APOSTILA CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS - COMPONENTES SIMÉTRICAS

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CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 1 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
UNIDADE 5.2 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS 
5.2.1 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS 
Cargas trifásicas são definidas como não equilibradas se pelo menos uma impedância de uma das 
fases difere das restantes. 
5.2.2 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS EM ∆ 
 
• Inicialmente, calculam-se as correntes de fase dadas por: 
ab
ab
ab Z
VI
&
&
&
= ; 
bc
bc
bc Z
VI
&
&
&
= ; 
ca
ca
ca Z
VI
&
&
&
= . 
• A seguir, calculam-se as correntes de linha dadas por: 
caabaa III &&& −=' ; abbcbb III &&& −=' ; bccacc III &&& −=' . 
 
Exemplo 5.2.1 - Para a seqüência de fases ab-ca-bc (inversa), calcular as correntes de fase e de linha dado a 
tensão de linha °∠= 0100abV& volts e as impedâncias de fase: 
 
.020020
;87,36534
;13,531086
Ω°∠=+=
Ω°−∠=−=
Ω°∠=+=
jZ
jZ
jZ
ca
bc
ab
&
&
&
 
 
;0100 VVab °∠=& 
;120100 VVca °−∠=& 
.120100 VVbc °∠=& 
 
Correntes de fases: 
;13,5310
13,5310
0100 A
Z
VI
ab
ab
ab °−∠=
°∠
°∠
==
&
&
&
 
;87,15620
87,365
120100 A
Z
VI
bc
bc
bc °+∠=
°−∠
°∠
==
&
&
&
 
.1205
020
120100 A
Z
VI
ca
ca
ca °−∠=
°∠
°−∠
==
&
&
&
 
Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de fase e que a seqüência de fases destas 
correntes foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação. 
Correntes de linha: 
;35,2326,9120513,5310
'
AIII caabaa °−∠=°−∠−°−∠=−= &&& 
;97,14609,2913,531087,15620
'
AIII abbcbb °∠=°−∠−°+∠=−= &&& 
.48,3703,2087,156201205
'
AIII bccacc °−∠=°∠−°−∠=−= &&& 
Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de linha e que a seqüência de fases destas 
correntes foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação. 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 2 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
5.2.3 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS EM Y 
Transforma a ligação Y na sua ligação ∆ equivalente e, a seguir, proceda de maneira similar ao item 
anterior. 
Exemplo 5.2.2 – Para a carga trifásica ligada em Y e tensões aplicadas na seqüência inversa e mostradas, a 
seguir, calcule as correntes de linha. 
 
.9020200
;4514,141010
;010010
Ω°−∠=−=
Ω°∠=+=
Ω°∠=+=
jZ
jZ
jZ
co
bo
ao
&
&
&
 
 
;90212 VVab °∠=& 
;150212 VVbc °−∠=& 
.30212 VVca °−∠=& 
 
Impedâncias da ligação ∆ equivalentes à ligação Y: 
;4521,21
9020
4526,424 Ω°∠=
°−∠
°−∠
=
++
=
co
aococoboboao
ab Z
ZZZZZZZ
&
&&&&&&
&
 
;4543,42
010
4526,424 Ω°−∠=
°∠
°−∠
=
++
=
ao
aococoboboao
bc Z
ZZZZZZZ
&
&&&&&&
&
 
;9030
4514,14
4526,424 Ω°−∠=
°∠
°−∠
=
++
=
bo
aococoboboao
ca Z
ZZZZZZZ
&
&&&&&&
&
 
Correntes de fases: 
;4510
4521,21
90212 A
Z
VI
ab
ab
ab °∠=
°∠
°∠
==
&
&
&
 
;1055
4543,42
150212 A
Z
VI
bc
bc
bc °−∠=
°−∠
°−∠
==
&
&
&
 
.6007,7
9030
30212 A
Z
VI
ca
ca
ca °∠=
°−∠
°−∠
==
&
&
&
 
Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de fase e que a seqüência de fases destas 
correntes foi invertida com relação aquelas das tensões da alimentação. 
Correntes de linha: 
;1566,36007,74510
'
AIII caabaa °∠=°∠−°∠=−= &&& 
;1,12555,1445101055
'
AIII abbcbb °−∠=°∠−°−∠=−= &&& 
.21,6697,1110556007,7
'
AIII bccacc °∠=°−∠−°∠=−= &&& 
Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de linha e que a seqüência de fases destas 
correntes foi invertida com relação aquelas das tensões da alimentação. 
Conclui-se, então, que dependendo do desequilíbrio das impedâncias poderá, inclusive, ocorrer 
mudança da seqüência de fases das correntes com relação à seqüência de fases das tensões que as 
originaram. 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
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Problema 5.2.1 – Calcule aoV& , boV& e coV& no exemplo anterior. 
.8,234,23921,6697,119020
;1,8074,2051,12555,144514,14
;156,361566,3010
'
'
'
VIZV
VIZV
VIZV
cccoco
bbbobo
aaaoao
°−∠=°∠×°−∠==
°−∠=°−∠×°∠==
°∠=°∠×°∠==
&&&
&&&
&&&
 
Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das tensões fase-ponto O (ponto comum das cargas) e que a 
seqüência de fases destas tensões foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação mesmo, 
tendo-se ocorrido, inversão da seqüência de fases das correntes de linha. 
Problema 5.2.2 – Determine as potências dissipadas nas três fases e total no Exemplo 5.2.2. 
.351;097,110;21755,1410;13466,310 222 WPPPPWPWPWP cbaabccba =++==×==×==×= 
Problema 5.2.3 – Inverta as fases das tensões bc caV e V
• •
 
do Exemplo 5.2.2 (tensões aplicadas na seqüência direta) 
e calcule as novas correntes de linha. 
Têm-se as correntes: 
;4510
4521,21
90212 A
Z
VI
ab
ab
ab °∠=
°∠
°∠
==
&
&
&
 
;155
4543,42
30212 A
Z
VI
bc
bc
bc °∠=
°−∠
°−∠
==
&
&
&
 
.6007,7
9030
150212 A
Z
VI
ca
ca
ca °−∠=
°−∠
°−∠
==
&
&
&
 
 
;7566,136007,74510
'
AIII caabaa °∠=°−∠−°∠=−= &&& 
;2,1112,64510155
'
AIII abbcbb °−∠=°∠−°∠=−= &&& 
.9,9953,71556007,7
'
AIII bccacc °−∠=°∠−°−∠=−= &&& 
 
Observe no diagrama fasorial acima as tensões de linha da alimentação e as correntes de linha 
correspondentes ao Exemplo (5.2.2) e ao Problema (5.2.3). O índice (d) está associado à tensão da 
alimentação na seqüência direta e as correntes obtidas. O índice (i) está associado à alimentação na 
seqüência inversa. 
 
5.2.4 – CARGAS COMBINADAS EM ∆ E Y 
Calculam-se os s∆ equivalentes aos Ys e, a seguir, determina-se o ∆ equivalente, procedendo-se, 
então, de maneira similar aos itens anteriores. 
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5.2.5 – O SISTEMA Y-Y SEM CONEXÃO DOS NEUTROS (subíndice duplo) 
Para o circuito abaixo, têm-se as equações de corrente e de tensões: 
 
;0
'''
=++ ccbbaa III &&& ( ) ( )
'''''''' nbnabbbobbnbaaaoaana EEIZZZIZZZ &&&&&&&&&& −=++−++ , 
( ) ( ) .
'''''''' nbncbbbobbnbcccoccnc EEIZZZIZZZ &&&&&&&&&& −=++−++ 
 
5.2.6 – NOTAÇÃO COM SUBÍNDICE SIMPLES 
Para o circuito abaixo, têm-se as equações de corrente e de tensões: 
 
;0=++ cba III &&& ( ) ( ) babbgaag EEIZZIZZ &&&&&&&& −=+−+ , 
( ) ( ) .bcbbgccg EEIZZIZZ &&&&&&&& −=+−+ 
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Exemplo 5.2.3 – Para o circuito do item anterior, dados as tensões e as impedâncias: 
.120000.1866500
;120000.1866500
;0000.10000.1
VjE
VjE
VjE
c
b
a
°∠=+−=
°−∠=−−=
°∠=+=
&
&
&
 
.964,75246,882
;018,60033,605230
;050050
;45284,282020
Ω°∠=+=
Ω°∠=+=
Ω°∠=+=
Ω°∠=+=
jZ
jZ
jZ
jZ
g
c
b
a
&
&
&
&
 
Calcule as correntes de linha, as tensões de fase e de linha na carga. 
Respostas: 
;81,7068,20
;519,152486,22
;841,34024,16
AI
AI
AI
c
b
a
°∠=
°−∠=
°−∠=
&
&
&
 
;828,1305,241.1
;519,1523,124.1
;159,1023,453
VV
VVVV
c
b
a
°∠=
°−∠=
°∠=
&
&
&
 
;655,1454,523.1
;26,97470.1
;527,228,562.1
VV
VV
VV
ca
bc
ab
°∠=
°−∠=
°∠=
&
&
&
 
Problema 5.2.4 – Para o circuito do Exemplo 5.2.3, inseriu-se dois wattímetros: aW percebendo a corrente 
aI& e a tensão abV& na carga e o outro, cW percebendo a corrente cI& e a tensão cbV& na carga. Calcule: 
a) Calcular as leituras de aW e de cW . ( )
( )



=°−°+°−××=−=
=°−−°××=−=
.743.29)81,70)18026,97((cos68,20470.1cos
;8,503.13))841,34(527,22(cos024,168,562.1cos
WIVW
WIVW
ccb
aab
IVccbc
IVaaba
&&
&&
θθ
θθ
 
b) Comparar a soma das leituras de aW e de cW com a soma das potências reais da carga trifásica. 



+≅=×+×+×=++
=+=+
.3,246.4368,2030486,2250024,1620
;8,246.43743.298,503.13
222
cacba
ca
WWWPPP
WWW
 
Observe que mesmo nas cargas desequilibradas, o método dos dois wattímetros continua válido para a 
medição da potência real de uma carga trifásica. 
 
Problema 5.2.5 – Estabelecer as equações 
necessárias para determinar 1I no circuito 
abaixo, sabendo-se que: 
As impedâncias dadas estão em Ωs; 
;105
;10
;10
3
2
1
Ω+=
Ω−=
Ω=
jZ
jZ
jZ
&
&
&
 
.90100
;0100
VE
VE
nb
na
°∠=
°∠=
&
&
 
 
Solução: 
Número de nós = N=4 (nós n, c, d e e); 
Número de equações de correntes independentes = I - 3141 =−=−= N ; 
Equações de corrente: 
214 III &&& −= ; 
325 III &&& += ; 
316 III &&& += . 
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Número de ramos = R – 6 (ramos nae , nd , nbc , cd , ce e de ); 
Número de equações de tensões independentes = T - 336 =−=− IR ; 
Equações de tensões: 
( ) ( )
( ) ( ) .0
;
;
21323212
313233
3211
=−+−−
−=++++
=−+
IZIIZIIZ
EIIZIIZIZ
EIZIZIZ
naan
nbnb
&&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&&&&&&
, 
Resolvendo o sistema de equações acima, obtém-se: AjI °−∠=−−= 58,15109,69,236,51& . 
5.2.7 – O SISTEMA Y-Y COM CONEXO DOS NEUTROS 
 
Sugestão: Correntes de laço ( 1I& , 2I& e 3I& ) onde aaII '1 && = , bbII '2 && = e ccII '3 && = com 1I& , 2I& e 3I& 
retornando pelo neutro. Dessa forma 321' IIIIon &&&& ++= . 
 
5.2.8 – O SISTEMA Y - ∆ 
 
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Determinam-se, inicialmente, as correntes de laço 1I& , 2I& e 3I& . A seguir: 
3
32
31
2
12
1
II
III
III
II
III
II
ca
bc
ab
c
b
a
&&
&&&
&&&
&&
&&&
&&
=
+=
+=
−=
−=
=
 
 
Problema 5.2.6 – Para o sistema Y-∆ acima, com as tensões e as impedâncias: 
.120350.1170.1675
;120350.1170.1675
;0350.10350.1
VjE
VjE
VjE
c
b
a
°∠=+−=
°−∠=−−=
°∠=+=
&
&
&
 
;2050
;0100
;6040
Ω−=
Ω+=
Ω+=
jZ
jZ
jZ
ca
bc
ab
&
&
&
 
.5,09,0
;5,11,0
Ω+=
Ω+=
jZ
jZ
L
g
&
&
 
Calcularam-se as correntes de linha, em ampères: 
a
b
c
I 70,6 20, 4
I 28,5 161,7
I 51,5139,4
•
•
•
= − °
= − °
= °
. 
Pede-se a potência total gerada no gerador trifásico. 
.6,183)4,139120(cos5,51350.1
))7,161(120(cos5,28350.1))4,20(0(cos6,70350.1
kW
Pgerador
=°−°××
+°−−°−××+°−−°××=
 
 
Problema 5.2.7 - Para o mesmo problema anterior, usando a ligação Y equivalente, calcular as tensões e 
correntes ab bc caab bc caV ,V , V , I , I , I
• • • • • •
 e a potência na carga trifásica com ligação triângulo. 
Calculando-se as impedâncias a b cZ , Z e Z
• • •
 da 
estrela equivalente ao ∆ do exercício anterior 
(Problema 5.2.6). Obtém-se: 
 
;64,3375,27;80,2185,53
;42,4415,37;0100
;57,2203,20;31,5611,72
Ω°−∠=Ω°−∠=
Ω°∠=Ω°∠=
Ω°∠=Ω°∠=
cca
bbc
aab
ZZ
ZZ
ZZ
 
 
 
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Cálculo das tensões das fases ao ponto comum (n) das cargas. 
an
bn
cn
V 70,6 20, 4 x20,03 22,57 1.414,12 2.17 1.413,1 j53,55V
V 28,5 161,7 x37,15 44, 42 1.058,78 117, 28 485,3 j941,02V
V 51,5139, 4 x27,75 33,64 1.429,13105,76 388, 2 j1.375,4V
•
•
•
= − ° ° = ° = +
= − ° ° = − ° = −
= ° − ° = ° = − +
 
Cálculo das tensões de linha na carga trifásica. 
ab an nb
bc bn nc
ca cn na
V V V 1.414,12 2,17 1058,78 117,28 2.143 27,65 V
V V V 1.058,78 117, 28 1.429,13105,76 2.318,5 92,4 V
V V V 1.429,13105,76 1.414,12 2,17 2.234,3143,7 V
• • •
• • •
• • •
= + = ° − − ° = °
= + = − ° − ° = − °
= + = ° − ° = °
 
Cálculo das correntes de fase na carga com ligação triângulo. 
;66,2872,29
31,5611,72
65,27143.2 A
Z
VI
ab
ab
ab °−∠=
°∠
°∠
==
&
&
&
 
;4,9218,23
0100
4,925,318.2 A
Z
VI
bc
bc
bc °−∠=
°∠
°−∠
==
&
&
&
 
.5,16549,41
80,2185,53
7,1433,234.2 A
Z
VI
ca
ca
ca °∠=
°−∠
°∠
==
&
&
&
 
Cálculo da potência na carga trifásica com ligação triângulo. 
.13,17549,415018,2910072,2940 222 kWPPPP cabcab =×+×+×=++=∆ 
Problema 5.2.8 - Comparar potência gerada com a potência total consumida no circuito do Problema 5.2.6. 
Potência gerada = 183,6 kW (Problema 5.2.6); 
Potência consumida no gerador = ;845,05,511,05,281,06,701,0 222 kW=×+×+× 
Potência consumida na linha = ;604,75,519,05,289,06,709,0 222 kW=×+×+× 
Potência consumida na carga ∆ = 175,13 kW (Problema 5.2.7); 
Potência total consumida = 0,845 +7,604 +175,13 = 183,6 kW = Potência gerada. 
 
5.2.9 - EFEITOS DA SEQÜÊNCIA DE FASES 
A menos que seja explicitamente informado, a expressão “Seqüência de fases” refere-se à seqüência 
de fases das tensões. Deve-se recordar que, em sistemas não equilibrados, as correntes de linha e de fase têm 
sua própria seqüência de fases que podem ou não ser, iguais à da tensão. Veja Exemplo 5.2.2. Com a 
alternância da seqüência de fases das tensões da alimentação, destacam-se os efeitos seguintes: 
A) - Sistema equilibrado 
1. É invertido o sentido de rotação de motores de indução polifásicos; 
2. No método dos dois wattímetros para medição de potência real, ocorre a permuta de suas leituras; 
3. Porém os módulos de correntes e tensões não são alterados. 
B) - Sistema não equilibrado 
1. Em geral, causará alterações nos módulos bem como nas fases de certas correntes nos ramos; 
2. Porém os Watts e os VARs totais gerados permaneçam os mesmos. 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
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Exemplo 5.2.4 – Observe o efeito da inversão da seqüência de fases 
da tensão de alimentação nos módulos e fases das correntes da 
carga conectada em Υ, indicada ao lado. 
a) Tensões na seqüência inversa (Exemplo 5.2.2): 
;90212 VVab °∠=& ;150212 VVbc °−∠=& .30212 VVca °−∠=& 
;157,3 AI ao °∠=& ;1,1256,14 AIbo °−∠=& .2,660,12 AI co °∠=& 
b) Tensões na seqüência direta (Problema 5.2.3): 
;90212 VVab °∠=& ;30212 VVbc °−∠=& .150212 VVca °−∠=& 
 
