Probabilidade Engenharia e outros

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1
Universidade Federal do Espírito Santo
Centro de Ciências Agrárias e Engenharias
Depto de Engenharia Rural
Profa. Gisele Rodrigues Moreira
Enga. Agrônoma
Dra. Genetica e Melhoramento
E-mail: gisele.moreira @ufes.br
giselemoreira.webnode.com
IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA E 
CONCEITOS BÁSICOS
� NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Tópicos:
� Introdução
� Conceitos
� Tipos de eventos
� Axiomas da probabilidade
� Teoremas da probabilidade
2
3
PROBABILIDADE
É o estudo da variabilidade e 
da incerteza.
INTRODUÇÃO
PROBABILIDADE
Ramo da matemática adequado ao estudo
dos fenômenos aleatórios ou
probabilísticos (regidos pela lei do 
acaso).
Envolve métodos de quantificação das chances ou 
possibilidades de ocorrência associadas aos diversos 
resultados num experimento probabilístico. 
4
INTRODUÇÃO
CONCEITOS 
- Experimento
- Espaço amostral (S)
- Evento
- Probabilidade clássica ou a priori
- Probabilidade frequencial ou a posteriori
5
Ação ou processo, fato ou fenômeno que 
se está estudando.
EXPERIMENTO
� Experimento determinístico → mesmas 
condições = mesmo resultado
� Experimento probabilístico → mesmas 
condições = resultados podem não ser os 
mesmos
6
2
Ex.: Ebulição da água em quatro vasilhas de mesma
capacidade
Experimento determinístico
7
Ex.: Lançamento de uma moeda
Experimento probabilístico
8
Outros exemplos de experimentos probabilísticos:
� Selecionar aleatoriamente uma ou várias 
cartas de um baralho;
� Obter o peso de um pedaço aleatório de 
pão;
� Obter aleatoriamente tipos sanguíneos;
� Obter aleatoriamente a resistência à 
compressão de uma viga metálica;
9
Conjunto de todos os resultados possíveis 
de um experimento probabilístico, que 
podem ser de natureza quantitativa ou qualitativa.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Ex.:
ESPAÇO AMOSTRAL (S)
S = {Ás, Valete, Dama, Rei, etc.}
10
Exemplo 1:
Dois postos de gasolina estão localizados em uma
determinada interseção. Cada um possui seis bombas.
Considere o experimento em que o número de bombas
em uso em determinada hora do dia é determinado para
cada posto e obtenha o espaço amostral S.
0 1 2 3 4 5 6
0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6)
1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Pr
im
e
iro
 
