uma reta que gira sem deslizamento sobre uma
circunferência. Para um maior sentido físico, a evolvente é a curva facilmente gerada por um
ponto de um fio inextensível que é desenrolado de um cilindro circular./1/
3.2 Características
A curva evolvente é universalmente utilizada como perfil dos dentes das engrenagens.
Outras curvas como as cicloidais são exceções e aplicadas em casos muito específicos. Um arco
de evolvente utilizado como perfil de dentes de engrenagens apresenta as seguintes
características:/1/
• a usinagem é feita por geração da evolvente que utiliza ferramentas mais simples,
facilitando a fabricação;
• a relação de velocidades angulares não varia com a variação da distância entre
centros, (um arco da evolvente funciona estando próximo ou afastado da
circunferência de base);
• facilidade de obtenção de dentes corrigidos;
• a direção da força resultante entre os dentes permanece invariável.
3.3 Equações paramétricas da evolvente
ρ= r
p
2
b
r
2
-
rp
rb
A
P
T
αP
αP
θP
β
Figura 3.1 – Parâmetros da evolvente
Terminologia (Figura 3.1):
1 Este texto está sendo montado para o Curso de Elementos de Máquinas II, Engenharia Mecânica, pelo professor
Acires Dias, a partir do texto estruturado pelo Professor Renan Brazzale. Tem por base a ementa do curso de
elementos de máquinas do EMC/UFSC. (versão 1– Jan 2002)
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 18
• Reta geratriz: aquela que contém o ponto P gerador da evolvente, é sempre tangente
à circunferência de base.
• Circunferência de base: a circunferência sobre a qual se desenrola a reta geratriz da
evolvente, o raio de base rb é o raio dessa circunferência.
• Raio vetor rp: o raio que une o centro da circunferência de base com um ponto
genérico P da evolvente.
• Ângulo de incidência αp: é o ângulo determinado pelo raio vetor de um ponto P e o
raio de base que passa pelo ponto de tangência entre a circunferência de base e a
reta geratriz com o mesmo ponto P.
Condição fundamental:
Como a reta geratriz é uma reta inextensível que se desenrola da circunferência de base, PT
= AT (Figura 3.1).
Dedução:
Da figura temos:
AT = rb(θp + αp) (3.1)
e, por outro lado,
PT = ρ = rb.tgαp (3.2)
Igualando as duas equações acima, pela condição fundamental:
θp = tgαp - αp (3.3)
Esta equação define a função evolvente, reescrevendo:
ppp tgev ααα −= (3.4)
O ângulo αp de incidência do perfil evolvente deve ser especificado em radianos.
O Raio vetor do ponto P é igual a:
p
b
p
r
r
αcos
= (3.5)
Com as equações (3.4) e (3.5) pode-se definir e traçar a curva evolvente dados os ângulos
de incidência e o raio de base.
3.4 Traçado geométrico da evolvente
A evolvente pode ser traçada facilmente usando algum método computacional e as
equações (3.4) e (3.5) em um sistema de coordenadas polares. Um método manual de se traçar a
evolvente pode ser tomar alguns pontos sobre a circunferência de base e por eles traçar
tangentes, com a ponta seca de um compasso sobre cada um desses pontos traça-se então um
arco que comece na bissetriz do ângulo formado por tangentes seguidas até a bissetriz seguinte,
e assim por diante.
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 19
3.5 Ação conjugada da evolvente
Considerando-se dois perfis evolventes em contato como mostra a figura a seguir:
rb2
T1
P2
P1
I
O1
T2 O2
α
Figura 3.1 - Ação conjugada da evolvente
O ponto de contato entre as duas evolventes é o ponto onde as duas tangentes às duas
coincidem. As tangentes às duas evolventes são sempre perpendiculares às suas linhas
geradoras pois essas são o raio da evolvente no determinado ponto.
As tangentes às duas evolventes coincidem somente quando a linha geratriz de uma é a
continuação da linha geratriz da outra (o que vem a ser a normal comum aos perfis). Portanto, o
lugar geométrico dos pontos de contato entre duas evolventes é a tangente comum às duas
circunferências de base, que coincide com a normal comum no ponto de contato.
Dadas duas evolventes em contato, pertencentes a circunferências de base fixas no plano,
nota-se que quando uma evolvente gira com uma velocidade constante, o comprimento da sua
linha geradora do ponto de tangência com a circunferência de base até o perfil evolvente no
ponto P muda uniformemente. Enquanto o comprimento da linha geradora da circunferência
motriz aumenta, o comprimento da linha da circunferência movida diminui ao mesmo tempo e
na mesma taxa, portanto a tangente comum às duas circunferências de base, que é a união das
duas linhas geradoras, permanece constante.
Como a tangente comum às circunferências de base e a linha de centros são fixas no plano,
o ponto primitivo I também é fixo. Portanto duas evolventes são perfis conjugados e a
transmissão de movimento ocorre com uma relação de transmissão uniforme .
Definições:
• Ponto de Contato Primitivo, I – passa a ser a interseção da tangente comum interna
às circunferências de base (normal comum aos perfis) com a linha de centros.
• Linha de Ação – continua a mesma definição do capítulo anterior. No caso de
perfis evolventes a linha de ação coincide com a linha de contato e também com a
tangente comum interna às duas circunferências de base.
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 20
• Ângulo de pressão, α - é o ângulo de incidência quando o contato se der sobre o
ponto I.
Ação da evolvente contra um perfil plano (melhorar)
Uma das propriedades das evolventes é que elas dependem apenas da forma das
circunferências de base, se tomarmos uma circunferência de base e a aproximarmos de um caso
limite onde o raio de base vai ao infinito teremos uma linha reta de base com perfis planos de
evolvente (Figura 3.2). Esta forma será a cremalheira básica do perfil evolvente.
evolvente
Figura 3.2 – Cremalheira básica
Este perfil plano dos dentes da cremalheira em contato com um perfil evolvente de uma
circunferência de raio definido, por ser também uma evolvente (em um caso limite), também se
enquadra na definição de perfis conjugados.
Quando uma evolvente atua sobre um perfil plano, o perfil plano é tangente à evolvente e é
sempre perpendicular a sua linha de ação. O raio primitivo de uma evolvente atuando sobre a
cremalheira é o comprimento da linha radial, perpendicular à linha de direção do movimento da
cremalheira, medido do centro da circunferência de base até seu ponto de interseção com a linha
de ação.
Sendo o perfil plano e a evolvente perfis conjugados, uma vez definida a direção de
movimento do perfil plano, fica definido o ponto I, que permanece fixo durante o movimento.
3.6 Relação entre Distância entre Centros e Ângulos de Pressão
Considerando dois perfis evolventes com raios das circunferências de base rb1 e rb2:
O1
O2
α
r1
rb2
α
a
r1
rb1
α
O1
T2
T1 α’
O2
α’
α’
r'2
r'b2
a'
O1
r'1
r'b1
Figura 3.1 – Relações entre as distâncias entre centros
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 21
Para a distância entre centros a = O1O2, com raios primitivos r1 e r2 os ângulo de pressão α1
e α2 são dados por:
1
b1
1
r
r
arccosα = (3.6)
2
b2
2
r
r
arccosα = (3.7)
1
b1
1
cosα
r
r = (3.8)
2
b2
2
cosα
r
r = (3.9)
Considerando os triângulos semelhantes O1T1I e O2T2I conclui-se que α1 = α2 = α , α é o
ângulo de pressão de engrenamento, nenhum engrenamento de evolvente tem o ângulo de
pressão (da operação, pois este ângulo é definido na engrenagem específica na fabricação, pela
ferramenta) definido até que se fixe a distância entre centros a, essa distância define a
disposição da tangente interna comum e por conseqüência o ângulo α. A relação entre a
distância entre centros e o ângulo de pressão será:
a= r1+r2 (3.10)
αcos
21 bb rr
a
+
= (3.11)
Se as engrenagens entrarem em contato a uma distância entre centros a’ (Figura 3.1):
'r'ra' 21 += (3.12)
'cos
r
'r
b1
1
α
= (3.13)
'cos
r
'r
b2
2
α
= (3.14)
'αcos
rr
a'
b2b1 +
= (3.15)
Das equações (3.11) e (3.15) podemos concluir a relação entre a mudança de distância
entre centros e a alteração do ângulo de pressão:
α
α
cos
'cos
'
=
a
a (3.16)
Dessas deduções, verifica-se que ao utilizar a curva evolvente como perfil de dentes de
engrenagens, para os parâmetros de um engrenamento, a montagem interfere nos ângulos de
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 22
