Apostila de Algebra linear

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A´lgebra Linear
Um Texto para Universita´rios
Pla´cido Francisco de Assis Andrade
Universidade Federal do Ceara´
Centro de Cieˆncias
Departamento de Matema´tica
16 de fevereiro de 2007
i
Prefa´cio
Este texto foi redigido para atender aos diversos Cursos oferecidos pela
Universidade Federal do Ceara´ que possuem na sua integralizac¸a˜o a disciplina
semestral Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear. Ela e´ ministrada por professores do
Departamento de Matema´tica.
Embora na˜o seja necessa´rio, para facilitar a leitura do texto, o aluno pre-
cisara´ de um conhecimento mı´nimo de Geometria Anal´ıtica e determinantes.
Os to´picos estudados no Ensino Me´dio sa˜o mais do que suficientes.
O ritmo da apresentac¸a˜o esta´ baseado na experieˆncia de sala de aula e
a redac¸a˜o levou em conta o estudante. Por isso, em alguns momentos, um
leitor mais familiarizado com A´lgebra Linear pode considerar o texto lento e
simples. Na˜o e´ o caso do leitor iniciante. A elegaˆncia no desenvolvimento dos
to´picos de A´lgebra Linear esconde diversos conceitos aparentemente d´ıspares,
tornando seu estudo uma descoberta constante para aqueles que nunca tiveram
a oportunidade de conheceˆ-la sistematicamente.
A grande dificuldade de uma apresentac¸a˜o de A´lgebra Linear para estu-
dantes do primeiro ano dos cursos de graduac¸a˜o e´ o uso dos conceitos pro´prios
dessa disciplina por diversas outras, tais como, Ca´lculo, de uma ou mais
varia´veis, Ca´lculo Vetorial, Mecaˆnica, Eletricidade, Equac¸o˜es Diferenciais, Es-
tat´ıstica, etc. Em geral, numa integralizac¸a˜o curricular essas disciplinas sa˜o
colocadas posteriores a` A´lgebra Linear, como e´ natural e conveniente. Por-
tanto, a beleza de seu uso fica prejudicada, pois as aplicac¸o˜es ainda na˜o esta˜o
ao alcance da compreensa˜o imediata do estudante nem existe tempo curricular
para reconstru´ı-las.
Procurando contornar essa dificuldade, optamos por colocar a A´lgebra Lin-
ear como uma disciplina de transic¸a˜o entre a Matema´tica do Ensino Me´dio e a
Matema´tica do Ensino Superior. Por isso, o texto procura relacionar os novos
conceito com aqueles da Geometria Anal´ıtica, conteu´do ja´ familiar ao estudante
calouro. Para evitar repetic¸o˜es, a Geometria Anal´ıtica tera´ um tratamento ve-
torial.
Pla´cido Francisco de Assis Andrade
andrade@mat.ufc.br
Fortaleza, 17 de julho de 2006
ii
Suma´rio
1 O espac¸o vetorial Rn 1
1.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O espac¸o vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Combinac¸a˜o linear e base canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Outras bases de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Exemplos de espac¸os vetoriais* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Combinac¸a˜o linear 23
2.1 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Regra de Cramer (prova) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Combinac¸a˜o linear e determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Combinac¸a˜o linear e sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Escalonamento e inversa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Geometria Anal´ıtica 57
3.1 A´rea de paralelogramo em E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Volume de paralelep´ıpedo em E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Retas em E2 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Planos em E3 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Retas em E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Sistema linear e Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
iv SUMA´RIO
4 Produto interno 72
4.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Retas em E2 (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Planos em E3 (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 Produto vetorial em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Subespac¸o vetorial 95
5.1 Subespac¸o e sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Subespac¸o e combinac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 O subespac¸o [[v1, v2, ..., vk]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.6 Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.7 Base e produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.8 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Transformac¸o˜es lineares 132
6.1 Transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Nu´cleo, imagem e sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3 Matriz de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Teorema do nu´cleo e da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Operadores lineares 160
7.1 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 Aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8 Operadores e produto interno 185
8.1 Operador transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.2 Operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3 Operadores sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4 Operadores ortogonais I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
SUMA´RIO v
8.5 Operadores ortogonais e geometria . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.6 Operadores ortogonais II* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.7 Classificac¸a˜o das isometrias* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.8 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9 Formas bilineares 217
9.1 Funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.2 Formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3 Formas bilineares sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.4 Forma quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.5 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10 Representac¸a˜o matricial 232
10.1 Representac¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.2 Representac¸a˜o de transformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.3 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.4 Mudanc¸a de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.5 Representac¸a˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.6 Diagonalizac¸a˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.7 Diagonalizac¸a˜o de formas quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.8 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11 Coˆnicas e Qua´dricas 273
11.1 Coˆnicas I . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
11.2 Coˆnicas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.3 Qua´dricas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.4 Qua´dricas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.5 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.6 Respostas e sugesto˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
12 Matrizes 298
12.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
12.2 Matrizes quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13 Determinantes 305
13.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.2 Existeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.3 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
vi SUMA´RIO
13.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
13.5 Adjunta cla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Cap´ıtulo 1
O espac¸o vetorial Rn
Este cap´ıtulo tem dois objetivos. Primeiro, apresentar o espac¸o vetorial Rn, um
conjunto alge´brico. Segundo, relacionar o plano Euclidiano e o espac¸o Eucli-
dano com os conjuntos alge´bricos, R2 e R3, respectivamente. Isso estabelecera´
uma ponte entre os novos conceitos com aqueles conhecimentos adqu¨iridos pelo
leitor desde o Ensino Me´dio. Ressaltamos que iremos discorrer sobre treˆs ob-
jetos, um deles alge´brico, o Rn, enquanto os outros dois sera˜o geome´tricos, o
plano e o espac¸o, conceitos na˜o definidos. Um quarto objeto, a figura desen-
hada no papel, serve apenas para organizar as ide´ias. Neste texto, os termos
func¸a˜o e aplicac¸a˜o possuem o mesmo significado.
1.1 O conjunto Rn
Denota-se por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de nu´meros reais, qual
seja,
Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n}.
Os elementos deste conjunto sa˜o chamados de pontos e, por simplicidade,
muitas vezes indicaremos por v um ponto de Rn, portanto, essa notac¸a˜o esta´
registrando que
v = (x1, x2, ..., xn).
Num primeiro momento, esses sa˜o os conjuntos para os quais voltaremos nosso
interesse. Dados dois pontos v = (x1, x2, ..., xn) e w = (y1, y2, ..., yn), diremos
que v = w se, e somente se, xi = yi para todo i = 1, 2, ..., n. Para organizar
a escrita utilizaremos letras minu´sculas para indicar os pontos de Rn. Por
1
2 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
exemplo, ao escrevermos z = (z1, z2, ..., zn) estaremos indicando um ponto do
Rn. A notac¸a˜o Z(z1, z2, ..., zn) sera´ apresentada logo a seguir e denotrara´ outro
objeto.
A maior parte do texto estara´ relacionada com os conjunto R2 e R3, por
isso, reservaremos uma notac¸a˜o especial para indicar seus elementos. Para o
primeiro conjunto, muitas vezes, indicaremos um par ordenado por v = (x, y)
e uma tripla ordenada em R3 sera´ registrada na forma v = (x, y, z).
O conjunto das 1-upla ordenada, R1 = {(x); x ∈ R}, e´ canonicamente
identificado com o conjunto dos nu´meros reais R. Na˜o distingu¨iremos uma
1-upla (x) ∈ R1 de um nu´mero real x ∈ R.
Exerc´ıcio 1.1.1 E´ correto afirmarmos que R ⊂ R2 ou que R2 ⊂ R3? A
resposta a ambas e´ na˜o. Justifique!
E´ correto afirmamos que v = (x, 0) ∈ R ou que w = (x, y, 0) ∈ R2? �
Feita a apresentac¸a˜o desses conjuntos alge´bricos passemos a` apresentac¸a˜o
de dois conjuntos geome´tricos.
Os termos ponto, reta, plano e espac¸o, conceitos pro´prios da Geometria
Euclidiana, sa˜o auto-explica´veis, na˜o suportam uma definic¸a˜o. Na verdade,
idealizamos esses conceitos de forma semelhante a` idealizac¸a˜o de conjunto que
tambe´m e´ um termo auto-explica´vel.
Denotaremos o plano Euclidiano e o espac¸o Euclidiano por E2 e E3, respec-
tivamente. Um elemento de qualquer um desses objetos e´ chamado de ponto,
e utilizaremos letra maiu´scula para indica´-lo, tais como P ∈ E2, Q ∈ E3, etc.
Ressaltamos que o plano Euclidiano E2 na˜o e´ subconjunto do espac¸o Eu-
clidiano E3, eles sa˜o conjuntos universos distintos. No primeiro momento,
isso causa confusa˜o ao leitor menos experiente, pois qualquer aluno do Ensino
Me´dio ja´ deve ter lido uma expressa˜o do tipo ”plano no espac¸o”. Desfac¸amos
essa ambigu¨idade.
Determinados subconjuntos do espac¸o Euclidiano E3 sa˜o tambe´m chama-
dos de plano. Tomaremos duas provideˆncias para distinguir as terminologias.
Primeiro, denotaremos planos, subconjuntos especiais de E3, por letras gregas
minu´sculas, tais como α, γ, etc. Observamos que π ⊂ E3, γ ⊂ E3, etc. e
iremos nos referir a cada um deles, simplesmente, como plano, enquanto E2
sera´ chamado de plano Euclidiano.
1.1. O CONJUNTO RN 3
O plano Euclidiano E2 possui subconjuntos especiais chamados de retas que
sera˜o denotadas por letras minu´sculas, a saber, r, s, l, m, etc. Observe que
r ⊂ E2. O mesmo ocorre com o espac¸o Euclidiano E3, alguns subconjuntos sa˜o
chamados de retas e tambe´m utilizaremos tambe´m letras minu´sculas, r, s, l,
etc. para designar retas contidas no espac¸o Euclidiano. Dados dois pontos
A,B ∈ r indicaremos o segmento com extremos nesses pontos por AB.
A identificac¸a˜o entre os conjuntos alge´bricos R2 e R3 com aqueles conjun-
tos Euclidianos e´ do conhecimento de todos, mas recapitulemos a construc¸a˜o
que justifica a existeˆncia da Geometria Anal´ıtica. Ressaltamos que devemos
distinguir o conjunto alge´brico, o conjunto Euclidiano e as figuras que voceˆ faz
no papel. Iniciamos identificando os nu´meros reais com os pontos de uma reta
de modo intuitivo, como encontrado em qualquer livro do Ensino Me´dio.
Dada a reta r ⊂ E2 (ou a reta r ⊂ E3), escolhemos dois pontos O, A ∈ r e
fixamos um segmento OA ⊂ r. O ponto O, que fica associado ao nu´mero 0 e
e´ chamado de origem do sistema, divide a reta em duas semi-retas, uma delas
conte´m o ponto A. Se x > 0 enta˜o x e´ associado ao ponto X da semi-reta
que conte´m A cuja a raza˜o entre os comprimentos dos segmentos OX e OA e´
igual a x. Observe que nesse caso 1 e A esta˜o relacionados. Se x < 0 enta˜o
x e´ associado ao ponto X na semi-reta que na˜o conte´m A cuja raza˜o entre os
segmentos OX e OA e´ igual a −x.
Com isso, temos definido uma aplicac¸a˜o P : R → r.
Contruiremos, agora, uma aplicac¸a˜o entre R2 e E2. Antes de tudo, fixamos
duas retas na˜o paralelas r e s em E2, que passam a ser chamadas de eixos
Cartesianos. Sobre cada uma das retas estabelecemos uma correspondeˆncia
com os nu´meros reais, como feito acima, tendo como origem o ponto de in-
tersec¸a˜o O = r ∩ s. E´ cla´ssico designar a reta r por ox e a reta s por oy e,
em geral, sa˜o escolhidas duas retas perpendiculares. Os nu´meros correspon-
dentes aos pontos sobre o eixo ox sa˜o chamados de abscissa e sobre o eixo oy
sa˜o chamados de ordenadas. Finalmente, cada ponto Q ∈ E2 determina dois
nu´meros reais (abscissa e ordenada), quais sejam, eles sa˜o as intersec¸o˜es com
os eixos das retas paralelas aos eixos que passam por Q.
