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Exercícios de revisão
1. (Inspirado em Kalvelagen, E. �Utility maximization with nonlinear budget constraints under
GAMS�). Em economia, existe a noção de utilidade, definida como �o nível de rentabilidade ou
satisfação que tiramos das coisas�. Via de regra, a posse de um produto nos traz alguma satisfação.
A posse de várias cópias do mesmo produto aumenta a satisfação mas de forma cada vez menos
significativa - passar de 100 a 101 Playstations é menos satisfatório do que passar de 0 a 1.
Ummodelo matemático que representa esse tipo de comportamento é a função de Cobb-Douglas,
em que a utilidade u é definida como
u =
n∏
i=1
xaii
, em que xi é a quantidade de itens possuídos do tipo i, ai é um coeficiente de satisfação associado
ao produto i e n é o total de produtos diferentes em consideração.
Do ponto de vista da economia tradicional, o consumidor toma decisões com o intuito de
maximizar a sua utilidade dentro dos limites de seu orçamento. Se ele dispõe de um orçamento m,
então os limites de gastos estão definidos pela equação
m =
n∑
i=1
pixi
, em que pi é o preço por unidade do produto do tipo i.
Considere a situação em que existem apenas 2 produtos (n = 2). Os seus coeficientes de
satisfação são a1 = 0.2 e a2 = 0.7, os seus preços por unidade são 2 e 4 R$/unidade de 1 e 2,
respectivamente. O orçamento total é de R$ 100.
a. Escreva u = u(x1), ou seja, expresse a utilidade como função de x1, apenas.
b. Sabendo que o ponto de máximo de uma função ocorre quando a derivada se anula, escreva a
equação que deve ser resolvida para calcular a quantidade de produto x1 que maximiza a utilidade.
c. Resolva a equação do item anterior e calcule as quantidades x1 e x2 que maximizam a utili-
dade.
2. (Adaptado de Tan, �Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences�). Uma
companhia tem 3 plantas de reciclagem que produzem borracha bruta, pneus e outros produtos
derivados de borracha. A produção de uma unidade de borracha bruta requer o consumo de 0.08
unidades de borracha bruta, 0.04 unidades de pneus e 0.02 unidades de produtos derivados. A
produção de 1 unidade de pneu requer 0.6 unidades de borracha produta e 0.02 unidades de pneus.
Por fim, para produzir 1 unidade de produtos derivados, são necessárias 0.3 unidades de borracha
bruta, 0.01 unidades de pneus e 0.06 unidades de derivados. A demanda externa estimada é de 200
R$ milhões para borracha bruta, 800 R$ milhões para pneus e 120 R$ milhões para derivados.
a. Sabendo que a produção total é a soma do consumo interno e da demanda externa, escreva
um sistema linear que descreve o problema. Utilize como incógnita um vetor composto dos valores,
em milhões de R$, de borracha bruta, pneus e derivados que devem ser produzidos
b. Verifique algum critério garante a convergência do sistema pelo algoritmo de Gauss-Seidel.
c. Resolva o sistema.
3. (Prova de Cálculo Numérico, Poli 2008) Uma fórmula de integração aberta não faz uso
dos valores da função nos extremos do intervalo. Por exemplo, para calcular
∫ 4
0
f(x)dx dividimos
[0,4] em quatro subintervalos de mesmo tamanho e aproximamos a integral de f pela integral do
polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola f nos pontos interiores 1, 2 e 3.
a. Determine pelo método de Newton o polinômio p que interpola f nestes 4 pontos.
b. Integre p no intervalo [0,4] pela fórmula de Simpson de maneira a obter a fórmula de
integração. Há diferença caso você integra p exatamente?
c. Use a fórmula obtida para calcular
∫ 1
−1
1√
1− x2 dx. (É necessário fazer uma mudança de
variável!)
4. (Retirado de uma lista de exercícios da Poli, https://www.ime.usp.br/~map2121/) Seja
f : [a, b] → R uma função contínua com um único zero x¯ ∈]a, b[. Considere o seguinte método
iterativo para calcular este zero com uma precisão � > 0 dada (método da tricotomia). Na primeira
etapa do processo, dividimos o intervalo [a, b] em três partes de mesmo comprimento e decidimos
em qual das três se encontra x¯. Obtemos assim um novo intervalo e repetimos o processo iterati-
vamente até isolarmos x¯ num intervalo de comprimento menor do que 2�. Tomamos então o ponto
médio deste intervalo como a aproximação desejada de x¯. Sabendo que 1 < 3
√
7 < 2, utilize este
método para calcular
3
√
7 com precisão � = 0.1.
5. (Retirado de uma lista de exercícios da Poli, https://www.ime.usp.br/~map2121/) Uma barra
linear de um metro de comprimento é mantida a 0 graus em um extremo e a 128 graus no outro. De-
sejamos determinar a temperatura da barra a cada 20cm. Denominando de T0 = 0 a temperatura
de um extemo, de T5 = 128 a temperatura no outro extremo e de T1, T2, T3 e T4 a temperatura nos
pontos interiores e sabendo que a temperatura em cada ponto interior é igual à média aritmética
da temperatura de seus dois pontos vizinhos:
a. Escreva um sistema linear para a determinação de T1, T2, T3 e T4
b. Calcule 4 iterações pelo método de Gauss-Seidel para a solução deste sistema a partir da
aproximação inicial nula.
c. Analise a convergência do método de Gauss-Seidel para a solução deste sistema.
5. (Retirado de uma lista de exercícios do Instituto de Física da USP, https://rvusp.wordpress.
com/2017/11/04/calculo-numerico-ifusp-2017-lista-de-exercicios-4/) Uma substância ra-
dioativa apresenta o perfil de intensidade de radiação abaixo. Use estes dados para estimar a
meia-vida da substância.
t (anos) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
Intensidade de radiação 1000 994 990 985 979 977 972 969 967 960 956 952