13 M.Q.O Formalismo da M.Q.

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6- 1 
 
6 O Formalismo da Mecânica Quântica, 
Parte III; Medições na Mecânica Quântica. 
 
 
6.3.1 A matriz representativa de um operador 
 
Passemos,agora, ao problema de encontrar a matriz representativa de um 
operador A. 
Suponhamos conhecidos a função ψ(x), o operador A e um sistema de eixos ξ1, 
ξ2, ξ3, ... no espaço de Hilbert sob consideração. O vetor Iψ(x)>, ou 
simplesmente ψ(x), neste parágrafo não usamos, normalmente, a notação de 
Dirac, poderá ser descomposto em suas projeções sobre estes eixos, ou seja 
, onde c∑∞
=
ξ=ψ
1n
nnc)x( n = <ξnIψ>, e o problema que nos propomos é o de 
encontrar a expansão do vetor φ(x) no processo de aplicar o operador A sobre 
ψ, ou seja, estamos buscando os coeficientes dn na relação 
φ(x) = A ψ(x) = ∑n=1,∞ dn ξn (1) 
Efetivamente, achados estes coeficientes dn, ficará completamente definida a 
função φ(x) e, em conseqüência, o efeito do operador A ao ser aplicado à 
função ψ(x). 
O efeito este, no espaço Hilbert, é o de transformar o vetor ψ no vetor φ. 
Sabemos que, em geral, um operador A transforma um vetor do espaço Hilbert 
num outro vetor, distinto em magnitude e direção. 
(Segundo Dirac, o conjunto {ci} é o representante da função ψ. Se as ξi são 
autofunções do operador A, então os números ci definem o estado do sistema, 
representado pela função ψ, na "representação A".) 
Para resolver o problema posto de encontrar o vetor φ apliquemos A aos 
membros de ψ = ∑ cmξm: 
6- 2 
 
φ = Aψ = A ∑cmξm = ∑ cmAξm := ∑dm ξm (2) 
com cm = <ξmIψ> , ou (ξm,ψ), e dm = <ξmIφ> ou (ξm,φ). Os dm ficam para ser 
determinados, veja isso no que segue. 
Tomamos em conta que A (c f(x)) = c (A f(x)), quaisquer que sejam A e f , 
contanto que c seja uma constante. 
Para achar φ(x) precisamos, pois, previamente encontrar o efeito que tem o 
operador A sobre as funções ξm. 
Ao aplicar A sobre ξm obteremos uma nova função que poderemos, a sua vez, 
projetar sobre os eixos. Suponhamos que ao fazer isso obteremos a expansão 
A ξm = ∑n Anmξn = A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + ... (3) 
Substituindo isso na expansão (2), obteremos 
φ = ∑m cm (A1 m ξ1 + A2 m ξ2 + ... ) = ∑m cm A1 m ξ1 + ∑m cm A1 m ξ1 + ∑m cm A2 m ξ2 
+ .... = d1 ξ1 + d2 ξ2 + ... := ∑m dm ξm (4) 
sendo dn = ∑m,∞ cm Anm (5) 
Uma vez determinados os coeficientes An m, podemos calcular, por meio de (5), 
todos os componentes dn do vetor φ. 
Estes componentes podem ser distribuídos em forma matricial, formando a 
matriz representativa do operador A ( a forma desta matriz depende da base). 
]A[
....
.AAA
.AAA
.3AAA
]A[
333231
232221
1211
nm =
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
= (6) 
Usamos colchetes para as matrizes infinitas e parênteses para as finitas. 
A matriz (6) representa ao operador A, já que determina, sem ambigüidade 
alguma, o vetor (ou a função) φ que se obtém ao aplicar A sobre uma função ψ 
dada. 
O vetor φ, definido por seus componentes dn = ∑m,∞ cm Anm escreve-se em 
notação matricial como 
6- 3 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
.
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
c
c
c
....
.AAA
.AAA
.AAA
.
d
d
d
 (6) 
 
Na Mecânica, parágrafo 2.2.3, Mech_2_2, falamos sobre a representação de 
matrizes com MUPAD. 
d2 é , por exemplo, o produto da segunda linha, [A21, A22, A23, ...], com a coluna 
[ci], ou seja d2 = A21c1 + A22c2 + A23c3 + ... = ∑m cm A2m
Para determinar os coeficientes Anm basta observar em A ξm = ∑n Anmξn que 
Anm não é outra coisa que a projeção do vetor Aξm sobre o vetor ξn. Para obter 
Anm nos bastará, então, multiplicar escalarmente Aξm e ξn. Teremos, portanto, 
Anm = (ξn,Aξm) (7) 
Lembrando que (f,g) = ∫f*(x)g(x) dv, resulta 
Anm = (ξn,Aξm) = ∫ξ*nAξm dv := <nIAIm> (8) 
Conhecendo, assim, os coeficientes Anm da matriz representativa do operador 
A, teremos imediatamente os componentes dn do vetor φ na Eq. 4. 
O operador adjunto foi definido em 6.2.2. Falemos, agora, da matriz adjunta. 
Se A+ é o adjunto do operador A, resulta que para quaisquer vetores ψ, φ vale 
(φ,Aψ) = (A+φ,ψ) (9) 
Para dois vetores ξm, ξn do sistema {ξi} de eixos temos 
(ξn,Aξm) = (A+ξn,ξm) = (ξm,A+ξn)* (10) 
Daí vemos que Anm = (A+mn)* ou A*nm = A+mn ou A+nm = A*mn. Ou seja: 
Obtêm-se a matriz adjunta trocando linhas e colunas (matriz transposta) 
e tomando os complexos conjugados dos elementos da matrix 
transposta. 
Se A é um operador hermiteano o autoadjunto, resulta Anm = A*mn. 
6- 4 
 
Exemplo: 
A seguinte matriz é hermiteana: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
+
=
93iiba
3i6i
ibai3
A , 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−−
=
93iiba
3i6i
ibai3
AT 
Sendo A+ = (AT)*, obtemos 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
+
=+
93iiba
3i6i
ibai3
A 
ou seja A = A+ . Para matrizes reais vale A+ = AT. 
Se as funções βi empregadas para calcular os elementos da matriz A são as 
autofunções do operador A, ou seja quando A βi = αiβi, obtém-se 
<mIAIn> = ∫β*m Aβn dv = αn ∫β*mβndv = αn δmn 
e a matriz fica reduzida a sua diagonal principal com os elementos iguais aos 
autovalores, ou seja 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
α
α
α
=
.
.0
0
]A[ 3
2
1
 (11) 
 
Dito de outra maneira: o problema de achar os autovalores de um operador 
equivale a reduzir sua matriz representativa a sua matriz diagonal. (Por isso é 
importante, ter métodos numéricos que diagonalizam uma matriz.) 
Note que os elementos da diagonal principal de toda matriz hermiteana devem 
ser reais, já que se o elemento Ajj fosse a + ib, o elemento A*jj seria a - ib, e 
estes elementos só podem ser iguais quando b = 0, ou seja, quando são reais. 
 
6- 5 
 
6.3.2 Mudanças de eixos no espaço Hilbert. 
 
Vimos que um operador dado A num sistema de eixos dado {ξi} está 
representado por a matriz [Anm]. É claro, que se mudarmos o sistema e 
aplicarmos um novo sistema de eixos {ξ'i}, o mesmo operador estará 
representado por uma matriz distinta [A'nm]. O problema é como encontrar esta 
nova matriz [A'nm]? 
Vamos introduzir um novo operador, U, que faz a transformação do conjunto 
ortonormal {ξi} no conjunto, também ortonormal, {ξ'i}: 
ξ'n = U ξn, n = 1, 2, 3, ... (12) 
(Um exemplo de uma mudança de eixos estudamos na Mecânica, parágrafo 
3.6.1, descrevendo rotações por meio de uma matriz de rotação.) 
Sendo o conjunto {ξi} completo, podemos transformar todo vetor ψ = ∑n=1,∞ cnξn 
em outro vetor ψ' usando U. Ou seja 
ψ' = Uψ = U ∑n=1,∞ cnξn = ∑n=1,∞ cn Uξn = ∑n=1,∞ cnξ'n (13) 
O operador U é chamado de operador unitário e pode ser definido de 
diferentes maneiras. Aqui vamos usar a seguinte 
Definição 
Um operador U é chamado de unitário (ou ortogonal) se satisfaz à 
relação 
U U+ = U+U = I (14) 
A matriz U que representa um operador unitário é uma matriz unitária (ou 
ortogonal, ou seja as colunas e linhas são vetores ortonormais). Vamos 
demonstrar que um operador unitário preserva o produto interno e não muda o 
comprimento de um vetor. 
A equação ξn = T ξ'n define o operador inverso de U, pois temos 
ξn = T ξ'n = TU ξn Æ TU = I Æ T = U-1 ou seja ξn = U-1 ξ'n. 
Vamos demonstrar que o operador U deixa inalterado o produto interno, ou 
seja (Uφ,Uψ) = (φ,ψ). 
 
