Apontamentos de Analise Matematica I

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APONTAMENTOS
DE
ANA´LISE MATEMA´TICA I
10 de Dezembro de 2005
2
I´ndice
1 Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es 1
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Noc¸o˜es Topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1 Noc¸o˜es Topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2 Induc¸a˜o Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.3 Sucesso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Limites e Continuidade 49
2.1 Generalidades sobre func¸o˜es reais de varia´vel real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Continuidade: propriedades das func¸o˜es cont´ınuas. Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . 56
2.4 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.1 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Diferencial 67
3.1 Derivadas. Regras de derivac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Indeterminac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Aplicac¸o˜es da fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6.2 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.3 Estudo de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.1 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.2 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.3 Estudo de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Primitivac¸a˜o 117
4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Primitivac¸a˜o por partes e por substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
ii I´NDICE
4.4 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.5 Primitivac¸a˜o de func¸o˜es transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.1 Primitivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5 Func¸o˜es Reais de Varia´vel Real: Ca´lculo Integral 143
5.1 Integral de Riemann: Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Classes de func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 A´reas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5 Integrais impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.6.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.6.2 Ca´lculo de a´reas de domı´nios planos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6.3 Integrais Impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.7.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.7.2 Ca´lculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.7.3 Integrais Impro´prios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6 Apeˆndice A 213
6.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7 Apeˆndice B 217
7.1 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2.1 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o
Matema´tica e Sucesso˜es
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R
Definic¸a˜o 1.1.1 Sejam a ∈ R, ε > 0. Chama-se vizinhanc¸a ε de a ao conjunto Vε(a) =]a− ε, a+ ε[.
a aa - e e+
Figura 1.1 O conjunto Vε(a).
Definic¸a˜o 1.1.2 Sejam a ∈ R e A um conjunto de nu´meros reais. Diz-se que a e´ interior a A se existir
uma vizinhanc¸a de a contida em A. Diz-se que a e´ fronteiro a A se toda a vizinhanc¸a de a intersecta
A e R \A. Diz-se que a e´ exterior a A se existir uma vizinhanc¸a de a contida em R \A.
NOTA: Um ponto e´ exterior a A se, e so´ se, e´ interior a R \A.
Definic¸a˜o 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por
int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O
conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A).
NOTA: Qualquer que seja A ⊂ R tem-se: int(A) ∩ ext(A) = ∅, int(A) ∩ fr(A) = ∅, fr(A) ∩ ext(A) = ∅ e
int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) = R.
EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. Enta˜o int(A) = int(B) = int(C) =
int(D) =]0, 1[, fr(A) = fr(B) = fr(C) = fr(D) = {0, 1}, ext(A) = ext(B) = ext(C) = ext(D) =
]−∞, 0[∪]1,+∞[.
a
aa - e e+0 1
a
aa - e e+0 1
a
aa - e e+0 1
a
aa - e e+0 1
b
- e
e+bb
b
- e
e+bb
b
- e
e+bb
b
- e
e+bb
Figura 1.2 a e´ ponto interior, b e´ ponto exterior e 0 e 1 sa˜o pontos fronteiros.
2 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
a
aa -
e
e
+
0 1
b
-
e
e
+bb
1
2
1
3
1
4
1
5
Figura 1.3 a e b sa˜o pontos exteriores, 0 e´ ponto fronteiro.
EXEMPLO 2: Seja A =
{
1
n
, n ∈ N
}
. Enta˜o int(A) = ∅, ext(A) = R \ (A ∪ {0}) e fr(A) = A ∪ {0}.EXEMPLO 3: Seja A = Q 1. Enta˜o int(A) = ext(A) = ∅, fr(A) = R.
Definic¸a˜o 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ aberto se A = int(A).
Definic¸a˜o 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou adereˆncia de A ao conjunto A =
A ∪ fr(A). Diz-se que x e´ aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A.
NOTAS:
1. Das definic¸o˜es, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A).
2. A e´ fechado se, e so´ se, fr(A) ⊂ A.
3. A e´ fechado se, e so´ se, R \A e´ aberto, isto e´, R \A = int(R \A) = ext(A).
EXEMPLO 4: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B e´ fechado, D e´ aberto, A e C na˜o sa˜o
fechados nem abertos.
EXEMPLO 5: A =
{
1
n
, n ∈ N
}
na˜o e´ fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}).
EXEMPLO 6: A =
{
1
n
, n ∈ N
}
∪ {0} e´ fechado.
Definic¸a˜o 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A
se qualquer vizinhanc¸a de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A chama-se
derivado de A. Diz-se que a e´ ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhanc¸a de a que na˜o
intersecta A \ {a}.
EXEMPLO 7: Seja A =
{
1
n
, n ∈ N
}
. 0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Todos os pontos de A sa˜o isolados.
EXEMPLO 8: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A e´ [0, 1]. 2 e´ ponto isolado
de A.
NOTA: Se a ∈ int(A), enta˜o a e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
Definic¸a˜o 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x e´ majorante de A se x ≥ a,
∀a ∈ A. Diz-se que x e´ minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A.
Definic¸a˜o 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A e´ majorado se admitir majorantes. Diz-se
que A e´ minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A e´ limitado.
1Note que entre dois racionais, por mais pro´ximos que estejam, existem infinitos racionais e infinitos irracionais. Tambe´m
entre dois irracionais existem infinitos irracionais e infinitos racionais. O mesmo acontece entre um racional e um irracional.
1.1 Noc¸o˜es topolo´gicas em R 3
EXEMPLO 9: A = {x ∈ R : x2 < 1} =]− 1, 1[ e´ limitado.
EXEMPLO 10: ]−∞, 1[ e´ majorado.
EXEMPLO 11: [1,+∞[ e´ minorado.
EXEMPLO 12: A = {x ∈ R : |x| > 1} =]−∞,−1[∪ ]1,+∞[ na˜o e´ majorado nem minorado.
Teorema 1.1.1 A e´ limitado se, e so´ se, ∃M > 0, |x| ≤M, ∀x ∈ A.
Demonstrac¸a˜o: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior
dos dois nu´meros |ν| e |µ|, enta˜o |x| ≤M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer).
Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto e´, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, enta˜o M e´ majorante de
A e −M e´ minorante de A.
Definic¸a˜o 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β e´ o supremo de A se β for
majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto e´, se β for o menor dos majorantes
de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β e´ o ma´ximo de
A; neste caso, representa-se por β = max(A).
Definic¸a˜o 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α e´ o ı´nfimo de A se α for
minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto e´, se α for o maior dos minorantes
de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ı´nfimo de A, pertencer a A, diz-se que α e´ o mı´nimo de A;
neste caso, representa-se por α = min(A).
EXEMPLO 13: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A na˜o tem ma´ximo nem
mı´nimo.
EXEMPLO 14: Seja A =]− 1, 1]. Enta˜o inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1.
EXEMPLO 15: sup(]−∞, 1[) = 1. Na˜o existe ı´nfimo deste conjunto.
Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto na˜o vazio e majorado tem supremo e todo o conjunto na˜o vazio
e minorado tem ı´nfimo.
Na˜o daremos aqui a demonstrac¸a˜o do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do
conjunto dos nu´meros reais, que na˜o esta´ nos propo´sitos deste curso.
Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Enta˜o β = sup(A) se, e so´ se, β e´ majorante de A
e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e so´ se, α e´ minorante de A e
∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α+ ε.
Demonstrac¸a˜o: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ı´nfimo proceder-se-ia de modo
ana´logo.
Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) enta˜o β e´ majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β−ε.
Fa´-lo-emos pela contra-rec´ıproca, isto e´, negando a tese chegaremos a` negac¸a˜o da hipo´tese (trata-se da
bem conhecida proposic¸a˜o da lo´gica formal A⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β na˜o for majorante
de A, β na˜o e´ o supremo de A (definic¸a˜o de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈
A, x ≤ β − ε, enta˜o β na˜o e´ o supremo de A visto que β − ε e´ majorante de A e β − ε < β.
Reciprocamente, vamos mostrar que se β e´ majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε, enta˜o
β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec´ıproca. Se β na˜o for o supremo de A, enta˜o ou na˜o e´ majorante
ou e´ majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No u´ltimo caso, seja γ esse
majorante. Enta˜o, fazendo ε = β− γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β− ε, que e´ a negac¸a˜o da hipo´tese.
4 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
1.2 Induc¸a˜o matema´tica
Para demonstrar que certas propriedades sa˜o va´lidas no conjunto dos nu´meros naturais, N, usa-se o
Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica que passamos a enunciar:
Uma propriedade e´ va´lida para todos os nu´meros naturais se:
1. A propriedade e´ va´lida para n = 1,
2. Para todo o n natural, se a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o ela e´ va´lida para n+ 1.
O me´todo de demonstrac¸a˜o baseado neste princ´ıpio consiste no seguinte: suponhamos que preten-
demos demonstrar que uma propriedade p(n) e´ verdadeira sempre que substitu´ımos n por um nu´mero
natural. Procedemos do seguinte modo:
1. verificamos se p(1) e´ verdadeira, isto e´, verificamos se ao substituir n por 1 obtemos uma proposic¸a˜o
verdadeira;
2. Supomos que, para um qualquer nu´mero natural n, p(n) e´ verdadeira e vamos provar que p(n+ 1)
e´ verdadeira. A` suposic¸a˜o da veracidade de p(n) costuma chamar-se hipo´tese de induc¸a˜o e ao
que queremos demonstrar (veracidade de p(n+ 1)), tese de induc¸a˜o.
EXEMPLO 1: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira. A hipo´tese de induc¸a˜o e´
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
e a tese de induc¸a˜o e´
1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ (n+ 1) = (n+ 1)(n+ 2)
2
.
Enta˜o
1 + 2 + 3 + · · ·+ n+ (n+ 1) = n(n+ 1)
2
+ (n+ 1) =
(n+ 1)(n+ 2)
2
,
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
, ∀n ∈ N.
EXEMPLO 2: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira. A hipo´tese de induc¸a˜o e´
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e a tese de induc¸a˜o e´
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 + (n+ 1)2 = (n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)
6
.
1.2 Induc¸a˜o matema´tica 5
Enta˜o
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 + (n+ 1)2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+ (n+ 1)2 =
(n+ 1)(n(2n+ 1) + 6(n+ 1))
6
=
(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6)
6
=
(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)
6
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
, ∀n ∈ N.
EXEMPLO 3: Provar, por induc¸a˜o, que 10n+1 + 3× 10n + 5 e´ mu´ltiplo de 9, ∀n ∈ N.
Comecemos por observar que o nu´mero 10n+1 + 3 × 10n + 5 e´ mu´ltiplo de 9 se existir um nu´mero
inteiro positivo k tal que 10n+1 + 3× 10n + 5 = 9k.
Substituindo n por 1 na expressa˜o 10n+1 + 3 × 10n + 5 obtemos 102 + 3 × 10 + 5 = 135 = 9 × 15,
portanto a propriedadee´ va´lida para n = 1.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
∃k ∈ N : 10n+1 + 3× 10n + 5 = 9k.
A tese de induc¸a˜o e´
∃k′ ∈ N : 10n+2 + 3× 10n+1 + 5 = 9k′.
Temos
10n+2 + 3× 10n+1 + 5 = 10× (10n+1 + 3× 10n) + 5 = (9k − 5)× 10 + 5 = 9(10k − 5).
Seja k′ = 10k − 5. Como k′ ∈ N podemos dizer que
10n+2 + 3× 10n+1 + 5 = 9k′
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que 10n+1 + 3× 10n + 5 e´ mu´ltiplo de 9, ∀n ∈ N.