po
st
o
Segundo posto
11
Exemplo 2:
Um fabricante de automóveis fornece
veículos equipados com opcionais selecionados.
Cada veículo é ordenado:
Com ou sem transmissão automática;
Com ou sem ar condicionado;
Com uma das três escolhas de um sistema
estéreo.
Se o espaço amostral consistir no conjunto de
todos os resultados possíveis de veículos, qual
será o número de resultados no espaço amostral
e quais são eles?
12
3
Transmissão (T)
Automática (TA)
Com ar (Car)
E1 E2 E3
Sem ar (Sar)
E1 E2 E3
Manual (TM)
Com ar
E1 E2 E3
Sem ar
E1 E2 E3
Figura 1. Diagrama em forma de árvore para diferentes tipos de veículos. E1 = estéreo 1; E2 = estéreo 2
e E3 = estéreo 3
S: {TACarE1, TACarE2, TACarE3, TASarE1, TASarE2, ..., TMSarE3}
Resposta: 12 resultados
13
DIAGRAMAS EM FORMA DE ÁRVORE
Se algo pode ser realizado de n1 formas diferentes e
após isto uma segunda coisa pode ser realizada de n2
formas diferentes, ..., e finalmente uma k-ésima coisa pode
ser realizada de nk formas diferentes, então todas as k
coisas podem ser realizadas na ordem especificada de
n1n2...nk formas diferentes.
14
15
Exemplo 3:
Se um homem tem
duas camisas (C1 e C2) e
quatro gravatas (G1, G2, G3 e
G4). Quantas e quais são as
combinações possíveis de
camisa e gravata?
C1
C2
G2
G3
G4
G1
G2
G3
8 combinações
G1
G4
Qualquer conjunto particular de resultados 
de S, ou todo subconjunto de S.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {1}
Evento B = {2}
Etc.
EVENTO
16
Se um evento E ocorre de h formas diferentes
em um total de n formas possíveis no espaço
amostral de S, todas sendo igualmente prováveis,
então a probabilidade do evento é:
17
PROBABILIDADE CLÁSSICA OU A PRIORI:
S amostral espaço do elementos de Número
E evento do elementos de Número)( ==
n
hEP
18
Experimento: Lançamento de uma moeda
Probabilidade de sair cara?
Se a moeda é honesta (não tende para nenhum dos dois
lados) e existem duas formas igualmente prováveis de
ocorrerem, cara e coroa, então:
%50ou 
2
1
)(
)()( ==
Sn
EnCaraP
4
19
Se após n repetições de um experimento,
um evento E ocorre h vezes, então a probabilidade
do evento é:
PROBABILIDADE FREQUENCIAL OU A POSTERIORI:
socorrênciaou provas de totalNúmero
E de socorrência de Número)( ==
n
hEP
Quanto maior a amostra, mais confiável é o valor
da probabilidade a posteriori.
20
(1000 vezes)
...
Experimento: Lançamento de uma moeda
honesta 1000 vezes
Probabilidade de sair cara, uma vez que
ela apareceu 532 vezes?
%50ou 5,0
1000
532)( ≅=CaraP
21
Probabilidade a priori: é o valor calculado com base
em considerações teóricas, dispensando uma
experimentação sobre o objeto estudado.
Probabilidade a posteriori: é a probabilidade avaliada,
empírica, que depende da realização do experimento.
É importante quando o objetivo é estabelecer um
modelo adequado à interpretação de certa classe de
fenônemos observados.
Exercício 1:
Considerando os dois postos de gasolina
localizados em uma determinada interseção, cada um
possui seis bombas, e o experimento em que o número
de bombas em uso em determinada hora do dia é
determinado para cada posto, são obtidos 49 resultados
em S.
0 1 2 3 4 5 6
0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6)
1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
22
a) Obtenha os eventos:
Evento A: o número de bombas em uso é o
mesmo nos dois postos
Evento B: o número total de bombas em uso é
igual a 4 nos dois postos
Evento C: o número total de bombas em uso é
no máximo 4 nos dois postos
Use a imaginação e obtenha outros eventos possíveis ;)
{(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
{(0,4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)} 
{(0,0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), ... , (4,0), (0,4)}
23
b) Sejam todos os eventos igualmente
prováveis, obtenha as probabilidades dos
eventos obtidos anteriormente:
Evento A: o número de bombas em uso é o
mesmo nos dois postos
Evento B: o número total de bombas em uso é
igual a 4 nos dois postos
Evento C: o número total de bombas em uso é
no máximo 4 nos dois postos
24
%14
49
7)( ≅=AP
%10
49
5)( ≅=AP
%30
49
15)( ≅=AP
5
25
A tabela a seguir apresenta os resultados para a
amostra de 1000 domicílios em termos do
comportamento de compra de aparelhos de
televisão de tela grande.
Exercício 2:
Planejou comprar
Efetivamente comprou
Sim Não Total
Sim 200 50 250
Não 100 650 750
Total 300 700 1000
Qual é o espaço amostral e quais as probabilidades de
cada resultado?
26
TIPOS DE EVENTOS 
- Simples
- Composto
- Complementar
- Mutuamente exclusivos ou disjuntos
- Independentes ou não condicionados
- Condicionado
Evento simples
Ex.:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {1} → Evento simples
Evento B = {2} → Evento simples
Evento C = {3} → Evento simples
Etc.
Contém um único elemento de S
27
Exemplo:
Considerando os dois postos de gasolina
localizados em uma determinadainterseção, cada um
possui seis bombas, e o experimento em que o número
de bombas em uso em determinada hora do dia é
determinado para cada posto, são obtidos 49 resultados
em S ⇒ 49 eventos simples!!
0 1 2 3 4 5 6
0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6)
1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
28
Evento composto
Ex.:
S = {(1,1), (1,2), (1,3), …, (6,6}
Evento A = mesmo número
A: {(1,1), (2,2), …, (6,6)}
Evento B = número 4 no primeiro
dado
B: {(4,1), (4,2), …, (4,6)}
Etc.
Contém mais um elemento de S
29
0 1 2 3 4 5 6
0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6)
1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,0) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Evento A: o número de bombas em uso é o mesmo nos
dois postos = {(0,0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,
6)}
Evento B: o número total de bombas em uso é igual a 4
nos dois postos = {(0,4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)}
Etc.
30
6
Elementos que pertencem a S e não pertencem a A.
Evento complementar (A)
)(1)( APAP −=
Diagrama de Venn - Região 
sombreada complementar de A
31
Ex.:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {1} ⇒ P (A) = 1/6
Evento complementar de A (A)= {2, 3, 4, 
5, 6}
%83ou 
6
5
6
11)(1)( =−=−= APAP
32
?)( =AP
Eventos mutuamente exclusivos ou 
disjuntos
