AulaIntroEstatistica 04B

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Distribuição de Frequência
Nesta serie os dados são agrupados em 
classes (intervalos com limites predetermi-
nados) segundo suas respectivas frequên-cias.
 
Termos Relacionados
● Frequência: quantidade de vezes que o mesmo 
valor de um dado se repete.
● Dados brutos: dados originais que ainda não 
foram numericamente organizados após a 
coleta.
● Rol: ordenação dos valores obtidos de modo 
crescente ou decrescente de grandeza 
numérica ou qualitativa.
 
Distribuição de Frequência
Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC (continua):
Turma A 41
Turma B 46
Turma C 43 nº alunos 41 3
Turma D 45 nº alunos 42 2
Turma E 42 nº alunos 43 1
Turma F 44 nº alunos 44 1
Turma G 41 nº alunos 45 1
Turma H 41 nº alunos 46 2
Turma I 42
Turma J 46
Dados 
Brutos
Frequência
Rol ?
 
Distribuição de Frequência
Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC:
Turma K 50
Turma L 52
Turma M 58 nº alunos 50 2
Turma N 57 nº alunos 51 1
Turma O 60 nº alunos 52 1
Turma P 54 nº alunos 54 1
Turma Q 50 nº alunos 57 1
Turma R 60 nº alunos 58 2
Turma S 58 nº alunos 60 2
Turma T 51
Dados 
Brutos Frequência
 
Distribuição de Frequência
● Por valores simples:
● Por classes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60
3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20
Classes Frequência
1 41 |-- 45 7
2 45 |-- 49 3
3 49 |-- 53 4
4 53 |-- 57 1
5 57 |-- 61 5
Total 20
 
Análise Exploratória de Dados
● Dados não agrupados (numa distribuição de frequência)
● Dados agrupados (numa distribuição de frequência)
 
Análise Exploratória de Dados
● Medidas de Posição (tendência central)
– Média
– Moda (medida mais frequente)
– Mediana (medida que ocupa a posição central)
● Medidas de Dispersão
indicam se valores relativamente próximos um dos outros, 
ou separados em torno de uma medida de posição: a 
média.
– Desvio padrão
– Variância
– Coeficiente de Variação
 
Classificação das Medidas
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
x
● Média 
– Populacional (representada pela letra grega μ)
– Amostral (representada por )
Sejam os elementos de uma 
amostra, portanto “n” valores da variável x.
para dados não agrupados
x1, x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exemplos de cálculo da média:
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exercício de cálculo da média:
Qual o funcionário mais eficiente?
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exercício de cálculo da média:
Média de A: 10 Média de B: 12,8
Média de C: 10,4 Média de D: 11
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Como as médias foram obtidas:
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Moda (Mo)
valor mais frequente da distribuição.
 Sejam os elementos de uma 
amostra, portanto o valor da moda é sim-
plesmente o valor mais frequente.
x1 , x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da moda:
X = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8}
Moda de X : Mo = ?.
Y = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6}
Moda de Y: Mo = ?.
W = {1, 2, 3, 4, 5}
Moda de W: Mo = ?.
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da moda:
X = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8}
Moda de X : Mo = 6.
Y = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6}
Moda de Y: Mo1 = 2 e Mo2 = 5.
W = {1, 2, 3, 4, 5}
Moda de W: amodal.
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Mediana (Me)
Construído o Rol, a mediana é o elemento que ocupa 
a posição central, ou seja, divide a distribuição em 
50% de cada lado.
Sejam os elementos de uma amostra, 
portanto “n” valores da variável x. 
x1 , x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da mediana:
1º – organizar os dados na ordem crescente ou decrescente
2º – verificar se nº elementos é impar ou par
3º – se impar, ponto médio e se par, média dos pontos médios
 
Medidas de Posição 
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da mediana:
1,48 1,52 1,60 1,61 1,62 1,64 1,66 1,66 166 1,68 1,69
 
Análise Exploratória de Dados
● Medidas de Posição (tendência central)
– Média
– Moda (medida mais frequente)
– Mediana (medida que ocupa a posição central)
● Medidas de Dispersão
indicam se valores relativamente próximos um dos 
outros, ou separados em torno de uma medida de 
posição: a média.
– Desvio padrão
– Variância
– Coeficiente de Variação
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Desvio padrão (S)
Mede o grau de dispersão dos dados numéricos em 
torno de um valor médio.
Sejam os elementos de uma amostra, 
portanto “n” valores da variável x. 
x1 , x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do desvio padrão:
Seja a amostra 10, 12, 14, 16, 18.
1º – calcula-se a média
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação 
a média
3º – aplica-se a formula do desvio padrão
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do desvio padrão:
Seja a amostra 10, 12, 14, 16, 18.
1º – calcula-se a média: = 14.
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação a média
10 – 14 = -4 12 – 14 = -2 14 – 14 = 0
16 – 14 = 2 18 – 14 = 4
3º – aplica-se a formula do desvio padrão
 
x
S=√ (−4 )2+(−2)2+(0)2+(2)2+(4 )24 =√ 16+4+0+4+164 =√ 404 =√ 10
S=3,162277.
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Variância (S²)
Mede a variação média em torno da Média.
Sejam os elementos de uma amostra, 
portanto “n” valores da variável x. 
x1, x2 , x3 ,... , xn
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da variância:
Seja a amostra de tempo de serviço de cinco 
funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação 
a média
3º – aplica-se a formula da variância
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo da variância:
Seja a amostra 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média: = 7,8.
2º – calculam-se os desvios de cada valor em relação a média
 3 – 7,8 = -4,8 7 – 7,8 = -0,8 8 – 7,8 = 0,2
10 – 7,8 = 2,2 11 – 7,8 = 3,2
3º – aplica-se a formula da variância
S² = [(-4,8)² + (-0,8)² + (0,2)² + (2,2)² + (3,2)²] / 4
S² = [23,04 + 0,64 + 0,04 + 4,84 + 10,24] / 4
S² = 38,8 / 4 = 9,7. E o desvio padrão: S = 3,11448..
x
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Relação entre desvio padrão e variância:
Desvio padrão:
Variância:
Relação:
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Coeficiente de Variação (CV)
média relativa útil para comparação e observação em 
termos relativos ao grau de concentração em torno da 
média de séries distintas.
Representa o desvio padrão expresso como porcenta-
gem da média.
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Coeficiente de Variação
Classificação da distribuição quanto à dispersão:
● Dispersão baixa: CV ≤ 15%
● Dispersão média: 15% < CV < 30%
● Dispersão alta: CV ≥ 30%
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do coeficiente de variação:
Seja a amostra de tempo de serviço de cinco 
funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média2º – calcula-se o desvio padrão
3º – aplica-se a formula do coeficiente de variação
 
Medidas de Dispersão
Dados Não Agrupados
● Exemplo de cálculo do coeficiente de variação:
Seja a amostra 3, 7, 8, 10 e 11.
1º – calcula-se a média: = 7,8.
2º – calcula-se o desvio padrão: S = 3,11448 = 3,11
3º – aplica-se a formula do coeficiente de variação
CV = (3,11 / 7,8) * 100
CV = 0,3987* 100
CV = 39,87%.
x