Apostila 23

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Universidade Sa˜o Judas Tadeu
Faculdade de Tecnologia e Cieˆncias Exatas
Cursos de Engenharia
Laborato´rio de F´ısica e Eletricidade:
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
Autor: Prof. Sandro Martini
Aluno R.A. Turma
-2013-
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
1. Introduc¸a˜o
Uma onda pode ser entendida como uma pertubac¸a˜o que se propaga de um ponto a
outro com uma velocidade bem definida, chamada de velocidade de propagac¸a˜o. E´
importante destacar que uma onda na˜o transporta mate´ria. Ela transporta momento e
energia. Por exemplo, quando uma pedra e´ atirada no meio de um lago (Figura 1) as
ondas produzidas se propagam ate´ a margem, mas a superf´ıcie do lago se move apenas
oscilando localmente.
Figura 1: Ondas produzidas na superf´ıcie da a´gua.
Se a pertubac¸a˜o se deslocar atrave´s de um material, que daqui em diante chama-
remos de meio, denominamos a onda de onda mecaˆnica. Quando um mu´sico toca
guitarra ou violino, cria ondas nas cordas do instrumento. Essas oscilac¸o˜es produzem
no ar ondas sonoras que se propagam com a mesma frequeˆncia da corda. Ja´ uma onda
eletromagne´tica na˜o precisa de um meio para se propagar. O melhor exemplo e´ luz pro-
veniente da radiac¸a˜o do Sol. A luz, embora possa parecer estranho, sa˜o campos ele´tricos
e magne´ticos que oscilam perpendicularmente a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o e entre si. A luz
se propaga no va´cuo com uma velocidade de propagac¸a˜o de ⇡ 3⇥ 108 m/s.
Em um experieˆncia passada determinamos o comprimento de onda da radiac¸a˜o eletro-
magne´tica emitida por um LED. Aquela e´ uma onda eletromagne´tica. Hoje, estudaremos
ondas em uma corda. Particularmente, estudaremos as ondas estaciona´rias. Pore´m, para
entenderemos bem a experieˆncia precisamos definir alguns conceitos fundamentais.
1
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
1.1 Onda perio´dica transversal
Quando balanc¸amos a extremidade de uma corda com um movimento repetitivo ou
perio´dico a pertubac¸a˜o se propaga atrave´s do comprimento da corda (Figura 2). Nesse
caso, cada part´ıcula da corda sofrera´ o mesmo tipo de movimento perio´dico. Como os
deslocamentos do meio sa˜o perpendiculares ou transversais a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o da
onda ao longo da corda, a onda e´ classificada como onda perio´dica transversal.
Figura 2: Onda perio´dica transversal
Uma onda perio´dica transversal pode ser representada matematicamente pela ex-
pressa˜o:
y (x, t) = Asen (kx� ! t) (1)
• A expressa˜o de y(x, t) e´ denominada de func¸a˜o de onda. Na˜o veja a func¸a˜o de
onda apenas como mais uma func¸a˜o matema´tica. Fisicamente, ela carrega TODAS as
informac¸o˜es que voceˆ precisa saber sobre a onda. Por exemplo, nessa onda em particular,
sabemos que e´ uma onda senoidal se propagando no sentido de +x.
• A e´ a amplitude da onda. E´ o mo´dulo do deslocamento ma´ximo sofrido pelos
elementos a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio quando a onda passa por ele.
• k e´ o nu´mero de onda. Ele esta´ relacionado como o comprimento de onda �
atrave´s da equac¸a˜o:
k =
2⇡
�
(2)
O comprimento de onda � e´ a distaˆncia (paralela a` direc¸a˜o de propagac¸a˜o da onda) entre
as repetic¸o˜es da forma de onda (Figura 3).
Figura 3: Comprimento de Onda
2
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
• ! e´ a frequeˆncia angular e ela esta´ relacionada como o per´ıodo de oscilac¸a˜o T , que
e´ o tempo que um elemento leva para executar uma oscilac¸a˜o completa (Figura 4). A
relac¸a˜o entre ! e T e´:
! =
2⇡
T
(3)
Figura 4: Per´ıodo da Onda
• f e´ a frequeˆncia da onda e e´ definida como 1/T e esta´ relacionada com a frequeˆncia
angular atrave´s da equac¸a˜o:
f =
1
T
=
!
2⇡
(4)
• A velocidade de propagac¸a˜o (v) de uma onda pode ser relacionada com o comprimento
de onda e a frequeˆncia atrave´s da equac¸a˜o:
v = �f (5)
1.2 Velocidade de propagac¸a˜o de uma onda em uma corda esti-
cada
A velocidade de propagac¸a˜o v das ondas mecaˆnicas depende de duas propriedades
do meio em que esta˜o sendo propagadas. Essas caracter´ısticas sa˜o conhecidas com as
propriedades inerciais e ela´sticas. Para as ondas mecaˆnicas, e em particular de uma
corda esticada de comprimento L, a propriedade inercial e´ a sua densidade linear µ (a
massa da corda divida pelo seu comprimento) e sua propriedade ela´stica e´ a tensa˜o F
aplicada na corda. A partir dessas propriedades intr´ınsecas do meio (tensa˜o e densidade)
a velocidade de propagac¸a˜o de uma onda em uma corda e´:
v =
s
F
µ
(6)
Quanto mais tensa˜o ela´stica e´ aplicada na corda, maior sera´ a velocidade da onda. Au-
mentando a densidade da corda a velocidade da onda diminui.
3
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
1.3 Ondas estaciona´rias em uma corda
Se duas onda senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam em
sentidos opostos em uma corda, a interfereˆncia mu´tua produzira´ uma onda estaciona´ria.
Sejam y1 (x, t) e y2 (x, t) duas func¸o˜es com as caracter´ısticas descritas anteriormente, a
superposic¸a˜o das ondas e´ obtida pela soma das duas func¸o˜es:
y (x, t) = y1 (x, t)+y2 (x, t) = Asen(kx�!t)+Asen(kx+!t) = 2Asen (kx) cos (!t) (7)
Essa relac¸a˜o mostra que a superposic¸a˜o das duas ondas resulta em uma func¸a˜o de x e
t que na˜o descreve uma onda se propagando. Em qualquer instante de tempo, teremos
sempre uma forma do tipo sen (kx), mudando apenas a “amplitude” (2A cos (!t)) para
tempos distintos. Temos assim uma onda estaciona´ria. Ha´ pontos na corda que se
manteˆm sempre na posic¸a˜o y(x, t) = 0. Tais pontos sa˜o denominados de no´s (N) . Por
outro lado, os pontos de maior amplitude sa˜o denominados ventres (V ).
Para uma corda de comprimento L, presa nas extremidades, as ondas refletidas em
cada extremidade superpo˜em a`quelas que esta˜o se propagando em sentido oposto e a
amplitude deve ser nula nesses dois pontos, ou seja, as duas extremidades devem ser no´s.
Para que essa situac¸a˜o ocorra, o comprimento L da corda deve satisfazer a relac¸a˜o:
L = n
�
2
(8)
sendo n=1, 2, 3, 4,...Ha´ portanto uma relac¸a˜o entre o comprimento de onda de cada modo
e o comprimento da corda. Por exemplo, o modo normal n = 1, modo fundamental,
possui um comprimento de onda igual ao dobro do comprimento da corda. Na figura
5 sa˜o mostradas as configurac¸o˜es da corda correspondentes aos quatro primeiros modos
normais de vibrac¸a˜o.
Figura 5: Modos normais de vibrac¸a˜o em uma corda presa nas duas extremidades.
4
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
Se usarmos as Equac¸o˜es (5), (6) e (8), obtemos a seguinte expressa˜o para as frequeˆncias
que podem ser produzidas por uma corda presa nas extremidades, com densidade linear
µ e tensionada por uma tensa˜o ela´stica F :
fn =
n
2L
s
F
µ
(9)
Essa e´ a relac¸a˜o entre as propriedades da corda (comprimento L, densidade linear
µ e tensa˜o F ) e as poss´ıveis frequeˆncias que ela pode produzir. Por exemplo, cordas
mais longas produzem sons mais graves (baixas frequeˆncias). Cordas “magras” (µ pe-
queno) produzem sons mais agudos. Quando tensionamos uma corda, seu som torna-se
mais agudo. Todas essas informac¸o˜es esta˜o condensadas na relac¸a˜o acima. E´ uma bela
fo´rumula!
Essas frequeˆncias sa˜o chamadas de harmoˆnicos, e a se´rie desses valores denomina-
se se´rie harmoˆnica. Algumas vezes os mu´sicos chamam de sobretom cada uma das
frequeˆncias. Por exemplo, f2 e´ o segundo harmoˆnico ou primeiro sobretom, f3 e´ o terceiro
harmoˆnico ou o segundo sobretom, e assim por diante. O primeiro harmoˆnico corresponde
a` frequeˆncia fundamental.
2. Objetivos
• Compreender como ondas estaciona´rias sa˜o criadas.
• Identificar os no´s e ventres e o nu´mero de segmentos da corda vibrando.
• Determinar a densidade linear de uma corda.
3. Material Utilizado
• Corda.• Porta massa e massas.
• Polia.
• Cabos.
• Gerador de func¸a˜o (Sine Wave Generator, WA-9867).
• Oscilador de corda (String Vibrator, WA-9857).
• Fita me´trica.
• Suportes de fixac¸a˜o.
4. Procedimento Experimental
1. Na sua bancada ja´ deve estar montado um arranjo experimental semelhante ao
que esta´ apresentado na Figura 6. Se as massas ainda na˜o estiverem no porta
massas, por favor, coloque enta˜o 200 gramas. Para os ca´lculos que vira˜o mais
adiante voceˆ deve considerar tambe´m a massa do porta massas, cujo valor e´ de
5 gramas. Portanto, a massa total sera´ 205 gramas. Como resultado da ac¸a˜o do
campo gravitacional sobre a massa, a corda estara´ sujeita a uma tensa˜o ela´stica
F = mg. Sabendo que g = 9,8 m/s2 e m = 205 gramas = 205 ⇥10�3 kg, a tensa˜o
ela´stica F ⇡ 2,0 N.
5
Ondas Estaciona´rias em uma Corda
Figura 6: Arranjo experimental.
2. Com a trena mec¸a o comprimento da corda partindo da extremidade presa na
laˆmina do oscilador ate´ o meio da polia. Anote o valor em metros no espac¸o abaixo:
L = m
3. Na parte traseira do gerador de func¸a˜o (Figura 7) voceˆ notara´ duas sa´ıdas. Pegue
dois cabos e os conecte nessas duas sa´ıdas. A outra extremidade dos cabos conecte
no oscilador.
Figura 7: Gerador de func¸a˜o.
4. Conecte o gerador de func¸a˜o na rede ele´trica atrave´s do cabo da bateria.
5. Agora ligue o gerador de func¸a˜o. Voceˆ deve notar no visor uma frequeˆncia inicial
de 100 Hz.
6. Coloque o bota˜o Amplitude no meio.
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Ondas Estaciona´rias em uma Corda
7. O gerador de func¸a˜o permite que voceˆ varie a frequeˆncia de sa´ıda com passos de
1 Hz ou 0.1 Hz (bota˜o 1.0 e bota˜o 0.1). Entretanto, se voceˆ girar o bota˜o 1.0
rapidamente voceˆ pode variar a frequeˆncia com passos de ate´ 4 Hz. Fac¸a isso para
voceˆ alcanc¸ar o valor de 8 Hz.
8. O objetivo agora e´ voceˆ determinar os modos normais de vibrac¸a˜o e as suas respec-
tivas frequeˆncias. Comece aumentando a frequeˆncia do gerador. Utilize o bota˜o
1.0 ou o bota˜o 0.1 para ir aumentado a frequeˆncia ate´ voceˆ comec¸ar a observar
a vibrac¸a˜o do primeiro modo (n = 1) (item (a) da Figura 5). Voceˆ notara´ um no´
em cada uma das extremidades (um na polia e o outro na laˆmina do oscilador).
Com o bota˜o 0.1 fac¸a um ajuste fino no valor da frequeˆncia ate´ voceˆ conseguir
a amplitude ma´xima da vibrac¸a˜o. Quando voceˆ conseguir essa amplitude ma´xima
anote o valor da frequeˆncia na tabela a seguir.
Tabela 1: Nu´mero dos modos de vibrac¸a˜o e respectiva frequeˆncia.
Nu´mero dos modos de vibrac¸a˜o (n) Frequeˆncia (Hz)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. Aumente a frequeˆncia para alcanc¸ar o segundo modo de vibrac¸a˜o (n=2, item (b)
da Figura 5). Utilizando o bota˜o 0.1 fac¸a novamente um ajuste fino no valor da
frequeˆncia para obter a amplitude ma´xima da vibrac¸a˜o. Voceˆ devera´ ver treˆs no´s.
Anote a frequeˆncia na tabela.
10. Repita o mesmo procedimento ate´ completar toda a tabela. ATENC¸A˜O: A am-
plitude diminuira´ a` medida que voceˆ aumenta o nu´mero dos modos de vibrac¸a˜o.
Voceˆ pode aumentar a amplitude da vibrac¸a˜o com o bota˜o amplitude. Mesmo
utilizando o bota˜o amplitude, voceˆ ainda precisa fazer um ajuste fino no valor
da frequeˆncia para maximizar a amplitude.
11. Completada a tabela e desligue o gerador de func¸a˜o.
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Ondas Estaciona´rias em uma Corda
5. Ana´lise dos Resultados
1. Com os dados da tabela construa no papel milimetrado um gra´fico da frequeˆncia
versus os nu´meros dos modos de vibrac¸a˜o (n), ou seja, eixo das ordenadas e´ a
frequeˆncia e o eixo das abscissas e´ nu´mero dos modos de vibrac¸a˜o. Voceˆ tera´ um
gra´fico com um comportamento linear! O que de fato e´ esperado, pois observando
a Equac¸a˜o (9), a frequeˆncia varia linearmente com o n.
2. Trace uma reta me´dia pelos pontos.
3. Determine o coeficiente angular dessa reta. O coeficiente angular e´ igual a:
tg(✓) =
�f
�n
=
4. Analisando a Equac¸a˜o (9), o termo:
1
2L
s
F
µ
e´ exatamente o coeficiente angular da reta, ou seja:
tg (✓) =
1
2L
s
F
µ
.
5. Apo´s uma manipulac¸a˜o alge´brica, podemos determinar uma propriedade intr´ınseca
da corda, a sua densidade linear µ:
µ =
F
4L2[tg (✓)]2
6. Substitua os valores de L, F e tg(✓) na expressa˜o acima e encontre o valor estimado
para µ:
µ = kg/m
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