MQ1 Grad

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Mecânica Quântica I
Takeshi Kodama
Instituto de Física - UFRJ
August 24, 2004
Contents
I Conceitos Básicos 5
1 Surgimento de Limites da Mecânica Clássica 5
1.1 Métodos Científicos e Introdução de Novos Conceitos . . . . . 5
1.2 Radiação de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Efeito fotoelétrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Teoria de Calor Específico de Sólidos: . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Espalhamento de Compton: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Espectroscopia e Estrutura Atomicas: . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Velha Mecânica Quântica: Quântização de Bohr-Sommerfeld . 24
1.8 Experiência de Franck-Hertz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Hipotese de deBroglie e Experiência de Davisson-Germer: . . . 25
1.10 Interpretação probabilística da função de onda: . . . . . . . . 27
2 Função de Onda e Fenômeno de Interferência 28
2.1 Função de Onda como Amplitude de Probabilidade . . . . . . 28
2.2 Valor esperado de posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Princípio de Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Estado de Momento e Princípio de Incerteza . . . . . . . . . . 37
3 Autovalor e Autoestado de Operadores 44
3.1 Função como Vetor e Operador como Matriz . . . . . . . . . . 44
1
4 Dinâmica Quântica 51
4.1 Equação de Schödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Caso Estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Equação de Continuidade e Corrente da Probabilidade . . . . 55
4.4 Partícula Livre, Pacote de Onda e Velocidade de Grupo . . . . 57
4.5 Problema de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Exemplo: Partícula num Poço de Potencial Quadrado . . . . . 69
5 Oscilador Harmonico Unidimensional 75
5.1 Variáveis Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Comportamento Asimtótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Método de Expansão em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Condição de Contorno e Truncamento de Série . . . . . . . . . 79
5.5 Espectro de Energia de Oscilador Harmônico Unidimensional
e Estado Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Polinômio de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.7 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.8 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.9 Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.10 A Base Ortonormal formada de polynomios de Hermite . . . . 88
5.11 Método Algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.12 Método Algebrico (Continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.13 Interpretação do Coeficiente da expansão na base de {ψn} . . 99
5.14 Dinâmica do Oscilador Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.15 Movimento do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.16 Uso da base {ψn} para qualquer sistema . . . . . . . . . . . . 106
6 Penetrabilidade da Barreira de Potencial 108
7 Estado Meta-estável e Resonância 113
II Formulação Matemática 120
8 Conceito de Representação 120
9 Descrição de Estados Quânticos 123
2
10 Seção Complimentar: 129
10.1 Espaço Vetorial, Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2 Produto Escalar, Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.3 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.4 Especro Contínuo, Função δ, Distribuições . . . . . . . . . . . 134
11 Regra de Comutação Canônica 136
11.1 Operador de momento, Onda Plana . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.2 Normalização de onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3 Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.4 Um pouco de Mecânica Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.5 Relação de Incerteza, Pacote de Incerteza Mínima . . . . . . . 143
12 Transformação Unitária e Gerador da Transformação 148
13 Desenvolvimento Temporal: Equação de Schrödinger 153
13.1 Quantidade Conservada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14 Desenvolvimento Temporal: Visão de Heisenberg 155
15 Exemplo: Sistema de 2 níveis 157
15.1 Observável não comutável com H . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.2 Amplitude de Transição: Visão de Schrödinger . . . . . . . . . 160
15.3 Visão de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
III Partícula em 3 dimensões 167
16 Oscilador Harmônico 3 dimensional 168
16.1 Simetria Esfêrica e a Degenerescência . . . . . . . . . . . . . . 170
17 Serapração de Variáveis em Coordenadas Esfêricas 172
18 Operador de Momento Angular e Componente Radial do
Momento 173
19 Autoestado de Momento Angular 178
19.1 Algebra de Comutadores e Método Algebrico para Problema
de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3
19.2 Momento Angular Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20 Equação Radial 193
21 Partícula Livre nas coordenadas esfericas 194
22 Poço de Potencial quadrado 198
22.1 Estado Ligado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
23 Oscilador Harmônico Esférico 200
24 Atomo de Hidrogênio 202
24.1 Separação de Movimento do Centro de Massa . . . . . . . . . 202
24.2 Autovalor da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
24.3 Função de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
25 Complementação Matemática 207
25.1 Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
25.2 Polinômio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
25.3 Polinômio de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
25.4 Polinômio de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
26 Função Hipergeométrica 211
26.1 Função Hipergeométrica Generalizada de Pochhammer . . . . 211
26.2 Função Hipergeométrica de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 212
26.3 Função Hipergeométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . 212
26.4 Relações de Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
26.5 Representação de Funções Elementares em termos de Função
Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
26.6 Equação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
26.7 Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
26.8 Equação Diferencial que reduz a Equação diferencial Hiperge-
ométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
27 Spin e Interação Eletromagnética do Elétron 216
28 Métodos de Aproximação 217
4
29 Teoria de Perturbação Independente do Tempo 217
29.1 Caso Não degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
29.2 Caso Degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
30 Teoria de Perturbação Dependente do Tempo 217
31 Outros Métodos 217
IV Sistema de Partículas e Estatística Quântica 217
32 Processo de Espalhamento por Potencial 217
Part I
Conceitos Básicos
1 Surgimento de Limites da Mecânica Clás-
sica
1.1 Métodos Científicos e Introdução de Novos Con-
ceitos
Hoje, sabemos que existem muitos fenômenos na nossa volta para os quais
a Mecânica Quântica é fundamental para seu entendimento. Por exemplo,
qualquer aparelho elétronico não estaria disponível sem ter o conhecimento
da Mecânica Quântica. A aplicação da Mecânica Quântica se extende a
várias áreas, não só da Física, mas também da Astronomia, Química, Engen-
heria, Metalugica, Biologia, Medicina, etc. Não é exagero dizer que sem o
conhecimento da Mecânica Quântica, seria impossível hoje estudar qualquer
ciência exata.
Mesmo assim, o conceito básico no qual a Mecânica Quântica se baseia
é aparentemente contraditório a nossa intuição. Por isso, a Mecânica Quân-
tica pode aparentar dificuldades no ínicio. Entretanto, vamos lembrarque a
introdução de um conceito novo na ciência, em particular na física, as vezes
é fundamental para dar um salto qualitativo no seu desenvolvimento e, não
5
é a primeira vez que aconteceu na história da Ciência.
Antes do século XVII, a Ciência se misturava muito com ocultismo (as-
trologia, alquimia) e utilzava-se de conceitos introduzidos a priori pela razão,
talvez estética, talvez religiosa, ou até filosófica, mas sem fundamento real.
Foi Galileu que menciona explicitamente a importância do uso dos métodos
que descrevem o mundo a partir da observação direta dos fenômenos e da
realização de experimentos controlados. Com isto, ele mostrou que alguns
conceitos antigos já estabelecidos não passam de preconceitos. Por exemplo,
ele argumenta que se um sistema de referência está em movimento inercial,
então, os fenômenos observadas neste sistema não se distinguem dos observa-
dos em outro sistema inercial (Princípio de relatividade de Galileu). Assim,
ele mostra que a idéia da Terra imovel é apenas um preconceito, e que num
modelo Héliocentrico o movimento da Terra não acarretaria nenhum desastre.
Desta forma, é interessante lembrar sempre que a nossa intuição é muitas
vezes nada mais de um produto de preconceitos que foram criados pelas
experiências durante a nossa vida. Se encontramos um fenômeno que exige
uma explicação lógica que contradiz nossa intuição, devemos desconfiar que
a nossa intuição é um preconceito, mesmo que isto apareça absurdo1.
Depois de Galileu, gradualmente o cientificismo se impõe, e passa-se a
“Era das Luzes”, em oposição ao obscurantismo medieval. As idéias físicas,
no entanto, estão ainda muito ligadas às observações de fenômenos isolados
no mundo macroscópico, predominando uma nítida separação na descrição
dos movimentos dos corpos da terra e dos corpos celestes. A estrutura da
matéria não se coloca ainda como questão primordial, e nenhuma formu-
lação teórica global para o movimento e estruturação dos corpos se configura
nos moldes científicos então estabelecidos. Mas, já no final do século XVII
vamos presenciar uma postura teórica unificadora pelo menos no que diz
respeito à descrição dos movimentos dos corpos. Trata-se da formulação
Newtoniana da mecânica. Ao longo doséculo XVIII, o estudo dos fenômenos
elétricos, magnéticos e da luz (a ótica), seguia a linha fenomenológica e des-
critiva, continuando assim até a primeira metade do século XIX (Eletricidade
e Magnetismo : Ampère, Faraday, Örsted, etc. ; na ótica: Young, Fresnell e
outros). O final do século XIX é então coroado de êxito no que se refere ao
estabelecimento de estruturas de sínteses formais para as teorias físicas. Se
1É interessante notar que, embora Galileu foi o primeiro a introduzir o método científico
no sentido de se livrar das idéias preconceituosas diante os fatos experimentais, ainda não
conseguia realmente limpar todos os preconceitos, tais como sua preferência injustificável
para o movimento circular e uniforme, aceita desde Aristoteles.
6
de um lado a mecânica, com os trabalhos de Hamilton, Jacobi, tendo pas-
sado pelos de Legendre, Laplace e Lagrange, encontra uma forma estrutural
dedutiva a partir de um princípio fundamental (O Princípio Variacional), do
outro lado vamos presenciar a elegante síntese da Eletricidade, Magnetismo
e ótica através da teoria eletromagnética de Maxwell, em1873. Como se não
bastasse, os trabalhos de Gibbs, Boltzmann e outros, neste final de século,
sobre a Mecânica Estatística e suas relações com a termodinâmica, pareciam
compor tudo o que faltava. Estes últimos enveredavam pelo caminho da ex-
tensão dos conceitos e princípios da Mecânica Clássica ao comportamento
dos constituintes microscópicos dos sistemas termodinâmicos, que junto à
utilização de idéias estatísticas deveriam justificar as leis macroscópicas dos
sistemas.
O quadro parecia estar completo no final do século XIX. Houve mesmo
quem afirmasse que qualquer princípio fundamental da natureza estaria con-
tido numa destas estruturas teóricas, com as quais qualquer fenômeno pode-
ria ser explicado em princípio, sendo apenas questão de detalhamento dos
modelos matemáticos. Mas duas pequeninas nuvens negras no horizonte
pareciam teimar contra isso: o espectro da radiação do corpo negro e a ex-
periência de Michelson e Morley. Justamente são as sementes das revoluções
conceituais da Física neste século: A Mecânica Quântica e a Teoria da Rela-
tividade. Assim, o problema da radiação do corpo negro é ummarco histórico
das limitações da Física Clássica para a descrição microscópica da matéria.
As tentativas de compreender o espectro da radiação do corpo negro no con-
texto da Física Clássica falharam e então brotou, pela primeira vez, a idéia
de discretização de grandezas tidas como contínuas no contexto clássico. A
onda eletromagnética exibe a natureza corpuscular.
Na mesma época, o estudo da estrutura atômica leva a imagem de na-
tureza ondulatório do movimento de um elétron. Neste ponto, físicos perce-
beram que a tentativa de incorporar a dualidade onda-partícula no esquema
da Mecânica Clássica se torna inconsistente e chegaram conclusão de que
devemos abandonar o conceito tão básico na Mecânica Clássica como a tra-
jetória de uma partícula.
A discussão, pelo menos esquemática desta tentativa, é nosso ponto de
partida neste breve apanhado das origens da Mecânica Quântica.
7
1.2 Radiação de corpo negro
Vamos considerar uma cavidade cercada de paredes aquecidos (forno). Sabe-
mos que a cavidade fica preenchida de radiação. Esta radiação é as ondas
eletromagnéticas. Podemos fazer a pergunta: Qual é a distribuição de fre-
quência do campo eletromagnetico dentro deste forno quando esteja em equi-
líbrio térmico com temperatura T? Esta questão foi um dos mais importante
problema na aplicação da física em metarugia na época2.
Segundo o princípio da Mecânica Estatística, quando um sistema esteja
em equilíbrio térmico, a temperatura é justamente a energia média atribuida
para cada grau de liberdade existe no sistema. Isto é, qualquer graus de
liberdade do sistema tem a mesmo valor médio de energia (equipartição da
enerigia). Podemos aplicar este princípio. Mas, o que é os graus de liberdade
para o campo eletromagnético? Para ver esta questão, vamos considerar uma
geometria simples do forno, isto é, uma cavidade cubica de distância lateral
L. O passo mais fundamental para que se tenha a compreensão do problema
é que se conheça a equivalência estrutural entre as equações do campo da
radiação e um sistema dinâmico de partículas. Já que este tipo de raciocínio
é extremamente fundamental e muito educativo vamos investir um pequeno
tempo para revisá-lo. O campo de radiação, i.e., o campo eletromagnético, é
expresso em termos de um campo vetorial a quatro componentes, Aµ, definido
por
Aµ(r, t) =
½
A0(r, t)
A(r, t)
¾
.
Podemos extrair o campo elétrico E e o campo magnético B deste potencial
como
E = −∂
A
∂t
−∇A0,
B = ∇× A.
As equações de Maxwell sem termo de fonte (a densidade de carga e corrente),
junto com uma condição de calibre apropriada, nos leva à equação de onda
bem conhecida para estes potenciais,
2O nome, Corpo Negro vem de fato que o parede do forno absorbe ondas eletromag-
néticas de qualquer frequência.
8
µ
1
c2
∂2
∂t2
−∇2
¶
Aµ(r, t) = 0. (1)
Exercício: Deduza a Eq.(1) a partir da equação de Maxwell. Qual é a
condição de calíbre?
A Eq.(1) é uma equação diferencial parcial e, portanto, não parece que
tem alguma similhança com a mecânica de Newton. Mas se introduzimos a
noção de “forma” desta função em relação a distribuição espacial em cada
instante, esta equação pode ser vista como sendo uma equação diferencial
ordinária de segunda ordem para esta “forma” do campo. Para ser mais
clara, vamos escrever a forma espacial do campo Aµ (r, t) como sendo
Aµ(r, t)→ ft(r).
A função ft representaa “forma” espacial do campo. Para expressar a de-
pendência temporal desta forma da função, podemos sempre introduzir a
série de Fourier,
ft(r) =
X
k
qk (t) sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) . (2)
onde utilizamos a condição de contorno,
f = 0
para x = 0, ou y = 0 ou z = 0 (coloca a origem do sistema de coordenadas
num canto do cubo).
Conhecer todos os coeficientes {qk (t)} é equivalente a conhecer ft (r),
portanto Aµ (r, t). Substituindo a Eq.(2) na Eq.(1), temosµ
1
c2
∂2
∂t2
−∇2
¶X
k
qk (t) sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) = 0, (3)
ou
q¨k + ω
2
kqk = 0,
∀k , (4)
onde
ωk = c
¯¯¯
k
¯¯¯
. (5)
9
Exercício: Deduza, com justificativa mateática, a Eq.(4) a partir da Eq.(3).
A Eq.(1.5) mostra que qualquer componente qk (t) do campo de radiação
se comporta como um oscilador harmônico simples. A equivalência entre a
equação de Maxwell e a Mecânica Clâssica agora se torna nítida se consid-
eramos os qk’s como variáveis generalizadas, e que a configruação dinâmica
do campo se traduzem nas oscilações deste conjunto infinito de osciladores
harmônicos clássicos. Assim, a dinâmica do campo fica expressa numa lin-
guagem Mecânica, permitindo a utilização da Mecânica Estatística para a
configuração do campo.
Neste sentido, o equilíbrio térmico do campo como ambiente de temper-
atura T pode ser tratado como o equilíbrio de um sistema de osciladores
em contato com um reservatório térmico de temperatura T . Pelo princípio
de equipartição da energia, sabemos que para cada grau de liberdade terá o
valor médio da energia, kT . Assim, a energia média total do sistema seria
Etot → NG.L. × kT,
onde NG.L. é o número total de graus de liberdade do sistema.
Para um campo eletromagnético confinado num forno, a condição de con-
torno impõe que só permitidas as ondas com número de onda k dada por
k =


