prova 2 álgebra linear respostas

Prévia do material em texto

1
Segunda Prova de BC 1425 - 11 de agosto de 2010
Professor Antonio Cândido Faleiros
Nome:
Caros alunos: Façam uma prova limpa, com uma letra legível e explicitem o raciocínio
usado. Poderão resolvê-la a lápis com gra…te escura e responder as perguntas usando caneta.
Resolva as questões seguindo a seqüência dos enunciados. Boa prova.
1. (a) Encontre o vetor de coordenadas de p = 2 � x + x2 em relação à base S = fp1; p2; p3);
onde p1 = 1 + x; p2 = 1 + x2; p3 = x+ x2:
(b) Considere o espaço vetorial real P2(R) dos polinômios de grau menor ou igual a dois com
o produto interno hp;qi = R 1�1 p(x)q(x)dx: Seja � o ângulo entre os polinômios p(x) = 1+ 4x
e q(x) = 2� 3x2: Calcule o cos �:
Resolução: (a) 2� x+ x2 = a(1 + x) + b(1 + x2) + c(x+ x2) = (a+ b)+ (a+ c)x+ (b+ c)x2:
Assim,
a+ b = 2
a+ c = �1
b+ c = 1
cuja solução é a = 0; b = 2 e c = �1: Assim,
(p)S = (0; 2;�1):
(b) Vamos calcular os elementos necessários para calcular o cos �:
kpk2 =
Z 1
�1
(1 + 4x)2dx =
38
3
;
kqk2 =
Z 1
�1
(2� 3x2)2dx = 18
5
hp;qi =
Z 1
�1
(1 + 4x)(2� 3x2)dx = 2
e assim,
cos =
hp;qi
kpk kqk = 2
r
3
38
r
5
18
2. Considere a base S = fv1; v2g de R2; onde v1 = (1; 1) e v2 = (1; 0) e seja T : R2 ! R2 o
operador linear tal que T (v1) = (1; 2) e T (v2) = (3; �1): Encontre T (x; y) e use esta fórmula
para obter T (2; �3):
Resolução: Vamos decompor o vetor (x; y) na base S; escrevendo
(x; y) = c1(1; 1) + c2(1; 0)
e, resolvendo para c1 e c2; obtemos c1 = y e c2 = x� y: Portanto,
(x; y) = y(1; 1) + (x� y)(1; 0) = yv1 + (x� y)v2;
2
de modo que
T (x; y) = yT (v1) + (x� y)T (v2) = y(1; 2) + (x� y)(3;�1) = (3x� 2y; 3y � x)
Assim,
T (x; y) = (3x� 2y; 3y � x)
T (2;�3) = (12;�11):
3. Considere o espaço vetorial R4 com o produto interno euclidiano. Seja o subespaço S do R4
gerado por
v1 = (1; 1; 1; 1); v2 = (1; 2; 4; 5); v3 = (1;�3;�4;�2):
Determine uma base ortogonal para S cujos vetores possuem apenas coordenadas inteiras.
Resolução: Os três vetores são linearmente independentes. Podemos constatar este fato de
modos diversos. Um deles, consiste em colocar os vetores nas linhas de uma matriz
A =
24 1 1 1 11 2 4 5
1 �3 �4 �2
35
que, ao ser escalonada resulta em
R =
24 1 1 1 10 1 3 4
0 0 7 13
35
que possui três linhas linearmente independentes. Como o espaço linha de R é igual ao espaço
linha de A; suas três linhas são linearmente independentes. Para obter uma base ortogonal,
usamos o processo de Gram-Schmidt. De…nimos
w1 = v1 = (1; 1; 1; 1);
em seguida tomamos
w2 = v2 � �12w1 = v2 � hw1; v2ikw1k2
w1 = (�2;�1; 1; 2)
e, …nalmente,
w3 = v3 � �13w1 � �23w2 = v3 � hw1; v3ikw1k2
w1 � hw2; v3ikw2k2
w2
=
1
10
(16;�17;�13; 14) :
Multiplicando w3 por 10; obtemos o terceiro vetor, u3 = (16;�17;�13; 14) que tem coordenadas
inteiras e o conjunto
fw1; w2; u3g
é ortogonal, com todas as coordenadas inteiras. Resposta: a base ortogonal cujos vetores
possuem coordenadas inteiras é formada pelos vetores
(1; 1; 1; 1); (�2;�1; 1; 2); (16;�17;�13; 14) :
3
4. Seja
A =
24 1 2 �1 23 5 0 4
1 1 2 0
35 :
(a) Encontre uma base para o espaço nulo de A:
(b) Encontre uma base do espaço linha formada apenas por linhas de A:
Resolução: (a) O espaço nulo de A é o espaço solução do sistema homogêneo Ax = 0:
Escalonando A; obtemos
R =
24 1 2 �1 20 �1 3 �2
0 0 0 0
35
e a solução geral de Rx = 0 é x1 = �5x3 + 2x4 e x2 = 3x3 � 2x4 ou, na forma matricial,
x =
2664
x1
x2
x3
x4
3775 =
2664
�5x3 + 2x4
3x3 � 2x4
x3
x4
3775 = x3
2664
�5
3
1
0
3775+ x4
2664
2
�2
0
1
3775
de onde concluímos que uma base do espaço nulo de A é o conjunto formado pelos vetores2664
�5
3
1
0
3775 e
2664
2
�2
0
1
3775
(b) Para obter uma base do espaço linha de A; um dos caminhos consiste em escalonar A; que
foi feito no item anterior, fornecendo
R =
24 1 2 �1 20 �1 3 �2
0 0 0 0
35
e assim, uma base do espaço linha de A é o conjunto formado pelas matrizes�
1 2 �1 2 � e � 0 �1 3 �2 �
5. Encontre uma base para o complemento ortogonal do subespaço do R3 gerado pelos vetores
v1 = (1; �1; 3); v2 = (5; �4; �4); v3 = (7; �6; 2):
Resolução: Seja S o subespaço gerado por v1; v2; v3: O Complemento ortogonal de S é o
subespaço vetorial do R3 de…nido por
S? = fx = (x1; x2; x3) : hx;vi = 0; para todo v em S g:
Entretanto, para x ser ortogonal a todo vetor v de S; basta ser ortogonal aos vetores que o
veram. Assim, basta que hx;v1i = 0; hx;v2i = 0; hx;v3i = 0 o que resulta no sistema linear
x1 � x2 + 3x3 = 0
5x1 � 4x2 � 4x3 = 0
7x1 � 6x2 + 2x3 = 0
4
ou, na forma matricial, 24 1 �1 35 �4 �4
7 �6 2
3524 x1x2
x3
35 =
24 00
0
35
Escalonando o sistema obtemos24 1 �1 30 1 �19
0 0 0
3524 x1x2
x3
35 =
24 00
0
35
cuja solução geral é x1 = 16x3 e x2 = 19x3: Todo elemento de S? é da forma
(16x3; 19x3; x3) = x3(16; 19; 1)
mostrando que este subespaço é unidimensional e uma base é
f (16; 19; 1) g: