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Definic¸a˜o e propriedades do limite
Parte 5
Limites de func¸o˜es
Voltaremos a` noc¸a˜o de limite sob uma forma mais ampla, conside-
rando, agora, func¸o˜es reais de varia´vel real, f : X −→ R, com X ⊂ R, em
vez de sequeˆncias.
1. Definic¸a˜o e propriedades do limite
Definic¸a˜o 1.1 Seja f : X −→ R uma func¸a˜o definida num subconjunto
X ⊂ R e seja a ∈ X ′ um ponto de acumulac¸a˜o.
Dizemos que o nu´mero real L e´ o limite de f(x) quando x tende para a e
escrevemos
lim
x→a f(x) = L
quando para cada ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que
x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ) =⇒ |f(x) − L| < ε
Assim, simbolicamente escrevemos:
lim
x→a f(x) = L⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 ; x ∈ X e 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 ; f ( (a− δ, a+ δ) ∩ (X− {a}) ) ⊂ (L− ε, L+ ε) .
Ou seja, lim
x→a f(x) = L quando e´ possı´vel tornar f(x) arbitrariamente
pro´ximo de L, desde que se tome x ∈ X suficientemente pro´ximo de a e
diferente de a.
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Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 1.1 So´ tem sentido escrever lim
x→a f(x) = L quando a ∈ X ′,
pois se a 6∈ X ′, todo nu´mero real L seria limite de f(x) quando x tende
para a.
De fato, como a 6∈ X ′, existe δ0 > 0 tal que (X− {a})∩ (a− δ0, a+ δ0) = ∅.
Enta˜o, para cada ε > 0 dado, existe δ = δ0 > 0, tal que
∅ = f ( (X− {a}) ∩ (a− δ0, a+ δ0) ) ⊂ (L− ε, L+ ε) ,
qualquer que seja L ∈ R.
Observac¸a˜o 1.2 O ponto a pode pertencer ou na˜o ao domı´nio X. Mesmo
quando a ∈ X, o valor f(a) na˜o interfere na determinac¸a˜o de lim
x→a f(x), pois
tal limite, quando existe, depende apenas dos valores f(x) para x pro´ximo
e diferente de a.
´E possı´vel ter-se lim
x→a f(x) 6= f(a).
Por exemplo, se f : R→ R e´ a func¸a˜o definida por f(x) =
1 , se x ∈ R− {0}0 , se x = 0 ,
enta˜o lim
x→0 f(x) = 1 6= 0 = f(0).
Observac¸a˜o 1.3 Se lim
x→a f(x) = L enta˜o L e´ aderente ao conjunto f(X−
{a}), pois todo intervalo aberto de centro L conte´m pontos deste conjunto.
Tem-se, tambe´m, que L ∈ f(Vδ), onde Vδ = (a − δ, a + δ) ∩ (X − {a}) e
δ > 0.
Teorema 1.1 (Unicidade do limite)
Sejam X ⊂ R, f : X −→ R e a ∈ X ′.
Se lim
x→a f(x) = L1 e limx→a f(x) = L2, enta˜o L1 = L2.
Prova.
Dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
• x ∈ X− {a} e 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x) − L1| < ε
2
;
• x ∈ X− {a} e 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |f(x) − L2| < ε
2
.
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Definic¸a˜o e propriedades do limite
Seja δ = min{δ1, δ2}. Como a ∈ X ′, existe x0 ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ).
Logo,
|L1 − L2| ≤ |L1 − f(x0)| + |f(x0) − L2| < ε
2
+
ε
2
= ε .
Ou seja, |L1 − L2| < ε para todo ε > 0. Logo, L1 = L2, pois, se L1 6= L2,
terı´amos que |L1−L2| <
|L1 − L2|
2
, para ε = |L1 − L2|
2
> 0, o que e´ absurdo.�
Teorema 1.2 Sejam X ⊂ R, f : X −→ R, a ∈ X ′. Seja Y ⊂ X tal que
a ∈ Y ′ e seja g = f|Y.
Se lim
x→a f(x) = L, enta˜o limx→ag(x) = L .
O teorema 1.2 e´ ana´logo a`
afirmac¸a˜o de que toda sub-
sequ¨eˆncia de uma sequ¨eˆncia
convergente e´ tambe´m conver-
tente e tem o mesmo limite.
Prova.
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε qualquer que seja
x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ) .
Enta˜o, |g(x) − L| = |f(x) − L| < ε para todo x ∈ (Y − {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
Logo, lim
x→ag(x) = L.�
Teorema 1.3 Sejam X ⊂ R, f : X −→ R e a ∈ X ′. Se I e´ um intervalo
aberto que conte´m a, Y = I∩X, g = f|Y e lim
x→ag(x) = L, enta˜o limx→a f(x) = L.
O teorema 1.3 diz que a ex-
isteˆncia e o valor do limite de
uma func¸a˜o f depende apenas
do comportamento de f numa
vizinhanc¸a de a.Prova.
Seja δ0 > 0 tal que (a − δ0, a + δ0) ⊂ I. Dado ε > 0 existe δ > 0 tal
que |g(x) − L| < ε para todo x ∈ (I ∩ X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
Tome δ ′ = min{δ, δ0}. Enta˜o,
(I ∩ X− {a}) ∩ (a− δ ′, a+ δ ′) = (X− {a}) ∩ (a− δ ′, a+ δ ′) ,
pois (a− δ ′, a+ δ ′) ⊂ I.
Logo, |f(x) − L| = |g(x) − L| < ε para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ ′, a+ δ ′).
Portanto, lim
x→a f(x) = L.�
Teorema 1.4 Sejam X ⊂ R, f : X −→ R e a ∈ X ′. Se existe lim
x→a f(x),
enta˜o f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, ou seja, existem A > 0 e δ > 0
tais que |f(x)| < A para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
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Prova.
Seja L = limx→a f(x). Dado ε = 1 > 0, existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < 1
para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
Enta˜o, |f(x)| ≤ |f(x) − L| + |L| < 1 + |L| = A para todo x ∈ (X − {a}) ∩ (a −
δ, a+ δ).�
Teorema 1.5 (Princı´pio do Sandwiche)
Sejam X ⊂ R, f, g, h : X −→ R e a ∈ X ′. Se limx→a f(x) = limx→a h(x) = L
e f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X− {a}, enta˜o limx→a g(x) = L .
Prova.
Dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que:
• |f(x) − L| < ε
2
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ1.
• |h(x) − L| < ε
2
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ2.
Tome δ = min{δ1, δ2}. Enta˜o,
L− ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L+ ε ,
para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ). Logo, lim
x→ag(x) = L. �
Teorema 1.6 Sejam X ⊂ R, f, g : X→ R e a ∈ X ′.
Se lim
x→a f(x) = L < limx→ag(x) = M, enta˜o existe δ > 0 tal que x ∈ X,
0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < g(x).
Prova.
Seja ε = M− L
2
> 0. Enta˜o, L + ε = L+M
2
= M − ε e existe δ > 0
tal que L − ε < f(x) < L + ε = M − ε e M − ε < g(x) < M + ε para todo
x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
Logo, f(x) < M+ L
2
< g(x), ou seja, f(x) < g(x) para todo x ∈ (X − {a}) ∩
(a− δ, a+ δ).�
Corola´rio 1.1 Se lim
x→a f(x) = L > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que x ∈ X,
0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > 0.
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Definic¸a˜o e propriedades do limite
Corola´rio 1.2 Se lim
x→a f(x) = L, limx→ag(x) = M e f(x) ≤ g(x) para todo
x ∈ X− {a}, enta˜o L ≤M.
Teorema 1.7 Sejam X ⊂ R, f : X −→ R e a ∈ X ′. Enta˜o lim
x→a f(x) = L
se, e so´ se, lim
n→∞ f(xn) = L para toda sequ¨eˆncia (xn) ⊂ X − {a} tal que
lim
n→∞ xn = a.
Prova.
Suponhamos que lim
x→a f(x) = L e que limn→∞ xn = a, com xn ∈ X − {a}
para todo n ∈ N. Enta˜o, dado ε > 0, existe δ > 0, tal que |f(x) − L| < ε
para todo x ∈ X, 0 < |x− a| < δ.
Como lim
n→∞ xn = a e xn 6= a para todo n ∈ N, existe n0 ∈ N tal que
0 < |xn − a| < δ para todo n > n0.
Logo, |f(xn) − L| < ε para todo n > n0. Assim, lim
n→∞ f(xn) = L.
Suponhamos, agora, que lim
x→a f(x) 6= L. Enta˜o existe ε0 > 0 tal que para
todo n ∈ N podemos obter xn ∈ X tal que 0 < |xn−a| < 1
n
e |f(xn)−L| ≥ ε0.
Logo, lim
n→∞ xn = a, mas limn→∞ f(xn) 6= L.�
Corola´rio 1.3 Existe lim
x→a f(x)se, e so´ se, limn→∞ f(xn) existe e independe
da sequ¨eˆncia (xn) ⊂ X− {a} com lim
n→∞ xn = a.
Corola´rio 1.4 Se existe lim
n→∞ f(xn) para toda sequ¨eˆncia (xn) ⊂ X − {a}
tal que lim
n→∞ xn = a, enta˜o existe limx→a f(x).
Prova.
Basta provar que lim
n→∞ f(xn) independe da sequ¨eˆncia (xn) ⊂ X − {a} com
lim
n→∞ xn = a.
Suponhamos, por aburdo, que existem duas sequ¨eˆncias (xn) e (yn) de
pontos de X − {a} tais que lim
n→∞ xn = limn→∞yn = a, mas limn→∞ f(xn) = L 6=
M = lim
n→∞ f(yn).
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Enta˜o, a sequ¨eˆncia (zn) ⊂ X− {a}, dada por z2n = xn e z2n−1 = yn, e´ uma
sequ¨eˆncia de pontos de X− {a} que converge para a, mas que (f(zn)) na˜o
converge, porque possui duas subsequ¨eˆncias (f(z2n)) e (f(z2n−1)) que
convergem para limites diferentes.
Logo, o valor de lim
n→∞ f(xn) independe da sequ¨eˆncia (xn) com xn ∈ X− {a}
e lim
n→∞ xn = a. Enta˜o, pelo corola´rio 1.3, existe limx→a f(x).�
Teorema 1.8 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′, f, g : X −→ R.
Se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = M, enta˜o:
(1) lim
x→a (f(x)± g(x)) = L±M .
(2) lim
x→a (f(x)g(x)) = LM .
(3) lim
x→a f(x)g(x) = LM , se M 6= 0.
(4) Se lim
x→a f(x) = 0 e existe A > 0 tal que |g(x)| ≤ A para todo x ∈ X− {a},
enta˜o lim
x→a f(x)g(x) = 0.
Prova.
Seja (xn) uma sequ¨eˆncia de pontos de X− {a} com lim
n→∞ xn = a.
• Enta˜o, lim
n→∞ (f(xn)± g(xn)) = L ±M e limn→∞ (f(xn)g(xn)) = LM, pois
lim
n→∞ f(xn) = L e limn→∞g(xn) = M.
Logo, pelo teorema 1.7
limx→a (f(x)± g(x)) = L±M e limx→a(f(x)g(x)) = LM .
• Se M 6= 0, temos, pelo teorema 1.6, que existe δ > 0 tal que g(x) 6= 0
para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ). Como lim
n→∞ xn = a e xn ∈ X− {a},
existe n0 ∈ N tal que 0 < |xn − a| < δ para todo n > n0. Logo, g(xn) 6= 0
para todo n > n0 e lim
n→∞ f(xn)g(xn) =
L
M
.
Assim, pelo teorema 1.7, f(x)
g(x)
tem sentido para todo x suficientemente
pro´ximo e diferente de a e lim
x→a f(x)g(x) = LM .
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Definic¸a˜o e propriedades do limite
• Se lim
x→a f(x) = 0 e |g(x)| ≤ A para todo x ∈ X − {a}, enta˜o limn→∞ f(xn) = 0
e (g(xn)) e´ uma sequ¨eˆncia limitada. Logo, lim
n→∞ (f(xn)g(xn)) = 0. Assim,
pelo teorema 1.7, lim
x→a (f(x)g(x)) = 0.�
Observac¸a˜o 1.4 Se lim
x→ag(x) = 0 e existe limx→a f(x)g(x) ou o quociente f(x)g(x)
e´ limitado numa vizinhanc¸a de a, enta˜o, pelo teorema acima,
lim
x→a f(x) = limx→a
(
g(x)
f(x)
g(x)
)
= 0 .
Logo, se lim
x→ag(x) = 0 e limx→a f(x) 6= 0 ou na˜o existe limx→a f(x), enta˜o o quo-
ciente f(x)
g(x)
na˜o e´ sequer limitado numa vizinhanc¸a de a.
Teorema 1.9 (Crite´rio de Cauchy para limites de func¸o˜es)
Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ e f : X −→ R. Enta˜o existe lim
x→a f(x) se, e so´ se, para
todo ε > 0 dado, existe δ > 0, tal que |f(x)−f(y)| < ε quaisquer que sejam
x, y ∈ (X− {a} ) ∩ (a− δ, a+ δ) .
Prova.
(=⇒) Se lim
x→a f(x) = L, enta˜o, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)−L| < ε2
para todo x ∈ X, 0 < |x− a| < δ.
Logo,
|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − L| + |f(y) − L| < ε
2
+
ε
2
= ε ,
quaisquer que sejam x, y ∈ X, 0 < |x− a| < δ e 0 < |y− a| < δ.
(⇐=) Seja (xn) uma sequ¨eˆncia de pontos de X− {a} com lim
n→∞ xn = a.
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(x)−f(y)| < ε para x, y ∈ X, 0 < |x−a| <
δ e 0 < |y− a| < δ.
Como lim
n→∞ xn = a e xn ∈ X − {a}, existe n0 ∈ N tal que 0 < |xn − a| < δ
para todo n > n0.
Logo, |f(xn) − f(xm)| < ε para todos n,m > n0. Ou seja, a sequ¨eˆncia
(f(xn)) e´ de Cauchy e, portanto, converge.
Enta˜o, pelo corola´rio 1.4, existe lim
x→a f(x).�
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• Sejam X ⊂ R, Y ⊂ R, a ∈ X ′, b ∈ Y ′, f : X −→ R e g : Y −→ R tais que
f(X) ⊂ Y, lim
x→a f(x) = b e limy→bg(y) = c.
Enta˜o, para x pro´ximo de a, f(x) esta´ pro´ximo de b, mas pode ocor-
rer que f(x) = b para x arbitrariamente pro´ximo de a. Neste caso, b ∈ Y e
lim
x→a(g ◦ f)(x) pode existir ou na˜o. Caso exista, deve ser igual a g(b), que
pode ser diferente de c.
Exemplo 1.1 Seja f : R −→ R a func¸a˜o identicamente nula e seja
g : R −→ R a func¸a˜o definida por g(x) =
1 , se x 6= 00 , se x = 0 .
Enta˜o, lim
x→0 f(x) = 0, limy→0g(y) = 1 e limx→0(g ◦ f)(x) = 0, que e´ diferente de
1.�
Exemplo 1.2 Sejam f : R −→ R e g : R −→ R as func¸o˜es definidas da
seguinte maneira:
f(x) =
0 , se x ∈ Qx , se x ∈ R−Q , e g(x) =
0 , se y 6= 01 , se y = 0 .
Enta˜o, lim
x→0 f(x) = 0 e limy→0g(y) = 0, mas na˜o existe limx→0g(f(x)), pois
g ◦ f(x) =
1 , se x ∈ Q0 , se x ∈ R−Q . �
Teorema 1.10 Sejam X, Y ⊂ R, f : X −→ R, g : Y −→ R, com f(X) ⊂ Y,
a ∈ X ′ e b ∈ Y ∩ Y ′.
Se lim
x→a f(x) = b e limy→bg(y) = g(b), enta˜o, limx→a(g ◦ f)(x) = g(b).
Prova.
Dado ε > 0 existe η > 0 tal que |g(y) − g(b)| < ε para todo y ∈ Y,
|y− b| < η.
Sendo lim
x→a f(x) = b, existe δ > 0 tal que |f(x) − b| < η para todo x ∈ X,
0 < |x− a| < δ.
Logo, |g(f(x)) − g(b)| < ε para todo x ∈ X, 0 < |x− a| < δ.�
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Exemplos de limites
2. Exemplos de limites
Exemplo 2.1 Seja f : R −→ R a func¸a˜o identidade, ou seja, f(x) = x
para todo x ∈ R.
Enta˜o, lim
x→a f(x) = limx→a x = a para todo a ∈ R.
Por induc¸a˜o, lim
x→a xn = an para todo n ∈ N, porque se limx→a xj = aj, temos,
pelo teorema 1.8, que
lim
x→a xj+1 =
(
lim
x→a xj
) (
lim
x→a x
)
= aj a = aj+1
Logo, pelo teorema 1.8, temos que se
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
e´ um polinoˆmio, enta˜o, para a ∈ R,
lim
x→ap(x) = an limx→a xn + an−1 limx→a xn−1 + . . .+ a1 limx→a x+ a0
= an a
n + an−1 a
n−1 + . . .+ a1 a+ a0 = p(a) .
Assim, se f(x) = p(x)
q(x)
e´ o quociente de dois polinoˆmios, ou seja, f e´ uma
func¸a˜o racional, enta˜o lim
x→a f(x) = f(a), se q(a) 6= 0.
Se q(a) = 0, enta˜o a e´ uma raiz de q(x) e, portanto, x− a divide q(x).
Seja m ≥ 1 tal que q(x) = (x − a)mq1(x), com q1(a) 6= 0, e seja n ≥ 0 tal
que p(x) = (x− a)np1(x), com p1(a) 6= 0.
Se m = n, lim
x→a f(x) = limx→a p1(x)q1(x) =
p1(a)
q1(a)
, pois f(x) = p1(x)
q1(x)
para todo
x 6= a.
Se m < n, lim
x→a f(x) = 0, pois f(x) = (x− a)n−mp1(x)q1(x) para todo x 6= a.
Se m > n, enta˜o lim
x→a f(x) na˜o existe, pois f(x) = p1(x)(x− a)m−nq1(x) , onde o
denominador tem limite zero e o numerador na˜o (ver observac¸a˜o 1.4).�
Exemplo 2.2 Seja f : R −→ R a func¸a˜o definida por
f(x) =
0 , se x ∈ Q1 , se x ∈ R−Q .
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Ana´lise na Reta
Enta˜o, na˜o existe lim
x→a f(x) para todo a ∈ R.
De fato, existe uma sequ¨eˆncia (xn) de nu´meros racionais, xn 6= a, tal que
xn −→ a e existe uma sequ¨eˆncia (yn), yn 6= a, de nu´meros irracionais tal
que yn −→ a. Enta˜o, lim
n→∞ f(xn) = 0 e limn→∞ f(yn) = 1. Logo, pelo corola´rio
1.3, na˜o existe lim
x→a f(x).
Mas, se g(x) = (x− a)f(x), temos que lim
x→ag(x) = 0, pois limx→a(x− a) = 0 e
f e´ limitada.�
Exemplo 2.3 Seja f : Q −→ R a func¸a˜o definida por
f(x) =
1/q , se p/q e´ uma frac¸a˜o irredutı´vel com q > 01 , se x = 0 .
Como Q ′ = R, tem sentido falar em lim
x→a f(x) para todo a ∈ R.
Vamos provar que lim
x→a f(x) = 0 para todo a ∈ R.
Afirmac¸a˜o: Seja a ∈ R fixo. Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 <∣∣∣∣pq − a
∣∣∣∣ < δ =⇒ 0 < 1q < ε, ou seja, q > 1ε .
Seja F = {q ∈ N |q ≤ 1
ε
} . Enta˜o, F e´ um conjunto fiinito. Para cada q ∈ F
fixo, as frac¸o˜es m
q
, m ∈ Z, decompo˜em a reta em intervalos juxtapostos
de comprimento 1
q
, pois
R =
⋃
m∈Z
[
m
q
,
m+ 1
q
)
.
Para cada q ∈ F, seja mq ∈ Z o maior inteiro tal que mq
q
< a. Seja m
′
q
q ′
a
maior das frac¸o˜es mq
q
, com q ∈ F, a qual existe, pois F e´ finito.
De modo ana´logo, para cada q ∈ F, seja nq ∈ Z o menor inteiro tal que
nq
q
> a. Como F e´ finito, existe nq ′′ ∈ Z tal que nq ′′
q ′′
e´ a menor das frac¸o˜es
nq
q
, com q ∈ F.
J. Delgado - K. Frensel170
Exemplos de limites
Assim, mq ′
q ′
e´ a maior frac¸a˜o que tem denominador em F e e´ menor do que
a, e
nq ′′
q ′′
e´ a menor frac¸a˜o com denominador em F que e´ maior do que
a. Enta˜o, salvo possı´velmente a, nenhum nu´mero racional do intervalo(
mq ′
q ′
,
nq ′′
q ′′
)
pode ter denominador em F.
Seja δ = min
{
a−
mq ′
q ′
,
nq ′′
q ′′
− a
}
. Enta˜o,
0 <
∣∣∣∣ pq − a
∣∣∣∣ < δ =⇒ a− δ < pq < a+ δ , pq 6= a
=⇒ mq ′
q ′
<
p
q
<
nq ′′
q ′′
,
p
q
6= a
=⇒ q 6∈ F =⇒ q > 1
ε
=⇒ 0 < 1
q
< ε
=⇒ ∣∣∣∣ f(pq
)
− 0
∣∣∣∣ < ε .
Logo, provamos que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
∣∣∣∣ f(pq
)
− 0
∣∣∣∣ < ε para
todo p
q
∈ Q, 0 <
∣∣∣∣ pq − a
∣∣∣∣ < δ. Assim, limx→a f(x) = 0 para todo a ∈ R.�
Observac¸a˜o 2.1 Seja g : R −→ R a func¸a˜o definida por
g(x) =

0 , se x ∈ R−Q
1 , se x = 0
1
q
, se
p
q
e´ irredutı´vel com q > 0 .
Enta˜o, lim
x→ag(x) = 0 para todo a ∈ R.
Exemplo 2.4 Seja f : R− {0} −→ R definida por f(x) = x+ x
|x|
, ou seja,
f(x) =
x+ 1 , se x > 0x− 1 , se x < 0 .
Enta˜o, na˜o existe lim
x→0 f(x), pois
lim
n→∞ f
(
1
n
)
= lim
n→∞
(
1
n
+ 1
)
= 1 e lim
n→∞ f
(
−
1
n
)
=
(
1
n
− 1
)
=
1
n
− 1 = −1 .
�
Instituto de Matema´tica - UFF 171
Ana´lise na Reta
Exemplo 2.5 Seja f : R − {0} −→ R a func¸a˜o definida por f(x) = sen 1
x
.
Enta˜o na˜o existelim
x→0 f(x).
De fato, seja c ∈ [−1, 1] e b ∈ R tal que senb = c.
Enta˜o, a sequ¨eˆncia
(
1
b+ 2pin
)
n∈N
tende para zero e
lim
n→∞ f
(
1
2pin+ b
)
= lim
n→∞ sen(2pin+ b) = senb = c .