;757,13 AI ao °∠=& ;2,1112,6 AIbo °−∠=& .9,995,7 AI co °−∠=& 
5.2.10 – MÉTODO PARA VERIFICAÇÃO DA SEQÜÊNCIA DE FASES DE TENSÕES 
Há dois métodos gerais para a verificação da seqüência de fases de tensão; um, baseado no sentido de 
rotaçãode motores de indução; o outro, em características de circuitos polifásicos não equilibrados. 
5.2.10.1 – Método do Sentido de rotação de motores de indução polifásicos 
Pequenos motores de indução polifásicos, que foram previamente aferidos para uma determinada 
seqüência de fases conhecida, podem ser empregados para verificar a seqüência de fases de um dado 
sistema. O princípio de operação deste método envolve a teoria de campos magnéticos girantes. 
5.2.10.2 – Uso de Características de Circuitos Polifásicos não Equilibrados 
5.2.10.2.1 - Método das duas Lâmpadas 
Definem-se, arbitrariamente, as fases de linha 
a, b, e c para o circuito ao lado. 
Método: Se a lâmpada ‘a’ brilhar mais que a lâmpada 
‘b’, então, a seqüência de fases é ABC (seqüência 
direta) e, caso contrário, é seqüência CBA (inversa). 
Veja comprovação numérica no Exemplo 5.2.5. 
 
 
Exemplo 5.2.5 – Com a finalidade de ilustrar o efeito da inversão 
da seqüência de fases sobre módulos das tensões de fase e de 
correntes de linha, considere o circuito ao lado, onde: 
;0100 VVab °∠=& ;120100 VVbc °−∠=& .120100 VVca °∠=& 
;100 Ω=aoZ& ;100 Ω= jZbo& ;100 Ω=coZ& 
Solução: 
Para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas têm-se as equações: 
 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 10 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
a 1 b 1 2 a b ba 'b '
c b 1 2 b b cc 'b '
1
2
Z I Z (I I ) V (Z Z ) Z 100 j0
100 60Z I 2 Z (I I ) V Z Z Z
100 j100 j100 I 100
j100 100 j100 100 60I
10.000 j20.000 22.360, 7 63, 435
• • • • • • • •
• • • • • • • •
•
•
•
  + + = + +   ⇒ =    °  + + = + 
 +    
= ⇒    + °   
 
∆ = + = °
 
 
Resolvendo para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas, têm-se: 
;435,48864,0646,0573,0000.525,660.18
10010060100
100100 1
11 AjIjj
j
°−∠=−=
∆
∆
=⇒+=





+°∠
=∆
&
&
&&
 
;565,71231,0220,00732,025,660.325,660.3
60100100
100100100 2
22 AjIjj
j
°∠=−=
∆
∆
=⇒+=





°∠
+
=∆
&
&
&&
 
Tensões de fase, de linha e correntes de linha: 
.02,12097,99
;565,711,23
;435,484,86
2
1
VVVV
VIZV
VIZV
aococa
cco
aao
°∠=−=
°∠==
°−∠==
&&&
&&&
&&&
 ( )
.565,71231,0
;529,146775,0
;435,48864,0
2'
21'
1'
AII
AIII
AII
cc
bb
aa
°∠==
°∠=+−=
°−∠==
&&
&&&
&&
 
Para Seqüência inversa têm-se: 
;0100 VVab °∠=& ;120100 VVbc °∠=& .120100 VVca °−∠=& 
⇒





°−∠
°∠
=














+
+
60100
0100
100100100
100100100
2
1
I
I
jj
jj
&
&
 
;000.20000.10 j+=∆& 
Resolvendo para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas, têm-se: 
;565,11231,00464,0227,0000.57,339.1
10010060100
100100 1
11 AjIjj
j
°∠=−=
∆
∆
=⇒+=





+°−∠
=∆
&
&
&&
 
;435,108864,0820,0273,03,660.133,660.13
60100100
100100100 2
22 AjIjj
j
°−∠=−−=
∆
∆
=⇒−=





°−∠
+
=∆
&
&
&&
 
Tensões de fase, de linha e correntes de linha: 
.98,11997,99
;435,1084,86
;565,111,23
2
1
VVVV
VIZV
VIZV
aococa
cco
aao
°∠=−=
°−∠==
°∠==
&&&
&&&
&&&
 ( )
.435,108864,0
;529,86775,0
;565,11231,0
2'
21'
1'
AII
AIII
AII
cc
bb
aa
°−∠==
°∠=+−=
°∠==
&&
&&&
&&
 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 11 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
5.2.10.2.2 – Método do Voltímetro 
Definem-se, arbitrariamente, as fases de linha a, b, e 
c para o circuito ao lado. 
Método: Se o voltímetro V acusar uma leitura maior que a 
tensão de linha ( LV ), então, a seqüência de fases é ABC 
(seqüência direta) e, caso contrário, é seqüência CBA 
(inversa). Resumindo: 
Se LVV > ⇒ seqüência de fases direta (ABC); 
Se LVV < ⇒ seqüência de fases inversa (CBA). 
Veja comprovação numérica no exemplos seguintes. 
 