pressão durante a transferência de forças entre as engrenagens (e este é constante para uma dada
montagem), mas a relação de transmissão permanece constante pois é definida só pelas
circunferências de base:
1
2
1
2
1
2
cos
cos
b
b
b
b
r
r
r
r
r
ri ===
α
α (3.17)
3.7 Sumário das propriedades da evolvente/1//2/
1. Qualquer geratriz da evolvente é tangente ao círculo de base.
2. O segmento da geratriz entre o ponto gerador P, e o ponto de tangência T, é o raio da
evolvente no ponto P, ρ (Fig.2.1).
3. PT é o segmento da reta geradora da evolvente e também o raio de curvatura no ponto
‘P’.
4. O ponto T será o centro instantâneo de rotação (ponto de tangência com a
circunferência de base).
5. A tangente à evolvente é normal à geratriz correspondente.6. Evolventes com circunferência de base iguais são iguais.
7. A forma da evolvente depende apenas da circunferência de base.
8. Se as circunferências de base forem diferentes a diferença entre as evolventes será
puramente escalar (haverá proporcionalidade de dimensões).
9. Se uma evolvente gira a uma velocidade angular constante, ela transmitirá movimento
angular a uma taxa constante à outra evolvente em contato, para qualquer distância
entre as circunferências de base.
10. A relação de transmissâo depende apenas das circunferências de base.
11. A tangente comum às duas circunferências de base é tanto a linha de contato como a
linha de ação. Em outras palavras duas evolventes entrarão em contato somente sobre
essa tangente.
12. A interseção da tangente comum com a linha de distância entre centros das duas
circunferências de base estabelece os raios primitivos das circunferências primitivas.
13. Os diâmetros primitivos das evolventes em contato são diretamente proporcionais às
circunferências de base.
14. O ângulo de pressão de duas evolventes agindo em conjunto é o ângulo entre a
tangente comum às circunferências de base e a linha perpendicular à sua linha de
centros comum. Nenhuma evolvente tem um ângulo de pressão até ser trazida em
contato com outra evolvente em uma certa distância de centros.
15. A forma da cremalheira básica da evolvente é uma linha reta. O ângulo de pressão de
uma evolvente agindo contra essa cremalheira é o ângulo entre a linha de ação e a
linha que representa a direção na qual a cremalheira se move.
Capítulo 03 - A curva evolvente.doc 23
Inserir figura no contexto
Capítulo 04 - A engrenagem.doc
4 A ENGRENAGEM1
4.1 Evolvente como Perfil de Dentes de Engrenagem
Para que a evolvente seja usada como perfil de dentes de engrenagens, traça-se várias
curvas evolventes eqüidistantes sobre uma mesma circunferência de base.
Como um dente de engrenagem, geralmente, é simétrico, de início será considerado apenas
um lado do dente.
Na figura abaixo é mostrado o desenvolvimento das evolventes que formarão um dos lados
dos dentes. Imagina-se que sobre a circunferência de base está enrolado um cordão, com vários
nós igualmente espaçados.
O
rb
Pb Pb
Pb
Passo de base
Figura 4.1 - Desenvolvimento dos dentes da engrenagem
Quando se desenrola o cordão cada nó descreve uma curva evolvente (Figura 4.1). A
distância entre essas evolventes, medida sobre qualquer linha tangente à circunferência de base
é sempre a mesma. Esta distância é igual ao comprimento do arco da circunferência de base
entre as origens de quaisquer duas evolventes sucessivas. Esta também é a distância entre os
nós do cordão. Esta distância é também igual ao comprimento da circunferência de base
dividida pelo número de dentes da engrenagem, e é chamada passo de base, pb.
1 Este texto está sendo montado para o Curso de Elementos de Máquinas II, Engenharia Mecânica, pelo professor
Acires Dias, a partir do texto estruturado pelo Professor Renan Brazzale. Tem por base a ementa do curso de
elementos de máquinas do EMC/UFSC. (versão 1 – Jan 2002)
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 24
z
rb2pb pi= (4.1)
onde:
Z = número de dentes da engrenagem
O comprimento do arco entre dois perfis sucessivos homólogos na circunferência primitiva
é o passo primitivo ou simplesmente passo.
z
r2p pi= (4.2)
relação entre passo de base e passo primitivo
αα
pipi p.coscos
z
r2
z
rb2pb ===
αp.cospb = (4.3)
4.2 Condição de Funcionamento
Num par de engrenagens, os passos de base devem ser idênticos para que se obtenha
movimento contínuo e suave, pb1=pb2 , lembrando que os ângulos de pressão são iguais nas duas
engrenagens e utilizando (4.3), p1=p2
4.3 Módulo
Uma das relações importantes da engrenagem é seu módulo, que é a razão entre o diâmetro
primitivo e o número de dentes.
z
d
m = (4.4)
Logo p= mpi (4.2) e a condição de funcionamento contínuo e suave pode ser reescrita
como: m1=m2.
O módulo é empregado nos países que utilizam o sistema métrico e é dado em milímetros.
Nos países que obedecem a unidade polegada, define-se, em lugar do módulo, o passo diametral
(diametral pitch):
d
zDP = (4.5)
Em milímetros, a correspondência entre os dois é:
DP
m
4,25
= (4.6)
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 25
4.4 Relação de Transmissão
A relação de transmissão do movimento circular, através de perfis conjugados é dada por:
1
2
2
1
r
ri ==
ω
ω (4.7)
Para engrenagens de perfil evolvente:
1
2
b
b
r
ri = (4.8)
Considerando agora duas engrenagens com número z1 e z2 de dentes, tomando (3.3), tem-
se:
2
. 1
1
zm
r = (4.9)
2
. 2
2
zm
r = (4.10)
substituindo (4.7) e (4.8) em (2.23), obtém-se:
1
2
z
zi = (4.11)
Portanto o número de evolventes é inversamente proporcional às respectivas velocidades
angulares.
4.5 Dimensões Padronizadas da cremalheira peça
As normas prevêem um certo número de dimensões padronizadas para engrenagens, com a
finalidade de reduzir a diversificação e permitir que as engrenagens sejam intercambiáveis.
A série de módulos é padronizada pelas normas ISO R54, DIN 780 e ABNT P-PB-90.
Os ângulos de pressão padronizados (ISO R53) são 20º , 14,5º e 25º , no entanto os dois
últimos são só usados em casos especiais.
A cremalheira padrão, peça do sistema módulo, é definida pelas normas ISO R53 e ABNT
P-PB-89. Padroniza-se com Módulo Unitário.
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 26
ρ
α
Figura 4.1 - Dimensões padronizadas
Numa engrenagem real o dente é limitado acima da circunferência primitiva pela
circunferência de cabeça ou de adendo e abaixo da circunferência primitiva pela circunferência
de pé ou de dedendo.
Para construção de engrenagens intercambiáveis são normalizados:
• Altura de cabeça ou adendo: ha = m ; hac = (1+c) (4.12)
• Altura do pé ou dedendo : hf = m(1+c) (4.13)
• Diâmetro de adendo: da = d+2m (4.14)
• Diâmetro de dedendo: df = d-2m(1+c) (4.15)
Onde c = fator de folga de fundo, cpadrão = 0,25 podendo ser utilizado c = 0,167.
Além destes valores são utilizados para a altura de adendo:
• As cremalheiras de adendo curto ha < m até 0,75m
• As cremalheiras de adendo longo ha > m até 1,25m
O raio de arredondamento de fundo não deve exceder um valor máximo para um fator de
folga de dado. Exemplo: ρf = 0,4m quando c = 0,25
4.6 Espessura do Dente
O cálculo da espessura do dente tem aplicação particular no controle de qualidade.
Definição:
Linha de referência – é a linha que seciona a cremalheira em um certo nível da altura do
dente tal que, sobre esta linha, a relação da espessura do dente para o passo tenha um valor
normalizado. Nestas notas é utilizada a linha de referência que divide o passo da cremalheira ao
meio, isto é, a espessura do dente e o vão entre dentes sobre a linha de referência são iguais
(figura 4.2).
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 27
φ b
φ
φ p
r p
r
r b
θ p
θ
Figura 4.1 – Espessuras do dente
A espessura do dente sobre a circunferência primitiva é:
2
p
s = (4.16)
O ângulo entre o flanco e a linha de simetria do dente nesta circunferência é:
r
s
2
=φ (4.17)
Sobre a circunferência de base o ângulo entre o flanco e a linha
de simetria do dente é:
φb = φ + θ (4.18)
φb = φ + evα (4.19)
Sobre uma circunferência de raio qualquer o ângulo entre o flanco e o centro do dente é:
φp = φ + θ - θp (4.20)
φr
s
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 28
φp = φ + evα - evαp (4.21)
A espessura de base é dada por:
sb = 2φb.rb (4.22)






+=






+= αα ev
r
s
rev
d
sds bbb 2 (4.23)
A espessura do dente sobre uma circunferência qualquer é:
ppp rs ..2φ= (4.24)






−+= ppp evev
d
sds αα. (4.25)






−+= pppevev
r
s
rs αα .2.2. (4.26)
onde:
p
b
p
r
r
arccos=α (4.27)
Capítulo 04 - A engrenagem.doc 29
Tarefa 04 – Exercícios
1- Dado um par de engrenagens com Z1=21 dentes e Z2=43 dentes, módulo 5mm,
ângulo de pressão α=20° e rotação n=480rpm. Determinar:
a) A relação de transmissão.
b) Os diâmetros primitivos.
c) Os diâmetros de adendo ou de cabeça.
d) Os diâmetros de dedendo ou de fundo.
e) Os diâmetros de base.
f) As velocidades tangenciais v1 e v2 dos dentes do pinhão e coroa na cabeça do dente
(início de contato) no diâmetro de base (final de contato) e no diâmetro primitivo.
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc
5 DESLOCAMENTO DE PERFIS
Uma das grandes vantagens do perfil evolvente é a possibilidade de deslocamento do
perfil, sem modificação da conjugação. Esse deslocamento consiste em separar a linha de
referência da cremalheira geradora da circunferência primitiva original da engrenagem de forma
que estas não mais se tangenciem. A utilização do deslocamento de perfis apresenta as
vantagens de:
• obtenção de maior ou menor razão de condução;
• melhorar a resistência à flexão;
• eliminação do recorte;
• melhorar o rendimento;
• diminuir o ruído.
Anteriormente, foi afirmado que uma engrenagem de perfil evolvente não tem definido o
diâmetro da circunferência primitiva até que os perfis entrem em contato, portanto,
teoricamente, qualquer distância entre centros permitiria o engrenamento.
Na figura 5.1, a engrenagem ao ser gerada foi afastada da cremalheira geradora de uma
distância ‘v’, mas satisfazendo ainda as condições de conjugação.
v
α
circunferência
primitiva
linha primitiva da
cremalheira ou
linha de referência
L0
L1
linha primitiva de
geração
Figura 5.1 – Deslocamento de perfil
A distância ‘v’ é expressa em termos do módulo e de um valor ‘x’:
v = m.x (5.1)
O ‘x’ é o coeficiente de deslocamento de perfil e seu valor, por convenção, é positivo (+x)
se a linha de referência da cremalheira geradora (Lo) se afasta do centro da engrenagem.
A distância entre centros
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 35
A distância da linha de referência da cremalheira ao centro da engrenagem é então:
mxm
z
mxrac .
2
. +=+= (5.2)
A espessura do dente
A espessura do dente gerado com deslocamento de perfil positivo, medida sobre a
circunferência primitiva de geração aumenta de 2.x.m.tgα:
α
pi
tgxmms ...2
2
.
+= (5.3)
A altura do dente
A nova altura de adendo é:
ha = m + v = m.(1+x) (5.4)
A nova altura de dedendo:
hf = m.(1+c) – v = m.(1 + c – x) (5.5)
O fator de deslocamento de perfil
A aplicação mais necessária do deslocamento de perfis é a eliminação do problema do
recorte na geração de engrenagens com número de dentes menor do que zmín. Pode-se deduzir
uma equação para o valor de “x” que elimine o problema do recorte. Tomando o contrário da
condição (4.49), vista no capítulo anterior, deduz-se que a condição para ocorrer recorte é:
hac > r sen2α (5.6)
Logo, se for dado, durante a geração, um afastamento “v” da linha de referência da
cremalheira geradora à linha primitiva de geração no mínimo igual a:
v = hac – r sen2α (5.7)
o problema de recorte dos dentes de pinhões deixa de ocorrer.
Substituindo (5.1) e (3.10) em (4.2), obtém-se a expressão para “x”:
α2sen
2
zm
mkmx ⋅−⋅=⋅ (5.8)
α2sen
2
zkx −= (5.9)
Esta equação determina o fator de deslocamento de perfil mínimo positivo para que não
ocorra recorte em pinhões com z < zmín.
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 36
A mesma equação pode ser utilizada para determinar o maior deslocamento de perfil
negativo que pode ser especificado para a engrenagem com z > zmín , sem que ocorra o problema
de recorte. Note que se o perfil é deslocado negativamente em uma engrenagem que não
apresenta problemas de recorte, pode-se gerar o recorte na engrenagem, intencionalmente.
É interessante notar, que se for feito x = 0 na equação 5.9, isto é, não há deslocamento de
perfil, a equação permite determinar o número mínimo de dentes que uma engrenagem
fabricada por geração deve possuir sem ter o problema de recorte. Assim, retorna-se ao
resultado já demonstrado anteriormente, a equação (3.10).
Figura 5.2 – engrenamento com perfil deslocado.
5.1 Duração do Contato ou razão de condução (εεεεαααα)
Um dos fatores mais importantes no projeto de engrenagens para transmitir potência é
proporcionado pela duração do contato. A duração de contado ou razão de condução (alguns
autores também chamam de grau de recobrimento) representa o número de pares de dentes que
ficam em contato durante uma condução, ou a ação de uma engrenagem sobre a outra.
A quantidade mínima de contato adequada depende de várias condições e pode ser
estabelecida por experiência ou por experimentação nos casos críticos.
A razão de condução informa ao projetista quantos pares de dentes se encontram acoplados
em uma engrenagem. Por exemplo, uma razão de condução igual a 1,5 informa ao projetista que
durante uma determinada condução, tem-se permanentemente um par de dentes em contato e
em 50% do tempo de condução tem-se dois pares de dentes engrenados. Os dois pares de dentes
estão em contato na seguinte situação: quando um novo par (par 1) inicia o contato, o que já