Dois ou mais eventos não podem ocorrer 
simultaneamente.
33
A B
Diagrama de Venn dos eventos A e B
Eventos mutuamente exclusivos ou 
disjuntos
Ex: 
Experimento ⇒⇒⇒⇒ lançamento de UM dado.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento A = {1}
Evento B = {2} �
34
Eventos independentes ou não 
condicionados
Dois ou mais eventos não exercem ações recíprocas, 
ou seja, a ocorrência de um não depende da 
ocorrência do outro.
A B
Diagrama de Venn dos eventos A e B
35
Eventos independentes
Ex: Experimento ⇒ lançamento de DOIS dados.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), …, (6,6)}
Evento A (1o dado) = {1}
Evento B (2o dado) = {2} 
36
7
Eventos condicionados
A ocorrência de um evento A depende da ocorrência 
de um evento B e vice-versa.
P (A/B) ou P (B/A)
Exemplo: Retira-se aleatoriamente uma 1a bola nº ímpar e não é 
reposta. Qual a probabilidade uma 2a bola ser retirada e esta ser de 
cor rosa?
Evento A = {ímpar} ⇒ P (A) = 6/12
Evento B/A = {rosa/ímpar} ⇒ P (B/A) = 1/11 ≅ 9%
1
37
OBS: 
� O evento antes da barra 
está condicionado!
� O evento depois da barra 
dá a condição!
1 2
6 7
3 4 5
1110
8 9
12
AXIOMAS do cálculo de 
probabilidade 
38
É UMA PROPOSIÇÃO EVIDENTE POR SI 
MESMA QUE NÃO CARECE DE 
DEMONSTRAÇÃO E SOBRE A QUAL SE 
FUNDAMENTA UMA CIÊNCIA. 
AXIOMA
39
1o axioma
P (S) = 1
40
P (S) = P1+ P2+ ... + Pn = 1
2o axioma
0 < P (A) ≤ 1 (ou 100%), para 
todo evento A de S
41
0 < Pi < 1, para i = 1, 2, ..., n
3o axioma
Se, A1, A2, …, An for um conjunto finito de 
eventos mutuamente exclusivos, então:
P (A1 ∪∪∪∪ A2 ∪∪∪∪ … ∪∪∪∪ An) 
= P (A1) + P (A2) + … + P (An)
A1 A2 AnA3
S
…
42
8
TEOREMAS do cálculo de 
probabilidade 
- Teorema da soma
- Teorema do produto
- Teorema da probabilidade total
- Teorema de Bayes
43
É UMA PROPOSIÇÃO QUE, PARA SER 
ADMITIDA OU SE TORNAR EVIDENTE, 
NECESSITA DE DEMONSTRAÇÃO. 
TEOREMA
44
⇒Para eventos mutuamente exclusivos
⇒ Para eventos NÃO mutuamente exclusivos
Teorema da soma das probabilidades (ou)
45
Ex.: Eventos mutuamente exclusivos
Ex.:
S = {Ás, Valete, Dama, Rei, etc.}
Retirando-se ao acaso uma carta do baralho, qual a 
probailidade de tirar um Ás de COPAS ou um ÁS 
DE OUROS?
46
P (A ou B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 
Para eventos mutuamente exclusivos:
A B
Região sombreada A ∪ B
47
P (A = Ás de copas) = 1/52 
P (B = Ás de ouros) = 1/52
P ( A ou B) = P (A ∪∪∪∪ B) = ?
P (A ou B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 
1/52 + 1/52 = 0,038 ou 3,8%
48
9
Exercício 1:
Considere o experimento que consiste na
jogada de um dado e os eventos: A= {número
que aparece na face de cima é menor ou igual
a 2} e B = {o número é maior ou igual a 4}.
Qual é a probabilidade de, ao lançar o dado,
ocorra o evento A ou B?
49
R: 83%
Exercício 2:
Uma amostra de animais é retirada de um
rebanho bovino e enumerada de 1, 2, 3,...,30.
Nesta amostra um número é escolhido ao
acaso. Qual é a probabilidade de o número
escolhido ser:
Divisível por 5 ou 8?
50
}24;16;8{:
}30;25;20;15;10;5{:
B
A
%30
30
3
30
6)(
)()()(
=+=∪
+=∪
BAP
BPAPBAP
P (A ou B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Para eventos NÃO mutuamente exclusivos:
A B
Região sombreada A ∩ B
51
Ex.: Eventos NÃO mutuamente exclusivos
Ex.:
S = {Ás, Valete, Dama, Rei, etc.}
Retirando-se ao acaso uma carta do baralho, qual a 
probabilidade de tirar uma carta de COPAS ou um 
ÁS?
52
P (A = copas) = 13/52 
P (B = Ás) = 4/52
P (A ∩ B) = 1/52
P ( A ou B) = P (A ∪∪∪∪ B) = ?
P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 13/52 + 4/52 – 1/52 ≅ 0,31 ou 31%
53 54
Exercício 1:
Em um certo colégio, 25% dos estudantes foram
reprovados em matemática, 15% em química e 10%
em matemática e química ao mesmo tempo. Um
estudante é selecionado aleatoriamente. Pede-se:
Qual a probabilidade de ter sido reprovado em
matemática ou química?
R: 30%
10
55
Exercício 2:
Uma amostra de animais é retirada de um
rebanho bovino e enumerada de 1, 2, 3,...,30.
Nesta amostra um número é escolhido ao
acaso. Qual é a probabilidade de o número
escolhido ser:
Divisível por 6 ou 8?
55
}24;16;8{:
}30;24;18;12;6{:
B
A
%23
30
1
30
3
30
5)(
)()()()(
≅−+=∪
∩−+=∪
BAP
BAPBPAPBAP
56
A tabela a seguir apresenta os resultados para a
amostra de 1000 domicílios em termos do
comportamento de compra de aparelhos de televisão de
tela grande.
Planejou comprar
Efetivamente comprou
Sim Não Total
Sim 200 50 250
Não 100 650 750
Total 300 700 1000
Qual é a probabilidade de, escolhido ao acaso um
domicílio, este tenha habitantes que planejaram
comprar aparelho de televisão de tela grande ou
efetivamente compraram? R: 35%
Exercício 3:
⇒ Para eventos independentes
⇒ Para eventos condicionados
Teorema do produto das probabilidades (e)
57
P (A e B) = P (A ∩ B) = P (A) . P (B) 
Para eventos independentes:
Região sombreada A ∩ B
58
Ex.:
S = {Ás, Valete, Dama, Rei, etc.}
Retirando-se seguidamente duas carta do baralho, 
qual a probabilidade de tirar uma carta de COPAS 
na primeira e uma de OUROS na segunda, com a 
reposição da primeira?
Ex: Eventos independentes
59
P (A = copas) = 13/52 
P (B = ouros) → 13/52
P ( A e B) = P (A ∩∩∩∩ B) = ?
P (A e B) = P (A) . P (B) 
= 13/52 . 13/52 = 0,0625 ou 6,25%
60
OBS: Se no exemplo não fosse dito “seguidamente” e sem reposição,
então deveria ser considerada a ordem de saída das cartas, ou seja:
P (1ª copas e 2ª ouros) ou P(1ª ouros e 2ª copas). Logo,
%5,12
52
13
.
52
13
52
13
.
52
13)( =+=∩ BAP
11
Exercício 1:
(SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J.; SRINIVASAN, A. Probabilidade e estatística: 897 problemas
resolvidos. Porto Alegre: Bookman, 2013, pág. 31)
Sejam dois dados honestos:
a) Encontre a probabilidade de conseguir uma
soma de 7 em 1 de até 3 lançamentos;
b) Quantos lançamentos são necessários para
que a probabilidade em a) seja maior do que
0,95
61
R: a)91/216 b) pelo menos 17
62
a) Soma 7 em pelo menos 1 de 3 lançamentos
1º lanç. ou 2º lanç. ou 3º lanç.
1 e 6 1 e 6 1 e 6
6 e 1 6 e 1 6 e 1
2 e 5 2 e 5 2 e 5
5 e 2 5 e 2 5 e 2
3 e 4 3 e 4 3 e 4
4 e 3 4 e 3 4 e 3
36
6
 )7( =somaP
36
30
 )( =outrasP
Logo, em cada lançamento:
63
%42ou 420
216
91
 )7(
36
6
.
36
30
36
30
36
6
36
30
36
6
 )7(
 .º3ou .º2ou .º1 )7(
, somaP
..somaP
lançlançlançsomaP
≅=






+





+





=
=
b) Lançamentos necessários para que a probabilidade
em a) seja maior do que 0,95
Número de lançamentos
1 2 3 4 5 6
Probabilidade (%) 0,17 0,14 0,12 0,096 0,080 0,067
7 8 9 10 11 12
Probabilidade (%) 0,056 0,047 0,039 0,032 0,027 0,022
13 14 15 16 17 -
Probabilidade (%) 0,019 0,016 0,013 0,011 0,009 -
0,95! quemaior 0,964 lanç. 17 até adesProbabilid ⇒=∑
64
Exercício 2:
A probabilidade de uma mulher estar viva
daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5.
Um casal é escolhido aleatoriamente, calcular
a probabilidade de:
a) Somente a mulher estar viva;
b) O homem estar vivo;
c) Pelo menos um estar vivo;
d) Ambos estarem vivos.
R: a) 30%; b) 60%; c) 90%; d) 45%
65
a) Somente a mulher estar viva
%30
5
2
.
4
3
 )( ==∩ HMMVP
b) O homem estar vivo
5
2)(;
5
3)(;
4
1)(;
4
3)( ==== HMPHVPMMPMVP
%60
4
1
.
5
3
4
3
.
5
3
)(ou )(
=+
∩∩ MMHVPMVHVP
66
5
2)(;
5
3)(;
4
1)(;
4
3)( ==== HMPHVPMMPMVP
c) Pelo menos um estar vivo
d) Ambos estarem vivos
%45
4
3
.
5
3
 )(
=
∩MVHVP
%90
5
3
.
4
1
5
2
.
4
3
5
3
.
4
3
)(ou )(ou )(
=++
∩∩∩ HVMMPHMMVPHVMVP
12
Exercício 3:
Considere o espaço amostral de um experimento
constituído do lançamento de dois dados
perfeitamente simétricos:
a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado
mostre a face 2 e o segundo a face 3?
b) Qual a probabilidade de que ambos os dados
mostrem a mesma face?
c) Qual a probabilidade de que o segundo dado
mostre um número par?
67
R: a) 2,78%; b) 16,7%; c) 50%
P (A e B) = P (A ∩ B) = P (A) . P (B/A)
P (A ∩ B) = P (A/B) . P (B)
Para eventos condicionados:
A ocorrência de um evento A depende da ocorrência de um 
evento B e vice-versa.
P (A/B) ou P (B/A)
68
OBS: O evento antes da barra está condicionado
O evento depois da barra dá a condição
Ex.:
S = {Ás, Valete, Dama, Rei, 
etc.}
Ex.1: Eventos condicionados
69
Retira-se duas cartas aleatoriamente, a segunda
sem a reposição da primeira. Se saiu um COPAS 
na primeira carta, qual é a probabilidade de tirar
um ÁS DE COPAS na segunda?
OBS: Considere que o COPAS que saiu na primeira carta não foi o ÁS.
P ( A e B) = P (A ∩∩∩∩ B) = ?
70
Evento A = {copas} → 1a carta
Evento B = {Ás de copas} → 2a carta
71
P (A = copas) = 13/52 
P (B = Ás de copas) → 1/52 
(se independentes…)
P ( A e B) = P (A ∩∩∩∩ B) = ?
Porém B é condicionado a A!
P (B/A) = 1/51
P (A e B) = P (A ∩ B) = P (A) . P (B/A) = 
13/52 . 1/51 = 0,0049 ou 0,49%
Exercício 1:
Em um certo colégio 25% dos estudantes foram
reprovados em matemática, 15% em química e 10%
em matemática e química ao mesmo tempo. Um
estudante é selecionado aleatoriamente. Pede-se:
a) Se ele foi reprovado em química, qual a
probabilidade de ele ter sido reprovado em
matemática?
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a
probabilidade de ele ter sido reprovado em química?
72
R: a) 67%; b) 40%
13
73
?)/(
%10)(
%15)(
%25)(
=
=∩
=
=
QMP
QMP
QP
MP
%67)/3(
15,0)./(10,0
)()./()(
≅
=
=∩
ímaparP
QMP
QPQMPQMP
a) Se ele foi reprovado em química, qual a
probabilidade de ele ter sido reprovado em
matemática?
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a
probabilidade de ele ter sido reprovado em química?
%40)/3(
25,0)./(10,0
)()./()(
=
=
=∩
ímaparP
MQP
MPMQPQMP
Exercício 2:
Um dado é viciado de tal forma que a
probabilidade de sair um certo número é
proporcional ao seu valor. Pede-se:
a) Qual é a probabilidade de sair o 3, sabendo-
se que o ponto que saiu é ímpar?
b) Qual é a probabilidade de sair um número
par, sabendo-se que saiu um número maior
que 3?
74
R: a) 33%; b) 67%
75
6
)6(
;
5
)5(
;
4
)4(
;
3
)3(
;
2
)2(
;
1
)1( PPPPPP
Se o dado é viciado de maneira que a
probabilidade de sair um certo número (ai) é
proporcional ao seu valor, então:
21
6)6(;
21
5)5(;
21
4)4(;
21
3)3(;
21
2)2(;
21
1)1( ====== PPPPPP
Se, :então ,%100ou 1)( ==∑ SaP i
76
?)/3(
21
3)3(
21
9)ímpar(
21
6)6(;
21
5)5(;
21
4)4(;
21
3)3(;
21
2)2(;
21
1)1(
=
=∩
=
======
ímparP
ímparP
P
PPPPPP
%33)/3(
21
9)./3(
21
3
)()./3()3(
≅
=
=∩
ímparP
ímparP
ímparPímparPímparP
a) Qual é a probabilidade de sair o 3, sabendo-se
que o ponto que saiu é ímpar?
77
b) Qual é a probabilidade de sair um número par,
sabendo-se que saiu um número maior que 3?
?)3/(
21
10)3(
21
15)3(
21
6)6(;
21
5)5(;
21
4)4(;
21
3)3(;
21
2)2(;
21
1)1(
=>
=>∩
=>
======
parP
parP
P
PPPPPP
%67)3/(
21
15).3/(
21
10
)3().3/()3(
≅>
>=
>>=>∩
parP
parP
PparPparP
78
Exercícios: Teoremas da soma e do produto
1) Uma urna contém 5 bolas pretas, três
vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3
bolas com reposição. Qual a probabilidade de
terem sido duas pretas e uma vermelha?
R: 22,5%
14
79
10
2)B(;
10
3)V(;
10
5)P( === PPP
Retira-se 3 bolas com reposição
%5,22
10
9)1 e 2(
10
5
.
10
5
.
10
3
10
5
.
10
3
.
10
5
10
3
.
10
5
.
10
5)1 e 2(
)()()()1 e 2(
==