Mas, como a func¸a˜o f e´ limitada, temos que lim
x→0g(x) sen
1
x
= 0 para toda
func¸a˜o g : R− {0} −→ R tal que lim
x→0g(x) = 0.
Em particular lim
x→0 xn sen
1
x
= 0 para todo n ∈ N.�
3. Limites laterais
Definic¸a˜o 3.1 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′+ e f : X −→ R. Dizemos que L ∈ R
e´ o limite a` direita de f(x) quando x tende para a, e escrevemos
L = lim
x→a+ f(x) ,
quando, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε para todo
x ∈ X, a < x < a+ δ
Simbolicamente, temos:
lim
x→a+ f(x) = L⇐⇒ "∀ ε > 0∃ δ > 0 ; x ∈ X , a < x < a+ δ =⇒ |f(x) − L| < ε" .
ou
lim
x→a+ f(x) = L⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 ; f(x) ∈ (L− ε, L+ ε) ∀ x ∈ X ∩ (a, a+ δ) .
Definic¸a˜o 3.2 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′− e f : X −→ R. Dizemos que L ∈ R
e´ o limite a` esquerda de f(x) quando x tende para a, e escrevemos
L = lim
x→a− f(x) ,
quando, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que |f(x) − L| < ε para todo
x ∈ X, a− δ < x < a.
Simbolicamente, temos:
J. Delgado - K. Frensel172
Limites laterais
lim
x→a− f(x) = L⇐⇒ "∀ ε > 0∃ δ > 0 ; x ∈ X , a− δ < x < a =⇒ |f(x) − L| < ε" ,
ou
lim
x→a− f(x) = L⇐⇒ ∀ ε > 0∃ δ > 0 ; f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)∀ x ∈ X ∩ (a− ε, a) .
Teorema 3.1 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′+, f : X −→ R, Y = X ∩ (a,+∞) e
g = f|Y. Enta˜o, lim
x→a+ f(x) = L se, e so´ se, limx→ag(x) = L.
Um resultado ana´logo ao teorema
3.1 vale para o limite a` esquerda.
Prova.
(=⇒) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x) ∈ (L − ε, L + ε) para todo
x ∈ X ∩ (a, a+ δ).
Como (Y − {a}) ∩ (a − δ, a + δ) = X ∩ (a, a + δ), temos que |g(x) − L| < ε
para todo x ∈ (Y − {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).
(⇐=) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |g(x) − L| = |f(x) − L| < ε para todo
x ∈ (Y − {a}) ∩ (a− δ, a+ δ) = X ∩ (a, a+ δ).�
Observac¸a˜o 3.1 Pelo teorema acima, o limite a` direita e o limite a` es-
querda sa˜o o limite de uma restric¸a˜o de f. Assim, os teoremas 1.1 a
1.10 valem tambe´m para os limites laterais, substituindo nos enunciados
(a− δ, a+ δ) por (a, a+ δ) no caso de limite a` direita, e (a− δ, a+ δ) por
(a− δ, a) no caso de limite a` esquerda.
Exemplo 3.1 Sejam X, Y ⊂ R, f : X −→ R, g : Y −→ R, f(X) ⊂ Y,
a ∈ X ′+, b ∈ Y ′ ∩ Y.
Se lim
x→a+ f(x) = b e limy→bg(y) = g(b) enta˜o limx→a+ g(f(x)) = g(b).�
Teorema 3.2 Sejam X ⊂ R, f : X −→ R e a ∈ X ′+ ∩ X ′−. Enta˜o existe
lim
x→a f(x) se, e so´ se, existem e sa˜o iguais os limites laterais limx→a+ f(x) e
lim
x→a− f(x). Neste caso,
lim
x→a f(x) = limx→a+ f(x) = limx→a− f(x) .
Prova.
(=⇒) Suponhamos que L = lim
x→a f(x). Sejam Y = (a,+∞) ∩ X e g = f|Y.
Instituto de Matema´tica - UFF 173
Ana´lise na Reta
Como a ∈ Y ′, pois a ∈ X ′+, temos, pelo teorema 1.2, que lim
x→ag(x) = L.
Enta˜o, pelo teorema 3.1, existe lim
x→a+ f(x) e e´ igual a L.
De modo ana´logo, podemos provar que o lim
x→a− f(x) existe e e´ igual a L.
(⇐=) Suponhamos que L = lim
x→a− f(x) = limx→a+ f(x).
Dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
• |f(x) − L| < ε para todo x ∈ X ∩ (a, a+ δ1) ,
e
• |f(x) − L| < ε para todo x ∈ X ∩ (a− δ2, a).
Tomando δ = min{δ1, δ2}, temos que |f(x) − L| < ε para todo x tal que
x ∈ (X ∩ (a, a+ δ)) ∪ (X ∩ (a− δ, a)) = (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ) .
Logo, lim
x→a f(x) = L. �
Exemplo 3.2 Seja f : R − {0} −→ R definida por f(x) = x + x
|x|
. Como
f(x) = x+ 1 para x ∈ (0,+∞) e f(x) = x− 1 para x ∈ (−∞, 0), temos que
lim
x→0+ f(x) = 1, limx→0− f(x) = −1 e na˜o existe limx→0 f(x).�
Exemplo 3.3 Seja f : R− {0} −→ R definida por f(x) = 1
x
.
Enta˜o, 0 ∈ (R − {0}) ′+ ∩ (R − {0}) ′−, mas na˜o existem os limites laterais a`
direita e a` esquerda no ponto 0.�
Exemplo 3.4 Seja f : R− {0} −→ R definida por f(x) = e− 1x .
Enta˜o, lim
x→0+ f(x) = 0, mas na˜o existe limx→0− f(x), pois f(x) na˜o e´ limitada
para x negativo pro´ximo de 0.�
Definic¸a˜o 3.3 Seja f : X ⊂ R −→ R. Dizemos que f e´
• crescente quando x, y ∈ X, x < y =⇒ f(x) < f(y).
• na˜o-decrescente quando x, y ∈ X, x < y =⇒ f(x) ≤ f(y).
• decrescente quando x, y ∈ X, x < y =⇒ f(x) > f(y).
• na˜o-crescente quando x, y ∈ X, x < y =⇒ f(x) ≥ f(y).
J. Delgado - K. Frensel174
Limites laterais
• mono´tona quando f e´ de algum dos quatro tipos acima.
Teorema 3.3 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′+, b ∈ X ′− e f : X −→ R, uma func¸a˜o
mono´tona limitada. Enta˜o, existem os limites laterais
L = lim
x→a+ f(x) e M = limx→b− f(x).
Prova.
Suponhamos que f : X −→ R e´ na˜o-decrescente.
Seja a ∈ X ′+ e seja A = {f(x) | x ∈ X e x > a}.
Como a ∈ X ′+ e f e´ limitada, temos que A e´ na˜o-vazio e limitado inferior-
mente. Enta˜o, existe L = infA.
Afirmac¸a˜o: L = lim
x→a+ f(x) .
Dado ε > 0, existe x ∈ X, x > a, tal que L ≤ f(x) < L+ ε.
Seja δ = x − a > 0. Enta˜o, para x ∈ X, a < x < a + δ = x temos que
L− ε < L ≤ f(x) ≤ f(x) < L+ ε. Logo, lim
x→a+ f(x) = L.
Sejam, agora, b ∈ X ′− e B = {f(x) | x ∈ X e x < b}. Enta˜o, existe M =
supB, pois B 6= ∅ e e´ limitado superiormente.
Dado ε > 0, existe x ∈ X, x < b, tal que M− ε < f(x) ≤M.
Tome δ = b− x > 0. Enta˜o, para x ∈ X, x = b− δ < x < b, temos que
M− ε < f(x) ≤ f(x) ≤M <M+ ε.
Logo, lim
x→b− f(x) = M.�
Observac¸a˜o 3.2 Se a ∈ X, enta˜o na˜o e´ preciso supor que f e´ limitada,
pois, se f e´ na˜o decrescente, por exemplo, f(a) e´ uma cota inferior para
o conjunto {f(x) | x ∈ X e x > a} e e´ uma cota superior para o conjunto
{f(x) | x ∈ X e x < a}.
Observac¸a˜o 3.3 Uma sequeˆncia mono´tona limitada e´ convergente, mas
para uma func¸a˜o mono´tona limitada pode na˜o existir lim
x→a f(x) quando
a ∈ X ′. Isso acontece, por exemplo, com a func¸a˜o f(x) = x + x
|x|
, para
x ∈ (R − {0}) ∩ (−1, 1), porque o limite de uma sequ¨eˆncia e´ um limite
lateral a` esquerda, pois quando n→ +∞, tem-se n < +∞.
Instituto de Matema´tica - UFF 175
Ana´lise na Reta
4. Limites no infinito, limites infinitos e expresso˜es
indeterminadas
Definic¸a˜o 4.1 Sejam X ⊂ R um conjunto ilimitado superiormente e f :
X −→ R. Dizemos que L e´ o limite de f(x) quando x→ +∞, e escrevemos
lim
x→+∞ f(x) = L ,
quando
∀ ε > 0∃A > 0 ; x ∈ X , x > A =⇒ |f(x) − L| < ε .
Definic¸a˜o 4.2 Sejam X ⊂ R um conjunto ilimitado inferiormente e f :
X −→ R. Dizemos que L e´ o limite de f(x) quando x→ −∞, e escrevemos
lim
x→−∞ f(x) = L ,
quando
∀ ε > 0∃A > 0 ; x ∈ X , x < −A =⇒ |f(x) − L| < ε .
Os resultados do teorema 1.1 ao
teorema 1.9 sa˜o va´lidos para lim-
ites no infinito com as devidas
adaptac¸o˜es.
Observac¸a˜o 4.1 O limite quando x tende a +∞ e´, de certo modo, um
limite lateral a` esquerda, e o limite quando x tende a −∞, um limite lateral
a` direita.
Assim, o resultado do teorema 3.3 continua va´lido. Mais precisamente:
• Seja f : X −→ R uma func¸a˜o mono´tona limitada e X ⊂ R um conjunto
ilimitado superiormente.
◦ Se f e´ na˜o-decrescente, enta˜o lim
x→+∞ f(x) = L, onde L = sup{f(x) | x ∈ X}.
◦ Se f e´ na˜o-crescente, enta˜o lim
x→+∞ f(x) = L, onde L = inf{f(x) | x ∈ X}.
• Seja, agora, X ⊂ R ilimitado inferiormente.
◦ Se f e´ na˜o-decrescente, enta˜o lim
x→−∞ f(x) = L, onde L = inf{f(x) | x ∈ X}.
◦ Se f e´ na˜o-crescente, enta˜o lim
x→−∞ f(x) = L, onde L = sup{f(x) | x ∈ X}.
Observac¸a˜o 4.2 O limite de uma sequeˆncia f : N → R e´ um caso
particular de limite de uma func¸a˜o no infinito, pois lim
x→+∞ f(x) = limn→∞ f(n).
J. Delgado - K. Frensel176
Limites no infinito, limites infinitos e expresso˜es indeterminadas
Exemplo 4.1 lim
x→±∞ 1x = 0, pois dado ε > 0 existe A = 1ε > 0 tal que
0 <
1
x
< ε, para todo x > 1
ε
= A, e −ε <
1
x
< 0, para todo x < −A = −1
ε
.�
Exemplo 4.2 Na˜o existe lim
x→+∞ sen x, pois 2pin → +∞ e sen(2pin) → 0,
enquanto
(
2pin+
pi
2
)→ +∞ e sen(2pin+ pi
2
)→ 1.
De modo ana´logo,podemos verificar que na˜o existe lim
x→−∞ sen x.�
Exemplo 4.3 lim
x→−∞ ex = 0, mas na˜o existe limx→+∞ ex.�
Definic¸a˜o 4.3 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ e f : X −→ R. Dizemos que f(x)
tende para +∞ quando x tende para a e escrevemos
lim
x→a f(x) = +∞ ,
quando para todo A > 0 dado, existe δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > A .
Exemplo 4.4 lim
x→a 1(x− a)2 = +∞, pois dado A > 0 existe δ = 1√A > 0
tal que
0 < |x− a| < δ =⇒ 0 < (x− a)2 < 1
A
=⇒ 1
(x− a)2
> A .
�
Definic¸a˜o 4.4 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ e f : X −→ R. Dizemos que f(x)
tende para −∞ quando x tende para a e escrevemos
lim
x→a f(x) = −∞ ,
quando para todo A > 0 dado, existe δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < −A .
Exemplo 4.5 lim
x→a −1(x− a)2 = −∞ .�
Outros casos possı´veis
Definic¸a˜o 4.5 Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′+ e f : X −→ R. Dizemos que:
Instituto de Matema´tica - UFF 177
Ana´lise na Reta
• lim
x→a+ f(x) = +∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃δ > 0 ; x ∈ X, a < x < a+ δ =⇒ f(x) > A.
• lim
x→a+ f(x) = −∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃δ > 0 ; x ∈ X, a < x < a+ δ =⇒ f(x) < −A.
De modo ana´logo, podemos definir lim
x→a− f(x) = +∞ e limx→a− f(x) = −∞,
quando a ∈ X ′− .
Definic¸a˜o 4.6 Sejam X ⊂ R ilimitado superiormente e f : X −→ R.
Dizemos que:
• lim
x→+∞ f(x) = +∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃B > 0 ; x ∈ X, x > B =⇒ f(x) > A.
• lim
x→+∞ f(x) = −∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃B > 0 ; x ∈ X, x > B =⇒ f(x) < −A.
Definic¸a˜o 4.7 Sejam X ⊂ R ilimitado inferiormente e f : X −→ R. Dize-
mos que:
• lim
x→−∞ f(x) = +∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃B > 0 ; x ∈ X, x < −B =⇒ f(x) > A.
• lim
x→−∞ f(x) = −∞⇐⇒ ∀A > 0, ∃B > 0 ; x ∈ X, x < −B =⇒ f(x) < −A.
Exemplo 4.6 lim
x→a+
1
x− a
= +∞ ; lim
x→a−
1
x− a
= −∞ ; lim
x→+∞ ex = +∞ ;
lim
x→+∞ xk = +∞ , k ∈ N.�
•Modificac¸o˜es que devem sofrer os teoremas provados para limites finitos
de modo a continuarem va´lidos no caso de limites infinitos.
(1) Unicidade. Se lim
x→a f(x) = +∞, enta˜o f e´ positiva e ilimitada supe-
riormente numa vizinhanc¸a de a. Logo, na˜o se pode ter lim
x→a f(x) = L, pois,
neste caso, f seria limitada numa vizinhanc¸a de a, nem lim
x→a f(x) = −∞,
pois f seria negativa numa vizinhanc¸a de a.
(2) Sejam Y ⊂ X com a ∈ Y ′ e g = f|Y.
Se lim
x→a f(x) = +∞ =⇒ limx→ag(x) = +∞.
Sejam Y = (a− δ, a+ δ) ∩ X, δ > 0, e g = f|Y.
Se lim
x→ag(x) = +∞ =⇒ limx→a f(x) = +∞.
J. Delgado - K. Frensel178
Limites no infinito, limites infinitos e expresso˜es indeterminadas
(3) Se lim
x→a f(x) = +∞ enta˜o f e´ ilimitada superiormente em qualquer
vizinhanc¸a de a.
(4) Se f(x) ≤ g(x)∀ x ∈ X e lim
x→a f(x) = +∞, enta˜o limx→ag(x) = +∞.
(5) Se lim
x→a f(x) = L e limx→ag(x) = +∞, enta˜o existe δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) < g(x).
(6) lim
x→a f(x) = +∞ ⇐⇒ limn→+∞ f(xn) = +∞ para toda sequ¨eˆncia (xn)
de pontos de X− {a} com lim
n→∞ xn = a.
(7) ◦ Se lim
x→a f(x) = +∞ e g(x) > c ∀ x ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ),
enta˜o lim
x→a(f(x) + g(x)) = +∞.
◦ Se lim
x→a f(x) = +∞ e g(x) > c > 0∀ x ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ),
enta˜o lim
x→a(f(x)g(x)) = +∞.
◦ Se f(x) > 0∀ x ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ), enta˜o lim
x→a f(x) = 0⇐⇒
lim
x→a 1f(x) = +∞.
◦ Sendo f(x) > c > 0 e g(x) > 0 para todo x ∈ (X−{a})∩(a−δ, a+δ),
temos que se lim
x→ag(x) = 0 enta˜o limx→a f(x)g(x) = +∞.
◦ Sendo |f(x)| ≤ c para todo x ∈ (X− {a})∩ (a− δ, a+ δ), temos que
se lim
x→ag(x) = +∞, enta˜o limx→a f(x)g(x) = 0.
(8) Na˜o existe algo semelhante ao crite´rio de Cauchy para limites
infinitos.
(9) ◦ Se lim
x→a f(x) = ±∞ e limy→±∞g(y) = L, enta˜o limx→ag(f(x)) = L.
◦ Se lim
x→a f(x) = ±∞ e limy→±∞g(y) = +∞, enta˜o limx→ag(f(x)) = +∞.
◦ Se lim
x→a f(x) = ±∞ e limx→±∞g(x) = −∞, enta˜o limx→ag(f(x)) = −∞ .
(10) Sejam a ∈ X ′+ e f : X −→ R mono´tona.
◦ lim
x→a+ f(x) existe se, e so´ se, existe δ > 0 tal que f e´ limitada no
conjunto X ∩ (a, a+ δ).
Instituto de Matema´tica - UFF 179
Ana´lise na Reta
◦ Se f e´ ilimitada superiormente em X ∩ (a, a + δ) para todo δ > 0,
enta˜o lim
x→a+ f(x) = +∞.
De fato, dado A > 0, existe x ∈ X ∩ (a, a+ 1) tal que f(x) > A.
Se f e´ na˜o-crescente ou decrescente, temos que f(x) ≥ f(x) > A
para todo x ∈ X ∩ (a, a+ δ), onde δ = x− a > 0.
Observe que, neste caso, f na˜o pode ser na˜o-decrescente ou cres-
cente, pois, dado x > a, x ∈ X, existiria x ∈ (a, x) tal que f(x) > f(x).
◦ De modo ana´logo, podemos provar que se f e´ ilimitada inferior-
mente em X ∩ (a, a + δ) para todo δ > 0, enta˜o lim
x→a+ f(x) = −∞ e f tem
que ser crescente ou na˜o-decrescente.
Observac¸a˜o 4.3 No entanto, se a ∈ X ′−, temos que:
• lim
x→a− f(x) existe se, e so´ se, existe δ > 0 tal que f e´ limitada no conjunto
X ∩ (a− δ, a).
• Se f e´ ilimitada superiormente em X ∩ (a − δ, a) para todo δ > 0, enta˜o
lim
x→a− f(x) = +∞ e f e´ na˜o-decrescente ou crescente.
• Se f e´ ilimitada inferiormente em X ∩ (a − δ, a) para todo δ > 0, enta˜o
lim
x→a− f(x) = −∞ e f e´ na˜o-crescente ou decrescente.
Exercı´cio: Se f : X → R
e´ mono´tona, enta˜o ou existe
lim
x→+∞ f(x) ou limx→+∞ f(x) =
±∞.
De modo ana´logo, ou existe
lim
x→−∞ f(x) ou limx→−∞ f(x) =
±∞.
Agora, vamos falar um pouco sobre expresso˜es indeterminadas do
tipo 0
0
,∞−∞, 0×∞, ∞∞ , 00,∞0, 1∞ .
• Indeterminac¸a˜o do tipo 0
0
.
Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′, f, g : X −→ R tais que lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = 0.
Se a ∈ Y ′, onde Y = {x ∈ X |g(x) 6= 0}, enta˜o o quociente f(x)
g(x)
esta´
definido em Y e faz sentido indagar se existe lim
x→a f(x)g(x) . Mas nada se pode
afirmar sobre esse limite, pois, dependendo das func¸o˜es f e g, ele pode
assumir qualquer valor ou na˜o existir.
Por exemplo, se f(x) = cx e g(x) = x, temos
J. Delgado - K. Frensel180
Limites no infinito, limites infinitos e expresso˜es indeterminadas
lim
x→0 f(x) = 0, limx→0g(x) = 0 e limx→0
f(x)
g(x)
= c.
Por outro lado, se f(x) = x sen 1
x
, x 6= 0, e g(x) = x, enta˜o lim
x→0 f(x) =
lim
x→0g(x) = 0, mas na˜o existe limx→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0 sen
1
x
.
• Dizer que∞−∞ e´ indeterminado, significa que, dependendo das esco-
lhas para f e g, tais que lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = +∞, o limite limx→a(f(x)−g(x))
pode ser um valor real c arbitra´rio ou pode na˜o existir.
Por exemplo, se f, g : R− {a} −→ R sa˜o dados por f(x) = c+ 1
(x− a)2
e g(x) =
1
(x− a)2
, enta˜o lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = +∞ e limx→a(f(x) − g(x)) = c.
E se f(x) = sen 1
x− a
+
1
(x− a)2
e g(x) =
1
(x− a)2
, temos que
lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = +∞,
mas na˜o existe lim
x→a(f(x) − g(x)).
• Para a indeterminac¸a˜o do tipo 00, dado qualquer c > 0, existem func¸o˜es
f, g : X −→ R, com a ∈ X ′, lim
x→a f(x) = limx→ag(x) = 0 e f(x) > 0 para todo
x ∈ X, tais que lim
x→a f(x)g(x) = c.
Por exemplo, para as func¸o˜es f, g : (0,+∞) −→ R dadas por f(x) = x
e g(x) =
log c
log x , temos que
lim
x→0 f(x) = limx→0g(x) = 0 e limx→0 f(x)g(x) = limx→0 eg(x) log f(x) = limx→0 elog c = c .
Podemos, tambe´m, escolher f e g de modo que o limite de f(x)g(x)
na˜o existe. Basta tomar, por exemplo, as func¸o˜es dadas por f(x) = x e
g(x) = log
(
1+
∣∣∣ sen 1
x
∣∣∣) · (log x)−1, x > 0, para termos
lim
x→0 f(x) = limx→0g(x) = 0,
mas o limite
lim
x→0 f(x)g(x) = limx→0 eg(x) log f(x) = limx→0
(
1+
∣∣∣ sen 1
x
∣∣∣)
na˜o existe.
Instituto de Matema´tica - UFF 181
Ana´lise na Reta
5. Valores de adereˆncia de uma func¸a˜o, limsup
e liminf
Sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ e f : X −→ R. Para cada δ > 0, indicaremos
por Vδ o conjunto
Vδ = {x ∈ X | 0 < |x− a| < δ} = (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ) .
Definic¸a˜o 5.1 Dizemos que f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a quando
existe δ > 0 tal que f|Vδ e´ limitada, ou seja, existe K > 0 tal que |f(x)| ≤ K
para todo x ∈ Vδ.
Definic¸a˜o 5.2 Dizemos que c ∈ R e´ um valor de adereˆncia de f no
ponto a quando existe uma sequ¨eˆncia (xn) de pontos de X − {a} tal quelim
n→+∞ xn = a e limn→+∞ f(xn) = c.