4 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Seja (x, y) ∈ R2. Definimos P : R2 → E2,
pela regra: P (x, y) e´ o ponto do plano Eu-
clidiano cuja abscissa e´ x e a ordenada e´ y.
Argumentos usuais de Geometria Euclidiana
garantem que esse ponto e´ u´nicamente de-
terminado. Reciprocamente, cada ponto no
plano e´ associado a um u´nico par ordenado,
como comentado anteriormente. Fixado o
sistema de eixos, o plano Euclidiano passa
a ser chamado de plano Cartesiano.
Fixemos uma regra notacional pouco explicada nos livros textos. Ao es-
crevermos U(2, 3) estamos supondo que ja´ fixamos os eixos Cartesianos e este
ponto e´ imagem do ponto u = (2, 3) ∈ R2, pela aplicac¸a˜o P : R2 → E2. Na˜o
escreveremos U = P (2, 3). O ponto v = (x, y) tera´ sua imagem pela aplicac¸a˜o
P indicada por V (x, y) em lugar de P (x, y), o ponto w = (−1, 4) tera´ sua
imagem indicada por W (−1, 4), etc.
Do modo modo, constru´ımosuma func¸a˜o de
R3 para P : R3 → E3. Seja v = (x, y, z) ∈
R3. Fixados treˆs eixos Cartesianos em E3,
ox, oy e oz (mutuamente ortogonais), defin-
imos a aplicac¸a˜o P por, P (x, y, z) e´ o ponto
do espac¸o Euclidiano tal que a abscissa e´ x,
a ordenada e´ y e a altura e´ z.
Certamente o leitor esta´ acostumado com a notac¸a˜o P (x, y, z). Quando
fixamos um sistema de eixos em E3 passamos a chama´-lo de espac¸o Cartesiano.
Igual regra notacional sera´ utilizada para R3. Se w = (1,−2, 3) enta˜o em
lugar de escrevermos P (1,−2, 3), escreveremos W (1,−2, 3).
Exerc´ıcios propostos 1.1.1
1. Represente graficamente:
(a) os pontos P (2, 3), Q(−1, 2), R(−2,−3) e O(0, 0) do plano Cartesiano;
(b) os pontos P (2, 3, 1), Q(−1, 2,−1) e R(−2,−3, 1) e O(0, 0, 0) do espac¸o
Cartesiano.
2. Fixado um ponto U ∈ E2. E´ poss´ıvel escolher um sistema de eixos Cartesianos
1.2. O ESPAC¸O VETORIAL RN 5
tal que U(2, 3) e um outro sistema de eixos Cartesianos de tal forma que nesse
outro sistema o mesmo ponto seja indicado por U(
√
2, π)?
1.2 O espac¸o vetorial Rn
Definiremos, a seguir, duas operac¸o˜es bina´rias envolvendo elementos de Rn,
quais sejam:
i) soma de dois elementos;
ii) multiplicac¸a˜o de um elemento por um escalar.
Aqui, o termo escalar significa nu´mero real. As operac¸o˜es sa˜o definidas pelas
seguintes regra. Se v = (x1, x2, ..., xn), w = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn e λ ∈ R
estabelecemos que⎧⎨⎩
v + w := (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
λv := (λx1, λx2, ..., λxn)
.
Diz-se que essas operac¸o˜es equipam Rn com uma estrutura de espac¸o vetorial.
Feito isso, um ponto de Rn passa a ser chamado de vetor. O termo espac¸o
vetorial para essa estrutura e´ aplicado, pois ela e´ um dos inu´meros exemplos
de uma estrutra alge´brica muito comum na Matema´tica e que merece ser fixada
numa definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.2.1 Um espac¸o vetorial real consiste de um conjunto V , cujos
elementos sa˜o chamados de vetores, no qual esta˜o definidas duas operac¸o˜es,
”+”e ’.’, gozando das propriedades listadas abaixo.
I Se u, v ∈ V enta˜o o vetor soma u + v ∈ V e:
a) a adic¸a˜o e´ comutativa, u + v = v + u;
b) a adic¸a˜o e´ associativa, (u + v) + w = u + (v + w);
c) existe um u´nico elemento o, chamado de vetor nulo, tal que v+ o =
v, para todo v ∈ V ;
6 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
d) para cada vetor v ∈ V existe um u´nico vetor −v ∈ V , chamado de
inverso aditivo de v, tal que v + (−v) = 0.
II Se v ∈ V e λ ∈ R enta˜o λv ∈ V e:
a) 1v = v para todo v ∈ V ;
b) a multiplicac¸a˜o por escalar e´ associativa, λ1(λ2v) = (λ1λ2)v;
c) a multiplicac¸a˜o por escalar e´ distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de
vetores, λ(u + v) = λu + λv;
d) multiplicac¸a˜o por escalar e´ distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de es-
calares, (λ1 + λ2)v = λ1v + λ2v.
Utilizamos uma terminologia pro´pria quando estamos falando acerca de
espac¸o vetorial. Por exemplo, escalar significa um nu´mero real, como ja´ foi
dito. Dois vetores v, w ∈ Rn sa˜o colineares quando existe um escalar λ tal que
v = λw ou w = λv.
Observe que o vetor nulo do Rn e´ o vetor o = (0, 0, ..., 0).
Exemplo 1.2.1 Sejam v = (2,−1) e w = (−4, 7) vetores de R2. Pela definic¸a˜o,
a soma dos vetores e´ efetuada coordenada a coordenada,
v + w = (2,−1) + (−4, 7) = (2− 4,−1 + 7) = (−2, 6).
Se λ = −3 enta˜o λv = −3 · (2,−1) = (−6, 3). O vetor u = (−4, 2) e´ colinear
com v, pois u = −2v. �
Verifica-se que as duas operac¸o˜es em Rn, acima definidas, gozam de todas
as propriedades listadas na definic¸a˜o de espac¸o vetorial. Por exemplo, a soma
de vetores e´ comutativa, v + w = w + v, ou que a soma de qualquer vetor v
com o vetor nulo e´ o pro´prio vetor, v + o = v. Observe que 0v = o, isto e´, um
vetor multiplicado pelo escalar zero e´ igual ao vetor nulo.
Exerc´ıcio 1.2.1 Sejam 0 ∈ R e v, w ∈ Rn. Mostre que 0 · v + w = w e que o
vetor o e´ colinear com qualquer vetor. Verifique a igualdade v+ (−1)v = 0. �
Anteriormente, exibimos uma identificac¸a˜o entre os conjuntos Rn com os
conjuntos Euclidianos, En, n = 2, 3, respectivamente. Depois, definimos uma
operac¸a˜o de soma de dois elementos e um produto de um elemento por um
1.2. O ESPAC¸O VETORIAL RN 7
escalar em Rn, passando a chama´-los de espac¸o vetorial. Agora, iremos rep-
resentar geometricamente os vetores para explicitar a existeˆncia da estrutura
alge´brica em Rn. A diferenc¸a entre o conjunto e o conjunto com a estru-
tura alge´brica (espac¸o vetorial) e´ sutil mas existe, e a diferenc¸a e´ visualizada
utilizando-se o conceito de segmento orientado.
Sejam R, S ∈ En, n = 2, 3. Um segmento
orientado em En e´ o par ordenado (R, S) que
por convenieˆncias gra´ficas e´ indicado por
−→
RS,
em lugar da notac¸a˜o com pares ordenados.
Esta grafia registra a ide´ia de uma seta com
ponto inicial em R e ponto final em S.
Dados os pontos R(r1, r2) e S(s1, s2) do plano Cartesiano E
2. Diz-se que o
segmento orientado
−→
RS representa o vetor v = (x1, x2) ∈ R2 se, e somente se,
as coordenadas dos pontos e as coordenadas do vetor esta˜o relacionadas pelas
equac¸o˜es {
x1 = s1 − r1
x2 = s2 − r2 .
Exemplo 1.2.2 Um vetor pode ser representado por va´rios segmentos orien-
tados diferentes. Vejamos duas representac¸o˜es para o vetor v = (1, 2) ∈ R2.
Se escolhermos os pontos R(2, 0) e S(3, 2) em E2, o segmento orientado
−→
RS
representa v = (1, 2) ∈ R2, pois pela definic¸a˜o, temos as relac¸o˜es{
1 = 3− 2
2 = 2− 0 .
Se escolhermos os pontos P (1, 1) e Q(2, 3) o
segmento orientado
−→
PQ tambe´m representa
o mesmo vetor v = (1, 2) ∈ R2, pois{
1 = 2− 1
2 = 3− 1 .
Fica uma questa˜o para o leitor: dado T (a, b) ∈ E2, determine as coordenadas
de U ∈ E2 para que o segmento orientado −→TU seja um representante de v =
(1, 2). �
Exerc´ıcio 1.2.2 Sejam P (3,−1) e Q(−4, 3) dois pontos de E2. Esboce os
8 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
seguintes segmentos orientados,
−→
PQ,
−→
QP ,
−→
QQ e
−→
OP . Calcule os vetores do R2
representados pelos segmentos orientados. �
O segmento orientado canoˆnico para representar o vetor v = (x1, x2) e´
aquele que tem como ponto inicial a origem O(0, 0) e ponto final V (x1, x2). Fa-
lando numa linguagem informal, obtido um representante do vetor com ponto
inicial a origem O(0, 0), qualquer outro representante e´ obtido por transporte
paralelo daquele.
Uma definic¸a˜o semelhante e´ posta para representar vetores em R3. Dados
os pontos R(r1, r2, r3) e S(s1, s2, s3) do espac¸o Cartesiano E
3. Diz-se que o
segmento orientado
−→
RS representa o vetor v = (x1, x2, x3) ∈ R3 se, e somente
se, ⎧⎨⎩
x1 = s1 − r1
x2 = s2 − r2
x3 = s3 − r3
.
Exerc´ıcio 1.2.3 Dados o vetor w = (−1,−1, 0) em R3 e os pontos do espac¸o
Cartesiano M(1, 0,−3) e N(√5, 1, 1), determine as coordenadas Cartesianas
dos pontos W , P e Q tais que os segmentos orientados
−−→
OW ,
−−→
MP e
−−→
QN sejam
representantes do vetor w. �
Feitas essas considerac¸o˜es passemos a`s construc¸o˜es.
a) Definimos uma representac¸a˜o do espac¸o vetorial R2 estabelecendo que−→
P (x, y) e´ o segmento orientado
−→
OP cujo ponto inicial e´ a origem e o
ponto final e´ P (x, y).
b) Similarmente, fazemos a representac¸a˜o do espac¸o vetorial R3 estabele-
cendo que
−→
P (x, y, z) e´ o segmento orientado
−→
OP cujo ponto inicial e´ a
origem e o ponto final e´ P (x, y, z).
.
1.2. O ESPAC¸O VETORIAL RN 9
Comenta´rio As duas operac¸o˜es a´lgebricas definidas em Rn podem ser visu-
alizadas quando n = 2 ou n = 3, utilizando segmentos orientados.
Apresentemos o caso planar, n = 2, para o caso espacial, n = 3, as con-
struc¸o˜es sa˜o as mesmas. Desejamos registrar graficamente a operac¸a˜o v + w,
onde v = (3, 1) e w = (−2, 1). Na˜o podemos somar segmentos orientados
quaisquer, mas podemos definir a soma de segmentos orientados quando o
ponto final do primeiro e´ o ponto inicial do segundo,
−−→
OV+
−→
V P =
−→
OP .
Para representar o vetor v podemos escol-
her o segmento orientado com pontos iniciais
e finais O(0, 0) e V (3, 1), respectivamente.
Quanto ao vetor w podemos escolher para
representante o segmento orientado com pon-
tos iniciais e finais V (3, 1) e P (1, 2), respec-
tivamente. Sendo assim, a soma v+w e´ rep-
resentada por
−→
OP .
A representac¸a˜o gra´fica e´ va´lida para a soma
de treˆs ou mais vetores. Se desejarmos rep-
resentar a soma u + v + w, colocaremos-se
os representantes dos vetores de tal forma
que o ponto final de um e´ o ponto inicial do
seguinte,
−→
PQ +
−→
QR +
−→
RS =
−→
PS.
Examinemos a representac¸a˜o gra´fica da multiplicac¸a˜o de um vetor por um
escalar.