+





+





=
∩∩+∩∩+∩∩=
VPP
VPP
PPVPPVPPVPPPVPP
E se fosse sem reposição?
80
2) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3
brancas. Uma bola é selecionada, aleatoriamente,
dessa urna e não é reposta. Em seguida, duas
bolas de cor diferente da bola extraída
anteriormente (branca ou vermelha) são
colocadas na urna. Se uma segunda bola é
extraída aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) A segunda bola ser vermelha?
b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira?
R: a) 57%; b) 36%
81
8
3)B(;
8
5)V( == PP
Retira-se 1ª bola sem reposição
7
?)B(;
7
?)V( == PP
Retira-se uma bola:
9
2)BB/12(;
9
7)V/12(for 1
9
5)VB/12(;
9
4)VV/12(for 1
aaa
aaa
==⇒
==⇒
aa
aa
PBPBranca
PPVermelhaSe,
16
Se,
Coloca-se duas bolas de cor diferente da 1ª.
82
%36
8
3
.
9
2
8
5
.
9
4
 )B1().BB/12( )V1().VV/12(
 )B1B2(ou )V1V2(
aaaa
aa
=





+





=
+
∩∩
PPPP
PP
aa
aa
b) P (2ª V e 1ª V) ou P (2ª B e 1ª B)
%9,56
8
5
.
9
4
8
3
.
9
7
 )V1().VV/12( )B1().BV/12(
 )V1V2(ou )B1V2(
aaaa
aa
=





+





=
+
∩∩
PPPP
PP
aa
aaa) P (2ª V) = 
8383
3) Uma amostra composta por 500 respondentes foi
selecionada em uma grande área metropolitana para
fins de estudo sobre o comportamento do
consumidor. Entre as questões indagadas estava:
“Você gosta de comprar roupas?”. De 240 homens,
136 responderam que sim e, de 260 mulheres, 224
responderam que sim. Qual é a probabilidade de que
um respondente, escolhido de modo aleatório:
a) goste de comprar roupas?
b) seja uma mulher e goste de comprar roupas?
c) seja uma mulher ou goste de comprar roupas?
d) seja um homem ou uma mulher?
R: a) 72%; b) 44,8%; c) 79,2%; d) 100%
84
a) P (Sim) = P (Sim ∩ Homem) ou P (Sim ∩ Mulher)
= P (Sim/H).P (H) + P (Sim/M). P (M)
260
36
er)P(não/mulh; 
260
224)sim/mulher(
240
104
m)P(não/home; 
240
136)sim/homem(
==
==
P
PSe Homem:
Se Mulher: 
%72
500
260
.
260
224
500
240
.
240
136
=





+





=
 
500
260)P(mulher; 
500
240)homem( ==P
Sejam:
15
85
b) P (SIM ∩ Mulher) = P (Sim/Mulher). P (Mulher)
%8,44
500
260
.
260
224
=





=
d) P (Homem ∪ Mulher) = P (Homem) + P (Mulher)
%100
500
260
500
240
=+=
c) P (Mulher ∪ Sim) = P (M) + P (Sim) – P (M ∩ Sim)
%2,79
500
260
.
260
22472,0
500
260
=





−+=
c) P (Mulher ∪ Sim) = P (M) + P (Sim) – P (S/M). P (M)
86
CONCURSO PÚBLICO - UFES
Edital 001/2014
Cargo: Médico Veterinário
P (A) = P (A e B1) + P (A e B2)+...+ P (A e Br)
P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2)+...+ P (A ∩ Br)
Probabilidade marginal
87
P (A) = P (A/B1). P (B1) + …+ P (A/Br). P (Br)
Em que, B1, B2, ..., Br correspondem a r eventos mutuamente 
excludentes e coletivamente exaustivos.
88
A tabela a seguir apresenta os resultados para a
amostra de 1000 domicílios em termos do
comportamento de compra de aparelhos de
televisão de tela grande.
Exemplo: Probabilidade marginal
Planejou comprar
Efetivamente comprou
Sim Não Total
Sim 200 50 250
Não 100 650 750
Total 300 700 1000
Qual é a probabilidade de, escolhido ao acaso um
domicílio, este tenha habitantes que planejaram
comprar aparelho de televisão de tela grande?
89
Sejam:
P (A) = probabilidade “planejou comprar”
P (B1) = probabilidade “efetivamente comprou” = 300/1000
P (B2) = probabilidade “efetivamente não comprou” = 700/1000
P (A) = P (A e B1) + P (A e B2)
%2525,0
1000
250
1000
50
1000
200)(
1000
700
.
700
50
1000
300
.
300
200)(
)()./()()./()( 2211
 ou ==+=