estava na condução (par 2) ainda está conduzindo. Quando o par 1 que iniciou o contato vai se
aproximando do ponto primitivo, o par 2 deixa de estar em contato. Nesta situação tem-se
apenas um único par de dentes engrenado na condução.
FAZER FIGURA
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 37
α
g
α
va
r2
ra2
rb2
α
I
α
x
y
gs
ga
ω1
O2
O1
ra1
r1
rb1
T2
T1
Figura 5.1 – Razão de condução
Na figura acima, a linha T1T2 é a linha de contato. Os pontos x e y são definidos pela
interseção das linhas de contato com as circunferências de adendo ra1, ra2. Então a linha xy é
onde a ação efetivamente ocorre e é chamada de linha de ação. A parte da linha de ação xy que
é interceptada pelas duas circunferências de adendo do par de engrenagens representa o lugar
geométrico de todos os pontos de contato durante todo o engrenamento de um par de dentes (do
contato à separação total), ou seja, o arco de ação, gα, como definido no segundo capítulo. Já
foi visto que um ponto genérico de contato de duas evolventes se desloca sobre a linha de ação
(que é sempre normal às superfícies, no ponto de contato) com uma velocidade:
vn = v.cosα (5.10)
Por definição, o grau de recobrimento é a relação entre o tempo que o par de dentes
permanece engrenado e o tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos. Isso pode ser
expresso por:
sucessivostosengrenamendeiníciosdoisentreTempo
contatodepontodocontatodofimoeiníciooentreTempo
=αε
Chamando t1 o tempo dado pelo numerador e t2 o tempo dado pelo denominador, temos:
n
1
v
g
t
α
= (5.11)
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 38
v
p
t2 = (5.12)
Como a distância entre dois dentes sucessivos é o passo, este deve ser divido pela
velocidade na circunferência primitiva para se ter o tempo necessário para que o dente seguinte
encontre a posição onde entra em contato. Então:
α
ε
αα
α
pcos
g
.pv
vg
t
t
n
.
2
1
=== (5.13)
portanto,
bp
gα
αε = (5.14)
O número de dentes em contato ou a razão de condução, εα, é a razão entre o arco de ação
e o arco entre dentes sucessivos medido sobre a circunferência de base, o passo de base pb .
Dedução de εα
Nomenclatura:
• ga = arco de aproximação
• gs = arco de afastamento
• φa = ângulo de aproximação
• φs = ângulo de separação
• ra1 = raio de adendo da engrenagem 1
• ra2 = raio de adendo da engrenagem 2
Equações simples podem ser desenvolvidas para os ângulos de aproximação e afastamento
utilizando os vários triângulos retângulos da figura:
T2I = r2.senα(5.15)
2
2
2
22 ba rrYT −= (5.16)
Arco de aproximação ga = IY = T2Y – T2I = αsen.22222 rrr ba −− (5.17)
Arco de afastamento .senαrrrITXTIXg 12b12a111s −−=−== (5.18)
O ângulo de aproximação φa é dado pela diferença T2Y menos T2I dividido pelo raio de
base rb1
1
2
2
2
2
2 sen.
b
ba
a
r
rrr αφ −−= (5.19)
O ângulo de afastamento é dado pela distância XI dividida pelo raio de base rb1
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 39
1
1
2
1
2
1 sen.
b
ba
s
r
rrr αφ −−= (5.20)
O comprimento da linha de contato XY = gα é igual ao arco de ação
b1sb1aα .rφ.rφg += (5.21)
αa.senrrrrg 2b22a22b12a1α −−+−= (5.22)
b
2
b2
2
a2
2
b1
2
a1
b
α
α
p
αa.senrrrr
p
g
ε
−−+−
== (5.23)
Onde
2
b2
1
b1
b
z
r2
z
r2p pipi == (5.24)
A razão de condução não pode ser menor que 1 para que não haja choques e garantir
continuidade de movimento. Quanto maior o valor de εα maior é a suavidade de movimento da
engrenagem, contudo geralmente εα é menor que 2.
5.2 Razão de Condução entre Pinhão e Cremalheira
ra
rb
α
rb
ra
r
ω
x
y
gα
ha
I
O
α
linha primitiva
Figura 5.1 – Razão de condução entre pinhão e cremalheira
ha = altura de adendo da cremalheira
IYhg aa ==
αsen
(5.25)
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 40
XIrrrg bas =−= − αsen.22 (5.26)
Com (4.30):
( )
b
baa
p
rrrh αα
εα
sen.sen/ 22 −+
=
− (5.27)
5.3 Interferência e Recorte – Limitação da Ação conjugada
A curva evolvente tem seu começo na circunferência de base, então não é recomendável
haver contato entre os dentes abaixo dessa circunferência. Se houver contato entre os perfis dos
dentes abaixo da circunferência de base, poderá ocorrer recorte ou interferência entre os perfis
em contato. O recorte ocorre quando o contato é feito entre a cremalheira de corte (ferramenta
geradora) e a engrenagem. Neste caso, se o processo de fabricação for por geração, a
cremalheira retira material além da curva evolvental, proporcionado pelo giro da cabeça do
perfil do dente da ferramenta no fundo do dente da engrenagem. A curva traçada pelo perfil do
dente (da ferramenta) é chamada de trocóide. A intersecção da trocóide com a evolvente gera o
recorte do dente, ou seja, recorta a evolvente.
Se uma cremalheira com cantos agudos atua contra a evolvente e seu topo se situa bastante
abaixo da circunferência de base, ocorrerá interferência a menos que o dente seja recortado. Se
engrenarmos duas engrenagens com interferência, ocorre engripamento, ruptura ou desgaste das
superfícies dos dentes. Se, pelos processos de geração do perfil evolvente, o dente for recortado
há o adelgaçamento do pé do dente diminuindo sua resistência.
A interferência é um processo que ocorre entre os dentes de duas engrenagens (pinhão /
coroa) em operação. Este evento só é possível de ocorrer entre as engrenagens fabricadas por
processos que não sejam os de geração. Por exemplo, fresa módulo. Evidentemente, a mesma