 
Exemplo 5.2.6 – Seqüência direta: 
ab
bc
ca
V 200 0
V 200 120
V 200 120
•
•
•
= °
= − °
= + °
 
ca
ca
ca
bo bc co
V 200120I 1,366 j0,366 1.414165
100 j100Z
V V V 200 120 141, 4165 273, 21 150
•
•
•
• • •
°
= = = − + = °
−
= + = − ° + ° = − °
 
 
Exemplo 5.2.7 – Seqüência Inversa 
 
ab
bc
ca
V 200 0
V 200 120
V 200 120
•
•
•
= °
= + °
= − °
 
ca
ca
ca
bo bc co
V 200 120I 1,414 75
100 j100Z
V V V 200 120 141,4 75 73, 21150
•
•
•
• • •
− °
= = = − °
−
= + = ° + − ° = °
 
 
5.2.11 – MÉTODO DOS TRÊS WATTÍMETROS PARA MEDIDA DE POTÊNCIA TRIFÁSICA 
Um wattímetro por fase, onde cada wattímetro mede a potência de cada uma das impedâncias da 
carga trifásica. Este método não será, em geral, usado a menos que fossem desejadas as potências de cada 
fase. È aplicável em circuitos onde o fator de potência varia continuamente como, por exemplo, no caso da 
obtenção das características de um motor síncrono. 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
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5.2.12 – MÉTODO DOS DOIS WATTÍMETROS PARA MEDIDA DE POTÊNCIA TRIFÁSICA 
 
Os três wattímetros ligados conforme indicado na figura acima medirão corretamente a potência 
consumida pela carga trifásica abc, conforme provado a seguir. Como a potência real entregue a carga 
trifásica abcP corresponde à potência média num período, tem-se: 
( ) dtiviviv
T
P
T
cccobbboaaaoabc ∫ ++=
0
'''
1
. 
A soma das potências medida pelos wattímetros é: 
( ) dtiviviv
T
P
T
cccpbbbpaaapmedida ∫ ++=
0
'''
1
, onde: 





+=
+=
+=
.
;
;
opcocp
opbobp
opaoap
vvv
vvv
vvv
 
Substituindo os valores de apv , bpv e cpv na integral anterior, tem-se: 
medidaP = ( ) abc
T
ccbbaaopcccobbboaaao PdtiiivivivivT
=
















+++++∫
=
0
0
''''''
1
4434421 . 
Observa-se que a comprovação acima foi inteiramente independente da posição física do ponto P. 
Dessa forma, ao ligar-se este ponto a qualquer uma das fases, o wattímetro correspondente à fase ligada ao 
ponto P acusará valor nulo sendo, portanto, desnecessário para a medição da potência trifásica recaindo-se, 
assim, no método dos dois wattímetros. 
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5.2.13 – EMPREGO DE N-1 WATTÍMETROS PARA MEDIR POTÊNCIA N-FILAR 
Uma mera extensão do item anterior. 
5.2.14 – MÉTODO DE VERIFICAÇÃO PARA LEITURA POSITIVA OU NEGATIVA DO 
WATTÍMETROS 
 
O mesmo critério aplicado para sistema equilibrado, 
desconectando-se, separadamente, as bobinas de correntes dos 
wattímetros. Estamos considerando aqui o caso de sistema 
trifásico, cargas desequilibradas, método dos dois wattímetros 
 
5.2.15 – AMPÈRES REATIVOS EM SISTEMA TRIFÁSICO TETRAFILARES NÃO 
EQUILIBRADOS 
Utilização de três varímetros – 
medidores de volt-ampères reativos: 
]
]
] .
;
;
co
co
bo
bo
ao
ao
V
Icococ
V
Ibobob
V
Iaoaoa
senIVVAR
senIVVAR
senIVVAR
&
&
&
&
&
&
θ
θ
θ
==
=
 
 
Exemplo 5.2.8 – Para o circuito acima com as tensões e impedâncias indicadas obtém-se as correntes: 
;0100
'
VEna °∠=& 
;120100
'
VEnb °−∠=& 
.120100
'
VEnc °∠=& 
.6020
;050
;4525
Ω°−∠=
Ω°∠=
Ω°∠=
co
bo
ao
Z
Z
Z
&
&
&
 
.1805
;1202
;450,4
Ω°∠=
Ω°−∠=
Ω°−∠=
co
bo
ao
I
I
I
&
&
&
 
Pedem-se as leituras dos varímetros a, b e c e a potência reativa ( abcQ ) da carga trifásica, bem como, 
as leituras dos wattímetros a, b e c e a potência real ( abcP ) ao substituir os varímetros por wattímetros. 
]
]
] .01,433)60(5100
;002100
;84,282454100
VArsensenIVVAR
VArsensenIVVAR
VArsensenIVVAR
co
co
bo
bo
ao
ao
V
Icococ
V
Ibobob
V
Iaoaoa
−=°−××==
=°××==
=°××==
&
&
&
&
&
&
θ
θ
θ
 
abcQ = ;17,150)01,433(084,282 VArVARVARVAR cba −=−++=++ 
]
]
] .250)60(cos5100cos
;2000cos2100cos
;84,28245cos4100cos
WIVW
WIVW
WIVW
co
co
bo
bo
ao
ao
V
Icococ
V
Ibobob
V
Iaoaoa
=°−××==
=°××==
=°××==
&
&
&
&
&
&
θ
θ
θ
 