EXEMPLO 4: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
n∑
k=1
(3 + 4k) = 2n2 + 5n, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira. A hipo´tese de induc¸a˜o e´
n∑
k=1
(3 + 4k) = 2n2 + 5n
e a tese de induc¸a˜o e´
n+1∑
k=1
(3 + 4k) = 2(n+ 1)2 + 5(n+ 1).
Enta˜o
n+1∑
k=1
(3 + 4k) =
n∑
k=1
(3 + 4k) + 3 + 4(n+ 1) = 2n2 + 5n+ 3 + 4(n+ 1)
= 2n2 + 4n+ 2 + 5n+ 5 = 2(n+ 1)2 + 5(n+ 1)
6 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
n∑
k=1
(3 + 4k) = 2n2 + 5n, ∀n ∈ N.
EXEMPLO 5: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
3n ≥ 2n+1 + 1, ∀n ∈ N \ {1}.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Comecemos por verificar que p(2) e´ verdadeira. Substituindo n por 2
obtemos 9 ≥ 8 que e´ uma proposic¸a˜o verdadeira. A hipo´tese de induc¸a˜o e´
3n ≥ 2n+1 + 1
e a tese de induc¸a˜o e´
3n+1 ≥ 2n+2 + 1.
Enta˜o
3n+1 = 3n × 3 ≥ 3 (2n+1 + 1) = 2n+13 + 3 ≥ 2n+13 + 1 ≥ 2n+12 + 1 = 2n+2 + 1
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
3n ≥ 2n+1 + 1, ∀n ∈ N \ {1}.
EXEMPLO 6: Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, a fo´rmula da soma de uma
progressa˜o geome´trica:
se a 6= 1 enta˜o
n∑
p=1
ap = a
1− an
1− a , ∀n ∈ N
1) Se n = 1, a fo´rmula e´ trivial: a = a1 = a
1− a
1− a .
2) Se admitirmos que a propriedade e´ va´lida para n, enta˜o:
n+1∑
p=1
ap =
n∑
p=1
ap + an+1 = a
1− an
1− a + a
n+1 = a
(
1− an
1− a + a
n
)
=
= a
1− an + an − an+1
1− a = a
1− an+1
1− a
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que a propriedade e´ va´lida para todo o n ∈ N.
EXEMPLO 7: Usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, vamos demonstrar a seguinte igualdade
(Bino´mio de Newton):
(a+ b)n =
n∑
p=0
nCp a
n−p bp, ∀a, b ∈ R, ∀n ∈ N
1) Se n = 1, a propriedade e´ va´lida: a+ b = 1C0 a+
1C1 b.
2) Vamos agora admitir que a propriedade e´ va´lida para n; enta˜o
(a+ b)n+1 = (a+ b) (a+ b)n = (a+ b)
n∑
p=0
nCp a
n−p bp =
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n∑
p=0
nCp a
n−p bp+1 =
1.2 Induc¸a˜o matema´tica 7
(fazendo p+ 1 = s)
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n+1∑
s=1
nCs−1 an−s+1 bs =
(como s e´ varia´vel muda, podemos substitu´ı-la por p)
=
n∑
p=0
nCp a
n+1−p bp +
n+1∑
p=1
nCp−1 an−p+1 bp =
= an+1 +
n∑
p=1
nCp a
n+1−p bp + bn+1 +
n∑
p=1
nCp−1 an−p+1 bp =
= an+1 + bn+1 +
n∑
p=1
( nCp +
nCp−1) an+1−p bp =
= an+1 + bn+1 +
n∑
p=1
n+1Cp a
n+1−p bp =
=
n+1∑
p=0
n+1Cp a
n+1−p bp
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que a propriedade e´ va´lida para todo o n ∈ N.
8 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais
Definic¸a˜o 1.3.1 Chama-se sucessa˜o de nu´meros reais a toda a aplicac¸a˜o de N em R. Os elementos
do contradomı´nio chamam-se termos da sucessa˜o. Ao contradomı´nio chama-se conjunto dos termos da
sucessa˜o.
NOTA: E´ usual designarem-se os termos da sucessa˜o por un, em detrimento da notac¸a˜o u(n), habitual
para as aplicac¸o˜es em geral. Sendo uma aplicac¸a˜o, o seu gra´fico e´ o conjunto formado pelos pares
ordenados da forma (n, un), n ∈ N.
5 10 15
0.6
0.7
0.8
0.9
n
n 1
Figura 1.4 O gra´fico de uma sucessa˜o.
Definic¸a˜o 1.3.2 A expressa˜o designato´ria que define a sucessa˜o chama-se termo geral da sucessa˜o.
EXEMPLO 1: As sucesso˜es de termos gerais an = n
2 e bn = cos(n) esta˜o ilustradas na Figura 1.5.
5 10 15
100
200
300
400
n2
5 10 15
-1
-0.5
0.5
1 cos(n)
Figura 1.5 Os gra´ficos de an = n
2 e de bn = cos(n).
NOTA: Podem-se definir sucesso˜es sem explicitar o termo geral. E´ o caso da definic¸a˜o por recorreˆncia.
Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessa˜o dos nu´meros de Fibonacci).
Por vezes da˜o-se apenas alguns termos da sucessa˜o que induzem o leitor a “inferir” os restantes.
Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .
Definic¸a˜o 1.3.3 Uma sucessa˜o diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for
majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada
se o conjunto dos seus termos for limitado.
Teorema 1.3.1 Uma sucessa˜o u e´ limitada se, e so´ se, existe M ∈ R tal que |un| ≤M , ∀n ∈ N.
EXEMPLO 2: A sucessa˜o un = n
2 e´ limitada inferiormente, mas na˜o superiormente.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 9
EXEMPLO 3: A sucessa˜o un = −n e´ limitada superiormente, mas na˜o inferiormente.
EXEMPLO 4: A sucessa˜o un = (−n)n na˜o e´ limitada superiormente nem inferiormente.
EXEMPLO 5: A sucessa˜o un = cos(n) e´ limitada.
EXEMPLO 6: A sucessa˜o un =
n+ 2
n
e´ limitada.
|un| =
∣∣∣∣n+ 2n
∣∣∣∣ = 1 + 2n ≤ 3,
qualquer que seja n ∈ N.
Definic¸a˜o 1.3.4 Dadas duas sucesso˜es de nu´meros reais u e v, chama-se soma, diferenc¸a e produto
de u e v a`s sucesso˜es u+ v, u− v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn, un − vn e un vn. Se
vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessa˜o quociente de u e v a` sucessa˜o u/v de termo geral un/vn.
Definic¸a˜o 1.3.5 Uma sucessa˜o u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente cres-
cente se un < un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente decres-
cente se un > un+1, ∀n ∈ N; diz-se mono´tona se for crescente ou decrescente; diz-se estritamente
mono´tona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.
EXEMPLO 7: A sucessa˜o un =
2n
3n+ 7
e´ crescente. De facto,
un+1 − un = 2n+ 2
3n+ 10
− 2n
3n+ 7
=
(2n+ 2)(3n+ 7)− 2n(3n+ 10)
(3n+ 10)(3n+ 7)
=
14
(3n+ 10)(3n+ 7)
> 0.
EXEMPLO 8: A sucessa˜o un = n
2 e´ estritamente crescente.
un+1 − un = (n+ 1)2 − n2 = n2 + 2n+ 1− n2 = 2n+ 1 > 0.
EXEMPLO 9: A sucessa˜o un = −n e´ estritamente decrescente.
un+1 − un = −(n+ 1) + n = −n− 1 + n = −1 < 0.
EXEMPLO 10: A sucessa˜o un = (−n)n na˜o e´ mono´tona.
un+1 − un = (−(n+ 1))n+1 − (−n)n = (−1)n+1((n+ 1)n+1 + nn;
esta diferenc¸a e´ positiva se n e´ ı´mpar e negativa se n e´ par.
EXEMPLO 11: A sucessa˜o un = (−1)n n+ (−1)
n
n2
na˜o e´ mono´tona.
un+1 − un =


−n+ 1− 1
(n+ 1)2
− n+ 1
n2
= −n
3 + (n+ 1)3
n2(n+ 1)2
< 0, se n e´ par
n+ 1 + 1
(n+ 1)2
+
n− 1
n2
> 0, se n e´ ı´mpar
EXEMPLO 12: A sucessa˜o un =
n+ (−1)n
n2
na˜o e´ mono´tona.
un+1 − un =


n+ 1− 1
(n+ 1)2
− n+ 1
n2
=
n3 − (n+ 1)3
n2(n+ 1)2
< 0, se n e´ par
n+ 1 + 1
(n+ 1)2
− n− 1
n2
=
n2 + n+ 1
n2(n+ 1)2
> 0, se n e´ ı´mpar
10 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
10 20 30 40
-0.2
-0.1
0.1
0.2
5 10 15 20
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 1.6 As sucesso˜es (−1)n n+ (−1)
n
n2
e
n+ (−1)n
n2
Dadas duas sucesso˜es u e v, se v e´ uma sucessa˜o de nu´meros naturais, a composic¸a˜o u ◦ v ainda e´ uma
sucessa˜o, de termo geral uvn . Por exemplo, se u e´ a sucessa˜o 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n − 1, enta˜o
uvn = 1; se zn = 2n, enta˜o uzn = n+ 1; se sn = 4, enta˜o usn = 3.
Obte´m-se uma subsucessa˜o de uma sucessa˜o omitindo alguns dos seus termos mantendo os restantes na
ordem original. Vejamos uma definic¸a˜o mais formal.
Definic¸a˜o 1.3.6 Dadas duas sucesso˜es u e w, dizemos que w e´ subsucessa˜o de u se existir v, sucessa˜o
de nu´meros naturais,estritamente crescente, tal que w = u ◦ v.
EXEMPLO 13: Das sucesso˜es consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z sa˜o subsucesso˜es de u, mas u ◦ s
na˜o e´ subsucessa˜o de u.
NOTAS:
1. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o limitada e´ limitada.
2. Uma sucessa˜o pode na˜o ser limitada e ter subsucesso˜es limitadas. Exemplo:
un =

 n, se n par1
n
, se n ı´mpar
3. Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o mono´tona e´ mono´tona.
Definic¸a˜o 1.3.7 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e
representa-se un → +∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un > L.
Diz-se que u e´ um infinitamente grande em mo´dulo se |un| → +∞, isto e´,
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ |un| > L.
Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se
∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un < −L.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 11
5 10 15 20
100
200
300
400
p=15
L=
Figura 1.7
EXEMPLO 14: Vejamos que un = n
2 → +∞.
Dado L > 0, existe p ∈ N tal que p > √L;
portanto, se n > p enta˜o n2 > L. E´ evidente
que p depende de L (se L = 100 basta conside-
rar p = 11, mas se L = 200 teremos de conside-
rar p = 15). Este exemplo esta´ ilustrado na Fi-
gura 1.7. De modo ana´logo pode mostrar-se que
vn = −n → −∞ e que, se wn = (−n)n, enta˜o
|wn| = nn → +∞.
NOTAS:
1. Se u e´ tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ enta˜o u e´ na˜o limitada. A rec´ıproca na˜o e´
verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o
un =

 n, se n par1
n
, se n ı´mpar
e´ na˜o limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un| 6→ +∞.
2. O facto de un → +∞ na˜o implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual
seja crescente), como se pode ver pela Figura 1.8.
5 10 15 20
5
10
15
20
Figura 1.8 A sucessa˜o un = n+ (−1)n
e´ um infinitamente grande, mas na˜o e´ mono´tona.
Das definic¸o˜es, conclui-se imediatamente que
Teorema 1.3.2 Sejam u e v sucesso˜es tais que, a partir de certa ordem, un ≤ vn. Enta˜o,
a) un → +∞⇒ vn → +∞,
b) vn → −∞⇒ un → −∞.