kx
ky
kz

 = π
L


l
m
n

 , (6)
onde l,m e n são inteiros.
Exercício: Mostre a Eq.(6).
Para cada k o campo eletromagnético no forno corresponde a uma onda
plana
sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) ,
cuja amplitude varia no tempo. A frequência ν está relacionada com o vetor
de número de onda k é dada por
ν =
c
2π
¯¯¯
k
¯¯¯
=
c
2L
√
l2 +m2 + n2.
10
Então, quantos diferentes k0s são permitidos dentro de intervalo [ν, ν + dν]?
Este número de estado é igual ao número de possíveis inteiros não negativos,
{l,m, n} que satisfaz a desigualdade,³ν
c
L
´2
< l2 +m2 + n2 <
µ
ν + dν
c
L
¶2
.
Para grand valor de L, este número é essencialmente o volume de uma octante
da camada esferica de raio internoR = 2νc L e o raio externoR+dR = 2
ν+dν
c L.
Assim,
N(ν)dν =
1
8
4πR2dR =
4π
8
8
µ
1
c
L
¶3
ν2dν =
4πV
c3
ν2dν, (7)
onde V é a volume da cavidade.
Na verdade, para obter o número de estados do campo eletromagnético
devemos multiplicar um fator extra 2 que vem do fato de que o campo eletro-
magnético tem dois estados independentes de polarização para cada k.
N(ν)→ 2× 4πV
c3
ν2 (8)
A densidade de energia dentro deste intervalo de frequência fica então,
uR(ν) =
1
V
hEiN(ν) = 8πkT
c3
ν2, (9)
que é o resultado obtido por Rayleigh em 1900.
Exercício: Qual é a unidade de uR(ν)?
O fato é que esta expressão reproduz bem os dados experimentais somente
na região de pequenas frequências (ver a figura abaixo para o caso de kT =
1eV ) e para altas frequências, diverge completamente dos dados.
Exercício: Quanto é 1eV/Å em erg/cm?
Na figura acima, a curva solida é os dados experimentais e a curva ponto-
tracejada é a fórmula empírica do Wien,
uW (ν) =
8πh
c3
e−hν/kTν3, (10)
11
12
que reproduz os dados de espectro à alta frequência, onde h é uma constante
fenomenológico para ajustar a curva aos dados experimentais. Na verdade,
o problema da fórmula de Rayleigh-Jeans não só apenas não reproduz os
dados experimentais mas muito mais sério. Como a densidade de energia
cresce quadraticamente em frequência, a densidade de energia total,
hεi =
Z ∞
0
dνU(ν)
fica infinita. Isto físicamente não é admissível, pois num equilíbrio térmico,
a energia total da radiação não pode ser infinita.
No mesmo ano, M.Planck inventou uma fórumla interpolante das duas
fórmulas Eq.(9) e Eq.(10),
u(ν) =
8π
c3
hν3
ehν/kT − 1 . (11)
De fato, esta fórmula tem a propriedade,
u(ν)→
½
8kT
c3 ν
2,
8πh
c3 e
−hν/kTν3,
hν
kT ¿ 1,
hν
kT ¿ 1,
(12)
e reproduz os dados em todas faixas de frequências para qualquer temper-
atura T .
Exercício: Obtenha os limites da Eq.(12).
Se Planck tivesse ficado satisfeito com este resulado apenas, talvez o de-
scoberto da Mecânica Quântica tenha sido de outra forma. É fundamental a
perseverança do Planck que levou a conclusão de que a espressão como esta
pode ser obtida se introduz o hipotese de quantum da energia.
Vamos ver o raciocíneo do Planck. O resultado do Rayleigh e Jeans tem
uma estrutura bem simples. A densidade de energia para dada frequência é
dada por
U(ν) =
1
V
N(ν)× hEi,
onde N(ν) é o número de ondas permitidas na cavidade e hEi é a energia
média associada para um grau de liberdades do sistema. Se aceitamos que o
número de graus de liberdades do campo eletromagnético N(ν) é dada pela
Eq.(8), a densidade de energia é dada por
u(ν) =
1
V
hEiN(ν) = 8π
c3
ν2hEi. (13)
13
Para obter a resposta correta, devemos mudar hEi. Comparando esta ex-
pressão com a fórmula de Planck, Eq.(11), temos que ter
hEi→ hν
ehν/kT − 1 . (14)
O que tipo de média que daria esta expressão para o “valor médio” de energia?
O Planck notou o seguinte fato3.
1
ex − 1 =
e−x
1− e−x = e
−x + e−2x + e−3x + · · ·
=
∞X
n=1
e−nx,
ex
ex − 1 =
∞X
n=0
e−nx,
e
∞X
n=0
nxe−nx = −x d
dx
∞X
n=1
e−nx
= −x d
dx
1
ex − 1 =
xex
(ex − 1)2
. (15)
Desta forma, podemos escrever
x
ex − 1 =
P∞
n=0 nxe
−nxP∞
n=0 e
−nx .
Utlizando a expressão acima, podemos re-escrever Eq.(14) por
hν
ehν/kT − 1 =
P∞
n=0 nhν e
−hν/kTP∞
n=0 e
−hν/kT .
Escrevemos ainda,P∞
n=0 nhν e
−hν/kTP∞
n=0 e
−hν/kT =
P∞
n=0En e
−En/kTP∞
n=0 e
−En/kT
, (16)
3Para r < 1, temos
1 + r + r2 + · · · = 1
1− r ,
e para x > 0, r = e−x < 1.
14
onde En = nhν. A expressão acima tem exatamente a forma de valor médio
dos valores das energias {E0, E1, E2, ...} com a probabilidade de cada energia
dada pela distribuição de Boltzman,
P (En) ∝ e−En/kT .
isto é,
hEi =
P∞
n=0En P (En)P∞
n=0 P (En)
. (17)
Isto implica, os valores de energia do campo eletromagnético com a frequência
ν não podem ser continuas, mas só podem assumir valores descretos,
E = nhν. (18)
Isto é, a oscilação para cada frequência ocorre como se existisse uma unidade
mínima da energia,
Q = hν.
A existência de uma unidade mínima da energia acima tem um efeito
dramático. Para ondas planas com frequência hνikT , a probabilidade de ter
oscilação fica exponencialmente pequena. Assim, surge um corte natural da
frequência acima a qual ondas eletromagnéticas não participam na excitação
térmica. Assim, a energia total não diverge. De fato,
ε =
Z ∞
0
dνu(ν)
=
8π
c3
Z ∞
0
dν
hν3
ehν/kT − 1
=
8πh
c3
µ
kT
h
¶4 Z ∞
0
x3
ex − 1dx
= σT 4
onde σ é a constante de Stephan-Boltzman.
Exercício: Expresse o valor da constante de Stephan-Boltzman efetuando
a integral da equação acima.
15
1.3 Efeito fotoelétrico:
A proposta do Planck não foi levado em consideração tão seriamente de
immediato na comunidade, pois a idéia sobre a natureza de quantum da
energia não foi clara. Mas 5 anos depois, A. Einstein encarou a idéia de
“quantum” da energia como a realidade da natureza da onda eletromagnética
para explicar o fenômeno conhecido como efeitofotoelétrico.
Quando a superfíce de um metal for irradiada pelo raio X ou luz ultra-
violeta, elétrons são emitidos da superfíce. O estudo experimental do Lenard
mostrou os seguintes fatos:
1. A energia cinética de cada um dos elétrons não depende da intensidade
da radiação mas só depende da sua frequência.
2. O número dos elétrons emitidos é proporcional à intensidade da radi-
ação.
Estas propriedades não são possível de ser explicadas pela propriedades
ondulatórias de campo eletromagnético.
Para explicar este fenômeno, Einstein utilizou a idéia do Planck no sentido
de que o campo eletromagnético com a frequência ν é um conjunto de quan-
tum de luz com energia E = hν. A intensidade da radiação é proporcional
ao número destes quanta contidos na radiação. Além disto, ele supoz que o
processo de emissão de um elétron da superfície é provocado pela absorção
de um quantum de luz. Após da absorção, o elétron adquire o acrescimo da
energia por hν. Desta forma, da conservação da energia, a energia cinética
máxima do eletron emitido sera dada por
Ee = hν − V0,
onde V0 é a energia de potencial para o eleton ser liberado da superfíce. Nesta
imagem, quando aumenta a intensidade da radiação, aumentará os números
de fótons que incidem a superfíce, e portanto, aumentará a chance de emitir
eletrons.
Einstein argumentou que este quantum da radiação, além de carregar a
energia E = hν, carrega o momento, p = h/λ, onde λ é o comprimento da
onda. Este trabalho traz ao Einstein o Premio Nobel.
Exercícios: Uma estação de rádio emite a onda eletromagnética de frequência de
100MHz com potência de 50KWatt. Quantos fótons estão sendo emi-
tidos por segundo?
16
1.4 Teoria de Calor Específico de Sólidos:
Einstein ainda generalizou a idéia de quantum da energia, como sendo um
mecanismo universal de movimento de qualquer sistema, não só a propriedade
particular do campo de radiação eletromagnética. Ele notou que a presença
de quântum da energia nos movimentos térmicos dos redes cristalinas de
sóidos pode se manifestar no comportamento de calor específico.
O calor específico é definido como sendo o aumento da energia interna da
matéria para a unidade do aumento da temperatura, sob uma dada condição
externa (por exemplo, a pressão constante). No caso de sólidos, a agente
de arrumazenar energias térmicas é o movimento vibracional dos átomos
nos redes cristalinas. Os movimentos vibracionais destes átomos podem ser
considerados como oscilador harmônico, com uma determinada frequência,
ωc. O valor desta frequência depende da propriedade do sólido em questão.
Exercício: Discuta a possível mecanismo que define esta frequência num
sólido. Saberia estimar a ordem de grandeza? Existiria tal frequência
para um gas?
Da Macânica Estatística, sabemos que quando um oscilador harmônico é
submetido num banho térmico de temperatura T , o valor médio da energia
é sempre proporcional à energia,
hEi ∝ kT,
Portanto, a energia total do sistema é dada por
U = hEiN ∝ NkT,
onde N é o número de átomos da matéria. Desta forma, o calor específico
de um sólido será
C ≡ ∂U
∂T
∝ Nk. (19)
que é constante em temperatura. Este resultado reproduz bem o valor ob-