;84,73225020084,282 WWWWP cbaabc =++=++= 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
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5.2.16 - FATOR DE POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS NÃO EQUILIBRADOS 
Num sistema polifásico não equilibrado cada fase tem seu próprio fator de potência. Assim, a média 
dos fatores de potência das fases individuais é uma boa indicação da relação dos watts totais para os volt-
ampères totais apenas nos casos onde as cargas por fase são todas indutivas ou todas capacitivas. Tendo-se 
tanto cargas indutivas como capacitivas, o cálculo do valor médio não leva em consideração o efeito 
compensativo dos volt-ampères reativos indutivos e capacitivos deteriorando, dessa forma, seu cálculo. Será, 
então, usado a definição de ‘fator de potência vetorial’, dado por: 
( ) ( ) ( ) 2222
cos
cos
cos
abcabc
abc
vetorial QP
P
VImódulo
VI
senVIVI
VIfp
+
==
++
=
∑
∑
∑∑
∑ θ
θθ
θ
 onde: 
cccbbbaaaabc IVIVIVVIP θθθθ coscoscoscos ++==∑ ; 
cccbbbaaaabc senIVsenIVsenIVsenVIQ θθθθ ++==∑ . 
Os subíndices empregados nas equações acima, referem-se a valores individuais por fase. Por exemplo, aθ é 
a defasagem entre a tensão e a corrente da fase a do sistema. 
Exemplo 5.2.9 – Comparar o fator de potência médio com o fator de potência vetorial do Exemplo 5.2.8. 
a) Fator de potência médio 
.7357,0
3
5,01707,0
).(5,0)60(cos
);(10cos
);(707,045cos
=
++
=
=°−=
=°=
=°=
médio
c
b
a
fp
capacitivofp
resistivofp
indutivofp
 
b) Fator de potência vetorial 
( ) .9796,007,748
84,732
17,15084,732
84,732
2222
==
−+
=
+
=
abcabc
abc
vetorial QP
Pfp 
5.2.17 – MEDIDA DE ∑ θsenIV NUM CIRCUITO TRIFÁSICO TRIFILAR 
Será utilizado dois Varímetros (medidores de volt-
ampères reativos) com ligação idêntica à da ligação dos 
instrumentos no método dos dois Wattímetros. Será mostrado a 
seguir que, quando conectados deste modo, a soma algébrica das 
duas leituras dos medidores de volt-ampères reativos é igual à 
potência reativa do circuito trifásico, 
cccbbbaaaabc senIVsenIVsenIVsenVIQ θθθθ ++==∑ . 
Os varímetros conectados conforme a figura ao lado, 
indicam as leituras: 
]
] .
;
'
'
'
'
cb
cc
ab
aa
V
Icccbc
V
Iaaaba
senIVVAR
senIVVAR
&
&
&
&
θ
θ
=
=
 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 15 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
Com a finalidade de análise, as leituras acima 
serão expressas em função das componentes complexas 
das tensões e correntes. Sabe-se que: 
'.
;'
jiiI
jvvV
+=
+=
&
&
 
 
 
Dessa forma, 
] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) '.'coscos
coscos)(
ivivsenIVIsenV
sensenVIsenVIsenVI
IVIV
VIIVIV
V
I
−=−
=−=−=
θθθθ
θθθθθθθ &&
 
Do circuito com os dois varímetros nota-se que: 
.;;
'' bococbboaoabcoccaoaa VVVeVVVIIII &&&&&&&&&& −=−=== 
 
Têm-se, então, para as medições dos varímetros A e C: 
]
( ) ( ) ( ).''''''
')()''(''
'
'
ababaababaaaa
abaabaaabaab
V
Iaaaba
ivivQiviviviv
ivvivvivivsenIVVAR ab
aa
−−=−−−
=−−−=−==
&
&θ
 
]
( ) ( ) ( ).''''''
')()''(''
'
'
cbcbccbcbcccc
cbccbcccbccb
V
Icccbc
ivivQiviviviv
ivvivvivivsenIVVAR cb
cc
−−=−−−
=−−−=−==
&
&θ
 
Lembrando-se que ( )bca III &&& −=+ )( , têm-se para a soma algébrica das medições de aVAR e cVAR : 
( ) ( )
( )
( ) .''
''()('
''''
cbacbbbba
ccabcaba
cbcbcababaca
QQQQivivQ
QiiviivQ
ivivQivivQVARVAR
++=+−+
=++−+−
=−−+−−=+
 
Note que não foi imposta nenhuma condição quanto ao equilíbrio de tensões e correntes no 
desenvolvimento acima viabilizando, assim, o método dos dois varímetros para a medição de potência 
reativa em sistema trifásico trifilar. 
Exemplo 5.2.10 - Seja o sistema trifásico trifilar, não equilibrado, na seqüência ab–bc–ca , com carga em ∆ 
e com os valores de tensões de linha e impedâncias de fase informadas, calculam-se as correntes: 





°−∠=
°−∠=
°∠=
2254,141
1354,141
0200
ca
bc
ab
V
V
V
&
&
&
 





°∠=
°∠=
°∠=
9010
18010
6020
ca
bc
ab
I
I
I
&
&
&
 





°∠=
°∠=
°−∠=
4514,14
4514,14
6010
ca
bc
ab
Z
Z
Z
&
&
&
 





°∠=
°−∠=
°∠=
4514,14
1,13945,26
2,364,12
c
b
a
I
I
I
&
&
&
 
 
Determine as leituras dos pares de Varímetros. 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 16 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 



=°××=
−=°−××=
VArsenVAR
VArsenVAR
b
a
4,2671,445,264,141
7,732.1)2,81(4,124,141
 ⇒ 
;3,465.1 VARVARVAR ba −=+ 



=°××=
−=°−××=
VArsenVAR
VArsenVAR
c
a
0014,144,141
7,464.1)2,36(4,12200
 ⇒ 
;7,464.1 VARVARVAR ca −=+ 



=°××=
−=°−××=
VArsenVAR
VArsenVAR
c
b
4,999.19014,144,141
6,463.3)9,40(45,26200
 ⇒ 
;2,464.1 VARVARVAR cb −=+ 
 
Problema 5.2.9 – Determinar o fator de potência vetorial para o circuito do Exemplo 5.2.10. 
=++= cabcababc PPPP 200 x 20 x cos (-60°) + 141,4 x 10 x cos 45° + 141,4 x 10 x cos45° = 
 2.000 + 999,8 + 999,8 = 3.999,7 W. 
.939,0
3,259.4
7,999.3
)2,464.1(7,999.3
7,999.3
22
==
−+
=vetorialfp 
f.p. media = ?
3
=
++
 
Para o mesmo circuito, determine as medidas de potências reais: 



=°××=
=°−××=
;5,3730)1,4(cos45,264,141
;2,268)2,81(cos4,124,141
WW
WW
b
a
 ⇒ .7,998.3 WPabc = 



=°××=
=°−××=
;4,999.1)0(cos14,144,141
;3,001.2)2,36(cos4,120,200
WW
WW
c
a
 ⇒ .7,000.4 WPabc = 



=°××=
=°−××=
;0)90(cos14,144,141
;5,998.3)9,40(cos45,260,200
WW
WW
c
b
 ⇒ .5,998.3 WPabc = 
 
 
Exemplo 5.2.11 - Para a figura ao lado, sabendo-se 
que as tensões 
''''''
,, accbba VVV &&& são trifásicas 
equilibradas, seqüência inversa, onde 
VV cb °∠= 120200''& e que 
1 CV=735 watts, pede-se: 
 
 
a) As tensões ,,, cabcab VVV &&& '''''' ,, ncnbna VVV &&& na seqüência inversa 





°−∠=
°∠=
°∠=
.120200
;120200
;0200VV
VV
VV
ca
bc
ab
&
&
&
 
 








°−∠=
°∠=
°∠=
VV
VV
VV
nc
nb
na
90
3
200
150
3
200
30
3
200
''
''
''
&
&
&
 
Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados 
CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 17 
Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos 
UFU – FEELT - Mauro Guimarães 
b) As correntes ccbbaaabcnbnan IeIIIIII ''' ,,,,, &&&&&&& 
Para um motor elétrico tem-se: .4,444.5
81,0
7356 WPP ME =
×
==
µ
 
 
cnbnanLLLE IIAIAIIVP ===⇒=
××
=⇒= 71,1871,18
84,02003
4,444.5
cos3 θ ; 
f.p.=0,84 ⇒ φ =arccos(0,84)=32,86° indutivo; 
.57,4557,28
;57,45)57,45(0)(
;57,45)7,0(cos
;57,25
7,0200
000.4
cos
;86,2)86,3230()(
AI
capacitivoarc
AIIVP
ab
abVI
abababab
anVanI
ab
°∠=
°=°−−°=−=
°−==
=
×
=⇒=
°−=°−°=−=
&
&&
&&
θθθ
θ
θ
φθθ
 ⇒ 
.86,12271,18
;51,17277,28
;71,2631,43
;86,12271,18
;14,11771,18
;86,271,18
'
'
'
AII
AIII
AIII
AI
AI
AI
cncc
abbnbb
anabaa
cn
bn
an
−∠==
−∠=−=
∠=+=
°−∠=
°∠=
°−∠=
&&
&&&
&&&
&
&
&
 
c) As leituras de aW e cW . À partir destes valores determine o valor de abcP , potência total das cargas. 
.4,444.94,444.5000.4
;67,444.9
;97,706.1)86,122(60(cos71,18200cos
;70,737.7)71,260(cos31,43200cos
arg
2'''
1'''
WP
WWWP
WIVW
WIVW
asc
caabc
ccbcc
aabaa
=+=
=+=
=°−−°−××==
=°−°××==
θ
θ
 
d) As leituras de aVAR e cVAR se substituirmos os wattímetros A e C por varímetros. Calcule o valor de 
abcQ à partir dos valores de aVAR e cVAR . Compare o valor de abcQ com a potência reativa das cargas. 
;36,563
;98,329.3)86,62(71,18200
;35,893.3)71,26(31,43200
VArVARVARQ
VArsenVAR
VArsenVAR
caabc
c
a
−=+=
=°××=
−=°−××=
 
 
 
;39,080.4)57,45(
;75,516.3)86,32(
VArtgPQ
VArtgPQ
abab
MM
−=°−=
=°=
 
.64,56339,080.475,516.3arg abcasc QVarQ ≅−=−= 
5.2.18 – RELAÇÕES ESTABELECIDAS A PARTIR DOS MÓDULOS DE TENSÕES E 
CORRENTES DETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE 
Relações de fase em sistemas polifásicos não equilibrados podem, em alguns casos, serem 
determinados por leituras em amperímetros e voltímetros. Em geral, para se obter uma solução única 
necessita-se de um conhecimento prévio da seqüência de fases das correntes ou das tensões e, para 
determinar-se as fases do sistema é necessário conhecer a fase de um deles. 
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a) Tensões entre linhas trifásicas 
Neste caso deve-se atender à equação: 
.0=++ cabcab VVV &&&
 
Sabe-se que uma construção geométrica equivalente a 
esta equação vetorial é um triângulo cujos lados tenham 
as dimensões dos módulos dos vetores da equação 
conforme mostrado na figura ao lado para as seqüências 
direta e inversa. Definido o triângulo pode-se 
facilmente determinar os ângulos α e β através da lei 
dos cossenos, por exemplo, para o ângulo α, esta lei diz 
que: “o quadrado do lado oposto ao ângulo definido é 
igual à soma dos quadrados dos lados que formam o 
ângulo α, subtaindo-se o produto destes lados e do 
cosseno do ângulo que o define”, ou melhor: 
.cos2222 αbcabbcabca VVVVV −+=
 