EXEMPLO 15: Consideremos a sucessa˜o
n∑
k=1
1√
k
= 1 +
1√
2
+
1√
3
+ · · ·+ 1√
n
.
Como
1 +
1√
2
+
1√
3
+ · · ·+ 1√
n
≥ n× 1√
n
=
√
n
e
√
n→ +∞ podemos afirmar que 1 + 1√
2
+
1√
3
+ · · ·+ 1√
n
→ +∞ (veja-se a Figura 1.9).
12 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
10 20 30 40 50
2
4
6
8
10
12
Figura 1.9
Teorema 1.3.3 Sejam (un) e (vn) dois infinitamente grandes positivos e (wn) um infinitamente grande
negativo. Enta˜o
a) lim(un + vn) = +∞;
b) lim(un · vn) = +∞;
c) lim(un · wn) = −∞;
d) limupn = +∞ ∀p ∈ N;
e) limwpn =∞ ∀p ∈ N;
f) lim |un| = lim |wn| = +∞.
Definic¸a˜o 1.3.8 Sejam u uma sucessa˜o e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou,
ainda, que o limite da sucessa˜o e´ a), e representa-se un → a, se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ |un − a| < ε.
Isto e´, podemos escolher p tal que todos os termos de un esta˜o no intervalo ]a − ε, a + ε[ qualquer que
seja n > p.
2 4 6 8 10 12 14
a - e
a e+
a
p=5
(a) Se ε = 0, 8 enta˜o a − 0, 8 < un < a + 0, 8
qualquer que seja n ≥ 5.
10 20 30 40
a e+
a - e
p=31
a
(b) Se ε = 0, 05 enta˜o a − 0, 05 < un < a + 0, 05
qualquer que seja n ≥ 31.
Figura 1.10 O valor de p varia com o valor de ε.
EXEMPLO 16: Provemos que un =
1
n
→ 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se p = Int
(1
ε
)
2 enta˜o, para
n > p tem-se
1
n
≤ 1
p+ 1
< ε.
2Se x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la por Int(x)
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 13
5 10 15 20 25 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 1.11 Se ε = 0, 1 enta˜o −ε < 1n < ε se n > 10.
NOTAS:
1. Em linguagem de vizinhanc¸as, a definic¸a˜o e´ equivalente a:
∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a).
2. Poder´ıamos escrever ainda, de forma equivalente,
∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p.
3. Consideremos o conjunto R = R ∪ {−∞,+∞}, em que −∞ e +∞ sa˜o dois objectos matema´ticos,
na˜o reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a relac¸a˜o de ordem:
i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e so´ se, x < y em R.
ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R.
O conjunto R, com esta relac¸a˜o de ordem, designa-se por recta acabada.
Podemos estender a noc¸a˜o de vizinhanc¸a a R. Seja ε ∈ R, ε > 0. Se a ∈ R, chama-se vizinhanc¸a
ε de a ao conjunto Vε(a) =]a − ε, a + ε[ (que coincide, pois, com a vizinhanc¸a em R). Chama-se
vizinhanc¸a ε de +∞ ao conjunto Vε(+∞) =
]
1
ε ,+∞
]
. Chama-se vizinhanc¸a ε de −∞ ao conjunto
Vε(−∞) =
[−∞,− 1ε [.
Com as definic¸o˜es dadas atra´s, podemos unificar, do ponto de vista formal, as definic¸o˜es 1.3.7 e
1.3.8:
xn → a (a ∈ R) se, e so´ se, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a).
Teorema 1.3.4 (Unicidade do limite) Se un → a e un → b enta˜o a = b.
Teorema 1.3.5 Se (un) e (vn) sa˜o sucesso˜es convergentes, enta˜o
a) lim(un + vn) = limun + lim vn;
b) lim(un · vn) = limun · lim vn;
c) lim(un)
p = (limun)
p, p ∈ N;
d) lim
un
vn
=
lim un
lim vn
, ∀n ∈ N e lim vn 6= 0;
e) lim(un)
1/p = (limun)
1/p (se p for par devera´ ser un ≥ 0, ∀n ∈ N;
f) lim |un| = | limun|;
g) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un > 0)⇒ limun ≥ 0;
14 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
h) (∃p ∈ N ∀n ≥ p : un ≥ vn)⇒ limun ≥ lim vn.
Definic¸a˜o 1.3.9 Diz-se que a sucessa˜o u e´ um infinite´simo se un → 0.
NOTA: E´ evidente, a partir das definic¸o˜es, que un → a e´ equivalente a un − a e´ um infinite´simo.
Teorema 1.3.6 Se un → 0 e v e´ uma sucessa˜o limitada, enta˜o un vn → 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja M > 0 tal que |vn| ≤ M, ∀n ∈ N. Dado δ > 0, qualquer, seja p ∈ N, tal que
|un| < δ/M, ∀n > p. Enta˜o |un vn| < δ, ∀n > p.
EXEMPLO 17: Calculemos o limite lim
−2 + 4 cos(n)
n
. Sabemos que −1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que
−6 ≤ −2+ 4 cos(n) ≤ 2, isto e´, a sucessa˜o e´ limitada. Sabemos que a sucessa˜o 1
n
e´ um infinite´simo. Pelo
Teorema 1.3.6 podemos afirmar que
lim
−2 + 4 cos(n)
n
= 0.
10 20 30 40
-6
-4
-2
2
Figura 1.12
Teorema 1.3.7 Toda a sucessa˜o convergente e´ limitada.
NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, a sucessa˜o un = cos(npi) e´ limitada, mas na˜o e´
convergente.
Teorema 1.3.8 (Teorema das sucesso˜es enquadradas) Se un → a, vn → a e, a partir de certa ordem,
un ≤ wn ≤ vn, enta˜o wn → a.
Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0, qualquer. Enta˜o
∃p1 ∈ N : n > p1 ⇒ a− ε < un < a+ ε,
∃p2 ∈ N : n > p2 ⇒ a− ε < vn < a+ ε,
∃p3 ∈ N : n > p3 ⇒ un ≤ wn ≤ vn.
Seja p = max{p1, p2, p3}. Se n > p, enta˜o a− ε < un ≤ wn ≤ vn < a+ ε.
EXEMPLO 18: Calculemos o limite lim
−2 + 4 cos(n)
n
. Sabemos que −1 ≤ cos(n) ≤ 1 o que implica que
− 6
n
≤ −2 + 4 cos(n)
n
≤ 2
n
.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 15
Dado que
1
n
→ 0, podemos afirmar que
lim
−2 + 4 cos(n)
n
= 0.
10 20 30 40 50
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
Figura 1.13
Teorema 1.3.9 Toda a subsucessa˜o de uma sucessa˜o convergente e´ convergente para o mesmo limite.
Teorema 1.3.10 Um conjunto X ⊂ R e´ fechado se, e so´ se, todos os limites das sucesso˜es convergentes,
de elementos de X, pertencem a X.
Teorema 1.3.11 Toda a sucessa˜o mono´tona limitada e´ convergente.
NOTA: A rec´ıproca na˜o e´ verdadeira, isto e´, ha´ sucesso˜es na˜o mono´tonas que sa˜o convergentes. Por
exemplo, a sucessa˜o un = (−1)n 1
n
converge para 0 e na˜o e´ mono´tona (Figura 1.14).
10 20 30 40
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Figura 1.14 A sucessa˜o e´ convergente, mas na˜o e´ mono´tona.
Teorema 1.3.12 Toda a sucessa˜o limitada tem subsucesso˜es convergentes.
Definic¸a˜o 1.3.10 Diz-se que a ∈ R e´ sublimite da sucessa˜o u se existir uma subsucessa˜o de u que
converge para a.
EXEMPLO 19 : −1 e 1 sa˜o sublimites da sucessa˜o un = (−1)n + 1
n
.
NOTAS: Seja S o conjunto dos sublimites da sucessa˜o u.1. Pelo Teorema 1.3.12, se u e´ limitada, S 6= ∅;
2. S pode ser vazio; exemplo: un = n;
16 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Figura 1.15 Sublimites da sucessa˜o un = (−1)n + 1
n
.
3. Se u for convergente, S e´ um conjunto singular (isto e´, so´ com um elemento).
4. S pode ser singular e u na˜o ser convergente; exemplo:
un =


1
n
, se n par
n, se n ı´mpar.
5. S pode ser um conjunto infinito; por exemplo, dada a sucessa˜o
1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
enta˜o S = N.
Teorema 1.3.13 O conjunto dos sublimites de uma sucessa˜o limitada tem ma´ximo e mı´nimo.
Definic¸a˜o 1.3.11 Sejam u uma sucessa˜o limitada e S o conjunto dos sublimites de u. Chama-se li-
mite ma´ximo ou limite superior de u ao ma´ximo de S e representa-se lim un = lim supun = max(S).
Chama-se limite mı´nimo ou limite inferior de u ao mı´nimo de S e representa-se lim un = lim inf un =
min(S). Se u na˜o for limitada superiormente, define-se lim un = +∞. Se u na˜o for limitada inferior-
mente, define-se lim un = −∞. Se un → +∞ define-se lim un = lim un = +∞. Se un → −∞ define-se
lim un = lim un = −∞.
Teorema 1.3.14 Uma sucessa˜o limitada e´ convergente se, e so´ se, lim un = lim un.
Definic¸a˜o 1.3.12 Uma sucessa˜o u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se
∀ε > 0 ∃p ∈ N : m,n > p⇒ |un − um| < ε.
EXEMPLO 20: un =
1
n
e´ sucessa˜o de Cauchy. De facto, sejam m,n > p; enta˜o
∣∣ 1
n
− 1
m
∣∣ ≤ 1
n
+
1
m
<
1
p
+
1
p
=
2
p
. Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p >
2
ε
.
NOTA: Na definic¸a˜o de sucessa˜o convergente, introduzimos um elemento externo a` sucessa˜o, o limite.
A sucessa˜o converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessa˜o “esta˜o perto” do limite.
Na definic¸a˜o de sucessa˜o de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessa˜o uns com os outros.
Dizemos que a sucessa˜o e´ de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessa˜o “esta˜o
perto” uns dos outros.
Teorema 1.3.15 Uma sucessa˜o real e´ convergente se, e so´ se, for de Cauchy.
1.3 Sucesso˜es de nu´meros reais 17
NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessa˜o e´ convergente sem ter que calcular o seu
limite. Consideremos a sucessa˜o:
un = 1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; enta˜o
|un − um| =
∣∣ 1
(m+ 1)2
+
1
(m+ 2)2
+ · · ·+ 1
n2
∣∣ = 1
(m+ 1)2
+
1
(m+ 2)2
+ · · ·+ 1
n2
≤
≤ 1
m(m+ 1)
+
1
(m+ 1)(m+ 2)
+ · · ·+ 1
(n− 1)n =
=
(
1
m
− 1
m+ 1
)
+
(
1
m+ 1
− 1
m+ 2
)
+ · · ·
(
1
n− 1 −
1
n
)
=
1
m
− 1
n
≤ 1
m
Se p >
1
ε
e n ≥ m > p, obtemos |un − um| < ε pelo que a sucessa˜o e´ de Cauchy, portanto convergente.
18 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos
1.4.1 Noc¸o˜es Topolo´gicas
1. Considere a expressa˜o designato´ria definida, no conjunto dos nu´meros reais, por
√
x2 − 4x+ 3
log(x + 2)
e
seja A o seu domı´nio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |x− 1| < 3}.
(a) Apresentando todos os ca´lculos, escreva A e B como unia˜o de intervalos.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A ∩B.
2. Considere os conjuntos A e B definidos por
A = {x ∈ R : log(x
2)
|x2 − 4| ≥ 0} e B = {x ∈ R : |x
2 − 1| < 1}.
(a) Exprima A e B como unia˜o de intervalos.
(b) Determine o interior de A ∪B, os minorantes de A ∩B e os pontos de acumulac¸a˜o de B.
3. Considere a expressa˜o designato´ria definida, no conjunto dos nu´meros reais, por
1
log(x2 − 9) e seja
A o seu domı´nio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |x+ 1| < 1}.
(a) Apresentando todos os ca´lculos, escreva A e B como unia˜o de intervalos.
(b) Determine a fronteira de A ∪B. Averigu´e se A ∪B e´ um conjunto aberto. Justifique.
4. Considere os conjuntos A e B definidos por
A = {x ∈ R : |arctg(x)| ≥ pi
4
} e B = {x ∈ R : (x− 1)(x+ 3) ≤ 0}.
(a) Exprima A e B como unia˜o de intervalos.
(b) Determine o interior, a fronteira, os majorantes, os minorantes e os pontos de acumulac¸a˜o de
A ∩B.
5. Considere a expressa˜o designato´ria definida, no conjunto dos nu´meros reais, por
log(x2 − 3x+ 2)√
9− x2
e seja A o seu domı´nio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : 0 < |x+ 1| ≤ 4}.
(a) Apresentando todos os ca´lculos, escreva A ∩B como unia˜o de intervalos.
(b) Determine o conjunto dos pontos interiores e o derivado de B e a fronteira de A ∩B.
6. Considere a expressa˜o designato´ria definida, no conjunto dos nu´meros reais, por
arcsen(2x− 3)
log(x2 − 1) e
seja A o seu domı´nio. Considere o seguinte subconjunto de R:
B = {x ∈ R : |
√
2x| ≤
√
6}.
(a) Apresentando todos os ca´lculos, escreva A ∩B como unia˜o de intervalos.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 19
(b) Determine, justificando, o conjunto dos pontos fronteiros de A ∩ B. Averigu´e se o conjunto
A ∩B e´ fechado.
RESOLUC¸A˜O
1. (a) O conjunto A e´ o conjunto dos valores de x para os quais a expressa˜o faz sentido, isto e´,
A = {x ∈ R : x2 − 4x+ 3 ≥ 0 ∧ x+ 2 > 0 ∧ log(x + 2) 6= 0}.
Usando a fo´rmula resolvente para a equac¸a˜o de grau 2 temos
x2 − 4x+ 3 ≥ 0⇔ (x− 1)(x− 3) ≥ 0
Os nu´meros 1 e 3 dividem a recta em treˆs intervalos: ] − ∞, 1[, ]1, 3[ e ]3,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x − 1)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.16,
portanto,
(x − 1)(x− 3) ≥ 0⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 3.
1 3
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.16
Como log(x+ 2) 6= 0⇔ x+ 2 6= 1, temos (ver Figura 1.17)
A = {x ∈ R : (x ≤ 1 ∨ x ≥ 3) ∧ x > −2 ∧ x 6= −1}
=
(
]−∞, 1] ∪ [3,+∞[ ) ∩ ]− 2,+∞[ ∩ ( ]−∞,−1[ ∪ ]− 1,+∞[ )
= ]− 2,−1[ ∪ ]− 1, 1[ ∪ [3,+∞[.
1 3
-2 -1
Figura 1.17
Sabemos que |x− 1| < 3⇔ −3 < x− 1 < 3⇔ −2 < x < 4, portanto, B =]− 2, 4[.
(b) Seja a ∈ B. Seja ε = min(a + 2, 4 − a). A vizinhanc¸a de a, ]a − ε, a + ε[ esta´ contida em B
(ver Figura 1.18), portanto, a ∈ int(B). Podemos afirmar que int(B) = B =]− 2, 4[.
-2 4a
a+ 2 4 -a
Figura 1.18
O derivado de B, B′, e´ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de B. Neste caso, B′ = [−2, 4].
20 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
-2 4
-2 -1 1 3
Figura 1.19
Determinemos o conjunto A ∩B (ver Figura 1.19.
A ∩B = ( ]− 2,−1[ ∪ ]− 1, 1[ ∪ [3,+∞[ ) ∩ ]− 2, 4[=]− 2,−1[ ∪ ]− 1, 1[ ∪ [3, 4[.
A fronteira e´ o conjunto fr(A ∩ B) = {−2,−1, 1, 3, 4} porque sa˜o estes os u´nicos pontos tais
que todas as vizinhanc¸as intersectam o conjunto A ∩B e o seu complementar.
2. (a) O conjunto A pode escrever-se como
A = {x ∈ R : log(x2) ≥ 0 ∧ x2 > 0 ∧ |x2 − 4| > 0}
= {x ∈ R : x2 ≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x2 − 4 6= 0}
= {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2}
A expressa˜o x2 − 1 e´ um caso nota´vel da multiplicac¸a˜o:
x2 − 1 ≥ 0⇔ (x− 1)(x+ 1) ≥ 0
Os nu´meros -1 e 1 dividem a recta em treˆs intervalos: ]−∞,−1[, ]− 1, 1[ e ]1,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x − 1)(x + 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.20,
portanto,
(x− 1)(x+ 1) ≥ 0⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 1.
-1 1
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.20
Finalmente,
A = {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= −2}
=
(
]−∞,−1] ∪ [1,+∞[ ) \ {−2, 0, 2}
= ]−∞,−2[ ∪ ]− 2,−1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2,+∞[
e
B = {x ∈ R : −1 < x2 − 1 < 1} = {x ∈ R : x2 > 0 ∧ x2 − 2 < 0}
= {x ∈ R : x 6= 0 ∧ (x−√2)(x +√2) < 0}
= ] −√2,√2 [ \{0} = ]−√2, 0 [ ∪ ] 0,√2[
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 21
-2
+++++++++0----------------0+++++++++
2
Figura 1.21
(b) Determinemos os conjuntos A ∩B e A ∪B (ver Figura 1.22).
A ∩B = ( ]−∞,−2[ ∪ ]− 2,−1] ∪ [1, 2[ ∪ ]2,+∞[ ) ∩ ( ]−√2, 0 [ ∪ ] 0,√2[ )
= ]−√2,−1[ ∪ ]1,√2[.
A ∪B = ( ]−∞,−2[ ∪ ]− 2,−1]∪ [1, 2[ ∪ ]2,+∞[ ) ∪ ( ]−√2, 0 [ ∪ ] 0,√2[ )
= ]−∞,−2[ ∪ ]− 2, 0[ ∪ ]0, 2[ ∪ ]2,+∞[.
-2 -1 1 2
-2 20
Figura 1.22
O conjunto dos minorantes de A ∩B e´ o conjunto ]−∞,−√2], o interior de A ∪B e´ A ∪B e
o derivado de B e´ [−√2,√2].
3. (a) O conjunto A e´ o conjunto dos valores de x para os quais a expressa˜o faz sentido, isto e´,
A = {x ∈ R : x2 − 9 > 0 ∧ log(x2 − 9) 6= 0}
A expressa˜o x2 − 9 e´ um caso nota´vel da multiplicac¸a˜o:
x2 − 9 > 0⇔ (x+ 3)(x− 3) > 0.
Os nu´meros -3 e 3 dividem a recta em treˆs intervalos: ]−∞,−3[, ]− 3, 3[ e ]3,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x + 3)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.23,
portanto,
(x+ 3)(x− 3) > 0⇔ x < −3 ∨ x > 3.
-3 3
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.23
22 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Como log(x2 − 9) 6= 0⇔ x2 − 9 6= 1⇔ x2 6= 10⇔ x 6= √10 ∧ x 6= −√10, temos
A = {x ∈ R : (x < −3 ∨ x > 3) ∧ x 6= √10 ∧ x 6= −√10}
=
(
]−∞,−3[ ∪ ]3,+∞[ ) \ {−√10,√10}
= ]−∞,−√10[ ∪ ]−√10,−3[ ∪ ]3,√10[ ∪ ]√10,+∞[.
Sabemos que |x+ 1| < 1⇔ −1 < x+ 1 < 1⇔ −2 < x < 0, portanto, B =]− 2, 0[.
(b) Detrminemos o conjunto A ∪B:
A ∪B = ( ]−∞,−√10[ ∪ ]−√10,−3[ ∪ ]3,√10[ ∪ ]√10,+∞[ ) ∪ ]− 2, 0 [.
-3 3
-2 0
-10 10
Figura 1.24
Os pontos fronteiros de A ∪ B formam o conjunto {−√10,−3,−2, 0, 3,√10}. Como nenhum
dos pontos fronteiros pertence a A ∪B podemos concluir que int(A ∪ B) = A ∪B, ou seja, o
conjunto e´ aberto.
4. (a) O conjunto A pode escrever-se como
A = {x ∈ R : arctg(x) ≥ pi4 ∨ arctg(x) ≤ −pi4 }
= {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}
= ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[
-4 -2 2 4
p
2
p
2
-
-1
p
4
-
p
4
1
Figura 1.25 O gra´fico da func¸a˜o arctg(x).
Os nu´meros -3 e 1 dividem a recta em treˆs intervalos: ]−∞,−3[, ]− 3, 1[ e ]1,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x − 1)(x + 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.26,
portanto,
(x− 1)(x+ 3) ≤ 0⇔ −3 ≤ x ≤ 1.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 23
-3 1
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.26
Temos B = [−3, 1].
(b) O conjunto A ∩ B = [−3,−1] ∪ {1}. O conjunto dos majorantes de A ∩ B e´ ] − ∞,−3], o
conjunto dos minorantes e´ [1,+∞[, a fronteira e´ {−3,−1, 1}, o interior e´ ]−3,−1[ e o derivado
e´ [−3,−1].
5. (a) O conjunto A e´ o conjunto dos valores de x para os quais a expressa˜o faz sentido, isto e´,
A = {x ∈ R : x2 − 3x+ 2 > 0 ∧ 9− x2 > 0}
A expressa˜o 9− x2 e´ um caso nota´vel da multiplicac¸a˜o
9− x2 > 0⇔ x2 − 9 < 0⇔ (x+ 3)(x− 3) < 0.
Os nu´meros -3 e 3 dividem a recta em treˆs intervalos: ]−∞,−3[, ]− 3, 3[ e ]3,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x + 3)(x − 3) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.27,
portanto,
(x+ 3)(x− 3) < 0⇔ −3 < x < 3.
-3 3
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.27
Ale´m disso, usando a fo´rmula resolvente, temos
x2 − 3x+ 2 > 0⇔ (x − 1)(x− 2) > 0.
Os nu´meros 1 e 2 dividem a recta em treˆs intervalos: ] − ∞, 1[, ]1, 2[ e ]2,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x − 1)(x − 2) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.28,
portanto,
(x − 1)(x− 2) < 0⇔ x < 1 ∨ x > 2.
Podemos concluir que
A =]− 3, 3[ ∩ ( ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ ) =]− 3, 1[ ∪ ]2, 3[.
1 2
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.28
Sabemos que 0 < |x + 1| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x + 1 ≤ 4 ∧ x + 1 6= 0 ⇔ −5 ≤ x ≤ 3 ∧ x 6= −1,
portanto, B = [−5,−1[ ∪ ]− 1, 3]. Assim,
A ∩B = ( ]− 3, 1[ ∪ ]2, 3[ ) ∩ ( [−5,−1[ ∪ ]− 1, 3] ) =]− 3,−1[ ∪ ]− 1, 1[ ∪ ]2, 3[.
24 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
(b) O conjunto dos pontos interiores de B e´ ] − 5,−1[ ∪ ] − 1, 3[, o derivado de B e´ [−5, 3] e a
fronteira de A ∩B e´ o conjunto {−3,−1, 1, 2, 3}.
6. (a) O conjunto A e´ o conjunto dos valores de x para os quais a expressa˜o faz sentido, isto e´,
A = {x ∈ R : −1 ≤ 2x− 3 ≤ 1 ∧ x2 − 1 > 0 ∧ log(x2 − 1) 6= 0}
A expressa˜o x2 − 1 e´ um caso nota´vel da multiplicac¸a˜o:
x2 − 1 > 0⇔ (x+ 1)(x− 1) > 0.
Os nu´meros -1 e 1 dividem a recta em treˆs intervalos: ]−∞,−1[, ]− 1, 1[ e ]1,+∞[. Em cada
um desses intervalos o produto (x + 1)(x − 1) toma o sinal que se pode ver na Figura 1.29,
portanto,
(x+ 1)(x− 1) > 0⇔ x < −1 ∨ x > 1.
-1 1
+++++++++0----------------0+++++++++
Figura 1.29
A = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x2 6= 2}
= {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2 ∧ (x > 1 ∨ x < −1) ∧ x 6= −√2 ∧ x 6= √2}
=
(
]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[ ) ∩ [1, 2] ∩ ( ]−∞,−√2[ ∪ ]−√2,√2[ ∪ ]√2,+∞[ )
= ]1,
√
2[ ∪ ]√2, 2[.
Como |√2x| ≤ √6⇔ |x| ≤ √3⇔ −√3 ≤ x ≤ √3, portanto, B = [−√3,√3].
Determinemos A ∩B.
A ∩B = ( ]1,√2[ ∪ ]√2, 2[ ) ∩ [−√3,√3] = ]1,√2[ ∪ ]√2,√3[.
(b) A fronteira de A∩B e´ o conjunto {1,√2,√3}. Como os elementos da fronteira na˜o pertencem
a A ∩B, este conjunto na˜o e´ fechado.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 25
1.4.2 Induc¸a˜o Matema´tica
1. Prove, pelo me´todo de induc¸a˜o matema´tica, que
(a) 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n, ∀n ∈ N;
(b)
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
= 1− 1
2n
, ∀n ∈ N;
(c)
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
, ∀n ∈ N.
2. Prove, pelo me´todo de induc¸a˜o matema´tica, que
(a)
n∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n
2n+ 1
, ∀n ∈ N;
(b)
n∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
= n3−n, ∀n ∈ N;
(c)
n∏
k=1
(2k − 1) = (2n)!
2nn!
, ∀n ∈ N.
3. Prove, pelo me´todo de induc¸a˜o matema´tica, que
(a) 5 e´ factor de 24n−2 + 1, ∀n ∈ N;
(b) 42n − 1 e´ divis´ıvel por 5, ∀n ∈ N;
(c) 3n > 2n + 10n, ∀n ≥ 4;
(d) 12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n
3
3
, ∀n ∈ N;
(e)
n∑
k=1
k <
(n+ 1)2
2
, ∀n ∈ N.
4. Seja i tal que i2 = −1. Mostre, por induc¸a˜o, que
(a)
(
1 + i
1− i
)n
= cis
(npi
2
)
, ∀n ∈ N.
(b) (−sen(α) + i cos(α))n = cis(n(pi
2
+ α)), ∀n ∈ N.
(c)
4n∑
k=1
1
ik
= 0, ∀n ∈ N.
RESOLUC¸A˜O
1. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que 2+4+6+ · · ·+2n = n2 +n,
∀n ∈ N. Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira: 2×1 = 12+1.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n
e a tese de induc¸a˜o e´
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n+ 2(n+ 2) = (n+ 1)2 + n+ 1.
26 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Enta˜o
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n+ 2(n+ 2) = n2 + n+ 2n+ 2 = n2 + 2n+ 1 + n+ 1 = (n+ 1)2 + n+ 1,
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n, ∀n ∈ N.
(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
= 1− 1
2n
,
∀n ∈ N. Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira: 1
2
= 1− 1
2
.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
= 1− 1
2n
e a tese de induc¸a˜o e´
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
= 1− 1
2n+1
.
Enta˜o
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
= 1− 1
2n
+
1
2n+1
= 1− 1
2n
(
1− 1
2
)
= 1− 1
2n
· 1
2
= 1− 1
2n+1
,
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
= 1− 1
2n
, ∀n ∈ N.
(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
∀n ∈ N. Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Veˆ-se facilmente que p(1) e´ verdadeira: 1
1× 2 =
1
2
.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
e a tese de induc¸a˜o e´
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
+
1
(n+ 1)(n+ 2)
=
n+ 1
n+ 2
.
Enta˜o
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
+
1
(n+ 1)(n+ 2)
=
n
n+ 1
+
1
(n+ 1)(n+2)
=
n(n+ 2) + 1
(n+ 1)(n+ 2)
=
(n+ 1)2
(n+ 1)(n+ 2)
=
n+ 1
n+ 2
,
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + · · ·+
1
n(n+ 1)
=
n
n+ 1
, ∀n ∈ N.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 27
2. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
n∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n
2n+ 1
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
1∑
k=1
1
4k2 − 1 =
1
4× 12 − 1 =
1
3
=
1
2× 1 + 1 .
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
n∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n
2n+ 1
e a tese de induc¸a˜o e´
n+1∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n+ 1
2(n+ 1) + 1
.
Enta˜o
n+1∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n∑
k=1
1
4k2 − 1 +
1
4(n+ 1)2 − 1 =
n
2n+ 1
+
1
(2(n+ 1)− 1)(2(n+ 1) + 1)
=
n
2n+ 1
+
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
=
n(2n+ 3) + 1
(2n+ 1)(2n+ 3)
=
2n2 + 3n+ 1
(2n+ 1)(2n+ 3)
=
(n+ 1)(2n+ 1)
(2n+ 1)(2n+ 3)
=
n+ 1
2n+ 3
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
n∑
k=1
1
4k2 − 1 =
n
2n+ 1
, ∀n ∈ N.
(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
n∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
= n3−n, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
1∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
=
1
31
− 1− 1
31−1
=
1
3
= 1× 3−1.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
n∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
= n 3−n
e a tese de induc¸a˜o e´
n+1∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
= (n+ 1)3−(n+1).
28 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Enta˜o
n+1∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
=
n∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
+
(
n+ 1
3n+1
− n
3n
)
= n 3−n +
(
n+ 1
3n+1
− n
3n
)
= n 3−n +
n+ 1− 3n
3n+1
=
n+ 1
3n+1
= (n+ 1) 3−(n+1)
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
n∑
k=1
(
k
3k
− k − 1
3k−1
)
= n3−n, ∀n ∈ N.
(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
n∏
k=1
(2k − 1) = (2n)!
2nn!
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
1∏
k=1
(2k − 1) = 2× 1− 1 = 1 = 2× 1
21 × 1! .
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
n∏
k=1
(2k − 1) = (2n)!
2nn!
e a tese de induc¸a˜o e´
n+1∏
k=1
(2k − 1) = (2(n+ 1))!
2n+1(n+ 1)!
.
Enta˜o
n+1∏
k=1
(2k − 1) =
(
n∏
k=1
(2k − 1)
)(
2(n+ 1)− 1) = (2n)!
2nn!
· (2n+ 1)
=
(2n+ 1)!
2nn!
=
(2n+ 2)(2n+ 1)!
2nn! (2n+ 2)
=
(2n+ 2)!
2n+1n! (n+ 1)
=
(2(n+ 1))!
2n+1(n+ 1)!
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
n∏
k=1
(2k − 1) = (2n)!
2nn!
, ∀n ∈ N.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 29
3. (a) A proposic¸a˜o ”5 e´ factor de 24n−2 + 1, ∀n ∈ N”, e´ equivalente a ”24n−2 + 1 e´ mu´ltiplo de 5,
∀n ∈ N.
O nu´mero 24n−2+1 e´ mu´ltiplo de 5 se existir um nu´mero inteiro positivo k tal que 24n−2+1 =
5k.
Substituindo n por 1 na expressa˜o 24n−2 + 1 obtemos 22 + 1 = 5× 1, portanto a propriedade
e´ va´lida para n = 1.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
∃k ∈ N : 24n−2 + 1 = 5k.
A tese de induc¸a˜o e´
∃k′ ∈ N : 24(n+1)−2 + 1 = 5k′.
Temos
24(n+1)−2 + 1 = 24n+2 + 1 = 24n−224 + 1 = 24n−224 + 24 − 24 + 1
= 24(24n−2 + 1)− 24 + 1 = 24 5k − 15 = 5(24 k − 3).
Seja k′ = 24 k − 3. Como k′ ∈ N podemos dizer que
24(n+1)−2 + 1 = 5k′
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que 24n+2 + 1 e´ mu´ltiplo de 5, ∀n ∈ N.
(b) Provemos por induc¸a˜o que 42n − 1 e´ mu´ltiplo de 5, ∀n ∈ N.
O nu´mero 42n−1 e´ mu´ltiplo de 5 se existir um nu´mero inteiro positivo k tal que 42n−1 = 5k.
Substituindo n por 1 na expressa˜o 42n − 1 obtemos 42 + 1 = 5 × 3, portanto a propriedade e´
va´lida para n = 1.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
∃k ∈ N : 42n − 1 = 5k.
A tese de induc¸a˜o e´
∃k′ ∈ N : 42n+2 − 1 = 5k′.
Temos
42n+2 − 1 = 42n42 − 1 = 42n42 − 42 + 42 − 1 = 42(42n − 1) + 24 − 1
= 42 5k + 24 − 1 = 5(42 k + 3).
Seja k′ = 42 k + 3. Como k′ ∈ N podemos dizer que
24(n+1)−2 + 1 = 5k′
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que 42n − 1 e´ mu´ltiplo de 5, ∀n ∈ N.
(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
3n ≥ 2n + 10n, ∀n ≥ 4.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Comecemos por verificar que p(4) e´ verdadeira. Substituindo
n por 4 obtemos 34 = 81 ≥ 56 = 24 + 40 que e´ uma proposic¸a˜o verdadeira. A hipo´tese de
induc¸a˜o e´
3n ≥ 2n + 10n
30 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
e a tese de induc¸a˜o e´
3n+1 ≥ 2n+1 + 10(n+ 1).
Enta˜o
3n+1 = 3× 3n ≥ 3 (2n + 10n) = 3× 2n + 3× 10n
≥ 2n+1 + 10n+ 20n ≥ 2n+1 + 10n+ 10 = 2n+1 + 10(n+ 1)
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
3n ≥ 2n + 10n, ∀n ≥ 4.
(d) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n
3
3
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Comecemos por verificar que p(1) e´ verdadeira. Substituindo
n por 1 obtemos 02 = 0 ≥ 1
3
que e´ uma proposic¸a˜o verdadeira. A hipo´tese de induc¸a˜o e´
12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n
3
3
e a tese de induc¸a˜o e´
12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 + n2 < (n+ 1)
3
3
.
Enta˜o
12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 + n2 < n
3
3
+ n2 =
n3 + 3n2
3
<
n3 + 3n2 + 3n+ 1
3
=
(n+ 1)3
3
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n
3
3
, ∀n ∈ N.
(e) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
n∑
k=1
k <
(n+ 1)2
2
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Comecemos por verificar que p(1) e´ verdadeira. Substituindo
n por 1 obtemos
1∑
k=1
k = 1 < 2 =
(1 + 1)2
2
que e´ uma proposic¸a˜o verdadeira. A hipo´tese de
induc¸a˜o e´
n∑
k=1
k <
(n+ 1)2
2
e a tese de induc¸a˜o e´
n+1∑
k=1
k <
(n+ 2)2
2
.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 31
Enta˜o
n+1∑
k=1
k =
n∑
k=1
k + (n+ 1) <
(n+ 1)2
2
+ (n+ 1) =
n2 + 4n+ 3
2
<
n2 + 4n+ 4
2
=
(n+ 2)2
2
Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
n∑
k=1
k <
(n+ 1)2
2
, ∀n ∈ N.
4. (a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que(
1 + i
1− i
)n
= cis
(npi
2
)
, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
1 + i
1− i =
√
2 cis(pi4 )√
2 cis(−pi4 )
= cis(
pi
4
− (−pi
4
)) = cis(
pi
2
).
A hipo´tese de induc¸a˜o e´ (
1 + i
1− i
)n
= cis
(npi
2
)
e a tese de induc¸a˜o e´ (
1 + i
1− i
)n+1
= cis
(
(n+ 1)pi
2
)
.
Enta˜o
(
1 + i
1− i
)n+1
=
(
1 + i
1− i
)n(
1 + i
1− i
)
= cis(
npi
2
) · cis(pi
2
)
= cis(
npi
2
+
pi
2
) = cis
(
(n+ 1)pi
2
)
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que(
1 + i
1− i
)n+1
= cis
(
(n+ 1)pi
2
)
, ∀n ∈ N.
(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
(−sen(α) + i cos(α))n = cis(n(pi
2
+ α)), ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
−sen(α) + i cos(α) = i (cos(α) + isen(α)) = i cis(α) = cis(pi
2
) · cis(α) = cis(pi
2
+ α).
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
(−sen(α) + i cos(α))n = cis(n(pi
2
+ α))
32 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
e a tese de induc¸a˜o e´
(−sen(α) + i cos(α))n+1 = cis((n+ 1)(pi
2
+ α)).
Enta˜o
(−sen(α) + i cos(α))n+1 = (−sen(α) + i cos(α))n(−sen(α) + i cos(α))
= cis(n(
pi
2
+ α))(cis(
pi
2
+ α))
= cis((n+ 1)(
pi
2
+ α))
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜opodemos concluir que
(−sen(α) + i cos(α))n = cis(n(pi
2
+ α)), ∀n ∈ N.
(c) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que
4n∑
k=1
1
ik
= 0, ∀n ∈ N.
Seja p(n) a proposic¸a˜o anterior. Verifiquemos que p(1) e´ verdadeira:
4∑
k=1
1
ik
=
1
i
+
1
i2
+
1
i3
+
1
i4
=
1
i
− 1− 1
i
+ 1 = 0.
A hipo´tese de induc¸a˜o e´
4n∑
k=1
1
ik
= 0
e a tese de induc¸a˜o e´
4n+4∑
k=1
1
ik
= 0.
Enta˜o
4n+4∑
k=1
1
ik
=
4n∑
k=1
1
ik
+
1
i4n+1
+
1
i4n+2
+
1
i4n+3
+
1
i4n+4
=
1
i
+
1
i2
+
1
i3
+
1
i4
= 0
portanto, a proposic¸a˜o p(n+ 1) e´ va´lida. Pelo Princ´ıpio de induc¸a˜o podemos concluir que
4n∑
k=1
1
ik
= 0, ∀n ∈ N.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 33
1.4.3 Sucesso˜es
1. Sejam (xn) ⊂ R uma sucessa˜o, xn → ∞, P (x) = a0 xp + · · · + ap e Q(x) = b0 xq + · · · + bq duas
func¸o˜es polinomiais de coeficientes reais, p, q ∈ N, a0 6= 0, b0 6= 0. Mostre que
(a) limP (xn) = lim a0 x
p
n =∞.
(b)
lim
P (xn)
Q(xn)
= lim
a0 x
p
n
b0 x
q
n
=


a0
b0
se p = q,
∞ se p > q,
0 se p < q.
2. Considere a sucessa˜o de termo geral an, em que a ∈ R. Prove que
(a) Se a > 1, lim an = +∞;
(b) Se a < −1, lim an =∞;
(c) Se |a| < 1, lim an = 0;
(d) Se a = 1, lim an = 1;
(e) Se a = −1, a sucessa˜o e´ divergente.
3. Mostre que
(a) Se un → u (u ∈ R ) enta˜o u1 + · · ·+ un
n
→ u.
(b) Se a ∈ R, a > 0, enta˜o lim n√a = 1.
(c) Se un > 0, ∀n ∈ N e un+1
un
→ b, (b ∈ R, b ≥ 0) enta˜o n√un → b.
Observac¸a˜o: em particular n
√
n→ 1.
(d) n
√
un → b 6⇒ un+1
un
→ b, (un > 0, ∀n ∈ N).
4. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucesso˜es
(a)
3
√
n2 + n+ n
4
√
2n4 + 1 +
√
n
+ n
√
n;
(b)
√
n3 + 2n4 + 1− n
−2n2 + 3√n2 + 3 ;
(c)
√
n+ 1 (1 + 2
√
n )
n+ 3
√
n
;
(d)
3
√
1− 27n3
1 + 4n
.
(e)
n((−1)n +√n)
2 +
√
n3 + 1
(f)
n 3
√
n2 + 2
n2 + (−1)n n ;
(g)
2n e1/n
(−1)n +√n2 + 5
5. Calcule os limites das seguintes sucesso˜es
(a)
(
n2 − 1
n2
)n
;
(b)
(
4n − 5
4n + 3
)2n
;
(c)
(
n+ 2
n+ 4
)n+1
;
(d)
(
2 + n
5 + 5n
)n
;
(e)
(
3n+ 1
3n+ 2
)n
;
(f)
(
3− 2n+ 1
n
)4n−2
;
34 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
(g)
(
2n+ 5
2n+ 1
)n+4
; (h)
(
n2 + 3
2n2 + 1
)n
earctg(n).
6. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucesso˜es:
(a)
3n sen(23n + 1)
23n + 1
;
(b)
1
n
cos(n+ 1) log(n);
(c)
1
arctg(n)
;
(d)
n2 + 3
n
√
n3 + 2
cos(
√
n3 + 2);
(e)
1
n
n
√
n!;
(f)
n
√
n2 e−n −
(
n4
n4 + 1
)n4
;
(g)
n sen(n)
2n
√
5n3 + 1
;
(h)
√
n2 + 2n− n;
(i)
3n − 5
5n + 3
.
7. Calcule, justificando, os limites das seguintes sucesso˜es:
(a)
n−1∑
k=1
sen2(n)
n2 + 3k2
;
(b)
n∑
k=1
5n√
n4 + k
;
(c)
n∑
k=1
3
√
2n
3
√
n4 + k
.
8. (a) Calcule, justificando, o limite da sucessa˜o an = (
√
2n+ 1−
√
2n). cos2(n).
(b) Determine, justificando, o conjunto dos sublimites da sucessa˜o bn = sen
(npi
2
)
.arctg(n)
9. Considere a sucessa˜o
un =
n
√
1 + 2(−1)n n
(a) Escreva a subsucessa˜o dos termos de ı´ndice par e calcule o seu limite.
(b) Escreva a subsucessa˜o dos termos de ı´ndice ı´mpar e calcule o seu limite.
(c) Calcule limun e limun.
(d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, que pode concluir quanto a` convergeˆncia da sucessa˜o?
10. Considere a sucessa˜o, definida por recorreˆncia{
u1 =
√
2
un+1 =
√
2 un
(a) Prove, por induc¸a˜o, que 0 < un < 2, ∀n ∈ N.
(b) Prove que a sucessa˜o e´ crescente.
(c) Prove que a sucessa˜o e´ convergente.
(d) Calcule o limite da sucessa˜o.
11. Considere a sucessa˜o {
a1 =
√
2
an+1 = (
√
2)an .
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 35
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que
√
2 ≤ an < 2, ∀n ∈ N.
(b) Mostre, por induc¸a˜o, que a sucessa˜o (an) e´ crescente.
(c) Mostre que existe a ≤ 2 tal que an → a.
12. Seja a ∈ R um nu´mero positivo. Considere a sucessa˜o de nu´meros reais definida, por recorreˆncia,
 x1 = axn+1 = xn
2 + xn
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que xn > 0, ∀n ∈ N.
(b) Mostre que a sucessa˜o e´ decrescente.
(c) Mostre que a sucessa˜o e´ convergente e calcule o seu limite.
13. Seja a ∈ R um nu´mero positivo. Considere a sucessa˜o de nu´meros reais, definida por recorreˆncia,
 x0 = 0, x1 = axn+1 = xn + x2n−1
(a) Mostre que a sucessa˜o e´ crescente.
(b) Mostre que xn > 0, ∀n ∈ N.
(c) Mostre que se existir b ∈ R tal que limxn = b, enta˜o b = 0.
(d) Tendo em conta as al´ıneas anteriores, calcule limxn.
14. Considere a sucessa˜o de nu´meros reais definida, por recorreˆncia,
 x1 = 2xn+1 = xn
2
+
1
xn
, ∀n ≥ 1.
A sucessa˜o (xn) verifica a relac¸a˜o xn >
√
2, ∀n ∈ N (admita este facto sem o mostrar).
(a) Mostre que a sucessa˜o (xn) e´ mono´tona.
(b) Mostre que a sucessa˜o (xn) e´ convergente.
(c) Calcule o limite da sucessa˜o (xn).
15. Considere a sucessa˜o de nu´meros reais definida, por recorreˆncia,

x1 = 3
xn+1 =
x2n + 3
2 xn
, ∀n ∈ N.
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que xn −
√
3 ≥ 0, ∀n ∈ N.
(b) Mostre que a sucessa˜o (xn) e´ decrescente.
(c) Mostre que a sucessa˜o (xn) e´ convergente.
(d) Calcule o limite da sucessa˜o (xn).
16. Considere a sucessa˜o de nu´meros reais definida, por recorreˆncia,

x0 = 1
xn+1 =
1
2
(
xn +
2
xn
)
36 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
(a) Mostre, por induc¸a˜o, que 1 ≤ xn ≤ 2, ∀n ∈ N0.
(b) Mostre que an ≥ an+1, ∀n ≥ 2.
(c) Mostre que a sucessa˜o e´ convergente e calcule o seu limite.
RESOLUC¸A˜O
1.
2.
3.
4. (a) Seja an =
3
√
n2 + n+ n
4
√
2n4 + 1 +
√
n
. Vamos dividir o numerador e o denominador do quociente que
define a sucessa˜o an por n elevado a` maior poteˆncia:
an =
3
√
n2 + n+ n
4
√
2n4 + 1 +
√
n
=
3
√
n2 + n+ n
n
4
√
2n4 + 1 +
√
n
n
=
3
√
n2 + n
n3
+ 1
4
√
2n4 + 1
n4
+
√
n
n2
=
3
√
1
n
+
1
n2
+ 1
4
√
2 +
1
n4
+
√
1
n
.
Logo:
lim an =
1
4
√
2
.
Como lim n
√
n = 1 podemos concluir que
lim
(
3
√
n2 + n+ n
4
√
2n4 + 1 +
√
n
+ n
√
n = 1
)
=
1
4
√
2
+ 1.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5. (a)
(b)
(c)
(d) Vamos poˆr em evideˆncia n na fo´rmula que define (an):
an =
(
n( 2n + 1)
5n(1 + 1n )
)n
=
(
1
5
)n (1 + 2n )n
(1 + 1n )
n
.
Sabemos que, ∀x ∈ R:
lim
(
1 +
x
n
)n
= ex,
logo:
lim an = lim
(
1
5
)n
e2
e
= 0.e = 0.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 37
(e)
(f) Nota: O objectivo no ca´lculo deste limite e´ fazer aparecer um limite da forma:
lim(1 +
x
n
)n = ex.
Temos, ∀n ∈ N:
an =
(
3− 2n+ 1
n
)4n−2
=
(3 − 2− 1n )4n
(3− 2n+1n )2
=
[(
1− 1n
)n]4
(1− 1n )2
,
logo e´ evidente que:
lim an = e
−4.
(g)
(h)
6. (a)
(b) Vamos utilizar o facto de a func¸a˜o coseno ser limitada. Temos, ∀n ∈ N:
|cos(n+ 1)| ≤ 1,
logo, ∀n ∈ N:
0 ≤ |αn| =
∣∣∣∣ 1n cos (n+ 1) log (n)
∣∣∣∣ ≤ log (n)n = log( n√n).
Como sabemos que:
lim
n→∞ log(
n
√
n) = 0,
podemos concluir pelo teorema das sucesso˜es enquadradas que:
lim
n→∞
αn = 0.
(c)
(d) Seja an =
n2 + 3
n
√
n3 + 2
cos(
√
n3 + 2). Para todo n, temos :
∣∣∣cos (√n3 + 2)∣∣∣ ≤ 1,
logo, para todo o n:
0 ≤ |an| ≤ n
2 + 3
n
√
n3 + 2
.
Dividindo o numerador e o denominador da sucessa˜o majorante pela maior poteˆncia de n
temos:
lim
n2 + 3
n
5
2
n
√
n3 + 2
n
5
2
= lim
n2 + 3
n
5
2√
n3 + 2
n
3
2= lim
√
(n2 + 3)2
n5√
n3 + 2
n3
= lim
√
1
n
+
6
n3
+
9
n5√
1 +
2
n3
= 0.
O teorema das sucesso˜es enquadradas permite-nos concluir que:
lim an = 0.
38 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
7. (a) A sucessa˜o an esta´ definida como a soma de k = 1 a k = n−1 de sen
2(n)
n2 + 3k2
. Vamos calcular um
enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a varia´vel k. De maneira evidente
temos para todos n e k em N: n2 + 3k2 > n2. Para todo n e k tal que k ≤ n − 1, temos da
mesma forma: n2 + 3k2 ≤ n2 + 3(n− 1)2.
Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n− 1, temos:
n2 < n2 + 3k2 ≤ n2 + 3(n− 1)2 ⇒ 1
n2
>
1
n2 + 3k2
≥ 1
n2 + 3(n− 1)2
⇒ sen
2(n)
n2
>
sen2(n)
n2 + 3k2
≥ sen
2(n)
n2 + 3(n− 1)2
Como an esta´ definida como uma soma de n− 1 termos obtemos, ∀n ∈ N:
(n− 1) · sen
2(n)
n2 + 3(n− 1)2 ≤
n−1∑
k=1
sen2(n)
n2 + 3k2
< (n− 1) · sen
2(n)
n2
⇔ n− 1
n2 + 3(n− 1)2 · sen
2(n) ≤
n−1∑
k=1
sen2(n)
n2 + 3k2
<
n− 1
n2
· sen2(n)
⇔ n− 1
n2 + 3(n− 1)2 · sen
2(n) ≤
n−1∑
k=1
sen2(n)
n2 + 3k2
<
(
1
n
− 1
n2
)
· sen2(n).
Seja bn =
n− 1
n2 + 3(n− 1)2 =
n− 1
4n2 − 6n+ 3. Dividindo o numerador e o denominador desta
sucessa˜o por n2 temos:
lim
n− 1
4n2 − 6n+ 3 = lim
1
n
− 1
n2
4n2 − 6n+ 3
n2
= lim
1
n
− 1
n2
4− 6
n
+
3
n2
= 0.
Seja cn =
1
n
− 1
n2
. E´ evidente que lim cn = 0.
Como a sucessa˜o sen2(n) e´ uma sucessa˜o limitada, 0 ≤ |sen2(n)| ≤ 1, ∀n ∈ N, e o produto de
um infinite´simo por uma sucessa˜o limitada e´ um infinite´simo, podemos afirmar que as sucesso˜es
n− 1
n2 + 3(n− 1)2 · sen
2(n)
e (
1
n
− 1
n2
)
· sen2(n)
sa˜o infinite´simos. Finalmente, como os dois limites sa˜o iguais, o teorema das sucesso˜es enqua-
dradas permite-nos concluir que:
lim an = 0.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 39
(b) A sucessa˜o an esta´ definida como a soma de k = 1 a k = n de
5n√
n4 + k
. Vamos calcular um
enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a varia´vel k. De maneira evidente
temos para todos n e k em N:
√
n4 + k > n2. Para todo n e k tal que k ≤ n, temos da mesma
forma:
√
n4 + k ≤ √n4 + n.
Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n, temos:
n2 <
√
n4 + k ≤
√
n4 + n⇒ 1
n2
>
1√
n4 + k
≥ 1√
n4 + n
⇒ 5n
n2
>
5n√
n4 + k
≥ 5n√
n4 + n
Como an esta´ definida como uma soma de n termos obtemos, ∀n ∈ N:
n · 5n√
n4 + n
≤
n∑
k=1
5n√
n4 + k
< n · 5n
n2
⇔ 5n
2
√
n4 + n
≤
n∑
k=1
5n√
n4 + k
<
5n2
n2
= 5
Seja bn =
5n2√
n4 + n
= 5 ·
√
n4
n4 + n
. Dividindo o numerador e o denominador do radicando
desta sucessa˜o por n4 temos:
lim bn = lim5 ·
√√√√ 1
1 +
1
n3
= 5.
Finalmente, como os dois limites sa˜o iguais, o teorema das sucesso˜es enquadradas permite-nos
concluir que:
lim an = 5.
(c) A sucessa˜o an esta´ definida como a soma de k = 1 a k = n de
3
√
2n
3
√
n4 + k
. Vamos calcular um
enquadramento deste termo de forma a fazer desaparecer a varia´vel k. De maneira evidente
temos para todos n e k em N:
3
√
n4 + k >
3
√
n4. Para todo n e k tal que k ≤ n, temos da
mesma forma:
3
√
n4 + k ≤ 3
√
n4 + n.
Logo para todo n e 1 ≤ k ≤ n, temos:
3
√
n4 <
3
√
n4 + k ≤ 3
√
n4 + n⇒ 1
3
√
n4
>
1
3
√
n4 + k
≥ 1
3
√
n4 + n
⇒
3
√
2n
3
√
n4
>
3
√
2n
3
√
n4 + k
≥
3
√
2n
3
√
n4 + n
Como an esta´ definida como uma soma de n termos obtemos, ∀n ∈ N:
n ·
3
√
2n
3
√
n4 + n
≤
n∑
k=1
3
√
2n
3
√
n4 + k
< n ·
3
√
2n
3
√
n4
.
⇔
3
√
2n4
3
√
n4 + n
≤
n∑
k=1
3
√
2n
3
√
n4 + k
<
3
√
2n4
3
√
n4
=
3
√
2.
40 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Dividindo o numerador e o denominador da sucessa˜o do lado esquerdo da desigualdade por n
4
3
temos:
lim
3
√
2n4
3
√
n4 + n
= lim
3
√
2n4
3
√
n4
3
√
n4 + n
3
√
n4
= lim
3
√
2
1 +
n
3
√
n4
= lim
3
√
2
1 +
1
3
√
n
=
3
√
2.
Finalmente como os dois limites sa˜o iguais, o teorema das sucesso˜es enquadradas permite-nos
concluir que:
lim an =
3
√
2.
8.
9. (a)
(b)
10. Consideremos a sucessa˜o, definida por recorreˆncia{
u1 =
√
2
un+1 =
√
2 un
(a) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que, ∀n ∈ N:
0 < un < 2.
A ordem n = 1, a fo´rmula e´ trivial:
0 =
√
0 <
√
2 = u1 <
√
4 = 2.
Se admitirmos que a propriedade e´ va´lida para n ∈ N, enta˜o:
[0 < un < 2]⇒
[
0 =
√
2.0 <
√
2un = un+1 <
√
2.2 = 2
]
,
utilizando o facto da func¸a˜o f(x) =
√
2x ser crescente. Logo a propriedade e´ va´lida a ordem
n+ 1.
O Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica nos permite concluir que ela e´ valida para todo o n ∈ N.
(b) Vamos mostrar que, ∀n ∈ N, temos :
un+1 − un > 0.
Temos, ∀n ∈ N:
un+1 − un =
√
2un − un =
√
2un − un√
2un + un
.(
√
2un + un) =
2un − u2n√
2un + un
=
un.(2− un)√
2un + un
> 0
porque na al´ınea (a) vimos que un > 0 e 2− un > 0, logo a sucessa˜o e´ crescente.
(c) Na al´ınea (a) vimos que a sucessa˜o e´ limitada e na al´ınea (b) demonstramos que ela e´ crescente,
como toda sucessa˜o mono´tona limitada e´ convergente podemos concluir que (un) e´ convergente.
(d) Seja u ∈ R, o limite da sucessa˜o, como toda subsucessa˜o de uma sucessa˜o convergente e´
convergente para o mesmo limite, e´ fa´cil de ver que:
lim
n→∞
un+1 = l.
1.4 Exerc´ıcios Resolvidos 41
Como a func¸a˜o f e´ cont´ınua temos:
lim
n→∞
un+1 = lim
n→∞
f(un) = f(l) =
√
2l.
Logo l satisfaz a equac¸a˜o l =
√
2l, da qual podemos deduzir que l2 − 2l = l.(l− 2) = 0, o seja
l ∈ {0, 2}. Podemos excluir a soluc¸a˜o l = 0 porque pela al´ınea (b) temos:
∀n ∈ N, un ≥ u1 =
√
2 > 0,
logo l ≥ √2, e podemos concluir que o limite de (un) e´ l = 2.
11. Consideremos a sucessa˜o, definida por recorreˆncia
{
a1 =
√
2
an+1 = (
√
2)an
(a) Como
√
2 > 1, a func¸a˜o f definida por f(x) = (
√
2)x e´ cont´ınua em R e e´ crescente (lembramos
que f(x) = ex. log(
√
2)).
Para n = 1, a fo´rmula e´ trivial:
√
2 ≤ a1 =
√
2 < 2. Se admitirmos que a propriedade e´ valida
para n, utilizando o facto de f ser uma func¸a˜o crescente temos:[√
2 ≤ an < 2
]
⇒
[
(
√
2)
√
2 = f(
√
2) ≤ f(un) = an+1 < f(2) = 2
]
.
Utilizando novamente a monotonia de f temos:
[1 < 2]⇒
[
f(1) =
√
2 ≤ (
√
2)
√
2 = f(2)
]
,
e podemos concluir que a propriedade e´ va´lida para a ordem n + 1. O Princ´ıpio de Induc¸a˜o
Matema´tica esta´ verificado logo, ∀n ∈ N:
√
2 ≤ an < 2.
(b) Vamos mostrar, usando o Princ´ıpio de Induc¸a˜o Matema´tica, que, ∀n ∈ N:
an < an+1.
Para n = 1, a fo´rmula e´ uma consequeˆncia dos ca´lculos da al´ınea (a):
√
2 = a1 < a2 = (
√
2)
√
2.
Se admitirmos que a propriedade e´ va´lida para n ∈ N, enta˜o a validade da propriedade para
n+ 1 e´ uma consequeˆncia directa da monotonia de f :
[an < an+1]⇒ [an+1 = f(an) < an+2 = f(an+1)] .
A sucessa˜o (an) e´ crescente.