premissa é válida aqui. O contato que gera interferência é proporcionado pela cabeça do dente
da curva que atinge o ponto limite L, no fundo do dente do pinhão.
A curva em laço representa a trajetória do canto agudo do dente da cremalheira quando ele
entra e sai do engrenamento e é chamada trocóide. Esta trajetória não apenas recorta o dente
abaixo da circunferência de base, mas também remove a parte mais baixa do perfil evolvente
situada entre a circunferência primitiva e a de base.
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 41
hac
α
Linha de referência
primitiva
trocóide
origem da trocóide
circunferência
de base
circunferência
primitiva
Figura 5.1 – Trocóide
A equação da trocóide em coordenadas polares com origem no laço da curva é dada por:
(ver melhor)
5.4 Condição para que não ocorra recorte
Recorte é denominado à retirada de material no pé do dente da engrenagem fabricada por
qualquer processo de geração de dentes, afetando assim, a espessura do dente na região do pé do
dente. Isso acontece quando o gume de corte da cremalheira, penetra além do ponto limite L
(figura 5.5). Este ponto L é definido traçando uma linha paralela a linha de referência a partir do
ponto de tangência T, definido pela linha de ação sobre a circunferência de base.
Esta condição é aplicável a geração de engrenagens por cremalheira ou fresa helicoidal
equivalente.
Para evitar o recorte do dente da engrenagem gerada por cremalheira, o topo dos dentes da
cremalheira geradora ou da fresa equivalente não pode ultrapassar a linha paralela à linha que
passa no ponto limite de interferência T. O ponto T e a distância IL servirão de auxílio para a
dedução da condição de não ocorrência de recorte.(Figura 5.1)
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 42
α
α
linha de adendo
da cremalheira
hac
Linha de ação
Linha de referência
I
r
Rl
rb
T
Figura 5.1 – Limite de interferência
r = raio primitivo
rb = raio de base
rl = raio limite para não haver recorte
α = ângulo de pressão
I = ponto primitivo
T = ponto de tangência
L = ponto limite
hac = altura de adendo do dente da cremalheira de corte
rl=rb.cosα (5.28)
mas rb = r.cosα , logo,
rl = r.cos
2α (5.29)
Para que não ocorra recorte:
IL ≥ hac (5.30)
e
IL = r – rl (5.31)
Utilizando (4.45):
IL = r – r.cos2α = r.(1 – cos2α) = r.sen2α (5.32)
Pela condição (4.46):
r.sen2α ≥ hac (5.33)
Agora, define-se o número mínimo de dentes do pinhão, gerado por cremalheira, para que
não ocorra recorte. Sabendo que hac é igual a:
Capítulo 05 - Deslocamento de perfis.doc 43
hac = k.m (5.34)
substituindo (5.34) em (5.33), obtém-se:
r.sen2α ≥ k.m (5.35)
mkzm .sen
2
. 2 ≥α (5.36)
logo,
αsen
2k
z 2≥ (5.37)
α2sen
2k
zmín = (5.38)
Desta forma, o recorte será tanto maior quanto menor o número de dentes. Como indica a
fórmula, o número de dentes mínimo depende do ângulo de pressão e do fator k. Os valores de
“k” para cremalheira geradora podem ser:
• k = (1+c) (geração com folga de fundo – NORMA ISO R53)
• k = 1 (geração sem folga de fundo)
Se c=0,25*m, k=1,25;
c=1,167*m, k=1,167;
c=0,00, k=1,000.
Exemplo dos números mínimos de dentes:
• α = 20° , k = 1,25 → zmín = 22
• α = 14,5° , k = 1,25 → zmín = 40
• α = 25° , k = 1,25 → zmín = 14
Na prática o número de dentes das engrenagens pode ser menor que os calculados. Há
vários em termos práticos para por duas razões:
1) A cremalheira tem um pequeno desbaste na cabeça do dente...
2) Através de deslocamento de perfil.
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc
6 TIPOS DE ENGRENAMENTO
6.1 Engrenamento Zero
As condições básicas para que um engrenamento seja considerado zero, são que as
engrenagens componentes do engrenamento não tenham deslocamento de perfil, isto é, x1=x2=0
e que a distância entre centros de operação seja dada por:
a’= mzm onde zm = (z1 + z2)/2
isto é, a distância de operação seja igual à nominal.
Da relação de distância entre centros e ângulos de pressão, concluí-se que os ângulos de
pressão de operação e nominais também devem ser iguais. Os módulos, como também se
relacionam pelos ângulos, são conseqüentemente iguais. As características do engrenamento
zero podem então ser escritas como sendo:
• x1=x2=0
• a’ = a
• α’= α
• m’=m
Nesse tipo de engrenamento os parâmetros operacionais do engrenamento, m’ e α’,
coincidem com o módulo e com o ângulo de pressão da ferramenta geradora.
As vantagens principais do engrenamento zero são:
1. Possibilidade de fabricação das engrenagens com fresas módulo e todos os outros
processos de fabricação, além dos métodos de geração (já que não possui
deslocamento de perfil).
2. As engrenagens zero são facilmente intercambiáveis.
As principais desvantagens desse tipo de engrenamento são:
1. Com a utilizaçãodo engrenamento zero, não é possível a obtenção de qualquer
distância entre centros pré fixada. Pois a = mzm , o módulo é um parâmetro
normalizado e zm deve atender a uma certa relação de transmissão do projeto.
2. Os dentes de pinhões com z < zmín , fabricados por processos de geração, sofrem
recorte, conseqüentemente são menos resistentes do que os dentes da coroa
correspondente.
3. Quando forem fabricados por outros processos que não sejam de geração, haverá
problemas de interferência quando entrarem em operação.
As dimensões das engrenagens desse engrenamento são:






+=+= 1
2
1
11
z
mhrr aa raio de adendo do pinhão (6.1)






+=+= 1
2
2
22
z
mhrr aa raio de adendo da coroa (6.2)






−−=+= 1
2
1
11 c
z
mhrr ff raio de fundo do pinhão (6.3)
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 38






−−=+= 1
2
2
22 c
z
mhrr ff raio de fundo da coroa (6.4)
ha = m altura de adendo (6.5)
hf = m*(1+c) altura de dedendo (6.6)
EXERCÍCIOS PARA ENGRENAMENTO ZERO
1) Dado um par de engrenagens com módulo m=2mm, número de dentes do
pinhão z1=21, número de dentes da coroa z2=63mm, ângulo de pressão α=20°, folga no fundo
do dente c=0,25*m. Determinar a distância entre centros, espessura do dente no cilindro
primitivo e no de fundo, alturas de adendo e de dedendo e razão de condução.
2) Exercícios do capítulo 12 (do 12.1 até o 12.8) do livro do Shigley.
6.2 Engrenamento Vê-Zero
Este tipo de engrenamento é constituído de engrenagens fabricadas a partir de fator de
deslocamento de perfil simétrico, isto é, x1 = -x2 . Sua característica básica é definida como: x1
+ x2 = 0
α α
O1
T1 T1
Dentes normais
Perfil deslocado
I
0,5 m
0,5 m
x1 = 0,50
x2 = -0,50
Figura 6.1 – Perfil do deslocamento Vê-Zero
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 39
Porque existe este tipo de engrenamento?
Objetivo primordial: eliminar o recorte no pé do dente do pinhão objetivando aumentar a
resistência à fadiga por flexão.
Sendo as espessuras de geração:






⋅⋅+= α
pi
tgxms 11 22
espessura primitiva de geração do pinhão (6.7)






⋅⋅+= α
pi
tgxms 22 22
espessura primitiva de geração da coroa (6.8)
Somando as equações (6.7) e (6.8), as espessuras primitivas de geração, devido à simetria
dos deslocamentos, resulta que:
s1 + s2 = m.pi = p (6.9)
Neste caso a distância entre centros de fabricação é a mesma de operação, ou seja, a’=a
Não houve, por tanto, alteração no diâmetro primitivo, logo, as condições de operação são as
mesmas da geração, assim, permanecem iguais o módulo (m’=m) e o ângulo de pressão (α’=α).
Deve-se observar, no entanto, que este tipo de engrenamento proporcionará modificações
sobre a espessura dos dentes do pinhão e da coroa, ou seja, s1≠s2.
As dimensões das engrenagens deste engrenamento são:
( )11111 1 xmrhrr aa ++=+= raio de adendo do pinhão (6.10)
( )22222 1 xmrhrr aa ++=+= raio de adendo da coroa (6.11)
( )11111 1 xcmrhrr ff −+−=+= raio de fundo do pinhão (6.12)
( )22222 1 xcmrhrr ff −+−=+= raio de fundo da coroa (6.13)
Observação: nas equações acima, as variáveis x1 e x2 entram com seus valores algébricos.
As vantagens principais do engrenamento vê-zero são:
1. Pinhões com z < zmín a serem fabricados por processos de geração com
deslocamento de perfil positivo, não terão recorte no pé do dente
2. Este tipo de engrenamento pode substituir com vantagem um engrenamento zero
que opere com problemas, ex.:fratura por fadiga de flexão no pé do dente. Isto pode
ser feito porque a’= a, ou seja, não há alteração da distância entre os centros.
3. Elimina o adelgaçamento no pé do dente da engrenagem com z<zmín.
As principais desvantagens desse tipo de engrenamento são:
1. As engrenagens constituintes do engrenamento só podem ser fabricadas por
processos de geração (pois possuem deslocamento de perfil).
2. Com a utilização de engrenagens de dentes retos, não é possível a obtenção de
qualquer distância entre centros que seja pré-fixada, pois a’= a = m.zm.
3. Perde a intercambiabilidade.
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 40
EXERCÍCIO PARA ENGRENAMENTO VÊ-ZERO
1) Dado um par de engrenagens, fabricadas pelo processo de geração, com
módulo 5mm, número de dentes do pinhão z1=13, número de dentes da coroa z2=63, ângulo de
pressão α=20°, folga no fundo do dente c=0,167*m, determinar a distância entre centros de
operação e a hipotética de fabricação, a altura de adendo e de dedendo para pinhão e coroa, a
razão de condução. Observa-se: deve-se eliminar o recorte no fundo do dente do pinhão e
garantir a’=a
6.3 Engrenamento VÊ
Este tipo sofre deslocamentos com a seguinte característica básica: x1 + x2 ≠ 0
Embora sejam possíveis várias combinações de deslocamento de perfis no pinhão e na
coroa, que satisfaçam a característica básica, freqüentemente apenas o pinhão sofre um
deslocamento de perfil positivo. A figura abaixo apresenta a geração de um pinhão e de uma
coroa, ambos com deslocamentos de perfil positivos, utilizando a mesma cremalheira geradora.
rb1
r1
ra1
r2
rb2
s1
L2
L0
L1
x1m
x2m
=
=
Figura 6.1 – Perfil do deslocamento Vê
Lo = linha de referência da cremalheira geradora
L1 = linha primitiva de geração do pinhão
L2 = linha primitiva de geração da coroa
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 41
Da mesma forma que no tipo anterior, as espessuras primitivas de geração s1 e s2 são dadas
por:






⋅⋅+= α
pi
tgxms 11 22
espessura primitiva de geração do pinhão (6.7)






⋅⋅+= α
pi
tgxms 22 22
espessura primitiva de geração da coroa (6.8)
Estas espessuras ocorrem sobre as circunferências primitivas de geração C1 e C2 que têm
respectivamente raios:
2
z.m
r
1
1 = raio primitivo de geração do pinhão (6.14)
e
2
z.m
r
2
2 = raio primitivo de geração da coroa (6.15)
Como x1 e x2 não precisam ser simétricos, a soma das espessuras primitivas não resulta o
passo primitivo que se tinha durante a geração. Logo o sistema não operará adequadamente com
este passo.
s1 + s2 = m.pi + 2(x1 + x2).tgα ≠ p = m.pi (6.16)
se (x1 + x2) > 0 → s1 +s2 > m.pi (6.17)
se (x1 + x2) < 0 → s1 +s2 < m.pi (6.18)
Já que a soma das espessuras primitivas de geração não reproduziu o passo de geração, é
necessário determinar o novo passo ou módulo com que o engrenamento vai operar.
Para isso são definidas:
s1’ e s2’ : espessuras primitivas de operação, respectivamente, do pinhão e da coroa.
r1’ e r2’ : raios primitivos de operação, respectivamente do pinhão e da coroa.
Lembrando da equação da espessura para uma circunferência qualquer (3.5), as novas
espessuras primitivas são dadas por:
( )






−+= '2''
1
1
11 αα evev
r
s
rs espessuras primitivas de operação do pinhão (6.19)
e
( )






−+= '2''
2
2
22 αα evev
r
s
rs espessuras primitivas de operação da coroa (6.20)
A nova condição de operação é dada por:
s1’ + s2’ = m’.pi = p’ (6.21)
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 42
Onde m’ é o módulo de operação do sistema, a ser determinado. Os raios primitivos de
operação são as equações (5.2) substituindo m por esse módulo m’. Substituindo as expressões
de: s1, s2 (5.1), r1, r 2, r1’ e r2’ na equação da condição de operação acima e utilizando a
expressão:
'cos
cos
m'm
α
α
= módulo de operação do sistema
Resulta:
( ) ( )( )[ ]'2
'cos
cos
'cos
cos
. 2121 αααpi
α
α
α
α
pi evevzztgxxmm −++++= (6.22)
para que a igualdade se verifique, a segunda parte de equação tem que ser zero, então:
( ) ( )( ) 0'2 2121 =−+++ ααα evevzztgxx (6.23)
Logo:
( )
ααα tg
zz
xx
evev
21212
'
+
+
+= (6.24)
Esta última equação representa a equação fundamental do engrenamento Vê.
Com ela se determina o ângulo de pressão de operação, α’, do engrenamento e, em
seguida, a distância entre centros de operação do sistema ,a’, com o auxílio da expressão (2.5):
'cos
cos
a'a
α
α
= distância entre centros de operação
Voltando a analisar a figura básica da geração das engrenagens, abstraída a cremalheira
geradora, constata-se que a distância entre centros do pinhão e da coroa é dada por:
a1 = a + m(x1 + x2) (6.25)
Esta distância entre centros produz folga lateral (jogo primitivo) excessiva no
engrenamento. Para eliminar a folga lateral é preciso variar a distância entre centros de a1 para
a’. No presente caso, como a1 > a’ é necessário aproximar as engrenagens.
Para manter a folga de fundo, m.c, quando se aproximam as engrenagens para se obter a
distância entre centros de operação sem folga lateral, as alturas de adendo são modificadas de
uma quantidade igual à aproximação realizada dada por um outro fator K multiplicativo do
módulo da ferramenta: K.m.
As novas alturas de adendo são:
ha1 = (1 + x1).m – K.m altura de adendo do pinhão (6.26)
ha2 = (1 + x2).m – K.m altura de adendo da coroa (6.27)
As alturas de fundo não foram alteradas e são:
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 43
hf1 = m(1 + c – x1) altura de dedendo do pinhão (6.28)
hf2 = m(1 + c – x2) altura de dedendo da coroa (6.29)
O fator K é determinao partindo-se da distância entre centros a1 (5.3). Subtraindo a
distância entre centros de operação a’ de ambos os lados da equação, tem-se:
a1 – a’ = m(x1 + x2) – a’ + a (6.30)
A quantidade (a1 – a’) representa exatamente a aproximação necessária para se obter o
engrenamento sem folga no fundo do dente, logo K.m = a1 – a’ e, em conseqüência, K.m = m(x1
+ x2) – a’ + a
Embora esta equação já determine o fator K, é comum se expressar a diferença entre a
distância entre centros de operação ‘a’’ e a distância entre centros de referência ‘a’ por um novo
fator dado por:
m
a'ay −= (6.31)
Assim, substituindo o novo fator na equação de K.m, obtém-se:
K = x1 + x2 – y (6.32)
Voltando às equações das alturas de adendo tem-se:
ha1 = m(1 – x2 + y) (6.33)
ha2 = m(1 – x1 + y) (6.34)
As dimensões finais das engrenagens de um engrenamento Vê são:
( )yxmrhrr aa +−+=+= 21111 1 raio de adendo do pinhão (6.35)
( )yxmrhrr aa +−+=+= 12222 1 raio de adendo da coroa (6.36)
( )11111 1 xcmrhrr ff −+−=+= raio de dedendo do pinhão (6.37)
( )22222 1 xcmrhrr ff −+−=+= raio de dedendo da coroa (6.38)
A grande vantagem do engrenamento Vê, está no fato de ser o único tipo de engrenamento
que permite variação contínua da distância entre centros de operação e por isso pode resolver os
problemas em que a distância entre centros seja pré-fixada. Com este tipo de engrenamento é
possível se desenvolver projetos onde se privilegia a capacidade específica de carga, ou a razão
de condução ou mesmo de obter um equilíbrio entre essas duas características.
A única desvantagem que pode ser apontada no engrenamento Vê está no fato de exigir
pelo menos uma das engrenagens (o pinhão) com deslocamento de perfil, obrigando portanto a
fabricação da mesma por processos de geração. Isto tem reflexos diretos na intercambiabilidade
e no custo.
Capítulo 06 - Tipos de engrenamento.doc 44
EXERCÍCOS PARA ENGRENAMENTO VÊ
Porque existe este tipo de engrenamento?
1) Com este tipo de engrenamento é possível eliminar o recorte no pé do dente da coroa e
do pinhão caso ambos tenham z<zmín..
2) É aplicado para fazer ajustes da distância entre centros, principalmente nos variadores
de velocidade.
APLICAÇÃO 1:
Dado um variador de velocidade com três pares de engrenagem e as seguintes restrições:
Par 1: i1=1,7
Par 2: i2=2,8
Par 3: i3=3,0
Distância entre centros a=100mm
Módulo recomendável m=2mm
Determinar o número de dentes para as engrenagens conjugadas
6.4 Razão de condução e espessura de adendo
Quando se produz engrenagens com deslocamento de perfil positivo é preciso ter cuidado
para que as engrenagens não resultem com dentes pontiagudos. Para isto deve-se calcular a
espessura de adendo dos dentes.
( )






