EquaçõesDiferencias–TransformadadeLaplace,SistemadeEquaçõesde1ªOrdem–UFMG001

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A
Hora´rio: 14:55-16:35 - 09/12/2004
3a. Avaliac¸a˜o
1. Seja f(t) a func¸a˜o cujo gra´fico e´ mostrado na Figura abaixo
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
f(t)
(a) Expresse f(t) em termos da func¸a˜o degrau.
(b) Calcule a transformada de Laplace de f(t).
Link para a soluc¸a˜o.
2. Resolva o seguinte problema de valor inicial
y′′ + y′ = u1(t) + δ(t− 2), y(0) = 0, y
′(0) = 1
Link para a soluc¸a˜o.
3. Resolva o seguinte sistema de equac¸o˜es diferenciais
X ′ =

 1 1 01 1 0
0 0 −1

 e X(0) =

 11
−1


Link para a soluc¸a˜o.
Transformadas de Laplace Elementares
f(t) F (s) = L(f)(s) f(t) F (s) = L(f)(s)
1
1
s
, para s > 0 eat
1
s− a
, para s > a
cos at
s
s2 + a2
, para s > 0 sen at
a
s2 + a2
, para s > 0
tn, para n ∈ Z+
n!
sn+1
, para s > 0 eatf(t) F (s− a)
f ′(t) sF (s)− f(0) f ′′(t) s2F (s)−sf(0)−f ′(0)
t cos at
s2 − a2
(s2 + a2)2
, s > 0 t sen at
2as
(s2 + a2)2
, s > 0
∫
t
0
f(t− τ)g(τ)dτ F (s)G(s) f(t)δ(t− t0) e
−t0sf(t0), s > 0
ua(t) =
{
0, 0≤ t< a
1, t ≥ a
e−as
s
, para s > 0 ua(t)f(t−a) e
−asF (s)
Soluc¸a˜o
1.
(a)
f(t) =


t, 0 ≤ t < 1
−(t− 2), 1 ≤ t < 2
0, t ≥ 2
f(t) = t− tu1(t)− (t− 2)u1(t) + (t− 2)u2(t)
(b)
f(t) = t− 2(t− 1)u1(t) + (t− 2)u2(t)
F (s) =
1
s2
− 2
e−s
s2
+
e−2s
s2
Link para a pro´xima questa˜o.
2.
Aplicando-se a transformada de Laplace na equac¸a˜o obtemos
(s2Y (s)− sy(0)− y′(0)) + (sY (s)− y(0)) = e
−s
s
+ e−2s
Substituindo-se y(0) = 0 e y′(0) = 1 obtemos
(s2 + s)Y (s) = 1 + e
−s
s
+ e−2s
Y (s) = 1
s(s+1)
+ e
−s
s2(s+1)
+ e
−2s
s(s+1)
= (1 + e−2s)H1(s) + e
−sH2(s)
em que
H1(s) =
1
s(s+1)
e H2(s) =
1
s2(s+1)
H1(s) =
1
s(s+1)
= A
s
+ B
s+1
Multiplicando-se por s(s + 1) obtemos
1 = A(s + 1) + Bs
Substituindo-se s = 0,−1 obtemos A = 1 e B = −1.
H2(s) =
1
s2(s+1)
= A
s
+ B
s2
+ C
s+1
Multiplicando-se por s2(s + 1) obtemos
1 = As(s + 1) + B(s + 1) + Cs2
Substituindo-se s = 0,−1 obtemos C = 1 e B = 1. Comparando-se os termos de
grau 2 obtemos A = −1.
Assim,
h1(t) = 1− e
−t
h2(t) = −1 + t + e
−t
y(t) = h1(t) + u1(t)h1(t− 1) + u2(t)h2(t− 2)
Link para a pro´xima questa˜o.
3.
A =

 1 1 01 1 0
0 0 −1


O polinoˆmio caracter´ıstico de A e´ p(t) = det(A − t I3) = (−1 − t)[(1 − t)
2 − 1] =
−t(t + 1)(t− 2) cujas ra´ızes sa˜o λ1 = 0, λ2 = −1 e λ3 = 2.
(A− λ1I3)X = 0¯
e´ 
 1 1 01 1 0
0 0 −1



 xy
z

 =

 00
0


cuja soluc¸a˜o geral e´
W1 = {α(1,−1, 0) | α ∈ R} .
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = 0 acrescentado o vetor
nulo. Assim, V = (1,−1, 0) e´ um autovetor associado a λ1 = 0.
(A− λ2I3)X = 0¯
e´ 
 2 1 01 2 0
0 0 0



 xy
z

 =

 00
0


cuja soluc¸a˜o geral e´
W2 = {α(0, 0, 1) | α ∈ C} .
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = −1 acrescentado o vetor
nulo. Assim, W = (0, 0, 1) e´ um autovetor associado a λ2 = −1.
(A− λ3I3)X = 0¯
e´ 
 −1 1 01 −1 0
0 0 −3



 xy
z

 =

 00
0


cuja soluc¸a˜o geral e´
W3 = {α(1, 1, 0) | α ∈ C} .
que e´ o conjunto de todos os autovetores associados a λ3 = 2 acrescentado o vetor
nulo. Assim, U = (1, 1, 0) e´ um autovetor associado a λ3 = −1.
Assim a soluc¸a˜o do sistema e´ dada por
X(t) = c1

 1−1
0

+ c2e−t

 00
1

+ c3e2t

 11
0


Substituindo-se t = 0:
X(0) =

 11
−1

 = c1

 1−1
0

+ c2

 00
1

+ c3

 11
0


de onde obtemos c1 = 0, c2 = −1 e c3 = 1. Assim a soluc¸a˜o do problema de valor
inicial e´
X(t) = −e−t

 00
1

+ e2t

 11
0

