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Engenharia de Controle e Automação Lista de Exercícios Prof. Thiago Javaroni Prati Exemplos resolvidos: 1. Determine a transformada Z da sequência f(k) da tabela a seguir k 0 1 2 3 4 5 6 · · f(k) 0 1 2 3 0 0 0 · · Solução: Pela definição, a tranformada Z de uma função é ∑∞0 = f (z)z−k então: F(z) = f (1)z−1 + f (2)z−2 + f (2)z−2 + f (3)z−3... F(z) = 1 z + 2 z2 + 3 z3 = z2 +2z+3 z3 2. Dado a equação a diferenças, detemine a transformada Z da sequeência y(k) e o limk→∞ y(k) dado u(k) um impulso y(k+2)− y(k+1)+0,09y(k) = u(k) Solução: Y (z)(z2− z+0,09) =U(z) Y (z) U(z) = 1 z2− z+0,09 Pelo teorema do valor final, limk→∞ y(k) = Y (z) U(z) z→1 = (z−1) (z2− z+0,09)z ∗Z{u(k)}= 11,111... 3. Determinar a transformada inversa da equação: F(z) = z2 +4z (z2 +2z+2)(z−1)U(z) 1 • Por expansão por divisão contínua F(z) = z−1 +4z−2 1−3z−1 +4z−2−2z−3 z−1 4z−2 1 −3z−1 +4z−2 −2z−3 −z−1 +3z−2 −4z−3 +2z−4 z−1 +7z−2 +17z−3 +25z−4 +21z−5 +7z2 −4z−3 +2z−4 −7z2 +21z−3 −28z−4 +14z−5 +17z−3 −26z−4 +14z−5 −17z−3 +51z−4 −68z−5 +34z−6 +25z−4 −54z−5 +34z−6 −25z−4 +75z−5 −100z−6 +50z−6 +21z−5 −66z−6 +50z−6 • Equação à diferenças F(z) = z−1 +4z−2 1−3z−1 +4z−2−2z−3U(z) f (k) = 3 f (k−1)−4 f (k−2)+2 f (k−3)+u(k−1)+4u(k−2) k f(k) 0 0 1 1 2 7 3 17 4 25 · · · · 4. Dado o sistema a seguir: (a) A função de transferência em malha fechada Primeiramente, é necessário fazer a transoformada Z do processo juntamento com o segurandor de ordem zero. 2 processo= G(z) = (1− z−1)Z{ 1 s(s+1) }= 1− e −T z− e−T Em MF, o sistema será y(k) = Gc(z)G(z) 1+GcG(z) = z(1− e−T ) z2−2e−T z+ e−T (b) A resposta para os 10 primeiros perídos de amostragem para T = 0,1s Para T = 0,1s G(z) = 0,0952z−1 1−1,8097z−1 +0,9048z−2 y(k) = 1,8097y(k−1)−0,9048y(k−2)+0,0952r(k−1) k f(k) 0 0 1 0,0952 2 0,2675 3 0,4931 4 0,7456 5 0,9983 6 1,2272 7 1,4129 8 1,5417 9 1,6068 10 1,6081 (c) O erro para entrada do tipo degrau G(z)z→1 = ( 0,0952z−1 1−1,8097z−1 +0,9048z−2 )( z z−1)( z−1 z ) = 1 Como era de se esperar para um sistema com integrador no controlador e entrada do tipo degrau 5. Usando a transformação bilinear e o critério de Routh, determinar se o sistema G(z) = z−0,2 z3 +2,1z2 +2,08z+0,64 A equação característica é 3 z3 +2,1z2 +2,08z+0,64 = 0 ( w+1 w−1) 3 +2,1( w+1 w−1) 2 +2,08( w+1 w−1)+0,64 = 5,82w 3 +1,1w2 +0,74w+0,34 = 0 Pelo critério de routh, monta-se a seguinte tabela w3 5,82 0,74 w2 1,1 0,34 w2 b1 w0 c1 b1 = 1,1∗0,74−5,82∗0,34 1,1 =−1.06 c1 = b1∗0,34 b1 = 0,34 Como existem duas mudanças de sinal, o sistema possui duas raízes no semiplano direito, ou seja, é instável. 6. Dado o sistema abaixo, para um período de amostragem T = 1s: Determine a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável Solução: A função de transferência do sistema com o segurador é: processo= G(z) = (1− z−1)Z{ 1 s2(s+2) }= (1− z−1)Z{−0,25 s + 0,5 s2 + 0,25 s+2 } G(z) = ( z z−1)( −0,25z z−1 + 0,5Tz z−1 + 0,25z z− e−2T ) G(z) = 0,2838z+0,1485 z2−1,1353z+0,1353 Em MF Y (z) F(z) = K(0,2838z+0,1485) z2 +(0,2838K−1,1353)z+0,1353+0,1485K. Pelo critério de Jury, 4 (a) |a2|< a0 ⇒ |0,1353+0,1485K|< 1 ⇒ −1 < 0,1353+0,1485K < 1 ⇒ −1,1353 < 0,1485K < 0,8647 ⇒ −7,6451 < K < 5,8229. (b) D(z)z=1 = 1+0,2838K−1,1353+0,1353+0,1485K = 0,4323K > 0⇒K > 0 (c) D(z)z=−1 = 1−0,2838K+1,1353+0,1353+0,1485K D(z)z=−1 = 2,2706−0,1353K > 0⇒K < 16,782. Então o sistema é estável para 0 < K < 5,8229 7. Fazer a transformada Z do seguinte sistema com um segurador de ordem zero. G(s) = 1 s+a Pela propriedade, a transformada Z de um sistema precedido por um segurador de ordem zero é: (1− z−1)Z{G(s) s }= (1− z−1)Z{ 1 s(s+a) }= (1− z−1) (1− e −aT )z (z−1)(z− e−at) (1− e−aT )z (z−1)(z− e−at) ∗ (z−1) (z) = (1− e−aT ) (z− e−at) Exercícios Propostos: 1. Determine a transformada Z e uma expressão para y(k) dada a tabela abaixo k 0 1 2 3 · · f(k) 2 1 0,5 0,125 · · 2. Em um sistema, quando a entrada é do tipo impulso, a saída é a seguinte: Represente graficamente a saída do sistema para uma entrada do tipo degrau. 5 3. Dado um sistema descrito pela equação: y(k+2)−1,3y(k+1)+0,4y(k) = u(k) Calcular: (a) A transformada Z desse sistema (b) O valor do sistema quando k→ ∞ 4. Dada a função de transferência F(z) = z (z−0,6)3 Calcular a transformada Z desse sistema para uma entrada degrau por divisão contínua e por equações a dife- renças. 5. Dado o sistema, determinar a faixa de valores de K para que este seja estável. 6. Usando o critéio de routh, determinar se o seguinte sistema é instável G(z) = (z−1) 0.3z3 + z2 +3z+5 7. Fazer a transformada Z dos seguintes sistemas com um segurador de ordem zero, com período de amostragem de 1s. G(s) = 1 s2 +5s+6 6
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