Indicaremos por VA(f;a) o conjunto dos valores de adereˆncia de f no
ponto a.
Observac¸a˜o 5.1 Pelo teorema 1.7, temos que se L = lim
x→a f(x), enta˜o L
e´ o u´nico valor de adereˆncia de f no ponto a.
Mostraremos, mais adiante, que se f e´ limitada numa vizinhanc¸a de
a e L e´ o u´nico valor de adereˆncia de f no ponto a, enta˜o lim
x→a f(x) = L.
Mas se f na˜o e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, pode ocorrer que na˜o
exista lim
x→a f(x), mesmo quando f possui um u´nico valor de adereˆncia no
ponto a.
Exemplo 5.1 Seja f : R −→ R a func¸a˜o f(x) =
1 , se x ∈ Q1
x
, se x ∈ R−Q
.
Enta˜o, 1 e´ o u´nico valor de adereˆncia de f no ponto 0, mas na˜o existe
lim
x→0 f(x), pois f na˜o e´ limitada numa vizinhanc¸a de 0.�
Teorema 5.1 Um nu´mero real c e´ valor de adereˆncia de f no ponto a
se, e so´ se, c ∈ f(Vδ) para todo δ > 0.
J. Delgado - K. Frensel182
Valores de adereˆncia de uma func¸a˜o, limsup e liminf
Prova.
(=⇒) Seja c um valor de adereˆncia de f no ponto a e seja (xn) uma
sequ¨eˆncia de pontos de X− {a} tal que xn −→ a e f(xn) −→ c.
Como xn −→ a, dado δ > 0, existe n0 ∈ N tal que xn ∈ Vδ para todo
n > n0. Logo, f(xn) ∈ f(Vδ) para todo n > n0, ou seja, (f(xn))n>n0 e´ uma
sequ¨eˆncia de pontos de Vδ que converge para c.
Enta˜o, c ∈ f(Vδ) .
(⇐=) Suponhamos que c ∈ f(Vδ) para todo δ > 0.
Enta˜o, c ∈ f(V 1
n
) para todo n ∈ N.
Assim, para todo n ∈ N, existe xn ∈ V 1
n
tal que |f(xn) − c| <
1
n
.
Como xn ∈ X, 0 < |xn − a| < 1
n
e |f(xn) − c| <
1
n
para todo n ∈ N,
temos que (xn) e´ uma sequ¨eˆncia de pontos de X − {a} tal que xn −→ a e
f(xn) −→ c. Logo, c e´ um valor de adereˆncia de f no ponto a.�
Corola´rio 5.1 VA(f;a) =
⋂
δ>0
f(Vδ) .
Corola´rio 5.2 VA(f;a) =
⋂
n∈N
f(V 1
n
) .
Prova.
Se c ∈
⋂
δ>0
f(Vδ), enta˜o c ∈ f(Vδ) para todo δ > 0. Em particular, c ∈ f(V 1
n
)
para todo n ∈ N. Logo, c ∈
⋂
n∈N
f(V 1
n
) .
Suponhamos, agora, que c ∈
⋂
n∈N
f(V 1
n
).
Dado δ > 0, existe n ∈ N, tal que 1
n
< δ. Logo, V 1
n
⊂ Vδ e, portanto,
f(V 1
n
) ⊂ f(Vδ). Assim, f(V 1
n
) ⊂ f(Vδ) .
Como c ∈ f(V 1
n
) para todo n ∈ N, temos que c ∈ f(Vδ) para todo δ > 0.
Portanto,
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Ana´lise na Reta
c ∈
⋂
δ>0
f(Vδ) = VA(f;a) ,
ou seja, c e´ um valor de adereˆncia de f no ponto a.�
Corola´rio 5.3 O conjunto dos valores de adereˆncia de f num ponto a ∈
X ′ e´ fechado. Se f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, enta˜o VA(f;a) e´
compacto e na˜o-vazio.
Prova.
Como VA(f;a) e´ uma intersec¸a˜o de conjuntos fechados, temos que VA(f;a)
e´ fechado.
Suponhamos que f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a. Enta˜o existe n0 ∈ N
tal que f(V 1
n0
) e´ limitado. Logo, f(V 1
n0
) e´ fechado e limitado e, portanto,
compacto.
Seja Kn = f(V 1
n
), n ∈ N. Como Kn ⊂ Kn0 para todo n ≥ n0, temos
que (Kn)n≥n0 e´ uma sequ¨eˆncia decrescente de conjuntos compactos na˜o-
vazios tal que VA(f;a) =
⋂
n≥n0
Kn. Logo, pelo teorema 4.5 da parte 4,
temos que VA(f;a) e´ compacto e na˜o-vazio.�
Observac¸a˜o 5.2 Se f e´ ilimitada em qualquer vizinhanc¸a de a, isto e´,
f(Vδ) e´ ilimitado para todo δ > 0, enta˜o VA(f;a) pode na˜o ser compacto.
Exemplo 5.2 Se f : R−{0} −→ R e´ a func¸a˜o definida por f(x) = 1
x
sen
1
x
,
enta˜o f e´ ilimitada em toda vizinhanc¸a de 0 e VA(f; 0) = R, que na˜o e´
compacto, pois e´ ilimitado.
De fato, 0 ∈ VA(f; 0), pois xn = 1
2npi
−→ 0 e
f(xn) =
1
2pin
sen(2pin) = 0 −→ 0.
Seja, agora, c > 0.
Afirmac¸a˜o: Dado n ∈ N, existe xn > 0 tal que xn < 1
n
e sen
1
xn
= xn c .
Como 1
npi
c− sen(npi) =
1
npi
c− 0 =
c
npi
> 0 e
J. Delgado - K. Frensel184
Valores de adereˆncia de uma func¸a˜o, limsup e liminf
1
2pin+ (4k− 3)pi2
c− sen(2pin+ (4k− 3)pi
2
) =
c
2pin+ (4k− 3)pi2
− 1 < 0
para algum k ∈ N, temos, pelo teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es
contı´nuas, que provaremos na pro´xima parte, que existe
xn ∈
(
1
2pin+ (4k− 3)pi2
,
1
npi
)
tal que xnc− sen
1
xn
= 0.
Logo, 0 < xn <
1
n
e f(xn) = c para todo n ∈ N. Assim, xn −→ 0 e
f(xn) −→ c, ou seja, c ∈ VA(f;a).
Se d = −c < 0, basta tomar a sequ¨eˆncia yn = −xn, onde (xn) e´ a
sequ¨eˆncia obtida acima, que teremos yn −→ 0, yn < 0, e
f(yn) = −f(xn) = −c = d −→ d .
Logo, d ∈ VA(f;a). Enta˜o, VA(f;a) = R. �
Observac¸a˜o 5.3 Tambe´m pode ocorrer que VA(f;a) seja vazio quando
f e´ ilimitada em toda vizinhanc¸a de a. Por exemplo, se f : R − {0} −→ R e´
a func¸a˜o definida por f(x) = 1
x
, enta˜o VA(f;a) = ∅.
Observac¸a˜o 5.4 Como VA(f;a) e´ compacto e na˜o-vazio quando f e´
limitada numa vizinhanc¸a de a, VA(f;a) possui um maior elemento e um
menor elemento.
Definic¸a˜o 5.3 Chamamos limite superior de f no ponto a ao maior valor
de adereˆncia L de f no ponto a, e escrevemos:
lim sup
x−→a f(x) = L .
Chamamos limite inferior de f no ponto a ao menor valor de adereˆncia `
de f no ponto a, e escrevemos:
lim inf
x−→a f(x) = ` .
Exemplo 5.3 Seja f : R − {0} −→ R a func¸a˜o definida por f(x) = sen 1
x
.
Enta˜o, pelo visto no exemplo 2.5, VA(f; 0) = [−1, 1].
Logo, lim sup
x−→0 f(x) = +1 e lim infx−→0 f(x) = −1 .�
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Ana´lise na Reta
Observac¸a˜o 5.5 `As vezes escrevemos lim sup
x−→a f(x) = +∞ para indicar
que f e´ ilimitada superiormente em toda vizinhanc¸a de a, e escrevemos
lim inf
x−→a f(x) = −∞ para indicar que f e´ ilimitada inferiormente em toda
vizinhanc¸a de a. Por exemplo, para f(x) = 1
x
sen
1
x
, x 6= 0, do exemplo
5.2, terı´amos lim sup
x−→0 f(x) = +∞ e lim infx−→0 f(x) = −∞.
Tambe´m, quando lim
x→a f(x) = ±∞, terı´amos
lim sup
x−→a f(x) = lim infx−→a f(x) = +∞ .
Consideraremos, agora, o valor de adereˆncia de f quando x → +∞
ou x→ −∞.
• Dizemos que c ∈ VA(f; +∞), ou seja, que c e´ um valor de adereˆncia
de f em +∞, quando existe uma sequ¨eˆncia (xn) de pontos de X tal que
xn → +∞ e f(xn)→ c.
• E dizemos que c ∈ VA(f; −∞), ou seja, que c e´ um valor de adereˆncia
de f em −∞, quando existe uma sequ¨eˆncia (xn) de pontos de X tal que
xn → −∞ e f(xn)→ c.
Seja Vδ = X ∩ (δ,+∞), δ > 0, e Wδ = X ∩ (−∞, δ), δ < 0. Enta˜o,
VA(f; +∞) = ⋂
δ>0
f(Vδ) =
⋂
n∈N
f(V 1
n
)
e
VA(f; −∞) = ⋂
δ<0
f(Wδ) =
⋂
n∈N
f(W− 1
n
) .
A demonstrac¸a˜o destes fatos faz-se de modo ana´logo ao caso finito.
• Dizemos que f e´ limitada numa vizinhanza de +∞ quando existe δ > 0
e K > 0 tais que x ∈ X , x > δ =⇒ |f(x) ≤ K, ou seja, |f(x)| ≤ K para todo
x ∈ Vδ = X ∩ (δ,+∞).
• E dizemos que f e´ limitada numa vizinhanza de −∞ quando existe δ < 0
e K > 0 tais que x ∈ X , x < δ =⇒ |f(x) ≤ K, ou seja, |f(x)| ≤ K para todo
x ∈Wδ = X ∩ (−∞, δ).
Como no caso finito, podemos provar que VA(f; +∞) e VA(f; −∞)
sa˜o compactos na˜o-vazios quando f e´ limitada numa vizinhanc¸a de +∞
J. Delgado - K. Frensel186
Valores de adereˆncia de uma func¸a˜o, limsup e liminf
e −∞, respectivamente. Enta˜o, nestes casos, temos, tambe´m, o maior
e o menor valor de adereˆncia, que sera˜o denotados por lim sup
x−→±∞ f(x) e
lim inf
x−→±∞ f(x), respectivamente.
Os fatos que sera˜o provados a seguir para VA(f;a) se estendem aos
valores de adereˆncia no infinito com as devidas adaptac¸o˜es.
• Seja f limitada numa vizinhanc¸a Vδ0 de a, ou seja, f(Vδ0) e´ um conjunto
limitado. Enta˜o f(Vδ) e´ limitado para todo δ ∈ (0, δ0].
Sejam as func¸o˜es
L : (0, δ0] −→ R
δ 7−→ Lδ = sup
x∈Vδ
f(x) e
` : (0, δ0] −→ R
δ 7−→ `δ = inf
x∈Vδ
f(x)
Como Vδ ⊂ Vδ0 para δ ∈ (0, δ0], temos que `δ0 ≤ `δ ≤ Lδ ≤ Lδ0 para
todo δ ∈ (0, δ0].
Se 0 < δ ′ < δ ′′ ≤ δ0, enta˜o Vδ ′ ⊂ Vδ ′′ e, portanto, `δ ′′ ≤ `δ ′ e
Lδ ′ ≤ Lδ ′′, ou seja, δ 7−→ `δ e´ uma func¸a˜o mono´tona na˜o-crescente e
δ 7−→ Lδ e´ uma func¸a˜o mono´tona na˜o-decrescente.Logo, pelo teorema 3.3, existem os limites lim
δ→0 `δ e limδ→0Lδ, e
lim
δ→0 `δ = sup{`δ | δ ∈ (0, δ0]} e limδ→0Lδ = inf{Lδ | δ ∈ (0, δ0]} .
Teorema 5.2 Se f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, enta˜o
lim sup
x−→a f(x) = limδ→0Lδ e lim infx−→a f(x) = limδ→0 `δ .
Prova.
Sejam L = lim sup
x−→a f(x) e L0 = limδ→0Lδ. Como L e´ valor de adereˆncia de
f no ponto a, enta˜o L ∈ f(Vδ) para todo δ > 0. Logo, L ≤ Lδ para todo
δ ∈ (0, δ0], ou seja, L e´ uma cota inferior do conjunto {Lδ | δ ∈ (0, δ0]}.
Assim, L ≤ L0 = inf{Lδ | δ ∈ (0, δ0]}.
Vamos provar, agora, que L0 e´ valor de adereˆncia de f no ponto a.
Como L 1
n
= sup{f(x) | x ∈ V 1
n
}, existe xn ∈ V 1
n
= X ∩
(
a−
1
n
, a+
1
n
)
tal
que L 1
n
−
1
n
< f(xn) ≤ L 1
n
.
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Ana´lise na Reta
Enta˜o xn → a, xn ∈ X − {a}, e f(xn) → L0, pois lim
n→∞L 1n = limδ→0Lδ = L0.
Logo, L0 e´ valor de adereˆncia de f no ponto a e, portanto, L0 ≤ L.
Provamos, assim, que L = L0.
A igualdade lim inf
x−→a f(x) = limδ→0 `δ se demonstra de maneira ana´loga.�
Teorema 5.3 Se f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, enta˜o, para todo
ε > 0 dado, existe δ > 0 talque x ∈ X, 0 < |x − a| < δ =⇒ ` − ε < f(x) <
L+ ε, onde ` = lim inf
x−→a f(x) e L = lim supx−→a f(x).
Prova.
Pelo teorema anterior, ` = lim
δ→0 `δ e L = limδ→0Lδ. Enta˜o, dado ε > 0,
existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que `− ε < `δ ≤ ` e L ≤ Lδ < L+ ε.
Assim, tomando δ = min{δ1, δ2}, temos que
`− ε ≤ `δ ≤ f(x) ≤ Lδ < L+ ε ,
para todo x ∈ (X− {a}) ∩ (a− δ, a+ δ).�
Observac¸a˜o 5.6 Como no caso de sequ¨eˆncias, L e´ o menor nu´mero
que goza da propriedade acima, e ` e´ o maior nu´mero com a propriedade
acima.
Corola´rio 5.4 Seja f limitada numa vizinhanc¸a de a. Enta˜o existe lim
x→a f(x)
se, e so´ se, f possui um u´nico valor de adereˆncia no ponto a.
Prova.
(=⇒) Se lim
x→a f(x) = L enta˜o L e´ o u´nico valor de adereˆncia de f no ponto
a, pois se (xn) e´ uma sequ¨eˆncia de pontos de X − {a} que converge para
a, temos, pelo teorema 1.7, que f(xn) −→ L.
(⇐=) Se f possui um u´nico valor de adereˆncia no ponto a, enta˜o L = `.
Assim, pelo teorema anterior, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que
L − ε < f(x) < L + ε para todo x ∈ (X − {a}) ∩ (a − δ, a + δ). Logo,
L = lim
x→a f(x).�
J. Delgado - K. Frensel188