Escolhamos v = (3, 1), λ1 = 2 e λ2 = −2. Se
o representante escolhido para do vetor v for−→
PQ, onde P (a, b) e Q(c, d), o representante
de λiv e´ o segmento orientado
−−→
P ′Q′ com co-
ordenadas P ′(λia, λib) e Q′(λic, λid).
Mais conveniente e´ escolher um representante para v na forma
−−→
OV , com
V (3, 1), pois os mu´ltiplos λiv sa˜o graficamente registrados sobre uma mesma
reta que conte´m a origem do plano Cartesiano. �
Exerc´ıcios propostos 1.2.1
10 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
1. Seguindo a notac¸a˜o do livro texto, quais dos registros sa˜o va´lidos:
a) v(2, 1) b) P (2, 1) c) v = (2, 1) d) P = (2, 1) e) r ⊂ E3
f) (2, 1) ∈ E2 g) E2 = R2 h) P (2, 1) ∈ R2 i) −−→PQ ∈ R2 j) −−→PQ ∈ E2
k) v =
−−→
PQ l) P ∈ E2 m) P (2, 1) ∈ E2 n) R2 ⊂ R3 o) v ∈ R2
p) r ∈ E2 q) AB ∈ R3 r) (2, 1) ∈ R2 s) PQ = −−→PQ t) α ∈ E3
u) α ⊂ E2 v) r ⊂ α x) AB ⊂ E3 y) AB ⊂ E2 z) r = AB
2. Sejam v = (2,−1) e w = (3,−2) vetores em R2. Calcule 3v − w e v + 2w e
represente graficamente os vetores por segmentos orientados com ponto inicial
O(0, 0). Represente-os com ponto inicial P (−2, 1).
3. Considere os pontos P (1,−1), Q(−3, 3) e R(2, 2) do plano Cartesiano.
(a) Esboce os segmentos orientados
−−→
PQ e
−−→
QR e
−−→
QQ.
(b) Determine os vetores u, v e w de R2 representados pelos segmentos ori-
entados
−−→
PQ,
−−→
QR e
−−→
QQ. Qual a relac¸a˜o entre os vetores representados
por
−−→
PQ e
−−→
QP .
(c) Represente graficamente a soma u + v por um segmento orientado cujo
ponto inicial e´ o ponto P e represente o vetor 2u com ponto final R(2, 2).
4. A partir do esboc¸o das representac¸o˜es dos vetores u e v, como indicado em
cada figura, determine quais os outros vetores que esta˜o representados.
1.3 Combinac¸a˜o linear e base canoˆnica
Fixaremos uma definic¸a˜o que nos acompanhara´ por todo o texto.
Definic¸a˜o 1.3.1 Um vetor w ∈ Rn e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores
v1, v2, ..., vk ∈ Rn se existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R, tais que
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk.
1.3. COMBINAC¸A˜O LINEAR E BASE CANOˆNICA 11
Os esclares a1, a2,...,ak sa˜o chamados coeficientes da combinac¸a˜o linear.
Exemplo 1.3.1 Considere os vetores v1, v2, v3 ∈ R2, onde v1 = (1, 1), v2 =
(1, 2) e v3 = (1,−1). O vetor w = (−1, 1) e´ uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2
e v3. Verifica-se que w = −6v1 + 4v2 + v3. Os coeficientes dessa combinac¸a˜o
linear sa˜o a1 = −6, a2 = 4 e a3 = −1.
O vetor u = (0,−1) tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3, pois
u = v1 − v2. Dever´ıamos escrever u = 1v1 + (−1)v2 + 0v3, mas, como sempre,
simplificamos a escrita para tornar a leitura menos cansativa. �
Exerc´ıcio 1.3.1 Dados os vetores v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1) de R
2, calcule o
vetor w nas combinac¸o˜es lineares indicadas.
a) w = 3v1 − 4v2.
b) w = −v2 + v2.
c) w = −1
3
v2.
d) w = 0v1 + v2. �
Exerc´ıcio 1.3.2 Dados os vetores v1 = (−1, 2, 0) e v2 = (2, 1,−3) de R3,
calcule o vetor w nas combinac¸o˜es lineares indicadas.
a) w = 3v1 − 4v2
b) w = −v2 + v2.
c) w = −1
3
v2.
d) w = 0v1 + v2. �
Comenta´rio Para ilustrar a definic¸a˜o de combinac¸a˜o linear de vetores, fac¸a-
mos uma analogia entre ela e o conceito f´ısico de trajeto´tias.
Fixemos os vetores v1 e v2 em R
2, dados no
Exemplo 1.3.1. Eles determinam no plano
Cartesiano E2, atrave´s de representc¸o˜es por
segmentos orientados, duas direc¸o˜es, indi-
cadas graficamente na figura por retas par-
alelas. Vamos supor que essas sa˜o as u´nicas
direc¸o˜es poss´ıveis nas quais podemos camin-
har sobre o plano Cartesiano.
Para partir da origem e chegar a um ponto W , no caso da figura, deve-
mos percorrer uma trajeto´ria na direc¸a˜o e sentido determinada por v1 cujo
comprimento e´ 2 vezes o comprimento de v1, seguida de uma trajeto´ria cujo
comprimento e´ 7
5
na direc¸a˜o e sentido determinado por v2.
12 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Isso e´ sugerido vetorialmente pela combinac¸a˜o linear w = 2v1 +
7
5
v2. Nesse
caso, na˜o importa se a trajeto´ria e´ feita em zig-zag ou na˜o, levando em conta o
sentido positivo e negativo das direc¸o˜es, no final, teremos a mesma combinac¸a˜o
linear.
Se consideramos apenas um u´nico vetor, v1 ∈ R2, ao dizermos que w ∈ R2
e´ uma combinac¸a˜o linear de v1 estamos apenas afirmando que w e´ um mu´ltiplo
de (ou colinear com) v1, em outras palavras, w = a1v1.
Como temos uma u´nica direc¸a˜o no plano
Cartesiano, nem todos pontos do plano po-
dem ser alcanc¸ados partindo-se da origem,
apenas aqueles que esta˜o sobre a reta diretriz
que passa pela origem podem ser alcanc¸ados.
Falta uma direc¸a˜o transversal para descrever
todas as trajeto´rias poligonais poss´ıveis. �
Definic¸a˜o 1.3.2 Um subconjunto ordenado de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂
Rn e´ uma base do Rn se qualquer vetor w ∈ Rn e´ uma combinac¸a˜o linear dos
elementos de β.
A expressa˜o ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro e-
lemento, e ele esta´ indexado por 1, um segundo elemento que esta´ indexado
por 2, etc. A definic¸a˜o de base da´ origem a um se´rie de perguntas de cara´ter
te´cnico.
1. Existe base para o Rn?
2. Se w ∈ Rn e β e´ uma base, quais sa˜o e como podemos calcular os coefi-
cientes ai’s da combinac¸a˜o linear w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn?
3. Os coeficientes a′is da combinac¸a˜o linear w = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn
sa˜o u´nicos, isto e´, podemos expressar w = b1v1 + b2v2 + · · · + bnvn com
bi �= ai para algum i, 1 ≤ i ≤ n?
4. Quantas bases existem para o Rn?
5. Dado um subconjunto de n vetores β ⊂ Rn, qual um algoritmo pra´tico
para sabermos se o conjunto e´ uma base?
1.3. COMBINAC¸A˜O LINEAR E BASE CANOˆNICA 13
A primeira pergunta tem resposta fa´cil. Existe pelo menos uma base orde-
nada para o Rn. O subconjunto de n vetores C = {e1, e2, ..., en} cujos elementos
sa˜o
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), . . . en = (0, 0, ..., 1).
e´ uma base. O subconjunto C sera´ chamado de base canoˆnica pelos seguintes
motivos. Dado um vetor w = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn e´ imediato mostrar que
w e´ uma combinac¸a˜o linear do vetores de C e quais sa˜o os coeficientes da
combinac¸a˜o linear:
w = (x1, x2, ..., xn) = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.
Exemplo 1.3.2 A base canoˆnica do R2 e´ um conjunto formado por dois ve-
tores, C = {e1, e2}, onde e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). O vetor v = (−
√
3,−2
4
) e´
uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base canoˆnica e, facilmente, determi-
namos os coeficientes da combinac¸a˜o linear, v = −√3e1 − 24e2. �
Exemplo 1.3.3 Considere o vetor w = (2,−2, 4) ∈ R3. A base canoˆnica C do
R3 e´ formada por treˆs vetores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). Veja
a seguinte sequ¨eˆncia de igualdades,
w = (2,−2, 4)
= (2, 0, 0) + (0,−2, 0) + (0, 0, 4)
= 2(1, 0, 0)− 2(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
= 2e1 − 2e2 + 4e3.
Observe que na base canoˆnica, as coordenadas do vetor sa˜o os coeficientes da
combinac¸a˜o linear! �
Em relac¸a˜o a` base canoˆnica do Rn, a terceira pergunta tem resposta ra´pida
e precisa.
Afirmac¸a˜o Ao escrevermos o vetor w ∈ Rn como uma combinac¸a˜o linear dos
elementos da base canoˆnia C, os coeficientes da combinac¸a˜o linear sa˜ou´nicos.
14 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
Se na˜o, vejamos. Seja w = (w1, w2, ..., wn) ∈ Rn. Escrevamos a combinac¸a˜o
linear w = a1e1 + a2e2 + · · ·+ anen e examinemos a sequ¨eˆncia de igualdades,
(w1, w2, ..., wn) = w
= a1e1 + a2e2 + · · ·+ anen
= a1(1, 0, ..., 0) + a2(0, 1, ..., 0) + · · ·+ an(0, 0, ..., 1)
= (a1, 0, ..., 0) + (0, a2, ..., 0) + · · ·+ (0, 0, ..., an)
= (a1, a2, ..., an).
Sendo assim, valem as igualdades ai = wi para todo i = 1, ..., n. Temos
conclu´ıdo a demonstrac¸a˜o da Afirmac¸a˜o.
Em particular, o vetor nulo, o = (0, 0, ..., 0), somente pode ser escrito por
uma u´nica combinac¸a˜o linear, a saber, o = 0e1 + 0e2 + · · ·+ 0en.
Exerc´ıcio 1.3.3 Quantos elementos possui a base canoˆnica do R4? �
1.4 Outras bases de Rn
Passemos a` quarta pergunta da lista apresentada na sec¸a˜o anterior. ”Existem
outras bases ordenadas para o Rn ale´m da base canoˆnica?”
Antecipemos a resposta. Sim, o Rn possui um nu´mero infinito de bases orde-
nadas ale´m da base canoˆnica! Mostrar a existeˆncia de outras bases ordenadas
esta´ relacionada com:
◦ determinantes de matrizes quadradas n× n;
◦ resoluc¸o˜es de sistemas de equac¸o˜es lineares n× n.
Examinemos essa relac¸a˜o. Com um conjunto ordenado de n vetores β =
{v1, v2, ..., vn} de Rn, contru´ımos uma matriz quadrada n × n, matriz que
denotaremos por
[v1, v2, ..., vn].
A notac¸a˜o indica que as entradas da primeira coluna da matriz sa˜o as coor-
denadas do vetor v1, as entradas da segunda coluna sa˜o as coordenadas do
vetor v2, etc. Observe que sendo [v1, v2, ..., vn] uma matriz quadrada, podemos
calcular o seu determinante.
1.4. OUTRAS BASES DE RN 15
Exemplo 1.4.1 Ilustremos com dois exemplos a construc¸a˜o da matriz.
a) Seja β = {v1, v2} ⊂ R2, onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2). Esse conjunto de
dois vetores do R2 da´ origem a` matriz quadrada 2× 2
[v1, v2] =
[
1 1
1 2
]
.
Por um ca´lculo simples segue que det[v1, v2] = 1 �= 0.
b) Seja β = {v1, v2, v3} ⊂ R3, onde v1 = (1,−1, 3), v2 = (0, 1,−2) e
v3 = (2,−3, 8). Com esse conjunto de treˆs vetores do R3 constru´ımos a matriz
quadrada 3× 3
[v1, v2, v3] =
⎡⎣ 1 0 2−1 1 −3
3 −2 8
⎤⎦ ,
cujo determinante e´ det[v1, v2, v3] = 0. �
O ponto a ressaltar diz respeito ao deteminante da matriz [v1, v2, ...vn]
constru´ıda com os n vetores do conjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn.
Provaremos, posteriormente, as seguintes afirmac¸o˜es:
◦ se det[v1, v2, ..., vn] �= 0 enta˜o β e´ uma base;
◦ se det[v1, v2, ..., vn] = 0 enta˜o β na˜o e´ uma base.
Sendo assim, temos em ma˜os um algoritmo eficiente para determinar quan-
do o conjunto β e´, ou na˜o e´, uma base, bem como, construir bases para Rn.
Exemplo 1.4.2 Seja β = {v1, v2} ⊂ R2 onde v1 = (1, 1) e v2 = (1, 2).
a) Para u = (−1, 1), vale a combinac¸a˜o linear u = −3v1 + 2v2.
b) Para v = (0,−1), vale a combinac¸a˜o linear v = v1 − v2.
c) Para w = ( x, y), vale a combinac¸a˜o linear w = (2x− y)v1 + (y − x)v2.
O item c) diz que o conjunto β e´ uma base, pois qualquer vetor w = (x, y)
do R2 e´ uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2 onde os coeficientes da combinac¸a˜o
linear dependem das coordenadas do vetor, a1 = 2x − y e a2 = y − x. Fica
uma questa˜o.
16 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
• Como determina-se os coeficientes da combinac¸a˜o linear para um vetor
w = (x, y) em R2.
Deixemos claro como a condic¸a˜o det[v1, v2] = 1 �= 0 implica que β = {v1, v2} e´
uma base. O elo de ligac¸a˜o entre os dois fatos e´ a regra de Cramer um me´todo
para resoluc¸a˜o de sistemas lineares n × n cuja demonstrac¸a˜o encontra-se no
pro´ximo cap´ıtulo do texto.
Para mostrar que β e´ uma base, devemos mostrar que dado um vetor w =
(x, y) ∈ R2 existem coeficientes a1 e a2 tais que w = a1v1 + a2v2. Escrevamos
essa u´ltima igualdade em coordenadas,
(x, y) = (a1 + a2, a1 + 2a2).
A igualdade w = a1v1+a2v2 da´ origem a um sistema de equac¸o˜es lineares com
duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas, a1 e a2, escrito na forma usual (ou matricial)
como{
a1 + a2 = x
a1 + 2a2 = y
(
ou
[
1 1
1 2
] [
a1
a2
]
=
[
x
y
])
.
A matriz principal do sistema e´ precisamente [v1, v2] e as matrizes auxiliares
sa˜o [w, v2] e [v1, w]. Explicitamente:
[v1, v2] =
[
1 1
1 2
]
; [w, v2] =
[
x 1
y 2
]
; [v1, w] =
[
1 x
1 y
]
.
Como a matriz principal e´ quadrada com determinante diferente de zero, pode-
mos utilizar a Regra de Cramer para determinar as inco´gnitas a1 e a2,
a1 =
det[w, v2]
det[v1, v2]
= 2x− y e a2 = det[v1, w]
det[v1, v2]
= y − x.
Logo, w = (2x−y)v1+(y−x)v2 e os coeficientes sa˜o u´nicos, pois sa˜o as u´nicas
soluc¸o˜es do sistema. Observe que so´ existe uma combinac¸a˜o linear poss´ıvel
para expressar o vetor nulo, qual seja, o = 0v1 + 0v2. �
A demonstrac¸a˜o do teorema abaixo encontra-se no pro´ximo cap´ıtulo.
Teorema 1.4.1 [Regra de Cramer] Seja β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn um con-
junto ordenado de n vetores em Rn. Se det[v1, v2, ..., vn] �= 0 enta˜o β e´ uma
1.4. OUTRAS BASES DE RN 17
base do Rn. Mais ainda, cada vetor w ∈ Rn expressa-se como u´nica com-
binac¸a˜o linear w = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn onde os coeficientes sa˜o dados
por
a1 =
det[w, v2, ..., vn]
det[v1, v2, ..., vn]
, a2 =
det[v1, w, ..., vn]
det[v1, v2, ..., vn]
, · · · an = det[v1, v2, ..., w]
det[v1, v2, ..., vn]
.
Observe que os coeficientes para expressar o vetor nulo o = (0, 0, ..., 0) como
combinac¸a˜o linear de uma base, necessariamente, e´ ai = 0, para todo i, pois o
numerador da frac¸a˜o e´ o determinante de uma matriz com uma coluna igual a
zero.
Exemplo 1.4.3 Mostremos que β = {v1, v2, v3} ⊂ R3 e´ uma base, onde
v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1).
Para isso, e´ suficiente considerar a matriz
[v1, v2, v3] =
⎡⎣ 1 1 01 0 1
0 1 1
⎤⎦ ,
e calcular seu determinante det[v1, v2, v3] = −2. Como o determinante na˜o e´
zero, segue que β e´ uma base do R3.
Expressemos w = (3,−2, 3) por uma combinac¸a˜o linear dos vetores de β,
w = a1v1 + a2v2 + a3v3. Substitu´ındo obtemos
(3,−2, 3) = (a1 + a2, a1 + a3, a2 + a3),
de onde segue o sistema linear⎧⎨⎩
a1 + a2 = 3
a1 + a3 = −2
a2 + a3 = 3
⎛⎝ou
⎡⎣ 1 1 01 0 1
0 1 1
⎤⎦⎡⎣ a1a2
a3
⎤⎦ =
⎡⎣ 3−2
3
⎤⎦⎞⎠ .
Para calcular os coeficientes a′1s, precisaremos das matrizes auxiliares,
[w, v2, v3] =
⎡⎣ 3 1 0−2 0 1
3 1 1
⎤⎦ , [v1, w, v3] =
⎡⎣ 1 3 01 −2 1
0 3 1
⎤⎦ , [v1, v2, w] =
⎡⎣ 1 1 31 0 −2
0 1 3
⎤⎦ ,
18 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
e de seus determinantes:
det[w, v2, v3] = 2; det[v1, w, v2] = −8; det[v1, v2, w] = 2.
Assim, calculamos os coeficientes procurados utilizando a regra de Cramer,
a1 =
det[w, v2, v3]
det[v1, v2, v3]
= −1, a2 = det[v1, w, v2]
det[v1, v2, v3]
= 4, a3 =
det[v1, v2, w]
det[v1, v2, v3]
= −1.
Logo, w = (3,−2, 3) expressa-se como a combinac¸a˜o linear w = v1 − 4v2 + v3.
Mais geralmente, mostre que um vetor w = (x, y, z) expressa-se nessa base
como a combinac¸a˜o linear
w = (−y + z)v1 + (−x + y − z)v2 + (x− y − z)v3.
�
A demonstrac¸a˜o da rec´ıproca da regra de Cramer ficara´ para uma sec¸a˜o
futura, pois envolve outros conceitos.
Exerc´ıcios propostos 1.4.1
1. Calcule as combinac¸o˜es lineares indicadas onde v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) e
v3 = (0, 0, 1) sa˜o vetores do R3.
(a) w = 3v1 + 0v2 − v3.
(b) w = xv1 + (y − 2x)v2 + (x− 2y + z)v3.
(c) w = 0v1 + 0v2 + 0v3.
(d) w = 0v1 + 1v2 + 0v3.
2. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = {v1, v2} ⊂ R2 e´ uma base. Caso
seja, expresse w = (x, y) por uma combinac¸a˜o linear dos vetores da base.
(a) v1 = (3,−1) e v2 = (1, 2).
(b) v1 = (2, 1) e v2 = (1, 2).
(c) v1 = (−1, 2) e v2 = (2,−4).
(d) v1 = (1, 0) e v2 = (1,−1).
3. Verifique quais dos conjuntos ordenados β = {v1, v2, v3} ⊂ R3 e´ uma base.
Caso seja, expresse w = (x, y, z) por uma combinac¸a˜o linear dos vetores da
base.
1.5. EXEMPLOSDE ESPAC¸OS VETORIAIS* 19
(a) v1 = (0, 3,−1),
(b) v1 = (2, 1, 1),
(c) v1 = (1, 1, 2),
(d) v1 = (1, 1, 1),
v2 = (1, 1, 2),
v2 = (3,−1, 2),
v2 = (2, 0, 0),
v2 = (3,−2, 1),
v3 = (1, 1, 1).
v3 = (0, 0, 0).
v3 = (0, 1, 1).
v3 = 2v1 − v2.
4. Complete o conjunto de vetores para obter uma base do espac¸o indicado.
(a) α = {v1, v2} ⊂ R2, onde v1 = (3, 4).
(b) β = {v1, v2, v3} ⊂ R3, onde
5. Seja β = {v1, v2, ..., vn} uma base de Rn.
(a) Escreva vi como combinac¸a˜o linear dos vetores de β.
(b) Escreva o como combinac¸a˜o linear dos vetores de β.
(c) E´ poss´ıvel escrever v1 como combinac¸a˜o linear dos vetores v2, v3,...,vn?
1.5 Exemplos de espac¸os vetoriais*
Essa sec¸a˜o pode ser dispensada numa primeira leitura.
Para ilustrar a definic¸a˜o de espac¸o vetorial listaremos outros exemplos, ale´m do
Rn.
1) Seja R[t] o conjunto de todos os polinoˆmios na varia´vel t com coeficientes em
R. As usuais adic¸a˜o de polinoˆmios e multiplicac¸a˜o de um polinoˆmio por um escalar
induzem em R[t] uma estrutura de espac¸o vetorial sobre R.
3) O produto direto, ou produto cartesiano, de espac¸os vetoriais V1, V2, ..., Vn
sobre R e´ o conjunto denotado por
V = V1 × V2 × · · · × Vn
e constitu´ıdo por todas as n-uplas ordenadas u = (u1, u2, ..., un) com ui ∈ Vi. Do
mesmo modo podemos definir uma estrutura de espac¸o vetorial sobre o corpo R.
Dados os elementos u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) ∈ V e um escalar λ ∈ R,
definimos a adic¸a˜o de dois vetores e a multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar,
respectivamente, por
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn),
λu = (λu1, λu2, ..., λun).
20 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
4) Sejam Ω um conjunto na˜o vazio e V um espac¸o vetorial sobre R. O conjunto
C(Ω, V ) formado por todas as func¸o˜es f : Ω → V adquire uma estrutura de espac¸o
vetorial sobre R da seguinte forma. Para f, g ∈ C(Ω, V ) e λ ∈ K definimos
(f + g)(ω) = f(ω) + g(ω),
(λf)(ω) = λf(w),
onde ω ∈ Ω. Nesta estrutura o vetor nulo e´ a func¸a˜o identicamente nula, f(ω) = 0
para todo ω ∈ Ω, e −f ≡ (−1)f .
5) Uma matriz m× n com entradas em R e´ uma sequeˆncia de escalares aij ∈ R
organizada na forma
[A] =
⎡⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn
⎤⎥⎥⎥⎦ .
Quando for conveniente, resumiremos a notac¸a˜o em [A] = [aij ]. O primeiro ı´ndice
de aij indica a linha na qual a entrada encontra-se e o segundo ı´ndice indica a
coluna. Induzimos uma estrutura de espac¸o vetorial no conjunto das matrizes m×n
com entradas em R, conjunto este denotado por M(m× n,R), definido a adic¸a˜o de
matrizes e a multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar, respectivamente, por
[A] + [B] = [aij + bij],
λ[A] = [λaij ],
em que [A] = [aij ], [B] = [bij] ∈ M(m × n,R) e λ ∈ R. O vetor nulo do espac¸o e´ a
matriz identicamente nula e −[A] = [−aij].
Exerc´ıcios propostos 1.5.1
1. Procure num livro de Ca´lculo os teoremas que garantem a existeˆncia de uma
estrutura de espac¸o vetorial real nos seguintes conjuntos.
(a) O conjunto C0([a, b],R) formado por todas as func¸o˜es cont´ınuas f :
[a, b] → R, onde [a, b] ⊂ R e´ um intervalo.
(b) O conjunto 
([a, b],R) constitu´ıdo por todas as func¸o˜es f : [a, b] → R
que sa˜o Riemann integra´veis.
(c) O conjunto S(Z,R) de todas sequeˆncias reais (a1, a2, a3, ...) cuja se´rie∑
an converge (convergeˆncia simples).
(d) O conjunto �1(R) de todas as sequeˆncias reais (a1, a2, a3, ...) cuja se´rie∑ |an| converge (convergeˆncia absoluta).
1.6. RESPOSTAS E SUGESTO˜ES 21
1.6 Respostas e sugesto˜es
Sec¸a˜o 1.2
1) V=va´lido, N=na˜o va´lido.
a) N.
b) V.
c) V.
d) F.
e) V.
f) N.
g) N.
h) N.
i) N.
j) N.
k) N.
l) V.
m) V.
n) N.
o) V.
p) F.
q) F.
r) V.
s) F.
t) F.
u) V.
v) V.
x) V.
y) V.
2) 3v − w = (3,−1) e v + 2w = (8,−5).
Representantes com ponto inicial a origem sa˜o, respectivamente,
−→
OA e
−−→
OB, onde
A(3,−1) e B(8,−5).
Representantes com ponto inicial P (−2, 1) sa˜o, respectivamente, −→PR e −→PS, onde
R(1, 0) e S(6,−4).
3) O primeiro item ficara´ aos cuidados do leitor.
(b) Sa˜o representantes, respectivamente, de u = (−4, 4), v = (5,−1) e w = (0, 0).
O segmento orientado
−−→
QP representa −u.
(c) A soma u+ v e´ representado por
−→
RT onde R(2, 2) e 2u e´ representado por
−−→
NM
onde N(10,−6).
4) Observe que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se nos seus pontos me´dios.
Sec¸a˜o 1.4
1) (a) w = (3, 6, 8). (b) w = (x, y, z). (c) w = (0, 0, 0). (d) w = v2.
2) Somente os vetores em (c) na˜o formam uma base.
(a) (x, y) = 2x−y7 v1 +
3y+x
7 v2.
(b) (x, y) = 2x−y3 v1 +
2y−x
3 v2.
(d) (x, y) = (x + y)v1 − yv2.
3) Sera´ uma base de R3 se det[v1, v2, v3] �= 0. Somente os vetores em (a) e (c) formam
uma base.
4) Utilizando a condic¸a˜o do determinante ser diferente de zero para garantir que o con-
junto seja uma base.
(a) Por exemplo, v2 = (−2, 1).
(b) Qualquer vetor v3 = (a, b, c) tal que det[v1, v2, v3] �= 0.
(c) A soluc¸a˜o segue o mesmo roteiro.
22 CAPI´TULO 1. O ESPAC¸O VETORIAL RN
5) (a) vi = 0v1 + · · ·+ 1vi + · · ·+ 0vn.
(b) o = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vn.
(c) Na˜o.
Cap´ıtulo 2
Combinac¸a˜o linear
Este cap´ıtulo tem como ponto central relacionar sistemas lineares e com-
binac¸o˜es lineares, um ponto ba´sico do estudo de A´lgebra Linear. Existem
diversos me´todos de resoluc¸a˜o de sistemas lineares: me´todo de Gauss, escalon-
amento de matrizes, substituic¸a˜o, regra de Cramer, etc. Preferencialmente,
utilizaremos a regra de Cramer. Ale´m do aspecto dida´tico, na maioria das
vezes, a resoluc¸a˜o por regra de Cramer e´ ta˜o pra´tico quanto qualquer outro
me´todo quando o sistema tem um nu´mero pequeno de varia´veis, duas ou treˆs
varia´veis. De qualquer forma, apresentamos o me´todo de escalonamento para
resoluc¸a˜o de sistemas.
Como utilizaremos determinantes, faremos uma breve apresentac¸a˜o do to´pi-
co. Acreditamos que o leitor tenha adqu¨irido no Ensino Me´dio uma familiari-
dade mı´nima com o conceito de matrizes e o ca´lculo de determinantes.
A experieˆncia em sala de aula tem indicado que as demonstrac¸o˜es de muitas
propriedades de determinantes sa˜o infrut´ıferas. Compreeender a complexidade
de algumas argumentac¸o˜es combinato´rias necessitam de um maior amadureci-
mento matema´tico por parte do aluno. Uma apresentac¸a˜o destacando os fatos
principais e os algoritmos tem se revelado mais u´til.
Seja qual for a opc¸a˜o para a apresentac¸a˜o das treˆs primeiras sec¸o˜es, leitura
extensa ou resumo dos fatos, o Teorema 2.4.1, (pg.37), deve ser destacado,
pois sera´ utilizado inu´meras vezes. Mesmo assim, com a pretenc¸a˜o de ser
completo, as demonstrac¸o˜es envolvendo matrizes e determinantes encontram-
se no Cap´ıtulo 13, (pg.305), um cap´ıtulo de refereˆncias que e´ aconselha´vel ser
omitido numa primeira leitura.
23
24 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
2.1 Determinantes
Nessa sec¸a˜o, o s´ımbolo
[A] = [v1, v2, ..., vn]
indica uma matriz quadrada n× n onde as colunas sa˜o as coordenadas de um
vetor vi ∈ Rn. Nessa notac¸a˜o, a matriz identidade n× n escreve-se como
[Id] = [e1, e2, ..., en],
onde ei indica o i-e´simo elemento da base canoˆnica do R
n.
O determinante e´ definido como uma func¸a˜o dos espac¸o das matrizes n×n
nos reais possuindo treˆs propriedades:
det1 det[e1, e2, ..., en] = 1; (determinante da identidade)
det2 det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = 0 se vi = vi+1; (colunas adjacentes iguais)
det3 det[v1, ..., vi + λw, ..., vn] = det[v1, ..., vi, ..., vn] + λ det[v1, ..., w, ...vn]
para qualquer w ∈ Rn e qualquer λ ∈ R. (multilinearidade)
Uma questa˜o que surge e´ se existe uma func¸a˜o possu´ındo tais propriedades,
para cada espac¸o de matrizes n× n. A resposta e´ positiva e para mostra que
existe determinante para matrizes n × n utiliza-se um processoconstrutivo e
demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o. Primeiro, definimos determinante de matrizes 2×2.
Feito isso, utilizamos esse determinante para definir determinante de matrizes
3× 3 utilizando a construc¸a˜o conhecida por desenvolvimento de Laplace pela
primeira coluna. Para definir o determinante de uma matriz 4× 4, utiliza-se a
definic¸a˜o de determinante para matrizes 3× 3 em conjunto com o desenvolvi-
mento de Laplace e assim, sucessivamente.
E´ claro, o determinante de uma matriz 1×1 deve ser igual a u´nica entrada
da matriz.
Determinante de matriz 2× 2 Sejam v1 = (a, b) e v2 = (c, d) vetores
do R2. Definimos
det[v1, v2] = det
[
a c
b d
]
=: ad− bc.
2.1. DETERMINANTES 25
Essa definic¸a˜o e´ conhecida por qualquer estudante que conclu´ıu o Ensino
Me´dio. As propriedades det1, det2 e det3 sa˜o, facilmente, verificadas.
Determinante de matriz 3× 3 e´ definido pela regra conhecida como
desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. A partir do determinante de
matrizes 2× 2 define-se o determinante de matrizes 3× 3.
Sejam v1 = (a, b, c), v2 = (d, e, f) e v3 = (g, h, i) vetores do R
3.
det[v1, v2.v3] = det
⎡⎣ a d gb e h
c f i
⎤⎦
=: a det
[
e h
f i
]
− b det
[
d g
f i
]
+ c det
[
d g
e h
]
.
Certamente o leitor aprendeu na escola algum algoritmo para calcular o
determinante de uma matriz 3× 3, utilize aquele que achar mais conforta´vel.
Embora seja mais trabalhoso e enfadonho, tambe´m e´ simples rotina verificar
que o determinante de matrizes 3× 3 goza das propriedades det1, det2 e det3.
Deixaremos a verificac¸a˜o como exerc´ıcio.
Determinante de matriz n× n Seja [A] uma matriz quadrada n× n.
Indicamos por [A]
bji a ji -e´sima matriz reduzida de [A], isto significa que a
matriz [A]
bij e´ a matriz (n−1)×(n−1) obtida de [A] por supressa˜o da i−e´sima
linha e da j-e´sima coluna.
Por exemplo, uma matriz 3 × 3 tem nove matrizes reduzidas. Se [A] =
[v1, v2, v3] onde v1 = (a, b, c), v2 = (d, e, f) e v3 = (g, h, i), enta˜o
[A] =
⎡⎣ a d gb e h
c f i
⎤⎦ .
Listemos treˆs matrizes reduzidas de [A]:
[A]
c11 =
[
e h
f i
]
; [A]
c21 =
[
d g
f i
]
; [A]
c31 =
[
d g
e h
]
.
O determinante de uma matriz 3×3 foi definido utilizando-se essas submatrizes
2×2 e uma construc¸a˜o chamada de desenvolvimento de Laplace pela primeira
26 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
coluna,
det[A] = (−1)1+1a det[A]
c11 + (−1)2+1b det[A]c21 + (−1)3+1c det[A]c31.
Com essa regra, definirmos o determinante de uma matriz n×n conhecendo-
se o determinante de matrizes (n− 1)× (n− 1). Se [A] = [v1, v2, ..., vn], onde
v1 = (v11, v21, ..., vn1) definimos
det[A] =: (−1)1+1v11 det[A]c11+(−1)2+1v21 det[A]c21+ · · ·+(−1)n+1vn1 det[A]cn1.
Uma demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o garante que o determinante de matrizes
n× n possui as propriedades det1, det2 e det3.
Decorrem diretamente das treˆs propriedades exigidas na definic¸a˜o de de-
terminante inu´meras outras propriedades que sa˜o bem conhecidas.
Proposic¸a˜o 2.1.1 Valem as seguintes afirmac¸o˜es sobre o determinante de
uma matriz quadrada [A] = [v1, v2, ..., vn].
1. det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = −det[v1, ...vi+1, vi, ...vn].
2. Se algum vi e´ o vetor nulo enta˜o det[v1, v2, ..., vn] = 0.
3. det[v1, ..., vi, ..., vj , ..., vn] = 0, se vi = vj, i �= j.
4. Somando-se a uma coluna da matriz [v1, v2, ..., vn] uma combinac¸a˜o linear
de outros vetores colunas o determinante na˜o se altera.
5. det[v1, ..., λvi, ..., vn] = λ det[v1, ...., vi, ..., vn], para todo escalar λ.
Prova 1. Observe que det[v1, ..., vi+vi+1, vi+vi+1, ..., vn] = 0, pois duas colunas
adjacentes sa˜o iguais, det2. Pela linearidade do determinante, det3, obtemos
0 = det[v1, ..., vi + vi+1, vi + vi+1, ..., vn]
= det[v1, ..., vi, vi, ..., vn] + det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] +
det[v1, ..., vi+1, vi, ..., vn] + det[v1, ..., vi+1, vi+1, ..., vn].
De onde segue a afirmac¸a˜o.
2.1. DETERMINANTES 27
2. Se vi = 0, ele e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores colunas,
vi = 0v1 + · · ·+ 0vi + 0vi+1 + · · ·+ 0vn.
Pela propriedade det3,
det[v1, ..., vi, vi+1, ..., vn] = 0 det[v1, ..., v1, vi+1, ..., vn] +
0 det[v1, ..., v2, vi+1, ..., vn] +
+ · · ·+
0det[v1, ..., vn, vi+1, ..., vn]
= 0.
3. Deixaremos como exerc´ıcio.
4. Para facilitar a leitura, vamos supor que vn = a1v1+a2v2+· · ·+an−1vn−1.
Pela propriedade det3 temos
det[v1, ..., vn−1, vn] = det[v1, ..., vn−1,Σn−1i=1 aivi]
= Σn−1i=1 ai det[v1, ..., vn−1, vi].
Como no u´ltimo somato´rio, cada parcela tem um determinante de uma matriz
com duas colunas iguais, pelo item 3. acima, segue o resultado.
4. Para facilitar a leitura, vamos supor que o vetor
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ an−1vn−1
seja somado a` u´ltima coluna de [v1, ..., vi, ..., vj, ..., vn]. Calculemos,
det[v1, ..., vn−1, vn + w] = det[v1, ..., vn−1, vn + Σn−1i=1 aivi]
= det[v1, ..., vn−1, vn] + Σn−1i=1 ai det[v1, ..., vn−1, vi]
= det[v1, ..., vn−1, vn].
A segunda igualdade e´ justificada observando que cada parcela do somato´rio
tem um determinante de uma matriz com duas colunas iguais, portanto, aque-
las parcelas sa˜o iguais a zero.
5. Observe as igualdades,
det[v1, ..., λvi, ..., vn] = det[v1, ..., vi + (λ− 1)vi, ..., vn]
= det[v1, ..., vi, ..., vn] + (λ− 1) det[v1, ..., vi, ..., vn]
= λ det[v1, ..., vi, ...vn].