servado para as temperaturas não muito baixas, mas quando a temperatura
tende para o absoluto zero, T → 0, os dados observados comportam bem
diferente e tendem para zero. Isto obviamente não occore para Eq.(19). O
calor específico de qualquer meterial tende a nulo para T → 0, sendo este
comportamento é um fenômeno universal.
17
Do ponto de vista mecânica clássica, isto não é fácil de ser compreen-
dido, pois sabemos que o calor é a forma de energia de movimento dos graus
de liberdades internas da matéria, e existindo os graus de liberdades, eles
acabam absorvendo qualquer quântia da energia térmica. Isto faz com que
qualquer graus de liberdades dinâmicos acaba participando no movimento
térmico e a energia média para cada graus de liberdade fica proporcional a
temperatura. Consequentemente, o calor específico fica constante em tem-
peratura. Einstein notou que isto não será verdade se a forma de oscilação
dos átomos também obdesce a quantização do Planck,
En = nhνc = n~ωc.
Esta expressão implica que existe a unidade mínima de energia, Emin = ~ωc,
o quantum da energia, para um oscilador com a frequência ωc. Se a energia
fornecida pela temperatura do banho térmico for menor que esta unidade
mínima, o oscilador não será colocado em oscilação. Desta forma, a energia
média de oscilação não será mais proporcional a temperatura, mas tenderá
a zero para T = 0. Se os valores da energia de um oscilador com frequência
ωc são dados por valores discretos
En = n~ωc, n = 1, 2, ...
então, o valor médio da energia de um oscilacor harmônico unidimensional
em equilíbrio térmico sob a temperatura T será dada novamente pela Eq.(17),
hEi =
P∞
n=0En P (En)P∞
n=0 P (En)
=
P∞
n=0En e
−En/kTP∞
n=0 e
−En/kT
=
~ωc
e~ωc/kT − 1 .
O comportamento do valor médio da energia em função de temperatura é
hEi→
½
kT,
~ωce−~ωc/kT
kT À ~ωc,
kT < ~ωc.
Consequentemente o calor específico é dado por 3N graus de liberdades ( o
fator 3 vem de 3 direção de oscilação independentes ),
C = 3N
∂hEi
∂T
=
3N (~ωc)2 e~ωc/kT
(e~ωc/kT − 1)2
1
kT 2
. (20)
Para para kT À ~ωc, ou equivalentemente no limite de ~→ 0, temos
C → 3Nk,
18
que é o resultado clássica (Lei de Dulong-Petit) para o calor específico de
sólidos. Por outro lado, observamos que para T → 0,
C → 3N (~ωc)
2 e−~ωc/kT
kT 2
→ 0.
Note que a discussão aqui não é mais qualitativa do que quantitativa,
só para mostrar o efeito de quantização num processo termodinâmico. A
expressão do Einstein para calor específico, Eq.(20) ainda mostra um pequeno
desvio sistemático para baixas temperaturas (T ∼ 10o), mas isto foi explicado
pelo Debye em 1912, levando em conta as interações entre átomos da rede
cristalina.
1.5 Espalhamento de Compton:
A verificação da natureza corpuscular da radiação eletromagnética foi feita
de forma clara pelo espalhamento de Compton em 1922. Compton observou
que se o raio X monocromático irradia a matéria, surgem os componentes
de raio X com comprimento de onda maior que da onda incidente. Tal
espalhamento de onda não é possível de entender em termos da Equação
de Maxwell clássica. A experiência de Compton mostrou que a variação
do comprimento de onda ∆λ ≡ λ0 − λ é dado por independentemente do
comprimento de onda inicial ou da matéria e apenas em função de ângulo de
espalhamento,
∆λ = 0.0243(1− cosφ) A˚. (21)
Vamos entender este resultado em termos de colisão inelastica do raio X
por um elétron na matéria. Vamos supor que um eletron, inicialmente re-
pouso, é espalhado na direção θ por uma onda eletromagnética incidindo com
a frequência ν. Do ponto de vista de Einstein, isto corresponde ao processo
de colisão entre duas partículas, eletron e fóton, e podemos escrever as leis
de conservação de energia e momento:
• 1. Conservação da Energia:
E0 +mc2 = Ee +E0, (22)
2. Conservação do momento na direção incidente:
p0 = pe cos θ + p0 cosφ, (23)
19
3. Conservação do momento na direção perperndicular:
0 = pe sin θ + p0 sinφ, (24)
onde E0 e p0 são energia e momento do fóton incidente, E0 e p0 energia e
momento do fóton final, Ee, pe energia e momento do elétron espalhado, φ o
ângulo de espalhamento do fóton, θ o ângulo de espalhamento do elétron e
m é a massa do eletron. No caso de fóton,
E = hν,
p = h/λ = hν/c,
e a relação de energia-momento relativístico,
E2 = M2fotonc
4 + p2c2
leva a conculsão de que a massa de fóton, Mfoton ≡ 0. Assim, para o fóton,
temos
E = pc. (25)
Agora, das Eqs.(23) e (24), podemos eliminar θ como
(p0 − p0 cosφ)2 + (p0 sinφ)2 = p2e,
ou
p20 − 2p0p0 cosφ+ p0 2 = p2e. (26)
Por outro lado, da Eq.(22), temos£
(E0 −E0) +mc2
¤2
= E2e = p
2
ec2 +m2c4,
ou
(p0 − p0)2 + 2mc(p0 − p0) = p2e, (27)
onde foi utilizada a relação, Eq.(25). Eliminando pe das Eqs.(26) e (27),
temos
(p0 − p0)2 + 2mc(p0 − p0) = p20 − 2p0p0 cosφ+ p0 2,
ou simplificando temos
mc(p0 − p0) = p0p0(1− cosφ).
20
Em termos de λ, esta relação fica,
mc
µ
h
λ0
− h
λ0
¶
=
h
λ0
h
λ0
(1− cosφ),
ou finalmente,
λ0 − λ0 = ∆λ =
h
mc
(1− cosφ), (28)
que é nada mais que Eq.(21). O processo de espalhamento de Compton
mostra claramente a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.
Exercício: Repeta as contas utilizando a relação de energia e momento não
relativística para o elétron e compare o resultado com o caso relativís-
tico.
1.6 Espectroscopia e Estrutura Atomicas:
A descoberta dos espectros atomicos e sua sistemáticos como representados
pelas várias séries, tipo Balmer, Lyman, etc vem desafiando pesquisadores
como problema de compreender a estrutura da matéria. Lembre que nesta
época, ainda a existência dos atomos não tinha sido estabelicida. Por exem-
plo, um dos fundadores da Mecanica Estatística, Boltzman já era defensor
da origem atomica do calor, mas muitos físicos importantes, por exemplo,
E.Mach, ou até M.Planck na epoca não tinham acreditados desta teoria.
Junto com o descoberto de elétron, a existência da estrutura microscópico
ficou mais explicit, e vários modelos atomicos foram considerados. Mas o que
colocou o final desta história era a experiência de espalhamento de partícula
α pela uma folha de ouro muito fino, feita pelos dois alunos de E. Rutherford,
Marsden e Geiger (este último é conhecido também pelo contador Geiger).
O que foi observado nesta experiência é que na medida em que a partícula α
atravessa a folha de ouro, bastante frequêntemente a partícula α fica defletida
com grande ângulo. Este tipo de comportamento não pode ser esperado pelo
modelo atômico de J.J.Thomson, onde as cargas elétricas positivos que com-
pensam as cargas negativas dos elétrons estão distribuidas continuamente
no espaço. O Rutherford demonstrou que se existe um núcleo, bastante pe-
queno, praticamente considerado ponteforme comparado ao escala atomico,
carregado positivamente e tendo a massa grande, o resultado da experiência
de Geiger-Marsden seria explicado. Assim, foi lançado o modelo atomico de
21
Rutherford. onde os elétrons rodam a volta de núcleo, que tem a carga posi-
tiva Z. Como um elétron tem massa apenas 1/2000 do atomo de hidrogênio,
praticamente a massa total de um atomo está concentrada no núcleo. As-
sim, imaginamos que os elétrons giram em torno do núcleo como os planetas
giram em tornos do Sol.
Só que este modelo contém um problema extremamente sério. Se consid-
eramos que o elétron gira em torno de um núcleo de acordo com a interação
eletromagnética entre ele e o núcleo, devido a aceleração centrifuga, o elétron
emitiria o campo eletromagnético. Naturamente pela conservação da energia,
o movimento do eletron vai perdendo sua energia, e cada vez mais desacere-
lado, finalmente cairia no núcleo. Vamos estimar a vida média desta orbita.
Segundo a Equação de Maxwell, a taxa de emissão de energia por uma carga
com acelerada é dada por
dEEM
dt
=
2
3
e2
c3
¯¯¯¯
dv
dt
¯¯¯¯2
.
Por outro lado, uma orbita de elétron de raio r tem a aceleração dada por
m
¯¯¯¯
dv
dt
¯¯¯¯
=
e2
r2
.
Assim, a energia do eletron deve reduzir com a taxa,
dE
dt
= −dEEM
dt
= −2
3
e6
m2c3r4
. (29)
Por outro lado, num movimento circular, a energia do eletron é
E = − e
2
2r
. (30)
Eliminando E das Eqs.(29) e (30), temos
dr
dt
= −4
3
e4
m2c3r2
.
Resolvendo esta equação diferencial, temos
1
3
£
r30 − r3
¤
=
4
3
e4
m2c3
[t− t0] .
22
Exercício: Obtenha a solução acima.
Assim, o intervalo de tempo que o eletron da posição inicial r0 atinge ao
centro r = 0 é dado por
∆t = 4
m2c3r30
e4
,
que é apenas ordem de 10−11 segundos para r0 igual ao tamanho de um
atomo.
Exercício: Calcule o valor de ∆t.
Se isto fosse verdade, então os elétrons serão absorvidos por núcleo e
nemnhum atomo sobreviveria. Quem que deu o passo correto para solucionar
o problema do modelo do Rutherford junto com os problemas dos espectros
atomicos foi o Niels Bohr. Ele introduziu os seguintes hipoteses de trabalho.
1. Consideramos orbitas circulares, apenas.
2. Existem certas orbitas para elétrons em torno do atomo, chamadas de
orbitas estacionárias, para qual a irradiação de campo eletromagnético
não ocorre. Estas orbitas devem satisfazer a condição de quantização
de momento angular,
l = n~, n = 1, 2, .... (31)
Com esta condição, podemos calcular as energias {En} do eletron destas
orbitas.
3. Quando o elétron transita de uma orbita de energia Em para outra
orbita de energia En, deve ser associada uma onda eletromagnética.
Esta emissão ocorre em termos de um único quantum de luz, cuja
frequência é dada pela relação de Planck,
hν = Em −En. (32)
De fato, no caso de átomo de Hidrogêneo, a energia de uma orbita circular
com momento angular l é dada por
E = −me
2
2l2
, (33)
23
e, portanto, utilizando a condição de quantização, temos o espectro descreto
da energia,
En = −
me2
2~2
1
n2
, n = 1, 2, ... (34)
Desta forma, a série de Balmer deve corresponder à transição de elétron
de uma orbita n geral para n = 2. Assim, da Eq.(32) a frequência da luz
associada fica
ν =
me2
4π~3
µ
1
22
− 1
n2
¶
. (35)
A constante de Rydberg agora é expressa em termos de massa de eletron, sua
carga e a constante de Planck.Podemos facilmente deduzir as outras series
conhecidas.
Exercício: Desenvolva todas as contas acima.
1.7 Velha Mecânica Quântica: Quântização de Bohr-
Sommerfeld
A idéia contida no modelo de átomo de Hidrogênio do N.Bohr foi general-
izada e formulada numa teoria mais geral pelo Sommerfeld. Ele formulou em
seguine forma. Para qualquer movimento periódico, cujo coordenada gen-
erailzada q = q(t) e o momento generalizao, p = p(t), sómente permitidas as
trajetórias que satisfazem seguinte condição de quantização,I
Periodo
pdq = n~, (36)
onde a integral é feito sobre um período fechado. Apesar de ter certas apli-
cações com sucesso, o formalismo da Velha Mecânica Quântica não era uma
teoria autosuficiente como uma teoria fundamental. Primeira, não é possível
discutir dinâmicas não periodicos. Segunda, não há justificativa de porque a
condição de quantização entra num formalismo da mecânica clássica.
Exercício: Aplique a régra de quantização do Sommerfeld para um oscilador
harmonico unidimensional com a frequência ω e obtenha o espectro da
energia.
24
1.8 Experiência de Franck-Hertz:
Logo após o trabalho do Bohr, Franck e Hertz planejou uma experiência para
verificar a presença de orbitas descretas de eletron num átomo de Mercúrio.
Sejam {E1, E2, ...} as energias permitidas de orbitas de elétron do átomo.
Preparamos um gás de Mercúrio e injetamos um feixe de eletrons. O eletron
incidente colide com um dos eletrons do átomo (praticamente sempre com
aquele que está na orbita mais fora ) e espalhado. Suponhe que o elétron
alvo esteja no estado E1. Se a energia do eletron incidente for menor que
a diferênça da energia do E1 até o próximo valor de energia E2 da orbita
permitida, então, o eletron alvo não pode sair da orbita. Isto quer dizer que
o elétron alvo não pode mudar a sua energia e, portanto, só ocorre a colisão
elástica. Mas se o elétron incidente tenha energia maior que E2−E1, além de
ter colisão elástica, pode ocorrer também, a colisão inelástica, transferindo
a energia do eletron incidente e levantando o eletron alvo para o estado
E2. Neste caso, o eletron espalhado teria a energia E0 = E − (E2 − E1).
Para energia maior que E3 − E1, pode ocorrer ainda as colisões inelásticas
via outros canais, perdendo energia, E00 = E −(E3 − E1), assim por diante.
Desta forma, medindo a distribuição de energias de elétrons espalhados como
função de energia incidente, devemos observar as influências de descretização
das energias das orbitas permitidas do átomo. Esta experiência mostrou que
os valores da energia observados coincidem com omodelo de Bohr, verificando
a presença de espectros descretos de energia de eletron no átomo.
1.9 Hipotese de deBroglie e Experiência de Davisson-
Germer:
A natureza dual do campo de radiação eletromagnética se tornou cada vez
mais como um fato irrefutável. O jovem pesquisador, deBroglie, na sua tese
de dissertação, propóz um hipótese bastante interessante. Ele lançou a idéia
de que a matéria, como elétron, deve ter o comportamento ondulatório, já que
a onda eletromagnética tem o comportamento corpusclar. Ele considerou que
para uma partícula (elétron) commomento p e energia E, deve está associada
uma onda com o vetor de onda, k = p/~, a frequência ω = E/~. Ele discutiu
que com esta associação, os estados estacionários do átomo de Hidrogênio
do modelo de Bohr pode ser interpretado como sendo ondas estacionárias de
orbitas circulares.
A proposta de deBroglie tem chamado atenção de várias pessoas. Vamos
25
considerar que um elétron é acelerado por uma diferença de potencial elétrico
V . A energia cinética final (não relativística) do elétron após a aceleração
fica,
Ek =
1
2m
p2 = eV,
e, portanto,
p =
√
2meV .
O comprimento de deBroglie do eletron fica
λ =
h
p
=
2π~c√
2mc2eV
' 12, 3√
V
A˚
onde V é dado em Volt. Quando V ∼ 100V olt, então λ fica na ordem
de ∼ 1 A˚. Assim, podemos esperar que o fenômeno de difração pode ser
causado por uma rede cristalina como no caso de raio X. Desta forma,
a propriedade ondulatória de elétron ficou comfirmada pela experiência de
Davisson e Germer (Laboratório Bell, USA). Eles mostraram o surgimento
da padrão de interferência nas intensidades do feixe de eletrons espalhados
por um cristal. Isto começou no ano 1923, quando Davisson percebeou que
surge um padrão sistemático de intensidade dos elétrons espalhados da su-
perfície de cristal, tais como Ni, Mg e Pt. Foi sugerido pelo Elsasser que
este fenômeno é uma evidência de propriedade ondulatória de eletron. Em
1925, no seu laboratório, a garrafa de criogenia quebrou e a placa de Ni foi
oxidado. Para eliminar a oxidação da superfície, Davisson e Germer aqueceu
a placa por longo tempo num vácuo, e quando foi repetido a experiência de
espalhamento de eletron com esta placa, a padrão de intensidade ficou mais
nítida. Este resultado sugere que a origem deste padrão na intensidade tem
no cristal do Ni, pois o processo de aquecemento adotado cria uma estrutura
cristalina na placa de Ni. Baseada nesta descoberta pela acidente, Davisson
e Germer fizeram experiência em 1927 usando um monocristal grande de Ni,
e obteve a relação entre ângulo de espalhamento θ, momento p de elétron e
a interdistância entre cristais d,
h
pd
= sin θ, (37)
que é a mesma relação de espalhamento de raio x com complimento de onda
λ,
h
d
= sin θ,
26
o que indica a relação de de Broglie,
λ =
h
p
.
Exercício: Deduza a fórmula Eq.(37).
1.10 Interpretação probabilística da função de onda:
Desta forma, até a época de 1925, ficou claro que a dualidade onda partícula
é uma propriedade universal no mundo microscópico. A dinâmica do campo
eletromagnético tem sido considerado como uma onda mas possui também a
propriedade corpuscular. O quantum da radiação eletromagnética é chamado
de fóton. Por outro lado, o elétron tem sido como uma partícula mas agora
sabemos que possui também a propriedade ondulatória. Entretanto, dentro
do conceito clássico de onda e partícula, não é possível unificar as duas pro-
priedades numa entidade só. Talvez pode se pensar que, como no caso de
onda sonora, ou onda num fluido, a propriedade ondulatório é o efeito co-
operativo de muitas partículas. Ou seja, no caso de ondas eletromagnética,
pode se imaginar que o fenômeno ondulatório é a consequência de movomento
coletivo de muitos fótons. Certa forma, isto não é errado pois numa onda
eletromagnética clássica, milhares de fótons estão envolvidos.
Exercício: Estime quantos fótons estão sendo emitidos por segundo de uma
lampada de 100W. Considere a lampada emite a luz monocromática de
comprimento de onda 5000 A˚.
Mas a situação não é tão simples assim. Lembre o caso de onda asso-
ciada com o elétron do átomo de Hidrogênio. A onda neste caso se refere
a uma única partícula! Inicialmente, o de Broglie, ou até Schrödinger que
propós a equação de movimento para função de onda, pensaram que a onda
é da matéria, ou seja, o elétron é uma existência como um meio contínuo,
e este meio contínuo que apresenta o fenômeno ondulatório. Mas, este tipo
de interpretação não é compatível com vários fatos obervacionais, por ex-
emplo, o processo de espalhamento de Compton. Aí, o eletron comporta
como se fosse uma única partícula, e não como meio contínuo. Foi M.Born
que introduziu o conceito de probabilidade na interpretação desta função de
onda da matéria. Nesta interpretação, a propriedade de onda de de Broglie
para uma partícula está associada com a probabilidade de se encontrar esta
27
partícula numa posição. Na próximia seção, vamos analizar este aspecto mais
em detalhe.
2 Função de Onda e Fenômeno de Interfer-
ência
Na seção anterior, vimos que o comportamento de uma partícula microscópica
é descrita em termos de uma onda que chamamos de função de onda. Aqui,
vamos estudar um pouco mais detalhadamente sobre a função de onda asso-
ciada a uma partícula.
2.1 Função de Onda como Amplitude de Probabilidade
Vamos considerar uma experiência de espalhamento de fluxo de eletrons por
uma cristal (Davisson e Germer). Pela analogia com o caso de espalhamento
de onda eletromagnética (luz) pela rede de difração, o padrão da interferência
observda com os máximos da intensidade,
h
pd
= sin θ, (38)
sugere que a intensidade de elétrons espalhados deve ser escrita em termos
de uma amplitude,
I = |ψ(r, t)|2 ,
onde ψ deve ser dada por uma superposição das ondas esféricas geradas em
cada ponto da rede,
ψ(r, t) =
X
ψl(r, t)
com
ψl ∼
1
|r − rl|e
−iωt+ik|r−rl|.
Aqui, rl é a posição de l − esima rede (ver a Figura abaixo).
Usando a relação de de Broglie, o número de onda k e a frequência ω são
relacionados com o momento e a energia da partícula, respectivamente,
k = p/~,
ω = E/~,
28
sendo p = |p| é o modulo do momento de elétron e E a energia. Podemos
obter a padrão de interfefência na intensidade, Eq.(38), exatamente da mesma
maneira do caso de uma onda eletromagnética.
A questão é, “o que é esta onda no caso de elétron”? O que representa
a amplitide, ou seja a função de onda ψ? No caso de Equação de Maxwell,
sabemos que a amplitude representava os campos elétrico e magnético. No
caso de um fluxo de elétrons, uma idéia natrual para ψ seria a “amplitude” da
densidade, já que I representa a densidade de de eletrons espalhados. Nesta
visão, estariamos considerando o fenômeno de onda como consequência do
efeito coorperativo de muitos eletrons. Representamos esta onda pela função
ψ. Quando se trata de um feixe de elétrons que contémmilhares de partículas,
a consideração acima parece ser razoável e compreensível.
Mas, note que a experiência do tipo Davisson-Germer pode ser feito com
a intensidade do feixe arbitrariamente reduzida de tal forma que observamos
eletrons espalhados um a um e não como milhares deles. Isto é, em vez de
utilzar um feixe de eletrons, podemos fazer uma série de experiências em que
os elétrons são lançados um a um, e registramos cada eletron separadamente
numa chapa fotográfica. Neste caso, para cada processo de espalhamento,
obseriamos um único elétron espalhado num certo ângulo θ. Naturalmente
não há distribuição de intensidade,nem padron de interferência cada uma das
chapas. O eletron é apenas um ponto na chapa, o qual seria manifestamento
de natureza corpúscula do elétron. Então onde foi o comportamento de onda?
Sera que a redução da intensidade, ou a execução de medição de elétrons um
a um destroi o padrão de interferência?
Uma surpresa é que quando superpormos todas as chapas, a densidade
de pontos acumulados mostra um padrão de interferência exatamente igual
aquele observado no caso da experiência feita com o fluxo de eletrons! O
comportamento ondulatório não é perdido, mesmo que se faça a experiência
de espalhamento de elétron separadamente. Este resultado mostra clara-
mente que a propriedade ondulatória não é uma propriedade cooperativa de
muitos elétrons, mas sim, uma propriedade associada a cada elétron. Esta
propriedade se manifesta somente estatistícamente. Em outras palavras, a
propriedade ondulatória de um estado de elétron (no exemplo acima, o estado
de eletron espalhado pela rede cristalina) aparece no resultado estatístico dos
muitos elétrons que pertencem a este estado.
Podemos resumir a situação como:
• A função de onda ψ representa um estado de elétron, mas a natureza
29
ondulatória ( i.e., a forma de ψ distribuida no espaço) só se manifesta
quando acumular as medidas de vários elétrons.
Quando falamos que o estado de um elétron é dado pela uma função de
onda ψ, estamos nos referindo ao fato de que as propriedades desta partícula
são determinadas probabilisticamente pela função ψ e não necessariamente
fornece a previsão de algum valor específico de uma quantidade física ob-
servável deste elétron.
O ponto importante que deve ser emfatizado é que, para um elétron de
um dado estado ψ, uma observação deste eletron em geral vai alterar o seu
estado. Isto é claro, pois a descrição do estado é probabilistica e, portanto,
uma vez obtida a informação, o eletron não necessariamente vai pertencer
mais no mesmo estado ψ. Isto em geral ocorre quando se trata de um estado
probabilistico. Por exemplo, vamos considerar um bilhete de loteria, tipo
raspadinha. Descrevemos o estado deste bilhete em termos de probabilidade
de acertar o prêmio. Antes de raspar o bilhete, o estado dele seria descrita
pela probabilidade P = 1/n, onde n é o número total dos bilhetes emitidos.
Mas, após a raspagem e verificou-se que se este bilhete não acertou o prêmio,
o estado deste bilhete (acabou de ser confirmado que não acertou) se torna
ao estado com probabilidade P = 0. Pelo contrário, se acertar, o estado se
torna se descrito com a probabilidade P = 1.
Para verificar se o estado geral de um bilhete é descrito pela probabilidade
P = 1/n, temos que repetir o sorteiro muitas vezes. Assim, a afirmação prob-
abilistica se confirma só se repetimos sorteios sobre muitos bilhetes. Cada
sorteio, o bilhete sorteado tem que ser descartado. O processo de observação
na mecânica quântica tem este aspecto. Ou seja, para determinar o estado
de um elétron representado pela uma função de onda ψ, temos que preparar
muitos eletrons no mesmo estado e repetir as observações, descartando cada
elétron observado.
Vamos formular mais quantitativamente. Postulamos que:
• O estado de um elétron4 num dado instante t é completamente deter-
minado pela uma função (em geral complexa),
ψ(r)
4Aqui, só para fixar a idéia, falamos de um elétron, mas pode ser qualquer partítula
microscópica.
30
que determina a amplitude de probabilidade de se encontrar esta partícula
na posição r5. Ou seja, a probabilidade de encontrar esta partícula num
elemento de volume d3r é dada por
dP = |ψ(r)|2 d3r.
Já que a probabilidade total de se encontrar a partícula no espaço in-
teiro deve ser um (i.e., a partícula deve estar em alguma lugar), devemos
ter Z
dP =
Z
|ψ(r)|2 d3r = 1,
ou seja a função de onda deve ser normalizada.6
Exercícios: Normalize as seguintes funções de ondas onde r = |r| é a coordenada
radial.
1.
ψ = e−r
2/2σ,
2.
ψ =
1
r2 + r20
,
5Já que o estado pode variar em cada instante, a função de onda depende também no
tempo e, portanto, deveriamos escrever mais precisamente
ψ(r; t).
Mas aqui, para emfatizar o conceito de “estado”, omitimos a dependência temporal da
função de onda.
6Se uma função for não normalizada, podemos sempre normalizar-a por,
ψ → 1√
N
ψ,
onde
N =
Z
|ψ(r)|2 d3r.
Neste sentido qualquer fator constante não altera o estado da partícula.
ψ ∼ αψ
31
3.
ψ = Θ(R− r),
onde Θ(x) é a função degrau de Heaviside, Θ(x) = 1 para xi0, e
Θ(x) = 0 para x < 0.
2.2 Valor esperado de posição
Para uma função de onda normalizada, chamaremos a quantidade,
ρ(r) ≡ |ψ(r)|2 = ψ(r)∗ψ(r),
a densidade de probabilidade. Com esta densidade de probabilidade, podemos
calcular valor esperado (valor médio) de, por exemplo, posição. O valor es-
perado de posição fica,
hri =
Z
d3r r ρ =
Z
d3r r |ψ|2
=
Z
d3r r ψ(r, t)∗ψ(r, t),
ou, em termos de componentes,
hxi =
Z
d3r x ρ =
Z
d3r x ψ(r, t)∗ψ(r, t),
hyi =
Z
d3r y ρ =
Z
d3r y ψ(r, t)∗ψ(r, t),
hzi =
Z
d3r z ρ =
Z
d3r z ψ(r, t)∗ψ(r, t).
Em geral, definimos o valor esperado de uma quantidade que depende apenas
da posição O = O(r) é dado por 7
hOi ≡
Z
d3r O(r) ψ(r, t)∗ψ(r, t) =
Z
d3r ψ(r, t)∗O(r) ψ(r, t). (39)
7É importante lembrar sempre que, quando falamos em valor esperado de alguma coisa,
digamos O (chamaremos de observável), estamos referendo nos as repetições de medidas
deste observável sobre um conjunto de (infinitos) elétrons que estejam num estado identico.
Mas isto não quer dizer que tem que ter tal conjunto de fato. O significado de valor
esperado seria, “se fizessemos a série de (infinitas) medições, teriamos o valor esperado
dado por..”.
32
Exercícios: Prove as seguintes afirmações:
1. O valor de esperado de uma constante é a própria constante, i.e.,
hci = c.
2. O valor esperado de soma das duas quantidades é a soma dos
valores esperados de cada um.
hO1 +O2i = hO1i+ hO2i.
Exercícios: 1. Mostre que o valor esperado de posição é nulo para uma
função de onda simétrica em relação a origem. Também mostre
que o valor esperado de posição é nulo para uma função de onda
antisimétrica em relação a origem.
2. Qualquer função pode ser decomposta em parte simétrica e parte
antisimétrica. Assim, considerando a afirmação acima, pode-se
concluir que o valor esperado de posição é nula para qualquer
função de onda ? Se não, porque?
3. Considere uma translação de sistema de coordenadas, digamos o
sistema S para outro sistema S0 tal que
r→ r0 = r +b,
onde b é um vetor constante.
(a) Qual é a função de onda ψ0(r0) no sistema S0, se a função de
onda no sistema S é dada por ψ(r)?
(b) Qual é o valor esperado de posição no sistema S0 quando o
valor esperado de posição no sistema S é dado por hri?
Note que o valor esperado de O não necessariamente o valor mais fre-
quente que aparecem nesta série de medidas. Por exemplo, consideramos a
distribuição de renda por pessoa no Brasil. Seja x a renda de uma pessoa. A
distribuição de renda pode ser expressa em termos de número dN de pessoas
que tenham a renda no intervalo [x, x+ dx], (histograma)
dN = n(x)dx
33
onde n(x) é a altura do histograma. A população total é
N =
Z
n(x)dx,
Assim, podemos considerar a densidade de probabilidade ρ(x) por
ρ(x) ≡ n(x)
N
,
tal que Z
ρ(x)dx = 1.
O significado desta densidade é que a probabilidade (denotamos por P ) de
uma pessoa escolhida arbitrariamente tenha a sua renda entre [x, x+ dx] é
dada por
P [x, x+ dx] = ρ(x)dx.
O valor esperado da renda é definida como sendo o valor da renda por pessoa
quando a renda total fosse distribuida iguamlente. Assim,
hxi = renda total
população
=
R
xn(x)dx
N
=
Z
xρ(x)dx,
ou seja, quando escolher uma pessoaarbitrariamente, ‘espera-se ’que esta
pessoa tenha o rendimento hxi. Mesmo que tenha a flutuação, pelo menos
esperariamos que o rendimento dele não difere tanto deste valor. Sabemos
bem que a realidade não é bem isto. Dependendo da distribuição, uma
pessoa escolhido arbitrariamente pode ter o rendimento bem diferente do
valor médio. Por exemplo, se o pais inteiro for devidido em apenas duas
categorias, muito ricos, e muito pobres. Neste caso, pode não encontrar
nenhuma pessoa que tenha o rendimento igual ao valor médio.
Quando falar em distribuição, uma quantidade importante além do valor
médio é o desvio médio. Uma medida que indica quanto grande a flutuação
dos valores em torno do valor médio é o desvio quadrado médio, e é definido
por
h∆x2i ≡ h(x− hxi)2i =
Z
dx (x− hxi)2 ρ(x). (40)
Exercícios: Para seguintes distribuições, calcule o desvio quadrado médio.
34
1.
ρ(x) ∝ e−λx, 0 ≤ x ≤ ∞
2.
ρ(x) ∝ e−α(x−b)2 , −∞ < x <∞
3.
ρ(r) ∝ r2e−αr2, 0 ≤ r <∞
Exercício: Prove que
h∆x2i = hx2i− hxi2.
2.3 Princípio de Superposição
No caso de ondas eletromagnéticas, vale o princípio de superposição, isto é,
se os campos, E1 e E2 for superposto, o campo resultante é dado por
E = E1 + E2.
É esta superposição dos campos que gera o fenômeno de interferência. Desta
forma, para obter o resulatdo de Davissom-Germer, o mecanismo de super-
posição de ondas é fundamental. Vamos aceitar o seguinte princípio:
• Sejam ψ1 e ψ2 as funções de onda para dois estados possíveis de uma
partícula. Então, a função de onda superposta
ψ = ψ1 + ψ2
corresponde também um estado da partícula.
Para ter a idéia, vamos considerar uma experiência em que um fluxo de
elétrons incide um anteparo com duas fendas uma na posição, digamos A e
outra na posição B. Em primeira lugar, fazemos experiência com apenas a
fenda A aberta, fechando a fenda B. Registramos a intensidade dos elétrons
que atinge a um outro anteparo atráz desta fenda como ilustrado na Fig.
3-a. Na outra experiência, registramos a intensidade dos elétrons com a
fenda B aberta, mas a fenda A fechada (Fig.3-b). Na terceira experiência,
registramos a intensidade dos eletrons com ambas fendas abertas (Fig.3-
c). O estado da última experiência corresponde a superposição das duas
experiências anteriores. Neste caso, a função de onda é a soma das funções
35
de ondas das experiências enteriores. Vejamos que a curva da intensidade no
caso de duas fendas abertas não é a superposição das intensidades de cada
experiências separadas,
|ψA+B|2 = |ψA + ψB|2 6= |ψA|2 + |ψB|2 . (41)
Esta diferênça é a característica fundamental do fenômeno quântico. Quando
ambas fendas abertas, aparece um padrão de interferência na curva de inten-
sidade.
Como discutimos anteriormente, esta padrão de interferência não é por
causa de interferência de muitos elétrons. Podemos fazer a experiência regis-
trando elétrons um a um em cada placa fotográfica. O padrão da interferência
emerge quando superpomos todos os placas fotograficas e vejamos os pontos
acumalos. Sendo assim, pode-se pensar seguinte modo. Quando fazemos as
experiências para cada um dos elétrons, já que cada elétron nunca passaria
as duas fendas ao mesmo tempo, os elétrons devem estar passando aleato-
riamente uma das fendas, A ou B. Então, podemos fechar uma das fendas
A ou B aleatoriamente com mesma probabilidade, e devemos ter o mesmo
resultado. Mas neste caso, teremos a intensidade final é a simples soma das
intensidades de cada caso,
I = IA + IB = |ψA|2 + |ψB|2 , (42)
como é de se esperar. A diferênça entre Eqs.(41) e (42) indica que o raçocínio
de que cada um dos elétron passa apenas uma das fendas é errado. Mesmo
sendo apenas um elétron, ele percebe a presença de duas fendas abertas!
Os dois pontos, isto é,
1) vale o princípio de superposição para função de onda,
2) a função de onda ψ(r) é amplitude de probabilidade de encontrar a
partícula na posição r,
resumem a essência da dualidade onda-partícula. Uma partícula encontra
se localizado num ponto quando observamos sua posição, mas sua dinâmica
comporta como se fosse um objeto não localizado. Em outras palávras, não
podemos considerar um trajetório para movimento de uma partícula. Na
verdade, a situação é pior. Enquando não observada, não há posição da
partúcula definida!
A afirmação acima pode aparentar absurdo. Uma partícula ponteforme
passa ao mesmo tempo as duas fendas simultaneamente. Isto contradiz com-
pletamente a imagem clássica de uma partícula ponteforme, que teria uma
36
única trajetória. Mas, por outro lado, a idéia de que uma partícula ponte-
forme tem que obdescer uma trajetória pode ser um preconceito criado por
nós que observamos apenas fenômenos macroscópicos!
2.4 Estado de Momento e Princípio de Incerteza
Segundo deBroglie, uma partícula de momento p é representada pela uma
onda plana,
ψp(r) ∼ eip·r/~.
Inversamente, para uma onda plana de comprimento de onda λ, uma partícula
de momento p = h/λ está associada. Curiosamente, neste caso, a densidade
de probabilidade de encontrar a partícula fica constante,
ρ(r) = |ψp(r)|2 = const.
Isto é, a partícula estaria em qualquer lugar. O desvio quadrado médio da
posição fica infinito,
h∆r2i→∞. (43)
Exercícios: Verifique a afirmação acima.
Para uma função de onda geral, ψ(r), vamos considerar sua transformada
de Fourier,
∼
ψ(k) =
1
(2π)3/2
Z
d3r e−i
k·r ψ(r), (44)
e seu inverso,
ψ(r) =
1
(2π)3/2
Z
d3k e+i
k·r ∼ψ(k). (45)
Podemos re-escrever estas relações em termos de p por
∼
ψ(p) =
1
(2π~)3/2
Z
d3r e−ip·r/~ ψ(r), (46)
e
ψ(r) =
1
(2π~)3/2
Z
d3p e+ip·r/~
∼
ψ(p). (47)
37
O estado expressa pela Eq.(47) pode ser visto como uma superposição de
ondas planas,
e+ip·r/~
com respectiva amplitude
∼
ψ(p).
Pela propriedade de transformada de Fourier, vale a igualdade de Parseval,Z
d3r |ψ(r)|2 =
Z
d3p
¯¯¯∼
ψ(p)
¯¯¯2
. (48)
As Eqs.(47) e (48) sugere que a quantidade
¯¯¯∼
ψ(p)
¯¯¯2
seja a densidade de prob-
abilidade para a partícula esteja no estado da onda plana e+ip·r/~. Ou seja,
quando a medição do momento de elétron for feita, a densidade de prob-
abilidade de ser encontrado no estado de momento p é dada por
¯¯¯∼
ψ(p)
¯¯¯2
.
Esta hipótese pode ser verificada experimentalmente e de fato verificamos o
seguinte afirmação:
• A transformada de Fourier, Eq.(46) é a amplitude de probabilidade
para encontrar o elétron com momento p.
A afirmação acima tem um significado importante. Uma vez conhecemos
a função de onda ψ(r), então, sem fazer as medidas experimentais, podemos
obter a amplitude de probabilidade em termos de momento,
∼
ψ(p), e vice-
versa. Basta fazer a transformação de Fourier, uma operação matemática.
Ou seja, a função de onda em posição já contém a informação sobre momento
também. Podemos explorar este fato.
Sabendo a densidade de probabilidade em momento, podemos calcular o
valor esperado do momento por
hpi =
Z
d3p p
¯¯¯∼
ψ(p)
¯¯¯2
=
Z
d3p
∼
ψ(p)∗ p
∼
ψ(p)
38
Podemos expressar o valor esperado do momento acima em termos da função
de onda ψ(r). Para isto, substituimos a Eq.(46) à expressão acima,
hpi =
Z
d3p
"
1
(2π~)3/2
Z
d3r1 e−ip·r1/~ ψ(r1, t)
#∗
p
"
1
(2π~)3/2
Z
d3r2 e−ip·r2/~ ψ(r2, t)
#
=
1
(2π~)3
Z
d3p
Z
d3r1
Z
d3r2 ψ(r1, t)∗ e+ip·r1/~ p e−ip·r2/~ ψ(r2, t)
=
1
(2π~)3
Z
d3r1
Z
d3r2 ψ(r1, t)
∗
·Z
d3p p e+ip·(r1−r2)/~
¸
ψ(r2, t).
(49)
A quantidade dentro de [ ] da expressão acima ficaZ
d3p p e+ip·(r1−r2)/~ =
Z
d3p


