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1 AULA 25 E. CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA Energia cinética de rotação: Consideremos o movimento de rotação como o de uma serra circular de bancada (homogênea). A serra é composta de muitas partículas (sistema contínuo), então sua energia cinética deveria ser dada pela energia de um sistema, 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴 𝟐 . Mas qual a velocidade linear do centro de massa da serra? AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 2 vCM = 0 !!! 𝒗 𝒗 𝒗 𝒗 Devido à simetria do objeto, haverá muitas partículas com velocidades de mesmo módulo, porém sentidos contrários, fazendo com que o somatório de mi.vi = M.vCM seja nulo! 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊 𝟐 Temos que voltar um passo atrás e reescrever K como a soma das energias cinéticas de todas as partícula na serra: AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 3 Usando a relação 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓, podemos reescrever K como: 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝝎𝒊 𝟐 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝝎𝟐 ∙ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 É a mesma para todas as partículas Esse termo leva em conta como a massa do corpo está distribuída em torno do eixo de rotação 𝑰 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 Momento de Inércia ou Inércia Rotacional Unidade: [kg.m2] Indica quão fácil ou difícil é girar um corpo em torno de um determinado eixo de rotação AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 4 E a forma final da energia cinética de rotação fica: 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝑰 ∙ 𝝎𝟐 Então, para determinar K precisamos saber como determinar I Cálculo do momento de inércia: Sistemas discretos: Quando o sistema é formado por um número razoavelmente pequeno de partículas, podemos usar 𝑰 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 5 Duas partículas puntiformes de massas m e M estão a uma distância L uma da outra, mantidas assim por uma haste rígida e de massa desprezível. a) Encontre o momento de inércia desse sistema em torno de um eixo perpendicular à haste e distante x da massa m b) Qual é a posição x do eixo de rotação para a qual teremos o menor momento de inércia possível para o sistema? Exemplo: m M L AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 6 m M L x eixo1 𝑰𝟏 = 𝒎 ∙ 𝒙 𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐 𝑰𝟏 = 𝒎+𝑴 ∙ 𝒙 𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐 Por exemplo, se L = 2,0 m ; x = 0,5 m ; m = 1,0 kg e M = 2,0 kg 𝑰𝟏 = 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟓 + 𝟐 ∙ 𝟒 𝑰𝟏 = 𝟒, 𝟖 kg.m 2 a) AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 7 Posição do centro de massa do sistema !! b) Para qual posição x do eixo de rotação teremos o menor momento de inércia possível para o sistema? Pontos extremos de uma função 1ª derivada = 0 !! 𝒅𝑰 𝒅𝒙 = 𝟎 𝒅 𝒎 ∙ 𝒙 𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎 𝟐 ∙ 𝒎 ∙ 𝒙 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 = 𝟎 𝒎 ∙ 𝒙 −𝑴 ∙ 𝑳 +𝑴 ∙ 𝒙 = 𝟎 𝒎 ∙ 𝒙 +𝑴 ∙ 𝒙 = 𝑴 ∙ 𝑳 𝒙 = 𝑴 ∙ 𝑳 𝒎 +𝑴 m M y x AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 8 O eixo em torno do qual o momento de inércia é o menor possível é aquele que passa pelo centro de massa do sistema!!!! Sistemas contínuos: Consideramos cada partícula do corpo extenso como um elemento infinitesimal de massa dm 𝑰 = න𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎rO dm AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 9 Relembrando o cálculo do centro de massa de um corpo extenso composto de elementos infinitesimais de massa dm... Cada elemento dm pode pertencer a um fio, uma superfície ou um volume: l = densidade linear de massa 𝒅𝒎 = 𝝀 ∙ 𝒅𝒍 𝝈 ∙ 𝒅𝑨 𝝆 ∙ 𝒅𝑽 s = densidade superficial de massa r = densidade volumétrica de massa Os exemplos a seguir ilustram como o cálculo da integral é feito para corpos extensos AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 10 1) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM M R 𝒅𝒍 = 𝑹 ∙ 𝒅𝜽 𝑰 = න𝑹𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = 𝑹𝟐 ∙ න 𝝀 ∙ 𝒅𝒍 𝑰 = 𝑹𝟐 ∙ න 𝑴 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹 ∙ 𝑹 ∙ 𝒅𝜽 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ න 𝟎 𝟐𝝅 𝒅𝜽 O 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝒅𝜽 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 11 r dr drrdA 2 dm 2) Disco de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM O R 𝑰 = න𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = න𝒓𝟐 ∙ 𝝈 ∙ 𝒅𝑨 𝑰 = න𝒓𝟐 ∙ 𝑴 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 𝑰 = 𝟐 ∙ 𝑴 𝑹𝟐 ∙ න 𝟎 𝑹 𝒓𝟑 ∙ 𝒅𝒓 𝑰 = 𝟐 ∙ 𝑴 𝑹𝟐 ∙ 𝑹𝟒 𝟒 𝑰 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝝈 = 𝑴 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 𝒅𝑨 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 12 Alguns momentos de inércia tabelados: AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 13 Mas e quando o objeto extenso gira em torno de um eixo que não passa pelo seu CM ?? Teorema dos eixos paralelos (de Steiner): O Se soubermos o I em relação à um eixo que passa pelo CM, podemos calcular o I em relação à qualquer outro eixo que seja paralelo ao que passa pelo CM através de: 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝒉 𝟐 M = massa total do corpo h = distância ┴ entre os eixos AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 14 Calcule o momento de inércia de uma esfera sólida e homogênea de raio R e massa M em relação ao eixo mostrado na figura abaixo. Exemplo: 𝑹 𝟐 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 15 𝑰𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 = 𝑰𝑪𝑴 +𝑴 ∙ 𝒉 𝟐 𝑹 𝟐 Eixo que passa pelo CM e é paralelo ao que queremos determinar 𝒉 Distância perpendicular entre os eixos 𝑰 = 𝟐 𝟓 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 +𝑴 ∙ 𝑹 𝟐 𝟐 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐 𝟓 + 𝟏 𝟒 𝑰 = 𝟏𝟑 𝟐𝟎 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 16 Três barras finas de mesmo comprimento L estão dispostas como mostra a figura. As massas das barras verticais são iguais, enquanto que a barra horizontal possui uma massa três vezes maior. Despreze as espessuras das barras e calcule o momento de inércia do sistema em relação aos seguintes eixos: a) contendo cada uma das barras; Exemplo: (problema 23, lista 5) M M 3M L A B C AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 17 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 𝑴𝑳𝟐 𝑰 = 𝟎 𝑰 = 𝟏 𝟑 𝑴𝑳𝟐 As principais configurações que aparecem nesse problema são: Eixo que passa pelo CM “contendo” a barra (paralelo à barra) Eixo que passa pelo CM e é perpendicular à barra Eixo que passa pela extremidade e é perpendicular à barra AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 18 Na letra a), deve-se determinar o I do sistema em relação aos seguintes eixos: M M 3M L 1 2 3 O I total do sistema é a soma dos I parciais de cada barra em relação ao eixo em questão: 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟏 𝑨 + 𝑰𝟏 𝑩 + 𝑰𝟏 𝑪 A B C AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 19 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟏 𝑨 + 𝑰𝟏 𝑩 + 𝑰𝟏 𝑪 M M 3M L 1 A B C 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝒔 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟏 𝑨 = 𝟎 𝑰𝟏 𝑩 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳 𝟐 L 𝑰𝟏 𝑪 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝒔 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 20 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟐 𝑨 + 𝑰𝟐 𝑩 + 𝑰𝟐 𝑪 M M 3M L A B C 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝒔 = 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 + 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟐 𝑩 = 𝟎 𝑰𝟐 𝑨 = 𝟎 +𝑴 ∙ 𝑳 𝟐 L 𝑰𝟐 𝑪 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝒔 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 2 Na verdade, nem é necessário calcular o I do sistema em relação ao eixo 2, pois pela simetria do sistema é possível ver que ele deve ser exatamenteigual ao I calculado para o eixo 1. Mas, fazendo a conta de qualquer forma... AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 21 𝑰𝟑 𝑺𝒊𝒔 = 𝑰𝟑 𝑨 + 𝑰𝟑 𝑩 + 𝑰𝟑 𝑪 M M 3M ൗ𝑳 𝟐 A B C 𝑰𝟑 𝑨 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟑 𝑩 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟑 𝑪 = 𝟎 𝑰𝟑 𝑺𝒊𝒔 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 3 AULA 25 – ENERGIA CINÉTICA E MOMENTO DE INÉRCIA 22
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