prova 3 álgebra linear respostas

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Terceira Prova de BC 1425 - 18 de agosto de 2010
Professor Antonio Cândido Faleiros
Nome:
Caros alunos: Não é permitido o uso de calculadora. Façam uma prova limpa, com uma
letra legível, usando uma gra…te escura. O raciocínio usado e a resposta deve estar presente
na prova e é fundamental na avaliação. Poderão resolvê-la a lápis e responder as perguntas usando
caneta. Resolva as questões seguindo a seqüência dos enunciados. Boa prova.
1. Seja G = fv1; v2; v3g um conjunto de vetores do R4; onde v1 = (0; 3; 1; �1); v2 = (6; 0; 5;
1); v3 = (4; �7; 1; 3):
(a) Mostre que o conjunto G é linearmente dependente.
(b) Expresse cada vetor de G como combinação linear dos outros dois.
Resolução: Sejam c1; c2 e c3 escalares tais que
c1(0; 3; 1;�1) + c2(6; 0; 5; 1) + c3(4;�7; 1; 3) = 0:
Então,
6c2 + 4c3 = 0
3c1 � 7c3 = 0
c1 + 5c2 + c3 = 0
�c1 + c2 + 3c3 = 0
cuja matriz dos coe…cientes é 2664
0 6 4
3 0 �7
1 5 1
�1 1 3
3775
que, ao ser escalonada fornece 2664
3 0 �7
0 3 2
0 0 0
0 0 0
3775
que resulta na solução geral dos sistema c1 = 7c3=3 e c2 = �2c3=3: Escolhendo c3 = 3; obtemos
c1 = 7 e c2 = �2: Isto prova que a equação vetorial
c1(0; 3; 1;�1) + c2(6; 0; 5; 1) + c3(4;�7; 1; 3) = 0
em c1; c2 e c3 tem solução não trivial e, portanto, G é linearmente dependente.
(b) Da equação acima, obtemos 7v1� 2v2+ 3v3 = 0: Assim,
v1 =
2
7
v2 � 3
7
v3
v2 =
7
2
v1 +
3
2
v3
v3 = �7
3
v1 +
2
3
v2:
2
2. Seja
A =
24 1 �1 35 �4 �4
7 �6 2
35
(a) Determine uma base para o espaço coluna de A:
(b) Determine uma base para o espaço nulo de A:
Resolução: (a) Escalonando a matriz A; segue
R =
24 1 �1 30 1 �19
0 0 0
35
onde vemos que as duas primeiras colunas são linearmente independentes. Logo, uma base
para o espaço coluna de A é o conjunto formado pelas suas duas primeiras colunas8<:
24 15
7
35 ;
24 �1�4
�6
35 9=; :
(b) O espaço nulo de A é o espaço das soluções de Ax = 0; que são as mesmas de Rx = 0; cuja
solução geral é 24 x1x2
x3
35 =
24 16x319x3
x3
35 = x3
24 1619
1
35
Uma base do espaço nulo é 8<:
24 1619
1
35 9=; :
3. (a) Sejam v1 = (1; �4; 2; �3); v2 = (�3; 8; �4; 6) vetores do R4: Encontre vetores da base
canônica que podem ser acrescentados ao conjunto fv1; v2g para formar uma base do R4:
(b) (Este item é independente do anterior) Sejam v e w dois vetores de um espaço vetorial V
com produto interno hv;wi : Mostre que
kv +wk2 � kv �wk2 = 4 hv;wi :
Resolução: (a) Para completar a base do R4 que contenha v1 e v2; dispomos os dois vetores
ao longo das duas primeiras colunas de uma matriz A e acrescentamos outras 4 colunas com
os quatro vetores da base canônica do R4
A =
2664
1 �3 1 0 0 0
�4 8 0 1 0 0
2 �4 0 0 1 0
�3 6 0 0 0 1
3775
e, escalonando esta matriz obtemos
R =
2664
1 �3 1 0 0 0
0 1 �1 �1
4
0 0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 1 2
3
3775
3
As colunas que contêm os pivôs das linhas são 1a; 2a; 4a e 5a: Como as colunas linearmente
independentes de A são as mesmas de R; devemos acrescentar o segundo e o terceiro vetor da
base canônica do R4 para completar a base que no caso será8>><>>:
2664
1
�4
2
�3
3775 ;
2664
�3
8
�4
6
3775 ;
2664
0
1
0
0
3775 ;
2664
0
0
1
0
3775
9>>=>>; :
(b) Desenvolvendo as normas,
kv +wk2 � kv �wk2 = hv +w;v +wi � hv �w;v �wi
= hv;vi+ hv;wi+ hw;vi+ hw;wi
�(hv;vi � hv;wi � hw;vi+ hw;wi)
= hv;vi+ hv;wi+ hw;vi+ hw;wi
� hv;vi+ hv;wi+ hw;vi � hw;wi
= 2 hv;wi+ 2 hw;vi = 4 hv;wi :
4. Seja A =
24 2 0 �20 3 0
0 0 3
35 : Determine a matriz P tal que D = P�1AP é diagonal.
Resolução: Basta achar os autovalores e autovetores de A que são
24 10
0
35 correspondente ao
autovalor 2 e os autovetores
24 01
0
35 ;
24 �20
1
35 correspondentes ao autovalor 3: Logo, a matriz P
procurada é
P =
24 1 0 �20 1 0
0 0 1
35
e a matriz D = P�1AP é
D =
24 2 0 00 3 0
0 0 3
35 :
5. Sejam v1 = (2; 1) e v2 = (1; 3) vetores do R2: Seja T : R2 ! R3 um transformação linear tal
que T (v1) = (0; 1; 1) e T (v2) = (�2; 0; 1):
(a) Calcule T (x1; x2):
(b) Calcule T (�5; 7):
Resolução: (a) Podemos escrever (x1; x2) = c1v1 + c2v2 = c1(2; 1)+ c2(1; 3); que resulta no
sistema
2c1 + c2 = x1
c1 + 3c2 = x2
4
cuja solução para c1 e c2 é c1 = 15 (3x1 � x2) ; c2 = 15 (2x2 � x1) e
(x1; x2) =
1
5
(3x1 � x2)v1 + 1
5
(2x2 � x1)v2
de onde segue
T (x1; x2) =
1
5
(3x1 � x2)T (v1) + 1
5
(2x2 � x1)T (v2)
=
1
5
(3x1 � x2) (0; 1; 1) + 1
5
(2x2 � x1) (�2; 0; 1)
ou
T (x1; x2) =
1
5
( 2x1 � 4x2; 3x1 � x2; 2x1 + x2 )
(b) Fazendo (x 1; x2) = (�5; 7) obtemos
T (�5; 7) = 1
5
( 2(�5)� 4� 7; 3(�5)� 7; 2(�5) + 7 ) = 1
5
(�38;�22;�3):