α−α+= aaa evev2
r
s
rs (6.39)
Onde αa é o ângulo de incidência do perfil evolvente calculado no raio ra .
a
b
a
r
r
arccos=α (6.40)
A razão de condução é calculada da mesma maneira já vista, apenas utilizando a distância
entre centros de operação a’ e o ângulo de pressão de operação α’.
[ ]'sen'1 2222 2211 αεα arrrr
p
baba
b
−+−= − (6.41)
Capítulo 07 - Engrenagens cilindricas de dentes helicoidais.doc
7 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
As engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais constituem uma alternativa mais avançada
do que as de dentes retos para as transmissões. Elas têm maior capacidade de carga por espaço
ocupado. A carga é distribuída mais gradual e uniforme sobre o dente e seu engrenamento é
suave, mais silencioso, condições essas indispensáveis para acionamentos de altas velocidades.
Figura 7.1 – Helicóide Evolvente
A superfície lateral dos dentes helicoidais chama-se helicóide evolvente. É formada por
evolventes pertencentes ao plano transversal ao eixo da engrenagem e por hélices no sentido
longitudinal a este eixo. A interseção do helicóide evolvente por um plano normal ao eixo é um
arco de evolvente da circunferência de base de raio rb. As interseções do helicóide evolvente por
superfícies cilíndricas coaxiais são hélices cilíndricas.
Na fabricação e operação de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais devem ser
definidos ângulo, passo e módulo tanto no plano transversal da engrenagem quanto no seu plano
normal (figura 7.2).
Na figura 7.1 estão representadas as hélices de base e primitiva e seus respectivos ângulos
de inclinação βb e β. É importante observar que o ângulo do helicóide evolvente varia na
medida que se desloca sobre a evolvente geradora do perfil do dente (evα).
7.1 Relação entre a hélice de base e a hélice primitiva
Capítulo 07 - Engrenagens cilindricas de dentes helicoidais.doc 45
Pz
φdb
φd
β
βb β
pid
pidb
Pz
eix
o
de
ro
ta
çã
o
Figura 7.1 – Relação entre a hélice de base e a hélice primitiva
A relação entre o ângulo de hélice de base e o ângulo de hélice primitivo pode ser melhor
observada fazendo a planificação do cilindro de base e das hélices como mostra a figura 7.2.
Relacionando os ângulos com o perímetro do cilindro e o passo respectivo, tem-se:
z
b
b p
d
tg
piβ =
p
d
tg piβ =
d
d
tg
tg bb
=β
β
Como rb/r = cosαt
Resulta
tb tgtg αββ cos⋅=
Onde:
β é o ânguflo de hélice no cilindro primitivo;
βb é o ângulo de hélice no cilindro de base;
d é o diâmetro primitivo;
db é o diâmetro de base;
αt é o ângulo de pressão do engrenamento no plano transversal, no cilindro
primitivo.
7.2 Relações principais entre os planos normal e transversal.
É difícil determinar estas relações diretamente numa engrenagem circular. Para facilitar o
estabelecimento destas relações será utilizada a cremalheira peça padrão apresentada nas figuras
7.3 a e b.
Capítulo 07 - Engrenagens cilindricas de dentes helicoidais.doc 46
Figura 7.1 – Relação entre ângulo de hélice e ângulo de pressão.
Figura 7.2 - Relação entre ângulo de hélice e ângulo de pressão.
αn = ângulo de pressão no plano normal
AB
BC
tg t =α
DF
FC
tg n =α
Mas AB = DF e FC = BC.cosβ, logo:
βαα cos⋅= tn tgtg
Capítulo 07 - Engrenagens cilindricas de dentes helicoidais.doc 47
Figura 7.3 – Passos da Engrenagem Helicoidal
Recorre-se novamente à cremalheira do sistema para determinar as relações entre os passos
nos vários planos, numa engrenagem helicoidal circular.
Da figura acima se pode verificar as relações:
pn = pt.cosβ
pbt

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes