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Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme
1. Convergeˆncia simples e convergeˆncia uni-
forme
Definic¸a˜o 1.1 Seja X ⊂ R. Uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es (fn)n∈N e´ uma
correspondeˆncia que associa a cada nu´mero natural n ∈ N uma func¸a˜o
fn : X −→ R.
Definic¸a˜o 1.2 Dizemos que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R con-
verge simplesmente para a func¸a˜o f : X −→ R quando, para cada x ∈ X, a
sequ¨eˆncia (fn(x))n∈N de nu´meros reais converge para o nu´mero f(x). Ou
seja, para todo x ∈ X, lim
n→+∞ fn(x) = f(x).
Abreviadamente, dizemos que fn converge simplesmente para f em X ou
fn −→ f simplesmente em X.
A convergeˆncia simples e´
tambe´m chamada convergeˆncia
ponto a ponto ou convergeˆncia
pontual .
Exemplo 1.1 Sejam X ⊂ R, (an)n∈N uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais
com lim
n→+∞an = a e g : X −→ R uma func¸a˜o.
Consideremos a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R definidas por
fn(x) = an g(x) e a func¸a˜o f : X −→ R dada por f(x) = ag(x).
Como lim
n→+∞ fn(x) = limn→+∞an g(x) = ag(x) = f(x) para todo x ∈ X, temos
que fn −→ f simplesmente em X.
Em particular, a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn(x) =
x
n
converge simplesmente
para a func¸a˜o f identicamente nula em toda a reta. �
Figura 1: Gra´ficos das func¸o˜es fn(x) = xn .
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Exemplo 1.2 Seja a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R definidas
por fn(x) = xn. Enta˜o, a sequ¨eˆncia (fn) converge simplesmente para a
func¸a˜o f : [0, 1] −→ R, dada por f(x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e f(1) = 1, ja´ que
lim
n→0 xn = 0 se 0 ≤ x < 1 e limn→+∞ 1n = 1 .
Figura 2: Gra´ficos das func¸o˜es fn(x) = xn.
Qualquer reta vertical levantada de um ponto x ∈ [0, 1) corta o gra´fico
das func¸o˜es fn(x) = xn numa sequ¨eˆncia de pontos cujas ordenadas con-
vergem monotonamente para zero. No ponto x = 1, fn(x) = 1 para todo
n ∈ N. �
Exemplo 1.3 A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 2pi] −→ R definidas por
fn(x) = cos(nx) na˜o converge simplesmente para func¸a˜o alguma, pois
para x = pi, temos fn(x) = (−1)n e, portanto, na˜o existe lim
n→+∞ fn(x). �
Observac¸a˜o 1.1 Dizer que fn −→ f simplesmente em X significa que,
fixado um ponto x ∈ X, os gra´ficos das func¸o˜es fn intersectam a reta
vertical levantada pelo ponto (x, 0) numa sequ¨eˆncia de pontos cujas or-
denadas convergem para f(x). Pore´m, coletivamente, os gra´ficos das
fn podem ser bem diferentes do gra´fico da func¸a˜o f e mesmo nunca se
aproximarem dele, como podemos observar no exemplo acima e no ex-
emplo a seguir.
Exemplo 1.4 A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R definidas por
fn(x) = x
n(1 − xn) converge simplesmente para a func¸a˜o identicamente
nula em [0, 1].
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Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme
Como fn(0) = fn(1) = 0 para todo n ∈ N e o intervalo [0, 1] e´ compacto,
o ponto de ma´ximo xn da func¸a˜o fn pertence ao intervalo aberto (0, 1).
Logo, f ′n(xn) = 0, ou seja,
nxn−1n (1− x
n
n) − x
n
n nx
n−1
n = nx
n−1
n (1− 2x
n
n) = 0 .
Sendo xn 6= 0, temos que xn = n
√
1
2
e fn(xn) =
1
2
(
1−
1
2
)
=
1
4
.
Figura 3: Gra´ficos das func¸o˜es fn(x) = xn(1− xn).
Observe que n
√
1
2
−→ 1 quando n → +∞ e que cada gra´fico apresenta
um calombo, cuja altura se mante´m constante, igual a 1
4
, de modo que
quando n → +∞ a forma do gra´fico de fn na˜o se aproxima da forma do
gra´fico da func¸a˜o limite. �
Observac¸a˜o 1.2 Dizer que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R con-
verge simplesmente para a func¸a˜o f : X −→ R significa que: dado ε > 0,
existe, para cada x ∈ X, um nu´mero natural n0 = n0(ε, x), que depende
de ε e de x, tal que n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε.
Pode ocorrer, assim, que para um ε > 0 fixo, na˜o exista n0 ∈ N algum que
sirva simultaneamente para todo x ∈ X.
Exemplo 1.5 Seja a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R dadas por
fn(x) = x
n. Ja´ vimos que (fn) converge simplesmente para a func¸a˜o
f : [0, 1] −→ R onde f(x) = 0 se x ∈ [0, 1) e f(1) = 1.
Seja ε = 1
2
> 0, por exemplo, e seja n0 ∈ R. Como lim
x→1− xn0 = 1, existe
δ > 0 tal que 1− δ < x < 1 =⇒ xn0 > 1
2
, ou seja, |fn0(x) − f(x)| >
1
2
.
Enta˜o, seja qual for n0 ∈ N, existem pontos x ∈ [0, 1) tais que
|fn0(x) − f(x)| ≥
1
2
. �
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Definic¸a˜o 1.3 Dizemos que uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R
converge uniformemente para uma func¸a˜o f : X −→ R quando, para todo
ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε para todo
x ∈ X .
Definic¸a˜o 1.4 Dada uma func¸a˜o f : X −→ R, chamamos de faixa de
raio ε (e amplitude 2ε) em torno do gra´fico de f ao conjunto dos pontos
(x, y) ∈ R2 tais que x ∈ X e |y− f(x)| < ε, ou seja, f(x) − ε < y < f(x) + ε,
onde ε e´ um nu´mero real positivo.
Figura 4: Faixa de amplitude 2ε em torno do gra´fico de f.
Assim, dizer que fn −→ f uniformemente em X significa afirmar que
para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que todas as func¸o˜es fn, com
n > n0, tem seus gra´ficos contidos na faixa de raio ε em torno do gra´fico
de f.
Observac¸a˜o 1.3 Se fn −→ f uniformemente em X, enta˜o fn −→ f
simplesmente em X. Mas a recı´proca e´ falsa, como vimos no exemplo
1.5.
Observac¸a˜o 1.4 fn na˜o converge uniformemente para f se, e somente
se, existe ε0 > 0 tal que, para todo n0 ∈ N, existem n > n0 e x ∈ X com
|fn(x) − f(x)| ≥ ε0.
Exemplo 1.6 Sejam (an)n uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais com
lim
n→+∞an = a e g : X −→ R uma func¸a˜o.
Ja´ vimos que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn = ang : X −→ R converge
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Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme
simplesmente para f = ag : X −→ R em X.
• No caso em que existe n0 ∈ N tal que an = a para todo n ≥ n0, temos
que fn −→ f uniformemente em X, ja´ que fn = f para todo n ≥ n0.
• Se an 6= a para uma infinidade de valores de n, enta˜o fn −→ f uniforme-
mente em X se, e so´ se, g : X −→ R e´ limitada.
De fato, se |g(x)| ≤ k para todo x ∈ X, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 =⇒ |an−a| < ε
k
e, portanto, |fn(x)−f(x)| = |an−a| |g(x)| <
ε
k
k = ε
para todo x ∈ K.
Suponhamos, agora, que g : X −→ R na˜o e´ limitada. Sejam ε = 1 > 0 e
n0 ∈ N. Enta˜o existe n > n0 tal que an 6= a e, portanto, existe x ∈ X tal
que |g(x)| ≥ 1
|an − a|
. Logo,
|fn(x) − f(x)| = |ang(x) − ag(x)| = |an − a| |g(x)| ≥ |an − a| · 1
|an − a|
= 1 .
Assim, fn na˜o converge uniformemente para f em X.
• Como caso particular, temos que a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn(x) = x
n
converge uniformemente para a func¸a˜o identicamente nula num conjunto
X se, e so´ se, X e´ limitado.
De fato, como, neste exemplo, g(x) = x, temos que g e´ limitada se, e so´
se, X e´ limitado. �
Exemplo 1.7 Ja´ vimos que a sequ¨eˆncia fn(x) = xn converge simples-
mente em [0, 1] para a func¸a˜o f : [0, 1] −→ R, onde f(x) = 0 se 0 ≤ x < 1 e
f(1) = 1, mas na˜o converge uniformemente para f em [0, 1] nem em [0, 1).
Mostraremos, agora, que fn converge uniformemente para f ≡ 0 em todo
intervalo da forma [0, 1− δ] com 0 < δ < 1.
De fato, dado ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que n > n0 =⇒ (1− δ)n < ε, ja´ que
lim
n→+∞(1− δ)n = 0.
Enta˜o, para todo x ∈ [0, 1− δ], temos que
n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| = xn ≤ (1− δ)n < ε . �
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Exemplo 1.8 A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R, definidas por
fn(x) = x
n(1−xn), converge simplesmente para a func¸a˜o f identicamente
nula em [0, 1], mas na˜o converge uniformemente, pois existe ε0 =
1
8
> 0
tal que para todo n ∈ N temos que
∣∣∣∣∣fn
(
n
√
1
2
)
− f(0)
∣∣∣∣∣ = 14 > 18 .
Mas, para todo 0 < δ < 1, fn −→ f uniformemente no intervalo [0, 1 − δ],
pois como xn −→ 0 uniformemente no intervalo [0, 1− δ] e
0 ≤ xn(1− xn) ≤ xn para todo n ∈ N e x ∈ [0, 1],
temos que, dado ε >0, existe n0 ∈ N tal que |xn− 0| < ε para todo n > n0
e x ∈ [0, 1− δ] e, portanto, |xn(1−xn)− 0| = xn(1−xn) ≤ xn < ε para todo
n > n0 e x ∈ [0, 1− δ]. �
Definic¸a˜o 1.5 Dizemos que uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R e´
uma sequ¨eˆncia de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N
tal que m,n > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| < ε para todo x ∈ X.
Teorema 1.1 Uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R e´ uniformemente
convergente se, e so´ se, e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy.
Prova.
Suponhamos, primeiro, que fn −→ f uniformemente em X. Enta˜o, dado
ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε para todo x ∈ X.
Logo,
m,n > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| ≤ |fm(x) − f(x)| + |f(x) − fn(x)| < ε
2
+
ε
2
= ε
para todo x ∈ X. Portanto, (fn)n e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy.
Suponhamos, agora, que (fn)n e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy. Enta˜o, (fn(x))
e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy de nu´meros reais para todo x ∈ X e e´, por-
tanto, convergente para todo x ∈ X. Podemos, assim, definir uma func¸a˜o
f : X −→ R fazendo f(x) = lim
n→+∞ fn(x) para todo x ∈ X.
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n,m > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| < ε
2
para
todo x ∈ X. Mantendo n > n0 e x ∈ X fixos, temos que
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Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme
lim
m→+∞ |fm(x) − fn(x)| = |f(x) − fn(x)| ≤ ε2 < ε .
Logo, |fn(x) − f(x)| < ε para todo n > n0 e x ∈ X.
Isto prova que fn −→ f uniformemente em X. �
Corola´rio 1.1 Se as func¸o˜es fn : X −→ R sa˜o contı´nuas e (fn) converge
uniformemente em X, enta˜o a sequ¨eˆncia (fn)n converge uniformemente
em X.
Prova.
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m,n > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| < ε
2
para todo x ∈ X.
Sejam y ∈ X e (xk)k uma sequ¨eˆncia de pontos de X tal que xk −→ y.
Como as func¸o˜es fn sa˜o contı´nuas em X, temos que lim
k→+∞ fn(xk) = fn(y)
para todo n ∈ N.
Logo, como |fm(xk) − fn(xk)| <
ε
2
para m,n > n0 e k ∈ N, temos que
|fm(y) − fn(y)| = lim
k→+∞ |fm(xk) − fn(xk)| ≤
ε
2
< ε .
Provamos, assim, que dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
m,n > n0 =⇒ |fm(y) − fn(y)| < ε para todo y ∈ X,
ou seja, (fn)n e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em X, logo, uniformemente
convergente em X. �
Observac¸a˜o 1.5 A soma f =
∑
fn de uma se´rie de func¸o˜es
fn : X −→ R e´ um caso particular de um limite de sequ¨eˆncia: f = lim sn,
onde sn = f1+. . .+fn. Tem sentido, portanto, dizer que a se´rie de func¸o˜es∑
fn converge simplesmente ou uniformemente em X.
Reciprocamente, todo limite ϕ = lim
n→+∞ϕn de uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es
ϕn : X −→ R tambe´m pode ser obtido como soma de uma se´rie, pois,
tomando f1 = ϕ1, f2 = ϕ2 − ϕ1, . . . , fn = ϕn − ϕn−1, . . ., temos que
f1 + . . .+ fn = ϕn para todo n ∈ N. de modo que ϕ =
∑
fn.
Por definic¸a˜o, a se´rie
∑
fn, fn : X −→ R, converge uniformemente em X
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se, e so´ se, a sequ¨eˆncia de suas reduzidas sn = f1 + . . . + fn e´ uniforme-
mente convergente em X. Assim, dizer que
∑
fn converge uniforme-
mente para f em X significa que, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que o resto
rn(x), definido pela identidade
f(x) = f1(x) + . . .+ fn(x) + rn(x) ,
cumpre a condic¸a˜o |rn(x)| < ε para todo n > n0 e todo x ∈ X.
Assim, a todo conceito ou teorema sobre sequ¨eˆncias corresponde um
ana´logo para se´ries. Mas, ha´ alguns tipos especiais de se´ries, como as
se´ries de poteˆncias, cujas propriedades na˜o decorrem de teoremas gerais
sobre sequ¨eˆncias.
Definic¸a˜o 1.6 Dizemos que uma se´rie de func¸o˜es fn : X −→ R e´
normalmente convergente quando existe uma sequ¨eˆncia de constantes
an ≥ 0 tais que
∑
an converge e |fn(x)| ≤ an para todo n ∈ N e todo
x ∈ X.
Exemplo 1.9 A se´rie de func¸o˜es
∞∑
n=1
sen(nx)
n2
e´ normalmente conver-
gente em R, pois |fn(x)| ≤ 1
n2
para todo n ∈ N e todo x ∈ R, onde
fn : X −→ R, fn(x) = sen(nx)
n2
, e a se´rie
∞∑
n=1
1
n2
e´ convergente. �
Teorema 1.2 (Teste de Weierstrass)
Se a se´rie de func¸o˜es
∑
fn, fn : X −→ R, converge normalmente em X,
enta˜o,
∑
fn e
∑
|fn| sa˜o uniformemente convergentes em X.
Prova.
Seja (an) uma sequ¨eˆncia de nu´meros reais na˜o-negativos tal que |fn(x)| ≤
an para todo n ∈ N e todo x ∈ X e
∑
an e´ convergente.
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que
n > n0 e p ∈ N =⇒ an + an+1 + . . .+ an+p < ε .
Logo,
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Propriedades da convergeˆncia uniforme
|fn(x) + fn+1(x) + . . .+ fn+p(x)| ≤ |fn(x)| + |fn+1(x)| + . . .+ |fn+p(x)|
≤ an + an+1 + . . .+ an+p < ε ,
quaisquer que sejam n > n0, p ∈ N e x ∈ X.
Enta˜o, pelo crite´rio de Cauchy (teorema 1.1),
∑
fn e
∑
|fn| convergem
uniformemente em X. �
Exemplo 1.10 As se´ries
∞∑
n=1
sen(nx)
n2
e
∞∑
n=1
| sen(nx)|
n2
convergem
uniformemente em R. �
• A convergeˆncia normal e´ uma condic¸a˜o sufiente, mas na˜o e´ necessa´ria
para a convergeˆncia uniforme.
Exemplo 1.11 Seja a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [1,+∞) −→ R definidas
por fn(x) =
1
x
se x ∈ [n,n+ 1) e fn(x) = 0 se x ∈ [1,∞) − [n,n+ 1).
Como sn(x) = f1(x) + . . . + fn(x) =
1
x
se x ∈ [1, n + 1) e sn(x) = 0 se
x ≥ n+ 1, temos que
∞∑
n=1
fn(x) =
1
x
para todo x ∈ [1,+∞).
A convergeˆncia f =
∑
fn, f : [1,+∞) −→ R, f(x) = 1
x
e´ uniforme em
[1,+∞), pois |f(x) − sn(x)| = |f(x) − (f1(x) + . . . + fn(x))| < 1
n
para todo
x ∈ [1,+∞), ja´ que f(x) − sn(x) = 0 se x ∈ [1, n + 1) e f(x) − sn(x) = 1
x
para x ≥ n+ 1.
Mas a se´rie
∑
fn na˜o converge normalmente em [1,+∞), pois se exis-
tissem constantes an ≥ 0 tais que |fn(x)| ≤ an para todo x ∈ [1,+∞),
terı´amos, tomando x = n, que an ≥ 1
n
e, portanto, a se´rie
∑
an na˜o
convergiria.
Assim, a se´rie
∑
fn de func¸o˜es na˜o negativas converge uniformemente,
mas na˜o converge normalmente em [1,+∞). �
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2. Propriedades da convergeˆncia uniforme
Mostraremos que a convergeˆncia uniforme nos permite inverter a
ordem de limites repetidos. Mas, antes, veremos um exemplo onde isso
na˜o e´ possı´vel.
Exemplo 2.1 Seja fn(x) = xn, x ∈ [0, 1]. Ja´ sabemos que fn −→ f
simplesmente em [0, 1], onde f(x) = 0 se x ∈ [0, 1) e f(1) = 1.
Assim,
lim
x→1
(
lim
n→∞ fn(x)
)
= lim
x→1 f(x) = 0
e
lim
n→∞
(
lim
x→1 fn(x)
)
= lim
n→∞ 1 = 1 .
Portanto,
lim
n→∞
(
lim
x→1 fn(x)
)
6= lim
x→1
(
lim
n→∞ fn(x)
)
,
ou seja, neste exemplo na˜o podemos inverter a ordem em que sa˜o toma-
dos os limites. �
Teorema 2.1 Seja a ∈ X ′. Se a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R
converge uniformemente para a func¸a˜o f : X −→ R e, para cada n ∈ N,
existe Ln = lim
x→a fn(x), enta˜o existe L = limn→∞Ln e L = limx→a f(x).
Em outras palavras, vale
lim
n→∞
(
lim
x→a fn(x)
)
= lim
x→a
(
lim
n→∞ fn(x)
)
,
desde que existam os dois limites dentro dos pareˆnteses, sendo o
segundo deles uniforme.
Prova.
Para mostrar que existe L = lim
n→∞Ln, basta provar que a sequ¨eˆncia (Ln) e´
de Cauchy.
Dado ε > 0, como fn −→ f uniformemente em X, existe n0 ∈ N tal que
m,n > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| < ε
3
para todo x ∈ X.
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Propriedades da convergeˆncia uniforme
Sejam m,n > n0. Como a ∈ X ′, lim
x→a fn(x) = Ln e limx→a fm(x) = Lm, existe
x0 ∈ X− {a} tal que |Ln − fn(x0)| < ε
3
e |Lm − fm(x0)| <
ε
3
.
Logo,
|Lm − Ln| ≤ |Lm − fm(x0)| + |fm(x0) − fn(x0)| + |fn(x0) − Ln|
<
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε .
Portanto, m,n > n0 =⇒ |Lm − Ln| < ε, ou seja, (Ln)n e´ uma sequ¨eˆncia de
Cauchy. Seja L = lim
n→∞Ln.
• Mostraremos, agora, que L = lim
x→a f(x).
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que |L − Ln| < ε
3
e |fn(x) − f(x)| <
ε
3
para
todo n > n0 e todo x ∈ X.
Seja n > n0 fixo. Como lim
x→a fn(x) = Ln, existe δ > 0 tal que x ∈ X,
0< |x− a| < δ =⇒ |fn(x) − Ln| < ε
3
. Logo, se x ∈ X, 0 < |x− a| < δ, enta˜o
|f(x) − L| ≤ |f(x) − fn(x)| + |fn(x) − Ln| + |Ln − L| < ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε . �
Corola´rio 2.1 Seja a ∈ X ′. Se a se´rie
∑
fn converge uniformemente
para f em X e para cada n ∈ N, existe Ln = lim
x→a fn(x), enta˜o
∑
Ln e´ uma
se´rie convergente e
∑
Ln = lim
x→a f(x).
Em outras palavras,∑
n
(
lim
x→a fn(x)
)
= lim
x→a
(∑
n
fn(x)
)
,
desde que existam os dois limites dentro dos pareˆnteses, sendo o
segundo deles uniforme.
Prova.
Seja sn(x) = f1(x) + . . . + fn(x). Como a sequ¨eˆncia de func¸o˜es (sn)
converge uniformemente para f em X e, para cada n ∈ N, existe
lim
x→a sn(x) =
n∑
j=1
lim
x→a fj(x) =
n∑
j=1
Lj ,
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temos, pelo teorema anterior, que a se´rie
∑
Ln converge e tem por soma∑
Ln = lim
x→a f(x), ou seja,
∑
n
(
lim
x→a fn(x)
)
= lim
x→a
(∑
n
fn(x)
)
. �
Observac¸a˜o 2.1 Quando X e´ ilimitado superiormente o teorema e o
corola´rio acima valem tambe´m quando a = +∞. Nesse caso, temos
lim
n→∞
(
lim
x→∞ fn(x)
)
= lim
x→∞
(
lim
n→∞ fn(x)
)
,
desde que existam os dois limites dentro dos pareˆnteses, sendo o se-
gundo deles uniforme. A demonstrac¸a˜o e´ a mesma, tomando, no final,
em vez de δ, A > 0 tal que x > A =⇒ |fn(x) − Ln| < ε
3
.
Observac¸a˜o 2.2 Seja a ∈ X ′. Dada uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es
fn : X −→ R, dizemos que existe lim
x→a fn(x) = Ln uniformemente em
relac¸a˜o a n se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ X , 0 < |x− a| < δ =⇒ |fn(x) − Ln| < ε , ∀n ∈ N.
O mesmo raciocı´nio usado na demonstrac¸a˜o do teorema 2.1 permite provar
que se, para todo n, existe lim
x→a fn(x) = Ln, uniformemente em relac¸a˜o a n,
e se fn −→ f simplesmente em X, enta˜o existe L = lim
n→∞Ln e L = limx→a f(x)
(exercı´cio).
Juntando os dois resultados, podemos dizer que existem e sa˜o iguais os
limites repetidos, desde que existam os limites dentro dos pareˆnteses,
sendo qualquer um deles uniforme.
Observac¸a˜o 2.3 Tal simetria na˜o se aplica para se´ries. Ou seja, na˜o e´
verdade que se a se´rie
∑
fn(x) converge para f(x) em todo ponto x ∈ X
e se, para cada n ∈ N, existe Ln = lim
x→a fn(x) uniformemente em relac¸a˜o a
n, enta˜o
∑
Ln converge e e´ igual a lim
x→a
(∑
fn(x)
)
. Em outras palavras,
pode-se ter
lim
x→a
(∑
fn(x)
)
6=
∑(
lim
x→a fn(x)
)
J. Delgado - K. Frensel12
Propriedades da convergeˆncia uniforme
mesmo que existam todos os limites, sendo apenas lim
x→a fn(x) uniforme em
relac¸a˜o a n.
Exemplo 2.2 Seja a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R, f1(x) = x e
fn(x) = x
n−xn−1 para n ≥ 2. Enta˜o lim
x→1 f1(x) = 1 e limx→1 fn(x) = 0 se n ≥ 2,
uniformemente em relac¸a˜o a n, pois, dado ε > 0, existe δ = ε > 0 tal que
se x ∈ (1 − δ, 1] =⇒ |f1(x) − 1| = |x − 1| < ε e |fn(x) − 0| = |xn−1(x − 1)| ≤
|x− 1| < ε para todo n ≥ 2.
Como f1(x)+ . . .+ fn(x) = xn, temos que
∑
fn(x) = lim
n→∞ xn = f(x), onde
f(x) = 0 se x ∈ [0, 1) e f(1) = 1.
Logo,
∑(
lim
x→1 fn(x)
)
= 1 6= lim
x→1
(∑
fn(x)
)
= 0 . �
Corola´rio 2.2 Se fn −→ f uniformemente em X e todas as fn sa˜o
contı´nuas num ponto a ∈ X, enta˜o f e´ contı´nua no ponto a.
Prova.
Isto e´ o´bvio se a e´ um ponto isolado de X. Se a ∈ X ′, temos que ex-
iste lim
x→a fn(a) = fn(a) para todo n ∈ N. Logo, pelo teorema 2.1,
lim
x→a f(x) = limx→a
(
lim
n→∞ fn(x)
)
= lim
n→∞
(
lim
x→a fn(x)
)
= lim
n→∞ fn(a) = f(a) .
Logo, f e´ contı´nua no ponto a. �
Corola´rio 2.3 O limite uniforme de uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es contı´nuas
e´ uma func¸a˜o contı´nua.
Observac¸a˜o 2.4 Podemos ver, assim, que a convergeˆncia da sequ¨eˆncia
de func¸o˜es contı´nuas fn(x) = xn no intervalo [0, 1] na˜o e´ uniforme, ja´ que
a func¸a˜o limite f, dada por f(x) = 0 se x ∈ [0, 1) e f(1) = 1, na˜o e´ contı´nua
no ponto 1.
Observamos, tambe´m, que a continuidade da func¸a˜o limite f = lim fn
na˜o e´ suficiente para garantir que a convergeˆncia e´ uniforme, ja´ que as
func¸o˜es contı´nuas fn(x) = xn(1 − xn) convergem em [0, 1] para a func¸a˜o
contı´nua f ≡ 0, mas a convergeˆncia na˜o e´ uniforme.
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Ana´lise na Reta
Ha´, pore´m, um caso em que a continuidade da func¸a˜o limite garante
que a convergeˆncia de uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es contı´nuas e´ uniforme.
Definic¸a˜o 2.1 Dizemos que uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : X −→ R
converge monotonamente para a func¸a˜o f : X −→ R quando, para cada
x ∈ X, a sequ¨eˆncia (fn(x))n e´ mono´tona em R e lim
n→∞ fn(x) = f(x).
Teorema 2.2 (de Dini)
Seja X ⊂ R compacto. Se uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es contı´nuas fn : X −→
R converge monotonamente para uma func¸a˜o contı´nua f : X −→ R, enta˜o
a convergeˆncia e´ uniforme.
Prova.
Dado ε > 0, consideremos, para cada n ∈ N, o conjunto
Kn = {x ∈ X | |fn(x) − f(x)| ≥ ε} .
Como fn e f sa˜o contı´nuas e X e´ fechado, segue-se que cada Kn e´
fechado, pois se xk −→ x, xk ∈ Kn para todo k ∈ N, enta˜o x ∈ X e
|fn(x) − f(x)| = lim
k→∞ |fn(xk) − f(xk)| ≥ ε .
Logo, cada Kn e´ compacto, ja´ que Kn ⊂ X e X e´ limitado.
Afirmac¸a˜o: K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . .
De fato, seja x ∈ Kn+1 e suponhamos que a sequ¨eˆncia (fn(x))n e´ na˜o-
decrescente.
Enta˜o,
ε ≤ |fn+1(x) − f(x)| = f(x) − fn+1(x) ≤ f(x) − fn(x) = |fn(x) − f(x)| ,
ja´ que fn+1(x) ≥ fn(x) e lim
n→∞ fn(x) = f(x) = sup{fn(x) |n ∈ N}.
Logo, x ∈ Kn.
Mas
⋂
n∈N
Kn = ∅, pois se x ∈ Kn para todo n ∈ N, terı´amos que
|fn(x) − f(x)| ≥ ε , ∀n ∈ N,
o que e´ um absurdo, ja´ que lim
n→∞ (fn(x) − f(x)) = 0.
J. Delgado - K. Frensel14
Propriedades da convergeˆncia uniforme
Enta˜o, como
⋂
n∈N
Kn = ∅, temos, pelo teorema 4.5 da parte 4, que existe
n0 ∈ N tal que Kn0 = ∅.
Logo, Kn = ∅ para todo n ≥ n0, ou seja, n ≥ n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε
para todo x ∈ X. �
IMPORTANTE!
O teorema de Dini e´ falso quando
X na˜o e´ compacto, como mostra
o exemplo 2.3.
Exemplo 2.3 A sequ¨eˆncia de func¸o˜es contı´nuas fn : [0, 1) −→ R dada
por fn(x) = xn, converge monotonamente para a func¸a˜o contı´nua f ≡ 0
no intervalo na˜o compacto [0, 1), mas a convergeˆncia na˜o e´ uniforme. �
Exemplo 2.4 A sequ¨eˆncia fn : R −→ R, fn(x) = x
n
, converge mono-
tonamente para a func¸a˜o contı´nua f ≡ 0 em toda a reta R, mas a con-
vergeˆncia na˜o e´ uniforme em R. �
Corola´rio 2.4 Uma se´rie convergente de func¸o˜es contı´nuas na˜o-nega-
tivas fn : X −→ R definidas num conjunto compacto X e´ uniformemente
convergente se, e so´ se, a soma e´ uma func¸a˜o contı´nua no compacto X.
Prova.
Basta observar que se fn ≥ 0 para todo n ∈ N, enta˜o a sequ¨eˆncia das
reduzidas sn = f1 + . . .+ fn e´ mono´tona na˜o-decrescente. �
Exemplo 2.5 A se´rie de func¸o˜es na˜o-negativas
∞∑
n=0
x2
(1+ x2)n
converge
para a func¸a˜o f : R −→ R dada por f(x) = x2
1−
1
1+ x2
= 1 + x2 se x 6= 0 e
f(0) = 0. Como a func¸a˜o f na˜o e´ contı´nua no ponto 0, a convergeˆncia na˜o
e´ uniforme em compacto algum do qual 0 seja ponto de acumulac¸a˜o. �
Corola´rio 2.5 Seja X ⊂ R compacto. Se as func¸o˜es fn : X −→ R
sa˜o contı´nuas e, para todo x ∈ X,
∑
|fn(x)| = f(x) onde f : X −→ R
e´ contı´nua, enta˜o a se´rie
∑
fn converge uniformemente em X.
Prova.
Pelo corola´rio 2.4, a se´rie de func¸o˜es
∑
|fn| converge uniformemente
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Ana´lise na Reta
em X. Enta˜o, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 =⇒ |fn(x)| + |fn+1(x)| + . . .+ |fn+p(x)| < ε , ∀ x ∈ X e ∀p ∈ N .
Logo, quaisquer que sejam n > n0, p ∈ N e x ∈ X, temos
|fn(x) + fn+1(x) + . . .+ fn+p(x)| ≤ |fn(x)| + |fn+1(x)| + . . .+ |fn+p(x)| < ε .
Segue, enta˜o, do crite´rio de Cauchy, que a se´rie
∑
fn converge uniforme-mente em X. �
Teorema 2.3 Se uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es integra´veis fn : [a, b] −→ R
converge uniformemente para f : [a, b] −→ R, enta˜o f e´ integra´vel e∫b
a
f(x)dx = lim
n→∞
∫b
a
fn(x)dx .
Ou seja,
∫b
a
lim
n→∞ fn = limn→∞
∫b
a
fn , desde que lim fn seja uniforme.
Prova.
Sejam Dn e D os conjuntos dos pontos de descontinuidade de fn e f
respectivamente.
Pelo corola´rio 2.2, se x /∈ Dn para todo n, ou seja, se fn e´ contı´nua em x
para todo n ∈ N, enta˜o f e´ contı´nua em x, ou seja, x /∈ D.
Logo, D ⊂
⋃
Dn.
Como cada Dn tem medida nula, temos que D tem medida nula e,
portanto, f e´ integra´vel.
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε
b− a
para
todo x ∈ [a, b]. Enta˜o∣∣∣∣∫b
a
f(x)dx−
∫b
a
fn(x)dx
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫b
a
(f(x) − fn(x))dx
∣∣∣∣
≤
∫b
a
|f(x) − fn(x)|dx ≤ ε
b− a
· (b− a) = ε ,
para todo n ≥ n0. Logo, lim
n→∞
∫b
a
fn(x)dx =
∫b
a
f(x)dx . �
Corola´rio 2.6 Seja
∑
fn uma se´rie uniformemente convergente de
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Propriedades da convergeˆncia uniforme
func¸o˜es integra´veis fn : [a, b] −→ R. Enta˜o, sua soma e´ integra´vel e∫b
a
∑
n
fn =
∑
n
∫b
a
fn .
Exemplo 2.6 Pelo teste de Weierstrass, a se´rie geome´trica
1
1+ t2
= 1− t2 + t4 − . . .+ (−1)nt2n + . . .
converge uniformemente em todo intervalo fechado contido no intervalo
aberto (−1, 1), pois, nesse caso, |t| ≤ k < 1 para todo t ∈ [a, b] ⊂ (−1, 1)
e, portanto, |(−1)nt2n| ≤ (k2)n para todo n ∈ N e todo t ∈ [a, b].
Observe que a se´rie
∞∑
n=0
(−1)nt2n converge simplesmente em (−1, 1), mas
na˜o uniformemente, pois, caso contra´rio, pelo corola´rio 1.1, como as
func¸o˜es t 7−→ (−1)nt2n sa˜o contı´nuas em [−1, 1], a se´rie convergiria
uniformemente em [−1, 1], o que e´ um absurdo, ja´ que a se´rie diverge
nos pontos 1 e −1.
Como a se´rie converge uniformemente em todo intervalo fechado contido
em (−1, 1), enta˜o, para |x| < 1, temos
arctg x =
∫x
0
dt
1+ t2
=
∞∑
n=0
(∫x
0
(−1)nt2n dt
)
= x−
x3
3
+
x5
5
+ . . .+ (−1)n
x2n+1
2n+ 1
+ . . .
Isto nos da´ o desenvolvimento de arctg x em se´rie de Taylor em torno do
ponto 0 no intervalo (−1, 1).
Mas, como a se´rie
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n+ 1
tambe´m converge nos pontos x = 1 e
x = −1, teremos, como consequ¨eˆncia do teorema de Abel que provare-
mos depois, que a se´rie converge para arctg x para todo x ∈ [−1, 1].
Daremos, agora, uma demonstrac¸a˜o desse fato sem usar o teorema de
Abel.
De fato, como
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Ana´lise na Reta
1
1+ t2
= 1− t2 + t4 − . . .+ (−1)n
t2n
1+ t2
,
temos que
arctg x =
∫x
0
1
1+ t2
dt = x−
x3
3
+ . . .
(−1)n−1x2n−1
2n− 1
+ Rn(x) ,
onde
Rn(x) =
∫ |x|
0
(−1)nt2n
1+ t2
dt .
Enta˜o, para |x| ≤ 1, temos que
|Rn(x)| ≤
∫x
0
t2n dt =
|x|2n+1
2n+ 1
≤ 1
2n+ 1
.
Portanto, a se´rie
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n+ 1
converge uniformemente para a func¸a˜o
arctg x no intervalo [−1, 1].
Em particular, para x = 1, obtemos a fo´rmula:
pi
4
= arctg 1 = 1− 1
3
+
1
5
−
1
7
+ . . .
�
Observac¸a˜o 2.5 Se uma sequ¨eˆncia fn : [a, b] −→ R de func¸o˜es
integra´veis converge simplesmente para uma func¸a˜o f em [a, b], pode
ocorrer que f na˜o seja integra´vel.
Exemplo 2.7 Seja {r1, r2, . . . , rn . . .} uma enumerac¸a˜o dos nu´meros racionais
contidos no intervalo [a, b], e definimos, para n ∈ N, a func¸a˜o fn(x) = 1
se x ∈ {r1, r2, . . . , rn} e fn(x) = 0 se x ∈ [a, b] − {r1, . . . , rn}.
Enta˜o, fn −→ f simplesmente em [a, b], onde f(x) = 1 se x ∈ Q ∩ [a, b] e
f(x) = 0 se x ∈ (R − Q) ∩ [a, b]. Cada fn e´ integra´vel em [a, b], pois tem
apenas um nu´mero finito de descontinuidades, mas f na˜o e´ integra´vel, ja´
que e´ descontı´nua em todos os pontos do intervalo [a, b]. �
Observac¸a˜o 2.6 Quando se tem fn −→ f simplesmente em [a, b],
mesmo que f e cada fn sejam integra´veis, pode ocorrer que
lim
n→∞
∫b
a
fn(x)dx 6=
∫b
a
f(x)dx .
J. Delgado - K. Frensel18
Propriedades da convergeˆncia uniforme
Exemplo 2.8 Seja a sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R definida por
fn(x) = (n+ 1)x
n se 0 ≤ x < 1 e fn(1) = 0.
Pelo teste da raza˜o, a se´rie
∑
(n+1)xn e´ convergente para todo x ∈ [0, 1),
pois
lim
n→∞ |(n+ 1)x
n|
|nxn−1|
= lim
n→∞ n+ 1n x = x < 1 .
Logo, lim
n→∞(n+1)xn = 0 para todo x ∈ [0, 1). Enta˜o, fn −→ f simplesmente
em [0, 1], onde f e´ a func¸a˜o identicamente nula.
Assim, lim
n→∞
∫ 1
0
fn 6=
∫b
a
f(x)dx , pois
∫b
a
f(x)dx = 0 e
∫ 1
0
fn(x) = 1 para
todo n ∈ N. �
Observac¸a˜o 2.7 Se fn −→ f simplesmente no intervalo [a, b], se f e
cada fn sa˜o integra´veis, enta˜o lim
n→∞
∫b
a
fn =
∫b
a
f, desde que exista K > 0
tal que |fn(x)| ≤ K para todo n ∈ N e todo x ∈ [a, b]. Este resultado e´ uma
consequ¨eˆncia do teorema da convergeˆncia dominada de Lebesgue.
Observac¸a˜o 2.8 Para a derivac¸a˜o termo a termo, na˜o basta que a
sequ¨eˆncia dada convirja uniformemente.
Exemplo 2.9 A sequ¨eˆncia de func¸o˜es fn(x) =
sen(nx)
n
converge
uniformemente para a func¸a˜o identicamente nula em toda a reta, mas
a sequ¨eˆncia de suas derivadas f ′n(x) = cos(nx) na˜o converge sequer
simplesmente em intervalo algum.
De fato, como o conjunto
{(
2m+ 1
2n
)
pi
∣∣m ∈ Z e n ∈ N}
e´ denso em R, dado um intervalo I, existe m0 ∈ Z e n0 ∈ N tais que(
2m0 + 1
2n0
)
pi ∈ I .
Logo, a sequ¨eˆncia
(
cosn
(
2m0 + 1
2n0
)
pi
)
na˜o converge, pois a subsequ¨eˆncia(
cosn
(
2m0 + 1
2n0
)
pi
)
N ′
, onde N ′ = {2k2n0 |k ∈ N}, converge para 1, e a
subsequ¨eˆncia
(
cosn
(
2m0 + 1
2n0
)
pi
)
N ′′
, onde N ′′ = {(2k + 1) 2n0 |k ∈ N},
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Ana´lise na Reta
converge para −1, ja´ que cos
(
n
(
2m0 + 1
2n0
)
pi
)
= 1 para todo n ∈ N ′ e
cos
(
n
(
2m0 + 1
2n0
)
pi
)
= −1 para todo n ∈ N ′′. �
Teorema 2.4 Seja (fn)n uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es deriva´veis no inter-
valo [a, b]. Se, para um certo c ∈ [a, b], a sequ¨eˆncia (fn(c)) converge,
e se a sequ¨eˆncia das derivadas (f ′n) converge uniformemente em [a, b]
para uma func¸a˜o g, enta˜o (fn) converge uniformemente em [a, b] para
uma func¸a˜o deriva´vel f tal que f ′ = g, ou seja,
(lim fn)
′
= lim f ′n .
PRIMEIRA DEMONSTRAC¸A˜O. Prova.
Daremos, primeiro, uma demonstrac¸a˜o no caso em que as func¸o˜es f ′n
sa˜o contı´nuas no intervalo [a, b].
Pelo teorema fundamental do Ca´lculo, temos que
fn(x) = fn(c) +
∫x
c
f ′n(t)dt , (I)
para todo n ∈ N e todo x ∈ [a, b].
Como existe lim
n→∞ fn(c) e, pelo teorema 2.3,
lim
n→∞
∫x
a
f ′n(t)dt =
∫x
a
g(t)dt ,
temos que o limite lim
n→∞ fn(x) = f(x) existe para cada x ∈ [a, b] e
f(x) = f(c) +
∫x
a
g(t)dt . (II)
Enta˜o f e´ deriva´vel e f ′(x) = g(x) para todo x ∈ [a, b], pois g : [a, b] −→ R
e´ contı´nua, ja´ que g e´ um limite uniforme de func¸o˜es contı´nuas em [a, b].
Ale´m disso, por (I) e (II),
fn(x) − f(x) = fn(c) − f(c) +
∫x
a
[f ′n(t) − g(t)]dt .
Logo,
|fn(x) − f(x)| ≤ |fn(c) − f(c)| + |x− a| sup
t∈[a,b]
|f ′n(t) − g(t)| .
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
J. Delgado - K. Frensel20
Propriedades da convergeˆncia uniforme
n > n0 =⇒ |fn(c) − f(c)| < ε
2
e |f ′n(t) − g(t)| <
ε
2(b− a)
,
para todo t ∈ [a, b].
Assim, n > n0 =⇒ |fn(x) − f(x)| < ε para todo x ∈ [a, b], ou seja, fn −→ f
uniformemente em [a, b]. �
SEGUNDA DEMONSTRAC¸A˜O.Prova.
Dados m,n ∈ N, temos, pelo teorema do valor me´dio, que, para todo
x ∈ [a, b], existe d entre c e x tal que
fm(x) − fn(x) = fm(c) − fn(c) + (x− c)(f
′
m(d) − f
′
n(d)) .
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
m,n > n0 =⇒ |fm(c) − fn(c)| < ε2
e |f ′m(x) − f ′n(x)| <
ε
b− a
,
para todo x ∈ [a, b].
Logo, m,n > n0 =⇒ |fm(x) − fn(x)| < ε, para todo x ∈ [a, b] e, por-
tanto, pelo crite´rio de Cauchy, a sequ¨eˆncia (fn) converge uniformemente
no intervalo [a, b].
A igualdade acima, com x0 em vez de c, pode ser reescrita da seguinte
forma:
fm(x) − fm(x0)
x− x0
−
fn(x) − fn(x0)
x− x0
= f ′m(d) − f
′
n(d) , (?)
onde d esta´ entre x e x0, para todo x 6= x0.
Sejam, para cada x0 ∈ [a, b] fixo e cada n ∈ N, as func¸o˜es
qn : [a, b] − {x0} −→ R e q : [a, b] − {x0} −→ R
definidas, respectivamente, por
qn(x) =
fn(x) − fn(x0)
x− x0
e q(x) = f(x) − f(x0)
x− x0
.
Como qn −→ q simplesmente em [a, b] − {x0} e pela igualdade (?), a
sequ¨eˆncia (qn)n satisfaz o crite´rio de Cauchy, temos que qn −→ q uni-
formemente em [a, b] − {x0}.
Ale´m disso, lim
x→x0 qn(x) = f ′n(x0) para todo n ∈ N.
Assim, pelo teorema 2.1, existem e sa˜o iguais os limites repetidos
Instituto de Matema´tica - UFF 21
Ana´lise na Reta
lim
x→x0 limn→∞qn(x) = limn→∞ limx→x0 qn(x) ,
ou seja,
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x− x0
= lim
n→∞ f ′n(x0) = g(x0) .
Como x0 ∈ [a, b] foi tomado arbitrariamente, temos que f e´ deriva´vel em
[a, b] e f ′ = g. �
Corola´rio 2.7 Seja
∑
fn uma se´rie de func¸o˜es deriva´veis no intervalo
[a, b]. Se
∑
fn(c) converge para um certo c ∈ [a, b] e a se´rie
∑
f ′n con-
verge uniformemente para uma func¸a˜o g em [a, b], enta˜o
∑
fn converge
uniformemente em [a, b] para uma func¸a˜o deriva´vel f com f ′ = g.
Corola´rio 2.8 Uma sequ¨eˆncia (ou uma se´rie) de func¸o˜es deriva´veis num
intervalo arbitra´rio I pode ser derivada termo a termo desde que convirja
num ponto c ∈ I e a sequ¨eˆncia (ou se´rie) das derivadas convirja uniforme-
mente em cada subintervalo compacto de I.
• Ou seja, se uma sequ¨eˆncia de func¸o˜es (fn)n satisfaz as condic¸o˜es
acima, enta˜o (fn)n converge simplesmente para uma func¸a˜o f deriva´vel
no intervalo I, sendo a convergeˆncia uniforme em todo subintervalo com-
pacto de I e lim
n→∞ f ′n(x) = f ′(x) , para todo x ∈ I .
• E se
∑
fn e´ uma se´rie de func¸o˜es que satisfaz as condic¸o˜es acima,
enta˜o
∑
fn converge simplesmente para uma func¸a˜o deriva´vel em I,
sendo a convergeˆncia uniforme em cada subintervalo compacto de I, e∑
f ′n(x) = f
′(x) , para todo x ∈ I .
3. Se´rie Dupla
Uma sequ¨eˆncia dupla (xnk)n,k e´ uma func¸a˜o x : N × N −→ R que
associa a cada par (n, k) de nu´meros naturais um nu´mero real xnk.
Podemos imaginar os nu´meros xnk dispostos num arranjo retangular,
J. Delgado - K. Frensel22
Se´rie Dupla
de modo que o ı´ndice n em xnk indica a n−e´sima linha e o ı´ndice k indica
a k−e´sima coluna:
x11 x12 x13 · · ·
x21 x22 x23 · · ·
x31 x32 x33 · · ·
...
...
... . . .
Para cada n ∈ N,
∑
k
xnk e´ a se´rie obtida somando os termos da
n−e´sima linha, e fixado k ∈ N,
∑
k
xnk e´ a soma dos termos da k−e´sima
coluna.
Mesmo quando
∑
n
xnk converge, para todo k ∈ N,
∑
k
xnk converge
para todo n ∈ N e as se´ries
∑
k
∑
n
xnk e
∑
n
∑
k
xnk convergem, pode
ocorrer que ∑
k
∑
n
xnk 6=
∑
n
∑
k
xnk .
Exemplo 3.1 Considere a se´rie dupla dada no quadro abaixo:
1
2
−1
2
0 0 0 · · · −→ 0
0 3
4
−3
4
0 0 · · · −→ 0
0 0 7
8
−7
8
0 · · · −→ 0
0 0 0 15
16
−15
16
· · · −→ 0
...
...
...
...
... . . .
...↓ ↓ ↓ ↓
1
2
1
4
1
8
1
16
· · ·
Somando primeiro as linhas, obtemos
∑
n
∑
k
xnk = 0, enquanto que, se
somarmos primeiro as colunas, teremos
∑
k
∑
n
xnk =
∑
k
1
2k
=
1
2
. �
Lema 3.1 Se, para cada n, a se´rie
∑
k
xnk e´ convergente e se, definindo
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Ana´lise na Reta
as func¸o˜es fn : N −→ R por fn(k) = xn1 + xn2 + . . . + xnk, a se´rie ∑
n
fn
converge uniformemente emN, enta˜o sa˜o convergentes e iguais as somas
repetidas ∑
n
(∑
k
xnk
)
=
∑
k
(∑
n
xnk
)
.
Prova.
Como as se´ries
∑
n
fn(1) =
∑
n
xn1 e∑
n
(fn(k) − fn(k− 1)) =
∑
n
xnk ,
para k > 1, sa˜o convergentes, temos pelo corola´rio 2.1 e pela observac¸a˜o
2.1, que
∑
n
(∑
k
xnk
)
=
∑
n
(
lim
k→∞ fn(k)
)
e´ convergente e
∑
n
(∑
k
xnk
)
=
∑
n
(
lim
k→∞ fn(k)
)
= lim
k→∞
∑
n
fn(k)
= lim
k→∞
(∑
n
xn1 +
∑
n
xn2 + . . .+
∑
n
xnk
)
=
∑
k
(∑
n
xnk
)
,
ja´ que
∑
n
xn1 +
∑
n
xn2 + . . . +
∑
n
xnk e´ a reduzida de ordem k da se´rie
∑
k
(∑
n
xnk
)
. �
Teorema 3.1 Dada a sequ¨eˆncia dupla (xnk)n,k, suponhamos que cada
linha determina uma se´rie absolutamente convergente, ou seja
∑
k
|xnk| =
an, para cada n, e que
∑
n
an < +∞. Enta˜o, as se´ries ∑
n
xnk, para
todo k ∈ N,
∑
n
(∑
k
xnk
)
,
∑
k
xnk, para todo n ∈ N e
∑
k
(∑
n
xnk
)
sa˜o
convergentes e ∑
n
(∑
k
xnk
)
=
∑
k
(∑
n
xnk
)
.
J. Delgado - K. Frensel24
Se´ries de poteˆncias
Prova.
Pondo fn(k) = xn1 + xn2 + . . .+ xnk, temos que
|fn| = |xn1 + xn2 + . . .+ xnk| ≤ |xn1| + |xn2| + . . .+ |xnk| ≤ an ,
para todo k ∈ N e todo n ∈ N. Logo, a se´rie de func¸o˜es
∑
fn e´ normal-
mente convergente e, pelo teste de Weierstrass, e´ uniformemente conver-
gente em N.
Logo, pelo lema anterior, temos que
∑
n
(∑
k
xnk
)
=
∑
k
(∑
n
xnk
)
. �
4. Se´ries de poteˆncias
As se´ries de func¸o˜es do tipo∞∑
n=0
an(x− x0)
n = a0 + a1(x− x0) + . . .+ an(x− x0)
n + . . .
sa˜o chamadas se´ries de poteˆncias.
Observac¸a˜o 4.1 Para simplificar a notac¸a˜o consideramos quase sem-
pre o caso x0 = 0, ou seja, as se´ries de poteˆncias da forma∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x+ . . .+ anx
n + . . .
Os resultados que obtivermos para
∞∑
n=0
anx
n podera˜o ser adaptados para
as se´ries
∞∑
n=0
an(x− x0)
n, fazendo a mudanc¸a de varia´vel y = x− x0.
Exemplo 4.1 A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
xn
n !
converge para ex para todo
x ∈ R. �
Exemplo 4.2 A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
n ! xn converge apenas para
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Ana´lise na Reta
x = 0, pois, para x 6= 0 lim
n→∞ (n+ 1) ! |x|
n+1
n ! |x|n
= lim
n→∞(n+ 1)|x| = +∞ . �
Exemplo 4.3 A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
xn converge para 1
1− x
para todo
x ∈ (−1, 1) e diverge fora desse intervalo. �
Exemplo 4.4 A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn converge para a func¸a˜o
log(1+ x) para todo x ∈ (−1, 1] e diverge para x ∈ R− (−1, 1]. �
Exemplo 4.5 A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 converge para a func¸a˜o
arctg x para todo x ∈ [−1, 1] e diverge fora desse intervalo. �
• Mostraremos que o conjunto dos pontos x para os quais uma se´rie de
poteˆncias
∞∑
n=0
an x
n converge e´ sempre um intervalo de centro 0, que pode
ser aberto, fechado, semi-fechado, reduzido ao ponto 0 ou igual a` reta
toda. Para as se´ries
∞∑
n=0
an(x − x0)
n, o conjunto dos pontos onde a se´rie
converge sa˜o intervalos centrados em x0.
Dada uma se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
n, vamos analisar a sequ¨eˆncia
de nu´meros reais na˜o-negativos ( n
√
|an|)n:
(1) Se a sequ¨eˆncia ( n
√
|an|)n e´ ilimitada, a se´rie
∞∑
n=0
anx
n converge
apenas para x = 0.
De fato, a sequ¨eˆncia (|x| n
√
|an|)n e´ ilimitada para x 6= 0 e, portanto, o
termo geral |anxn| = (|x| n
√
|an|)
n na˜o tende para zero. Por exemplo, isso
acontece na se´rie
∞∑
n=0
nnxn.
(2) Se lim
n→∞ n
√
|an| = 0, enta˜o a se´rie
∞∑
n=0
anx
n converge absoluta-
J. Delgado - K. Frensel26
Se´ries de poteˆncias
mente para todo x ∈ R.
De fato, lim
n→∞ n
√
|anx|n = |x| lim
n→∞ n
√
|an| = 0 para todo x ∈ R. Logo,a se´rie
∞∑
n=0
anx
n converge, pelo teste da raiz, absolutamente para todo
x ∈ R. Por exemplo, isso ocorre com a se´rie
∞∑
n=0
xn
nn
.
(3) Se 0 < lim
n→∞ sup n
√
|an| < +∞, ou seja, lim sup
n→∞
n
√
|an| =
1
r
, com
r > 0, enta˜o
∞∑
n=0
anx
n converge absolutamente para todo x ∈ (−r, r),
diverge se |x| > r e nenhuma afirmac¸a˜o pode ser feita para x = ±r.
De fato, como lim
n→∞ sup n
√
|anxn| = |x| lim sup
n→∞
n
√
|an| =
|x|
r
, temos,
pelo teste da raiz, que a se´rie converge absolutamente quando |x|
r
< 1, ou
seja, quando x ∈ (−r, r).
E se |x|
r
> 1, enta˜o lim sup
n→∞
n
√
|anxn| =
|x|
r
> 1 e, portanto, |anxn| > 1
para uma infinidade de valores de n. Logo, a se´rie
∞∑
n=0
anx
n na˜o converge
quando |x| > r, pois, para esses valores de x, o termo geral (anxn) na˜o
converge para zero.
Observac¸a˜o 4.2 Se ( n
√
|an|)n e´ limitada e lim
n→∞ n
√
|an| 6= 0 enta˜o
0 < lim sup
n→∞
n
√
|an| < ∞, pois, caso contra´rio, lim sup
n→∞
n
√
|an| = 0 e, por-
tanto, lim
n→∞ n
√
|an| = 0, ja´ que 0 ≤ n
√
|an| ≤ sup
{
n
√
|an|,
n+1
√
|an+1|, . . .
}
.
Observac¸a˜o 4.3 Quando |x| = r, ou seja, x = ±r, a se´rie
∞∑
n=0
anx
n
pode convergir ou na˜o, conforme o caso.
Exemplo 4.6 Para a se´rie
∞∑
n=0
xn =
1
1− x
, temos que r = 1, pois
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lim
n→∞ n
√
|an| = lim
n→∞ n
√
1 = 1. Neste exemplo, a se´rie na˜o converge para
x = ±1. �
Exemplo 4.7 Para a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn = log(1 + x), temos que
lim
n→∞ n
√
|an| = lim
n→∞ 1n√n = 1, ou seja, r = 1. Neste exemplo, a se´rie con-
verge para x = 1 e diverge para x = −1. �
Exemplo 4.8 Para a se´rie
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
x2n+1 = arctg x, temos que
n
√
|an| = 0 se n e´ par e n
√
|an| =
1√
n
se n e´ ı´mpar,
e, portanto, lim sup
n→∞
n
√
|an| = 1, ou seja, r = 1. Neste exemplo, a se´rie
converge para x = ±1. �
Definic¸a˜o 4.1 O nu´mero r =
(
lim sup
n→∞
n
√
|an|
)−1
chama-se raio de con-
vergeˆncia da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
n. Convencionamos que r = 0,
quando lim sup
n→∞
n
√
|an| = +∞ , e r = +∞ , quando lim sup
n→∞
n
√
|an| = 0.
Quando r > 0 ou r = +∞, o intervalo (−r, r) chama-se intervalo de
convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
anx
n, lembrando que a se´rie pode convergir ou
na˜o nos pontos r ou −r situados fora do intervalo de convergeˆncia.
Teorema 4.1 Uma se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
n, ou converge apenas
para x = 0 ou existe r > 0 (que pode ser +∞) tal que a se´rie converge
absolutamente no intervalo aberto (−r, r) e diverge fora do intervalo fechado
[−r, r]. Nos extremos −r e r, a se´rie pode convergir ou divergir, conforme
o caso. Tem-se 1
r
= lim sup
n→∞
n
√
|an|.
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Se´ries de poteˆncias
Teorema 4.2 Uma se´rie de poteˆncias converge uniformemente em todo
intervalo compacto contido no seu intervalo de convergeˆncia.
Prova.
Seja (−r, r) o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=0
anx
n.
Basta mostrar que a se´rie converge uniformemente em todo intervalo
compacto do tipo [−s, s], com 0 < s < r.
Como a se´rie
∞∑
n=0
ans
n e´ absolutamente convergente e, |anxn| ≤ |an|sn ,
para todo x ∈ [−s, s], temos, pelo teste de Weierstrass, que a se´rie
∞∑
n=0
anx
n
e´ uniformemente convergente no intervalo [−s, s]. �
Corola´rio 4.1 A func¸a˜o f : (−r, r) −→ R, definida por f(x) = ∞∑
n=0
anx
n, e´
contı´nua no intervalo de convergeˆncia (−r, r).
Prova.
Como, para todo 0 < s < r a se´rie de func¸o˜es contı´nuas
∞∑
n=0
anx
n con-
verge uniformemente para f no intervalo [−s, s], temos que f e´ contı´nua
no intervalo [−s, s]. Logo, f e´ contı´nua no intervalo (−r, r). �
Observac¸a˜o 4.4 Uma se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
anx
n pode na˜o convergir
uniformemente em todo o seu intervalo de convergeˆncia (−r, r), pois, pelo
corola´rio 1.1, quando uma se´rie de func¸o˜es contı´nuas em X converge
uniformemente em X, ela tambe´m converge uniformemente em X.
Assim, por exemplo, a se´rie
∞∑
n=0
xn na˜o converge uniformemente no seu
intervalo de convergeˆncia (−1, 1), pois, caso contra´rio, ela seria conver-
gente nos pontos 1 e −1, o que na˜o ocorre.
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Ana´lise na Reta
Tambe´m a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
xn na˜o converge uniformemente no seu inter-
valo de convergeˆncia (−1, 1), pois, embora ela seja convergente no ponto
x = 1, ela e´ divergente para x = −1.
Teorema 4.3 (de Abel)
Seja
∞∑
n=0
anx
n uma se´rie de poteˆncias cujo raio de convergeˆncia r e´ finito
e positivo. Se
∞∑
n=0
anr
n converge, enta˜o
∞∑
n=0
anx
n converge uniformemente
no intervalo [0, r]. Em particular, lim
x→r−
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
anr
n.
Lema 4.1 Seja
∞∑
p=1
αp uma se´rie cujas reduzidas sp = α1 + . . .+ αp sa˜o
limitadas, ou seja, existe k > 0 tal que |sp| ≤ k para todo p ∈ N. Seja
b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bp ≥ . . . uma sequ¨eˆncia na˜o-crescente de nu´meros
na˜o-negativos. Enta˜o
|α1b1 + . . .+ αpbp| ≤ kb1 , para todo p ∈ N.
Prova.
Com as hipo´teses feitas, temos que
|α1b1 + . . .+ αpbp| = |s1b1 + (s2 − s1)b2 + . . .+ (sp − sp−1)bp|
= |s1(b1 − b2) + s2(b2 − b3) + . . .+ sp−1(bp−1 − bp) + spbp|
≤ k(b1 − b2 + b2 − b3 + . . .+ bp−1 − bp + bp) = kb1 .
para todo p ∈ N. �
Vamos, agora, provar o teorema de Abel.
Prova.
Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que
n > n0 =⇒ |an+1rn+1 + . . .+ an+prn+p| < ε para todo p ∈ N.
Dado n > n0, seja αp = an+prn+p para todo p ∈ N.
Para todo x ∈ [0, r], temos
J. Delgado - K. Frensel30
Se´ries de poteˆncias
|an+1x
n+1 + . . .+ an+px
n+p| =
∣∣α1 (x
r
)
+ . . .+ αp
(
x
r
)p ∣∣ (x
r
)n
.
Fazendo bp =
(
x
r
)p
, temos, pelo lema anterior, que, para todo n > n0 e
todo x ∈ [0, r],
|an+1x
n+1 + . . .+ an+px
n+p| = |α1b1 + α2b2 + . . .+ αpbp|
(
x
r
)n
≤ ε
(
x
r
)n+1
≤ ε ,
para todo p ∈ N, ja´ que (bp)p e´ uma sequ¨eˆncia na˜o-crescente de nu´meros
na˜o-negativos e |α1 + . . .+ αp| < ε para todo p ∈ N.
Logo, pelo crite´rio de Cauchy, a se´rie converge uniformemente em [0, r]
para uma func¸a˜o f : [0, r] −→ R contı´nua, pois cada termo anxn da se´rie
e´ uma func¸a˜o contı´nua.
Enta˜o,
∞∑
n=0
anr
n = f(r) = lim
x→r− f(x) = limx→r−
∞∑
n=0
anx
n. �
Observac¸a˜o 4.5 O mesmo vale para −r no lugar de r, ou seja, se a
se´rie
∑
(−1)nanr
n converge, onde r e´ o raio de convergeˆncia, enta˜o a
se´rie
∑
anx
n converge uniformemente no invervalo [−r, 0]
De fato, como o raio de convergeˆncia da se´rie
∑
(−1)nanx
n e´ r e ela
converge no ponto x = r, temos, pelo teorema anterior, que a se´rie∑
(−1)nanx
n converge uniformemente no intervalo [0, r]. Logo, a se´rie∑
anx
n converge uniformemente no intervalo [−r, 0].
Observac¸a˜o 4.6 A se´rie
∑
anx
n converge uniformemente no seu in-
tervalo de convergeˆncia (−r, r) se, e so´ se, converge nos pontos r e −r. E,
neste caso, a se´rie
∑
anx
n converge uniformemente no intervalo [−r, r].
Exemplo 4.9 A se´rie
∑ (−1)n−1
n
xn converge uniformemente em cada
intervalo [−1 + δ, 1], 0 < δ < 2, mas na˜o converge uniformemente no
intervalo (−1, 1]. �
Teorema 4.4 (Integrac¸a˜o termo a termo)
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Ana´lise na Reta
Se a se´rie de poteˆncias
∑
anx
n converge em todos os pontos do inter-
valo fechado [α,β], enta˜o∫b
a
(∑
anx
n
)
dx =
∑ an
n+ 1
(
βn+1 − αn+1
)
.
Prova.
Se (−r, r) e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∑
anx
n, temos que
[α,β] ⊂ [−r, r]. Logo, pelo teorema de Abel, a se´rie
∑
anx
n converge
uniformemente nointervalo [α,β].
Enta˜o, pelo corola´rio 2.6, a func¸a˜o f(x) =
∑
anx
n, x ∈ [α,β], e´ integra´vel
e temos:∫β
α
f(x)dx =
∫β
α
(∑
anx
n
)
dx =
∑∫β
α
(anx
n)dx
=
∑ an
n+ 1
xn+1
∣∣β
α
=
∑ an
n+ 1
(
βn+1 − αn+1
)
.
�
Observac¸a˜o 4.7 A integral de Riemann que estudamos se refere ape-
nas a func¸o˜es limitadas num intervalo compacto [a, b].
• Se f : [a, b) −→ R e´ tal que, para cada c ∈ [a, b), f e´ (limitada) integra´vel
em [a, c], enta˜o define-se a integral impro´pria∫b
a
f(x)dx = lim
c→b−
∫ c
a
f(x)dx ,
caso este limite exista.
Exemplo 4.10 Seja a func¸a˜o f : [0, 1) −→ R definida por f(x) = 1√
1− x
.
Enta˜o a integral impro´pria
∫ 1
0
f(x)dx existe, ja´ que
∫ 1
0
f(x)dx = lim
c→1−
∫ c
0
1√
1− x
dx = lim
c→1−−2
√
1− x
∣∣c
0
= lim
c→1−
(
2− 2
√
1− c
)
= 2 .
J. Delgado - K. Frensel32
Se´ries de poteˆncias
�
Exemplo 4.11 A func¸a˜o f : [0, 1) −→ R, f(x) = 1
1− x
, na˜o possui inte-
gral impro´pria no intervalo [0, 1), pois∫ 1
0
1
1− x
dx = lim
c→1−
∫ c
0
1
1− x
dx = lim
c→1− (− log(1− c)) = +∞ .
�
Observac¸a˜o 4.8 Se a se´rie
∑
anx
n na˜o converge no extremo r do
seu intervalo de convergeˆncia, podemos ainda efetuar termo a termo a
integral impro´pria
∫ r
0
(∑
anx
n
)
dx, desde que a se´rie
∑ an
n+ 1
rn+1 seja
convergente.
De fato, pelo teorema anterior, podemos integrar termo a termo em [0, t]
se t ∈ [0, r). Logo,∫ r
0
(∑
anx
n
)
= lim
t→r−
∫ t
0
(∑
anx
n
)
dx
= lim
t→r−
∑ antn+1
n+ 1
=
∑ an
n+ 1
rn+1 ,
sendo a u´ltima igualdade verdadeira pelo teorema 4.3 (Abel).
Exemplo 4.12 A func¸a˜o
f(x) = 1+ x+
x2
2
+ . . .+
xn
n
+ . . .
e´ contı´nua no intervalo [0, 1), onde 1 e´ o raio de convergeˆncia da se´rie de
poteˆncias
∑
n≥1
xn
n
.
Apesar da se´rie na˜o convergir no ponto x = 1, a se´rie das integrais∑
n≥1
∫ 1
0
xn
n
dx =
∑
n≥1
1
n(n+ 1)
converge para 1.
Logo, podemos integrar termo a termo e obter:
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Ana´lise na Reta
∫ 1
0
f(x)dx = 1+
1
1 · 2 +
1
2 · 3 + . . .+
1
n(n+ 1)
+ . . . = 2 . �
Teorema 4.5 (Derivac¸a˜o termo a termo)
A func¸a˜o f(x) =
∞∑
n=0
anx
n, definida por uma se´rie de poteˆncias, e´ deriva´vel
em todo ponto x do seu intervalo de convergeˆncia (−r, r). Ale´m disso,
f ′(x) =
∞∑
n=1
nanx
n−1 e a se´rie de poteˆncias das derivadas tambe´m tem
raio de convergeˆncia r.
Prova.
Como a se´rie
∞∑
n=1
nanx
n−1 e´ convergente se, e somente se, a se´rie
∞∑
n=1
nanx
n = x
∞∑
n=1
nanx
n−1 converge, temos que o raio de convergeˆncia
da se´rie das derivadas e´ igual ao da se´rie
∞∑
n=1
nanx
n, ou seja, o raio de
convergeˆncia da se´rie das derivadas e´ o inverso do nu´mero
lim sup
n→∞
n
√
n |an| =
(
lim
n→∞ n
√
n
) (
lim sup
n→∞
n
√
|an|
)
= lim sup
n→∞
n
√
|an|,
pois lim
n→∞ n
√
n = 1.
Assim,
∞∑
n=0
anx
n e
∞∑
n=1
nanx
n−1 teˆm o mesmo raio de convergeˆncia r.
Como a se´rie das derivadas
∞∑
n=1
nanx
n−1 converge uniformemente em
todo intervalo compacto contido em (−r, r), temos, pelo corola´rio 2.8, que
f(x) =
∞∑
n=0
anx
n e´ deriva´vel e f ′(x) =
∞∑
n=1
nanx
n−1 em todo x ∈ (−r, r). �
Corola´rio 4.2 A func¸a˜o f(x) =
∞∑
n=0
anx
n, definida por uma se´rie de
poteˆncias, possui derivada de todas as ordens em todos os pontos do
J. Delgado - K. Frensel34
Se´ries de poteˆncias
seu intervalo de convergeˆncia (−r, r) e suas derivadas sucessivas podem
ser calculadas por derivac¸a˜o termo a termo.
Assim, para x ∈ (−r, r) e k ∈ N, tem-se
f(k)(x) =
∞∑
n=k
n(n− 1) . . . (n− (k− 1))anx
n−k .
Em particular, ak =
fk(0)
k !
, ou seja, a se´rie de poteˆncias que converge para
f(x) em (−r, r) e´ a se´rie de Taylor de f em torno de 0.
Exemplo 4.13 Func¸o˜es seno e cosseno .
As se´ries
∞∑
n=0
(−1)n
(2n) !
x2n e
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1) !
x2n+1 teˆm raio de convergeˆncia
infinito, logo definem func¸o˜es C∞ na reta.
Sejam c : R −→ R e s : R −→ R dadas por
c(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n) !
x2n e s(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1) !
x2n+1
Enta˜o, c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x), s(−x) = −s(x) e, derivando termo
a termo, temos que c ′(x) = −s(x) e s ′(x) = c(x).
Afirmac¸a˜o: s(x)2 + c(x)2 = 1 para todo x ∈ R.
De fato, como a func¸a˜o f(x) = s(x)2 + c(x)2 tem derivada
f ′(x) = 2s(x)s ′(x) + 2c(x)c ′(x) = 2s(x)c(x) − 2c(x)s(x) = 0 ,
para todo x ∈ R e f(0) = 1, temos que f(x) = 1, ou seja, s(x)2 + c(x)2 = 1
para todo x ∈ R.
Afirmac¸a˜o: s(x+y) = s(x)c(y)+c(x)s(y) e c(x+y) = c(x)c(y)−s(x)s(y)
quaisquer que sejam x, y ∈ R.
De fato, fixando y ∈ R, podemos definir as func¸o˜es
f(x) = s(x+ y) − s(x)c(y) − c(x)s(y)
e
g(x) = c(x+ y) − c(x)c(y) + s(x)s(y).
Como
Instituto de Matema´tica - UFF 35
Ana´lise na Reta
f ′(x) = s ′(x+ y) − s ′(x)c(y) − c ′(x)s(y)
= c(x+ y) − c(x)c(y) + s(x)s(y) = g(x) ,
e
g ′(x) = c ′(x+ y) − c ′(x)c(y) + s ′(x)s(y)
= −s(x+ y) + s(x)c(y) + c(x)s(y) = −f(x) ,
temos que
(f(x)2 + g(x)2) ′ = 2f(x)f ′(x) + 2g(x)g ′(x) = 2f(x)g(x) − 2g(x)f(x) = 0 ,
para todo x ∈ R. Logo, f(x)2 + g(x)2 = 0 para todo x ∈ R, ja´ que
f(0) = s(y) − s(0)c(y) − c(0)s(y) = 0
e
g(0) = c(y) − c(0)c(y) + s(0)s(y) = 0 .
Enta˜o, f(x) = g(x) = 0 para todo x ∈ R, valendo, portanto, as fo´rmulas de
adic¸a˜o.
Afirmac¸a˜o: Existe x > 0 tal que c(x) = 0.
De fato, como c(0) = 1 > 0 e c : R −→ R e´ contı´nua, terı´amos c(x) > 0
para todo x ≥ 0, caso c(x) 6= 0 para todo x > 0.
Daı´, s(x) seria uma func¸a˜o crescente em [0,∞). Logo, para todo x > 1,
s(1)(x− 1) ≤
∫x
1
s(t)dt =
∫x
1
−c ′(t)dt = c(1) − c(x) ≤ 2 ,
pois s(1) ≤ s(t) para todo t ∈ [1, x] e −1 ≤ c(t) ≤ 1 para todo t ∈ R, ja´
que s(t)2+ c(t)2 = 1. Mas a desigualdade s(1)(x− 1) ≤ 2 va´lida para todo
x > 1 e´ absurda, pois s(1) > s(0) = 0.
Logo c deve anular-se em algum ponto x > 0.
• Como o conjunto { x ∈ (0,∞) | f(x) = 0 } e´ fechado, ja´ que a func¸a˜o c e´
contı´nua e c(0) > 0, existe um menor nu´mero positivo para o qual c se
anula. Chamamos tal nu´mero pi
2
.
Assim, como c(2x) = c(x)2 − s(x)2 = 2c(x)2 − 1, temos que c(pi) = −1 e
c(2pi) = 1 e, portanto, s(pi) = s(2pi) = 0.
Logo, pelas fo´rmulas de adic¸a˜o, temos que
J. Delgado - K. Frensel36
Operac¸o˜es aritme´ticas com se´riesde poteˆncias
s(x+ 2pi) = s(x)c(2pi) + c(x)s(2pi) = s(x) ,
e
c(x+ 2pi) = c(x)c(2pi) − s(x)s(2pi) = c(x) ,
para todo x ∈ R, ou seja, as func¸o˜es s(x) e c(x) sa˜o perio´dicas com
perı´odo 2pi.
Outras propriedades das func¸o˜es seno e cosseno podem ser provadas de
modo analı´tico usando suas se´ries de poteˆncias. �
Observac¸a˜o 4.9 Embora as se´ries
∞∑
n=0
anx
n e
∞∑
n=1
nanx
n−1 tenham o
mesmo intervalo de convergeˆncia (−r, r), pode ocorrer que a se´rie
∞∑
n=0
anx
n
convirja num dos extremos±r e a se´rie
∞∑
n=1
nanx
n−1 seja divergente nesse
ponto.
Por exemplo, a se´rie
∞∑
n=1
xn
n2
converge em [−1, 1], mas a se´rie derivada
∞∑
n=1
xn−1
n
diverge no ponto x = 1.
Mas, se a se´rie derivada
∞∑
n=1
nanx
n−1 converge num dos extremos ±r do
intervalo de convergeˆncia, enta˜o a se´rie
∞∑
n=0
anx
n tambe´m converge nesse
extremo.
De fato, se a se´rie
∞∑
n=1
nanx
n−1 converge no ponto x = r (ou no ponto x =
−r), enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
nanx
n−1 converge uniformemente no intervalo [0, r]
(ou no intervalo [−r, 0]) e, portanto, pelo corola´rio 2.7, a se´rie
∞∑
n=0
anx
n
converge no ponto x = r (ou x = −r).
Instituto de Matema´tica - UFF 37
Ana´lise na Reta
5. Operac¸o˜es aritme´ticas com se´ries
depoteˆncias
Sejam r e s os raios de convergeˆncia das se´ries
∑
anx
n e
∑
bnx
n,
respectivamente.
• Se r < s, enta˜o o raio de convergeˆncia da se´rie
∑
(an + bn)x
n e´ r.
De fato, a se´rie
∑
(an + bn)x
n converge para todo x ∈ (−r, r) e diverge
se t ∈ (r, s), pois
∑
ant
n diverge e
∑
bnt
n converge.
• Mas, se
∑
anx
n e
∑
bnx
n teˆm o mesmo raio de convergeˆncia r, enta˜o
a se´rie
∑
(an + bn)x
n pode ter qualquer nu´mero ≥ r como raio de con-
vergeˆncia.
Por exemplo, se os raios de
∑
anx
n e
∑
bnx
n sa˜o, respectivamente, r
e s, com r < s, enta˜o as se´ries
∑
(−an)x
n e
∑
(an + bn)x
n teˆm raio de
convergeˆncia r, enquanto
∑
bnx
n =
∑
((−an) + (an + bn)) x
n tem raio
de convergeˆncia s.
Teorema 5.1 Se as se´ries de poteˆncias
∑
anx
n e
∑
bnx
n convergem
para todo x ∈ (−r, r), enta˜o a se´rie
∑
cnx
n e´ convergente e∑
cnx
n =
(∑
anx
n
) (∑
bnx
n
)
,
para todo x ∈ (−r, r), onde cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0 .
Prova.
Como o intervalo (−r, r) esta´ contido no intervalo de convergeˆncia de cada
uma das se´ries
∑
anx
n e
∑
bnx
n, temos que estas se´ries convergem
absolutamente para todo x ∈ (−r, r).
Logo, pelo teorema —, da parte 3, a se´rie de termo geral
a0x
0bnx
n + a1x
1bn−1x
n−1 + . . .+ anx
nb0x
0 = cnx
n
J. Delgado - K. Frensel38
Operac¸o˜es aritme´ticas com se´riesde poteˆncias
converge e ∑
cnx
n =
(∑
anx
n
) (∑
bnx
n
)
. �
Corola´rio 5.1 Se as se´ries
∞∑
n=0
an,
∞∑
n=0
bn e
∞∑
n=0
cn sa˜o convergentes,
onde cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0, enta˜o∑
cn =
(∑
an
) (∑
bn
)
.
Prova.
Pelo teorema de Abel, as func¸o˜es f(x) =
∑
anx
n e g(x) =
∑
bnx
n sa˜o
definidas e contı´nuas para todo x ∈ (−1, 1]. Enta˜o, pelo teorema acima,
f(x) · g(x) =
∑
cnx
n para todo x ∈ (−1, 1).
Como, por hipo´tese, a se´rie de poteˆncias
∑
cnx
n converge no ponto
x = 1, temos, pelo teorema de Abel, que a se´rie
∑
cnx
n converge uni-
formemente em [0, 1] e, portanto,(∑
an
) (∑
bn
)
= lim
x→1 f(x) · g(x) = limx→1
∑
cnx
n =
∑
cn . �
• Se
∑
bnx
n tem raio de convergeˆncia s e
∑
anx
n tem raio de con-
vergeˆncia r < s, enta˜o a se´rie
∑
cnx
n =
(∑
anx
n
)(∑
bnx
n
)
tem raio
de convergeˆncia ≥ r.
Mesmo se as se´ries dadas teˆm o mesmo raio de convergeˆncia, a
se´rie produto pode ter raio de convergeˆncia maior. Por exemplo
1− x
1+ x2
= (1− x) ·
∑
n≥0
(−1)nx2n e 1+ x
2
1− x
= (1+ x2)
∑
n≥0
xn
teˆm ambas raio de convergeˆncia 1, mas o produto destas duas se´ries tem
raio de convergeˆncia infinito, pois
∑
cnx
n = 1 para todo x ∈ (−1, 1) e,
portanto, c0 = 1 e cn = 0 para todo n ≥ 1.
• Mostramos, enta˜o, que a soma e o produto de duas se´ries de poteˆncias
e´ ainda uma se´rie de poteˆncias. Mais precisamente, se f(x) =
∑
anx
n e
g(x) =
∑
bnx
n para todo x ∈ (−r, r), enta˜o os valores das func¸o˜es f + g
Instituto de Matema´tica - UFF 39
Ana´lise na Reta
e f · g no intervalo (−r, r) ainda sa˜o dados por se´ries de poteˆncias:
f(x) + g(x) =
∑
(an + bn)x
n e f(x) · g(x) =
∑
cnx
n,
onde cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0.
• Mostraremos, agora, que se f(x) =
∑
anx
n para todo x ∈ (−r, r) e
f(0) = a0 6= 0, enta˜o existe s ∈ (0, r] tal que a func¸a˜o 1
f(x)
e´ representada
por uma se´rie de poteˆncias em (−s, s), ou seja, tem -se 1
f(x)
=
∑
bnx
n
para todo x ∈ (−s, s).
Devido aos possı´veis zeros de f em (−r, r), o intervalo de convergeˆncia
pode realmente diminuir quando passamos de f para 1
f
. Por exemplo,
f(x) = 1 − x e´ uma se´rie de poteˆncias convergente em toda a reta, mas
1
f(x)
= 1 + x + x2 + . . . + xn + . . . converge apenas no intervalo (−1, 1), o
que e´ de se esperar ja´ que f(1) = 0, ou seja, 1
f(x)
na˜o tem sentido para
x = 1.
Tambe´m para f(x) = 1 + x2, que converge para todo x ∈ R, temos
que 1
f(x)
=
1
1+ x2
= 1− x+ x4 − . . .+ (−1)nx2n + . . . converge apenas no
intervalo (−1, 1). Neste exemplo, apesar de f(x) = 1 + x2 6= 0 para x ∈ R,
sabemos que essa func¸a˜o tem dois zeros com valores complexos: i e −i.
A segunda diferenc¸a, com respeito a` soma e ao produto de se´ries
de poteˆncias, e´ o fato de que na˜o se tem uma fo´rmula simples para os
coeficientes bn da se´rie
1
f(x)
= b0 + b1x+ . . .+ bnx
n + . . . em func¸a˜o dos
coeficientes an.
Para se determinar os valores bn aplica-se o me´todo dos coeficientes
a determinar, que consiste em escrever sucessivamente
(a0 + a1x+ a2x
2 + . . .)(b0 + b1x+ b2x
2 + . . .) = 1;
a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x
2 + . . . = 1;
a0b = 1 ; a0b1 + a1b0 = 0 ; a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0 ; . . . (?)
J. Delgado - K. Frensel40
Operac¸o˜es aritme´ticas com se´riesde poteˆncias
A primeira equac¸a˜o a0b0 = 1 de (?) nos da´ que b0 =
1
a0
. A partir
daı´, cada bn e´ determinado sucessivamente em func¸a˜o dos coeficientes
a0, a1, . . . , an e b0, b1, . . . , bn−1 que foram obtidos nas equac¸o˜es anteri-
ores. A hipo´tese a0 6= 0 assegura que o sistema de infinitas equac¸o˜es (?)
possui uma soluc¸a˜o u´nica, obtida por recorreˆncia.
Devemos, pore´m, observar que, para obter as equac¸o˜es (?) a par-
tir da igualdade anterior, foi utilizado o seguinte fato: se uma se´rie de
poteˆncias h(x) =
∑
cnx
n e´ igual a 1 para todo x ∈ (−s, s), enta˜o c0 = 1 e
cn = 0 para todo n > 1. Este resultado e´ uma consequ¨eˆncia do corola´rio
4.2, pois c0 = h(0) = 1 e cn =
h(n)(0)
n !
= 0 para todo n > 1, ja´ que h e´
constante igual a 1 no intervalo (−1, 1).
No entanto, para provarmos que 1
f(x)
pode ser escrita como uma
se´rie de poteˆncias num intervalo (−s, s) ⊂ (−r, r) na˜o precisaremos cal-
cular os coeficientes bn do inverso.
Seja, enta˜o, uma se´rie de poteˆncias
∑
anx
n que converge para f(x)
para todo x ∈ (−r, r) tal que a0 = f(0) 6= 0. Vamos supor que a0 = 1.
Como f e´ contı´nua em (−r, r) e f(0) = 1, existe δ > 0 tal que
x ∈ (−s, s) =⇒ |f(x) − 1| < 1.
Enta˜o, para todo x ∈ (−s, s), temos que
1
f(x)
=
1
1+ (f(x) − 1)
= 1− (f(x) − 1) + (f(x) − 1)2 − . . .+ (−1)n(f(x) − 1)n + . . .
=
∞∑
n−0
(−1)n(f(x) − 1)n =
∞∑
n=0
(−1)n
( ∞∑
k=1
akx
k
)n
.
Pelo teorema 5.1, podemos escrever( ∞∑
k=1
akx
k
)n
=
∞∑
k=0
cnkx
k ,
Assim, para todo x ∈ (−s, s), temos que
Instituto de Matema´tica - UFF 41
Ana´lise na Reta
1
f(x)
=
∑
n
(∑
k
(−1)ncnkx
k
)
.
Provaremos, agora, que podemos inverter a ordem do somato´rio, ou
seja, que
1
f(x)
=
∞∑
k=0
( ∞∑
n=0
(−1)ncnkx
k
)
,
o que exprimira´ 1
f(x)
como uma se´rie de poteˆncias no intervalo (−s, s) com
coeficientes bk =
∑
n
(−1)ncnk.
Para isso, utilizaremos o teorema 3.1, o qual exige que, para todo n,∑
k
∣∣(−1)ncnkxk∣∣ convirja, o que e´ verdade, ja´ que ∑
k
(−1)ncnkx
k e´ uma
se´rie de poteˆncias convergente em (−r, r), e, portanto, absolutamente
convergente para todo x ∈ (−r, r). Ale´m disso, o teorema 3.1 tambe´m
exige que a se´rie
∑
n
(∑
k
∣∣cnkxk∣∣) convirja, o que na˜o e´ evidente.
Afirmac¸a˜o:
∑
n
(∑
k
∣∣cnkxk∣∣) converge.
A se´rie ϕ(x) =
∑
k
|ak|x
k tem o mesmo raio de convergeˆncia que a
se´rie
∑
k
akx
k e ϕ(0) = |a0| = 1. Enta˜o, podemos diminuir o nu´mero s > 0
de tal modo que |ϕ(x) − 1| < 1 e |f(x) − 1| < 1 para todo x ∈ (−s, s).
Para todo x ∈ (−s, s) e todo n ∈ N, podemos escrever
(ϕ(x) − 1)n =
( ∞∑
k=0
|ak|x
k
)n
=
∞∑
k=0
dnkx
k.
Como a se´rie
∞∑
n=0
(ϕ(x) − 1)
n converge para todo x ∈ (−s, s), temos
que a se´rie
∞∑
n=0
( ∞∑
k=0
dnkx
k
)
e´ convergente para todo x ∈ (−s,s).
Se provarmos que |cnk| ≤ dnk para todo n e todo k, teremos que
J. Delgado - K. Frensel42
Operac¸o˜es aritme´ticas com se´riesde poteˆncias
a se´rie
∑
n
(∑
k
|cnkx
k|
)
converge, ja´ que
∑
k
|cnkx
k| ≤
∑
k
dnk|x
k| e
∑
n
(∑
k
dnk|x|
k
)
converge.
Afirmac¸a˜o: |cnk| ≤ dnk para todo n e todo k.
Vamos provar a afirmac¸a˜o por induc¸a˜o em n.
• Para n = 0, c00 = d00 = 1 e c0k = d0k = 0 para todo k > 1. Enta˜o,
|c0k| ≤ |d0k| para todo k.
• Seja n > 0 e suponhamos que |cnk| ≤ dnk para todo k.
Como os nu´meros cnk e dnk sa˜o dados pelas relac¸o˜es(∑
k
akx
k
)n
=
∑
k
cnkx
k e
(∑
k
|ak|x
k
)n
=
∑
k
dnkx
k ,
e observando que(∑
k
akx
k
)n+1
=
(∑
k
akx
k
)n(∑
k
akx
k
)
=
(∑
k
cnkx
k
)n(∑
k
akx
k
)
,
e (∑
k
|ak|x
k
)n+1
=
(∑
k
|ak|x
k
)n(∑
k
|ak|x
k
)
=
(∑
k
dnkx
k
)n(∑
k
|ak|x
k
)
,
temos, fazendo a0 = 0, que
cn+1k = a0cnk + a1cn (k+1) + . . .+ akcn0
e
d(n+1)k = |a0|dnk + |a1|dn (k−1) + . . .+ |ak|dn0 .
Logo, usando a hipo´tese de induc¸a˜o,
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Ana´lise na Reta
| c(n+1)k | ≤ |a0| |cnk| + |a1| |cn (k−1)| + . . .+ |ak| |cn0|
≤ |a0|dnk + |a1|dn (k−1) + . . .+ |ak|dn0
= d(n+1)k ,
o que conclui a demonstrac¸a˜o do seguinte teorema:
Teorema 5.2 Seja
∑
anx
n uma se´rie de poteˆncias que converge ao
valor f(x) para todo x ∈ (−r, r).
Se a0 6= 0, enta˜o existem s > 0 e uma se´rie de poteˆncias
∑
bnx
n que
converge, para todo x ∈ (−s, s), ao valor 1
f(x)
J. Delgado - K. Frensel44
Func¸o˜es analı´ticas
6. Func¸o˜es analı´ticas
Definic¸a˜o 6.1 Uma func¸a˜o f : I −→ R, definida num intervalo aberto
I, chama-se analı´tica quando e´ de classe C∞ e, para todo x0 ∈ I, existe
r > 0 tal que (x0 − r, x0 + r) ⊂ I e
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + . . .+
f(n)(x0)
n !
(x− x0)
n + . . .
para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r).
Assim, o valor f(x) de uma func¸a˜o analı´tica, em todo ponto x ∈ I, e´
dado por uma se´rie de poteˆncias, a saber, uma se´rie de Taylor. Mas, pelo
corola´rio 4.2, toda func¸a˜o representada por uma se´rie de poteˆncias e´ de
classe C∞ e, se f(x) =∑an(x − x0)n, enta˜o an = f(n)(x0)
n !
, ou seja, toda
se´rie de poteˆncias e´ uma se´rie de Taylor.
Podemos, enta˜o simplificar a definic¸a˜o anterior e dizer que uma fun-
c¸a˜o f : I −→ R definida num intervalo aberto I, e´ analı´tica quando, para
cada x0 ∈ I, existem r > 0, com (x0 − r, x0 + r) ⊂ I, e uma se´rie de
poteˆncias
∑
an(x− x0)
n tal que, para todo x ∈ (x0− r, x0+ r), temos que
f(x) =
∑
an(x− x0)
n.
• Note que a se´rie de poteˆncias varia com o ponto x0, ja´ que seus coefi-
cientes sa˜o dados em func¸a˜o das derivadas f(n)(x0), e que, mesmo sendo
f(x) analı´tica em toda a reta, sua se´rie de poteˆncias em torno de um ponto
x0 na˜o precisa convergir em toda a reta.
Observac¸a˜o 6.1 A soma e o produto de func¸o˜es analı´ticas f, g : I→ R
e´ uma func¸a˜o analı´tica em I.
De fato, para todo x0 ∈ I, existem r > 0 e s > 0, tais que f(x) =
∑
an(x−
x0)
n se |x − x0| < r e g(x) =
∑
bn(x − x0)
n se |x − x0| < s. Enta˜o, se
|x− x0| < t, onde t = min{r, s}, temos que
f(x) + g(x) =
∑
(an + bn)(x− x0)
n e f(x)g(x) =
∑
cn(x− x0)
n ,
com cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0 .
Instituto de Matema´tica - UFF 45
Ana´lise na Reta
Em particular, como a func¸a˜o constante e a func¸a˜o identidade sa˜o analı´ticas
em R, todo polinoˆmio e´ uma func¸a˜o analı´tica em R.
• Pelo teorema 5.2, temos tambe´m que se f : I −→ R e´ uma func¸a˜o
analı´tica que na˜o se anula em ponto algum de I, seu inverso 1
f
e´ uma
func¸a˜o analı´tica em I. Em particular, uma func¸a˜o racional f(x) = p(x)
q(x)
,
quociente de dois polinoˆmios, e´ analı´tica em todo intervalo aberto onde o
denominador q na˜o se anula.
Exemplo 6.1 A func¸a˜o f : R −→ R, dada por f(x) = 1
1+ x2
, e´ analı´tica
em toda a reta, ja´ que e´ uma func¸a˜o racional com denominador diferente
de zero em todos os pontos da reta.
A se´rie de poteˆncias de f em torno de x = 0, ou seja, a se´rie
∑
(−1)nx2n,
so´ converge no intervalo (−1, 1), mas pelo teorema 5.2, para todo x0 ∈ R,
existem uma se´rie de poteˆncias
∑
an(x − x0)
n e r > 0 tais que 1
1+ x2
=∑
an(x−x0)
n para todo x ∈ (x0−r, x0+r). Os coeficientes an podem ser
obtidos pelo me´todo dos coeficientes a determinar, a partir da igualdade
1 = (1+ x2)
∞∑
n=0
an(x− x0)
n .
Para isso, devemos desenvolver 1+ x2 em poteˆncias de (x− x0):
1+ x2 = 1+ ((x− x0) + x0)
2 = 1+ x20 + 2x0(x− x0) + (x− x0)
2 .
Assim, escrevendo,
1 =
[
1+ x20 + 2x0(x− x0) + (x− x0)
2
] [
a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)
2 + . . .
]
,
e efetuando o produto indicado no segundo membro, obtemos os coefi-
cientes an, igualando os coeficientes das mesmas poteˆncias de (x − x0)
nos dois membros da igualdade. Por exemplo,
1 = (1+ x0)
2a0 , 0 = a1(1+ x
2
0) + 2a0x0 , 0 = (1+ x
2
0)a2 + a0 + 2x0a1 ,
ou seja, a0 =
1
1+ x20
, a1 = −
−2a0x0
1+ x20
= −
2x0
(1+ x20)
2
,
J. Delgado - K. Frensel46
Func¸o˜es analı´ticas
a2 =
−a0 − 2x0a1
1+ x20
= −
1
(1+ x0)2
+
4x20
(1+ x0)3
=
−1+ 3x20
(1+ x20)
3
. �
• Mostraremos, agora, que se a se´rie de poteˆncias
∑
an(x − x0)
n con-
verge para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r), enta˜o a func¸a˜o f : (x0 − r, x0 + r)→ R
definida por f(x) =
∑
an(x − x0)
n e´ analı´tica, ou seja, para todo x1 ∈
(x0− r, x0+ r), existe uma se´rie de poteˆncias da forma
∑
bn(x−x1)
n que
converge para a soma f(x) numa vizinhanc¸a de x1.
Teorema 6.1 Seja f : (x0 − r, x0 + r) −→ R a func¸a˜o definida pela se´rie
de poteˆncias f(x) =
∑
an(x− x0)
n . Para todo x1 ∈ (x0 − r, x0 + r), existe
uma se´rie de poteˆncias
∑
bn(x − x1)
n tal que f(x) =
∑
bn(x − x1)
n se
|x− x1| < r− |x1 − x0|.
Prova.
