prova álgebra linear respostas

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Primeira Prova de BC 1200 - 7 de julho de 2010
Professor Antonio Cândido Faleiros
Nome:
Caros alunos: Façam uma prova limpa, com uma letra legível e explicitem o raciocínio
usado. Poderão resolvê-la a lápis com gra…te escura e responder as perguntas usando caneta.
Resolva as questões seguindo a seqüência dos enunciados. Boa prova.
1. (a) Sabendo que A é invertível e que A3 � 5A+ I = 0; calcule A�1 em função de A:
(b) Determine A sabendo que (I � 2A)�1 =
� �1 2
4 5
�
:
Resolução: (a) Multiplicando A3 � 5A+ I = 0 por A�1 obtemos A2� 5I +A�1 = 0; de onde
obtemos A�1 = 5I �A2:
(b) Do enunciado, temos I� 2A =
� �1 2
4 5
��1
= 1
13
� �5 2
4 1
�
e, explicitando A; segue
A =
1
2
��
1 0
0 1
�
� 1
13
� �5 2
4 1
��
=
1
13
�
9 �1
�2 6
�
2. Considere o sistema
x+ 2y � 3z = 4
3x� y + 5z = 2
4x+ y + (a2 � 14)z = a+ 2
Determine os valores de a para os quais ele possui (a) nenhuma, (b) uma ou (c) in…nitas
soluções.
Resolução: A matriz completa do sistema é24 1 2 �3 43 �1 5 2
4 1 a2 � 14 a+ 2
35
que escalonada, resulta em 24 1 2 �3 40 �7 14 �10
0 0 (a� 4)(a+ 4) a� 4
35
onde a última equação é
(a� 4)(a+ 4)z = a� 4:
Quando a = 4; a variável z …ca livre e o sistema possui in…nitas soluções. Quando a = �4;
esta equação se torna incompatível, 0 = �8 e o sistema não possui solução. Quando a 6= 4 e
a 6= �4; o sistema tem uma única solução.
3. Sabendo que 0 � a � 2�; 0 � b � 2�; 0 � c < �; determine a; b e c tais que
2 sen a� cos b+ 3 tan c = 3
4 sen a+ 2 cos b� 2 tan c = 2
6 sen a� 3 cos b+ tan c = 9
2
Resolução: Temos um sistema linear nas incógnitas sen a; cos b e tan c: A matriz completa do
sistema é 24 2 �1 3 34 2 �2 2
6 �3 1 9
35
que escalonada resulta na matriz 24 2 �1 3 30 4 �8 �4
0 0 �8 0
35
de onde obtemos tan c = 0; cos b = �1 e sen a = 1: Observando os intervalos a quem pertencem
a; b e c; obtemos a = �=2; b = � e c = 0:
4. Considere as matrizes
A =
24 3 4 12 �7 �1
8 1 5
35 e B =
24 3 4 12 �7 �1
2 �7 3
35 :
Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E1A = B e E2B = A:
Resolução: com a terceira linha de B é igual a �2 vezes a primeira linha de A adicionada à
sua terceira linha, então
E1 =
24 1 0 00 1 0
�2 0 1
35
e E2 é sua inversa
E2 =
24 1 0 00 1 0
2 0 1
35 :
5. (a) Resolva em x
det
�
x �1
3 1� x
�
= det
24 1 0 �32 x �6
1 3 x� 5
35 :
(b) Sabendo que
det
24 a b cd e f
g h i
35 = 7;
calcule
det
24 3a 3b 3c4g 4h 4i
a� d b� e c� f
35
Resolução: (a) Calculando os determinantes, obtemos�x2+x+3 = x2�2x ou 2x2�3x�3 = 0
cujas soluções são
x =
3
4
+
1
4
p
33 e x =
3
4
� 1
4
p
33:
3
(b) Sendo
d = det
24 3a 3b 3c4g 4h 4i
a� d b� e c� f
35 = 3� 4 det
24 a b cg h i
a� d b� e c� f
35
= 12
8<:det
24 a b cg h i
a b c
35� det
24 a b cg h i
d e f
359=; = �12 det
24 a b cg h i
d e f
35
pois o primeiro determinante é nulo por ter duas linhas iguais. Assim, trocando a terceira linha
com a segunda na segunda matriz, vem
d = 12 det
24 a b cd e f
g h i
35 = 12� 7 = 84: