Apostila de Física 3 Héldio Villar

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. "... **k^-*~ — 
Çfwijiwatujr-CL 
Mecânica e mecân ica estat íst ica 
Tem-se em mãos uma certa quantidade de gás e pretende-se estudá-la. Sabendo-se que o 
gás se compõe de moléculas e que elas estão em contínuo movimento e são razoavelmente 
independentes umas das outras, uma boa ideia para estudar essa massa de gás seria descrever o 
movimento de cada molécula. Como mesmo uma pequena massa de gás contém trilhões e 
trilhões de moléculas, essa forma de atacar o problema é claramente inviável. O recurso é 
aplicar a estatística e analisar o comportamento médio das moléculas, o que se convencionou 
chamar de mecânica estatística. 
Variáveis de estado. 
As variáveis de estado são grandezas macroscópicas de interesse para o estudo das 
propriedades de um gás. As mais importantes são: 
• Pressão 
A pressão é definida como a relação entre a força média exercida pelas moléculas de um 
fluido sobre o recipiente que o contém por unidade de área da parede do recipiente, ou 
p - f - a ( . .d 
A pressão é medida em(N/m*] unidade que foi batizada como pascal (Pa). A pressão atmosférica 
padrão mede 101325 Pa. 
• Volume. 
O volume é o espaço ocupado por polo gás a uma determinada pressão. É medido em 
m 3 , embora possa também ser adotado o litro ( l ) , tomado como 10' 3m\ 
• Quantidade. 
A quantidade de gás pode ser expressa em massa ou em número de moles. O número de 
moles é a relação entre a massa do gás m expressa em g e a massa molecular M do gás, ou 
Ma3 2 
m 
n = — 
M 
(1-2) 
O número de moles é adimensional. Em 1 807 Amedeo Avogadro estabeleceu que, para 
qualquer gás, números idênticos de moles ocupavam, à mesma pressão, o mesmo volume. 
Em sua homenagem, o número de moléculas existentes em um mol de gás ou de qualquer 
substância (que é á quantidade equivalente a M g da substância) é o número de Avogadro 
N A , correspondente a 6 ,022x10" moléculas/mol. 
• Temperatura 
A temperatura é uma medida da energia cinética média das moléculas do gás. É 
expressa em kelvin (K). 
Exemplo 1.1 • -
Achar o número de moles e o número de moléculas contidos em 0,14 kg de água. 
A molécula de água tem como fórmula HiO, de forma que contém um átomo de oxigénio para dois 
de hidrogénio. Sendo aproximadamente 1 a massa atómica do hidrogénio e 16 a do oxigénio, um 
mol de água tem 
M = 2 x 1 + 1 x 16 = 18 g 
Logo, o número de moles em 0,14 kg de água é 
m 140 ' 
n = — = —— = 7,7» omv°à^ 
Aí lis 
Como um mol de uma substância contém um número de Avogadro de moléculas, o número total de 
moléculas é _^ -»-fi7*z - 6,*3. •.• j õ 
N = nNA = 4,68 x 10 J 4 c^sVv, ' 
S£Sf9£ I 
ww Ov (TO | 
EXemplo 1.2 
Qual a força total exercida por 2 atm de gás contidas em um recipiente ^iHndriçp1 de 0,44 
m de diâmetro e 0,35 m de altura sobre suas paredes? 
Duas atmosferas equivalem a 2,03x1o5 N/m2. A força total sobre as paredes do recipiente é o 
produto dessa pressão pela área das paredes. 
A parede lateral tem área 
AL = 2nrh = 2K x 0,22 x 0,35 = 0,484 ml 
| e a área das bases é 
AB = 2rrrr2 = 2K x 0,22 2 = 0,304 m2 
| Logo, a força total pedida é 
r; = p(AL + AB ) = 2,03 x 10 3 x 0,788 = 1,6 x 10 s N 
L 
/ 
f&CSJ 
A 1 6 
equilíbrio térmico e lei zero da termodinâmica 
0 estado de equilíbrio termodinâmico existe quando todas as 
variáveis de estado do sistema permanecem constantes no tempo e 
uniformes em todo o sistema. 
Como exemplo de equilíbrio térmico, serão analisados dois 
sistemas separados por uma parede adiabática (Fig. 1.1a). Como essa 
parede não permite qualquer contacto térmico, ambos os sistemas 
permanecem em equilíbrio. Substituindo-se a parede adiabática por 
outra diatérmica, haverá contacto térmico (Fig. 1.1b). Com isso, as 
variáveis de estado dos dois sistemas sofrerão alterações, até fixar-se Fi9- 1-1 - Sistemas liga-
1 . , i i i • . dos (a) P°r uma parede 
em valores constantes. Nesse momento, cada um dos sistemas estará adiabática e (b) por uma 
em equilíbrio térmico e os dois estarão em equilíbrio térmico entre si. P a r e £ , e diatérmica. 
Caso um terceiro sistema seja posto em contacto, por meio 
- i de paredes diatérmicas, com dois sistemas separados por uma 
parede adiabática, as variáveis de estado dos três sistemas vão 
sofrer alterações e, com o tempo, estabilizar-se (Fig. 1.2). O 
terceiro sistema estará em equilíbrio térmico tanto com o primeiro 
quanto com o segundo. Nesse momento, sendo o terceiro sistema 
:ig. 1.2 - A lei zero da removido e os dois primeiros postos em contacto através de uma 
ermodinSmica. parede diatérmica, nenhuma alteração terá lugar. Logo, os dois 
primeiros sistemas, por estarem em equilíbrio térmico com um terceiro, estarão em 
quilíbrio térmico entre si. Essa é a lei zero da termodinâmica. 
Ib) 
\a da temperatura 
O registro da temperatura é feito por meio de termómetros. O funcionamento do 
vtírmômetro é baseado nas alterações sofridas por um material em função da variação da 
temperatura. A variação mais facilmente registrada é a expansão térmica (que será vista em 
uetalhe no fim do capítulo). Outros processos envolvem alterações na resistividade (base de 
rúncionamento dos termopares), mudança de cor (empregada nos pirómetros) e variações 
ue pressão (termómetros a gás). ' ' 
A variação da pressão de gases confinados com a temperatura foi equacionada no 
atículo XVIII por Charles e Gay-Lussac. Em princípio, quanto maior for a temperatura, maior 
«a pressão do gás mantido a volume constante. Charles e Gay-Lussac estabeleceram que 
irdvia, dentro de certos limites, uma relação linear entre temperatura e pressão. Com as 
b.iiclades de hoje, estando um gás a uma pressão p, a uma temperatura T„ ele terá uma 
cessão pj a uma temperatura T2 segundo 
T, i _ Pi 
7-, 
0-3) 
m a 
V t f K W H ' 
Essa equação é aplicaria ao cálculo de temperaturas com o 
termómetro a gás a volume constante (Fig. 1.3). Nesse 
termómetro o aumento da pressão do gás contido no bulbo com 
a temperatura é registrado pela variação do comprimento da 
coluna de mercúrio. 
O termómetro a gás permite dessa forma o cálculo da 
variação entre temperaturas. Mas que valores devem ser 
estabelecidos para essas temperaturas? Embora Galileu tenha 
começado a atacar esse problema no século XV; i , foi Daniel 
Gabriel Fahrenheit, o inventor dos termómetros de álcool e de 
mercúrio, quem criou a primeira escala prática de temperatura, F i g 1 3 _ U m termómetro a 
no início do século XVIII. Fahrenheit estabeleceu inicialmente o a volume constante. 
valor zero para uma mistura de gelo, água e sal amoniacal em partes iguais, uma mistura 
que tinha a reputação de ser a mais fria dentre as que continham água. Para a temperatura 
do corpo humano, um dos "pontos notáveis de temperatura" estabelecidos naquela época, 
ele atribuiu o valor de 90 graus. Com instrumentos mais acurados, e tendo percebido que o 
ponto de fusão do gelo e o de vaporização da água eram mais confiáveis, ele findou por 
adotar o valor de 32 graus para o primeiro e 212 graus para o segundo (visto ser esses os 
valores aproximados indicados pelo seu termómetro nesses dois pontos). 
Em 1742 Anders Celsius resolveu adotar para a graduação dos termómetros os 
mesmos pontos escolhidos por Fahrenheit, tomando 0 para o de vaporização e 100 para o 
de congelamento da água. Oito anos mais tarde, Martin Strõmer inverteu esses números. Por 
ter 100 divisões entre os pontos usados para sua calibração, essa escala foi chamada de 
centígrada até 1948, quando foi oficialmente -b.^tizada de escala Celsius, tendo como 
símbolo °C. 
Conveniente como possa parecer, a escala 
Celsius é imprópria para o termómetro a gás, pois 
temperaturas negativas implicariam em pressões 
negativas, que obviamente não existem, sem falar ;-.o 
caso da temperatura nula. Era fundamental a introdução 
de uma escala "absoluta" de temperatura.Já se sabia, 
desde meados do século XIX, que se a reta 
correlacionando pressão e temperatura de um gás fosse Fl3-1 Determinação do zero absoluto. 
extrapolada até o ponto em que a pressão se anulasse (Fig. 1.4) essa temperatura seria 
equivalente a -273,1 5°C para qualquer gás (a justificativa para a extrapolação era o fato de 
que èm determinada temperatura o gás iria liquefazer-se, de maneira que temperaturas mais 
baixas poderiam existir, mas seria impossível registrá-las). Essa temperatura foi 
posteriormente tomada como a origem da escala absoluta, mais tarde rebatizada como 
escala Kelvin (em homenagem a Will iam Thomson, Barão Kelvin de Largs). 
A escala absoluta permite a determinação precisa de qualquer temperatura com o 
termómetro a gás, sendo conhecida a pressão do gás a uma temperatura padrão. Em 
laboratório, uma temperatura constante de fácil obtenção é a do ponto triplo da água. Nessa 
273.15-C 
S 
temperatura, 273,16 K a 610 Pa, gelo, água e vapor d'água estão em equilíbrio. Assim, 
construindo-se um termómetro de gás a volume constante e medindo-se a pressão p} no 
ponlo triplo, a temperatura T a qualquer pressão p será 
T = 273,16-*-/: 
P3 
(1.4) 
Exemplo 1.3 
Determinar a temperatura de ebulição do N2 , sabendo-se que um termómetro de gás 
indica 280 Pa nessa temperatura e 1020 Pa no ponto triplo. 
Usa-se diretamente a equação 1.4 e acha-se 
280 
T = 273,16—^— = 77,1/íT 1020 
3£3£3f 
0v Ov ( ro 
Termómetros de gás dão indicações '• c 
diferentes para uma mesma temperatura se o 4 4 í ) l , 
gás for mudado ou, mantendo-se o gás, 445.5 
alterar-se sua quantidade. A observação «s.o 
mostra, no entanto, que as leituras feitas com • , 4 4 > 5 
termómetros de gases diferentes tendem ao 4 U ' V 
mesmo resultado se o gás for muito rarefeito, 
ou seja se p ->• 0 (Fig. 1.5). Isso quer dizer 
que, para qualquer gás,a temperatura medida Fig. 1.5- Variação da leitura de termómetros de gás 
pelo termómetro é dada exatamente por c o m a PressSo <a t™P™*™ •»«• * 444,rc). 
".5 i.5 r>. Mm 
T = 273,16 lim K (1.5) 
Um gás nessas condições é dito ideal. 
A expansão térmica. 
Um dos aspectos mais interessantes de virtualmente todas as substâncias é o aumento de suas ' 
dimensões com a elevação da temperatura. Como os sólidos têm formas bem definidas, essa 
expansão é mais facilmente observada, e sua quantificação consequentemente mais simples. 
A razão pela qual os sólidos aumentam de volume com a temperatura pode ser 
explicada por meio do diagrama da Fig. 1.6. Esse diagrama mostra a variação da energia 
potencial das moléculas ou átomos de um corpo em função da distância intermolecular (ou 
interatômica). A figura mostra uma curva que tem um ponto de energia mínima, 
correspondente a uma determinada distância r0 entre moléculas ou átomos. Distâncias 
menores ou maiores que esse valor levam a energias maiores, de forma que a tendência é 
fazer com que, por meio das forças de repulsão 
ou de coesão, a distância intermolecular (ou 
interatômica) volte ao valor rn. 
Caso haja uma elevação de temperatura, 
o que representa um aumento na energia interna 
do corpo, a distância intermolecular (ou 
interatômica) passa a oscilar entre dois pontos da 
curva definidos por essa nova energia potencial 
(a-b, a'-b', a"-b"). Pela assimetria da curva, o 
valor médio da distância intermolecular (ou 
interatômica) nessa nova energia é maior que r0 , 
o que conduz a uma expansão do material. 
0 
Fig. 1.6 - Variação da energia potencial em 
função da distância Interatômica (ou 
Como um sólido, embora tenha volume, intermolecular). 
duas dimensões pode ter uma ou duas dimensões tão 
preponderantes que as outras (ou outra) possam ser consideradas desprezíveis, a expansão 
de um sólido pode ter características lineares, superficiais ou volumétricas. 
• A ^ M a c ã o l i n e a r 
Tomando-se um barra metálica 
de pequeno diâmetro, sua expansão 
com a temperatura pode ser 
visualizada na direção longitudinal 
com um instrumento denominado 
pirómetro de quadrante (Fig. 1.7). No 
aparelho mostrado, a barra é ancorada 
no ponto B e toca num ponteiro 
pivotado em A. Uma chama é acesa • , , . . . . . , 
r Fig. 1.7- Um pirómetro de quadrante. 
sob a barra, sendo a alteração no seu 
comprimento visualizada no quadrante, que é graduado em unidades de comprimento. 
Tendo a barra originalmente um comprimento í.p , após sofrer um acréscimo de temperatura 
AT a barra passa a ter um comprimento L=L0+AL. Estudos mostraram que, dentro das faixas 
de temperaturas comumente encontradas,.o acréscimo relativo no .comprimento de um 
sólido é aproximadamente proporcional à elevação da temperatura. Assim, é possível 
escrever 
^8» 
(1.6) 
onde cré uma constante'específica para cada substância, com unidades em K"\(ou "C" 1). 
Daí, chega-se à equação que descreve o comprimento final de uma barra sujeita a uma 
elevação de temperatura: 
. 9 ^ m a 
L = L0{l + aAT) "P5I 
Os valores de cr são determinados experimentalmente, de acordo com a equação 
(1.7). Virtualmente todos os resultados encontrados se situam na faixa de IO" 6 a 10" s K'1, 
como mostra a Tabela 1.1, e são essencialmente constantes, para cada substância 
considerada, dentro de uma razoável faixa de temperaturas. 
TABELA 1.1 - Coeficientes de expansão térmica de sólidos 
Substância a , K1 
Aço 1,1x1 O'5 
Latão 1,9x10" 5 
Alumínio 2,4x10" 5 
Diamante 1,2x10" 6 
Grafite 7,9x10" 6 
Vidro comum 9x10" 6 
Vidro pyrex 3,2x10" 6 
Invar 1x10" 6 
Gelo 5,1x10" 5 
Exemplo 1.4 
Uma ponte de aço tem 1 km de comprimento. Qual deve ser a sua expansão se a 
temperatura variar, de 30°C? 
Como o coeficiente de dilatação linear do aço é 1,1x10'5/°C, a variação do comprimento da ponte 
é dada por 
AL = LòaAT = 1000x 1,1 x 10"5 x 30 = 0,33 m 
Para evitar que a ponte sofra danos em sua estrutura, Juntas de dilatação são construídas a 
intervalos, o que permite a livre expansão do aço. 
3£3£S£ 
<rv €rv (79 
Muitos corpos têm . uma 
dimensão muito menor que as outras 
duas, de forma que a expansão térmica 
só é significativa em duas dimensões • • 
(Fig. 1.8). O equacionamento da 
expansão superficial é feito tomando fíg 1 8 _ D i l a t g ç S o s u p e r f i c i a l : u m a V 9 Z a q u e c W a j 8 m o e d a 
por base expansões independentes nSocabe mais no anel. 
ocorrendo em duas direções 
perpendiculares, por exemplo, x e y. Ghamando de L0x um comprimento medido à 
temperatura T na direção x e de Lny um comprimento medido nas mesmas condições na 
F&CS3 
direção y, a área definida por esses dois comprimentos à temperatura T é A^i^L^ 
Elevando-se a temperatura do corpo de AT, os novos comprimentos serão respectivamente 
L 0 x(1+aA7) e L0y (1+aAT), de forma que a nova área é 
A = L0xL0y(l + aAT)2 =A0(\ 2aAT + a1 {AT)2 )= A0 (l + 2aAT) (1.8) 
-10 onde o termo em 2 o grau foi eliminado porque a2 é usualmente menor que 10 
Comparando-se a equação (1.8) com a equação (1.7), vê-si que as duas se tornam similares 
fazendo-se 2a=fi. Assim, toma-se o coeficiente de expans. o superficial de um corpo como 
o dobro do coeficiente linear. 
( 
• A dilatação volumétrica 
Raciocínio similar é empregado 
no equacionamento da expansão 
volumétrica (Fig. 1.9). Encontra-se 
V = V0(\+yAT) (1.9) 
onde y=3 a é o coeficiente de expansão 
volumétrica do material. 
Exemplo 1.5 -
Fig. 1.9 - Anel de s'Gravei \nde, para demonstração da 
expansão térmica volumétrl j . 
Uma esfera de aço de 5,01 cm de 
diâmetro repousa sobre um anel de 
zinco de 5 cm de diâmetro, ambos a 
0°C. A que temperatura a esfera 
passará pelo anel? 
Qmr-se achar em que temperatura o raio 
da esfera, cujo volume é 
V = -nr3 
3 
e sofre dilatação volumétrica, se igualará ao do anel, de comprimento 
L = 2nr 
que sofre dilatação linear. Assim, o volume da esfera após o aquecimento será 
V= V0 (1 + yAT).-. l * r J = | ^ ( l + 3aF, Ar) . - . r 3 = r 0 ' ( l + 2aF, AT) 
onde afr=l,lxlO" 5//C Para o anel, tem-se 
L = L0(l + aAT):. 2nR = 2nR0 (l + a u AT):. R = RQ(l + a^AT) 
onde a&,=3,l x IQ'5/K. O que se quer é r-R, ou r 3 =Ã 3 , de forma que 
r 0 3 ( l + 3aFtAT)=Rl{\ a^ATf = K03 (l + 3a ^AT) 
Entrandò-se com os valores numéricos, acha-se AT= 100,5 K. A tempera ura pedida é 100,5 °C. 
D D V U O U 
€ 
t 
G 
fítíaJ 8 
A dilatação dos líquidos. 
Da mesma forma que os sólidos, os líquidos também exibem expansão com a 
elevação da temperatura. Claro está que essa expansão é volumétrica, tendo em vista a 
impossibilidade de se ter um líquido còm forma constante. No entanto, é possível a 
verificação da expansão linear de um líquido quando ele estiver encerrado em um tubo 
fino, como num termómetro. Portanto, de maneira geral, a expansão térmica de um líquido 
que sofre uma elevação de temperatura A T é dada por 
V = V0(\ yAT) (1.10) 
onde yé o coeficiente de expansão térmica do líquido considerado. A tabela 1.2 mostra os 
valores desse coeficiente para alguns líquidos selecionados. 
TABELA 1.2 - Coeficientes de expansão térmica de líquidos 
Material 
Água 2 , 0 7 x 1 0 ' 4 
Mercúrio 1,8x10-" 
Álcool 1 x 1 0 3 
Acetona 1,5x10" 3 
Petróleo 1,2x10" 3 
Da mesma forma que com os 
sólidos, os coeficientes de expansão 
de líquidos diferentes não apresentam 
grandes discrepâncias, além de se 
manterem essencialmente constantes 
ao longo de uma faixa de temperaturas 
razoável. A água, no entanto, 
apresenta um comportamento distinto, 
pois seu coeficiente de dilatação sofre 
variações para mais e para menos (Fig. 
1.10). Isso faz com que a massa 
específica da água seja máxima, e igual a 1 , 0 0 0 x 1 0 3 kg/m3, a 4 °C . Esse comportamento 
anómalo da água é fundamental para a manutenção da vida aquática em regiões frias. A 
temperatura caindo abaixo de zero em uma região lacustre, por exemplo, provoca o 
congelamento da superfície da água. Antes disso, porém, com a temperatura da superfície 
da água chegando a 4°C , essa massa de água vai para o fundo, por ser mais densa. O gelo 
se forma nas camadas superiores e, por ser. bom isolante térmico, mantém a água em forma 
líquida no fundo do lago, garantindo assim a sobrevivência de peixes e outros animais. 
Fig. 1.10- Dilatação anómala da égua. 
V 
Exemplo 1.6 • 
Um frasco de 1 litro de capacidade está cheio até as bordas com álcool a 1 0 ° C Se a 
temperatura se elevar a 30°C, qual a quantidade de álcool que transbordará do frasco? 
Comparando-se o coeficiente de expansão térmica do álcool (\3IC') com o do vidro comum 
(9x10"6 K1), vê-se que só a dilatação do líquido é relevante. Assir.:, de acordo com a equação 
(1.10). essa dilatação é dada por 
AV = V0yAT = 1 x 1 x 10"3 x 20 = 0,02 litros = 20 ml 
Assim, 20 ml do álcool transbordam. 
3f3£3f 
<TO <FV frV 
Exemplo 1.7 
Um termómetro de mercúrio é feito de um tubo de vidro comum * om diâmetro interno de 
0,60 mm. A distância entre o ponto do gelo e o ponto do vapo. deve ser de 20,0 cm. 
Calcular o volume de mercúrio que deve ser colocado no termômet o. 
O que se quer é aciar o volume de mercúrio que sofra, após uma vari. ção de temperatura de 
\00°C, uma xariaçãi de volume 
bV = n — h = x: 3 ^ - x 20 = 0,05655 cm 3 
4 4 
\* Aplicando a equa> -ão da expansão, vem 
Air v A r v A F 0,05655 " 3 AV = V0yAT :. V0 = = = 3,14 cm 
yAT 1,8x10-" x 100 
- 1/ 
.5 
i 
()0 '3, íí^o .i,<i 
/fct»J 
êaplàdô-2 
cá. tifaiu.i(eniL(}ixi dô- eaiav-
Os processos de transferência 
O calor é uma forma de energia associada ao movimento das moléculas de um corpo. 
Isso é evidenciado matematicamente nos gases, mas é também verdadeiro para os líquidos e 
sólidos. 
É um fato facilmente verificável a transmissão de calor de um corpo pará outro. Os 
principais processos que levam à transferência de calor são: 
• Condução - quando a energia cinética é transferida às moléculas do corpo pelo 
contacto direto ou indireto do corpo com a fonte de calor 
• Radiação - quando a fonte é capaz de aumentar a energia cinética das moléculas do 
corpo sem que haja qualquer contacto material com ele 
Fluxo de calor, q 
O equacionamento da condução do calor 
O exemplo mais simples da condução do calor é 
mostrado na Fig. 2.1: uma barra condutora de seção 
transversal uniforme A e comprimento L liga dois 
reservatórios térmicos. Um dos reservatórios tem uma 
temperatura constante T, e .o outro uma temperatura 
também constante T2, com T2>7",. Admite-se que calor não 
escapa da barra para o exterior. A análise desse processo 
aponta para o seguinte: 
• Em qualquer instante, como os reservatórios 
térmicos são considerados/como infinitamente F l g . 2.1 - Barra condutora ligan* 
grandes, a temperatura na face esquerda da barra dois reservatórios de calor. 
será sempre T2, sendo T, na face direita. 
• No instante inicial a barra lenrem toda a sua extensão uma temperatura T 0 , excet 
nas faces esquerda e direita, como evidenciado acima. 
• À medida que o lempo vai passando, a temperatura ao longo da' barra vai sofrenc 
alterações, com os pontos nas vizinhanças da face esquerda tendendo a um vali 
próximo a 7\ aqueles nas vizinhanças da face esquerda tendendo a um vai 
próximo a 7,; durante o período em que a temperatura da barra sofre alterações a 
condução se realiza em regime transiente 
• Após um intervalo de tempo suficientemente longo, as temperaturas ao longo da 
barra irão decair uniformemente de 7 2 p3ra 7, (Fig. 2.1); a partir desse momento, o 
fluxo de calor entre os dois reservatórios será constante e a condução passará a se 
realizar em regime permanente 
Fica evidente que o fluxo de calor através da barra irá variar proporcionalmente com a 
área da seção transversal. Como, por melhor condutora que seja a barra, perdas na condução 
irão ocorrer, o fluxo de calor certamente deverá ser inversamente proporcional à distância 
entre os reservatórios. Fica também claro que, quanto maior for a diferença entre as 
temperaturas 7, e 7 2 , maior será o fluxo de calor. Finalmente, esse fluxo irá também depender 
do material de que é feita a barra. Dessa forma, o fluxo de calor q pode ser escrito 
. . . . a r \ 
q = -k.i — I 
ox I 
(2.1) 
onde o sinal indica que o fluxo se faz do reservatório mais quente para o mais frio. O 
quociente õTIdx é o gradiente térmico da barra e k é uma constante, denominada coeficiente 
de condutividade térmica, que varia de material para material, como mostra a Tabela 2.1. 
TABELA 2.1 - Coeficientes de condutividade térmica 
Substância k, W/mK 
Alumínio 238 
Chumbo 35 
Cobre 397 
Ferro 80 
Ouro 314 
Prata 427 
Argônio 0,0234 
Hélio 0,138 
Hidrogénio 0,172 
Oxigénio 0,0238 
Água 0,6 
Amianto 0,08 
Borracha 0,2 
Concreto 0,8 
Gelo " 0,2 
Vidro 0,8 
Madeira 0,08 
Escolhendo-se na barra uma seção transversal qualquer, a equação (2.1) indica que, 
após decorrido um intervalo de tempo Af, a quantidade de calor AQ que atravessou a seção é 
A£> = -Àr — AM 
ox 
(2.2) 
1 
Logo; escolhendo-se dois pontos a e b na barra, a quantidade de calor absorvida nesse 
intervalo de tempo Af no elemento da bqrra assim definido será a diferença entre o calor que 
entra em a e o calor que sai em b (Fig. 2.2) , ou 
àQ = áQ0-AQb=-k^-
ox 
Aát-
{ *] AM 
õ'T 
= k-^rAàxàt (2.3) 
Como a quantidade de calor A Q absorvida por um corpo 
de massa m é dada por mc&T, onde c é o calor específ ico 
do material do corpo e A T a var iação de temperatura por 
ele sofrida, tcm-so, para n barra , 
k—^-A&x&t = mc&T = Aàxpt&T = Aàxpc^—N 
dx7 ^'fit J 
(2.4) 
onde substituiu-se a massa m pelo volume do elemento da 
barra (AAx) mult ip l icado pela massa específica do material 
ip). Da í , 
Direção do fluxo 
de calor com T, > 7", 
, d-T dT 
k —— = pcdx1 dt dt 
dT=a> a2r 
dx3' 
(2 .5 ) 
<3u 
Flg. 2.2- Transferência de calor num 
elemento de uma barra. 
onde a =k/{pc). 
A condução em regime permanente 
No regime permanente , a temperatura em cada ponto da barra independe do tempo. 
'. • Logo, a condução pode ser equacionada segundo (2 .1) . Nesse caso, o gradiente térmico ao 
1 w longo c la barra é constante e dado por 
i % 
) 0 
dT ( 7", - T2 \ 
d x K ^ L j ' 
(2 .6) 
> 0 Da í , 
) 0 
q - kA — L 
L 
(2.7) 
Exemplo 2.1 
Achar qual deve ser a taxa de transferência de calor através de duas chapas justapostas de 
espessuras L% e L7e coeficientes de condutividade térmica A-, e k2, respectivamente. 
A situação está mostrada na Fig. 2.3. À esquerda a temperatura é T: e à direita é Ti. Na interface dos 
dois materiais a temperatura é T. A taxa de transferência de calor através da chapa 2 é 
_ k2A(T2 - T j 
<7i - - . 
Por sua vez, através da chapa 1 a taxa de transferência de calor é 
_ kxA{T - 7 . ) 
<7i - l 
i 
No regime permanente, a taxa de transferência através da chapa é constante cm qualquer ponto. 
Logo, 
física 3 
A S 
M ( 7 2 ~ 7 ' ) _ M ( 7 - I , ) 
Resolvendo, acha-se 
•p _ ^ \\ k 2 L \2 
k,L7 k 1 L i 
Daí 
U 
tro <ro <ru 
F/g. .2.3 - Transferência 
de calor através de duas 
chapas condutoras. ^ 
O resultado ac ima jode ser estendido a diversas chapas , chegando-se a 
Exemplo 2.2 * 
U m a janela tem 6 m de área e é constituída de duas camadas de vidro de 4 mm cada, 
separadas por uma .amada de ar de 5 mm. Internamente a temperatura é de 20°C e 
externamente é de -3í)°C. Qual é a perda de calor através da janela? 
A perda é calculada se >undo a equação (2.8). Com os dados da Tabela 2.1 tem-se 
50 
9 = 6 
0,005 2 x 0.1.04 
0,0234 Õ.í 
= 1341 W 
3£3£S£ 
trp &w tro 
A equação de Newton para o r«fjjajaiej3JLxL 
<m 
m 
% % 
% 
U m corpo aquecido, em contacto c o m u m meio que pode ser considerado infinito, irá 
perdendo calor paulatinamente, até atingir a temperatura do meio. É razoável admitir-se que a 
perda de calor seja proporcional à di ferença de temperatura entre o corpo e o meio. Em termos 
matemáticos , 
dT 
di 
=.-k(T-Tm) (2.9) 
onde Tm é a temperatura do meio e k um coef ic iente de proporcionalidade dependente, acima 
de tudo, da condutiv idade térmica do meio . Integrando-se a equação (2.9) chega-se a 
T = Tm+{T0-Tmykl (2.10) 
onde 7"0 é a temperatura inicial do corpo . Essa é a lei de Newton para o resfriamento. 
h - ^ - — h 
?2 
k2A{r2-r) _kXr-T{) 
Rcsohrntio. acha-se 
k^ L2T^ k 2 L \ 2 
kxL2 
T = 
Da/ 
Ai_ + Al. 
k2L, 
1 
«Si m 
Fig. .2.3 - Transferência "~ 
de calor através de duas r'W 
chapas condutoras. ^£ 
m 
O resultado ac ima jode ser estendido a diversas chapas , chegando-se a 
<1 = A \1 (2.8) 
Z r 
1 * l 
Exemplo 2.2 * 
U m a janela tem 6 m de área e é constituída de duas camadas de vidro de 4 mm cada, 
separadas por uma .amada de ar de 5 m m . Internamente a temperatura é de 20°C e 
externamente é de -30°Ç. Qual é a perda de calor através da janela? 
A perda é calculada se fundo a equação (2.8). Com os dados da Tabela 2.1 lem-se 
q = 6 
m 
m 
m 
m 
m 
0,005 2 xO 1.04 
Õ7Õ234 Õl'~ 
= 1341 W 
<7T> CTD tTO 
A equação de Newton para o re^fjjajrxiejita. 
% 
U m corp-) aquecido, em contacto c o m u m meio que pode ser considerado infinito, irá 
perdendo calor paulatinamente, até atingir a temperatura do meio. É razoável admitir-se que a 
perda de calor seja proporcional à di ferença de temperatura entre o corpo e o meio. Em termos 
matemát icos , 
dT 
dt • 
= -k(T - Tm) ( 2 . 9 ) 
onde Tm é a temperatura do meio e k um coef ic iente de proporcionalidade dependente, ac ima 
de tudo, da condutiv idade térmica do meio . Integrando-se a equação (2.9) chega-se a 
r=Tm+(TQ-Tmykl (2-10»j 
onde 7 " 0 éa temperatura inicial do corpo . Essa é a lei de Newton para o resfriamento. 
Exemplo 2.3 
U m corpo tem sua temperatura reduzida de 100°C para 4 0 ° C em 38 minutos. A temperatura 
ambiente é de 2 2 ° C . Q u a l o valor da constante de resfr iamento? / I / l i { ^ v i 
A<; equação (2.10) quer-sc u valor de k. Tein-se 'Y^ ^ * 
- t f 
r - r . .. . r - T m . i . r - r /. -kt = In - .-.* = - - I n _ w _y« 
<v,/,7n . „ I A '- T Acha-se então 
k = _ J _ i n 4 2 " 2 2 = 3,52 x l O : 2 min 
38 100 - 22 
• J 
A transferência efe calor por radiação 
Em que pese tudo o que já se falou acerca de radiação, essa nada mais é do que um 
processo pelo qua l energia é transferida de um corpo para outro sem necessidade de contacto 
entre eles, ou seja, sem necessidade de que exista um meio material entre eles. A transferência 
de calor é um exemplo muito simples de transferência de energia que pode ser feito ou não por 
radiação. 
Na Fig. 2.1 é mostrado um caso de transferência de ca lor por condução. A barra que 
liga os dois reservatórios de calor é aquecida , por estar em contacto com os dois reservatórios. 
A mesma barra poder ia ser aquecida por radiação, por exemp lo , expondo-a ao sol . A radiação 
solar atravessará os quase 150 milhões de quilómetros entre o sol e â Terra e aquecerá a barra. 
No século X IX , uma vez que tinha ficado estabelecido que o espaço entre os corpos 
celestes era v a z i o , o problema da transmissão de radiação desses corpos parecia insolúvel . A 
luz já era reconhecida como o resultado da propagação de ondas , mais ou menos da mesma 
forma que o som. Mas o som se propagava pelo ar, pela água, mas não pelo vácuo . Comp 
chegava a nós a luz das estrelas? Fora postulada por Aristóteles a existência, no espaço 
interestelar, de u m f luido transparente, sem massa, denominado érer. A propagação da luz pelo 
espaço seria feita através do éter, uma ideia que os físicos do sécujo XIX abraçaram. ^ 
Na segunda metade do século XIX james C lerk Maxwel l introduziu a teoria 
eletromagnélica da propagação da luz . Pela teoria, a luz seria o resultado da propagação de, 
campos elétricos e magnéticos oscilantes, na forma de ondas (as ondas eletromagnéticas foram 
eíetivamente descobertas em 1888 por Heinr ich Hertz) . Embora efeitos elétricos e magnéticos 
se produzam no vácuo , Maxwel l a inda cr ia na existência do éter, tendo acomodado sua 
presença a suas teorias (ainda hoje há quem faça essas tentativas). . 
A partir de 1881 , Albert Michelson e Edward Mor ley , numa série de experimentos 
clássicos, demonstraram, por meio de um sensível interferômetro (aparelho que faz medidas 
com base na interferência de ondas luminosas), que o éter não existia. Sua descoberta de que a 
velocidade da luz era invariante em qualquer direção no espaço foi a base da Teoria Especial 
da Relatividade de Albert Einstein. 
A drscobcr ln da radiação de ca lor pelos corpos foi feila pelo astrónomo Sir Wi l l i am 
Herschel em 1800 . Usando um pr isma para dispersar a luz solar, ele passou u m termómetro 
pelo espectro e notou que as maiores temperaturas eram registradas na região do verme lho . Ele 
resolveu remover o termómetro para a região escura além do verme lho , notando que a 
temperatura subia a inda mais . Logo f icou evidente que todos os corpos aquec idos emitiam 
radiação de f requência ondulatór ia menor dp que a da luz vermelha , ou infravermelha. 
Em 1 8 7 9 , josef Stefan :hegou empir icamente a uma equação que fornecia a taxa de 
energia irradiada por um c< rpo aquec ido . Essa equação, der ivada matemat icamente por 
Luclwig Bo l tzmann alguns a n o . mais tarde, tem a forma seguinte: 
• • 
• 
I=eoAr (2.11) 
Nessa equação , 7 é a laxa de energia i r radiada, em W , e é um parâmetro inerente ao material 
do corpo denominado emis1 ividade - que pode assumir valores entre 0 (não-irradiador) . e 1 
(irradiadorperfeito) - cré a .onstante de Stefan - igual a 5 ,6703x10" f l W / m 2 K 4 - / \ é a área da 
superfície externa do corpo i 7 sua temperatura absoluta. 
U m corpo que r e a oe rad iação absorve energia, que se traduz no aumento de sua 
temperatura. A lei de Stel m-Bol tzmann também pode ser apl icada à taxa de absorção de 
energia segundo 
/„ = aoAT* (2.12) 
onde o é o fator de abson ão de energia irradiada para o corpo, que , da mesma maneira que a 
emissividade, pode assurr r valores entre 0 e 1. 
Tomando-se u m o i j e t o qualquer , a uma temperatura ac ima do zero absoluto, ele estará 
emit indo radiação. Isso s gnifica que , passado algum tempo, sua temperatura dever ia diminuir , 
mas isso nem sempre acontece. Estando o corpo e o ambiente à temperatura constante, o 
corpo estará emit indo ra i iação para o ambiente e, ao mesmo tempo, absorvendo energia dele. 
Como a temperatura do corpo não var ia , e le estará então emitindo energia exatamente com a 
mesma taxa que a abs )rve. Isso só será poss/vel se a emissividade e for igual ao fator de 
absorção de energia o. Zaso o corpo esteja a uma temperatura T maior do que a do ambiente 
T 0 , a taxa de energia I quida irradiada pelo corpo será a diferença entre a taxa de energia 
irradiada, dada pela ec uação (2 .11 ) , e a taxa de energia absorvida, dada pela equação (2.12). 
Tendo em vista a igualdade entre a e e, essa taxa líquida é 
/ / ( í = ^ ( r - 7 - c y (2.13) 
Exemplo 2.4 
m 
m 
m 
% 
% 
% 
% 
% % % 
% 
% 
% 
% 
% 
0 filamento de tungsténio numa lâmpada de 100 W tem uma área de 0,26 c m 2 e atinge cerca 
de 3430 °C . Admitindo-se que os 100 W correspondam à taxa total de emissão de energia, 
qual a emissividade do filamentd? 
Na equação (2.13), 7'= 3 700 K e Tn pode ser tomado como 300 K. Tem-se 
1 = eo-4TÍ~T0i)= lOOfP .-.* = — r - / n = j j-i ; n = 0 , 3 6 
oví(r 4 -T0\) 5,6873 x 10 _ s x 0,26 x 10: 4 (3700 4 - 300 <J 
vv Cv €rV I 
/fcfcyj. _ , _ p 
Exemplo 2.5 
Calcular a perda líquida de energia irradiada por uma pessoa despida numa sala a 20°C 
admitindo que ela é um irradiador perfeito com área externa de 1,4 m 2 e temperatura 
superficial de 3 3 ° C 
Na equação (2.13) toma-se T--306 K. Tn~293Ke c = l (por se tratar de um irradiador perfeito), pai 
1 = eoví ( r 4 -Tj)= 1 x 5,6783 xl0~ s x 1,4(3064 -293 4 ) = 111 W 
Como a taxa do metabolismo basal de uni adulto c de cerca de 100 W, essa pessoa sente frio. 
3£3£3£ 
tTv &w Ov 
f; evidente que u m irradiador perfeito, cia mesma forma 
que um absorvedor perfeito, é apenas uma abslração 
matemática: o ca rbono , na forma de grafite, consegue ter uma 
emissividade e m torno de 0,97. Como os corpos escuros têm 
uma tendência maior a absorver radiação - e também a emiti-la 
- um absorvedor ideal é tradicionalmente denominado corpo 
negro. U m a representação apropriada de um corpo negro é uma 
cavidade com um pequeno orifício (Fig. 2.4). Nessa cavidade, a 
radiação que entra , mesmo que seja refletida pelas paredes 
. r u U - I - J J J i c • J Fí9- 2 4 ~ Cavidade como internas, terá muito pouca probabilidade de sair pelo orif ício, de s i m u , a ç à o d e u m c o r p o n e g f D > 
forma que fica essencialmente absorvida em sua totalidade. 
As estrelas, apesar do bri lho, são também consideradas como corpos negros (ou seja, 
elas absorvem quase que perfeitamente a radiação dirigida a elas e, ao mesmo tempo, emitem 
radiação da mane i ra mais eficiente possível). Esse conceito é empregado nas determinações 
das taxas de emissão de energia das estrelas. 
Exemplo 2.6 
O sol tem um raio de 7x10' m e uma temperatura superficial de cerca de 5000 K. Qual a taxa 
de emissão de energia radiante do sol? Qual é essa táxà, por m 2 , na região da órbita da Terra? 
A área da superfície do sol é 
A = 4nR7 =4xx{7x]0lJ = 6 , l 6 x l 0 , í m I 
Entrando com esse dado na equação (2.. 11), acha-se 
l = eA o~T* = 1x6,16x10" x 5,6783 xlO'' x 5000 4 = 2,18x10"^ 
A energia do sol se espalha igualmente em todas as direções. Isso quer dizer que, se forem traçadas 
cascas esféricas concêntricas com o sol, a taxa de energia atravessando cada casca é a mesma. A taxa 
por unidade de área nessas cascas irá, no entanto, diminuindo com seu raio. Para uma casca de raio 
r, a taxa por unidade de área será 
I 
4/rr-
Mí região da órbita da Terra, r-l,49xíOn m. Logo, 
2,18x 10 36 
4n x ( l , 4 9 x 1 0 " J 
XTv PO Co 
= 770 W ' / » i ' 
física 3 
\
A lei do deslocamento de Wien 
U m dos mais prementes problemas da física do final do século X IX envolveu a análise 
da rad iação emit ida por um corpo negro. U m a das descobertas foi a de que a emissão da 
rad iação de u m corpo aquecido é feita em especlro. U m espectro é um histograma, ou gráfico 
de f requências dos valores que uma dada var iável pode assumir. Como já era conhecido que 
u m corpo tem sua cor alterada com n temperatura (pas .ando do vermelho escuro ao vermelho 
v i v o , ao laranja , ao amarelo e ao branco) , cada lempi ratura tem seu espectro característico. 
Ass im , o espectro de emissão de um corpo mostra a f requência com que os comprimentos de 
onda da radiação emitida se distr ibuem. 
O especlro d e . um corpo a 
vár ias temperaturas apresenta formas 
s imi lares , alterando-se apenas o 
compr imento de onda para o qual a 
emissão é m á x i m a (Fig. 2.5). F.sse 
" p i c o " no espectro muda de posição, 
em direção a comprimentos de onda 
menores , à medida que a 
temperatura do corpo aumenta. O 
tamanho do espectro também var ia , 
refletindo o acrésc imo oa emissão 
total c o m a temperatura. 
Em 1893 W i l h e l m W i e n 
observou experimentalmente que os 
compr imentos de onda referentes a cada "p i co " var iavam c o n o inverso da temperatura do 
corpo . Hoje essa importante lei , conhec ida c o m o lei do deslocamento de Wien, é escrita 
W0&M$M$$IPomp' m e n t 0 d e o n d a ^ ^ Ê $ $ Ê f è 
m 
Fig. 2.5 - Espectros de em ssáo de radiação de um corpo em 
várias temperaturas. 
, 2,898 =—-—mm (2.14) 
•m 
% 
Exemplo 2.7 
A temperatura superficial do sol é de cerca de 5000 K. Qual o comprimento de onda na qual 
a emissão é máxima? 
Pela equação (2.14), 
2 898 
X m = l o õ õ " = 5 , 8 x 1 0 " 1 = 5 8 0 n m 
Esse comprimento de onda se situa no amarelo. 
S£S£3£ 
0v <TD 0T> 
A lei de W i e n permite que, pela anál ise do espectro de uma estrela, uma estimativa.da 
sua temperatura superficial seja feita. 
A teoria quântica da radiação do corpo negro 
Espectro 
observado 
^Equação de Rayleigh-Jeans 
\ 
\ 
\ 
Ultravioleta Visível 
Infra- • 
.verme*» 
Wien tentou derivar uma equação 
matemática para a curva espectral , sem muito í 
sucesso. Alguns anos mais tarde, Lord Rayleigh e ] 
James Jeans derivaram uma equação que foi s 
melhor sucedida, admit indo que a radiação, que 
se fazia na forma de ondas, resultava das 
oscilações dos átomos do corpo . Essa equação, 
que definia a intensidade tln emissão num dado 
comprimento de onda c o m o inversamente 
proporcional à quarta potência desse comprimento 
de onda , significava que , para comprimentos de n 
onda muito pequenos (como acontecia , por 
exemplo, na região do ultravioleta) , a intensidade O ' ^ s e ^ d o e 0 p r e W s f o p e / a e q u a ç S o d e 
da emissão era quase inf inita. Isso não era Rayleigh-Jeans. 
confirmado pelo especlro real (F ig. (2 .6 ) . 
Em 1900, Max P lanck propôs uma ideia revolucionária. A emissão de rad iação seria 
ondulatória. Porém, diferentemente da hipótese de Rayleigh-Jeans, pela qual os átomos 
oscilantes poderiam emitir energia radiante de qualquer valor, Planck considerou que apenas 
alguns valores seriam" possíveis: haver ia um valor "fundamental" , e os valores de energia 
possíveisseriam múlt iplos desse valor . A emissão de radiação se faria portanto na forma de 
"pacotes" de energia ondulatória com uma energia definida. Ele batizou cada um desses 
pacotes de "quantum" (quantidade, em latim), de"forma que sua revolucionária teoria é hoje 
conhec ida como teoria dos quanta. 
Pela teoria dos quanta existe uma relação entre a energia E d e . uma radiação 
' eletromagnética e sua frequência v d a d a por 
Comprimento di onda 
Fig. 2.6 - Comparação entre o espectro 
E = h\> (2.15) 
A constante h, hoje chamada de constante de Planck , vale 6 , 6 2 6 2 x 1 0 M J . s . C o m o na 
propagação das ondas existe uma relação inversa entre o comprimento de onda X e a 
frequência v, com o produto dos dois igual à ve íoc idade de propagação, sendo c a ve loc idade 
de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo (que é igual à velocidade da luz ) , a 
i equação (2.15) pode também ser escrita 
E = hc-
l X 
(2.16) 
• # P e l a hipótese de P lanck , não apenas a emissão .de energia radiante, como também sua 
- • a b s o r ç ã o eram feitas pelos átomos do corpo "pacote a pacote". Isso queria dizer que , se para a 
- #oco r rênc i a de um determinado fenómeno fosse necessária a absorção, por átomo, de urna certa 
•quan t idade de energia radiante f , os pacotes de energia emitidos teriam de ter, no mín imo, 
#essa energia. Como a energia estava associada à frequência , a radiação emitida teria de ter uma 
; 0 r e q u ê n c i a mín ima , ou l imiar , para que o fenómeno ocorresse. Se a fonte de radiação emitisse 
[• p a c o t e s de onda c o m frequência inferior a essa, mesmo se a intensidade da fonte fosse 
fintes 3 
aumentada, o que iria aumentar a laxa de energia emit ida , o fenómeno não iria ocorrer , pois a 
absorção dessa energia pelos átomos do corpo é feita na forma de pacotes indiv iduais . 
O sucesso da teoria quânt ica na exp l i cação de diversos fenómenos foi u m a das mais 
importantes revoluções da física do século X X . A "quant ização" , ou adoção da hipótese de que 
diversas grandezas naturais só podem assumir números inteiros de uma quantidade bás ica , foi 
estendida à carga elétr ica e aos chamados níveis de energia dos eléctrons nos átomos. Mesmo 
a l inguagem passou a adolar a expressão "salto quânt ico" quando descreve u m a situação 
evolui de um estágio para outro bem diferente sem sofrer alterações paulatinas. 
Exemplo 2.0 
A emissão de uma fonte de radiação tem uma energia associada de 2. keV. Qual o 
comprimento de onda? 
Dejine-se um eV (eléctron-voll) como a energia adquirida por um eléctron ao se deslocar entre dois 
pontos do espaço separados por uma diferença de potencial de 1 V, ou 1,602x10'19J. Como a energia 
da radiação é de 2 keV, tem-se 
hc 6,6262 x IO"3 4 x 3 x IO8 
À E 
= 6,2 x 1(T I 0/ÍI = 6,2 A 
2 x IO3 x 1,602 x 10"" 
Esse comprimento de onda é o dos raios-X de baixa energia. 
0V 09 <TO 
t u 
l i 
Exemplo 2.9 
A molécula de água se ioniza (ou seja, perde um eléctron, convertendo-se num íon positivo) ™ 
quando absorve 12 eV de energia. Sendo essa energia fornecida por uma fonte de radiação.^ 
eletromagnética, qual deve ser a frequência limiar da radiação? , 0 
Pela equação (2.15) 
J £ _ 12 x 1,602 x 10 -19 
-U 
= 2,9 x 10 l5/7z 
h 6,6262 x10 
Essa frequência se situa na faixa da luz ultravioleta. Dada a prevalência da água nos tecidos 
biológicos, radiações com energia superior a essa são ditas "radiações ionizantes ". A dissociação 
molécula de água favorece a geração de radicais livres dentro da célula, que podem levar à produçM^ 
de compostos tóxicos que têm o potencial de modificar informações genéticas ou mesmo destrui-la. r 
cn> Cv tro , , 
FUa3 21 
Qafújtalo- 3 
Características dos gases 
O s gases, c o m o os líquidos, também são fluidos. A diferença primordial entre os dois 
pçtá na força dp rnpsãn intprna, qup é praticamente inexistente nos gasps. Como resultado, 
eles tendem a ocupar todo o volume de um recipiente. C o m o , pela quase total ausência das 
forças de coesão, as moléculas de um gás são livres, a energia c inét ica dessas moléculas por 
efeito do calor se traduz por movimentos de translação. Ass im, as moléculas de um gás 
continuamente co l idem com as paredes do recipiente onde estão armazenadas ; o resultado 
dessas colisões é a pressão exercida sobre as paredes. 
D a mesma forma que com os líquidos, o equacionamento das propriedades de um 
gás é compl i cado por fatores que lhe são inerentes, especialmente no que tange à forças de 
coesão interna. N o entanto, o comportamento de gases muito rarefeitos permite a dedução 
de quais ser iam as propriedades de um gás ideai. A partir dessas propriedades, as 
características dos gases reais podem ser equacionadas, embora de maneira aproximada. 
Propriedades de um gás ideal 
O modelo de um gás ideal é baseado em uma série de simplif icações do 
comportamento rea l . Essas simplificações podem ser resumidas da seguinte forma: 
• As molécu las do gás têm dimensões desprezíveis diante do recipiente, ou seja, 
são admit idas como puntiformes, cada uma com massa m. 
• As molécu las estão em movimento, sendo apl icáveis a esse movimento as leis de 
N e w t o n . 
• As col isões entre moléculas do gás ou com as paredes do recipiente são 
consideradas como elásticas (ou seja, a energia c inét ica é conservada) . 
• Forças de coesão interna, bem como aquelas entre as moléculas do gás e das 
paredes do recipiente, são desprezíveis. f jv . 
FUnS 
A equação de estado dos gases ideais 
A primeira equação re lac ionando o vo lume ocupado por um gás com as condições 
ambientais foi estabelecida no século XVII a partir de experimentos, sendo hoje conhec ida 
como lei de Boyle (também de Boyle-Mar iotte) : 
O s vo lumes gasosos, considerados a temperatura constante, var iam na razão | 
inversa das pressões que suportam. 
Em termos matemáticos, 
(3.1) 
No final do século XVII I foi estabelecida, também a partir de experimentos, a lei de 
Charles (também de Char les-Gay-Lussac ) : 
O s volumes gasosos, considerados a pressão constante, var iam na razão 
direta das temperaturas absolutas 3 
A equação referente é: 
(3.2) 
Combinand' i-se essas duas equações conclui-se que o produto da pressão de um gás 
pelo seu vo lume é de alguma maneira proporcional à temperatura absoluta T. A constante 
de proporcionalic ade depende do gás, mas não é difícil imaginar que ela deva ser 
proporcional ao número de moléculas N do gás. Ass im, chega-se à pr imeira forma da 
equação de estado ou lei dos gases ideais: 
PV = NkT (3.3) 
A constante k é a constante de Boltzmann e tem o valor de 1 ,38x10'"J/K . 
Costuma-se expr imir a equação (3.3) em função do número de moles n do gás, ao 
invés do número de moléculas N. Como n é N d iv idido pelo número de Avogadro , basta 
substituir o N por n na equação (3.3) e 
mult ipl icar k por 6 , 0 2 3 x 1 0 
chegando-se à equação de Clapeyron: 
23 PV J 
PV = nRT (3.4) 
n7"mol.K 
8 ,60" 
8,2C~ 
8.0C" 
7.80" 
onde R é a constante dos gases ideais, 
igual a 8 ,314 j /mo l .K , ou 0 ,08206 
(£atm)/(mol.K). A val idade dessa outra 
forma da lei dos gases ideais está 
mostrada na Fig 3 .1 : a relação PV/nT 
tende a R a baixas pressões para Fig. 3.1 - Comprovação da lei dos gases ideais para 
diversos gases. diverso* gases. 
