Lista de Exercícicos - Alguns resolvidos

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Engenharia de Controle e Automação
Lista de Exercícios
Prof. Thiago Javaroni Prati
Exemplos resolvidos:
1. Determine a transformada Z da sequência f(k) da tabela a seguir
k 0 1 2 3 4 5 6 · ·
f(k) 0 1 2 3 0 0 0 · ·
Solução:
Pela definição, a tranformada Z de uma função é ∑∞0 = f (z)z−k então:
F(z) = f (1)z−1 + f (2)z−2 + f (2)z−2 + f (3)z−3...
F(z) =
1
z
+
2
z2
+
3
z3
=
z2 +2z+3
z3
2. Dado a equação a diferenças, detemine a transformada Z da sequeência y(k) e o limk→∞ y(k) dado u(k) um
impulso
y(k+2)− y(k+1)+0,09y(k) = u(k)
Solução:
Y (z)(z2− z+0,09) =U(z)
Y (z)
U(z)
=
1
z2− z+0,09
Pelo teorema do valor final, limk→∞ y(k) =
Y (z)
U(z) z→1
=
(z−1)
(z2− z+0,09)z ∗Z{u(k)}= 11,111...
3. Determinar a transformada inversa da equação:
F(z) =
z2 +4z
(z2 +2z+2)(z−1)U(z)
1
• Por expansão por divisão contínua
F(z) =
z−1 +4z−2
1−3z−1 +4z−2−2z−3
z−1 4z−2 1 −3z−1 +4z−2 −2z−3
−z−1 +3z−2 −4z−3 +2z−4 z−1 +7z−2 +17z−3 +25z−4 +21z−5
+7z2 −4z−3 +2z−4
−7z2 +21z−3 −28z−4 +14z−5
+17z−3 −26z−4 +14z−5
−17z−3 +51z−4 −68z−5 +34z−6
+25z−4 −54z−5 +34z−6
−25z−4 +75z−5 −100z−6 +50z−6
+21z−5 −66z−6 +50z−6
• Equação à diferenças
F(z) =
z−1 +4z−2
1−3z−1 +4z−2−2z−3U(z)
f (k) = 3 f (k−1)−4 f (k−2)+2 f (k−3)+u(k−1)+4u(k−2)
k f(k)
0 0
1 1
2 7
3 17
4 25
· ·
· ·
4. Dado o sistema a seguir:
(a) A função de transferência em malha fechada
Primeiramente, é necessário fazer a transoformada Z do processo juntamento com o segurandor de ordem
zero.
2
processo= G(z) = (1− z−1)Z{ 1
s(s+1)
}= 1− e
−T
z− e−T
Em MF, o sistema será
y(k) =
Gc(z)G(z)
1+GcG(z)
=
z(1− e−T )
z2−2e−T z+ e−T
(b) A resposta para os 10 primeiros perídos de amostragem para T = 0,1s
Para T = 0,1s
G(z) =
0,0952z−1
1−1,8097z−1 +0,9048z−2
y(k) = 1,8097y(k−1)−0,9048y(k−2)+0,0952r(k−1)
k f(k)
0 0
1 0,0952
2 0,2675
3 0,4931
4 0,7456
5 0,9983
6 1,2272
7 1,4129
8 1,5417
9 1,6068
10 1,6081
(c) O erro para entrada do tipo degrau
G(z)z→1 = (
0,0952z−1
1−1,8097z−1 +0,9048z−2 )(
z
z−1)(
z−1
z
) = 1
Como era de se esperar para um sistema com integrador no controlador e entrada do tipo degrau
5. Usando a transformação bilinear e o critério de Routh, determinar se o sistema
G(z) =
z−0,2
z3 +2,1z2 +2,08z+0,64
A equação característica é
3
z3 +2,1z2 +2,08z+0,64 = 0
(
w+1
w−1)
3 +2,1(
w+1
w−1)
2 +2,08(
w+1
w−1)+0,64 = 5,82w
3 +1,1w2 +0,74w+0,34 = 0
Pelo critério de routh, monta-se a seguinte tabela
w3 5,82 0,74
w2 1,1 0,34
w2 b1
w0 c1
b1 =
1,1∗0,74−5,82∗0,34
1,1
=−1.06 c1 = b1∗0,34
b1
= 0,34
Como existem duas mudanças de sinal, o sistema possui duas raízes no semiplano direito, ou seja, é instável.
6. Dado o sistema abaixo, para um período de amostragem T = 1s:
Determine a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável
Solução:
A função de transferência do sistema com o segurador é:
processo= G(z) = (1− z−1)Z{ 1
s2(s+2)
}= (1− z−1)Z{−0,25
s
+
0,5
s2
+
0,25
s+2
}
G(z) = (
z
z−1)(
−0,25z
z−1 +
0,5Tz
z−1 +
0,25z
z− e−2T )
G(z) =
0,2838z+0,1485
z2−1,1353z+0,1353
Em MF
Y (z)
F(z)
=
K(0,2838z+0,1485)
z2 +(0,2838K−1,1353)z+0,1353+0,1485K.
Pelo critério de Jury,
4
(a)
|a2|< a0 ⇒ |0,1353+0,1485K|< 1
⇒ −1 < 0,1353+0,1485K < 1
⇒ −1,1353 < 0,1485K < 0,8647
⇒ −7,6451 < K < 5,8229.
(b) D(z)z=1 = 1+0,2838K−1,1353+0,1353+0,1485K = 0,4323K > 0⇒K > 0
(c) D(z)z=−1 = 1−0,2838K+1,1353+0,1353+0,1485K
D(z)z=−1 = 2,2706−0,1353K > 0⇒K < 16,782.
Então o sistema é estável para 0 < K < 5,8229
7. Fazer a transformada Z do seguinte sistema com um segurador de ordem zero.
G(s) =
1
s+a
Pela propriedade, a transformada Z de um sistema precedido por um segurador de ordem zero é:
(1− z−1)Z{G(s)
s
}= (1− z−1)Z{ 1
s(s+a)
}= (1− z−1) (1− e
−aT )z
(z−1)(z− e−at)
(1− e−aT )z
(z−1)(z− e−at) ∗
(z−1)
(z)
=
(1− e−aT )
(z− e−at)
Exercícios Propostos:
1. Determine a transformada Z e uma expressão para y(k) dada a tabela abaixo
k 0 1 2 3 · ·
f(k) 2 1 0,5 0,125 · ·
2. Em um sistema, quando a entrada é do tipo impulso, a saída é a seguinte:
Represente graficamente a saída do sistema para uma entrada do tipo degrau.
5
3. Dado um sistema descrito pela equação:
y(k+2)−1,3y(k+1)+0,4y(k) = u(k)
Calcular:
(a) A transformada Z desse sistema
(b) O valor do sistema quando k→ ∞
4. Dada a função de transferência
F(z) =
z
(z−0,6)3
Calcular a transformada Z desse sistema para uma entrada degrau por divisão contínua e por equações a dife-
renças.
5. Dado o sistema, determinar a faixa de valores de K para que este seja estável.
6. Usando o critéio de routh, determinar se o seguinte sistema é instável
G(z) =
(z−1)
0.3z3 + z2 +3z+5
7. Fazer a transformada Z dos seguintes sistemas com um segurador de ordem zero, com período de amostragem
de 1s.
G(s) =
1
s2 +5s+6
6