28 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
A igualdades sa˜o justificadas pelo item det3. �
Existem muitos outros modos equivalentes para definir determinantes. Por
exemplo, podemos indutivamente definir o determinante utilizando o desen-
volvimento de Laplace por qualquer coluna ou qualquer linha. Nesses casos,
as parcelas do somato´rio sa˜o determinantes de matrizes reduzidas das entradas
de uma coluna (ou linha) multiplicadas pelo fator (−1)i+j. As demonstrac¸o˜es
dessa e de outras afirmac¸o˜es encontram-se no Cap´ıtulo 13.
Recordamos que se [A] = [v1, v2, ..., vn] = [vij ] e´ uma matriz onde m × n,
onde
vj = (v1j , v2j , ..., vnj),
enta˜o a trasposta de [A] e´ a matriz n × m indicada e definida por [A]t =
[w1, w2, ...wn] com vetor coluna
wj = (vj1, vj2, ..., vjn).
isto e´, o j-e´simo vetor coluna de [A]t e´ igual ao j-e´simo vetor linha de [A]. Por
exemplo,
[A] =
⎡⎣ √2 −3 0−1 1 5
7 1 3
⎤⎦ e [A]t =
⎡⎣ √2 −1 7−3 1 1
0 5 3
⎤⎦ .
Proposic¸a˜o 2.1.2 Sejam [A] uma matriz n×n e [A]t a sua matriz transposta.
Enta˜o
det[A]t = det[A].
Prova O desenvolvimento de Laplace de det[A]t pela primeira coluna de [A]t e´
igual ao desenvolvimento de Laplace de det[A] pela primeira linha de [A], que,
por sua vez, e´ igual ao desenvolvimento de Laplace de det[A] pela primeira
coluna de [A]. �
Uma outra propriedade importante envolvendo determinantes diz respeito
ao determinante de um produto de matrizes.
Proposic¸a˜o 2.1.3 Sejam [A] e [B] duas matrizes n× n. Enta˜o
det ([A] [B]) = det[A] det[B].
Veja demonstrac¸a˜o na Proposic¸a˜o 13.4.2, (pg.311), do Cap´ıtulo 13.
2.1. DETERMINANTES 29
Exerc´ıcios propostos 2.1.1
1. Calcule o determinante de cada matriz.
(a) [A] =
[
2 −2
4 1
]
.
(b) [A] =
⎡⎣ 2 0 2−1 3 1
−1 2 0
⎤⎦.
(c) [A] =
⎡⎣ 1 3 41 −1 0
1 −2 −1
⎤⎦.
(d) [A] =
⎡⎢⎢⎣
1 0 0 1
2 1 −1 2
0 −2 0 −2
1 0 2 3
⎤⎥⎥⎦.
(e) [A] =
⎡⎣ 1 2 31 2 1
1 0 1
⎤⎦ .
2. Sejam v e w vetores do R2. Sabendo-se que det[v,w] = −2, calcule:
(a) det[2v,w].
(b) det[−v,−4w].
(c) det[w, v].
(d) det[v + w,w].
3. Dados os vetores v1 = (1,−2) e v2 = (4, 5) em R2. Verifique as igualdades.
(a) det[e1, e2] = 1. (b) det[v1, v2] = 13. (c) det[vi, vi] = 0.
4. Considere o vetor w = (−3, 1) em R2. Verifique as igualdades onde os vetores
v1 e v2 sa˜o aqueles do item anterior.
(a) det[v1, v2 + 3w] = det[v1, v2] + 3det[v1, w].
(b) det[v1 − 2w, v2] = det[v1, v2]− 2 det[w, v2].
5. Dados os vetores v1 = (0,−2, 1) e v2 = (1, 1, 0) e v3 = (3, 1, 1) em R3. Verifique
as igualdades.(a) det[e1, e2, e3] = 1.
(b) det[v1, v2, v3] = 1.
(c) det[v1, v1, v3] = 0
(d) det[v1, v2, v2] = 0.
6. Considere o vetor w = (1, 1, 2) em R3. Verifique as igualdades calculando os
determinantes. Os vetores v1, v2 e v3 sa˜o aqueles do item anterior.
(a) det[v1, 3v2 − w, v3] = 3det[v1, v2, v3]− det[v1, w, v3].
(b) det[v1, v2, v3 + 2w] = det[v1, v2, v3] + 2det[v1, v2, w].
30 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
7. Sejam [A] e [B] matrizes n×n. Responda se a afirmac¸a˜o e´ falsa ou verdadeira.
(a) det ([A] + [B]) = det[A] + det[B].
(b) det[λA] = λdet[A].
(c) det ([A]n) = (det [A])n, para todo inteiro positivo n.
8. Verifique a identidade
det
⎡⎣ 1 1 1a b c
a2 b2 c2
⎤⎦ = (b− a)(c− a)(c − b).
2.2 Matrizes invert´ıveis
Uma matriz quadrada [A] n× n e´ invert´ıvel1 se, e somente se, existe [B], uma
matriz quadrada n× n, tal que
[A] [B] = [Id] = [B] [A].
Recordamos que [Id] e´ a matriz identidade n× n. Caso exista uma tal matriz
[B], chamamos [B] de inversa de [A] e denotamos a inversa de por [A]−1.
Por exemplo, a matriz 2× 2
[A] =
[
1 1
1 2
]
e´ invert´ıvel, pois se
[B] =
[
2 −1
−1 1
]
enta˜o verifica-se que[
2 1
1 1
] [
1 −1
−1 2
]
=
[
1 0
0 1
]
=
[
1 −1
−1 2
] [
2 1
1 1
]
,
isto e´,
[A] [B] = [Id] = [B] [A].
Quando [A] e´ invert´ıvel, diz-se que [B] e´ a inversa de [A] e, por convenieˆncia,
denota-se [B] = [A]−1.
Posta a definic¸a˜o de matriz invert´ıvel, devemos responder treˆs perguntas.
1Tambe´m chamada de matriz regular por alguns autores.
2.2. MATRIZES INVERTI´VEIS 31
• Toda matriz quadrada tem inversa?
• Existe algum crite´rio para determinar quando uma matriz tem inversa?
• Existe algum algoritmo para calcular a inversa de uma matriz?
Todas elas sera˜o respondidas simultaneamente.
Determinar se uma matriz quadrada 2×2 e´ invert´ıvel e´ simples e o algoritmo
envolvido e´ de fa´cil memorizac¸a˜o. Nele, percebe-se claramente a necessidade
do determinante ser diferente de zero. Consideremos a matriz
[A] =
[
a b
c d
]
.
Chamamos de matriz adjunta cla´ssica de [A], a` matriz 2×2 denotada e definida
por
ad([A]) =
[
d −b
−c a
]
.
Efetuemos a multiplicac¸a˜o das duas matrizes
[A] · ad([A]) =
[
ad− bc 0
0 ad− bc
]
= det[A] [Id].
Essas contas demonstram a afirmac¸a˜o: uma matriz 2× 2, [A], e´ invert´ıvel se,
e somente se, det[A] �= 0, e mais, se ela e´ invert´ıvel enta˜o
[A]−1 =
1
det[A]
ad([A]) e det[A]−1 = (det[A])−1.
Precisamos generalizar tal afirmac¸a˜o para matrizes n × n. Iniciaremos
definindo o conceito de adjunta cla´ssica de uma matriz [A] = [aij ]. Recordamos
que ja´ tomamos conhecimento do conceito matriz reduzida na pa´gina 25, ao
definirmos determinante de matrizes n × n. Denotamos uma ij-e´sima matriz
reduzida por [A]
bij .
O ij-e´simo cofator da matriz [A] = [aij ] e´ o escalar
cij = (−1)i+j det[A]bij
e a adjunta cla´ssica de [A] e´ a matriz transposta da matriz dos cofatores,
ad([A]) = [cij ]
t.
32 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Exemplo 2.2.1 Ilustremos o algoritmo para inverso˜es de matrizes com a ma-
triz
[A] =
⎡⎣ 1 2 01 4 3
−1 0 2
⎤⎦ .
Esta matriz da´ origem a nove matrizes reduzidas, uma para cada ı´ndice ij.
Explicitemos quatro delas:
[A]
c11 =
[
4 3
0 2
]
;
[A]
c32 =
[
1 0
1 3
]
;
[A]
c21 =
[
2 0
0 2
]
;
[A]
c13 =
[
1 4
−1 0
]
.
Para calcular a adjunta cla´ssica da matriz [A], calculamos a transposta da
matriz dos cofatores,
ad([A]) =
⎡⎣ det[A]c11 − det[A]c12 det[A]c13− det[A]
c21 det[A]c22 − det[A]c23
det[A]
c31 − det[A]c32 det[A]c33
⎤⎦t =
⎡⎣ 8 −4 6−5 2 −3
4 −2 2
⎤⎦ .
Observe que det[A] = −2. Calculando o produto matricial ad([A]) [A], obtemos⎡⎣ 1 2 01 4 3
−1 0 2
⎤⎦ ⎡⎣ 8 −4 6−5 2 −3
4 −2 2
⎤⎦ =
⎡⎣ −2 0 00 −2 0
0 0 −2
⎤⎦ ,
ou seja, ad([A]) [A] = det[A] [Id]. Portanto, se
[B] =
1
det[A]
ad [A],
enta˜o [A] [B] = [Id]. Do mesmo modo verifica-se que [B] [A] = [Id]. Isso
significa que [A] e´ invert´ıvel e sua inversa e´ [A]−1 = 1
det[A]
ad [A]. �
A proposic¸a˜o a seguir corresponde a` Proposic¸a˜o 13.5.1 do Cap´ıtulo 13,
(pg.313).
Proposic¸a˜o 2.2.1 Seja [A] uma matriz n× n. Valem as igualdades
ad([A]) [A] = det[A][Id] = [A] ad([A]).
2.2. MATRIZES INVERTI´VEIS 33
O pro´ximo corola´rio responde a`s treˆs perguntas feitas na pa´gina 30.
Corola´rio 2.2.1 As seguintes afirmac¸o˜es sobre matrizes n × n sa˜o equiva-
lentes.
1. [A] e´ uma matriz invert´ıvel.
2. det[A] �= 0.
Em particular, se [A] e´ uma matriz invert´ıvel enta˜o
det[A]−1 =
1
det[A]
.
Prova (⇒) Suponha que [A] seja uma matriz invert´ıvel. Pela Proposic¸a˜o 2.1.3,
(pg.28), temos
1 = det[Id] = det
(
[A] [A]−1
)
= det[A] det[A]−1.
Como o produto de det[A] e det[A]−1 e´ igual a 1, nenhum desses determinantes
pode ser zero. Isso mostra o item 2 e que det[A]−1 = 1
det[A]
.
(⇐) Suponha que det[A] �= 0. Pela Proposic¸a˜o 2.2.1, a inversa de A e´ a
matriz [A]−1 = 1
det[A]
ad([A]). �
Finalizaremos essa sec¸a˜o com um corola´rio que evita ca´lculos. Quando uma
matriz quadrada tem uma inversa a` direita, enta˜o ela e´ a inversa de [A].
Corola´rio 2.2.2 Seja [A] uma matriz invert´ıvel n × n. Se [B] e´ uma matriz
n×n tal que [B] [A] = [Id] enta˜o [A] [B] = [Id], isto e´, matriz [A] e´ invert´ıvel
e [B] = [A]−1.
Prova As igualdades
1 = det[Id] = det([B] [A]) = det[B] det[A]
implicam que det[B] �= 0, portanto, [B] e´ invert´ıvel. Calculemos,
[A] [B] = [B]−1 [B][A]︸ ︷︷ ︸
[Id]
[B] = [B] [B]−1 = [Id].
Sendo assim, [A] e´ invert´ıvel e [B] = [A]−1. �
34 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Exerc´ıcios propostos 2.2.1
1. Se ad− bc �= 0 mostre que
[A] =
[
a b
c d
]
e´ invert´ıvel e [A]−1 =
1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
.
2. Calcule a inversa da matriz, se existir.
a) [A] =
[
1 1
1 2
]
. b) [B] =
⎡⎣ 2 10 30 1 3
0 0 2
⎤⎦ . c) [C] =
⎡⎣ 1 −1 −14 2 8
5 1 7
⎤⎦ .
3. Determine det[A], ad([A]) e [A]−1 em que
[A] =
⎡⎣ 0 0 10 2 0
3 0 0
⎤⎦ .
4. Calcule uma fo´rmula para a poteˆncia k das matrizes e verifique que todas sa˜o
invert´ıveis. Calcule a inversa da poteˆncia k.
a) [A] =
[
1 1
0 1
]
. b) [B] =
⎡⎣ 1 1 10 1 1
0 0 1
⎤⎦. c) [C] = [ cos t −sent
sent cos t
]
.
5. Prove que o determinante e´ invariante por conjugac¸a˜o de matrizes, ou seja,
se [R] e [N ] sa˜o matrizes quadradas n× n e [R] e´ invert´ıvel, enta˜o
det ([R]−1[N ][R]) = det [N ].
2.3 Regra de Cramer (prova)
Faremos agora a prova do Teorema 1.4.1, (pg.16). Inicialmente recapitulemos
a construc¸a˜o apresentada anteriormente.
Fixemos o subconjunto de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn.
Dado w = (w1, w2, ..., wn), um vetor qualquer de R
n, desejamos saber se w e´
uma combinac¸a˜o linear de vetores de β, isto e´, se existem escalares a1, a2, ..., an
tais que
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn.
2.3. REGRA DE CRAMER (PROVA) 35
Como vimos, essa pergunta da´ origem ao sistema linear de n equac¸o˜es com n
inco´gnitas, ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
v11a1 + v12a2 + · · ·+ v1nan = w1
v21a1 + v22a2 + · · ·+ v2nan = w2
· · ·
vn1a1 + vn2a2 + · · ·+ vnnan = wn
,
onde os coeficientes sa˜o as coordenadas dos vetores colunas vj’s,
vj = (v1j , v2j , ..., vnj).
Em termos matriciais. temos⎡⎢⎢⎣
v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vn1 vn2 ... vnn
⎤⎥⎥⎦
⎡⎢⎢⎣
a1
a2
:
an
⎤⎥⎥⎦ =
⎡⎢⎢⎣
w1
w2
:
wn
⎤⎥⎥⎦ .
Em resumo, escrevemos [A][a] = [w], onde:
1. [A] = [v1, v2, ..., vn] e vj = (v1j , v2j, ..., vnj);
2. a = (a1, a2, ..., an);
3. w = (w1, w2, ..., wn).
Se det[A] �= 0, enta˜o [A] e´ uma matriz invert´ıvel. Logo, podemos determi-
nar os valores ai’s procurados por [a] = [A]
−1[w]. Sendo assim, o vetor w pode
ser escrito como uma combinac¸a˜o linear do vetores de β = {v1, v2, ..., vn},
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+anvn.
Portanto, β e´ uma base do Rn.
Calculemos o determinante da matriz obtida por substituic¸a˜o do j0-e´simo
vetor coluna de [A] pelo vetor w,
det [v1, ..., vj0−1, w, vj0+1, ..., vn] = det
[
v1, ..., vj0−1,
∑
k
akvk, vj0+1, ..., vn
]
=
∑
k
ak det [v1, ..., vj0−1, vk, vj0+1, ..., vn] .
36 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Quando k �= j0 temos det [v1, ..., vj0−1, vk, vj0+1, ..., vn] = 0, pois duas colunas
sa˜o iguais. Por outro lado, quando k = j0 temos a igualdade,
det [v1, ..., vj0−1, vj0 , vj0+1, ..., vn] = det[A].
Retornando com estes dados, obtemos
det [v1, ..., vj0−1, w, vj0+1, ..., vn] = aj0 det[A].
Sendo assim, como, por hipo´tese, det[A] �= 0, obtemos
aj0 =
det [v1, ..., vj0−1, w, vj0+1, ..., vn]
det[A]
.
Isso termina a demonstrac¸a˜o da Regra de Cramer.
Em ca´lculos, muitas vezes utilizaremos a seguinte versa˜o para a regra de
Cramer. A demonstrac¸a˜o e´ semelhante a essa acima.
Proposic¸a˜o 2.3.1 Dado o sistema linear n× n⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
v11a1 + v12a2 + · · ·+ v1nan = w1
v21a1 + v22a2 + · · ·+ v2nan = w2
· · ·
vn1a1 + vn2a2 + · · ·+ vnnan = wn
.
Se a matriz [A] = [v1, v2, ..., vn] dos coeficientes tem determinante diferente de
zero, enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e determinado e
aj =
det [v1, ..., vj−1, w, vj+1, ..., vn]
det[A]
,
para todo i = 1, ..., n, onde w = (w1, w2, ..., wn)
Exerc´ıcios propostos 2.3.1
1. Considere o sistema linear 3× 3,⎧⎨⎩
2a1 + 2a2 + a3 = 5
6a1 − a2 + 2a3 = 1
2a1 − 4a2 = 0
.
2.4. COMBINAC¸A˜O LINEAR E DETERMINANTE 37
(a) Relacione as soluc¸o˜es do sistema com uma combinac¸a˜o linear.
(b) Resolva o sistema.
2. Considere o sistema linear 2× 2,{
2a1 + 9a2 = 1
a1 + 5a2 = −1 .
(a) Relacione as soluc¸o˜es do sistema com uma combinac¸a˜o linear.
(b) Resolva o sistema.
2.4 Combinac¸a˜o linear e determinante
Um teorema central da teoria estabelece uma relac¸a˜o entre o determinante ser
igual a zero e combinac¸o˜es lineares de vetores colunas.
Teorema 2.4.1 Seja [A] = [v1, v2, ..., vn] uma matriz quadrada n × n. As
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equ¨ivalentes.
1. det[A] = 0.
2. Existe um vetor coluna que e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores colu-
nas.
Prova (⇐) Para facilitar a leitura, vamos supor que
vn = a1v1 + a2v2 + · · ·+ an−1vn−1.
Calculemos,
det[v1, ..., vn−1, vn] = det[v1, ..., vn−1,Σn−1i=1 aivi]
= Σn−1i=1 ai det[v1, ..., vn−1, vi]
= 0.
A primeira igualdade e´ justificada pela linearidade do determinante. Cada
parcela do somato´rio e´ igual zero, pois existem dois vetores colunas iguais.
(⇒) Seja [A] uma matriz n×n. Desejamos mostrar que se det[A] = 0 enta˜o
um vetor coluna e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros vetores colunas de [A].
A demonstrac¸a˜o sera´ por induc¸a˜o em n.
38 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Dada a matriz 2× 2
[A] =
[
a b
c d
]
com ad− bc = 0.
Se a = 0 = b a conclusa˜o que desejamos e´ imediata e sera´ deixada como
exerc´ıcio. Sem perda de generalidade, podemos supor que a �= 0, pois permu-
tando as colunas o determinante continua igual a zero. Enta˜o
[A] =
[
a b
c bc
a
]
=
[
a b
a
a
c b
a
c
]
.
Logo, o segundo vetor coluna e´ um mu´ltiplo do primeiro vetor coluna por b
a
.
Vamos supor que a afirmac¸a˜o seja verdadeira para matrizes n× n.
Seja [A] = [v1, v2, ..., vn, vn+1] uma matriz (n+1)× (n+1) com det[A] = 0.
Escrevamos a matriz [A],
[A] =
⎡⎢⎢⎣
v1,1 v1,2 · · · v1,io v1,io+1 · · · v1,n+1
v2,1 v2,2 · · · v2,io v2,io+1 · · · v2,n+1
· · · · · · · · · · ·
vn+1,1 vn+1,2 · · · vn+1,io vn+1,io+1 · · · vn+1,n+1
⎤⎥⎥⎦ .
1o caso A primeira linha da matriz e´ identicamente nula.
Sendo assim, a matriz reduzida [A]
c11 e´ uma matriz n × n com a seguinte
forma,
[A]
c11 = [v̂2, v̂3, ..., v̂n+1] =
⎡⎣ v2,2 · v2,io v2,io+1 · · · v2,n+1· · · · · · · ·
vn+1,2 · vn+1,io vn+1,io+1 · · · vn+1,n+1
⎤⎦ .
Se det[A]
c11 = 0, por hipo´tese de induc¸a˜o, algum vetor coluna v̂io , 2 ≤ io ≤ n+1,
e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros vetores colunas,
v̂io = a2v̂2 + · · ·+ aio−1v̂io−1 + aio+1v̂io+1 + · · ·+ an+1v̂n+1.
Observe que o vetor vio tambe´m e´ escrito como
vio = a2v2 + · · ·+ aio−1vio−1 + aio+1vio+1 + · · ·+ an+1vn+1,
2.4. COMBINAC¸A˜O LINEAR E DETERMINANTE 39
desde que a primeira coordenada de cada vetor vj e´ zero e as outras coor-
denadas sa˜o iguais a`s coordenadas de v̂j . Logo, nesse caso, fica mostrado a
afirmac¸a˜o.
Se det[A]
c11 �= 0, a regra de Cramer garante que os vetores v̂i’s, 2 ≤ i ≤ n+1,
e´ uma base do Rn, portanto, o vetor v̂1 e´ uma combinac¸a˜o linear do tipo
v̂1 = a2v̂2 + a3v̂3 + · · ·+ an+1v̂n+1.
Pelos mesmos motivos, o vetor v1 tambe´m e´ expresso como
v1 = a2v2 + a3v3 + · · ·+ an+1vn+1.
Isso encerra o primeiro caso.
2o caso A primeira linha da matriz [A] e´ nula, exceto a entrada v1,1.
Escrevamos,
[A] =
⎡⎢⎢⎣
v1,1 0 · 0 0 · · · 0
v2,1 v2,2 · v2,io v2,io+1 · · · v2,n+1
· · · · · · · · ·
vn+1,1 vn+1,2 · vn+1,io vn+1,io+1 · · · vn+1,n+1
⎤⎥⎥⎦ .
Calculando o determinante pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira
linha obtemos
0 = det[A] = v1,1 det[A]c11.
Como, v1,1 �= 0, conclu´ımos que det[A]bii = 0. Com os mesmos argumentos
utilizados no 1o caso, garantimos que algum vetor coluna v̂io , 2 ≤ io ≤ n + 1,
de [A]
bii e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros vetores colunas,
v̂io = a2v̂2 + · · ·+ aio−1v̂io−1 + aio+1v̂io+1 + · · ·+ an+1v̂n+1
e que o vetor vio tambe´m e´ escrito como
vio = a2v2 + · · ·+ aio−1vio−1 + aio+1vio+1 + · · ·+ an+1vn+1,
3o caso Existe um vetor coluna vi cuja primeira coordenada na˜o e´ zero.
A menos de uma permutac¸a˜o dos vetores colunas, que na˜o altera o valor
do determinante, podemos assumir que a primeira coordenada v1,1 do vetor
coluna v1 na˜o e´ nula.
40 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Consideremos a matriz [B] definida por
[B] =
[
v1, v2 − v1,2
v1,1
v1, ..., vn+1 − vn+1,2
v1,1
v1
]
.
Observamos que det [B] = det [A] = 0, pois somamos a cada vetor coluna um
mu´ltiplo do primeiro vetor coluna. A matriz [B] tem a seguinte forma,
[B] =
⎡⎢⎢⎣
v1,1 0 · · · 0 0 · · · 0
v2,1 u2,2 · · · u2,io u2,io+1 · · · u2,n+1
· · · · · · · · · · ·
vn+1,1 un+1,2 · · · un+1,io un+1,io+1 · · · un+1,n+1
⎤⎥⎥⎦ .
onde ui = vi − vi,2v1,1 v1 para 2 ≤ i ≤ n + 1.
Pelo 2o caso, sabemos que algum vetor coluna uio e´ combinac¸a˜o dos outros
vetores colunas ui’s,
uio = a2u2 + · · ·+ aio−1uio−1 + aio+1uio+1 + · · ·+ an+1un+1,
Substituindo, obtemos
vio =
(
vio,2
v1,1
−
∑
i�=io
ai
vi,2
v1,1
)
v1 +
∑
i/∈{1,io}
aivi.
Isso encerra a demonstrac¸a˜o do teorema. �
Exerc´ıcio 2.4.1 Mostre que cada matriz tem determinante nulo e determine
um vetor coluna que seja combinac¸a˜o linear dos outros vetores colunas.
a)
[
1 3
2 6
]
. b)
⎡⎣ 2 1 3−1 3 2
1 3 4
⎤⎦ . c)
⎡⎣ 1 0 21 −1 3
3 −2 8
⎤⎦ .