De forma similar para o ângulo β têm-se: 
.cos2222 βcaabcaabbc VVVVV −+= 
Nas equações acima, conhecendo-se os valores de abV , 
bcV e caV calculam-se os valores numéricos de α e de 
 
β. A seguir, considerando abV na referência, têm-se as tensões: 
na seqüência direta: 
( )
( ) .180
;180
;0
°−∠=
°−−∠=
°∠=
β
α
caca
bcbc
abab
VV
VV
VV
&
&
&
 
na seqüência inversa: 
( )
( ) .180
;180
;0
°−−∠=
°−∠=
°∠=
β
α
caca
bcbc
abab
VV
VV
VV
&
&
&
 
Problema 5.2.10 – Dado as tensões entre linhas de um sistema trifásico, seqüência ab, ca, bc, determinar os 
valores vetoriais para tensões tendo como referência a tensão abV . 
.5,155
;8,120
;160
VV
VV
VV
ca
bc
ab
=
=
=
 
Lei dos cossenos para o ângulo α : 
.53,65
41421,0
656.38
39,012.16
8,1201602
5,1551608,120
cos
222
°=
⇒==
××
−+
=
α
α
 
 
Lei dos cossenos para o ângulo β : 
.45
70715,0
760.49
61,187.35
5,1551602
8,1205,155160
cos
222
°=
⇒==
××
−+
=
β
β
 
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Expressões vetoriais para as tensões: 
.1355,155)180(5,155
;47,1148,120)180(8,120
;160160
VV
VV
VV
ca
bc
ab
°−∠=−°−∠=
°∠=−°∠=
°∠=
β
α
&
&
&
 
b) As seis tensões de uma carga trifásica (ou gerador) conectada em estrêla 
Neste caso, além de atender à equação 
0=++ cabcab VVV &&& já discutido no item (a) é necessário 
satisfazer, também, as equações: 
.
;
;
aococa
cobobc
boaoab
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
−=
−=
−=
 
Após a montagem do triângulo ABC com as tensões entre 
linhas, determina-se o ponto O, cruzamento dos arcos aoV , 
boV e coV que se iniciam, respectivamente, na origem dos 
vetores abV& , bcV& e caV& . Com procedimento similar ao item 
anterior (a) determinam-se, por exemplo, os ângulos α, β e δ 
e, a seguir, obtêm-se as tensões fasoriais: 
( )
( )( ) .180
;
;
°−°−∠=
°−∠=
°∠=
δθ
βθ
α
bc
bc
Vcoco
Vbobo
aoao
VV
VV
VV
&
&
&
&
&
 
 
 
c) As seis correntes de uma carga trifásica (ou gerador) conectada em triângulo 
Neste caso, além de atender à equação 
0=++ cba III &&& é necessário satisfazer, também, as 
equações: 
.
;
;
abbcb
bccac
caaba
III
III
III
&&&
&&&
&&&
−=
−=
−=
 
No caso da equação 0=++ cba III &&& faça de modo 
similar ao item (a), anteriormente, com a ressalva de 
que na montagem do triângulo correspondente o vetor 
ccI '& deve seguir ao vetor aaI '& , conforme mostrado na 
figura ao lado. Após a montagem do triângulo com as 
correntes de linha, montam-se os triângulos 
correspondentes as composições das correntes de 
linha pelas correntes de fase. Com procedimento 
similar aos itens anteriores (a) e (b) determinam-se, 
por exemplo, os ângulos α, β, ρ, δ e γ, a seguir, 
obtêm-se as correntes fasoriais: 
 
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( )
( );180
;180
;0
α
β
−°∠=
°−°−∠=
°∠=
cc
bb
aa
II
II
II
&
&
&
 
 
( )
( ) .180
;
;
'
°−°−∠=
°−∠=
°−∠=
γ
δθ
δ
caab
Ibcbc
abab
II
II
II
bb
&
&
&
& 
Observe que os ângulos das tensões fasoriais foram estabelecidos em função de uma referência arbitrada, no 
caso, abV& na referência. Caso isto não seja a sua realidade basta efetuar uma rotação no diagrama fasorial o 
que corresponde a adicionar ou subtrair todos os ângulos de um determinado θ∆ . Isto é válido tanto para o 
diagrama das tensões como das correntes. Por outro lado, para um correto casamento dos fasores de tensão e 
de corrente é necessário conhecer o real defasamento de uma tensão e de uma corrente correspondente e, 
dessa forma, ajustando as demais correntes por um defasamento apropriado.Exemplo 5.2.12 – Para uma carga conectada em ∆, seqüência de fases da tensão é direta, tendo como 
referência a tensão abV , abZ& é indutivo com a relação 1=RX e têm-se as informações de medições: 
;200 voltsVab = 
;4,141 voltsVbc = 
.4,141 voltsVca = 
;8,15
'
ampèresI aa = 
;07,7
'
ampèresI bb = 
.14,14
'
ampèresI cc = 
;07,7 ampèresIab = 
;10 ampèresIbc = 
.10 ampèresIca = 
determine os valores complexos para todas tensões e correntes. 
Respostas: 
;0200 VVab °∠=& 
;1354,141 VVbc °−∠=& 
;1354,141 VVca °∠=& 
;5,188,15
'
AI aa °−∠=& 
;13507,7
'
AI bb °−∠=& 
;13514,14
'
AI cc °∠=& 
;4507,7 AIab °−∠=& 
;9010 AIbc °−∠=& 
;18010 AIca °∠=& 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo 
Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating 
Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 9, p. 354-410. 
2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; 
revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. 
reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 22, 
p. 663-686. 
3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado 
Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 12. p. 475-549. 
4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. Tradução: Ronaldo Sérgio Biasi. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Tradução de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 11. p. 365-391. 
5. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e 
ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 1. p. 1-105. 
6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos 
Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & 
Sons, 1990. cap 13. p. 319-343.