Material do professor Raciocínio lógico Marcelo Burani Análise Combinatória

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Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
Análise Combinatória 
 
Definição e conceitos iniciais 
Define-se como Análise Combinatória, o conjunto de técnicas e procedimentos que 
permitem determinar o total de possibilidades de agrupamentos (com ou sem sequenciamento 
relevante) provenientes de um conjunto de origem e determinadas restrições. 
Serão estudados, o Princípio Fundamental da Contagem, a Permutação e a Combinação 
Simples. 
Importante: O Arranjo Simples não será abordado, pois todos os problemas de Arranjo 
Simples podem ser resolvidos através do Princípio Fundamental da Contagem. 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
Imagine a seguinte situação: você leva para uma viagem de trabalho 2 camisas, 3 calças e 
2 cintos. De quantas maneiras você pode combinar estes itens, sendo obrigatória a utilização de 
uma camisa, uma calça e um cinto? 
 Esta pergunta pode ser respondida através de um estudo detalhado das possibilidades, 
porém esta estratégia é muitas vezes trabalhosa e demanda tempo. Desta forma, a grande 
vantagem do Princípio Fundamental de Contagem é otimizar a resolução deste tipo de problema. 
Através dos exemplos e exercícios propostos, discutiremos os aspectos técnicos para as 
resoluções dos problemas relacionados a este princípio. 
Situação 1 
De quantas maneiras você pode combinar 2 camisas, 3 calças e 2 cintos, sendo obrigatória a 
utilização de uma camisa, uma calça e um cinto? 
 
 
 
 
Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
(Fundatec) Maria é decoradora de ambiente. Ela está realizando um estudo de composição para 
decorar uma sala de jantar a partir de 5 texturas de tapete, 4 modelos para mesa e 10 modelos de 
cadeiras de madeira. Quantas são as possibilidades que ela deve testar, considerando que a sala 
terá um tapete, uma mesa e quatro cadeiras de madeira iguais do mesmo modelo? 
a) 19 b) 200 c) 800 d) 1280 e) 5814 
Resposta : B 
 
Situação 2 
Quantas possibilidades existem para escolher o presidente e o relator de uma CPI entre 20 
deputados? 
 
Exercício de apoio 
Quantas senhas de 3 algarismos podemos formar, utilizando apenas os algarismos 1,2,3,4 e 5? 
 
Questões de provas anteriores 
(Analista-ANAC / CESPE) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, 
Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife 
ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é 
múltiplo de 12. 
Resposta: Certo 
Quantas placas de motos podem ser formadas com o padrão de três vogais maiúsculas distintas e 
dois algarismos quaisquer, repetidos ou não, escolhidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 
 a) 60. b) 600. c) 6.000. d) 10.000. e) 60.000. 
Resposta : C 
 
 
 
Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
Situação 3 
A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os 
algarismos 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 e 9 é: 
a) 20 b) 60 c)240 d)360 e)480 
Resposta: D 
(STN / ESAF) Ana possui em seu armário 90 pares de sapatos, todos devidamente 
acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de 
sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do armário quatro caixas de sapatos. O 
número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a 
de número 20 é igual a: 
a) 681384 b)382426 c)43262 d)7488 e)2120 
Resposta: A 
 
 
Fatorial 
O fatorial é um operador que possui como característica a simplificação dos cálculos em 
problemas de Análise Combinatória. 
Representado por um ponto de exclamação (!), este operador estruturalmente é dado por: 
n! = n.(n-1).(n-2)....1 , para n∈ 𝑁 e n >1. 
Obs: 1! = 1 e 0! =1. 
Exemplos: 
4! = 4.3.2.1 = 24 
3! = 3.2.1 = 6 
 
 
 
 
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Permutação 
Os problemas de permutação são aqueles que envolvem “trocas de posição”, ou seja, objetos 
distintos podem ser organizados em ordens diferentes, gerando sequências diferentes. 
Exemplo 
Quantos anagramas podemos formar com as letras A, B e C ? 
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
Resposta: 6 
Permutação simples 
O número de permutações simples de n elementos distintos é dado por: 
Pn = n! 
Assim, no exercício anterior temos P3=3! = 3.2.1 = 6 
Permutação com repetição 
Se entre os n elementos envolvidos houver repetição o número de permutações será dado por: 
𝐏𝐧
𝛂,𝛃,…,𝛄
=
𝐧!
𝛂!.𝛃!…𝛄!
 , 
em que 𝛼, 𝛽, … , 𝛾 são as respectivas quantidades de repetições. 
Exemplo 
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA ? 
𝐏𝟓
𝟑,𝟐 =
𝟓!
𝟑!. 𝟐!
= 𝟏𝟎 
 
 
 
 
 
Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
Exercícios 
(Analista-ANAC - 2009 / CESPE) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma 
permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum, α seja a 
quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO, β seja a 
quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se 
formar com a palavra TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então α = 21β. 
Certo 
 
(OF. Chancelaria) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam 
sentar lado a lado em uma mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem se 
organizar nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é 
igual a: 
a) 16 b) 24 c)32 d) 46 e) 48 
Resposta: E 
 
(FCC SEFAZ) A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da 
palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 
últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai 
digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma 
senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo, 
a) 240 tentativas. b) 144 tentativas. c) 576 tentativas. 
d) 196 tentativas. e) 288 tentativas. 
Resposta: E 
 
(FGV) O número de maneiras diferentes de se colocar as letras da sigla CONDER em fila, de 
modo que a fila comece por uma vogal, é: 
 a) 240. b) 120. c) 96. d) 72. e) 60. 
Resposta : A 
 
 
 
 
 
Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
Combinação Simples 
Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Por exemplo, 
dois agrupamentos possíveis são considerados distintos quando há pelo menos um elemento que 
pertença a um grupo e não pertença ao outro. 
A quantidade de Combinações Simples de n elementos agrupados p a p é dada por: 
𝐂𝐧,𝐩 =
𝐧!
(𝐧−𝐩)!𝐩!
 
É importante destacar que ao longo das aulas os problemas de Combinação Simples serão 
abordados sem fórmula. 
1) Em uma reunião de condomínio compareceram 10 condôminos. Quantas comissões de 3 
pessoas para fiscalizar uma obra podemos formar? 
a) 100 b) 120 c) 148 d) 216 e) 198 
Resposta: B 
Texto para a questão 2 - A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de 
fronteira como locais de entrada ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato 
Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. (Internet: www.estadao.com.br (com adaptações)). 
2) ( CESPE) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com 
exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, 
então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. 
Errado 
 
3) (FGV) João coordena as 5 pessoas da equipe de manutençãode uma empresa e deve 
designar, para cada dia, as pessoas para as seguintes funções: 
• uma pessoa da equipe para abrir o prédio da empresa e fiscalizar o trabalho geral; 
• duas pessoas da equipe para o trabalho no turno da manhã, deixando as outras duas para o 
turno da tarde. 
O número de maneiras diferentes pelas quais João poderá organizar essa escala de trabalho 
é: 
 a) 10; b) 15; c) 20; d) 30; e) 60. 
Resposta : D 
 
Professor Marcelo Burani Kowalski 
 
Leitura Complementar 
Caso você deseje encontrar uma quantidade maior de exercícios para treinar você encontrará 
uma boa quantidade de desafios no seguinte texto: 
 
Fundamentos de Matemática Elementar 
Vol 05 - Análise Combinatória e Probabilidade 
Samuel Hazzan 
Editora Atual