+











=
+=
AP
AP
BPBAPBPBAPAP
Se {B1, B2, ..., Br} é uma partição do espaço amostral S.
Em que P (Bi) > 0, ∀i. 
Dado um acontecimentoacontecimento A A qualquerqualquer, tem-se: 
P (A) = P (A ∩ B), ou seja:
P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2)+...+ P (A ∩ Br)
Teorema da probabilidade total
... Ai
A ∩ B1
A ∩ B2
A ∩ Br
A ∩ B3
B1 B2 B3
Br
90
16
Se, para eventos condicionados P(A ∩∩∩∩ B) = P (A/B). P(B) 
quando A é condicionado a B, então:
P (A) = P (A ∩ B)
P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2)+...+ P (A ∩ Br)
P (A) = P (A/B1). P (B1) + …+ P (A/Br). P (Br) 
∑
=
=
n
i
ii BPBAPAP
1
)()./()(
Teorema da probabilidade total
91
Suponha que na fabricação de semicondutores, a
probabilidade seja 0,10 de que um chip que esteja
sujeito a altos níveis de contaminação durante a
fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade
é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos
níveis de contaminação durante a fabricação cause uma
falha no produto. Em uma corrida particular de
produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de
contaminação. Qual é a probabilidade de, um
semicondutor escolhido ao acaso, venha a falhar?
Exemplo 1: Teorema da Probabilidade total
92
Qual a probabilidade de um produto usando um desses 
chips vir a falhar?
P (causar falha no produto) = ?
S ⇒ 20% chips sujeitos a altos níveis de contaminação (B1) e 
80% chips NÃO sujeitos a altos níveis de contaminação (B2)
Acontecimento A Acontecimento A ⇒ falha no produto
A
A ∩ B1 A ∩ B2
B1 B2
93
P (A) = P (A/B1). P (B1) + P (A/B2). P (B2)
P (A) = ?
P (A) = P (A ∩ B1) OU P (A ∩ B2)
∑
=
=
2
1
)()./()(
i
ii BPBAPAP
A
A ∩ B1 A ∩ B2
B1 B2
94
Se, chip sujeito a alto nível de contaminação ⇒ 0,10 causam falha
Se, chip não sujeito a alto nível de contaminação ⇒ 0,005 causam falha
∑
=
=
2
1
)()./()(
i
ii BPBAPAP
P (A) = P (A/B1). P (B1) + P (A/B2). P (B2)
P (chip sujeito a alto nível de contaminação) ⇒ 20%
P (chip não sujeito a alto nível de contaminação) ⇒ 80%
P (A) = 0,10. 0,2 + 0,005. 0,8
P (A) = 0,024 ou 2,4%
95
Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos
de plantas: P1, P2, P3 e P4. Plantados canteiros-pilotos
destas sementes, a probabilidade de todas as sementes
P1 germinarem é de 40%, 30% para P2, 25% para P3 e
50% para P4. Escolhido um canteiro ao acaso, qual a
probabilidade que todas as sementes tenham
germinado?
Exemplo 2: Teorema da Probabilidade total
96
17
97
A
A ∩ P1
A ∩ P2
A ∩ P4
A ∩ P3
P1 P2 P3
P4
Qual a probabilidade de germinar todas as sementes?
P (A) = ?
Espaço amostral (S) ⇒ tipo de planta: P1, P2, P3, P4
S = {P1, P2, P3, P4} ⇒ P (P1) = P (P2) = P (P3) = P (P4) = 25%
Acontecimento A Acontecimento A ⇒ germinação das sementes
98
A
A ∩ P1
A ∩ P2
A ∩ P4
A ∩ P3
P1 P2 P3
P4
P (A) = P (A/P1). P (P1) + P (A/P2). P (P2) + P (A/P3). P (P3) 
+ P (A/P4). P (P4) 
P (A) = ?
P (A) = P (A ∩ P1) + P (A ∩ P2)+ P (A ∩ P3) + P (A ∩ P4) 
∑
=
=
4
1
)()./()(
i
ii PPPAPAP
99
Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos
de plantas: P1, P2, P3 e P4. Plantados canteiros-pilotos
de cada um destes tipos, a probabilidade de todas as
sementes P1 germinarem é de 40%, 30% para P2, 25%
para P3 e 50% para P4. Escolhido um canteiro ao
acaso, qual a probabilidade que todas as sementes
tenham germinado?
P (P1) = P (P2) = P (P3) = P (P4) = 25%
P (A/P1) = 40%; P (A/P2) = 30%; P (A/P3) = 25% e P (A/P4) = 50%
100
P (P1) = P (P2) = P (P3) = P (P4) = 25%
P (A/P1) = 40%; P (A/P2) = 30%; P (A/P3) = 25% e P (A/P4) = 50%
%6,23ou 362,0)(
25,0.50,025,0.25,025,0.30,025,0.40,0)(
=
+++=
AP
AP
P (A) = P (A/P1). P (P1) + P (A/P2). P (P2) + P (A/P3). P (P3) 
+ P (A/P4). P (P4) 
∑
=
=
4
1
)()./()(
i
ii PPPAPAP
Em torno de 30% dos gêmeos humanos são idênticos e o
restante são fraternos. Gêmeos idênticos têm
necessariamente o mesmo sexo – metade são homens e
metade são mulheres. Um quarto dos gêmeos fraternos
são ambos homens, um quarto são ambas mulheres e
metade são mistos: um homem e uma mulher. Você
acaba de ser comunicado de que terá gêmeos, qual a
probabilidade de que sejam meninas?
101
Exemplo 3: Teorema da Probabilidade total
102102
P (gêmeos idênticos) = 30%
P (gêmeos fraternos) = 70%
%5,32325,0)(
25,0.7,05,0.30,0)(
)()./()()./()(
 ou =
+=
+=
AP
AP
GFPGFMPGIPGIMPAP
Se, gêmeos idênticos ⇒ ½ homens → P(H/GI) = 0,5 
½ mulheres → P(M/GI) = 0,5 
Se, gêmeos fraternos ⇒ ¼ ambos homens → P(H/GF) = 0,25 
¼ ambas mulheres → P(M/GF) = 0,25 
½ misto → P(HM/GF) = 0,5 
⇒ S = {GI, GF}
A = ambos os gêmeos são meninas (M)
18
Exercício:
103
Suponha que 75% das pessoas tenham
olhos castanhos, 20% tenham olhos azuis e 5%
tenham olhos verdes. Suponha ainda que 70%
das pessoas com olhos castanhos, 20% das
pessoas com olhos verdes e 5% das pessoas
com olhos azuis tenham cabelos castanhos. Qual
é a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao
acaso, ter os cabelos castanhos?
R: a) 54,5%
A probabilidade de ocorrência de A relativa a determinada
partição de S é dada por:
Teorema de Bayes
∑
=
∩
∩
=
n
i
i
i
i
BAP
BAPABP
1
)(
)()/(
Se {B1, B2, ..., Br} é uma partição do espaço amostral S.
Em que P (Bi) > 0, ∀i. 
Dado um acontecimentoacontecimento A A qualquerqualquer, tem-se: 
P (A) = P (A ∩ B), ou seja:
P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2)+...+ P (A ∩ Br)
104
Teorema de Bayes
... Ai
A ∩ B1
A ∩ B2
A ∩ Br
A ∩ B3
B1 B2 B3
Br
∑
=
=
n
i
ii
ii
i
BPBAP
BPBAPABP
1
)()./(
)()./()/(
∑
=
∩
∩
=
n
i
i
i
i
BAP
BAPABP
1
)(
)()/(
⇒⇒⇒⇒
105
Exemplo 1: Teorema de Bayes
A Urna I têm 2 bolas brancase 3 pretas; a urna II têm 4
brancas e 1 preta; e a Urna III têm 3 brancas e 4 pretas.
Uma Urna é selecionada ao acaso e uma bola é
extraída ao acaso e se verifica ser branca. Determine a
probabilidade de que a urna I tenha sido selecionada.
106
5
3)P(;
5
2)B( == PP
P (Urna I) = 1/3 P (Urna III) = 1/3P (Urna II) = 1/3
5
1)P(;
5
4)B( == PP
7
4)P(;
7
3)B( == PP
107
%25
3
1
.
7
3
3
1
.
5
4
3
1
.
5
2
3
1
.
5
2
)/(
)()./()()./(.)()./(
)()./()/(
1
332211
11
1
=
++
=
++
=
ABP
BPBAPBPBAPBPBAP
BPBAPABP
∑
=
= 3
1
11
1
)()./(
)()./()/(
i
ii BPBAP
BPBAPABP
B1 = Urna I ⇒ P (branca) = 2/5; P (preta) = 3/5
B2 = Urna II ⇒ P (branca) = 4/5; P (preta) = 1/5 
B3 = Urna III ⇒ P (branca) = 3/7; P (preta) = 4/7
A = bola de cor branca
Exemplo 2: Teorema de Bayes
Suponha que na fabricação de semicondutores, a
probabilidade seja 0,10 de que um chip que esteja
sujeito a altos níveis de contaminação durante a
fabricação cause uma falha no produto. A probabilidade
é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos
níveis de contaminação durante a fabricação cause uma
falha no produto. Em uma corrida particular de
produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de
contaminação. Escolhido ao acaso um produto que
falhou, qual é a probabilidade dele possuir um chip
sujeito a altos níveis de contaminação?
108
19
A
A ∩ B1 A ∩ B2
B1 B2
P (B1/A) = ?
∑
=
∩
∩
= 2
1
1
1
)(
)()/(
i
iBAP
BAPABP
∑
=
= 2
1
11
1
)()./(
)()./()/(
i
ii BPBAP
BPBAPABP⇒⇒⇒⇒
109
%83
80,0.005,020,0.10,0
2,0.10,0)/(
)()./(...)()./(
)()./()/(
1
2211
11
1
=
+
=
++
=
ABP
BPBAPBPBAP
BPBAPABP
P (B1/A) = ?
∑
=
= 2
1
11
1
)()./(
)()./()/(
i
ii BPBAP
BPBAPABP
Se, chip sujeito a alto nível de contaminação ⇒ 0,10 causam falha
Se, chip não sujeito a alto nível de contaminação ⇒ 0,005 causam falha
P (chip sujeito a alto nível de contaminação) ⇒ 20%
P (chip não sujeito a alto nível de contaminação) ⇒ 80%
110
Um pesquisador desenvolve sementes de quatro tipos
de plantas: P1, P2, P3 e P4. Plantados canteiros-pilotos
de cada um destes tipos, a probabilidade de todas as
sementes P1 germinarem é de 40%, 30% para P2, 25%
para P3 e 50% para P4. Escolhido um canteiro ao
acaso, verificou-se que todas haviam germinado,
qual a probabilidade que sejam P4?
111
Exemplo 3: Teorema de Bayes
112
A
A ∩ P1
A ∩ P2
A ∩ P4
A ∩ P3
P1 P2 P3
P4
∑
=
∩
∩
= 4
1
4
4
4
)(
)()/(
i
PAP
PAPAPP
∑
=
=
n
i
PPPAP
PPPAPAPP
1
44
44
4
)()./(
)()./()/(
⇒⇒⇒⇒
P (A ∩ P4) = ?
113
%53ou 35,0
25,0.50,0...25,0.40,0
25,0.50,0)/(
)()./(...)()./(
)()./()/(
4
4411
44
4
=
++
=
++
=
APP
PPPAPPPPAP
PPPAPAPP
P (A ∩ P4) = ?
P (P1) = P (P2) = P (P3) = P (P4) = 25%
P (A/P1) = 40%; P (A/P2) = 30%; P (A/P3) = 25% e P (A/P4) = 50%
∑
=
=
n
i
PPPAP
PPPAPAPP
1
44
44
4
)()./(
)()./()/(
Em torno de 30% dos gêmeos humanos são idênticos e o
restante são fraternos. Gêmeos idênticos têm
necessariamente o mesmo sexo – metade são homens e
metade são mulheres. Um quarto dos gêmeos fraternos
são ambos homens, um quarto são ambas mulheres e
metade são mistos: um homem e uma mulher. Você
acaba de ser comunicado de que terá gêmeos e que
ambas são meninas. Com esta informação, qual é a
probabilidade de que elas sejam gêmeas idênticas?
Exemplo 4: Teorema de Bayes
114
20
115
P (gêmeos idênticos) = 30%
P (gêmeos fraternos) = 70%
)()(
)()/(
GFMPGIMP
GIMPMGIP
∩+∩
∩
=
Se, gêmeos idênticos ⇒ ½ homens → P(H/GI) = 0,5 
½ mulheres → P(M/GI) = 0,5 
Se, gêmeos fraternos ⇒ ¼ ambos homens → P(H/GI) = 0,25 
¼ ambas mulheres → P(M/GI) = 0,25 
½ misto → P(HM/GI) = 0,5 
⇒ S = {GI, GF}
A = ambos os gêmeos são meninas (M)
116
P (gêmeos idênticos) = 30%
P (gêmeos fraternos) = 70%
%15,46ou 4615,0
25,0.7,05,0.30,0
5,0.30,0)/(
)()./()()./(
)()./()/(
=
+
=
+
=
MGIP
GFPGFMPGIPGIMP
GIPGIMPMGIP
Se, gêmeos idênticos ⇒ ½ homens → P(H/GI) = 0,5 
½ mulheres → P(M/GI) = 0,5 
Se, gêmeos fraternos ⇒ ¼ ambos homens → P(H/GF) = 0,25 
¼ ambas mulheres → P(M/GF) = 0,25 
½ misto → P(HM/GF) = 0,5 
⇒ S = {GI, GF}
A = ambos os gêmeos são meninas (M)
Exercício:
117
Suponha que 75% das pessoas tenham
olhos castanhos, 20% tenham olhos azuis e 5%
tenham olhos verdes. Suponha ainda que 70%
das pessoas com olhos castanhos, 5% das
pessoas com olhos azuis e 20% das pessoas
com olhos verdes tenham cabelos castanhos.
Qual é a probabilidade de uma pessoa de
cabelos castanhos, escolhido ao acaso, ter olhos
verdes?
R: 1,83%
FIM
Literatura recomendada:
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatísitica para engenharia e
ciências. 6.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 692p.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e
probabilidade para engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2009, 496p.
MENDES, C. T. Probabilidade para engenharias. Rio de
Janeiro: LTC, 2010, 250p.
SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J.; SRINIVASAN, A.
Probabilidade e estatística: 897 problemas resolvidos.
Porto Alegre: Bookman, 2013, 427p.
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