px
py
pz

 e+ip·(r1−r2)/~
=
~
i
Z
d3p


∂/∂x1
∂/∂y1
∂/∂z1

 e+ip·(r1−r2)/~
=
~
i
∇1
Z
d3p e+ip·(r1−r2)/~
=
~
i
∇1h¡
2πh¯
¢3
δ(r1 − r2)
i
, (50)
onde
∇1 ≡


∂/∂x1
∂/∂y1
∂/∂z1

 .
Substituindo a Eq.(50) à Eq.(49) temos
hpi =
Z
d3r1
Z
d3r2 ψ(r1)∗
~
i
∇1δ(r1 − r2) ψ(r2)
=
Z
d3r1 ψ(r1)∗
~
i
∇1
Z
d3r2 δ(r1 − r2) ψ(r2)
=
Z
d3r1 ψ(r1)∗
~
i
∇1ψ(r1)
=
Z
d3r ψ(r)∗
~
i
∇ψ(r). (51)
39
Esta é a expressão do valor médio de momento (vetor) em termos de função
de onda ψ(r). O valor esperado de componento x do momento p para o
estado é dado naturalmente
hpxi =
Z
d3r ψ(r)∗
~
i
∂
∂x
ψ(r). (52)
Exercícios: Mostre Z ∞
−∞
eik(x−x
0)dk = 2πδ(x− x0),Z ∞
−∞
e
i
~ p(x−x
0)dp = 2π~δ(x− x0),Z
d3p e
i
~ p·(r−r0) = (2π~)3 δ3 (r − r0)
A comparação desta expressão com a Eq.(39) sugere que o momento de
partícula não é um número, mas comporta como sendo um operador de
derivada que atua sobre a função de onda em posição,
p→ ~
i
∇. (53)
Um cálculo direto mostra também que
hp2i ≡
Z
d3p p2
¯¯¯∼
ψ(p)
¯¯¯2
=
Z
d3p
∼
ψ(p)∗ p2
∼
ψ(p)
=
Z
d3r ψ(r)∗
µ
~
i
∇
¶2
ψ(r). (54)
Exercícios: Prove a Eq.(54).
Assim, o desvio quadrado médio de momento pode ser calculado por,
h∆p2i = hp2i− hpi2.
Vamos ver um exemplo. Para simplificar as contas, escolhemos um problema
unidimensional e suponha que a função de onda de uma partícula é dada por
uma distribuição Gaussiana,
ψ(x) =
³a
π
´1/4
e−ax
2/2. (55)
40
Exercícios: Verifique a normalização da função de onda acima.
O valor esperado de x é nulo pois a função de onda é simétrica:
hxi =
Z ∞
−∞
x |ψ(x)|2 dx = 0.
O desvio quadrado médio fica,
h∆x2i =
³a
π
´1/2 Z ∞
−∞
dx x2e−ax
2
=
³a
π
´1/2 ∂
∂ (−a)
Z ∞
−∞
dx e−ax
2
=
³a
π
´1/2 ∂
∂ (−a)
r
π
a
=
1
2a
. (56)
Por outro lado, temos
hpi =
Z
d3r ψ(x)∗
~
i
∂
∂x
ψ(x)
=
³a
π
´1/2 ~
i
Z ∞
−∞
dx (−ax) e−ax2 = 0,
e
h∆p2i = hp2i− hpi2
= hp2i =
Z
d3r ψ(x)∗
µ
~
i
∂
∂x
¶2
ψ(x)
=
³a
π
´1/2
(−~2)
Z ∞
−∞
dx
¡
−a+ a2x2
¢
e−ax
2
=
³a
π
´1/2
(−~2)
µ
−
√
π
2
¶√
a =
~2
2
a. (57)
Das Eqs.(56) e (57), temos
h∆x2i h∆p2i = ~
2
4
. (58)
Exercícios: Desenvolva todas as contas acima.
A Eq.(58) mostra que o produto das indeterminações em momento e em
posição não podem ser reduzidas arbitrariamente para o estado dado pela
41
função de onda Eq.(55). Se escolher a muito grande, podemos reduzir a
incerteza em posição, mas em compensação, a incerteza em momento cresce
linearmente em a. Inversamente, se escolhemos a bem pequeno de tal forma
que a incerteza em momento seja mínima, a incerteza em posição cresce.
Para um estado mais geral, podemos provar8 que a relação entre os desvios
quadrados médios em posição e em momento fica
­
∆x2
® ­
∆p2
®
≥ ~
2
4
. (59)
Ou seja, o produto de indeterminações em posição e em momento associado
a um estado nunca pode ser menor que ~/2. Este fato é conhecido como
Princípio de Incerteza, primeiramente introduzido por Heisenberg. O Princí-
pio de Incerteza mostra que, para uma partícula, se localiza a partícula, a
informação sobre momento fica perdida, e se o momento da partícula for de-
terminada, a informação sobre sua posição fica perdida. Em outras palavras,
as medições precisas de posição e momento para uma única partícula não
podem ser feitas simultaneamente. Isto é a razão pela qual no caso de um
estado de onda plana (o estado de momento bem definida, ou seja ∆p = 0),
a indeterminção em posição ficou infinita como ser visto na Eq.(43).
O princípio de Incerteza vale para cada grau de liberdade do sistema. Isto
é, para uma partícula em 3 dimensão, temos
­
∆x2
® ­
∆p2x
®
≥ ~
2
4
,
­
∆y2
® ­
∆p2y
®
≥ ~
2
4
,
­
∆z2
® ­
∆p2z
®
≥ ~
2
4
.
O Princípio de Incerteza é uma consequência inevitável da dualidade
onda-partícula e as vezes muito útil de entender qualitativamente certos com-
prtamentos dos fenômenos quânticos. Por exemplo, a energia cinética de uma
partícula de massa m em uma dimensão pode ser escrita como
K =
1
2m
p2.
8Ver a sessão mais adiante.
42
Neste caso, se esta partícula esteja confinada num intervalo espacial de
largura L,
−L
2
< x <
L
2
,
então, por definição,
∆x ' L,
e, portanto,
h∆p2i ∼
µ
~
L
¶2
.
No centro de massa do sistema, hpi = 0. Consequentemente,
­
∆p2
®
= hp2i.
Assim, temos
hKi =
¿
1
2m
p2
À
=
1
2m
­
∆p2
®
∼ 1
2m
µ
~
L
¶2
.
Ou seja, quanto mais espremido o espaço, a energia cinética da partícula sob
inversamente proporcional a quadrado da dimensão do espaço. Isto certa
forma explica porque o elétron ao volta de núcleo de Hidrogênio não se colapsa
ao origem, pois para localizar o eletron numa regiao perto da origem, precisa-
se cada vez mais alta energia.
Exercícios: Para uma partícula unidimensional, verifique o Pincípio de Incerteza
para cada uma das seguintes funções de onda (N é a constante de
normalização).
1.
ψ(x) = N e−a|x|
2.
ψ(x) = N xe−ax
2
3.
ψ(x) = N e−ax
2+ip0x/~.
43
3 Autovalor e Autoestado de Operadores
Vimos que o estado quântido de uma partícula microscópica é descrita em
termos de uma função de onda. No caso da Mecânica Clássica, o estado
de uma partícula ponteforme é descrita em termos de sua coordenada r e o
momento p. Para um dado estado da partícula, também podemos pensar em
outras quantidades, tais como energia. Estas quantidades são representadas
por números na Mecânica Clássica. Mas, no mundo microscópico, vimos
que os valores destas quantidades não necessariamente são bem definidos.
Por exemplo, para um dado estado ψ (r), as observações da posisão desta
partícula pela chapa não se concentra numa posição bem determinada, mas
distribue de acordo com ψ(r). Então, no caso de Mecânica Quântica, como
expressamos a quantidade física, por exemplo, a posição r ? Para introduzir
o conceito de observável, talvez é útil a visualização de função de onda como
um vetor no espaço de funções.
3.1 Função como Vetor e Operador como Matriz
Para facilitar a visualização, vamos considerar o caso unidimensional. Neste
caso, a função de onda é expressa por ψ (x). Na algebra linear, aprendemos
que uma função pode ser considerada como um vetor num espaço vetorial.
Para visualizar esta afirmação, vamos introduzir a representação em termos
de vetor-coluna
ψ(x)→


...
ψi−1
ψi
ψi+1
...