Determine tambe´m um vetor linha que seja combinac¸a˜o linear dos outros ve-
tores linhas. �
Utilize a Proposic¸a˜o 2.1.2, (pg.28), e a definic¸a˜o de matriz transposta para
mostrar o
2.5. COMBINAC¸A˜O LINEAR E SISTEMA LINEAR 41
Corola´rio 2.4.1 Seja [A] = [v1, v2, ..., vn] uma matriz quadrada n × n. As
seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equ¨ivalentes.
1. det[A] = 0.
2. Existe um vetor linha que e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores linhas.
2.5 Combinac¸a˜o linear e sistema linear
Um sistema de equac¸o˜es lineares, ou mais simplesmente, sistema linear, e´ clas-
sificado de acordo com o nu´mero de soluc¸o˜es que admite.⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
poss´ıvel
⎧⎨⎩
determinado (uma u´nica soluc¸a˜o)
indeterminado (infinitas soluc¸o˜es)
imposs´ıvel (na˜o tem soluc¸a˜o)
.
No´s relacionaremos o estudo de sistemas lineares com o estudo de com-
binac¸o˜es linear para responder a seguinte pergunta. Fixados os vetores v1,
v2,...,vk em R
n.
• Um dado vetor w ∈ Rn e´ combinac¸a˜o linear dos vetores v1,v2,...,vk?
Dito de outro modo.
• Existem escalares a1, a2,...,ak tais que w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk?
Esses escalares procurados, isto e´, os coeficientes da combinac¸a˜o linear procu-
rada, sera˜o as inco´gnitas do sistema que surge dessa pergunta. Da mesma
forma, a resposta sobre a combinac¸a˜o linear devera´ ser um dos treˆs tipos.⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
existe
⎧⎨⎩
e´ u´nica (uma u´nica combinac¸a˜o)
na˜o e´ u´nica (infinitas combinac¸o˜es)
na˜o existe
.
Cada caso tera´ seu estudo dependendendo de um espec´ıfico determinante ser
igual a zero, ou na˜o.
42 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Exemplo 2.5.1 Considere o sistema 3 × 3 escrito na forma usual (ou matri-
cial),⎧⎨⎩
a1 + a2 = 1
a1 + a3 = 2
a2 + a3 = 0
⎛⎝ou
⎡⎣ 1 1 01 0 1
0 1 1
⎤⎦⎡⎣ a1a2
a3
⎤⎦ =
⎡⎣ 12
0
⎤⎦⎞⎠ .
A primeira questa˜o e´ sobre o significado da expressa˜o ”resolver o sistema”. A
questa˜o sera´ colocada em termos de combinac¸a˜o linear, ponto de vista que nos
interessa. Consideramos o vetor w = (1, 2, 0) ∈ R3, cujas coordenadas sa˜o os
termos independentes do sistema, e procuramos determinar os escalares a1, a2
e a3 tais que w e´ a combinac¸a˜o linear com esses coeficientes,
w = a1v1 + a2v2 + a3v3,
onde os vetores v′is sa˜o os vetores colunas da matriz dos coeficientes, ou seja,
v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 0).
Como det[v1, v2, v3] = −1 �= 0 o conjunto ordenado β = {v1, v2, v3} e´ uma
base de R3 e, pela regra de Cramer, os valores procurados sa˜o a1 = 3, a2 = −1 e
a3 = 1. Numa linguagem mais apropriada, o sistema e´ poss´ıvel e determinado,
ou seja, a combinac¸a˜o linear existe e e´ u´nica. �
O exemplo acima e´ bastante ilustrativo. Um sistema de equac¸o˜es lineares
quadrado n equac¸o˜es e n inco´gnitas cuja matriz dos coeficientes tem determi-
nante diferente de zero, pela regra de Cramer, e´ poss´ıvel e determinado.
Exemplo 2.5.2 Considere o sistema 2 × 3 escrito na forma usual (ou matri-
cial),
{
a1 + 2a2 = 2
a1 + 2a2 + a3 = −1
⎛⎝ou [ 1 2 0
1 2 1
]⎡⎣ a1a2
a3
⎤⎦ = [ 2−1
]
.
⎞⎠ .
A questa˜o sobre o termo ”resolver o sistema” e´ ideˆntica. Dado o vetor
w = (2,−1) ∈ R2 desejamos determinar escalares a1, a2 e a3 tais que w e´ uma
combinac¸a˜o linear com esses coeficientes,
w = a1v1 + a2v2 + a3v3,
2.5. COMBINAC¸A˜O LINEAR E SISTEMA LINEAR 43
onde os vetores v′is sa˜o os vetores colunas da matriz dos coeficientes,
v1 = (1, 1), v2 = (2, 2) e v3 = (0, 1).
Na˜o podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer, pois a matriz
principal [A] = [v1, v2, v3] na˜o e´ quadrada e determinante foi definido somente
para matrizes quadradas. E´ necessa´rio uma adaptac¸a˜o. Escolhemos a maior
submatriz quadrada de [A] com determinante diferente de zero e resolvemos
o subsistema correspondente. Expliquemos melhor o procedimento. Existem
treˆs submatrizes quadradas:
[v1, v2] =
[
1 2
1 2
]
; [v1, v3] =
[
1 0
1 1
]
; [v2, v3] =
[
2 0
2 1
]
.
Somente as duas u´ltimas matrizes teˆm determinante diferente de zero. Re-
solvamos o subsistema correspondene a` segunda submatriz cujo determinante
e´ det[v1, v3] = 1,{
a1 + = 2− 2a2
a1 + a3 = −1− 2a2
(
ou
[
1 0
1 1
] [
a1
a3
]
=
[
2− 2a2
−1− 2a2
])
.
Para calcular os coeficientes com o uso da regra de Cramer, precisaremos das
matrizes auxiliares,
[w − a2v2, v3] =
[
2− 2a2 0
−1− 2a2 1
]
, [v1, w − a2v2] =
[
1 2− 2a2
1 −1− 2a2
]
,
e de seus determinantes,
det[w − a2v2, v3] = 2− 2a2, det[v1, w − a2v2] = −3.
Agora, calculando os coeficientes pela regra de Cramer, encontramos
a1 =
det[w − a2v2, v3]
det[v1, v3]
= 2− 2a2, a3 = det[v1, w − a2v2]
det[v1, v3]
= −3.
Portanto,
w = (2− 2a2)v1 + a2v2 − 3v3,
isto e´, na˜o existe unicidade de combinac¸a˜o linear, para cada escolha de um
valor para a2, a combinac¸a˜o linear para expressar w e´ diferente:
44 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
◦ w = 2v1+0v2−3v3,
◦ w = 0v1+1v2−3v3,
◦ w = 3v1−1v2−3v3,
se a2 = 0;
se a2 = 1;
se a2 = −1.
Na linguagem utilizada no Ensino Me´dio, dizemos que o sistema e´ poss´ıvel
e indeterminado (infinitas soluc¸o˜es). �
Exemplo 2.5.3 Estudemos um caso no qual o nu´mero de equac¸o˜es e´ maior
que o nu´mero de inco´gnitas. Dado o sistema linear 3× 2,⎧⎨⎩
a1 + 2a2 = 1
a1 + a2 = −1
2a1 − 3a2 = −2
⎛⎝ou
⎡⎣ 1 21 1
2 −3
⎤⎦[ a1
a2
]
=
⎡⎣ 1−1
−2
⎤⎦⎞⎠ .
Em liguagem vetorial, desejamos saber se existem escalares a1 e a2 que
sejam os coeficientes de uma combinac¸a˜o linear dos vetores colunas para ex-
pressar o vetor w = (1,−1, 2) ∈ R3, w = a1v1 + a2v2, onde v1 = (1, 1, 2) e
v2 = (2, 1,−3).
Na˜o podemos utilizar imediatamente a regra de Cramer, pois a matriz prin-
cipal [A] = [v1, v2] na˜o e´ quadrada. Procedemos da mesma forma, escolhemos
a maior submatriz quadrada de [A] com determinante diferente de zero e re-
solvemos o subsistema correspondente. Existem teˆs submatrizes quadradas
2× 2, a saber,
[A]1 =
[
1 2
1 1
]
, [A]2 =
[
1 2
2 −3
]
, [A]3 =
[
1 1
2 −3
]
,
todas elas com determinantes diferentes de zero. Resolvamos o subsistema
correspondente a` primeira submatriz cujo determinante e´ det[A]1 = −1, (a
u´ltima equac¸a˜o esta´, por enquanto, suprimida){
a1 + 2a2 = 1
a1 + a2 = −1
(
ou
[
1 2
1 1
] [
a1
a2
]
=
[
1
−1
])
.
Para calcular os coeficientes pela regra de Cramer precisaremos das matrizes
auxiliares e de seus determinantes,
det
[
1 2
−1 1
]
= 3, det
[
1 1
1 −1
]
= −2,
2.5. COMBINAC¸A˜O LINEAR E SISTEMA LINEAR 45
obtendo a1 = −3 e a2 = 2. Ainda resta saber se esses valores encontrados
satisfazem a equac¸a˜o que foi suprimida do sistema. Obviamente na˜o satisfaz,
pois com uma substituic¸a˜o obtemos o absurdo 0 = 2. Em resumo, na˜o podemos
expressar o vetor w = (1,−1, 2) por uma combinac¸a˜o linear de v1 = (1, 1, 2) e
v = (2, 1,−3).
Agora, observe que ao perguntarmos se u = (1,−1, 0) e´ uma combinac¸a˜o
linear dos vetores v1 e v2 a resposta e´ sim. O sistema linear que devemos
estudar e´⎧⎨⎩
a1 + 2a2 = 1
a1 + a2 = −1
2a1 − 3a2 = 0
⎛⎝ou
⎡⎣ 1 21 1
2 −3
⎤⎦[ a1
a2
]
=
⎡⎣ 1−1
0
⎤⎦⎞⎠ .
A resoluc¸a˜o e´ ideˆntica a`quela feita anteriormente, encontrando os valores a1 =
1 e a2 =
2
3
. Ao substituirmos na u´ltima equac¸a˜o na˜o obtemos contradic¸a˜o
alguma, 0 = 0. Logo, u = a1v1 + a2v2 e essa combinac¸a˜o linear e´ u´nica. �
Exemplo 2.5.4 Examinemos sistemas lineares n × n cujo determinante da
matriz dos coeficientes e´ zero, por exemplo,⎧⎨⎩
a1 + a2 = 1
a1 + a3 = 2
2a1 + a2 + a3 = −4
⎛⎝ou
⎡⎣ 1 1 01 0 1
2 1 1
⎤⎦⎡⎣ a1a2
a3
⎤⎦ =
⎡⎣ 12
−4
⎤⎦⎞⎠ .
Aqui, temos det[v1, v2, v3] = 0. Tambe´m na˜o podemos utilizar regra de
Cramer, pois a divisa˜o por zero na˜o esta´ definida. Como sabemos, deve existir
um vetor linha da matriz que e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores linhas,
Corola´rio 2.4.1, (pg.41). Nesse caso, a terceira linha e´ uma soma das duas
primeiras. Resolvemos o subsistema obtido por supressa˜o da terceira equac¸a˜o,
{
a1 + a2 = 1
a1 + a3 = 2
⎛⎝ou [ 1 1 0
1 0 1
]⎡⎣ a1a2
a3
⎤⎦ = [ 1
2
]⎞⎠
Tendo em ma˜os a soluc¸a˜o do subsistema, verificamos se ela satisfaz a equac¸a˜o
eliminada. �
Um caso particular e importante, sa˜o os sistemas lineares homogeˆneos.
46 CAPI´TULO 2. COMBINAC¸A˜O LINEAR
Um sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneas sempre tem soluc¸a˜o!
A justificativa para essa afirmac¸a˜o e´ simples. Um sistema linear homogeˆneo
tem origem na pergunta: dados os vetores v1, v2, ..., vk ∈ Rn existem escalares
a1, a2, ..., ak tais que o = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk? E´ claro que a resposta e´
sim, basta tomar a1 = a2 = · · · = ak = 0. Resta estudar se essa e´, ou na˜o e´, a
u´nica soluc¸a˜o, ou combinac¸a˜o linear para o vetor nulo.
Exerc´ıcios propostos 2.5.1
1. Resolva os sistemas em duas inco´gnitas, coloque o problema em