Matemática - Exercícios Resolvidos - 10 M11 Trigonometria no Ciclo

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166
Matemática
a)
 
1
1
12
4
−
−
p
p
b)
 
1
1
12
2
−
0
p
p
c)
 
1
1
16
2
−
−
p
p
d)
 
1
1
16
2
−
0
p
p
e)
 
1
1
20
4
−
−
p
p
35 (Fuvest-SP) No plano cartesiano, os comprimen-
tos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa
na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma
progressão geométrica de razão p, com 0 , p , 1. Dois
segmentos consecutivos são sempre perpendiculares.
Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
X
As medidas dos segmentos 8, o, a, 3, ... formam uma progressão
geométrica de primeiro termo OA = 1 e razão p.
As medidas dos segmentos 8, a, !, GH, ... formam uma progressão
geométrica de razão p2.
A abscissa x do ponto B é tal que:
x = OA − CD 0 EF − GH 0 IJ − KL 0 MN − OP Υ
Υ x = 1 − p2 0 p4 − p6 0 p8 − p10 0 p12 − p14 Υ
 
Υ =
9 − −
− −
Υ =
−
0
x
p
p x
p
p
1 1
1
1
1
2 8
2
16
2
[( ) ]
( )
36 (UFES) Para que a soma dos n primeiros termos da
progressão geométrica 3, 6, 12, 24, ... seja um número
compreendido entre 50 000 e 100 000, deveremos tomar
n igual a:
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12X
a1 = 3
q = 2(3, 6, 12, 24, ...)
 
S
a q
q qn
n
=
−
ϑ
1 1
1
1
( ) ( )
−
Como 214 = 16 384 e 215 = 32 768, temos que n = 15.
Então, 50 000 , 3 9 2n − 3 , 100 000
50 003 , 3 9 2n , 100 003
 
16 667 6 2 33 334 3, ,, ,n dividindo todos os membros por 3
somando 3 a todos os membros
37 (FGV-SP)
a) Resolva a equação 
 
x
x x x
− 0 − 0 =
4 16 64
8... ,on-
de o 1o membro é a soma dos termos de uma progres-
são geométrica infinita.
b) Numa progressão geométrica infinita, a soma dos ter-
mos de ordem par 
 
é 10
3
, ao passo que a soma dos ter-
mos de ordem ímpar 
 
é 20
3
. Obtenha o 1o termo e a
razão dessa progressão.
 
x
x x x
− 0 − 0 = Π
4 16 64
8...
 
Π
− −
= Π = Π =
x x
x
1 1
4
8
5
4
8 
10
b) (a1, a1 9 q, a1 9 q2, a1 9 q3, a1 9 q4, ...) PG infinita
1o) 
 
a a q a q1 1 2 1 4
20
30 9 0 9 0 = Π...
 
Π
−
= Π 9 = 9 −
a
q
a1
2 11
20
3
3 20 1( q ) (I)2
2o) 
 
a q a q a q1 1 3 1 5
10
39 0 9 0 9 0 = Π...
 
Π
9
−
= Π 9 9 = 9 −
a q
q
a q1
2 11
10
3
3 10 1( q ) (II)2
Fazendo (II) : (I), vem: 
 
3
3
10 1
20 1
1
2
1
1
2
2
9 9
9
=
−
−
Υ =
a q
a
q
q
q
( )
( )
 
Em (I): 3 20 1 1
2
51
2
19 = 9 − Π =a a










a) a seqüência 
 
x
x x x; ; ; ; ...− −
4 16 64



 é uma progressão geométrica
em que 
 
a x e q1
1
4
= = − . Logo:
0 A
y
x
B
0 A
p
CD
H G
I J
L K
N
p2
p6
p10
p14
p12
p8
p4
M
P O
E F
x
y
x
B
1
 
S
n
n
n=
9 −
= 9 −
3 2 1
2 1
3 2 3
( )
−
38 (MACK-SP) Na seqüência de números reais (log3 x,
x, k, 3, log3 y, y), os termos de ordem ímpar formam uma
progressão aritmética e os de ordem par, uma progressão
geométrica. Então k é igual a:
a)
 
1
3
b) 2 c) 3 d) 1 e)
 
1
2
X
PG: (x, 3, y)
32 = xy Υ xy = 9 (II)
De (I) e (II), vem: 32k = 9 Υ 32k = 32
2k = 2 Ι k = 1
PA: (log3 x, k, log3 y)
2k = log3 (xy) Υ xy = 32k (I)
 
k
x y
=
0
Υ
log log3 3
2
167
Matemática
Como os lados dos quadrados formam uma PG de razão 1
2
, as áreas
formam uma PG de razão 1
4
.
a)
 
A 4
1
256
= .
b)
 
A
A
201
200
1
8
= .
c) A1 0 A2 0 ... 
0 ,A 10
1
3
.
d) O menor valor de k para o qual
A1 0 A2 0 ... 0 Ak . 
 
1
3
1
1 200
− é igual a 5.
39 (UnB-DF) Na figura ao
lado, Ak representa a área do
k-ésimo quadrado sombrea-
do, cujo lado é o dobro do lado
do (k 0 1) - ésimo quadrado,
para k = 1, 2, 3, ...
Com base na figura, julgue os
itens que se seguem.
40 (UFG) Segundo a lei de Malthus, a população hu-
mana cresce em progressão geométrica, enquanto as fon-
tes de alimento crescem em progressão aritmética.
a) Explique o significado matemático dos termos progres-
são geométrica e progressão aritmética.
b) Calcule os cinco primeiros termos de uma progressão
aritmética de primeiro termo igual a 10 e razão 10. Faça
o mesmo para uma progressão geométrica de primeiro
termo igual a 10 e razão 10.
c) O que aconteceria à humanidade, segundo a lei de
Malthus?
a) Sugestão de resposta:
A progressão geométrica é uma seqüência de números na qual qual-
quer termo da seqüência é obtido multiplicando-se o termo anterior por
uma constante (a razão da PG).
A progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual todo termo
da seqüência é obtido adicionando-se ao termo anterior uma constante
chamada razão da PA.
b) PA com: a1 = 10; r = 10 a4 = 30 0 10 = 40
a2 = 10 0 10 = 20 a5 = 40 0 10 = 50
a3 = 20 0 10 = 30
(10, 20, 30, 40, 50, ...)
PG com: a1 = 10; q = 10 a4 = 1 000 9 10 = 10 000
a2 = 10 9 10 = 100 a5 = 10 000 9 10 = 100 000
a3 = 100 9 10 = 1 000
(10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, ...)
c) Sugestão de resposta:
Grande parte da população ficaria sem comida, e morreria de fome em
conseqüência disso, até que houvesse uma diminuição no crescimento
populacional.
A1
A2
A3
1
2
1
2
1
2
1
2
Portanto, o menor valor de k é 5.
 
k = Υ = ,5 1
4
1
1 024
1
400
5 
 
k = Υ = .4 1
4
1
256
1
400
4 
 
Π − . − Π ,
1
4
1
400
1
4
1
400








k k
 
Devemos ter
k
:
1
3
1
3
1
4
1
3
1
1 200
− . − Π




 
Para que A A A A k1 2 3
1
3
1
1 200
0 0 0 0 . −...
 
= − = − 9
1
3 1
1
4
1
3
1
3
1
4












k k
 
=
−
−
=
−
−
=
A q
q
n
k
1 1
1
1
4
1 1
4
1 1
4
( )










d) Verdadeiro, pois A1 0 A2 0 A3 0 ... 0 Ak =
 
=
−
−
= 9 − = − 9 ,
1
4
1 1
4
1 1
4
1
3
1 1
4
1
3
1
3
1
4
1
3
10
10 10









 













c) Verdadeiro, pois A1 0 A2 0 A3 0 ... 0 A10 = 
 
A q
q
1
101
1
9 −
−
=
( )
b) Falso, pois 
 
A
A
A q
A
q201
200
200
200
1
4
=
9
= =
a) Verdadeiro, pois 
 
A A q4 1 3
2 3
1
2
1
4
1
256
= 9 = 9 =








41 (UnB-DF) Os números a1, a2, a3, ..., an estão em pro-
gressão aritmética, e b1, b2, b3, ..., bm estão em progressão
geométrica de razão q, ambas estritamente crescentes.
Sabendo que a1 = b1, a3 = b2 e a9 = b3, calcule a soma
1 0 q2 0 q4.
PA e PG crescentes: r . 0 e q . 1
a1 = b1
1 0 q2 0 q4 = 1 0 32 0 34 Υ 1 0 q2 0 q4 = 91
q2 − 4q 0 3 = 0
 
a b a r b q b r
q3 2 1 1 1
2 2
1
= Υ 0 = 9 Υ =
−
(I)
 
a b a r b q b rq9 3 1 1
2
1 28
8
1
= Υ 0 = 9 Υ =
−
(II)
Igualando (I) e (II),
 
temos: 2
1
8
12
r
q
r
q− = −
q1 = 3
q2 = 1 (não serve, pois q . 1)
1
2
3
168
Matemática
42 (Cefet-PR) Nas seqüências:
 
a en = log ; log , ; log ; ...1 0 001 7291
3
 
 
bn = − − −
1
9
1
3
1; ; ; ... ,



 a diferença entre o décimo
termo de “an” e o nono termo de “bn” é:
a) −756 c) 702 e) 270
b) −270 d) 756
 
log ; log , ; log1 0 0 001 3 729 61
3
= = − = −
Então:
a
n
 = (0, −3, −6, ...) PA com a1 = 0 e r = −3
 
b
n
= − − −
1
9
1
3
1, , , ...

 PG com b e q1
1
9 3= − =
a10 = a1 0 9 9 r Υ a10 = 0 0 9 9 (−3) = −27
b9 = b1 9 q8 Υ b9 = 
 
− 9
1
9
38

 = −36 = −729
a10 −b9 = −27 − (−729) = 702
43 (Fuvest-SP) Uma progressão aritmética e uma pro-
gressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual
a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente
positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo ter-
mo de progressão aritmética excede o segundo termo da
progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das
progressões é:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18X
Substituindo (II) em (I):
4q2 = 2(4q − 2) 0 4
4q2 − 8q = 0 Υ q2 − 2q = 0
q = 0 (não convém)
ou
q = 2
a3 = 4q2 = 4 9 22 = 16
O 3o termo da PG é 16.
PA: (4, 4 0 r, 4 0 2r, ...)
PG: (4, 4q, 4q2, ...)
4 0 2r = 4q2
(4 0 r) − 4q = 2
1
2
3
4q2 = 2r 0 4 (I)
r = 4q − 2 (II)
1
2
3Υ
44 (UFBA) Considere as seqüências (an)n > 1 e (bn)n > 1,
tais que:
� a1 = 2 e an 0 1 − an = 4, ? n > 1
�
 
b
b
b
b
n
b
b
e bn
n
n
n
0
0
0
= ? > = − =
2
1
1 10
5
51
1
243
1
81
, ,
Sejam A = a5 0 a6 0 a7 0 ... 0 a20 e B o limite da soma
b1 0 b2 0 b3 0 ...
Calcule A 9 B 9 b3, indicando de modo completo toda a
resolução da questão.
I) a1 = 2
a
n 0 1 − an = 4
1
2
3
a1 = 2
a
n 0 1 = an 0 4
1
2
3Π
que é uma PA de razão 4.
Logo:
a5 = a1 0 4 9 r = 2 0 4 9 4 Υ a5 = 18
a20 = a1 0 19 9 r = 2 0 19 9 4 Υ a20 = 78
1
2
3
A = 768
II)
 
b
b
b
b
n
n
n
n
0
0
0
=
2
1
1
 Π (b
n 0 1)2 = bn 9 bn 0 2 que é uma PG
Logo:
1
4
4
2
4
4
3
 
b
b
b q
b
q q10
5
5
5
5
5 1
243
1
3
=
9
= = − Π = −
 
b b q b b5 1 4 1
4
1
1
3
1
81
1= 9 = − = Π =


III)
 
b b q3 1 2
2
1 1
3
= 9 = 9 − Π




 
B = 3
4
 
b 3
1
9=
 
Logo: A 9 9 =B b3 768
 
E, portanto, A a 5= 0 0 0 0 =
0 9
a a a6 7 20
18 78 16
2
...
( )
E B Lim S
b
qn n
, portanto, = =
−
=
− −
Π
→ ∞  
1
1
1
1 1
3
x
 
Logo: A 649 9 = 9 9 =B b3 768
3
4
1
9
169
Matemática
Em 25 minutos, a extremidade do ponteiro percorre um arco d cuja medida,
em centímetros, é tal que
 
comp R( )d = 9 π = 9 9 9 =2560 2
5
12
2 3 4 10
1 (MACK-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio
mede 4 cm. Supondo π = 3, a distância, em centímetros,
que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minu-
tos é:
a) 15 b) 12 c) 20 d) 25 e) 10X
2 (EEM-SP) Quantos radianos percorre o ponteiro das
horas de um relógio de 1h 5min até 2h 45min?
3 (Fafi-BH) Se f(x) = sen x 0 cos x, então o valor de
Υ x = 2) 30δ Υ y = 22) 30δ
de 1 h p/ 2 h (ponteiro pequeno) = 30)
ε = 30) − x 0 y = 30) − 2) 30δ 0 22) 30δ = 50)
30) 60 min
x 5 min
30) 60 min
y 45 min
a) 0 b)
 
1
2
c)
 
2
2
d)
 
3
2
e) 1
 
f sen19
4
19
4
19
4
π
=
π
0
π


 cos
 
Observe que: 19
4
16
4
3
4
4 3
4
π
=
π
0
π
= π 0
π
 
Então, sen logo:19
4
3
4
19
4
3
4
π
=
π π
=
π
sen e cos cos ,
 
f f19
4
3
4
3
4
19
4
2
2
2
2
0π = π 0 π Υ π = − =





sen cos
4 (Cesgranrio-RJ) O valor de
a)
 
−
3
2
b)
 
−
1
2
c) −1 d) zero e)
 
1
2
 
S =
−
=
π
=
πa
q
1
1
3
1
2
2
3 
Logo: cos 23
1
2
π
= −
X
X
5 (IBMEC) Um determinado processo industrial é dado
pela função �(x) = ε 9 sen (2x), onde ε é uma constante
real não-nula.
Os valores de x para os quais �(x) se anula, para x 7 [0, 2π],
formam o conjunto:
a)
 
0
2
, ,
π
π

 d) 
0
2
3
2
2, , , ,
π
π
π
π


b)
 
3
2
2
π
π,

 e) %
c)
 
π π π π
4
3
4
5
4
7
4
, , ,


III) Como x 7 [0; 2π], temos:
sen (2x) = 0, pois ε ϑ 0I)�(x) = 0
�(x) = ε 9 sen (2x) 12
3
A
B
ε
12
11 1
10 2
9 3
8 4
7
6
x
y
5
180) π
50) z 
Υ =
π
z rad5
18
 
f é:
19
4
π



 
cos ... é:
π
0
π
0
π
0
3 6 12




X
 
S e q= π 0 π 0 π 0 = π =
3 6 12 3
1
2
... .é soma de uma PG infinita de a1
II)
 
sen (2x) 2x (k )= Π = π Π = 9 π 7 Β0
2
k x k
x = 0 ou
 
x =
π
2 ou x = π ou 
x =
π3
2 ou x = 2π
M 11 - Trigonometria no Ciclo
170
Matemática
6 (Unesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-
zenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de pro-
dução C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximada-
mente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun-
ções 
 
C(x) 2 cos
x
6
e V(x) 3 2 sen= −
π
=
π







x
12
,
0 < x < 6.
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de
peças é:
a) 500 c) 1 000 e) 3 000
b) 750 d) 2 000
Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é obtido por:
L(x) = V(x) − C(x)
Para x = 3, resulta:
X
9 (FGV-SP)
a) Para que valores de m, a equação na incógnita x,
2 sen x − 1 = 3m admite solução?
b) Dois lados de um triângulo medem 10 cm cada um.
Qual a medida do ângulo formado por esses lados, de
modo que resulte em um triângulo de área máxima?
8 (UEL-PR) O conjunto imagem da função y: ς Θ ς,
 y x= 02 2 1cos é:
a) [0, 2] c) [−1, 3] e) [−2, 0]
b) [1, 3] d) [−2, 2]
−1 < cos (2x) < 1 Π 
 
0 1< <cos (2x) Π
Π 
 
0 2 2 1 2 1 3< 9 < Π < 0 <cos (2x) cos (2x)
X
 
L sen( ) cos3 3 2 3
12
2 3
6
= 9 9
9 π
− −
9 π
=














 
= 9 9
π
− 0
π
=3 2
4
2
2
sen







cos
 
= 9 9 − 0 = − =3 2 2
2
2 0 3 2 1
Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas pe-
ças é 1 000.
7 (IBMEC) Valor monetário de uma ação é dado por
V(t) = 120 0 80 9 cos (t), onde t é um número real positivo.
De acordo com este modelo, o valor monetário máximo
que essa ação pode assumir é:
a) 120 b) 200 c) 80 d) 40 e) 240
V(t) = 120 0 80 9 cos (t)
Para que o valor monetário seja máximo devemos ter cos (t) = 1 e, portanto:
V
máx. = 120 0 80 9 1 Π Vmáx. = 200
X
 
A m m equação admite solução Π − < 0 < Π − < <1 3 1
2
1 1 1
3
a)
 
2 1 3 3 1
2
sen x m sen x
m
− = Π =
0
b)
 
Área sen sen= 9 9 ε = 9 ε10 10
2
50( ) cm2
Para que a área seja máxima devemos ter sen ε = 1 Π ε = 90)
10 cm
10 cm
ε
10 cm
ε
171
Matemática
−1 < sen x < 1 Π 3−1 < 3sen x < 31
10 (UEL-PR) Seja f: ς Θ ς a função definida por
f(x) = 3sen x. O conjunto imagem desta função é:
a) [−3, 3] c) ]−1, 1[ e)
 
−∃,
1
3




b)
 
1
3
3,



 d) [1, ∃[X
O período da função cosseno é 2π, então vamos atribuir a 2x3 os valores0 e 2π:
11 (Unifor-CE) O período da função f, de ς em ς, defi-
nida por 
 
f(x) cos 2x
3
é:=
a)
 
2
3
π b)
 
3
2
π c) 2π d) 3π e) 4πX
 
1
3 3 3< <
sen x
p = 3π − 0 = 3π
Graficamente, temos:
 
2x
3 = π Υ = π2 3x 
2x
3 = Υ =0 0x
0
0,5
1
−1
−0,5
x
cos
2x
3
12 (UEL-PR) O gráfico que representa a função
y: ς Θ ς, 
 y x= 02 2 1cos é:
X a)
1
2 6−2−4 0 x
y
2
3
−1
−6 4
b)
1
2 6−2−4 0 x
y
2
3
−1
−6 4
c)
1
2 6−2−4 0 x
y
2
3
−1
−6 4
d)
1
2 6−2
−4
0 x
y
2
3
−1
−6 4
e)
1
π−π 0 x
y
−1
I) Gráfico de cos (2x)
II) Gráfico de cos (2x)
1
2
π−π 0 x
y
1
π−π 0 x
y
III)
 
Gráfico de cos (2x)2 9
IV)
 
Gráfico de cos (2x)y = 9 02 1
1
2
π−π 0 x
y
3
1
2 6−2−4 0 x
y
2
3
−1
−6 4
172
Matemática
15 (UnB-DF) Estudando-se o fluxo de água em um pon-
to do estuário de um rio, determinou-se que a águaflui
para o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, em
função do tempo t, em horas, de acordo com a equação
v(t) = A 0 B sen (wt),
em que A, B e w são constantes reais positivas, e t > 0. A
vazão na qual a água do rio flui para o oceano varia por
causa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapida-
mente, com vazão máxima de 20 milhões de litros por
hora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazão
mínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, o
tempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24 mi-
nutos. Com base nessas informações, escolha apenas uma
das opções a seguir e faça o que se pede.
a) Calcule o valor do coeficiente A.
b) Calcule o período, em minutos, da função v.
c) Determine o valor de t, em minutos, quando
10h < t < 22h, para o qual v(t) é máxima.
• k = 0 Υ t = 3,1 horas (não convém, pois 10h < t < 22h)
• k = 1 Υ t = 15,5 horas Υ t = 930 min
a) De acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), verifica-se que:
−1 < sen (wt) < 1 Υ A − B < A 0 B sen (wt) < A 0 B
4 < A 0 B sen (wt) < 20
A − B = 4
A 0 B = 20
Υ A = 12 e B = 8
1
2
3 Υ
Υ
1
2
3
b) O período p da função v(t) é o tempo entre duas marés altas, isto é,
p = 12 horas e 24 minutos Υ p = 744 min.
c) O período p da função v(t) = 12 0 8 sen (wt) é dado por
 
p
w w
w=
π
Υ
π
= Υ =
π2 2 12 4 531, .
 
Portanto, v(t) v(t) será máximo quando= 0 π12 8 5
31
sen t


 
5
31
t
2
2k , k tπ = π 0 π 7 Β Υ = 0 7 Β31
10
62
5
k k, .
13 (Unesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, o
número de doações de sangue tem variado periodicamen-
te. Admita que, neste hospital, no ano de 2001, este nú-
mero, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado,
aproximadamente, pela expressão:
 
S(t) = ι −
− π
cos
( )t 1
6




com ι uma constante positiva, S(t) em milhares e t em
meses, 0 < t < 11. Determine:
a) a constante ι, sabendo que no mês de fevereiro houve
2 mil doações de sangue;
b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.
14 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por
 
 
f(x) e g(x)
 
= =
−
−
2
1
2
3 1
3 12( ) 


sen x
sen x
, x 7 ς.
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é
igual a:
a) 0 b) c)
 
1
4
d)
 
1
2
e) 1X
b) Houve 3 mil doações de sangue quando
a) Em fevereiro, tem-se t = 1 e
= ι − 1 = 2 Υ ι = 3
 
S(1) = ι − − π = ι − =cos ( ) cos1 1
6
0




Π t − 1 = 3 0 6n Π t = 4 0 6n Π t = 4 ou t = 10, pois 0 < t < 11
 
Π
− π
= Π
− π
=
π
0 π 7 Β Πcos
( ) ( )
,
t t
n n
1
6
0 1
6 2




 
S(t) = ι − − π = − − π = Πcos ( ) cos ( )t t1
6
3 1
6
3








2o)
 
g(x) =
9 −
1
2
3 12



sen x
g(x) é mínimo para sen2 x = 1, assim:
1o)
 
f(x) = =9 −
9 −
2 2
3 1 3 1
2( ) sen x sen x
f(x) é mínimo para sen x = −1, assim:
 
f
mínimo = = =
9 − −
−2 2 1
4
3 1 1
2 2
( )
 
g
mínimo = = =
9 −
1
2
1
2
1
4
3 1 1 2







3o) A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é: 1
4
1
4
1
2
0 =
173
Matemática
I) sen 40) , sen 50) (verdadeira)
No 1o quadrante, a função seno é
estritamente crescente, portanto
40) , 50) Υ sen 40) , sen 50)
16 (Fatec-SP) Sobre as sentenças
I. sen 40) , sen 50)
II. cos 190) . cos 200)
III. tg 60) = tg 240)
é correto afirmar que somente:
a) I é verdadeira. d) I e II são verdadeiras.
b) II é verdadeira. e) I e III são verdadeiras.
c) III é verdadeira.
II) cos 190) . cos 200) (falsa)
No 3o quadrante, a função cosseno
é estritamente crescente, portanto
190) , 200) Υ cos 190) , cos 200)
X
As abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções
f(x) = sen x e g(x) = cos x são os valores de x para os quais f(x) = g(x) e,
portanto, sen x = cos x Π tg x = 1 (pois sen x e cos x não são simultanea-
mente nulos).
Se tg x = 1 e x 7 [0; 2π], então x = π = π
4
5
4
ou x e a soma das abscissas
17 (Fatec-SP) Para x 7 [0, 2π], a soma das abscissas
dos pontos de intersecção dos gráficos das funções defini-
das por f(x) = sen x e g(x) = cos x é igual a:
a)
 
π
4
b)
 
3
4
π c) π d)
 
3
2
π e) 3πX
sen
50)
40)
cos190)
200)
III) tg 60) = tg 240) (verdadeira)
 
tg tg tg240 60 180 60 3) = ) 0 ) = = ) =( )
60)
tg
240)
 
será: π 0 π = π = π
4
5
4
6
4
3
2
18 (IBMEC) Seja f uma função real periódica. O gráfi-
co a seguir representa f em parte de seu domínio:
Uma possível representação para f é:
a) 2 + tg x c) tg (x) e)
 
tg x
2




b) tg (2x) d) 2 9 tg (x)X
0 x
y
2
3π
2
π
4
π
2
π−π 2ππ
2−
I) Gráfico de tg x
0 x
y
1
3π
2
π
4
π
2
π
2−
3π
2−
III)
 
Gráfico de tg x2 9
II) Gráfico de 2 9 tg x
0
x
y
2
3π
2
π
4
π
2
π
2−
3π
2−
0 x
y
2
3π
2
π
4
π
2
π3π
2
π
2
−π
−−
174
Matemática
00.
 
Falso; pois tg 30) = 3
3
11.
 
Falso; pois tg 60) = 3
22.
 
Verdadeiro; pois cotg 30) =
)
= =
1
30
3
3
3
tg
33.
 
Verdadeiro; pois s 60ec ) =
)
=
1
60
2
cos
44.
 
Falso; pois cossec 30) =
)
=
1
30
2
sen
21 (Unicap-PE) Sabendo que 
 
sen 60) =
3
2
e
sen 30) =
1
2
, tem-se:
I - II
0 - 0 tg 30) = 3
1 - 1
 
tg 60) =
3
3
2 - 2 cotg 30) = 3
3 - 3 sec 60) = 2
4 - 4
 
cossec 30) =
3
3
X
 
sen x cos x= − =
−
3
2
2
a
a
é tal que, , :
a) a > 7 c) 3 < a , 5 e) a , 0
b) 5 < a , 7 d) 0 < a , 3
22 (UEL-PR) Seja x a medida de um arco em radianos.
O número real a, que satisfaz as sentenças
 
0 3 1 1 2
2
1< − < − < − <a e a
Condições de existência:
0 < 3 − a < 1 −2 < a − 2 < 2
−3 < −a < −2 0 < a < 4 (II)
2 < a < 3 (I)
O número a é tal que 0 < a , 3.
Usando a relação fundamental:
sen2 x 0 cos2 x = 1
 
3 2
2
1
2 2
− 0
−
=a
a( ) 


 
4 3 029 − 0 − =a a 4a
Se 3 − a > 0, então 4 9 (3 − a) 0 a2 − 4a = 0
a2 − 8a 0 12 = 0 a = 2 ou
a = 6 (não serve)
Se 3 − a , 0, então 4 9 (−3 0 a) 0 a2 − 4a = 0
a2 − 12 = 0
 
a = 2 3 (não serve)
 
a = − 2 3 (não serve)
Em questões como a 21, assinale na coluna I as proposi-
ções corretas e na coluna II as proposições erradas.
19 (Unicamp-SP) Sejam ε, ψ e υ os ângulos internos
de um triângulo.
a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não po-
dem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.
b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam nú-
meros inteiros positivos, calcule essas tangentes.
b) ε 0 ψ = 180) − υ Π tg (ε 0 ψ) = −tg υ Π
Sendo ε, ψ e υ ângulos internos de um triângulo, então:
a) tem-se ε 0 ψ 0 υ = 180) (I)
E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x)
20 (UCDB-MS) Simplificando a expressão
E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x),
obtém-se:
a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1
b) E = cos x d) E = 0
X
tg ε > 2 Υ ε . 60)
tg ψ > 2 Υ ψ . 60) Υ ε 0 ψ 0 υ . 180)
tg υ > 2 Υ υ . 60)
se
1
4
2
4
3
o que contradiz a equação (I). Logo as tangentes dos três ângulos não
podem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.
Π tg ε 0 tg ψ 0 tg υ = tg ε 9 tg ψ 9 tg υ
Supondo as tangentes dos três ângulos números inteiros e positivos e
que não podem ser simultaneamente maiores ou iguais a 2, então ne-
cessariamente uma delas deve ser igual a 1.
Assim sendo, fazendo tg ε = a; tg ψ = b e tg υ = 1,
tem-se a 0 b 0 1 = ab Π ab − a − b = 1 Π
Π a(b − 1) − (b − 1) = 2 Π (a − 1) 9 (b − 1) = 2 Π
Π (a − 1 = 1 e b − 1 = 2) ou (a − 1 = 2 e b − 1 = 1) Π
Π (a = 2 e b = 3) ou (a = 3 e b = 2), pois a, 
 
b 7 Β ∗
0.
 
Π
ε 0 ψ
− ε 9 ψ
= − υ Π
tg tg
tg tg tg1
 
E
x
x
sen x
sen x
sen x
x
x
sen x
= − 9 − 9 0
1 1
cos
cos
cos
cos











 
E x
x
sen x
sen x
sen x x
sen x x
=
−
9
−
9
01 12 2 2 2cos
cos
cos
cos
 
E sen x
x
x
sen x sen x x
= 9 9
9
=
2 2 1 1
cos
cos
cos
Resposta:
I II
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
175
Matemática
23 (Fuvest-SP) Se ε está no intervalo 
 
0
2
,
π


 e satis-
faz sen4 ε − cos4 ε = 1
4
, então o valor da tangente de ε é:
a)
 
3
5
b)
 
5
3
c)
 
3
7
d)
 
7
3
e)
 
5
7
Assim:
 
sen4 4
1
4
ε − ε = Πcos
 
Π ε 0 ε 9 ε − ε = Π( cos ) ( cos )sen sen2 2 2 2 1
4
 
Π ε − ε =sen2 2
1
4
cos
 
Portanto: tg sen e tg pois2
2
2
5
3
5
3
0
2
ε =
ε
ε
= ε = ε 7
π
cos
, ,




X
 
sen2 2
1
4
ε − ε =cos
sen2 ε 0 cos2 ε = 1
1
4
2
4
3
Υ
 
sen2
5
8
ε =
 
cos2
3
8
ε =
1
4
4
2
4
4
3
24 (UFSCar-SP) Sendo 
 
sen cos ε 0 ε =
1
5
,
a) determine sen ε e cos ε.
b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos
ε que satisfazem a igualdade dada.
a)
Substituindo os valores em (I):
 
Para sen ε = Θ ε = −4
5
3
5
cos
 
Para sen ε = − Θ ε =3
5
4
5
cos
b) Podemos ter:
 
sen ouε = − ε =
3
5
4
5
cos
sen2 ε 0 cos2 ε = 1
 
sen ε 0 ε =cos
1
5 
cos ε = − ε
1
5
sen I( )
1
4
2
4
3
sen2 ε 0 cos2 ε = 1 (II)
1
4
2
4
3
Υ
 
sen sen sen sen2
2
21
5
1 25 5 12 0ε 0 − ε = Π ε − 9 ε − =


 
sen ou senε = ε = −
4
5
3
5
sen ε
cos ε
1P1
−1
−1
1
A
ε
4
5
3
5−
 
sen eε = ε = −
4
5
3
5
cos
ε = AP1, tal que
sen ε
cos ε
1
P2
−1
−1
1
A
ε
4
5
3
5−
ε = AP2, tal que
ou
= 0 − sen θ 0 0 0 cos θ =
25 (UFCE) Sabendo que 
 
cos θ =
3
2
e que
 θ = −
1
2
sen , podemos afirmar corretamente que
26 (Unicap-PE) Um estudante estava resolvendo um
problema e necessitou conhecer os valores de sen 75) e de
sen 15). Ao procurar no livro, encontrou apenas os valo-
res 
 
sen e sen45 2
2
30 1
2
) = ) = . Usando seus conhe-
cimentos de trigonometria, após alguns cálculos, encontrou:
I - II
0 - 0
 
sen 75) = −
6
4
2
4
1 - 1
 
sen 75) = 0
6
4
2
4
2 - 2
 
sen 15) = −
6
4
2
4
3 - 3 sen 15) = sen 75)
4 - 4 sen 75) = 5 9 sen 15)
X
 
cos :θ 0
π
0 θ 0
π
2 2







sen é igual a
a) 0 c)
 
3
2
1
2
0 e)
 
− 0
3
2
1
2
b)
 
− −
3
2
1
2
d)
 
3
2
1
2
−
 
cos θ 0
π
0 θ 0
π
=
2 2







sen
 
= θ 9
π
− θ 9
π
0 θ 9
π
0
π
9 θ =cos cos cos cos
2 2 2 2
sen sen sen sen
 
= 0
1
2
3
2
I) sen 75) = sen (30) 0 45)) = sen 30) 9 cos 45) 0 sen 45) 9 cos 30) =
 
= 9 0 9 = 0
1
2
2
2
2
2
3
2
6
4
2
4
II) sen 15) = sen (45) − 30)) = sen 45) 9 cos 30) − sen 30) 9 cos 45) =
 
= 9 − 9 = −
2
2
3
2
1
2
2
2
6
4
2
4
Resposta:
I II
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
176
Matemática
27 (UFOP-MG) O valor de tg 75) é:
a)
 
6 2
6 2
−
0
d)
 
6 2
6 2
0
−
b)
 
1
4
6 2
6 2
0
−



 e) 
1
4
6 2−( )
c)
 
1
4
6 20( )
X
 
tg tg tg tg
tg tg75 45 30
45 30
1 45 30) = ) 0 ) =
) 0 )
− ) 9 )
=( )
 
=
0
− 9
=
0
−
=
0 0
− 0
= 0
1 3
3
1 1 3
3
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3 3 3
2 3
( ) ( )
( ) ( )
Racionalizando o denominador da expressão de d, temos:
 
6 2
6 2
6 2 6 2
6 2 6 2
8 4 3
4
2 30
−
=
0 0
− 0
=
0
= 0
( ) ( )
( ) ( )
28 (UFJF-MG) Considere as expressões
M = cos a 0 cos b e N = sen a − sen b. Sendo
a 0 b = 120), o valor de M2 0 N2 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 10X
e 2 cos a cos b − 2 sen a sen b = 2 (cos a cos b − sen a sen b) =
= 2 cos (a 0 b)
M2 0 N2 = 2 0 2 cos (a 0 b)
M2 0 N2 = 2 0 2 9 cos 120) = 1
M2 0 N2 = (cos a 0 cos b)2 0 (sen a − sen b)2
M2 0 N2 = cos2 a 0 2 cos a cos b 0 cos2 b 0 sen2 a − 2 sen a sen b 0 sen2 b
1
1
b)
 
tg sen a b
a b
sen a b a sen b
a b sen a sen b
(a b)0 = 0
0
=
9 0 9
9 − 9
=
( )
cos ( )
cos cos
cos cos
29 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricas
cos (a 0 b) = cos a 9 cos b − sen a 9 sen b e
sen (a 0 b) = sen a 9 cos b 0 sen b 9 cos a:
a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função
de cos x;
b) obtenha, justificando, a expressão de tg (a 0 b) em fun-
ção de tg a e tg b.
a) cos (2x) = cos (x 0 x) = cos x 9 cos x − sen x 9 sen x =
= cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 9 cos2 x − 1
 
=
0
− 9
=
0
− 9
sen a
a
sen b
b
sen a
a
sen b
b
tg a tg b
tg a tg b
cos cos
cos cos
1
1
 
=
9 0 9
9
9 − 9
9
=
sen a b a sen b
a b
a b sen a sen b
a b
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
30 (UniFEI) Sabendo que 
 
0
4
, ,
πx e
tg x 0 cotg x = 7, calcule tg (2x).
II) sen2 (2x) 0 cos2 (2x) = 1
I)
 
tg x x sen x
x
x
sen x
0 = Π 0 = Πcotg 7 7
cos
cos
 
sen x x
sen x x
sen x x
2 2
7 1
7
0
9
= Π 9 = Π
cos
cos
cos
 
sen (2x) = 2
7
 
2
7
1 45
49
2


 0 = Π = Πcos (2x) cos (2x)2 2
 
, pois 0 , , πx
4 
cos (2x) = 3 5
7Π
III)
 
tg (2x) sen (2x)
cos (2x)= = Π
2
7
3 5
7
 
tg (2x) = 2 5
15