(c) Na al´ınea (a) vimos que a sucessa˜o e´ limitada e na al´ınea (b) demonstramos que ela e´ cres-
cente, como toda a sucessa˜o mono´tona limitada e´ convergente podemos concluir que (an) e´
convergente. Seja a ∈ R o limite de (an) e consideremos A = {an : n ∈ N} o contradomı´nio de
(an). Pela al´ınea (a) temos:
A ⊂ [
√
2, 2].
Como a e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A e como [
√
2, 2] e´ fechado temos que a ∈ [√2, 2], ou
seja, o resultado pedido: u ≤ 2.
42 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
Nota: E´ poss´ıvel calcular o valor de a. Vejamos algumas indicac¸o˜es para o fazer. Primeiro,mostra-se que a satisfaz a equac¸a˜o log aa = log (
√
2) e adivinha-se um valor poss´ıvel de a. Depois
estuda-se a monotonia e o contradomı´nio da func¸a˜o g(x) = log xx definida no intervalo [
√
2, 2]
e conclui-se que a precedente equac¸a˜o tem uma u´nica soluc¸a˜o para a ∈ [√2, 2].
1.5 Exerc´ıcios Propostos 43
1.5 Exerc´ıcios Propostos
1.5.1 Noc¸o˜es Topolo´gicas
1. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado, a adereˆncia, o conjunto dos minorantes, o
conjunto dos majorantes, o supremo, o ı´nfimo, o ma´ximo e o mı´nimo (caso existam) dos seguintes
conjuntos:
(a) A = [ 2, 3 [ ∪ [ 4, 10 [;
(b) B =] 5, 7 [ ∪ {15}.
2. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado e a adereˆncia dos seguintes conjuntos:
(a) A = {x ∈ R : x2 < 50};
(b) B = {x : x e´ irracional e x2 < 50}.
3. Considere o conjunto
A =
{
x ∈ R : x = 1 + (−1)n + (−1)
n
n
∧ n ∈ N
}
.
(a) Determine o interior, o exterior, o derivado, a fronteira e a adereˆncia de A.
(b) Averigu´e se o conjunto A e´ aberto ou fechado.
4. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado do conjunto:
A = {x ∈ Q : |x+ 3| < 5} ∪
{
x : x e´ irracional ∧−
√
2 ≤ x ≤
√
13
}
.
5. Dado o conjunto
C =
{
x ∈ R : x = 1− (−1)
n
n
∧ n ∈ N
}
∪
]
1
3
,
3
4
]
∪
{
x ∈ R : x = 2 + (−1)
n
n2
∧ n ∈ N
}
(a) Determine a fronteira, o interior, o exterior e o derivado de C;
(b) Averigu´e se o conjunto e´ limitado.
6. Sa˜o dados os conjuntos
A =
{
x ∈ R :
∣∣∣∣ x2x− 2
∣∣∣∣ ≤ 1
}
e B =
{
y ∈ R : y = (−1)n+1 + (−1)n
(
2 +
1
n
)
∧ n ∈ N
}
.
Determine:
(a) int(A ∪ B);
(b) (A ∪ B)′ .
Relativamente a B indique quais os pontos fronteiros e averigu´e se o conjunto e´ limitado.
7. Dados os conjuntos
A =
{
x ∈ R :
∣∣∣∣1− 1x
∣∣∣∣
∣∣∣∣1x + 1
∣∣∣∣ < 1x2
}
e B =
{
y ∈ R : y = 1 + 2n
2n
∧ n ∈ N
}
(a) Determine A sob a forma de intervalos de nu´meros reais.
(b) Determine, caso existam, o supremo e o ı´nfimo de A ∩ B.
44 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
8. Dado o conjunto
B =
{
x ∈ R : x = (−1)n+1
(
1 +
1
n
)
, n ∈ N
}
∪
{
x ∈ R : x =
(
2n+ 1
2n− 1
)3n
, n ∈ N
}
determine:
(a) B
′
e B;
(b) int(B);
(c) ext(B).
Justifique que o conjunto B e´ limitado, indicando o ı´nfimo e o supremo de B.
9. Considere a expressa˜o designato´ria definida, no conjunto dos nu´meros reais, por
sen2(x− pi)
1− cos
(x
2
) e seja
A o seu domı´nio.
(a) Determine o interior, o exterior, a fronteira e o derivado de A.
(b) Diga, justificando, se A e´ um conjunto aberto ou fechado.
10. Seja A o conjunto dos termos da sucessa˜o un = sen
(
npi4
)
, n ∈ N e B =
[
−12 , 1
]
. Determine o
supremo, o ı´nfimo, o interior e a fronteira do conjunto A ∪ B.
11. Sendo B o domı´nio da expressa˜o 1
log(cos2(x))
em R, determine a fronteira e o exterior de B e
indique, justificando, se B e´ aberto.
12. Dados os conjuntos A =
{
x ∈ R : |1− 4x−1| − 1 > 0} e B = {x ∈ R : |1 + 2x| ≤ 3x}
(a) Prove que A ∩ B = [ 1, 2 [.
(b) Indique, caso existam, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o supremo, o
ı´nfimo, o ma´ximo e o mı´nimo de B.
13. Indique o supremo e o ı´nfimo, se existirem, do seguinte conjunto:
A =
{
x ∈ R \ {0} : x−
∣∣∣∣4x− 5x
∣∣∣∣ ≤ 0
}
.
14. Considere o conjunto B =
{
x ∈ R : x = 1 +m2m ∧m ∈ N
}
. Indique, se existirem, os majorantes, o
ı´nfimo e o ma´ximo de B.
15. Considere, em R, as seguintes condic¸o˜es:
p(x) : |x|+ |x− 1| < 3 e q(x) :
∣∣∣∣
∣∣∣∣x2 + 1x
∣∣∣∣− 1
∣∣∣∣ < 1.
(a) Determine sob a forma de intervalo de R o conjunto
A = {x ∈ R : p(x)∧ ∼ q(x)} .
(b) Indique, caso existam, o supremo e o ı´nfimo de A.
16. Sendo
S =
{
x ∈ R : 12 |x+ 1| ≥
15∑
k=1
( k |x| )
}
,
determine a fronteira e o interior de S.
1.5 Exerc´ıcios Propostos 45
1.5.2 Induc¸a˜o Matema´tica
1. Prove que
(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2, ∀n ≥ 1.
(b) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
, ∀n ≥ 1.
2. Prove que
(a) n(n2 + 5) e´ divis´ıvel por 6 qualquer que seja n ∈ N.
(b) 52n − 6n+ 8 e´ divis´ıvel por 9 qualquer que seja n ∈ N.
3. Prove que:
(a) n < 2n, ∀n ∈ N;
(b) 1 + 2n ≤ 3n, ∀n ∈ N;
(c) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n < 1
8
(2n+ 1)2, ∀n ∈ N;
(d) Se 0 < a < b, enta˜o
(a
b
)n+1
<
(a
b
)n
, ∀n ∈ N.
4. Prove que
log(a1a2 . . . an) = log a1 + log a2 + · · ·+ log an,
para todo o n ≥ 2, onde cada ai e´ um real positivo.
5. Prove, usando o me´todo de induc¸a˜o matema´tica, as seguintes afirmac¸o˜es caso sejam verdadeiras.
Caso contra´rio deˆ um contra-exemplo.
(a) Todo o nu´mero natural ı´mpar e´ primo.
(b) O nu´mero n2 + n+ 17 e´ primo, ∀n ∈ N.
(c) (n+ 1)2 > n2 + 1, ∀n ∈ N.
(d) n3 − n+ 3 e´ mu´ltiplo de 3 qualquer que seja n ∈ N.
(e) n4 − n+ 4 e´ mu´ltiplo de 4 qualquer que seja n ∈ N.
46 1. Noc¸o˜es Topolo´gicas, Induc¸a˜o Matema´tica e Sucesso˜es
1.5.3 Sucesso˜es
1. Prove, por definic¸a˜o, que as seguintes sucesso˜es (un) sa˜o infinitamente grandes positivos, ou seja,
que limun = +∞:
(a) un = n;
(b) un = n
2;
(c) un =
√
n;
(d) un = 2
n.
2. Prove, por definic¸a˜o, que as seguintes sucesso˜es (un) sa˜o infinite´simos, ou seja, que limun = 0:
(a) un =
1
n
;
(b) un =
1
n2
;
(c) un =
1√
n
;
(d) un =
1
2n
.
3. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucesso˜es:
(a) un =
1− n
4n+ 3
;
(b) un =
n2 + 2
3n+ 1
;
(c) un =
3n
4n3 + 1
;
(d) un =
−n3 + 2
4n3 − 7 ;
(e) un =
n2 + 3n
n+ 2
− n
2 − 1
n
.
4. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucesso˜es:
(a) un =
√
n
4n+ 1
;
(b) un =
√
n
1
2 −
√
n
;
(c) un =
√
n2 + 1−
√
n2 − 1;
(d) un =
(√
n+ 1−√n)√n+ 1
2
;
(e) un =
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ · · ·+ 1√
n2 + n
.
5. Diz-se que a sucessa˜o (un) cresce mais rapidamente que a sucessa˜o (vn) se
un
vn
→ +∞.
(a) Prove que nn cresce mais rapidamente que n!.
(b) Prove que n! cresce mais rapidamente que en.
(c) Coloque por ordem decrescente, quanto a` rapidez de convergeˆncia, as sucesso˜es de termos
gerais:
2n,
√
10n, 2n, en, n!, log(n),
√
n, n3, nn.
6. Sejam (un) e (vn) dois infinite´simos, vn 6= 0 ∀n ∈ N. Diz-se que (un) e´ de ordem superior a (vn) se
lim
un
vn
= 0. Ordene os seguintes infinite´simos:
1
2n
,
1√
10n
,
1
2n
,
1
en
,
1
n!
,
1
log(n)
,
1√
n
,
1
n3
,
1
nn
.
7. Calcule os limites de cada uma das seguintes sucesso˜es :
1.5 Exerc´ıcios Propostos 47
(a) un =
(
n+ 3
n+ 1
)2n
;
(b) vn =
(
n+ 5
2n+ 1
)n
;
(c) wn =
(
1− 3
n2
)n
.
8. Calcule, se existir
(a) lim
1
2n
n
√
(n+ 1)!;
(b) lim
1
n
n
√
n(n+ 1) · · · 2n.
9. Determine p ∈ R tal que lim n
√
n!
(p n)n
= 3.
10. Calcule os limites das seguintes sucesso˜es:
(a) cos2(n) sen
(
1
n
)
;
(b)
n (n− 1) (n− 2) (n− 3)
(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3)
;
(c) (cos(x))n, x ∈ R;
(d) n
√
n!
(
2
n
)n
;
(e)
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ · · ·+ 1√
n2 + 2n+ 1
;
(f)
n
√
1 +
1
n
;
(g) n
√
(n+ 1)!− n!;
(h)
1√
n
+
1√
n+ 1
+ · · ·+ 1√
2n
;
(i)
(
1− 1
n
)n
n
√
n+ 1
n
;
(j)
1
n2
+
1
(n+ 1)2
+ · · ·+ 1
(2n)2
;
(k)
n√
n4 + 1
+
n√
n4 + 2
+ · · ·+ n√
n4 + n
.
11. Quando poss´ıvel deˆ exemplos de sucesso˜es un → +∞, vn → −∞, wn → 0, que verifiquem as
condic¸o˜es indicadas nas al´ıneas seguintes:
(a) un + vn → 1;
(b) un + vn → −∞;
(c) un + wn → 1;
(d) un × wn → 0;
(e) vn × wn → +∞;
(f)
un
wn
→ −1.
12. Sejam (xn) e (yn) duas sucesso˜es de nu´meros reais tais que