,
onde
ψi = ψ(xi)
e {−∞, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · ·+∞} são os pontos de varáveis x com intervalo
∆x infinitesimal. Isto é, xi+1 = xi +∆x. Estamos aproximando uma função
contínua pela função de escadas de intervalo infinitesimal. Nesta represen-
44
tação, o produto escalar entre duas funções,Z ∞
−∞
dx ψ∗ (x)φ(x) → ∆x
X
i
ψ∗i φi
= ∆x
¡ · · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · · ¢


...
φi−1
φi
φi+1
...


.
Ainda nesta representação, é importante notar que a função derivada
dψ/dx pode ser expressa como
dψ
dx
→


...
(ψ(xi−1)− ψ(xi−2)) /∆x
(ψ(xi)− ψ(xi−1)) /∆x
(ψ(xi+1)− ψ(xi)) /∆x
...


=
1
∆x


. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . . . . . . . .




...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...


Isto é, um operador diferencial d/dx corresponde a uma matriz que tem +1
em todo diagonal e −1 em subdiagonal abaixo e dividido por ∆x. Vamos
denotar essa matriz que corresponde a derivada por
ˆ
D =
1
∆x


. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . . . . . . . .


45
É interessante observar que o quadrado destamatriz,
ˆ
D
2
=
1
∆x2


. . .
. . . 0
. . . −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 0
0 −1 1 . . .
. . . . . . . . .


2
=
1
∆x2


. . .
. . . 0
. . . 1 −2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 1
0 1 −2 . . .
. . . . . . . . .


2
coincide a expressão da segunda derivada
d2
dx2
ψ =
1
∆x
µ
ψ(x+
1
2
∆x)− ψ(x− 1
2
∆x)
¶
=
1
∆x
½
ψ(x+∆x)− ψ(x)
∆x
− ψ(x)− ψ(x−∆x)
∆x
¾
=
1
∆x2
(ψ(x+∆x)− 2ψ(x) + ψ(x−∆x)) .
Da Eq.(52), podemos escrever o valor médio do momento num estado
46
ψ (x) como
hpi = ∆x ¡ · · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · · ¢ Pˆ


...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...


(60)
Nesta representação, o operador de momento também corresponde à uma
matriz,
pˆ→ Pˆ .
Por outro lado, a posição, x também pode ser entendido como um oper-
ador que multiplica x para uma função de onda.
x : ψ(x)→ xψ(x)
Em termos da representação de vetor-coluna, temos
xψ(x)→


...
xi−1ψi−1
xiψi
xi+1ψi+1
...


=


. . .
. . . 0
. . . 0 xi−1 0
0 0 xi 0
0 0 xi+1 0
0 −1 xi+2
. . .
. . . . . . . . .




...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...


ou seja, uma matriz diagonal, onde i-esimo elemento diagonal é dada por xi.
47
Assim, podemos associar uma matriz para a coordenada,
x→ Xˆ =


. . .
. . . 0
. . . 0 xi−1 0
0 0 xi 0
0 0 xi+1 0
0 −1 xi+2
. . .
. . . . . . . . .


. (61)
O valor esperado da posição fica então
hxi = ∆x ¡ · · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · · ¢ Xˆ


...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...


(62)
Note que as Eqs.(60) e (62) tem a mesma forma, apenas substituindo a matriz
Pˆ por Xˆ.
Vamos generalizar o conceito. Vamos postular que qualquer quantidade
física deve corresponder à uma matriz nesta representação. Em geral, esta
matriz tem todos os elementos, tipo,
O→ Oˆ =


. . .
Oi−1,i−1 Oi−1,i Oi−1,i+1
Oi,i−1 Oi,i Oi,i+1
Oi+1,i−1 Oi+1,i Oi+1,i+1
. . . . . .


.
48
Ainda postulamos que o valor médio deste observável seja dado por
hOi = ∆x ¡ · · · ψ∗i−1 ψ∗i ψ∗i+1 · · · ¢ Oˆ


...
ψi−2
ψi−1
ψi
ψi+1
ψi+2
...


.
Em termos de função de onda contínua, a expressão correspondente fica
hOi =
Z
d3r ψ∗(r)Oψ(r),
onde O é o operador correspondente a matriz Oˆ. Por exmplo, O pode ser
o momento, posição, a energia, ou qualquer quantidade física associada a
partícula.
Exercício: Expresse o valor médio da energia cinética de uma partícula.
Embora o valor esperado é um número, naturalmente um operador não é
um número. Então, qual é de fato os valores observáveis correspondente ao
este operador? Para responder esta pergunta, primeiramente vamos consid-
erar o que será o estado da partícula após da observação desta quantidade.
Como vimos, lógo após a observação desta observável e verificando a
partícula tenha sido encontrado o valor, digamos oα. Vamos denotar por
ψα a função de onda do estado daquela partícula que acabou de ser obser-
vada. Juntamos todas as partículas para quais a quandidade O tenha sida
obserbada como oa. Todas as partículas estão no estado representado pela
função de onda ψa. Vamos planejar uma série de experiências que medem
novamente o valor da mesma observável O para estas partículas no estado
ψa. Neste caso, esperamos obviamente todos os valores observados devem
ser igual a oa. Em outras palavras, para o estado logo após de ter observado
o valor oa para um observável, a medição em seguida do mesmo observável
deve fornecer o mesmo valor oa. Assim, o estado ψa é um estado para qual a
medição da quantidade O resulta certamente o valor oa. Vamos chamar este
tipo de estado como autoestado do observável.
49
• Autoestado de um observável = estado para qual temos certeza de que
o observável tem um determinado valor. Exemplo: uma onda plana,
ψ ' e i~ p0x é um aotoestado do momento p.
Para autoestado de de um observável O, o desvio quadrado médio deve
ser nulo, pois não há flutuação nos valores observados para O. Isto pode ser
expressa matematicamente por
h∆O2i =
Z
d3rψ∗a(r)(O − oa)2ψa(r)→ 0. (63)
Note que a equação pode ser satisfeita se a função de onda ψa tenha a pro-
priedade,
Oψa = oaψa. (64)
Em outras palavras, a aplicação do operador O na função de onda é propor-
cional a própria função ψa com a constante multiplicativa oa.
Vamos considerar o caso de momento de uma partícula como a quantidade
observada (caso unidimensional).
O→ pˆ ≡ ~
i
∂
∂x
,
e p0 seja o valor de momento observado. Neste caso, a equação (??) fica
~
i
∂
∂x
ψp0(x) = p0ψp0(x). (65)
onde denotamos por ψp0(x) a função de onda de partícula após de ser obser-
vada seu momento como p0. A Eq.(65) é uma equação diferencial em x, e
podemos facilmente sua solução como
ψp0(x) = N e
i
~ p0x, (66)
que é exatamente a onda plana, representando a função de onda da partícula
com momento bem definido como p0.
Uma equação da forma Eq.(??) é chamada de equação de autovalor, e
oa, neste caso, é chamado de autovalor do operador O. A Eq.(65) é então a
equação de autovalor do operador de momento pˆ e p0 é o seu autovalor. A
função de onda que satisfaz a equação de autovalor é chamado de autofunção
(ou auto-estado, se refere ao estado). Assim, a onda plana, Eq.(66), é a
autofunção do momento com o autovalor p0.
50
Quando não existe nenhuma condição contorno para funções de onda,
qualquer valor real de p0 pode ser um autovalor do momento na Eq.(65).
Mas dependendo do operador, isto não acontece em geral.
O que temos mais interesse é o operador de energia, isto é o Hamiltoniano.
A equação de autovalor para o Hamiltoniano pode ser escrita como
HψEα = EαψEα (67)
onde ψEα é a autofunção de energia, Eα é o seu autovalor. Normalmente,
a equação de autovalor determina os possíveis valores dos autovalores e as
respectivas autofunções.
Na representação matricial, a equação de autovalor tem a forma,
Oˆ


...
ψi−1
ψi
ψi+1
...


= o


...
ψi−1
ψi
ψi+1
...


onde o é um dos autovalores do O. Desta forma, vemos que a estrutura de
equação de autovalor da Mecânica Quântica é identica ao problema de auto-
valores de um matriz. Esta forma de ver a Mecânica Quântica foi primeira
vez introduzida por Heisenberg, e chamada de Mecânica Matricial. Como foi
indicado acima, a Mecânca Matricial e a Mecânica Ondulatória são equiva-
lentes.
Exercício: Seja λ um dos autovalor de um operador O. Mostre que λ2 é
o autovalor do operador O2. Mosrtre que, em geral, para o operador
definido por f (O), f (λ) é autovalor.
Na verdade, para ser um observável, o operador correspondente deve sat-
isfazer certas propriedades. Discutiremos este ponto mais adiante.
4 Dinâmica Quântica
4.1 Equação de Schödinger
A equação de movimento no caso da Mecânica Newtoniana determina a tra-
jetória de uma partícula. No caso da Mecânica Quântica, a dinâmica de uma
51
partícula deve ser descrita pela variação temporal da sua função de onda.
Mas, já sabemos que, se observamos a partícula num instante, o estado de-
pois da observação não permanecerá no mesmo estado antes da observação.
Assim, a dinâmica quântica deve ser entendida também em termos de prob-
abilidade.
Como um estado de uma partícula varia em tempo? Esta questão foi
resolvida por E.Schrödinger. Vamos considerar, por simplicidade, o caso de
uma partícula unidimensional com sua função de onda
ψ(x, t).
Qualquer função de onda pode ser descrita em termos de transformada de
Fourier,
ψ(x, t) =
1
2π~
Z
dE
Z
dp Φ(E, p) e−
i
~ (Et−px), (68)
e inversamemente