Fourier

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6. Conceitos de Dom6. Conceitos de Domíínio de Freqnio de Freqüüênciaência
Na prática, um sinal eletromagnético consiste em várias freqüências. Exemplo:
( ) ( )wtfttfftts =⇔+×= pipipipi 2])3(2sen()3/1()2[sen()/4()(
Compõem o sinal acima apenas senóides de freqüências f e 3f. Na figura a 
seguir, que apresenta cada sinal em separado e a soma dos mesmos, dois pontos 
interessantes podem ser observados:
•A segunda freqüência (i.e., 3××××f) é um múltiplo inteiro da primeira freqüência. Quando 
todas as componentes de freqüência de um sinal são múltiplos inteiros de uma freqüência, 
essa última é referida como freqüência fundamental.
•O período do sinal global é igual ao período da freqüência fundamental. O período da 
componente sen (2pipipipi f t) é T = 1/f, assim como o período de s (t).
De acordo com a disciplina conhecida como Análise de Fourier, qualquer 
sinal pode ser decomposto em várias componentes (i.e., senóides) de diversas 
freqüências. Ou ainda, adicionando-se um número suficiente de sinais senoidais, cada um 
com amplitude, freqüência e fase adequados, qualquer sinal eletromagnético pode ser 
construído.
Ref: Otung, I., “Communication Engineering Principles”, Palgrave, 2001; Couch, II L. W. “Digital and Analog Communication 
Systems”, 6th ed., Prentice Hall, 2001; Bryan Carne, E., “Telecommunications Topics – Applications of Functions & Probabilities in 
Eletronic Communications”, Prentice Hall, 1999; Stroud, K. A., “Advanced Engineering Mathematics”, Palgrave, 4th ed., 2003; Lathi, 
B. P. “Modern and Analog Communication Systems”, 3rd ed., Oxford, 1998; Skalar, B., “Digital Communications, Fundamentals ans 
Applications”, 2nd ed., Prentice Hall, 2001; Bissell, C. C. And Chapman, D. A. “Digital Signal Transmission”, Cambridge University 
Press, 1992.
Onda quadrada composta pelas freqüências f e 3f
O espectro de um sinal é a faixa de freqüências contida nesse sinal. Na figura 
mostrada anteriormente o espectro se estende de f até 3f. A largura de banda absoluta do 
sinal é a largura do espectro. No caso da figura anterior (e.g., s (t) = (4/pi) [sen (2pift) + 
(1/3) sen (2pi(3f)t)] ), a largura de banda é 3f - f = 2f . 
Muitos sinais têm largura de banda infinita, mas com a maior parte da energia 
concentrada em uma faixa de freqüências relativamente estreita. Essa banda é referida 
como largura de banda efetiva (i.e., effective bandwidth), ou simplesmente largura de 
banda (i.e., bandwidth).
Existe uma relação direta entre a capacidade de transporte de informação de um 
sinal e sua largura de banda: quanto maior a largura de banda, maior a capacidade de 
transportar informação.
Na figura a seguir (vide parte c que mostra a figura teórica), a título de 
exemplo, supondo que um pulso positivo represente o binário 0 e um pulso negativo 
represente o binário 1, a forma de onda representará a seqüência 0101 ... . A duração de 
cada pulso é [1/(2f)]; assim a taxa de transmissão de dados é 2f bits por segundo, ou bps 
(e.g., capacidade de Nyquist). 
Onda 
quadrada 
composta pelas 
freqüências f, 3f, 
5f e 7f
Onda quadrada 
composta pelas 
freqüências f, 3f 
e 5f.
Onda quadrada
Composição espectral do sinal
Através da adição das senóides de freqüência f e 3f, obtém-se uma forma de onda 
que se parece razoavelmente com uma forma de onda quadrada. Dando continuidade a esse 
processo, adicionando-se agora senóides de freqüência 5f , e em seguida 7f, a forma de 
onda resultante aproxima-se cada vez mais da verdadeira onda quadrada, conforme pode-se 
observar na figura (b) da página anterior.
Será mostrado mais adiante que as freqüências que compõem uma onda quadrada 
de amplitudes +A e -A são calculadas através da expressão
∑
∞
=
××=
1,_
)2sen(4)(
kimpark k
kftAts pi
pi
Essa forma de onda tem um número infinito freqüências e portanto uma 
largura de banda infinita. No entanto, a amplitude de pico da k-ésima freqüência (i.e., 
kf) mede apenas 1/k, de forma que a energia dessa forma de onda se concentra nas 
primeiras, e poucas, freqüências. 
Relação entre taxa de transmissão de dados e largura de banda
Caso I
Aproximando a onda quadrada com a forma de onda de 3 componentes
espectrais (i.e., f, 3f e 5f) e considerando f igual a 1 MHz (i.e., f = 106 ciclos por 
segundo) , então a largura de banda do sinal




××+××+×= ))1052sen((
5
1))1032sen((
3
1))102sen((4)( 666 tttts pipipi
pi
é (5 x 106) - 106 = 4 MHz. Note que para f = 1 MHz, o período da freqüência fundamental 
é T = 1/f = 1/106 = 10-6 = 1 µs.
Se tratarmos essa forma de onda como uma seqüência de bits de 1s e 0s, um bit 
ocorrerá a cada 0,5 µs, para uma taxa de transmissão de dados de 2 x 106 = 2 Mbps. Assim, 
para uma largura de banda de 4 MHz, obtém-se uma taxa de transmissão de bits de 2 
Mbps. 
Caso II
Supondo agora f = 2 MHz (i.e., f = 2 x 106 ciclos por segundo) e utilizando a 
mesma linha de raciocínio anterior, a largura de banda do sinal será (5 x 2 x 106) - (2 x 
106 ) = 8 MHz. Contudo nesse caso T = 1/f = 1/(2 x 106 ) = 0,5 x 10-6 = 0,5 µs. 
Como resultado, um bit ocorrerá a cada 0,25 µs para uma taxa de transmissão de dados 
de 4 Mbps. Dessa forma, ao dobrar a largura de banda, dobrou-se a taxa de 
transmissão de bits. 
Caso III
Vai se supor agora que a forma de onda de apenas 2 componentes espectrais 
(i.e., f e 3f) é suficientemente adequada para a aproximação de uma onda quadrada, e 
assume-se, como no Caso II, f = 2 MHz (i.e., f = 2 x 106 ciclos por segundo), ou seja, 
T = 1/f = 1/(2 x 106 ) = 0,5 x 10-6 = 0,5 µs; um bit deverá ocorrer a cada 0,25 µs para 
uma taxa de transmissão de dados de 4 Mbps.
A largura de banda do sinal será (3 x 2 x 106) - (2 x 106 ) = 4 MHz
Assim, uma dada largura de banda pode suportar diversas taxas de
transmissão de dados dependendo da habilidade do receptor discernir a diferença entre 
0s e 1s, da presença de ruído e outros empecilhos comuns aos meios de transmissão de 
sinais.
Em resumo,
•Caso I: largura de banda = 4 MHz; taxa de transmissão de dados = 2 Mbps (i.e., 
0,5Mbps/MHz)
•Caso II: largura de banda = 8 MHz; taxa de transmissão de dados = 4 Mbps (i.e., 
0,5Mbps/MHz)
•Caso III: largura de banda = 4 MHz; taxa de transmissão de dados = 4 Mbps (i.e., 
1,0Mbps/MHz)
Conclusões
•Em geral, qualquer forma de onda digital tem largura de banda infinita
•Ao transmitir uma forma de onda através de um meio de transmissão, o sistema de 
transmissão limitará a largura de banda que pode ser transmitida
•Para qualquer meio de transmissão, quanto maior a largura de banda transmitida, maior 
será o custo
Assim, por razões econômicas e práticas, a informação digital deve ser 
aproximada por um sinal de largura de banda limitada. No entanto, a limitação de 
largura de banda cria distorções que tornam mais difícil a tarefa de interpretar o sinal 
recebido.
•Quanto mais limitada for a largura de banda, maior será a distorção e o potencial de erro 
por parte do receptor
Discussão sobre largura de banda mínima
Um ponto importante a se notar com respeito ao espectro da onda quadrada, conforme já
visto, refere-se aos componentes de freqüência que se estendem a valores muito superiores ao da 
freqüência fundamental. Para transmitir a forma de onda sem distorções significativas seria 
necessário um canal com largura de banda considerável (e isso, sem mencionar as características de 
fase). No entanto, conforme já mostrado anteriormente, um trem de pulsos não precisa ser recebido 
sem qualquer distorção para que possam ser tomadas decisões corretas sobre os estados binários. 
De fato (e.g., ver Teorema de Nyquist), desde que a componente fundamental (com 
freqüência 1/2T [Hz] ) da onda quadrada correspondente à seqüência de bits ...10101010... possa 
ser transmitida,então as decisões sobre os estados binários serão corretas.
A figura a seguir mostra como é possível, na teoria, transmitir (1/T) símbolos por 
segundo sobre um canal de largura de banda igual a (1/2×T) Hz.
Ou, expressando-se de outra forma, é possível transmitir a uma taxa de 2××××B símbolos 
por segundo sobre um canal ideal limitado a uma banda igual a B Hz.
Integrais de funções periódicas
Antes de prosseguir há necessidade de considerar algumas integrais específicas 
envolvendo números inteiros m e n. Tratam-se de integrais sobre um, único, período dos 
integrandos (i.e., função submetida à operação de integração) periódicos.
As integrais de interesse são senos, co-senos e suas combinações, onde a 
integração se dá sobre um período de -pipipipi a +pipipipi.
Antes, porém, a integral da constante unitária sobre o período 2pipipipi:
( ) [ ] ( )[ ]∫+
−
−
=−−==
pi
pi
pi
pi pipipi 2xdxi
( ) ?cos =∫
−
pi
pi
nxdxii
( ) ( )00sensensencos ≠⇔=−−=



=
−
−
∫ nn
n
n
n
n
nx
nxdx pipi
pi
pi
pi
pi
( ) 0sen =∫
−
pi
pi
nxdxiii
( ) ?cos2 =∫
−
pi
pi
nxdxiv
( ) ( )
=
−
−
−
−+=



+=
+
=
−
−−
∫∫ 24
2sen
24
2sen
24
2sen
2
12cos
cos2
pipipipi
pi
pi
pi
pi
pi
pi n
n
n
nx
n
nxnx
nxdx
pi
pipipi
pi
=+=∫
− 22
cos2 nxdx
Lembrando que: 1cos22cos 2 −= AA e n ≠ 1
( ) pipi
pi
=∫
−
nxdxv 2sen
( ) ( )nmnxdxmxvi ≠⇔=∫
−
?coscos
pi
pi
Lembrando que: 2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A - B), vem:
( ) ( )[ ] =−++= ∫∫
−
dxxnmxnmnxdxmx coscos
2
1
coscos
pi
pi
( ) ( )
=



−
−
+
+
+
=
−
pi
pinm
xnm
nm
xnm sensen
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0sensensen =
−
−−
−
+
−+
−
−
−
+
+
+
=
nm
nm
nm
nmsin
nm
nm
nm
nm pipipipi
( ) ( )nmnxdxmxvii ≠⇔=∫
−
0sensen
pi
pi
( ) ( )nmnxdxmxviii ≠⇔=∫
−
?sencos
pi
pi
Lembrar: 2 sen A sen B = cos (A – B) – cos (A + B)
Como: 2 cos A sen B = sen (A + B) – sen (A – B)
( ) ( )[ ]dxxnmxnmnxdxmx ∫∫
−−
−−+=
pi
pi
pi
pi
sensen
2
1
sencos
( ) ( ) pi
pi−




−
−
+
+
+
−=
nm
xnm
nm
xnm coscos
2
1
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0coscoscoscos
2
1
=





−
−−
−
+
−+
+
−
−
+
+
+
−=
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
nm pipipipi
( ) ( )00sencos ≠=⇔=∫
−
nmnxdxmxix
pi
pi
Lembrar que: sen 2 A = 2 sen A cos A
Funções Ortogonais:
Se duas funções distintas f (x) e g (x) são definidas no intervalo a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b e 
∫ =
b
a
dxxgxf 0)()(
então, pode-se dizer que as duas funções são ortogonais entre si no intervalo a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b.
Conforme foi visto, as funções trigonométricas sen nx e cos nx, onde n = 0, 
1, 2, 3, ... , formam uma coleção infinita de funções periódicas que são mutuamente 
ortogonais no intervalo -pipipipi ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ pipipipi (i.e., 2pipipipi).
Considerando que certas condições sejam satisfeitas (i.e., condições de 
Dirichlet), é possível escrever uma função periódica, de período 2pi, como uma expansão 
em série das funções periódicas discutidas anteriormente.
Isto é, se f(x) for definida no intervalo -pipipipi ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ pipipipi, onde f (x + 2npipipipi) = f (x), 
então:
( )∑
∞
=
++=
1
0 sencos)(
n
nn nxbnxaaxf
o que representa a expansão em série trigonométrica de Fourier de f (x) onde an
e bn são constantes denominadas coeficientes de Fourier .
Exemplo 
Determinar o coeficiente a10 na expansão em série de Fourier:
( )∑
∞
=
++=
1
0 sencos)(
n
nn nxbnxaaxf
Solução:
Para calcular o coeficiente a10, multiplica-se f (x) por cos (10x) e efetua-se a integração 
sobre um período:
xdxnxbnxaaxdxxf
n
nn 10cossencos10cos)(
1
0∫ ∑∫
−
∞
=
−






++=
pi
pi
pi
pi
∫∑∫∑∫
−
∞
=
−
∞
=
−
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
xdxnxbxdxnxaxdxa
n
n
n
n 10cossen10coscos10cos
11
0
010coscos0
11
0 ×++×= ∑∫∑
∞
=
−
∞
= n
n
n
n bxdxnxaa
pi
pi
...00...00 1110910 +×+×+×++×+×= aaaaa pi
Portanto:
( ) ( )∫∫∫
−−−
=⇔=⇒×=
pi
pi
pi
pi
pi
pi pipi
pi mxdxxfaxdxxfaaxdxxf m cos110cos110cos)( 1010
SSééries de Fourierries de Fourier
Em cursos anteriores, sobre métodos matemáticos, já foi visto como funções 
complicadas podem ser expressas como séries de potência:
...)( 332210 ++++= xaxaxaaxP
O teorema de Taylor, por exemplo, provê uma forma de expressar uma função 
como uma série de potências (i.e., Séries de Taylor, Séries de Maclaurin), mas só pode 
ser aplicado para aquelas funções que são contínuas e diferenciáveis dentro da faixa (i.e. 
“range”) de interesse.
No entanto, conforme visto, uma função pode ser representada, também, por 
uma soma de termos em seno e co-seno (i.e, Séries de Fourier). 
• Diferentemente das Séries de Taylor, as Séries de Fourier podem descrever funções 
que não são contínuas, ou diferenciáveis, em qualquer ponto.
• Outras vantagens: são fáceis de diferenciar e integrar, seus módulos são facilmente 
obteníveis, e cada termo contém apenas uma freqüência característica.
• Este último ponto é importante porque as Séries de Fourier são comumente utilizadas 
para representar a resposta de um sistema a uma entrada periódica, e essa resposta 
depende diretamente do conteúdo de freqüências da entrada (e.g., vibrações de uma 
corda finita, espalhamento da luz em superfícies rugosas, transmissão de um sinal de 
entrada por um circuito eletrônico).
Funções com períodos diferentes de 2pipipipi
Se y = f (x) é definida entre os limites (-T/2) a (T/2), i.e., tem um período T, 
pode-se converter isso a um intervalo 2pi através da mudança de unidades da variável 
independente.
Em muitos casos práticos, que envolvem oscilações físicas, a variável 
independente é o tempo (t) e o intervalo é denominado T, i.e., 
f (t +T) = f (t)
Cada ciclo é
completado em T segundos e 
a freqüência f hertz
(oscilações por segundo) da 
função periódica é dada 
portanto por :
T
f 1=
Se a velocidade angular, w radianos por segundo, é definida como w = 2 pipipipi f , 
então:
w
T
T
w
pipi 22
=⇒=
O ângulo, x radianos, a qualquer instante t é portanto: tTwtwtx
pi2
=⇒=
( )∑ ∑
∞
=
∞
= 





++=++=
1 1
00
2
sen
2
cossencos)(
n n
nnnn T
tnb
T
tn
aanwtbnwtaatf pipi
A Série Trigonométrica de Fourier (Joseph Fourier; 1768-1830), para 
representar a função f (t) pode ser expressa como:
Os coeficientes podem ser então calculados:
∫∫ ==
w
T
dttfwdttf
T
a
pi
pi
2
000
)(
2
)(1
∫∫ ==
w
T
n nwtdttfwnwtdttfTa
pi
pi
2
00
cos)(cos)(2
∫∫ ==
w
T
n nwtdttfwnwtdttfTb
pi
pi
2
00
sen)(sen)(2
Os limites podem ser 0 a T, (-T/2) a (T/2), (-pipipipi/w) a (pipipipi/w), 0 a (2 
pipipipi/w) , etc., ou seja, aquilo que for mais conveniente, respeitando obviamente a 
cobertura de um período completo.
Exemplo 1
A função periódica mostrada na figura a seguir pode ser descrita pela seguinte
série trigonométrica de Fourier:






−





+





−





+=
1111
6
sen25,06cos5,02sen75,02cos1)(
T
t
T
t
T
t
T
t
ts p
pipipipi
•Coeficiente, na freqüência 0, a0=1, que é o valor médio da função
•componentes discretos com coeficientes a1=1 e b1=-0,75 na freqüência fundamental
(i.e., 2pi/T1=2pif1)
•componentes discretos com coeficientesa3=0,5 e b3=-0,25 na freqüência 
correspondente à terceira harmônica (i.e., 6pit/T1 = 3 × 2pi/T1) 
SSéérie de Fourier na forma de Cosseno ou rie de Fourier na forma de Cosseno ou ““SSéérie de Fourierrie de Fourier
TrigonomTrigonoméétrica Compactatrica Compacta””
∑
∞
=






++=
1 0
0
2
cos)(
n
nn T
ntCCt θpiϕ
00 aC =
22
nnn baC += [ ]nnn ab−= −1tanθ
Exemplo 2
Dada a série de trigonométrica de Fourier a seguir (i.e., a mesma do Exemplo 1), 
expresse-a como série de Fourier na forma de co-seno (i.e., compacta)






−





+





−





+=
1111
6
sen25,06cos5,02sen75,02cos1)(
T
t
T
t
T
t
T
t
ts p
pipipipi
Na série trigonométrica de Fourier, pode-se combinar os termos seno e co-
seno de mesma freqüência através da identidade trigonométrica:
( )nnnn tnwCtnwsenbtnwa θ+=− 000 cos)()cos(
Ou seja, e onde,
100 == AC 25,15625,175,01 221 ==+=C
56,0559,03125,025,05,0 223 ≈==+=C
011
1 89,366435,0)75,0(tan1
75,0
tan −=−=−=
−
=
−−
radianosφ
011
3 56,264636,0)5,0(tan5,0
25,0
tan −=−=−=
−
=
−−
radianosφ
Ou seja, a forma compacta pode ser escrita:






−+





−+= 464,06cos56,0644,02cos25,11)(
11 T
t
T
t
tsp
pipi
Essa representação fornece os 
espectros de amplitude e fase de um lado só
(i.e., eixo de freqüências positivo). Ou seja, trata-
se do espectro unilateral.
≡-36,9o ≡-26,6o
A amplitude e fase de cada componente senoidal pode ser calculada através de
22
nnn baC += [ ]nnn ab−= −1tanθe
Uma interpretação interessante para o espectro 
trigonométrico de Fourier
Stremler, F. G., “Introduction to Communication Systems”, 3rd ed. , 1990
Exemplo 3
Determinar a serie compacta de Fourier para a exponencial e-t/2 no intervalo pi≤≤t0
Efetuando os cálculos inicialmente para determinar a série trigonométrica de Fourier
no intervalo ou seja, . Portanto a freqüência fundamental épi≤≤ t0 pi=0T
srad
T
fw /222
0
00 ===
pi
pi
∑ ∑
∞
=
∞
=






+





+=
1 1 00
0
2
sen
2
cos)(
n n
nn T
ntB
T
ntAAtg pipi
onde n é um inteiro positivo, e os valores dos coeficientes A0, An e Bn são
∫
+
=
01
1
)(1
0
0
Tt
t
dttg
T
A ∫
+






=
01
1 00
2
cos)(2
Tt
t
n dtT
nt
tg
T
A pi ∫
+






=
01
1 00
2
sen)(2
Tt
t
n dtT
nt
tg
T
B pi
ou seja,
( )[ ] 5402,021)2(11 02/
0
2/
0
2/
0 =−−=−==
−−−
∫ eeedteA
tt pipi
pi
pipipi
( )∫ −=
pi
pi 0
2/ 2cos2 dtnteA tn como [ ])sen()cos()cos( 22 bxbbxaba
edxbxe
ax
ax +
+
=∫ sendo a = (-1/2) e b = 2n
( )
( )
pi
pi
0
2
2
2
1
)2sen(2)2cos(
2
1
2
2
1
2






+





−
+





−
=
−
ntnnt
n
eA
t
n
( ) ( )( ) ( ) ( )( )






+
+
+
−=












+





−
+
−





+





−
+
= 2222 161
2
161
416,0202
2
1
161
1402
2
1
161
208,042
nn
n
n
n
n
An
pipi






+
= 2161
2504,0
n
An
do mesmo modo, obtém-se
( ) 





+
== ∫
−
2
0
2/
161
8504,02sen2
n
ndtnteB tn
pi
pi
Portanto, a série trigonométrica de Fourier é a seguinte
( )





+
+
+= ∑
∞
=
ntnnt
n
tg
n
2sen42cos
161
21504,0)(
1
2
Em seguida, calcular-se-á a série compacta de Fourier
504,000 == AC
( ) ( )
( )
( ) 





+
=
+
+
=
+
+
+
=+=
222
2
22
2
22
22
161
2504,0
161
1614504,0
161
64
161
4504,0
nn
n
n
n
n
BAC nnn
( )n
A
B
n
n
n 4tantan
11
−=





−
=
−−θ
As amplitudes e fases da componente “dc” e das sete primeiras harmônicas são 
apresentadas na tabela e nos gráficos a seguir
A série compacta de Fourier pode ser portanto representada como
( )∑∞
=
−
−
+
+=
1
1
2
4tan2cos
161
2504,0504,0)(
n
nnt
n
tg
( ) ( ) ( ) pi≤≤+−+−+−+= tttttg 0...24,856cos084,087,824cos125,096,752cos244,0504,0)( 000
n 0 1 2 3 4 5 6 7
Cn 0,504 0,244 0,125 0,084 0,063 0,0504 0,042 0,036
θn 0 75,96 82,87 85,24 86,42 87,14 87,61 87,95
Nota: como w0 = 2 rad/s, 
tem-se 
p/ n = 1 => w = 2 rad/s, 
p/ n = 2 => w = 4 rad/s, 
etc.
Espectro unilateral
Periodicidade da Série Trigonométrica de Fourier
Conforme visto anteriormente:
( )∑∑ ∞
=
∞
=
++=





++=
1
00
1 0
0 cos
2
cos)(
n
nn
n
nn
tnwCC
T
ntCCt θθpiϕ
( )( )∑∞
=
+++=+
1
0000 cos)(
n
nn
TtnwCCTt θϕe, pode-se escrever:
ou:
∑
∞
=






+++=+
1
0
0
000
2
cos)(
n
nn
T
T
ntnwCCTt θpiϕ
( )∑∞
=
+++=+
1
000 2cos)(
n
nn
ntnwCCTt θpiϕ ( )∑∞
=
++=+
1
000 cos)(
n
nn
tnwCCTt θϕ
)()( 0 tTt ϕϕ =+ para todo t
Isto mostra que a Série Trigonométrica de Fourier é uma função periódica 
de período T0 (i.e., período de sua componente fundamental).
Dessa forma, os coeficientes de Fourier de uma série representando um sinal periódico 
g(t) (para todo t) podem ser expressos:
∫∫ ==
+
0
01
1
)(1)(1
00
0 T
Tt
t
dttg
T
dttg
T
a
∫ 





=
0
00
2
cos)(2
Tn
dt
T
nt
tg
T
a
pi
∫ 





=
0
00
2
sen)(2
Tn
dt
T
nt
tg
T
b pi
⇒⇒⇒⇒
( )∑∞
=
−
−
+
+=
1
1
2
4tan2cos
161
2504,0504,0)(
n
nnt
n
tg
( ) ( ) pi≤≤+−+−+= tptttg 0/...87,824cos125,096,752cos244,0504,0)( 00
Por exemplo, , a Série de Fourier (ver expressões a seguir) calculada no 
Exemplo 3, é uma função periódica na qual o segmento de g(t) da parte (a) da figura, 
referente ao intervalo , repete-se a cada pi segundos, conforme mostrado na 
parte (b).
)(tϕ
pi≤≤ t0
Assim, quando representamos um sinal g(t) através da Série Trigonométrica de Fourier 
sobre um certo intervalo de tempo T0 , a função g(t) e sua Série de Fourier, , precisam, 
apenas, ser iguais sobre aquele intervalo T0 segundos. Fora desse intervalo, a Série de Fourier se 
repete periodicamente com período T0 .
Agora se a função g(t) fosse periódica com período T0 , então uma Série de Fourier 
representando g(t) sobre um intervalo T0 estará também representando g(t) para todo t (i.e., não 
apenas sobre o intervalo T0 ).
)(tϕ
SSéérie de Fourier Complexa, ou Srie de Fourier Complexa, ou Séérie exponencial de Fourierrie exponencial de Fourier
A forma exponencial de um número complexo, e sua relação com a forma polar 
são dadas por:
θθθ jerjrz ×=+= )sen(cos
e dessa forma,
ou,
θθθ jej =+ sencos
( ) ( ) θθθθ θ sencossencos jej j −==−+− −
Usando estas duas equações, pode-se escrever:
2
cos
θθ
θ
jj ee −+
= j
ee jj
2
sen
θθ
θ
−
−
=e
Estas duas últimas equações permitem o desenvolvimento de uma representação 
alternativa das séries de Fourier
(i.e., Teorema de Euler)
Conforme já foi visto, a série trigonométrica de Fourier de uma função f (t) , 
onde f (t + T) = f (t) é dada por:
( )∑ ∑
∞
=
∞
= 





++=++=
1 1
0000
2
sen
2
cossencos)(
n n
nnnn T
tnb
T
tn
aatnwbtnwaatf pipi
Substituindo sen (.) e cos (.) por suas representações complexas exponenciais:
∑
∞
=
−−






−+
+
+=
1
0 22
)(
0000
n
tjnwtjnw
n
tjnwtjnw
n j
eebeeaatf
∑
∞
=
−




















−
+









 +
+=
1
0
00
22
)(
n
tjnw
n
n
tjnw
n
n
e
j
b
a
e
j
b
a
atf
∑
∞
=
−











 +
+





 −
+=
1
0
00
22
)(
n
tjnwnntjnwnn e
jba
e
jba
atf
Definindo-se agora: de forma que o complexo conjugado
de dn seja: . Pode-se então escrever:
2
nn
n
jbad −=
2
* nn
n
jbad +=
( ) ∑ ∑∑ ∞
=
∞
=
−
∞
=
− ++=++=
1 1
*
0
1
*
0
0000)(
n n
tjnw
n
tjnw
n
n
tjnw
n
tjnw
n ededdededdtf
Por conveniência, pode-se anotar como . Isto significa que a
-n = 
an e b-n = -bn
*
nd nd−
∑ ∑∑ ∑
∞
=
−∞
−=
−
∞
=
∞
=
−
−
++=++=
1 1
0
1 1
0
0000
...
n n
tjnw
n
tjnw
n
n n
tjnw
n
tjnw
n ededdededd
∑∑
∞
=
−
−∞=
++=
1
1
0
00)(
n
tjnw
n
n
tjnw
n eddedtf
∑
∞
−∞=
=
n
tjnw
nedtf 0)( 2
nn
n
jbad −=onde,
Mas,






−= ∫ ∫
− −
2
2
2
2
00 sen)(
2
cos)(2
2
1 T
T
T
Tn
tdtnwtf
T
jtdtnwtf
T
d
Finalmente:
( )∫
−
−=
2
2
00cos)(
1 T
Tn
dttjsennwtnwtf
T
d
∫
−
−
=
2
2
0)(1
T
T
tjnw
n dtetfTd
∫=
T
n nwtdttfTa 0 cos)(
2
∫=
T
n sennwtdttfTb 0 )(
2e
então:
No espectro exponencial é usual plotar a amplitude (ou magnitude) e o ângulo 
dos coeficientes complexos dn. Isso requer que os coeficientes dn sejam expressos 
na forma polar:
A comparação das séries compacta e exponencial mostra: 
ndj
n ed
∠
00 ad =
nnn cdd 2
1
==
−
nnd θ=∠
nnd θ−=−∠
Em resumo, a série exponencial de Fourier é dada por:
∑
∞
−∞=
=
n
tjnw
nedtf 0)( ∫
−
−
=
2
2
0)(1
T
T
tjnw
n dtetfTdonde,
Notas a respeito do espectro bilateral
Conforme visto, a partir do teorema de Euler, foi possível desenvolver a alternativa de 
representação do espectro bilateral a partir do espectro de linha unilateral. Ou seja, considerando o 
teorema de Euler:
De forma similar:
Adicionando-se estas duas equações, obtém-se: 
Qualquer termo em cosseno pode portanto ser reescrito como a soma de dois termos 
exponenciais. Considerando, por exemplo, o termo (cos wt), representando um sinal senoidal com 
amplitude unitária, freqüência angular w e fase de referência igual a zero:
θθθ jsenj += cos)exp(
θθθ jsenj −=− cos)exp(
[ ])exp()exp(
2
1
cos θθθ jj −+=
[ ])exp()exp(
2
1)cos( jwtjwtwt −+=
Estendendo, ou ampliando a notação do termo “espectro” , os termos exponenciais podem 
também ser representados num diagrama espectral, conforme mostrado na figura a seguir, onde a parte 
(a) mostra o espectro de amplitude unilateral (i.e., single-sided amplitude spectrum) representando (cos 
wt), enquanto que a parte (b) mostra o equivalente exponencial ou seja, o espectro de amplitude 
bilateral (i.e., double-sided amplitude spectrum).
O espectro de amplitude da senóide f(t) = cos wt: (a) unilateral; (b) bilateral
Freqüência negativa ?
Não se deve tentar visualizar a freqüência negativa – a idéia de uma freqüência negativa 
propriamente dita não é exatamente esclarecedora neste contexto. A senóide real tem uma freqüência 
expressa como um número positivo. Ao se escolher expressar a senóide como dois termos 
exponenciais, tem-se um deles como uma função de w e o outro de –w. Em conjunto, estes dois 
termos se constituem numa representação equivalente da senóide. Note-se ainda que a amplitude de 
cada termo exponencial corresponde à metade da amplitude do termo cosseno original.
A notação pode se estender de forma a incluir a fase. Considerando uma componente 
senoidal geral e convertendo-a para a forma exponencial:
)exp()exp(
2
)exp()exp(
2
)cos( jwtjAjwtjAwtA −−+=+ φφφ
coeficiente da freqüência positiva coeficiente da freqüência negativa
[ ] [ ])exp(
2
)(exp
2
)cos( φφφ −−++=+ wtAwtjAwtA
Coeficientes associados aos termos de freqüência positiva e negativa
Na equação anterior, o coeficiente da freqüência positiva é um número complexa na 
forma polar com magnitude (ou amplitude) A/2 e ângulo (ou fase) φ. Ou seja, o coeficiente 
complexo inclui tanto informação de amplitude como de fase. De forma similar, a freqüência 
negativa tem uma amplitude igual a A/2, mas agora a fase é -φ.
Os espectros de amplitude e fase unilateral e bilateral são comparados na figura a seguir:
Espectro (a) unilateral e (b) bilateral de f(t) = A cos (wt + φ)
Em resumo, uma forma saudável de encarar essa situação (i.e., freqüência negativa) é
interpretar o espectro exponencial como sendo uma representação gráfica de coeficientes em 
função de w (i.e., 2pif). A existência do espectro na freqüência w = -nw0 é apenas uma indicação do 
fato que uma componente exponencial exp(-jnw0t) existe na série.
Exemplo 4
Mostre o espectro exponencial para a função periódica dos Exemplos 1 e 2






−





+





−





+=
1111
6
sen25,06cos5,02sen75,02cos1)(
T
t
T
t
T
t
T
t
tsp
pipipipi
Para esta série: D0=1, 
D1=0,625e-j0,644, D-1=0,625e+j0,644
D2=0,279e-j0,464, D-2=0,279e+j0,464
Quatro convenções com respeito a espectros de linha
1) Em todos os desenhos de espectro a variável independente será representada pela 
freqüência cíclica f hertz , ao invés de freqüência w em radianos (notas: 1. w 
radianos por segundo é mais conveniente para efeito de cálculo matemático; 2. w = 
2pif).
2) Ângulos de fase são medidos com relação a co-seno, ou com relação ao eixo real 
positivo do diagrama de fasores. Dessa forma, seno deve ser convertido para co-seno 
através de sen wt = cos (wt – 90o) .
3) Com relação à amplitude (que deve ser sempre positiva), quando aparecerem sinais 
negativos, os mesmos devem ser absorvidos ou identificados na fase através de 
-A cos wt = A cos (wt ±±±± 180o)
4) Ângulos de fase devem ser normalmente expressos em graus mesmo que para efeito 
de cálculo sejam utilizados em radianos.
Exercício: 
Construir os espectros unilateral e bilateral de: ( )tsentv pi3043)( −−=
Exemplo 5
Mostre os espectros de um e dois lados (i.e., espectros unilateral e bilateral) 
para o sinal: 
Solução:
)90602cos(4)18060202cos(1002cos7)( 000 −++−+= ttttw pipipi
)90602cos(4)120202cos(1002cos7)( 00 −+++= ttttw pipipi
Representação através de um par de fasores 
conjugados):
tjwjtjwj
ee
A
ee
A
twA 00
22
)cos( 0 −−+=+ φφφ
Espectro unilateral Espectro bilateral
pipi 120sen4)6040cos(107)( 0 +−−= ttw
Exemplo 6
Determinar a serie exponencial de Fourier para a função periódica e-t/2 do Exemplo 3.
Solução:
A partir dos resultados obtidos no Exemplo 7.3, têm-se:
504,00 =D
096,75
1 122,0
jeD −=
096,75
1 122,0
jeD +
−
=
087,82
2 0625,0 jeD −=
087,82
2 0625,0 jeD +− =
... e assim por diante ...
Espectro bilateral
Exemplo 7
Determinar a Serie Trigonométrica de Fourier de um trem de pulsos de 
período T e largura ττττ .
∑ ∑
∞
=
∞
=






+





+=
1 1
0
2
sen
2
cos)(
n n
nn T
ntb
T
nt
aatf pipi
∫
+
−
=
2
2
0 )(
1 T
T
dttf
T
a ∫
+
−






=
2
2
2
cos)(2
T
T
n dtT
nt
tf
T
a
pi
∫
+
−






=
2
2
2
sen)(2
T
T
n
dt
Tnt
tf
T
b pi
Solução:
para f(t) real. Os coeficientes a0, an, bn são dados por 
[e.g., w0 = 2pif0 = (2pi)/T ]:
[ ] [ ] Vd
T
V
T
V
T
V
t
T
VdtV
T
a ===











−−==×=
+
−
+
−
∫
τ
τ
τττ
τ
τ
τ 22
1 2
2
2
2
0
( ) ( )ax
a
dxax cos1sen −=∫lembrando que: e ( ) ( )ax
a
dxax sen1cos =∫
( ) 











−





−





==





=
+
−
+
−
∫ 2
2
2
2
2
22
2
22
cos
2 2
2
2
2
τ
Τ
pin
sen
τ
Τ
pin
sen
pin
VΤ
Τ
t
Τ
pin
sen
pin
VΤ
Τ
tdt
Τ
pinV
Τ
α
τ
τ
τ
τ
n


















=
2
22
2
2 τ
Τ
pin
sen
pin
VΤ
Τ
αn
T
n
T
n
T
V
n
T
n
V
T
n
n
V
a
n τpi
τpi
τ
pi
τpi
τpi
pi






==





=
sen
2sen2sen2
e, rearranjando convenientemente os termos:
Calculando-se bn da mesma forma:
2
2
2
2
2
cos
2
22)(2
τ
τ
τ
τ
pi
pi
pi
+
−
+
−






−=





= ∫ tT
n
n
VT
T
tdt
T
n
senV
T
bn
[ ] 00
2
2
2
2
cos
2
2
cos
2
2
=−=











−





−





−=
n
VT
TT
n
T
n
n
VT
T
bn pi
τpiτpi
pi
∑
∞
=






+=
1
0
2
cos)(
n
n T
nt
aatf pi
Portanto, f(t), para d = ττττ/T = 1/2 , pode ser escrito como:












+= ∑
∞
= T
nt
T
n
T
n
T
V
T
Vtf
n
pi
piτ
piτ
ττ 2
cos
sen
2)(
1










+




 ×
+




 ×
+





+= ...
23
cos
3
3
sen22
cos
2
2
sen2
cos
sen2)(
T
t
T
T
T
t
T
T
T
t
T
T
T
V
T
Vtf pi
τ
pi
piτ
pi
τ
pi
piτ
pi
τ
pi
piτ
ττ










+




 ×
+




 ×
+





+= ...
23
cos
2
13
2
3
sen22
cos
2
12
2
2
sen2
cos
2
1
2
sen
2
2
2
1)(
T
t
T
t
T
tVVtf pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi






+




 ×
−





+=










+




 ×
−+





+= ...
23
cos
3
12
cos
2
2
...
23
cos
2
3
102cos
2
1
2
)(
T
t
T
tVV
T
t
T
tVVtf pipi
pi
pi
pi
pi
pi
⇒⇒⇒⇒
Exemplo 8
Calcule a Série de Fourier Complexa para a função:
220
221
220
Tta
ata
atT
<<
<<−
−<<−
=)(tf
Solução:
∑
∞
−∞=
=
n
tjnw
nedtf 0)( ∫
−
−
=
2
2
0)(1
T
T
tjnw
n dtetfTd T
w
pi2
0 =onde, e
( ) 




−
−
=








−
−
=





−
==
−−
−
−
−
−
∫ pipi nj
ee
Tjn
ee
Tjnw
e
T
dte
T
d
ajnwajnwajnwajnwa
a
tjnwa
a
tjnw
n 22
111 2222
2
20
2
2
00000
0
( ) ( )[ ]
pi
pi
pi
pi
pi n
Tan
n
aTn
n
anwdn
sen22sen2sen 0
===
tjnw
n
n
n
n eTan
Tan
T
a
T
a
tf
Tan
Tan
T
ad 0
0
sen)(sen ∑
∞=
≠
−∞=






+=⇒





=
pi
pi
pi
pi
FunFunçção Sincão Sinc
As definições para essa função variam:
[ ]
x
x
xsinc
pi
pi )sen()( =
outros a definem como
[ ]
x
x
xsinc )sen()( =
[ ]
x
x
xSa )sen()( =
Existe ainda uma outra 
definição envolvendo amostragem
No curso será utilizada a primeira.
rad0sen →⇔→ θθθ
[ ] 01)sen( →⇔=→ x
x
x
x
x
pi
pi
pi
pi
pi
0/)sen(
,...3,2,10
01
≠
=
=
xxx
x
x
pipi
=)(xsinc
Espectro (e.g., amplitude e fase) do trem de pulsos com “duty cycle” d = 1/4
ττ
111
0 == T
Tf
d
T
d τ=
0...,3,2, =⇒= nAnd pipipipi
A0 ≡≡≡≡ DC =
Espectro Unilateral
Análise do espectro:
( ) 





+=











+= ∑∑
∞
=
∞
=
T
nt
ndcAdAd
T
nt
T
n
T
n
sen
T
A
T
Atf
nn
pipi
piτ
piτ
ττ 2
cossin22cos2)(
11
0...,3,2,1 =⇒=
n
Andou
Algumas observações importantes à respeito do espectro do trem de pulsos:
• As linhas do espectro ocorrem nas freqüências f = 0 , f0 , 2f0 , 3f0 , ... . 
Em f = 0 existe a componente “DC”. Para f = f0 = 1/T tem-se a freqüência fundamental
e f = nf0 representa a n-ésima harmônica; T é o período do trem de pulsos.
• A amplitude da n-ésima harmônica é igual a An = 2d sinc (nd), para n = 1, 
2, 3 , ..., sendo d o ciclo de trabalho (i.e., duty cycle) do trem de pulsos. Um trem de 
pulsos retangulares bipolares não tem componente DC, enquanto que um trem de pulsos 
unipolares tem uma componente “DC” com valor A0 = d= ττττ/T. Se o trem de pulsos 
retangulares tiver amplitude A ≠ 1, então todas os componentes do espectro, incluindo A0
serão multiplicados pelo fator A.
• As freqüências harmônicas correspondentes a nd = 1 , 2 , 3 , 4 , ... , terão 
amplitude 0 (zero) . Por exemplo, uma onda quadrada, que é um trem de pulsos 
retangulares com d = 0,5 , não terá componente espectral nas freqüências 2f0, 4f0, 6f0, 
etc. A figura anterior mostra um trem de pulsos com d = ¼ =0,25. Portanto, toda 
(n=1/0,25)-ésima harmônica, ou seja, toda 4a harmônica, (i.e., 4f0, 8f0, 12f0, etc.) será igual 
zero. 
• Um lóbulo (i.e., entre zeros adjacentes) do envelope do espectro tem largura f = 
1/ττττ. O número de linhas espectrais contidas em um lóbulo depende do “duty cycle” e é
igual a: ( ) 1linhas −= d1
Espectro de amplitude para diversos 
valores de ττττ/T , ττττ fixo
Espectro de amplitude para diversos 
valores de ττττ/T , T fixo
Fixando-se a largura do pulso, ττττ , fixa-se a largura do lóbulo, e se o período, T , 
do trem de pulsos retangulares é aumentado, então, d (i.e., ττττ/T ) decresce e a densidade 
espectral das linhas cresce. Isso pode também ser observado com o fato de diminuir a 
distância f0 = 1/T à medida em que T cresce.
A largura do lóbulo principal no espectro de amplitude (i.e., de f = 0 a f = 1/ττττ), 
algumas vezes considerada como sendo a largura de banda do trem de pulsos, é
inversamente proporcional à largura do pulso. Pulsos mais estreitos são muitas vezes 
necessários, por exemplo, na multiplexação por tempo, ou Time Division Multiplexing para 
empacotar uma quantidade maior de pulsos (e.g., palavras constituídas por dígitos binários 
contendo informação) independentes dentro de um determinado período T. Em outras 
palavras, obtém-se aumento de capacidade às custas de aumento da largura de banda 
necessária
Um equipamento disponível para medidas de laboratório do espectro de sinais 
periódicos (i.e., de potência) é o analisador de espectro de varredura (i.e., “scanning 
spectrum analyser”). Basicamente, o analisador de espectro é projetado para aceitar um 
espalhamento (i.e., banda) bastante estreito de freqüências, medir a potência e plotar a 
raiz quadrada dessa potência na forma de deflexão vertical na tela de um osciloscópio. 
Uma voltagem em forma de dente de serra, derivada do circuito de varredura do 
osciloscópio, faz com que o analisador varra as freqüências de interesse linearmente, à
medida em que o traço do osciloscópio se move horizontalmente. Qualquer componente 
espectral presente resulta num deslocamento verticalno traço do osciloscópio. Isso pode 
dar uma representação bastante razoável da magnitude do espectro da forma de onda 
injetada na entrada do aparelho. A precisão da aproximação, obviamente, cresce à medida 
em que se utilizam filtros com faixas mais estreitas.
Analisador de Espectro
Analisador de espectro Conceito de um analisador de espectro
Diversas formas de onda senoidais na entrada Gráfico de espectro de freqüência
do analisador de espectro
ConteConteúúdo de Potência dos Sinaisdo de Potência dos Sinais
A figura, a seguir, mostra um sinal de tensão v(t), em volts, desenvolvido através de um 
elemento de resistência R (em ohms, ou Ω). Isso provoca o aparecimento de uma corrente i(t) (em 
ampère) fluindo através do resistor. A relação entre i(t), v(t) e R é dada pela lei de Ohm:
)()( tiRtv ×=
A potência instantânea, medida em watts, ou 
Joules por segundo (i.e., 1 W = 1 J/s), no resistor é:
R
tv
tp
2)()( = ou
2)()( tiRtp ×=
Normalmente, é conveniente trabalhar com 
potência normalizada, que é a potência dissipada em 
um resistor de 1 Ω. Nesse caso, independentemente do 
fato de um sinal s(t) ser uma corrente ou voltagem, a 
potência instantânea será dada pela mesma expressão:
2)()( tstp =
Nota: Energia = (potência) × (intervalo de tempo), ou W = P × t ⇒ [watts] × [segundo] = [Joule]
Energia, Trabalho ⇒ [Joule] = [Newton] × [metro] 
Unidade de Potência ⇒ [Watt] = [Joule] / [segundo]
A potência média P de um sinal periódico s(t) é definida como a média do quadrado do 
valor do sinal, em um período T desse sinal. Isso significa que P é o valor quadrático médio (i.e., 
mean square value) do sinal. A raiz quadrada do valor quadrático médio fornece o que é
usualmente denominado root mean square (i.e., rms) do valor do sinal. P é a quantidade de 
calor que seria dissipado, em um segundo, se o sinal s(t) fosse uma corrente ou voltagem aplicada 
em um resistor de 1 ΩΩΩΩ. P é calculado através:
Vrms é o valor rms de v(t).
Exemplo 9
Mostrar que a potência média de um sinal senoidal v(t) = A cos (wt + φ) é igual à
metade do quadrado de sua amplitude.
Solução: [ ]∫
+
−
=+=
2/
2/
22cos(1
T
T
rmsVdtwtAT
P φ
[ ]
w
w
w
w
w
w w
wt
t
wAdtwtAwdtwtAwP
/
/
2/
/
2
/
/
22
2
)(2sen
4
)(2cos1
2
1
2
)(cos
2
pi
pi
pi
pi
pi
pi
φ
pi
φ
pi
φ
pi
+
−
+
−
+
−



 +
+=++××=+= ∫∫
2
2
42
)2sen()2sen(2
42
)22sen(
2
)22sen(
4
2222 A
w
wA
ww
wA
w
w
w
ww
w
w
w
wAP =×=


 −
+=






















+−
+−−










+
+=
pi
pi
φφpi
pi
φpipiφ
pi
pi
pi
O valor rms de uma senóide é: 2
__
2
sinaldoAmplitudeAPVrms ===
∫
+
−
==
T/2
T/2
2
rms
2 V(t)dtv
T
1P
Lembretes: cos2x = (1/2) × (1 + cos 2 x) e
w = 2pif ⇒ T=2pi/w ⇒ T/2 = pi/w
Teorema de Parseval (i.e., Parseval’s Theorem)
O teorema de Parseval relaciona a potência média P de um sinal periódico 
aos seu coeficientes de Fourier.
Um sinal periódico g(t) é um sinal de potência e cada termo na sua série de 
Fourier é também um sinal de potência. A potência da Série de Fourier é igual à soma das 
potências das suas componentes de Fourier. 
Para a série trigonométrica compacta de Fourier
∑
∞
=






++=
1 0
0
2
cos)(
n
nn T
ntCCtg θpi
A potência de g(t) é dada por
∑
∞
=
+=
1
22
0 2
1
n
ng CCP
Para a série exponencial de Fourier
( )
tjnw
nn
n
eDDtg 0
0
0)( +
∞
≠−∞=
∑+=
A potência de g(t) é dada por
∑
∞
−∞=
=
n
ng DP
2
Exemplo 10
Calcule a potência do Exemplo 5
Solução: P = 7 2 + 2 × 5 2 + 2 × 2 2 = 107 watts (i.e., utilizando o espectro bilateral). 
Espectro ContEspectro Contíínuonuo
Um espectro contínuo consiste em componentes espectrais em todas as 
freqüências de uma determinada faixa. Todo sinal não periódico tem um espectro 
contínuo.
O pulso retangular não periódico v(t) mostrado em (a) é o caso limite de um 
trem de pulsos retangulares (i.e., periódico) vT(t) mostrado em (b), onde o período tende 
ao infinito. Uma vez que f0 =1/T0, segue
∞→⇔→ 00 0 Tf
Portanto, conforme vT(t) é
transformado para v(t), através do aumento 
de T em direção ao infinito, o espaço f0
das componentes espectrais tende a zero, 
dando origem ao espectro contínuo V(f) de 
v(t).
Essa função de freqüência V(f) é
denominada Transformada de Fourier
da forma de onda v(t), enquanto que v(t) é
referido como Transformada de 
Fourier Inversa de V(f).
7. Transformada de Fourier e espectro 7. Transformada de Fourier e espectro 
contcontíínuonuo
Ref.: Carlson, A. B., et al, “Communication System – An Introduction to Signals and Noise in Electrical 
Communication, 4th ed., 2002; Lathi, B. P., “Modern Digital and Analog Communication System”, 3rd ed., 1998; 
Stroud, K. A., “Advanced Engineering Mathematics”, Palgrave, 4thed, 2003.
Para introduzir a Transformada de Fourier, começar-se-á com a representação 
da Série de Fourier de um sinal periódico (i.e., sinal de potência):
∑
∞
−∞=
=
n
tjnw
nedtf 0)(
2
nn
n
jbad −=
∫
−
−
=
2
20
0)(1
T
T
tjnw
n dtetfTd
onde
Podendo-se então escrever:
( ) ( )∑ ∫
∞
−∞=
−






=
n
tfjn
T
tfjn
edtetf
T
tf 0
0
0 22
0
)(1)( pipi
De acordo com o Teorema “Integral de Fourier” há uma representação 
similar para um sinal não periódico (i.e., de energia) que pode ser vista como uma forma 
limite da Série de Fourier de um sinal periódico (i.e., de potência), onde o período tende 
ao infinito.
Conforme já visto, as componentes espectrais de um trem de pulsos estão 
espaçadas por intervalos de nf0 = n/T0, de forma que essas componentes se tornam cada 
vez mais próximas à medida em que o período do trem de pulsos cresce.
No entanto, o formato do espectro, em si, não muda se a largura, ττττ, do 
pulso permanecer constante.
Pode-se considerar o espaçamento de freqüências f0 = 1/T0 se aproximando 
de zero (i.e., f0 = 1/T0 passa a ser representado por df), e o índice n, se 
aproximando do infinito, tal que o produto n ×××× f0 se aproxime de uma variável 
de freqüência contínua, f. Assim:
dfedtetftf ftjftj pipi 22)()( ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−






=
O termo entre colchetes é a transformada de Fourier de f(t), 
simbolizada por F(f), ou G(w), ou F[f(t)]
[ ] ∫
∞
∞−
−
== dtetftfFfF ftj pi2)()()(
A função no domínio do tempo, f(t), é recuperada de F(f) através da 
Transformada Inversa de Fourier:
[ ]∫
∞
∞−
= dfetfFtf ftj pi2)()(
Exemplo 1
Considere o pulso retangular, singular, da figura que é normalmente 
representado por: 



>
<
=





×=




Π
20
2
τ
τ
ττ t
tAt
rectAt
Esboce os espectros de amplitude e fase
Solução: O pulso pode ser escrito como e, fazendo-se a 
substituição na fórmula de Transformada de Fourier:
( )τtAtf Π×=)(
dtAedtAefF jwtftj ∫∫
−
−
−
−
==
2
2
2
2
2)(
τ
τ
τ
τ
pi
( )∫
∞
∞−
= dwewFtf jwt
pi2
1)(ou
Espectro de pulso retangular
F(f) = A ττττ sinc (f ττττ)
Notas:
V(0) = G(0) = A ττττ é igual 
à área do pulso
Pode-se portanto comparar 
esse resultado com o caso de sinal 
periódico onde c(0) representa o valor 
médio de v(t) .
O espectro de fase é obtido 
em função do valor de sinc (f ττττ) , que 
pode ser positivo ou negativo
Assim, arg F(f) assume os 
valores 0o e ±180o, dependendo dosinal de sinc (f ττττ)
[ ] ( )( )τpi τpiττpiτ τpiτpi
ττ
f
fAeefj
A
eejw
AfF fjfjjwjw sen
2
)( 22 =−−=






−−=
−
+−
[ ]ττ fsincAfF ××=∴ )(
( )ττ
τ
fsincAtrect ××⇔





( )jxjx eejx −−= 2
1
senLembrete:
Exemplo 2
A função do exemplo anterior, atrasada t = τ / 2 unidades, é


 <<
=
casosdemais
t
tf
_0
01)( τ
0 τ t
A=1
f(t)
Solução:
[ ] [ ] ( )2)( 2)( )sen( τττττ ττpiτpi τpiτpi wsincefsinceetfF jwfjf ffj −−− ×=××=××=
Algumas propriedades importantes da Transformada de 
Fourier
Obviamente, pode-se passar toda uma vida técnica sem utilizar qualquer uma das 
propriedades a seguir, mas ao custo de considerável trabalho extra e repetitivo.
Vamos chamar G(w) de Transformada Direta de Fourier de g(t) , e g(t) de Transformada 
Inversa de Fourier de G(w) . Isso é o mesmo que dizer: g(t) e G(W) formam um par de 
Transformadas de Fourier. Simbolicamente:
)()( wGtg ⇔
∫
+∞
∞−
−
= dtetgwG jwt)()( ∫ ∞+
∞−
= dwewGtg jwt)(
2
1)(
pie
Propriedade de simetria (i.e., “symmetry property”, ou “duality theorem”)
De acordo com essa propriedade:
se então
Para se provar esse teorema deve-se reconhecer primeiramente que as Transformadas de 
Fourier são integrais definidas cujas variáveis de integração se constituem em “variáveis postiças”
(i.e., “dummy variables”).
Prova: Assim:
Alterando t para w , produz:
)()( wGtg ⇔ )(2)( wgtG −×⇔ pi
∫
∞+
∞−
= dxexGtg jxt)(
2
1)(
pi
∫
+∞
∞−
−
=−× dxexGtg jxt)()(2pi
)()()(2 wGdxexGwg jxw ≡=−× ∫
+∞
∞−
−pi
Exemplo 3: Neste exemplo vamos aplicar a propriedade de simetria ao par de 
Transformadas de Fourier apresentado na parte (a) da figura a seguir.
Solução:
De acordo com esta propriedade:
)()( wGtg ⇔
)(2)( wgtG −×⇔ pi
G(t) e G(w) se constituem na 
mesma expressão, mas com w
substituído por t; g(-w) é o 
mesmo que g(t) , com t 
substituído por –w.






×⇔





2
τ
τ
τ
w
sinctrect 





×=




 −
×⇔





×
τ
pi
τ
pi
τ
τ
w
rect
w
rect
t
sinc 22
2
g(t) G(w) G(t) 2pi g(-w)
Na expressão à direita foi utilizado o fato de que rect (-x) = rect (x) uma vez que rect é
uma função par.
A parte (b) da figura mostra o novo par de Transformadas de Fourier, ficando evidente 
a permutabilidade de t e w .
Propriedade de deslocamento no tempo (i.e., time-shifting property)
A Transformada de Fourier de uma função deslocada no tempo é igual ao 
produto da transformada daquela função com uma exponencial complexa.
Se g(t) ⇔ G(w)
então g(t-t0) ⇔ G(w)e –jwt0
Prova:
Por definição,
Fazendo t – t0 = x => t = x + t0 => dt = dx
( )[ ] ∫
∞
∞−
−
−=− dtettgttgF jwt)( 00
( )[ ] ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−−−+−
===
000 )()()( jwtjwxjwttxjw ewGdxexgedxexgxgF
Este resultado mostra que atrasando um sinal em t0 segundos o seu 
espectro de amplitude não se altera. O espectro de fase, no entanto, sofre uma 
variação de (–wt0) . 
Isso significa que um atraso de tempo em um sinal provoca uma mudança de 
fase linear no seu espectro. 
)cos()](cos[ 00 wtwtttw −=−
Uma senóide cos wt atrasada em t0 segundos é dada por
Portanto, um atraso de tempo t0 em uma senóide de freqüência w se manifesta 
como um atraso de fase igual a wt0. Isso é uma função linear de w, significando que 
componentes de freqüência mais altas precisam passar por deslocamentos de fase 
proporcionalmente maiores para atingir o mesmo atraso em tempo. 
As figuras mostram duas senóides, tendo a segunda uma freqüência duas 
vezes superior à primeira. O mesmo atraso de tempo t0 = td implica num 
deslocamento de fase de pipipipi/2 na senóide de freqüência mais baixa e um deslocamento 
de fase igual a pipipipi na senóide de freqüência mais alta.
Propriedade de deslocamento de freqüência (i.e., frequency-shifting property)
Se g(t) ⇔ G(w)
então g(t)e jw0t ⇔ G(w - w0)
ou, g(t)e -jw0t ⇔ G(w + w0)
Prova:
Por definição,
Esta propriedade afirma que multiplicação de um sinal por um fator e jw0t desloca o 
espectro daquele sinal em w = w0.
Deslocamento de freqüência é obtido na prática através da multiplicação de g(t) por uma 
senóide:
isto é: 
Isso mostra que multiplicação de um sinal g(t) por uma senóide de freqüência w0 desloca 
o espectro G(w) de ±±±±w0 . Multiplicação de uma senóide cos w0t por g(t) equivale a modular a 
amplitude da senóide. Esse tipo de modulação é conhecido como modulação em amplitude (i.e., 
“amplitude modulation”).
[ ] ( )∫
∞
∞−
−−
−== )()()( 000 wwGdtetgetgF twwjtjw
[ ]tjwtjw etgetgtwtg 00 )()(
2
1
cos)( 0 −+=
( ) ( )[ ]000 2
1
cos)( wwGwwGtwtg ++−⇔
Exemplo 4
Determine e esboce a Transformada de Fourier do sinal modulado g(t) cos w0t onde 
g(t) é um pulso conhecido como porta (i.e., “gate pulse”). Esse pulso, mostrado na parte (a) da 
figura, é representado por rect (t/T).
Solução: O pulso g(t) é o mesmo pulso retangular mostrado no Exemplo 1 (com τ = T). Conforme 
já foi demonstrado
Esse espectro é mostrado na parte (b) da figura. O sinal g(t) cos w0t aparece na parte 
(c). De acordo com a propriedade de deslocamento de freqüência, segue:
, mostrado em (d).






×⇔





2
wT
sincT
T
t
rect
( ) ( )[ ]000 2
1
cos)( wwGwwGtwtg ++−⇔
Relação entre entrada e saída no domínio do 
tempo
Para concluir este capítulo, será apresentada uma nova forma de relação entrada-saída 
para sistemas lineares, baseada no domínio do tempo, e não mais nos modelos no domínio da 
freqüência desenvolvidos até aqui. O desenvolvimento teórico deste item se torna mais fácil no 
contexto de sinais e sistemas discretos.
Tendo com base o princípio da superposição, a saída de um processador linear discreto 
em relação a qualquer seqüência de entrada pode ser determinada superpondo seqüência de 
amostras que representam a resposta ao impulso unitário (i.e., resposta impulsiva), adequadamente 
ponderadas. O processo é ilustrado na página seguinte. A resposta impulsiva (finita) aparece no 
topo da figura, e abaixo há uma seqüência de entrada cuja seqüência correspondente de saída se 
deseja calcular. 
As quatro linhas seguintes mostram como a resposta para cada uma das quatro amostras 
da seqüência de entrada podem ser calculadas individualmente. Devido à linearidade e ao princípio 
de superposição estas respostas individuais podem ser somadas para fornecer a saída completa do 
sistema, mostrada na última linha da figura.
Note como a seqüência de saída é mais extensa que a entrada. Neste exemplo a 
seqüência de entrada se estende por um período de tempo igual a 3 intervalos de amostra, ou de 
tempo, e a seqüência correspondente à resposta ao impulso unitário ocupa 2 intervalos de tempo. 
Como resultado, a seqüência de saída ocupa 3 + 2 = 5 intervalos de tempo.
Uma expressão matemática para este processo, conhecido como convolução, pode 
ser extraída diretamente da figura. Designando a resposta amostral unitária do sistema (ou, 
resposta impulsiva) por:
h(n) = h0, h1, h2, h3, ...
Pode-se escrever, a partir da figura:
y0 = x0h0
y1 = x0h1 + x1h0
y2 = x0h2 +x1h1 +x2h0
y3 = x1h2 + x2h1 + x3h0
y4 = x2h2 + x3h1
y5 = x3h2
Cada amostra de saída yn é a soma de convolução de um número de produtos de termos 
de entrada e seqüência de amostras de resposta ao impulso unitário. O subscrito dos termos de 
entrada crescem da esquerda para a direita, enquanto que nos termos da resposta ao impulso 
unitário decrescem. Para um termo de saída genérico yi de qualquer sistema linear, pode-se 
escrever:yi = x0hi + x1hi-1 + x2hi-2 + ... + xi-1h1 + xih0
Ou, utilizando notação compacta,
∑
=
−
=
i
k
kiki hxy
0
O processo de convolução é normalmente escrito diretamente em termos de entrada, saída 
e seqüência de resposta impulsiva conforme segue:
y(n) = x(n) * h(n)
onde o símbolo * se refere à operação de convolução efetuada conforme descrita para todos os valores 
de amostras.
Exemplo
Um processador apresenta a seguinte seqüência de resposta ao impulso unitário (i.e., resposta 
impulsiva):
2; 1,5; 1; 0,5; 0; 0; 0; ...
A seqüência de amostras:
1; 2; 3; 4; 5; 6; ...
é aplicada à entrada do processador. Qual é a quarta amostra de saída (y3)?
Solução
15245,13125,0103122130
3
0
33 =×+×+×+×=+++==∑
=
−
hxhxhxhxhxy
k
kk
153 =y
A convolução em sistemas 
contínuos
Um procedimento análogo pode ser 
utilizado para sistemas lineares contínuos. A idéia 
básica consiste em visualizar o sinal de entrada 
como sendo constituído de pulsos curtos contínuos. 
No limite de um número infinitamente grande de 
pulsos infinitamente curtos, cada pulso pode ser 
tratado como um impulso. 
A saída total do sistemas pode então ser 
calculada sobrepondo as respostas impulsivas 
individuais. A figura ao lado fornece uma idéia 
geral do processo.
Supondo que a resposta impulsiva do 
sistema é um pulso de saída retangular, conforme 
mostrado no topo da figura, para se calcular a 
resposta do sistema a um pulso também retangular 
de entrada, pode-se proceder de forma análoga ao 
descrito com relação ao sistema discreto: 
decompõe-se o sinal de entrada em pulsos de curta 
duração. As respostas individuais impulsivas do 
sistema podem ser somadas para encontrar a 
resposta total.
ConvoluConvoluçção: um tratamento um pouco ão: um tratamento um pouco 
mais formalmais formal
Convolução foi utilizada por Oliver Heaviside no final do 
século dezenove para calcular a corrente de saída de um circuito 
elétrico quando a forma de onda da voltagem era mais complicada 
do que uma simples fonte constituída por uma bateria.
O uso do método de Heaviside precede o uso dos métodos 
analíticos desenvolvidos por Fourier e Laplace.
Como se sabe, a função de transferência H(s) permite o 
cálculo de uma saída V0(s) para uma dada entrada Vi(s) através da 
relação:
( ) ( ) ( ) ( )nulasiniciaiscondiçõessVsHsV i __0 ⇔×=
se ( ) ( ) unitárioimpulsottvi _⇔= δ
A resposta de um circuito a um impulso de tensão v(t) = 
δ(t) é denominada resposta impulsiva e anotada como h(t), 
conforme mostrado na figura abaixo; trata-se simplesmente da 
voltagem de saída que resultaria se a entrada fosse uma função 
delta.
Uma vez que a Transformada de Laplace da função 
impulso unitário δ(t) é a constante 1, a resposta sob estas 
condições será simplesmente:
( ) ( )( ) ( )sHsHsV == 10
ou no domínio do tempo: ( ) ( )[ ] ( )thsHLtv == −10
Heaviside aproximou uma forma de onda de tensão 
arbitrária, como a mostrada na figure (a) a seguir, para uma série 
de pulsos igualmente espaçados (vide parte b).
No limite, conforme a largura do pulso ∆τ se 
aproxima de zero, cada pulso se aproximará de uma função 
impulso com altura igual a área sob aquele pulso. Na 
discussão que se segue, esses pulsos igualmente espaçados 
serão referidos como impulsos apesar dos mesmos se 
tornarem impulsos só no limite.
Deve-se ter cuidado com a notação do tempo: há
interesse no instante em que o impulso é aplicado, e também 
os instantes de tempo nos quais suas respostas de saída são 
observadas. Essas duas seqüências de tempo diferentes devem 
ser identificadas:
•Instante (de tempo) da aplicação da entrada será identificado 
por ττττ, de forma que os impulsos de tensão de entrada serão 
designados v(τ1), v(τ2),...,v(τn).
•Instante (de tempo) da resposta de saída será identificado por t, de 
forma que as correntes de saída serão designadas i(t1), i(t2) ,..., i(tn).
Heaviside achou a resposta, ou corrente, produzida por cada 
impulso de entrada independentemente; em seguida, somou as 
repostas individuais para chegar à corrente total.
O peso do impulso produzido pela tensão retangular no 
instante τ1 é o produto v(τ1)×∆ τ. 
A série de impulsos pode aproximar (i.e., representar) a 
tensão de entrada tão precisamente quanto se desejar, simplesmente 
fazendo ∆τ se aproximar de zero.
O instante no qual um impulso é aplicado é denominado 
 τ
 τ τ τi, e o instante no qual o sistema responde é designado ti, onde 
ττττ é a variável de tempo de entrada, t é a variável de tempo de 
saída, e sendo i = 1, 2, ..., N. 
A figura a seguir ilustra a resposta de saída 
i(t) = A1h(t - τ1) 
a um impulso com amplitude v(τ 1)×∆τ. Num instante t1, onde t1 > 
τ1 , a resposta de saída ao impulso v(τ1) é expressa como:
i(t1)=A1h(t1 - τ1), conforme mostrado na figura.
Quando existirem diversos impulsos de entrada, a resposta 
total de saída de um sistema linear é simplesmente a soma das 
respostas individuais. 
A figura a seguir ilustra a resposta da rede a dois impulsos 
de entrada. 
Para N impulsos, a corrente de saída medida no instante t1
pode ser expressa como
i(t1) = A1h(t1 - τ1) + A2h(t1 - τ2) +...+ ANh(t1 - τN)
onde os impulsos são aplicados nos instantes τ1, τ2, …, τN, e onde t1
> τN
Qualquer impulso aplicado em instantes maiores que t1 são 
desconsiderados, uma vez que não contribuem para a composição 
de i(t1). Isso corresponde à exigência de causalidade para sistemas 
realizáveis fisicamente (e.g., a resposta do sistema precisa ser zero 
antes da aplicação de excitação).
Generalizando, pode-se obter a corrente de saída em 
qualquer instante t, ou seja,
i(t) = A1h(t - τ1) + A2h(t - τ2) +...+ ANh(t - τN)
( ) ( )∑
=
−∆=
N
j
jj thvti
1
)( τττou,
Uma vez que a altura (amplitude) do impulso em τj é igual a 
v(τj), a medida que ∆τ se aproxima de zero, a soma dos pulsos de 
entrada se aproximam da tensão real aplicada v(τ); substituindo ∆τ
por dτ, a somatória torna-se a integral de convolução:
( ) ( ) τττ dthvti −= ∫∞
∞−
)(
ou ( ) ( ) τττ dhtvti ∫∞
∞−
−=)(
e, em notação reduzida, ( ) ( ) ( )thtvti ⊗=
Em resumo, i(t) é a soma das respostas de impulsos 
individuais como uma função do instante de saída t. Cada 
resposta impulsiva é resultado de um impulso aplicado em algum 
instante τ de entrada.
Discutindo qualitativamente a convolução
A saída y(t) de um sistema linear é dada pela convolução da entrada x(t) com a 
resposta impulsiva do sistema h(t). Isto é escrito normalmente como
)(*)()( thtxty =
∫
+∞
∞−
−= dzzthzxtytx )()()(*)(
onde
A variável z é uma variável postiça (i.e., dummy). Em outras palavras, a integração é
realizada com relação a z, conduzindo inicialmente a uma expressão contendo tanto z como t. Uma 
vez que os limites de integração sejam substituídos, a variável z desaparecerá, levando a uma 
expressão final de y como função de t, conforme desejado. 
Os engenheiros normalmente não precisam avaliar tais expressões, mas a “percepção” do 
efeito da convolução é uma habilidade prática extremamente útil, e que pode ser adequadamente 
desenvolvida por meio da interpretação gráfica da integral de convolução.
Observando-se a expressão geral da integral, é claro que para obter o valor do sinal de 
saída y(t) no instante de tempo t, deve-se formar a função x(z)×h(t-z) e integrar. Em outras palavras, 
deve-se achar a área sob a curva representando x(z)×h(t-z) plotada ou locada em relação a z . A 
função x(z) plotada em relação a z tem exatamente o mesmo formato de x(t) em relação a t: trata-se 
do perfil do sinal de entrada. A figura da página seguinte ilustra o significado de h(t-z) para h(t) = 
exp(-t) onde t>0, que representa a resposta impulsiva do sistema de passa baixas (i.e., lowpass) de 
primeiraordem com ganho e constante de tempo unitários. A função h(-z) plotada em relação a z é
simplesmente o espelho da resposta impulsiva, e é mostrada na parte (c) da figura. A função h(t-z) é o 
mesmo perfil deslocado de uma distância t, conforme mostrado na parte (e). 
A integral de convolução pode portanto ser interpretada graficamente 
conforme segue: a área sob o gráfico de x(z) multiplicado por h(t-z) para qualquer 
deslocamento de tempo t representa a saída do sistema, y(t), no instante de tempo t.
Exemplo: A resposta a um degrau unitário de um sistema passa baixa (i.e., 
lowpass) de primeira ordem
Isto encontra-se ilustrado na figura da página a seguir. 
A parte (a) mostra a resposta impulsiva do sistema e a parte (b) a entrada na 
forma de um degrau unitário. 
A resposta impulsiva virada no sentido reverso (i.e., reversed) e deslocada (i.e., 
shifted) é mostrada sobrepondo a entrada em degrau, agora x(z), na parte (c). 
Uma vez que x(z) é igual à unidade para todo z>0 e zero para qualquer outro 
valor de z (i.e., z<0), a integral da função x(z)×h(t-z) com respeito à z para o 
deslocamento de tempo t é simplesmente a área sombreada mostrada. Fora desta área as 
funções sobrepostas têm magnitude zero, e o produto é portanto zero. 
A resposta completa à função degrau é obtida calculando-se a área sombreada 
para todos os deslocamentos t de 0 a ∞. Três destas áreas encontram-se ilustradas na parte 
(d) da figura, mostrando como elas se relacionam à resposta y(t) do sistema ao degrau 
unitário.
Mais sobre InterpretaMais sobre Interpretaçção grão grááfica da convolufica da convoluççãoão
A interpretação gráfica da convolução permite constatar 
visualmente os resultados de operações matemáticas mais abstratas.
Suponha que se queira determinar a convolução de duas 
funções f1(t) e f2(t), conhecidas. As operações a serem executadas 
estão baseadas na integral de convolução:
( ) ( ) τττ dtfftftf −=⊗ ∫∞
∞−
2121 )()(
As operações necessárias, passo-a-passo, estão 
relacionadas a seguir:
• Substitua t por ττττ em f1(t), originando dessa forma f1(ττττ).
• Substitua t por (-ττττ) em f2(t). Isso corresponde a girar a 
função f2(ττττ) em torno do eixo vertical que passa pela origem do 
eixo ττττ.
• Translade o quadro de referência de f2(-ττττ), completo, o equivalente 
a um valor t. Do ponto de vista da integral, t é apenas um 
parâmetro. Dessa forma o valor da translação, t, corresponde à
diferença entre o quadro móvel de referência e o quadro fixo de 
referência. A origem no quadro móvel encontra-se em ττττ = t; a 
origem no quadro fixo encontra-se em ττττ = 0. A função no quadro 
móvel representa f2(t- ττττ); a função no quadro fixo representa f1(ττττ). 
• Para qualquer mudança relativa entre os quadros de referência, por 
exemplo t0, deve-se calcular a área sob o produto das duas funções, 
isto é,
( ) ( ) [ ]
0
)()( 21021 tttftfdtff =
∞
∞−
⊗=−∫ τττ
• Este procedimento deve ser repetido para diferentes valores de t = 
t0, através do deslocamento sucessivo do quadro móvel e do 
cálculo dos valores da integral de convolução para aqueles valores 
de t. 
Para funções contínuas, isto é obtido através de uma integração 
direta. Para funções contínuas por partes (i.e., segmentadas), o 
produto será continuo também por partes, e a integração deverá ser 
feita em cada trecho contínuo da função.
• Se o valor de deslocamento do quadro móvel se dá ao longo do 
eixo ττττ negativo (i.e., para a esquerda), t será negativo. Se o 
deslocamento ocorre ao longo do eixo ττττ positivo (i.e., para a 
direita), t será positivo.
-2 -1 0 1 2
f1(τ)
1
τ
f2(t) = t
-3 0 3 4
3
t
-2 -1 0 1 2
f1(t)
1
t
f2(-τ) = -τ
-3 0 3 4
τ
3
-3 t-3 0 t 3 4
f2(t-τ) = t-τ
τ
3
Exemplo: Convolução de um pulso retangular e um pulso 
triangular.
f1(t)⊗f2(t)
-2 0 2 4
f1(t)⊗f2(t)=0 t<-1
t
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2
τ
3 t<1
1
-4 -3 -2 -1 0 t 1 2
τ
3
f1(t)⊗f2(t)
-2 0 2 4
t
( )
t
tt
tdtff
1
2
1121 2
−
−
−
−×=−=⊗ ∫
τ
τττ
( ) 111
2
1 2
21 <<−⇔−=⊗ ttff
11 <<− tt<<− τ1
1−<τ
1−<t
-4 -3 -2 -1 0 t 1 2
τ
3
t
-2 0 2 4
f1(t)⊗f2(t)
( ) ttdtff 2
2
1
1
2
1
1
1
121
=−×=−=⊗
−
−
−
∫
τ
τττ
21 << t
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2
τ
3
f1(t)⊗f2(t)
( ) ( )
2
4
2
3
2
1)3(
2
221
)3(
2
1
)3(
1
)3(21
t
t
t
ttttdtff
t
tt
++=





−
−−−−=−×=−=⊗
−
−
−
∫
τ
τττ
-2 0 2 4
t
( ) 13 <<− τt
11 <<− τ
42 << t4
( ) ( ) τττ dthvti −= ∫∞
∞−
)(
( ) ( ) τττ dhtvti ∫∞
∞−
−=)(
O valor da integral de 
convolução em t=t1 é dado pela equação 
acima avaliada em t=t1. Isso é
simplesmente a área sob a curva do 
produto entre v(τ) e h(t1- τ), mostrado 
em (d).
De forma similar, a integral de 
convolução avaliada em t=t2 é igual à
área sombreada na figura (e).
A figura (f) apresenta a 
resposta de saída resultante do pulso 
quadrado na entrada do circuito cuja 
resposta impulsiva é mostrada na figura 
(a).
Resumo:
Propriedade da convolução no domínio do tempo
Se x1(t) ⇔ X1(f), e x2(t) ⇔ X2(f), então
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−=⊗ τττ dtxxtxtx 2121
( ) ( ){ } ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−
−=⊗ dtedtxxtxtxF ftj piτττ 22121
Para sistemas lineares, pode-se trocar a ordem de 
integração, conforme segue:
( ) ( ){ } ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−
−=⊗ dtetxdxtxtxF ftj piτττ 22121
( ) ( ){ } ( ) ( )∫∞
∞−
−
=⊗ ττ τpi dexfXtxtxF fj21221
( ) ( ){ } ( ) ( )fXfXtxtxF 2121 =⊗
Portanto, a operação de convolução no domínio do tempo 
pode ser substituída pela multiplicação no domínio da freqüência.
( ) τpifjefX 22 −
Pela propriedade de Fourier de deslocamento no tempo, 
a segunda expressão integral no lado direito é igual a 
Propriedade da convolução no domínio da freqüência
Devido à simetria do par de transformadas de Fourier,
( ) ( )∫∞
∞−
−
= dtetxfX ftj pi2
( ) ( )∫∞
∞−
= dfefXtx ftj pi2
pode ser mostrado que a multiplicação no domínio do tempo se 
transforma em convolução no domínio da freqüência.
As propriedades que transformam multiplicação em um 
domínio em convolução em outro domínio são particularmente 
úteis, uma vez que uma operação tende a ser mais fácil de 
executar do que a outra.
Resumo
Conforme visto, há duas formas completamente equivalentes de especificar 
sinais e efeitos nos mesmos, no caso de sistemas lineares. 
No domínio do tempo, a saída de um sistema linear é dada pela convolução da 
entrada e da resposta impulsiva do sistema.
No domínio da freqüência o espectro de saída é obtido multiplicando-se o 
espectro de entrada e a resposta em freqüência do sistema.
Isto está ilustrado na figura que segue: pode-se dizer que convolução no 
domínio do tempo é equivalente à multiplicação no domínio da freqüência. Qual modelo 
adotar ,quaisquer que sejam as circunstâncias particulares, depende de vários fatores. O 
importante é a capacidade de se mover livremente entre os dois domínios.