Se |x − x1| < r − |x1 − x0|, enta˜o |x − x1| + |x1 − x0| ≤ r. Logo, a se´rie∑
an(y− x0)
n converge absolutamente para y = x0 + |x− x1|+ |x1 − x0|,
pois |y− x0| = |x− x1| + |x1 − x0| < r. Logo, a se´rie∑
|an| |y− x0|
n =
∑
|an| (|x− x1| + |x1 − x0|)
n
e´ convergente. Enta˜o, pela fo´rmula do binoˆmio de Newton, temos que∑
n
|an|
(
n∑
k=0
(
n
k
)
|x1 − x0|
n−k |x− x1|
k
)
< +∞ .
Assim, pelo teorema 3.1, podemos inverter a ordem do somato´rio, ou seja,
f(x) =
∑
n≥0
an(x− x0)
n =
∑
n≥0
an(x1 − x0 + x− x1)
n
(?)
=
∑
n≥0
an
(
n∑
k=0
(
n
k
)
(x1 − x0)
n−k (x− x1)
k
)
=
∑
k≥0
[∑
n≥k
an
(
n
k
)
(x1 − x0)
n−k
]
(x− x1)
k
=
∑
k≥0
bk(x− x1)
k ,
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Ana´lise na Reta
ja´ que os coeficientes da se´rie dupla (?) acima sa˜o ank = an
(
n
k
)
(x1−x0)
n−k
se k ≤ n e ank = 0 se k > n. �
•Uma das propriedades que distinguem as func¸o˜es analı´ticas das func¸o˜es
C∞ e´ dada pelo seguinte teorema.
Teorema 6.2 Se uma func¸a˜o analı´tica f : I −→ R se anula, juntamente
com todas as suas derivadas, num ponto do intervalo aberto I, enta˜o f se
anula em todos os pontos de I.
Prova.
• Seja A = { x ∈ I | f(n)(x) = 0 , para todo n ≥ 0 } .
Afirmac¸a˜o: A e´ aberto.
De fato, seja x0 ∈ I. Como f e´ analı´tica, existe r > 0 tal que
f(x) =
∑
n≥0
f(n)(x0)
n !
(x− x0)
n
para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r).
Logo, f(x) = 0 para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r), pois f(n)(x0) = 0 para todo
n ≥ 0. Enta˜o, (x0 − r, x0 + r) ⊂ A, ja´ que f(n)(x) = 0 para todo n ≥ 0 e
todo x ∈ (x0 − r, x0 + r). Portanto, A e´ aberto.
• Seja B = { x ∈ I |∃n0 ≥ 0 ; f(n0)(x) 6= 0 }.
Afirmac¸a˜o: B e´ aberto.
Sejam x0 ∈ B e n0 ≥ 0 tal que f(n0)(x0) 6= 0.
Como a func¸a˜o f(n0) : I −→ R e´ contı´nua, existe r > 0 tal quef(n0)(x) 6= 0
para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r).
Enta˜o, (x0 − r, x0 + r) ⊂ B, e, portanto, B e´ aberto.
Logo, I = A ∪ B, onde A e B sa˜o abertos disjuntos. Como, por hipo´tese,
A 6= ∅, temos que B 6= ∅, ou seja, A = I, o que demonstra o teorema. �
Corola´rio 6.1 Sejam f, g : I −→ R func¸o˜es analı´ticas. Se, para algum
x0 ∈ I, f(n)(x0) = g(n)(x0) para todo n ≥ 0, enta˜o f(x) = g(x) para todo
x ∈ I.
J. Delgado - K. Frensel48
Func¸o˜es analı´ticas
Lema 6.1 Seja f : I −→ R uma func¸a˜o C∞. Seja X ⊂ I um conjunto com
um ponto de acumulac¸a˜o x0 ∈ I.
Se f(x) = 0 para todo x ∈ X, enta˜o f(n)(x0) = 0 para todo n ≥ 0.
Prova.
Como X ′ = X ′+ ∪ X ′−, existe uma sequ¨eˆncia mono´tona crescente ou de-
crescente de pontos de X com lim xn = x0.
Enta˜o f(x0) = lim
n→∞ f(xn) = 0 e
f ′(x0) = lim
n→∞ f(xn) − f(x0)xn − x0 = 0 .
Pelo teorema de Rolle, existe yn entre xn e xn+1, tal que f ′(yn) = 0, ja´ que
xn < xn+1 (ou xn+1 < xn) e f(xn) = f(xn+1) = 0.
Logo, a sequ¨eˆncia (yn) e´ estritamente mono´tona e limyn = x0.
Assim,
f ′′(x0) = lim
n→∞ f
′(yn) − f ′(x0)
yn − x0
= 0 .
Novamente, pelo teorema de Rolle, existe zn entre yn e yn+1 tal que
f ′′(zn) = 0.
A sequ¨eˆncia (zn) assim obtida e´ estritamente mono´tona com lim zn = x0.
Enta˜o,
f ′′′(x0) = lim
n→∞ f
′′(zn) − f ′′(x0)
zn − x0
= 0 .
Prosseguindo desta manaira, podemos provar, por induc¸a˜o, que f(n)(x0) =
0 para todo n ≥ 0. �
Teorema 6.3 Seja f : I −→ R uma func¸a˜o analı´tica tal que f(x) = 0
para todo x ∈ X, onde X ⊂ I e´ um conjunto com um ponto de acumulac¸a˜o
x0 ∈ I. Enta˜o f(x) = 0 para todo x ∈ I.
Prova.
Pelo lema anterior, temos f(n)(x0) = 0 para todo n ≥ 0.
Portanto, pelo teorema 6.2, f(x) = 0 para todo x ∈ I. �
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Ana´lise na Reta
Corola´rio 6.2 (Princı´pio da Identidade para func¸o˜es analı´ticas)
Sejam f, g : I −→ R func¸o˜es analı´ticas e X ⊂ I um conjunto com um ponto
de acumulac¸a˜o em I. Se f(x) = g(x) para todo x ∈ X, enta˜o f ≡ g.
Corola´rio 6.3 (Princı´pio da Identidade para se´ries de poteˆncias)
Sejam
∑
anx
n e
∑
bnx
n se´ries de poteˆncias convergentes no intervalo
(−r, r) e X ⊂ (−r, r) um conjunto com um ponto de acumulac¸a˜o nesse
intervalo. Se
∑
anx
n =
∑
bnx
n para todo x ∈ X enta˜o an = bn para
todo n ≥ 0.
Prova.
Como as func¸o˜es f(x) =
∑
anx
n e g(x) =
∑
bnx
n sa˜o analı´ticas no
intervalo (−r, r), temos, pelo corola´rio anterior, que f(x) = g(x) para todo
x ∈ (−r, r).
Enta˜o, f(n)(0) = g(n)(0) para todo n ≥ 0.
Portanto, an =
f(n)(0)
n !
=
g(n)(0)
n !
= bn para todo n ≥ 0. �
7. Nota sobre func¸o˜es complexas
A composta de duas func¸o˜es analı´ticas f e g e´ ainda analı´tica. Este
fato importante pode ser provado usando a mesma te´cnica da demonstrac¸a˜o
do teorema 5.2, ou seja, fazendo a substituic¸a˜o de uma se´rie de poteˆncias
em outra.
Vamos indicar como se pode deduzir este fato a partir da noc¸a˜o de
func¸a˜o analı´tica complexa.
Definic¸a˜o 7.1 Seja U ⊂ C aberto. Uma func¸a˜o f : U −→ C e´ deriva´vel
no ponto z0 ∈ U se existe o limite
f ′(z0) = lim
z→z0
f(z) − f(z0)
z− z0
.
Nesse caso, f ′(z0) e´ a derivada de f no ponto z0.
J. Delgado - K. Frensel50
Nota sobre func¸o˜es complexas
Embora a definic¸a˜o seja igual a` de derivada de uma func¸a˜o real, con-
sequ¨eˆncias surpreendentes decorrem do fato de uma func¸a˜o complexa
ser deriva´vel num aberto U ⊂ C:
• Se uma func¸a˜o f : U −→ C possui derivada em todos os pontos de um
aberto U do plano complexo C, enta˜o f e´ de classe C∞ em U, ou melhor
ainda, f e´ analı´tica em U. Ou seja, todo ponto z0 ∈ U e´ centro de um disco
de raio r contido em U tal que
|z− z0| < r =⇒ f(z) =∑
n≥0
f(n)(z0)
n !
(z− z0)
n .
Reciprocamente, se f(z) =
∑
n≥0
an(z − z0)
n e´ dada por uma se´rie de
poteˆncias convergente no disco |z−z0| < r, enta˜o f e´ deriva´vel e, portanto,
analı´tica nesse disco.
Assim, fica fa´cil provar que a inversa 1
f
de uma func¸a˜o analı´tica
complexa f, que na˜o se anula, e´ analı´tica, pois basta verificar que 1
f
e´
deriva´vel. De modo ana´logo ao caso real, podemos provar que se f e´ de-
riva´vel em z0 e f(z0) 6= 0, enta˜o 1
f
e´ deriva´vel em z0 e
(
1
f
) ′
(z0) = −
f ′(z0)
f(z0)2
.
Tambe´m, de modo ana´logo ao caso real, podemos provar que a
composta g ◦ f de duas func¸o˜es complexas f e g deriva´veis e´, tambe´m,
deriva´vel e
(g ◦ f) ′(z) = g ′(f(z)) f ′(z) .
Logo, a composta de duas func¸o˜es analı´ticas complexas e´ analı´tica.
• Outro fato importante e´ que se a se´rie de poteˆncias
∑
anx
n real con-
verge no intervalo (−r, r), enta˜o a se´rie de poteˆncias complexa
∑
anz
n
converge no disco aberto |z| < r.
Daı´ resulta que toda func¸a˜o analı´tica real f : I −→ R se estende a
uma func¸a˜o analı´tica complexa F : U −→ R, onde U e´ um aberto do plano
complexo tal que U ∩ R = I.
Ale´m disso, se f : U −→ C, e´ uma func¸a˜o analı´tica complexa que
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Ana´lise na Reta
transforma todo ponto x ∈ U ∩ R = I real num nu´mero real, enta˜o os
coeficientes an sa˜o reais, onde f(z) =
∑
an(z − z0)
n e´ a expressa˜o de f
em se´ries de poteˆncias em torno de um nu´mero real x0 ∈ I.
Estes fatos nos permitem provar teoremas sobre func¸o˜es analı´ticas
reais usando propriedades das func¸o˜es analı´ticas complexas.
Por exemplo, suponha que f : I −→ R e´ uma func¸a˜o analı´tica real tal
que f(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Seja f : U −→ C a func¸a˜o analı´tica complexa
que estende f. Podemos tomar o aberto U ⊂ C suficientemente pequeno
de modo que I ⊂ U e F(z) 6= 0 para todo z ∈ U. Logo, como 1
F
: U → C e´
analı´tica e 1
F(x)
=
1
f(x)
para todo x ∈ I, temos que 1
f
: I −→ R e´ analı´tica
real.
Outro exemplo e´ o seguinte: sejam f : I −→ R e g : J −→ R func¸o˜es
analı´ticas reais tais que f(I) ⊂ J. Estendendo-as, obtemos func¸o˜es analı´ticas
complexas F e G, cuja compostaG◦F e´ analı´tica, ja´ que e´ deriva´vel. Como
G ◦ F(x) = G(F(x)) = g(f(x)) e´ real para todo x ∈ I, temos que g ◦ f e´ uma
func¸a˜o analı´tica real.
8. Equ¨icontinuidade
Nosso objetivo, agora, e´ determinar condic¸o˜es para que um conjunto
I de func¸o˜es contı´nuas no conjunto X possua a seguinte propriedade:
se (fn) e´ uma sequ¨eˆncia de termos fn ∈ E, enta˜o (fn) possui uma sub-
sequ¨eˆncia uniformemente convergente em X.
Se E e´ um subconjunto de R, temos que toda sequ¨eˆncia de pontos
xn ∈ E possui uma subsequ¨eˆncia convergente se, e so´ se, E e´ limitado.
Mas o mesmo na˜o ocorre quando E e´ um conjunto de func¸o˜es contı´-
nuas f : X −→ R definidas num conjunto X. Por exemplo, a sequ¨eˆncia de
func¸o˜es fn : [0, 1] −→ R definidas por fn(x) = xn(1− xn), do exemplo 1.4,
e´ limitada, pois 0 ≤ fn(x) ≤ 1
4
para todo n ∈ N e todo x ∈ [0, 1], mas (fn)
J. Delgado - K. Frensel52
Equ¨icontinuidade
na˜o possui uma subsequ¨eˆncia uniformemente convergente em [0, 1].
Na˜o basta enta˜o que as func¸o˜es f ∈ E tomem valores no mesmo in-
tervalo limitado para que toda sequ¨eˆncia em E possua uma subsequ¨eˆncia
uniformemente convergente. E´ preciso uma hipo´tese adicional: a equ¨icon-
tinuidade.
Definic¸a˜o 8.1 Seja E um conjunto de func¸o˜es f : X −→ R definidas
no mesmo domı´nio. Dizemos que E e´ equ¨icontı´nuo num ponto x0 ∈ X
quando, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ X , |x− x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε , ∀ f ∈ E .
Observac¸a˜o 8.1 Ale´m de todas as func¸o˜es f ∈ E serem contı´nuas no
ponto x0 ∈ X, o nu´mero δ > 0, escolhido a partir de ε, e´ o mesmo para
todas as func¸o˜es f ∈ E.
Definic¸a˜o 8.2 Dizemos que (fn) e´ uma sequ¨eˆncia equ¨icontı´nua no ponto
x0 ∈ X quando o conjunto de func¸o˜es E = {f1, f2, . . . , fn, . . .} e´ equ¨icontı´nuo
no ponto x0.
Observac¸a˜o 8.2 Dizer