6- 6 
 
ψ = ∑m=1,∞ cmξm e φ = ∑n=1,∞ dnξn; 
Uψ= ∑m=1,∞ cmUξm = ∑m=1,∞ cmξ'm e Uφ= ∑n=1,∞ dnUξn = ∑n=1,∞ dnξ'n
(Uφ,Uψ) = (∑n=1,∞ dnξ'n, ∑m=1,∞ cmξ'm)= ∑n,m (dnξ'n, cmξ'm) 
= ∑n,m d*n cm (ξ'n, ξ'm) = ∑n d*n (∑mcm δnm) = ∑n d*n cn
temos também 
(φ,ψ) = (∑n=1,∞ dnξn, ∑m=1,∞ cmξm) = ∑n,m d*n cm (ξn, ξm)= ∑n d*n cn 
Por isso, (Uφ,Uψ) = (φ,ψ), e daí segue queU é unitário. 
Também podemos escrever U-1 = U+ e ξn = U+ ξ'n. 
{cn} sejam os componentes do vetor ψ no sistema {ξi} e {dn} os do vetor φ. 
No sistema {ξ'i} esses componentes são {c'n} e {d'n}. Temos, também, que (φ,ψ) 
= ∑n d*n cn = ∑n (d'n)* cn', já que o produto interno deve ser independente do 
sistema de eixos. 
Para achar o efeito que tem a mudança da base sobre a matriz representativa 
do operador A, consideramos a equação φ = A ψ em ambos os sistemas. 
(Em ambos os casos trata-se do mesmo operador e dos mesmos vetores φ e 
ψ, somente as matrizes representativas são diferentes.) 
Usando a base {ξi} temos 
ψ = ∑n=1,∞ cnξn e φ = ∑n=1,∞ dnξn; além disso φ = A ψ = ∑m=1,∞ cm Aξm; 
dn = (ξn,φ) = (ξn, ∑m=1,∞ cm Aξm) = ∑m (ξn, cm Aξm) = ∑m cm (ξn, Aξm) 
Designando (ξn, Aξm) = <ξnIAIξm> por Anm obtemos, finalmente, 
dn = ∑m=1,∞ Anm cm, n = 1,2,3,... (15) 
Usando a base {ξ'i}, obteremos 
d'n = (ξ'n,φ) = (ξ'n, ∑m=1,∞ c'm Aξ'm) = ∑m (ξ'n, c'm Aξ'm) = ∑m c'm (ξ'n, Aξ'm) e com 
A'nm := (ξ'n, A ξ'm) resulta d'n = ∑m=1,∞ A'nm c'm, n = 1,2,3,... (16) 
 
6- 7 
 
Também podemos escrever (já que ξ'n = U ξn e ξ'm = Uξm) 
A'nm := (ξ'n, A ξ'm) = (Uξn, AUξm) = (ξn, U+AUξm)= (U+AU)nm (17) 
Com as regras para a multiplicação de matrizes obteremos 
cr m = (AU)r m = ∑s=1,∞Ars Usm; r = linha, m = coluna; C:= AU 
dn m = (U+C)n m = ∑r=1,∞U+nr Cr m := A'nm. 
U+nr = elemento da linha n e da coluna r da matriz U+ 
ou seja, U+nr := (ξn, U+ξr), Ars := (ξr, Aξs); Usm := (ξs, Uξm) com U+ = U-1 
Podemos escrever 
A'nm = (U+AU)nm = ∑r,s=1,∞U+nr Ars Usm , ou também 
A' = U+A U = U-1AU (18) 
A relação (18) indica a lei de transformação de matrizes ao mudar os eixos. 
Esta lei tem caráter geral e, por isso, é aplicável também quando o número de 
dimensões é finito, pois, na sua dedução, nunca foi preciso pôr uma condição 
ao respeito do número das dimensões. 
Mas, observe bem, não para toda matriz unitária U será A' mais simples do que 
A. Mas, segundo um teorema muito importante de Schur (1909), existe para 
qualquer matriz A uma transformação unitária U tão que A' = U+A U é da 
seguinte forma (forma canônica de Schur): 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
λ
⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅λ
⋅⋅λ
⋅⋅λ
=
n
n33
n2232
n113121
'A
'A'A
'A'A'A
A (19) 
 
Os elementos A'ii = λi são os autovalores de A. Além disso, pode-se demonstrar 
que Tr A = Tr A' e det A = det A'. 
 
6- 8 
 
6.4 Medições na Mecânica Quântica 
 
Na mecânica quântica postulamos que a cada grandeza observável à 
corresponde um operador A. Agora podemos afinar este conceito afirmando 
que este operador é sempre hermiteano. (Nesta seção designamos as 
autofunções com φ em vez de ψ.) 
A todo autovalor an da equação Aφ = aφ corresponde uma autofunção φn e 
pedimos que o sistema das autofunções φ1, φ2, φ3 ... seja completo e que os 
autovalores formem uma sucessão ordenada a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... 
Toda partícula ou grupo de partículas está descrita na mecânica quântica por 
uma função de onda ψ, e o problema de encontrar os valores possíveis da 
variável à reduz-se a achar os autovalores da equação Aφ = aφ. Agora vamos 
perguntar-nos quais são as probabilidades de cada um dos resultados 
possíveis. Para responder esta pergunta, expandiremos a função de onda ψ do 
sistema sob estudo em uma série das autofunções φn 
ψ = ∑n=1,∞ cnφn (20) 
Se o sistema estiver, antes da medição, num autoestado φn de A, então 
fazendo uma medição da observável à daria o resultado certo an. Em geral, o 
sistema está num estado ψ, com ||ψ|| = 1, que não é um autoestado. Mas ψ 
sempre pode ser expandido numa série de autoestados φn onde cn =(φn,ψ). 
Uma expansão do quarto postulado afirma que a probabilidade de obter para a 
observável à dum sistema no estado (20) um resultado compreendido no 
intervalo a´≤ a ≤ a'' é 
P(a',a'') = ∑n|cn|2 (21) 
incluindo na soma unicamente tais valores de n para os quais an está 
compreendido no intervalo a´≤ a ≤ a''. E, em conseqüência, quando no intervalo 
(a',a'') contém o único autovalor aj, então P(a',a'') = |cj|2 e ψ = φj. 
Agora, ao fazer a experiência, pode suceder que o estado do sistema se altere 
e, por isso, se medirmos a observável à no mesmo sistema uma segunda vez, 
pode ser que vamos obter um resultado diferente de aj. 
Se somarmos todas as probabilidades possíveis devemos obter 
P(-∞,+∞) = ∑n=1,∞ |cn|2 = 1 (22) 
6- 9 
 
Vamos demonstrar a Eq. 22, mas antes recordaremos como se pode 
determinar os coeficientes cn. 
<φiIψ> = (φi,ψ) = ∫ψφ*idv = ∫(∑cnφnφ*i)dv = ∑cn∫φi*φndv =∑cn δin = ci 
Agora a Eq. 22, usando ψ = ∑cnφn e ψ* = ∑c*nφ*n e ∫ φ*iφjdv = δij , resulta 
∫ψ*ψdv = ∑i≠j c*jci ∫ φ*jφidv + ∑k=1,∞ c*kck∫φ*kφkdv = ∑k=1,∞c*kck = ∑k=1,∞|ck|2=1 
q.e.d. 
Agora nos resta generalizar a expressão para o valor esperado (postulado 5, 
seção 3.1). 
Vamos substituir ψ = ∑cnφn na relação < Ã > = ∫ψ*Aψdv. O cálculo é parecido 
ao anterior (Ã é a observável que anteriormente, 3.1, foi designado por Q): 
< Ã > = ∫ψ*ψdv = 
= ∑i≠j c*icjaj ∫ φ*iφjdv + ∑k=1,∞ c*kckak∫φ*kφkdv = ∑k=1,∞c*kckak = ∑k=1,∞ak|ck|2 
< Ã > = ∑k=1,∞ak|ck|2 (23) 
A Eq. 23 nos dá o valor esperado da observável à em função dos coeficientes 
cn e dos autovalores an. 
Se conhecemos as autofunções e os autovalores, os coeficientes cn para cada 
ψ se deduzirão imediatamente por meio da equação ∫ψφidv = ci. Conhecendo 
estes valores, podemos realizar os cálculos requeridos para determinar < Ã> e 
P(a',a''). 
Como indicado, <Ã> é o valor médio que se encontraria se num número 
elevado de sistemas iguais, todos descritos pela mesma função de onda, 
efetuarmos um experimento para medir a magnitude da observável Ã. Se a 
função de onda fosse ψ = φn, então, sendo cn = 1 e ci = 0 para i ≠ n, a equação 
< Ã > = ∑k=1,∞ak|ck|2 daria 
< Ã > = an (24) 
como efetivamente deveria de ser. 
Consideremos o caso da energia total dum sistema. 
 
 
6- 10 
 
A forma geral da função de onda será uma soma de um número de diferentes 
funções de onda ψn(x,t): 
ψ(x,t) = ∑n=1,∞ cn ψn(x,t) = ∑n=1,∞ cn exp(-iEnt/ħ)ψn(x) (25) 
O valor esperado da energia calculamos como 
<E> = ∫-∞,∞ ψ*(x,t)iħ∂ψ(x,t)/∂t dx, onde iħ∂/∂t é o operador da energia. 
(Os operadores E = iħ∂/∂t e o hamiltoniano H = - ħ2/2m ∆ + U produzem 
resultados iguais quando aplicados a (25), ou seja eles são operadores 
equivalentes.) Substituindo (25) na expressão para <E> dá 
<E> = ∫ ∑m=1,∞ cm* exp(iEmt/ħ)ψm*(x)iħ∑n=1,∞cn(-iEn/ħ)exp(-iEnt/ħ)ψn(x) 
 = ∑n∑m Encm*cn exp[i(Em-En)t/ħ] ∫-∞,∞ ψm*(x) ψn(x) dx 
A integral é zero para m≠n e a soma sobre m contribui somente com o termo m 
= n, então temos 
<E> = ∑n En cn*cn exp[i(En - En)t/ħ] = ∑n=1,∞ En |cn|2 (26) 
Quando a partícula se encontra num autoestado, por exemplo ψk(x,t), então ck 
= 1 e cn = 0 para n ≠ k. Neste caso, a Eq. 26 proporciona <E> = Ek. 
Se ψ(x,t) não for separável, ou seja se não se poderia escrever uma equação 
como a 25, então os coeficientes cn serão funções do tempo: 
ψ(x,t) = ∑i ci(t) ψi(x) (27) 
e os coeficientes ci(t) vão satisfazer a relação 
cj (t) = cj(t0) exp [ - i Ej (t-t0)/ħ] (28) 
Esta equação diz algo importante sobre medições da energia: os resultados 
não dependem do tempo. Pois a probabilidade para medir um autovalor Ej é 
P(Ej) = |cj(t)|2 = | cj(t0) exp [ - i Ej (t-t0)/ħ]|2 = |cj(t0)|2 = |cj(0)|2 se tomarmos t0 = 0. 
O tempo da medição desaparece devido à forma especial do fator de tempo 
(fator exponencial e complexo). 
 
 
 
 
6- 11 
 
6.5 Evolução do valor esperado com o tempo 
 
Seja Q um operador hermiteano que pode também depender explicitamente do 
tempo. Queremos saber a velocidade da mudança do valor esperado da 
observável Q(t), representada por Q(t). 
d<Q(t)>/dt= ∫-∞,∞ ∂/∂t [ψ*(x,t) Q(t) ψ(x,t)] dx (29) 
Isso podemos escrever como 
d<Q(t)>/dt = ∫-∞,∞ [∂ψ*/∂t Qψ + ψ*(∂Q/∂t ψ) + ψ*Q ∂ψ/∂t]dx (30) 
O segundo termo no integrando seria zero, se o operador não dependesse 
explicitamente do tempo. Geralmente, os operadores efetivamente não 
dependem do tempo, mas no caso de sistemas expostos a campos externos, Q 
sim pode explicitamente depender do tempo. 
Para substituir ∂ψ/∂t e ∂ψ*/∂t, utilizamos e equação de Schrödinger dependente 
do tempo e sua complexa conjugada, ou seja 
iħ∂ψ/∂t = Hψ e -iħ∂ψ*/∂t = Hψ* (31) 
O operador H é real. Da Eq. (30) obteremos, escrevendo o segundo termo 
como um valor esperado no lado esquerdo 
d<Q(t)>/dt - <∂Q(t)/∂t> = i/ħ ∫{[Hψ(x,t)]* Qψ(x,t) - ψ*(x,t)QHψ(x,t)}dx (32) 
=i/ ħ [<HψIQψ> - <ψIQHψ>] (33) 
Utilizando a propriedade hermiteana de H, podemos combinar os operadores 
d<Q(t)>/dt - <∂Q(t)/∂t> = i/ ħ [ <ψIHQψ> - <ψIQHψ>] 
 = i/ ħ <ψIHQ - QHIψ> (34) 
Na direita reconhecemos o comutador [H,Q] e temos, então, o resultado 
d<Q(t)>/dt = <∂Q(t)/∂t> + ħ-1 <i[H,Q]> (35) 
 
 
6- 12 
 
Quando, como na maioria dos casos, Q não é função explícita do tempo, temos 
<∂Q(t)/∂t> = 0 e se [H,Q] for zero, também d<Q(t)>/dt = 0 e podemos formular 
o seguinte 
Teorema: 
O valor esperado de um operador que comuta com o hamiltoniano é 
uma constante do movimento (ou seja, não se modifica quando o estado 
do sistema evoluir). 
Já que todo operador comuta consigo mesmo, temos em particular que [H,H] = 
0, ou seja que a observável E é conservada. É claro, que a energia não será 
conservada quando o potencial depender do tempo: U = U(x,t). Em tal caso, o 
hamiltoniano também seria dependendo do tempo, o que acabamos de excluir. 
Deveríamos, então, escrever d<E>/dt = <∂U/∂t>. 
Na mecânica clássica existe uma equação muito parecida à equação (35): 
dQ(t)/dt = ∂Q/∂t + {Q,H}, (36) 
onde todas as grandezas são funções e não operadores. Q[xi(t),pi(t); i = 
1,2,3,...N = Q(t) é uma observável clássica (ou uma variável dinâmica) para um 
sistema unidimensional de N partículas cujo hamiltoniano é H. 
{Q,H} , o colchete ou parêntese de Poisson, é definido por 
{Q,H} = ∑i=1,N (∂Q/∂xi ∂H/∂pi - ∂Q/∂pi ∂H/∂xi) (37) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- 13 
 
6.5.1 A conservação da paridade 
 
A demonstração da não conservação da paridade foi gratificado com o prêmio 
Nobel no ano 1957. Até 1956, pensava-se que paridade fosse um princípio 
fundamental da Natureza: todos os fenômenos naturais obedeceriam a leis 
invariantes mediante a reflexão no espelho (transformação esquerdo - direito). 
Em 1956, os físicos sino-americanos Chen Ning Yang e Tsung Dão Lee, 
sugeriram que as leis do decaimento β violariam a paridade, e suas previsões 
foram prontamente confirmadas em experiências realizadas por Chien-Shing 
Wu, também sino-americana, e colaboradores. (Chen Ning Yang e Tsung Dão 
Lee receberam o prêmio Nobel de 1957 pelos seus trabalhos sobre as leis de 
paridade em partículas elementares.) 
Agora resta saber, o que é o operador de paridade Π ? (Veja também 4.5.4) 
Considere uma função ψ(x). Define-se o operador de paridade Π pela seguinte 
relação: 
Πψ(x) = ψ(-x) (38) 
Logo, o operador de paridade transforma cada coordenada cartesiana em seu 
negativo. 
O operador Π é linear, pois 
Π[ψ1(x) + ψ2(x)] = ψ1(-x) + ψ2(-x) = Πψ1(x) + Πψ2(x) 
e Π [cψ(x)] = cψ(-x) = c Πψ(x) 
Além disso, podemos mostrar que Π é um operador hermiteano, pois da 
definição do produto interno segue 
(Πψ,φ) = ∫-∞,∞ ψ*(-x) φ(x) dx = ∫-∞,∞ ψ*(x')φ(-x')dx', 
onde foi usada a substituição x' = -x. Visto que o valor da integral não depende 
do nome da variável da integração, temos 
(Πψ,φ) = ∫-∞,∞ ψ*(x)φ(-x)dx = (ψ,Πφ) 
o que significa que Π é hermiteano. 
O operador Π2 equivale a multiplicar por um, isto é, o operador Π2 corresponde 
ao operador unidade, ou seja Π2 = I. Isso podemos ver do seguinte cálculo 
 
6- 14 
 
Π2ψ(x) = Π ψ(-x) = ψ(x), já que Π(Πψ) = Π(ψ(-x)) = ψ(x) = ψ 
Da hermitecidade de Π segue que os autovalores de Π são reais. Efetivamente, 
a equação dos autovalores Πψ = λψ pode ser multiplicada por Π dando 
Π2ψ = λΠψ = λ2ψ 
Porém, como operar com Π2 equivale a multiplicar por 1, então λ2 = 1, e daí λ = 
± 1. Essa equação nos diz que os autovalores do operador Π2 são +1 e -1. Se λ 
= +1 então diz-se que ψ é uma função par. Quando λ = -1 diz-se que ψ é uma 
função ímpar. 
Para a autofunção ψ(x) = senx encontramos Πψ(x) = sen(-x)= - senx = -1·ψ(x), 
o que nos diz que λ = -1 e que ψ é uma função ímpar. 
Para ψ = cosx teremos Πψ(x) = +1·ψ(x), logo, ψ = cosx é uma função par. 
Da forma similar veremos que ψ = e-x não é uma autofunção do operador Π, 
uma vez que ψ = e-x não possui uma paridade definida, pois vemos que 
Πψ = ex e isso significa que Πψ ≠ ± 1·ψ 
Finalmente vamos demonstrar que no caso de um sistema com potencial 
simétrico, por exemplo no caso V(-x) = V(x), o hamiltoniano do sistema e o 
operador de paridade comutam, isso é ΠH = HΠ ou seja [Π,H] = 0. 
Pois temos 
H = p2/2m + V(x) com V(x) = V(-x) 
Hψ(x) = - ħ2/2m d2ψ(x)/dx2 + V(x)ψ(x) e 
ΠHψ(x) = - ħ2/2m Πd2ψ(x)/dx2 + ΠV(x)ψ(x) 
 = - ħ2/2m d2ψ(-x)/dx2 + V(-x)ψ(-x) 
 = - ħ2/2m d2ψ(-x)/dx2 + V(x)ψ(-x) = HΠψ(x) 
Sendo esta equação válida para qualquer função, temos 
HΠ -ΠH = [H,Π] = 0. 
q.e.d. 
Isso tem como conseqüência que d<Π>/dt =0, como vimos no parágrafo 
anterior ("se [H,Q] for zero, também d<Q(t)>/dt = 0"). 
6.15 
 
6.5.2 O Teorema de Ehrenfest 
 A mecânica clássica como limite da mecânica quântica. 
 
Paul Ehrenfest, 18.1.1880 - 25.9.1933, veja a biografia na página 
http://www-groups.dcs.st-
and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ehrenfest.html
 
A mecânica quântica substitui o sistema mecânico sob estudo por uma função 
de onda ψ. As propriedades de ψ se deduzem das do sistema mecânico real. 
Quando se trata de uma partícula, esta função de onda será, em geral, um 
pacote de ondas. Se a partícula é descrita por uma função de onda ψ, que 
pode ou não ser um pacote de ondas, os valores médios das coordenadas e do 
momento linear satisfazem às equações 
m d<x>/dt = <px> = m<vx> 
m d<y>/dt = <py> = m<vy> 
m d<z>/dt = <pz> = m<vz> 
que podemos escrever como 
d<r>/dt = <v> (40) 
o que é análoga à equação dr/dt = v. 
O conteúdo da equação (40) constitui o teorema de Ehrenfest, Z. Phys. 45,455 
(1927), que agora vamos a demonstrar. (O processo do cálculo é longo, mas 
não tem dificuldade nenhuma. O representaremos detalhadamente por ser 
seguramente instrutivo.) 
Começaremos calculando a derivada com respeito ao tempo de <x>. 
d<x>/dt = d/dt ∫V ψ*xψ dV = ∫∂ψ*/∂t xψdV + ∫ψ* x∂ψ/∂t dV 
Substituímos ∂ψ/∂t e ∂ψ*/∂t utilizando a equação de Schrödinger dependente 
do tempo e sua complexa conjugada, confira a Eq. 31. 
 
6.16 
 
d<x>/dt = ∫ xψ [iħ/2m ∆ψ - iU/ħ ψ]dV + ∫ xψ[-iħ/2m ∆ψ* + iU/ħ ψ*]dV 
= iħ/2m ∫ (xψ* ∆ψ - xψ ∆ψ*)dV (41) 
Logo demonstraremos que o segundo termo do integrando pode ser 
transformado, confira Eqs. 46-53. Essa transformação nos proporcionará 
d<x>/dt = = iħ/2m ∫ ψ* [x ∆ψ - ∆(xψ)]dV (42) 
É fácil mostrar que ∆(xψ) = x∆ψ + 2 ∂ψ/∂x, o que dá 
d<x>/dt = - iħ/2m ∫ψ*(2∂ψ/∂x)dV = -iħ/m ∫ ψ* ∂ψ/∂x dV (43) 
Tomando em conta que <px> = -iħ∫ψ* ∂ψ/∂x dV, resulta, finalmente, 
d<x>/dt = m-1 <px>, (44) 
ou seja, a primeira componente da Eq. (40). q.e.d. Devemos dar-nos conta de 
que este resultado foi somente possível, porque <px> foi adequadamente 
definido. É evidente que um cálculo idêntico dará as equações faltantes 
d<y>/dt = m-1 <py> e d<z>/dt = m-1 <pz> (45) 
 
Antes de fazer um comentário sobre o teorema de Ehrenfest, vamos derivar a 
expressão usada para reduzir o segundo termo do integrando da Eq. (41)Observamos que este termo pode integrar-se por partes. Para fazer isso, 
comprovaremos primeiro a seguinte identidade: 
div[xψ grad ψ*] = (xψ) ∆ψ* + grad ψ* · grad (xψ) (46) 
com as seguintes definições 
õ ψ = grad ψ = ∂ψ/∂x i + ∂ψ/∂y j + ∂ψ/∂z k ; (õ = Nabla (hebr.)) 
∆ ψ = õ2 ψ = div grad ψ = õ·õ ψ = ∂2ψ/∂x2 + ∂2ψ/∂y2 + ∂2ψ/∂z2 
observe que õ · õ = õ2 = ∆ (= operador de Laplace) 
div f = õ· f = ∂fx/∂x + ∂fy/∂y + ∂fz/∂z; 
 
 
 
 
6.17 
 
Exemplo: div (f F) = ∂(f Fx)/∂x + ∂(f Fy)/∂y + ∂(f Fz)/∂z 
Mas, ∂(f Fx)/∂x = f ∂Fx/∂x + Fx ∂f/∂x etc. Finalmente resulta 
div (f F) = f (∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z) + Fx ∂f/∂x + Fy ∂f/∂y + Fz ∂f/∂z ou 
div (f F) = f (div F) + F · grad f := f (õ· F) + F·õf (47) 
tomando f := xψ e F = grad ψ* = õψ*, resulta 
div (xψ õψ*) = xψ (div grad ψ*) + grad ψ*· grad (xψ) 
 = (xψ) (õ·õψ*) + õψ*·õ(xψ) , ou seja 
div (xψ õψ*) = (xψ) (∆ψ*) + õψ*·õ(xψ) ) (48) 
Com este resultado volvamos à integral (41) 
d<x>/dt = iħ/2m ∫V (xψ* ∆ψ - xψ ∆ψ*)dV 
onde substituímos xψ∆ψ* por (div(xψ õψ*) - õψ* · õ(xψ)) 
∫V (xy)∆ψ*dV = ∫V [div(xψ õψ*) - õψ* · õ(xψ)] dV (49) 
Usando, agora, o teorema de Gauss para transformar uma integral sobre um 
volume numa integral sobre a superfície do volume: 
∫V div A = ∫S A·ds (50) 
Obteremos 
∫V (xy)∆ψ*dV = ∫s (xψ õψ*)· ds - ∫V õψ* · õ(xψ) dV 
ψ deve sempre anular-se ao longo da superfície S, já que ψ deve tender a zero 
para grandes distâncias do origem. Assim, a primeira integral se anula e resulta 
∫V (xψ)∆ψ*dV = - ∫V õψ* · õ(xψ) dV (51) 
Repetimos, agora, o processo que acabamos de fazer com o último integrando. 
Vale a seguinte identidade 
6.18 
 
div[ψ*õ(xψ)] = ψ* õ2(xψ) + õψ*· õ(xψ) (52) 
Podemos introduzir em (51) a expressão õψ*·õ(xψ) que tiramos da Eq. (52) 
∫V (xψ)∆ψ*dV = -∫V {div[ψ*õ(xψ)] - ψ* õ2(xψ)}dV 
e, volvendo a aplicar o teorema de Gauss, tenderemos 
 ∫V (xψ)∆ψ*dV = -∫S [ψ*õ(xψ)]·ds + ∫V ψ* õ2(xψ)}dV 
Pelas mesmas razões que antes, a integral sobre a superfície se anula e fica 
 ∫V (xψ)∆ψ*dV = ∫V ψ* õ2(xψ)}dV (53) 
Podemos, finalmente, voltar à integral (41) que queríamos calcular. 
 
O teorema de Ehrenfest que acabamos de demonstrar é só um caso especial 
do lei de correspondência de Bohr, que agora poderíamos pronunciar assim: 
A cada lei da mecânica clássica corresponde uma lei análoga na 
mecânica quântica, lei que se obterá substituindo as variáveis clássicas 
pelos valores médios das variáveis quânticas correspondentes. 
Assim, por exemplo, quando na mecânica clássica existe um potencial, temos 
para a força F = m dv/dt = dp/dt = - grad U. A lei análoga na mecânica quântica 
será d<p>/dt = - grad <U>. 
Vemos, assim, que a mecânica clássica pode ser considerada como limite da 
mecânica quântica. De outra maneira pode-se demonstrar isso, observando 
que para comprimentos de onda "muito pequenos" a equação de Schrödinger 
se transforma na equação clássica de Hamilton-Jacobi, que é uma equação 
diferencial parcial de primeira ordem nas n + 1 variáveis independentes 
q1,q2,q3, ...,qn,t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	A mecânica clássica como limite da mecânica quântica.
	http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/E
	A mecânica quântica substitui o sistema mecânico sob estudo 
	m d<x>/dt = <px> = m<vx>
	m d<y>/dt = <py> = m<vy>
	m d<z>/dt = <pz> = m<vz>
	que podemos escrever como
	d<r>/dt = <v>  (40)
	o que é análoga à equação dr/dt = v.
	O conteúdo da equação (40) constitui o teorema de Ehrenfest,
	Começaremos calculando a derivada com respeito ao tempo de <
	d<x>/dt = d/dt ∫V ψ*xψ dV = ∫∂ψ*/∂t xψdV + ∫ψ* x∂ψ/∂t dV