Exercícios resolvidos 7.15 a 7.25 LiTan

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Instituto Federal Catarinense 
Campus Luzerna 
Engenharia de Controle e Automação 
Aluna: Daniela Iagher Dildey 
Componente curricular: Processamento digital de sinais 
Exercícios Capítulo 7 - Exercícios 7.15-7.25 
30 de novembro de 2017 
 
7.15 - Dada as seguintes especificações: 
• Faixa de frequência da voz = 0–3000 kHz 
• Faixa de rejeição = 4000–5000 Hz 
• Ripple passa banda = 0.1 dB 
• Atenuação banda de rejeição = 45 dB 
• Filtro FIR com Hamming window. 
Determinar o tamanho do filtro (número de taps) e a frequência de corte; use MATLAB 
para projetar o filtro e para plotar a resposta em frequência. Observa-se que se trata de 
um projeto de um filtro passa-baixa. Sabendo que o tamanho do filtro para Hamming 
window é dado pela Equação 1. 
𝑁 =
3,3
∆𝑓
 (1) 
Tendo ∆𝑓 dado pela Equação 2. 
∆𝑓 =
|𝑓௉஺ௌௌ − 𝑓ௌ்ை௉|
𝑓௦
 (2) 
Fazendo uso das equações 1 e 2, obtém-se que ∆𝑓 = 0.1 e consequentemente N = 33 
Para o cálculo da frequência de corte, usa-se a Equação 3. 
𝑓𝑐 =
𝑓𝑃𝐴𝑆𝑆 + 𝑓𝑆𝑇𝑂𝑃
2 
 (3) 
Então fc = 3500Hz. 
Calculando os coeficientes do filtro, obtemos a Tabela 1. 
Tabela 1 - Coeficientes do exemplo 7.15 
B0 = B32 = -0,0009 B9 = B23 = 0,0088 
B1 = B31 = 0,0019 B10 = B22 = 0,0223 
B2 = B30 = -0,0015 B11 = B21 = -0,0506 
B3 = B29 = -0,0012 B12 = B20 = 0,0405 
B4 = B28 = 0,0054 B13 = B19 = 0,0302 
B5 = B27 = -0,0067 B14 = B18 = -0,1461 
B6 = B26 = 0,0000 B15 = B17 = 0,2552 
B7 = B25 = 0,0129 B16 = 0,7000 
B8 = B24 = -0,0204 
 
E a resposta em frequência obtida para este filtro pode ser observada na Figura 1. 
 
Figura 1 - Resposta em frequência da questão 7.15 
 
7.16 
Dadas as seguintes especificações: 
• Frequência de amostragem = 8000 Hz 
• Filtro passa banda FIR com Hamming window 
• Faixa de frequência para dar-se ênfase = 1500–2000 Hz 
• Faixa de rejeição inferior = 0–1,000 Hz 
• Faixa de rejeição superior = 2,500–4,000 Hz 
Determine o tamanho do filtro e as frequências de corte superior e inferior 
do filtro. 
Tendo ∆𝑓 dado pela Equação 2, com 
∆𝑓ଵ =
|1500 − 1000|
8000
= 0,0625 
∆𝑓ଶ =
|2500 − 2000|
8000
= 0,0625 
 
𝑁1 = 𝑁2 =
3,3
∆𝑓
= 53 
𝑓𝑐1 =
1500 + 1000
2 = 1250𝐻𝑧 
 
𝑓𝑐2 =
2500 + 2000
2 = 2250𝐻𝑧 
 
Ω௖௟௢௪௘௥ =
1250
8000
∗ 2𝜋 = 0,3125𝜋 
Ω௖௟௢௪௘௥ =
2250
8000
∗ 2𝜋 = 0,5625𝜋 
7.17 
Dadas as seguintes especificações: 
 Taxa de Amostragem = 44100 Hz 
 Frequência do Crossover = 2000 Hz 
 Faixa da Banda de Transição = 1600 Hz 
 Ripple passa Banda = 0,1dB 
 Atenuação rejeita Banda = 50dB 
 Filtro FIR 
Determine: 
a) a função janela; 
b) o comprimento do filtro; 
c) a frequência de corte. 
a) O método que atende às especificações é o Hamming. 
b) 
∆𝑓ଵ = ∆𝑓ଶ =
|1600|
44100
= 0,0362 
𝑁1 = 𝑁2 =
3,3
∆𝑓
= 91 
c) 
𝑓𝑐𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 = 𝑓𝑐𝐻𝑖𝑔ℎ = 𝑓𝐶𝑅𝑂𝑆𝑆𝑂𝑉𝐸𝑅 = 2000𝐻𝑧 
Na Figura 2 pode-se observar a resposta em frequência dos filtros passa baixa e passa 
alta. 
 
 
Figura 2 - Resposta em frequência da Questão 7.17 
7.18 
Projete um filtro passa baixa FIR de 41 Taps no qual sua frequência de corte é 1600 Hz 
usando as seguintes funções janela. Assumir que a frequência de amostragem é 8000 
Hz. 
(a) Janela Retangular. 
(b) Janela Triangular. 
(c) Janela Hanning. 
(d) Janela Hamming 
(e) Janela Blackman. 
Liste os coeficientes do FIR e plote a resposta em frequência para cada caso. 
a) Os coeficientes para a janela retangular podem ser observados na Tabela 2. E a 
resposta em frequência na Figura 3. 
Tabela 2 
B0 = B40 = 0,000 B11 = B29 = -0,019 
B1 = B39 = -0,001 B12 = B28 = -0,014 
B2 = B38 = -0,001 B13 = B27 = 0,017 
B3 = B37 = 0,002 B14 = B26 = 0,035 
B4 = B36 = 0,004 B15 = B25 = 0,000 
B5 = B35 = 0,000 B16 = B24 = -0,061 
B6 = B34 = -0,006 B17 = B23 = -0,053 
B7 = B33 = -0,005 B18 = B22 = 0,084 
B8 = B32 = 0,006 B19 = B21 = 0,288 
B9 = B31 = 0,012 B20 = 0,400 
B10 = B30 = 0,000 
 
Figura 3 - Resposta em frequência para o método com janela retangular. 
b) Os coeficientes para a janela triangular podem ser observados na Tabela 3. E a 
resposta em frequência na Figura 4. 
Tabela 3 
B0 = B40 = 0,000 B11 = B29 = -0,019 
B1 = B39 = -0,001 B12 = B28 = -0,014 
B2 = B38 = -0,001 B13 = B27 = 0,017 
B3 = B37 = 0,002 B14 = B26 = 0,035 
B4 = B36 = 0,004 B15 = B25 = 0,000 
B5 = B35 = 0,000 B16 = B24 = -0,061 
B6 = B34 = -0,006 B17 = B23 = -0,053 
B7 = B33 = -0,005 B18 = B22 = 0,084 
B8 = B32 = 0,006 B19 = B21 = 0,288 
B9 = B31 = 0,012 B20 = 0,400 
B10 = B30 = 0,000 
 
Figura 4 - Resposta em frequência para o método triangular 
c) Os coeficientes para a janela Hanning podem ser observados na Tabela 4. E a 
resposta em frequência na Figura 5. 
Tabela 4 
B0 = B40 = 0,000 B11 = B29 = -0,019 
B1 = B39 = 0,000 B12 = B28 = -0,015 
B2 = B38 = 0,000 B13 = B27 = 0,019 
B3 = B37 = 0,001 B14 = B26 = 0,040 
B4 = B36 = 0,002 B15 = B25 = 0,000 
B5 = B35 = 0,000 B16 = B24 = -0,068 
B6 = B34 = -0,004 B17 = B23 = -0,059 
B7 = B33 = -0,004 B18 = B22 = 0,091 
B8 = B32 = 0,005 B19 = B21 = 0,301 
B9 = B31 = 0,012 B20 = 0,400 
B10 = B30 = 0,000 
 
 
Figura 5 - Resposta em frequência para o método Hanning 
d) Os coeficientes para a janela Hamming podem ser observados na Tabela 5. E a 
resposta em frequência na Figura 6. 
Tabela 5 
B0 = B40 = 0,000 B11 = B29 = -0,021 
B1 = B39 = -0,001 B12 = B28 = -0,016 
B2 = B38 = -0,001 B13 = B27 = 0,020 
B3 = B37 = 0,001 B14 = B26 = 0,041 
B4 = B36 = 0,003 B15 = B25 = 0,000 
B5 = B35 = 0,000 B16 = B24 = -0,069 
B6 = B34 = -0,006 B17 = B23 = -0,059 
B7 = B33 = -0,005 B18 = B22 = 0,091 
B8 = B32 = 0,006 B19 = B21 = 0,301 
B9 = B31 = 0,013 B20 = 0,400 
B10 = B30 = 0,000 
 
Figura 6 - Resposta em frequência para o método Hamming 
e) Os coeficientes para a janela Blackman podem ser observados na Tabela 6. E a 
resposta em frequência na Figura 7. 
Tabela 6 
B0 = B40 = 0,0000 B11 = B29 = -0,0142 
B1 = B39 = 0,000 B12 = B28 = -0,0119 
B2 = B38 = -0,0001 B13 = B27 = 0,0160 
B3 = B37 = 0,0002 B14 = B26 = 0,0348 
B4 = B36 = 0,0008 B15 = B25 = 0,0000 
B5 = B35 = 0,0000 B16 = B24 -0,0643 
B6 = B34 = -0,0022 B17 = B23 = -0,0569 
B7 = B33 = -0.0021 B18 = B22 0,0898 
B8 = B32 = 0,0031 B19 = B21 = 0,2997 
B9 = B31 = 0,0073 B20 = 0,400 
B10 = B30 = 0,0000 
 
 
Figura 7 - Resposta em frequência para o método Blackman 
7.19 
Projete um filtro passa baixa FIR no qual sua frequência de corte é 1000 Hz usando a 
função janela de Hamming para os seguintes comprimentos de filtro. Assuma que a 
frequência de amostragem é 8000 Hz. 
a) 21 Coeficientes 
b) 31 Coeficientes. 
c) 41 Coeficientes. 
Liste os coeficientes do FIR e plote a resposta em frequência para cada caso. 
a) Os coeficientes para o primeiro caso podem ser observados na Tabela 7 e a 
resposta em frequência pode ser observada na Figura 8. 
Tabela 7 
B0 = B20 = 0,003 B1 = B19 = 0,003 
B2 = B18 = 0,000 B3 = B17 = -0,009 
B4 = B16 = -0,021 B5 = B15 = -0,024 
B6 = B14 = 0,000 B7 = B13 = 0,061 
B8 = B12 = 0,145 B9 = B11 = 0,220 
B10 = 0,250 
 
Figura 8 - Resposta em frequência para 21 coeficientes 
b) Os coeficientes para o primeiro caso podem ser observados na Tabela 8 e a 
resposta em frequência pode ser observada na Figura 9. 
Tabela 8 
B0 = B30 = -0,001 B1 = B29 = -0,002 
B2 = B28 = -0,002 B3 = B27 = 0,000 
B4 = B26 = 0,005 B5 = B25 = 0,010 
B6 = B24 = 0,010 B7 = B23 = 0,000 
B8 = B22 = -0,019 B9 = B21 = -0,036 
B10 = B20 = -0,035 B11 = B19 = 0,000 
B12 = B18 = 0,068 B13 = B17 = 0,153 
B14 = B16 = 0,223 B15 = 0,250 
 
Figura 9 - Resposta em frequência para 31 coeficientes 
c) Os coeficientes para o primeiro caso podem ser observados na Tabela 9 e a 
respostaem frequência pode ser observada na Figura 10. 
Tabela 9 
B0 = B40 = 0,000 B1 = B39 = 0,001 
B2 = B38 = 0,002 B3 = B37 = 0,002 
B4 = B36 = 0,000 B5 = B35 = -0,003 
B6 = B34 = -0,006 B7 = B33 = -0,006 
B8 = B32 = 0,000 B9 = B31 = 0,010 
B10 = B30 = 0,017 B11 = B29 = 0,015 
B12 = B28 = 0,000 B13 = B27 = -0,024 
B14 = B26 = -0,043 B15 = B25 = -0,039 
B16 = B24 = 0,000 B17 = B23 = 0,071 
B18 = B22 = 0,156 B19 = B21 = 0,224 
B20 = 0,250 
 
Figura 10 - Resposta em frequência para 41 coeficientes 
7.20 
Projete um filtro passa alta FIR de 31 Taps no qual sua frequência de corte é 2500 Hz 
usando as seguintes funções janela. Assumir que a frequência de amostragem é 8000 Hz. 
Liste os coeficientes do FIR e plote a resposta em frequência para cada caso. 
a) Janela Hanning. 
b) Janela Hamming. 
c) Janela Blackman. 
a) Os coeficientes obtidos através da Janela Hanning podem ser observados na Tabela 10 
e a resposta em frequência pode ser observada na Figura 11. 
Tabela 10 
B0 = B30 = 0,0000 B1 = B29 = -0,0002 
B2 = B28 = -0,0004 B3 = B27 = 0,0025 
B4 = B26 = -0,0018 B5 = B25 = -0,0056 
B6 = B24 = 0,0113 B7 = B23 = 0,0000 
B8 = B22 = -0,0232 B9 = B21 = 0,0246 
B10 = B20 = 0,0183 B11 = B19 = -0,0664 
B12 = B18 = 0,0367 B13 = B17 = 0,0108 
B16 = -0,2909 
 
Figura 11 - Resposta em frequência para a janela Hanning 
b) Os coeficientes obtidos através da Janela Hamming podem ser observados na Tabela 
11 e a resposta em frequência pode ser observada na Figura 12. 
Tabela 11 
B0 = B30 = 0,0016 B1 = B29 = -0,0014 
B2 = B28 = -0,0011 B3 = B27 = 0,0045 
B4 = B26 = -0,0026 B5 = B25 = -0,0070 
B6 = B24 = 0,0130 B7 = B23 = 0,0000 
B8 = B22 = -0,0247 B9 = B21 = 0,0256 
B10 = B20 = 0,0188 B11 = B19 = -0,0675 
B12 = B18 = 0,0370 B13 = B17 = 0,1081 
B16 = -0,2911 
 
Figura 12 - Resposta em frequência para a janela Hamming 
c) Os coeficientes obtidos através da Janela Blackman podem ser observados na 
Tabela 12 e a resposta em frequência pode ser observada na Figura 13. 
Tabela 12 
B0 = B30 = 0,0000 B1 = B29 = -0,0001 
B2 = B28 = -0,0002 B3 = B27 = 0,0011 
B4 = B26 = -0,0009 B5 = B25 = -0,0029 
B6 = B24 = 0,0066 B7 = B23 = 0,0000 
B8 = B22 = -0,0166 B9 = B21 = 0,0191 
B10 = B20 = 0,0153 B11 = B19 = -0,0594 
B12 = B18 = 0,0345 B13 = B17 = 0,1047 
B16 = -0,2888 
 
 
Figura 13 - Resposta em frequência para a janela Blackman 
7.21 
Projete um filtro passa-faixa FIR de 41 Taps com frequência de corte inferior 2500 Hz e 
superior de 3000 Hz, utilizando as seguintes funções de janela. Assuma que a frequência 
de amostragem é de 8 kHz. 
a) Função Hanning; 
b) Função Blackman. 
Liste os coeficientes do FIR e plote a resposta em frequência para cada caso. 
a) Os coeficientes para a função de Hanning e sua resposta em frequência podem 
ser observados na Tabela 13 e na Figura 14, respectivamente. 
Tabela 13 
B0 = B40 = 0,000 B1 = B39 = 0,000 
B2 = B38 = 0,000 B3 = B37 = 0,000 
B4 = B36 = 0,000 B5 = B35 = 0,001 
B6 = B34 = 0,001 B7 = B33 = -0,007 
B8 = B32 = 0,009 B9 = B31 = 0,004 
B10 = B30 = -0,027 B11 = B29 = 0,033 
B12 = B28 = 0,000 B13 = B27 = -0,054 
B14 = B26 = 0,072 B15 = B25 = -0,018 
B16 = B24 = -0,072 B17 = B23 = 0,109 
B18 = B22 = -0,045 B19 = B21 = -0,069 
B20 = 0,125 
 
Figura 14 – Resposta em frequência para a questão 7.21 – a) 
b) Os coeficientes para a função de Blackman e sua resposta em frequência podem 
ser observados na Tabela 14 e na Figura 15, respectivamente. 
Tabela 14 
B0 = B40 = 0,000 B1 = B39 = 0,000 
B2 = B38 = 0,000 B3 = B37 = 0,000 
B4 = B36 = 0,000 B5 = B35 = 0,000 
B6 = B34 = 0,001 B7 = B33 = -0,004 
B8 = B32 = 0,005 B9 = B31 = 0,002 
B10 = B30 = -0,018 B11 = B29 = 0,024 
B12 = B28 = 0,000 B13 = B27 = -0,044 
B14 = B26 = 0,062 B15 = B25 = -0,016 
B16 = B24 = -0,068 B17 = B23 = 0,106 
B18 = B22 = -0,045 B19 = B21 = -0,068 
B20 = 0,125 
 
Figura 15 - Resposta em frequência para a questão 7.21 – b) 
7.22 
Projete um filtro rejeita-faixa FIR de 41 Taps com frequência de 2500 Hz e de 3000 Hz, 
respectivamente, utilizando a função de janela Hamming. Assuma que a frequência de 
amostragem é de 8 kHz. Liste os coeficientes do filtro e plote as respostas em frequência. 
Os coeficientes podem ser observados na Tabela 15. 
Tabela 15 
B0 = B40 = 0,0013 B1 = B39 = -0,0016 
B2 = B38 = 0,0005 B3 = B37 = 0,0005 
B4 = B36 = 0,0000 B5 = B35 = -0,0010 
B6 = B34 = -0,0018 B7 = B33 = 0,0088 
B8 = B32 = -0,0106 B9 = B31 = -0,0044 
B10 = B30 = 0,0293 B11 = B29 = -0,0353 
B12 = B28 = 0,0000 B13 = B27 = 0,0555 
B14 = B26 = -0,0734 B15 = B25 = 0,0179 
B16 = B24 0,0726 B17 = B23 = -0,1098 
B18 = B22 0,0456 B19 = B21 = 0,0686 
B20 = 0,8750 
 
Figura 16 - Resposta em frequência para a questão 7.22 
7.23 
Utilize o modelo de amostragem de frequência para projetar um filtro linear passa-baixa 
com 17 coeficientes. Com frequência de corte de 2000 Hz e assumir que a frequência de 
amostragem é de 8 kHz. Liste os coeficientes do filtro e plote as respostas em frequência. 
 
Com Ω஼ = 0,5𝜋, define-se o vetor 𝐻௞ = [1 1 1 1 1 0 0 0 0]. Os coeficientes para o filtro 
podem ser observados na Tabela 16. 
Tabela 16 
B0 = B16 = 0,040 B1 = B15 = -0,049 
B2 = B14 = -0,035 B3 = B13 = 0,066 
B4 = B12 = 0,032 B5 = B11 = -0,107 
B6 = B10 = -0,030 B7 = B9 = 0,319 
B8 = 0,529 
 
Figura 17 - Resposta em frequência para a questão 7.23 
7.24 
Utilize o modelo de amostragem de frequência para projetar um filtro linear passa-faixa 
com 21 coeficientes. Com frequência de corte inferior e superior de 2000 Hz e 2500 Hz, 
respectivamente, e assumir que a frequência de amostragem é de 8 kHz. Liste os 
coeficientes do filtro e plote as respostas em frequência. 
 
Utilizando a frequência de corte normalizada Ω஼௅ = 0, 5𝜋 e Ω஼ு =0, 625𝜋 assim podemos 
definir o vetor Hk = [0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0]. Na Tabela 17 podemos observar os coeficientes: 
Tabela 17 
B0 = B20 = -0,0104 B1 = B19 = -0,0264 
B2 = B18 = 0,0575 B3 = B17 = 0,0476 
B4 = B16 = -0,1070 B5 = B15 = -0,0510 
B6 = B14 = 0,1504 B7 = B13 = 0,0382 
B8 = B12 = -0,1800 B9 = B11 = -0,0141 
B10 = 0,1905 
 
Figura 18 - Resposta em frequência para a questão 7.24 
7.25 
Dado uma entrada: 
𝑥(𝑛) = 1,2 sin ቆ
2𝜋(1000)𝑛
8000
ቇ − 1,5 cos ቆ
2𝜋(2800)𝑛
8000
ቇ 
sendo a frequência de amostragem de 8000 Hz, utilize o método de janela Hamming 
projetado no problema 7.18 para filtrar 400 pontos de x(n) e plote as 400 amostras de 
entrada e saída. 
A resposta para a entrada pode ser observada na Figura 19. 
 
Figura 19 - Gráfico da entrada para a questão 7.25 
Depois do filtro calculado em 7.18 ser aplicado, obtêm-se a saída que pode ser 
observada na Figura 20. 
 
Figura 20 - Saída após o filtro