"8.31 
mol.K 
CO 
Oi 
J _ 
5 10 15 20 25 '30 35 40 P, atm 
13 23 
A pressão como resultado do movimento térmico das moléculas 
A pressão exerc ida por um gás 
sobre as paredes de um recipiente pode 
ser faci lmente ca lcu lada a partir do 
impacto das molécu las sobre as 
paredes. A F ig . 3.2 mostra um 
recipiente cúb ico de lado C U m a 
molécula (o c í rcu lo escuro) se moveda 
face F2 para a face F,. Admitindo-se 
0 q u e sua velocidade é paralela ao eixo 
0 d o s x, sua quantidade de movimento p 
^ s e r á igual a mvx. Se essa molécula 
0 c o l i d i r elasticamente c o m a face F „ a 
^conse r vação da quantidade de 
^ m o v i m e n t o garantirá que sua nova 
• q u a n t i d a d e de mov imento seja -mv x . 
r-w / - i . - i i Fig< 3.2- Molécula de gás em uma caixa cúbica. ^Dessa forma, a var iação da quantidade 
0 J e movimento da molécu la será 2/77 VJ,. 
^ . V indo essa molécu la a atingir a face F2 sem colidir com qualquer outra molécu la no 
c a m i n h o , esse percurso será real izado num intervalo de tempo £/v„ de forma que ela 
. 0 o l t a r á a atingir F, após decorr ido um tempo 2 /7v, . Logo, a frequência de colisões dessa 
;. 0 i o l é c u l a com a parede F, é vj2f, o que faz com que o impulso transmitido a F, por 
h # n i d a d e de tempo, que é a força que a molécula exerce sobre a parede, é o produto da 
!; # a r i a ç ã o da quantidade de movimento da molécula mult ipl icada pela frequência das 
^ #r j l isões, ou mv2Jf. 
* # A força exerc ida pelo gás sobre F, (que é obviamente igual à que atua sobre todas as 
! # j t r a s faces) é ca l cu lada á partir do número de moléculas que atinge essa face. U m a 
* • p o s i ç ã o perfeitamente aceitável é a de que 1/3 das N moléculas do recipiente se 
l # o v i m e n t e m segundo cada eixo coordenado. A pressão sobre cada face será, igual à força 
* # s i m ca lcu lada d iv id ida pela área da face, que é C1. Como não se pode afirmar que as 
* Moléculas têm a mesma veloc idade, deve-se no cálculo util izar a velocidade quadrática 
| Média, o u W r m 5 , def in ida como 
(3.5) 
Colocando-se a velocidade quadrática média na fórmula, chega-se a 
P = — = 1 1 N m V 
2 
rrm t 3 £ 
1 1 j r 2 
= NmvL, 
V 3 
,PV = -Nmv (3.6) 
Como a energia c inét ica média das moléculas é V2mv2mvJ o produto PV é 2N/3 vezes 
essa energia. Como PV=NkT, tem-se que a energia c inét ica média das moléculas de um gás 
é dada por -
2 
kT (3 .7) 
A equação (3.6) também leva a outra conc lusão interessante. Como m/V é a 
específ ica pdo gás, conclui-se que 
massa 
v = /-nu ^ 
P 
(3.8) 
Pode-se então ca lcular a ve loc idade quadrát ica média de qualquer gás, conhecidas sua 
pressão e sua massa específ ica . 
A equação (3.7) leva a outra conc lusão de grande interesse prático. Para uma mesma 
temperatura e pressão, tem-se para dois gases diferentes a relação 
T __.2 mxvXrmt 
3Jfe 2 
2 777,V 
3k 
(3.9) 
Deduz-se daí que 
ou seja, a ve loc idade quadrát ica média de moléculas de gases diferentes à mesma 
temperatura é proporcional ao inverso de suas massas. Isso permite que o 2 3 5 U seja separado 
do 2 3 8 U por difusão gasosa, um processo pelo qual hexafluoreto de urânio gasoso é forçado, 
sob pressão, através de uma parede metál ica porosa. Como o 2 3 5 U é um pouco mais rápido 
que o 2 3 8 U , o gás que é recolhido atrás da parede é enr iquecido em 2 3 5 U . 
As colisões intermoleculares 
N o modelo simples apresentado 
até aqu i , admitiu-se que as moléculas 
do gás não col id iam entre s i . No 
entanto, essas colisões são inevitáveis , 
devendo-se imaginar que sua frequência 
cresça com a pressão a que o gás está 
submetido. 
I 
A Fig. 3.3 mostra a trajetória de 
uma molécu la , ao longo da qual e la 
encontra 11 moléculas (pontos escuros) . 
O caminho percorrido pela molécula 
entre duas colisões consecutivas é o _ „ , 
Fig. 3.3 - Colisões de uma molécula de gás ao longo 
livre trajeto. A o longo.de sua trajetória, de sua trajetória. 
a molécula eíetuará diversas col isões; à média dos consequentes livres trajetos é dado o 
nome de livre trajeto médio. 
Fossem as moléculas 
verdadeiramente puntiformes, a col isão 
entre elas seria impossível . Tomando-se 
o diâmetro de uma molécula como cr, a 
colisão entre duas moléculas iguais 
ocorrerá quando a distância entre seus 
centros for cr (F ig. 3 .4a) . Para efeito de 
cá lculo , isso pode ser representado 
como a colisão entre uma molécula de 
diâmetro 2o e outra puntiforme (Fig. 
3.4b). Dessa forma, a frequência de Fi9- 3.4 - (a) Colisão entre duas moléculas de 
colisões das moléculas de um gás pode 
(b) 
ser dada pelo número total de 
moléculas puntiformes atingidas por 
unidade de tempo por uma molécula de 
diâmetro 2a. Essa molécu la , num 
intervalo de tempo í, irá cobrir u m 
ci l indro de seção transversal no2 e 
' ^compr imento vj. (Fig. 3 .5) , onde vm é 
j ^ velocidade média da mo lécu la , 
j ^Havendo no gás n noléculas por 
^ ^ i n i d a d e de vo lume, o número de 
( c o l i s õ e s no intervalo t será no^vjrit. O 
I 3 i v r e trajeto médio corresponde à 
I ^ i s t â n c i a média entre colisões, ou seja , 
^ ^ a dis^ância_j :oberta d iv id ida ' 
j ^ ú m e r o de colisões: 
diâmetro a; (b) representação como colisão entre 
uma molécula de diâmetro 2a e outra puntiforme. 
vj 1 (3.11) 
Fig. 3.5 - Trajetória de uma molécula de velocidade 
média vm num tempo t. 
Como na verdade a molécu la em movimento irá atingir moléculas também em 
Wiovimento, a frequência de colisões é multipl icada por um fator V2 . Daí , o livre trajeto 
^ léd io é reduzido a 
(3.12) 
« Apenas para efeito de comparação , o livre trajeto médio de moléculas de ar à ressão atmosférica é de 0 ,1 u. A uma pressão de 0 , 0 0 1 mmHg (equivalente a cerca de 1 0 0 , T I de altitude), esse livre trajeto médio aumenta para 1 m. A 10~G m m H g , esse valor sobe 
t S r a 1 0 km . 
A distribuição de Maxwell-Boltzmann 
Nurn volume macroscópico de gás, as moléculas têm suas velocidades 
constantemente alteradas, em função das múltiplas colisões a que estão sujeitas. A energia 
c inét ica média das moléculas , e por extensão sua veloc idade média , permanecem 
constantes para uma dada temperatura. Isso quer dizer que , escolhida uma determinada 
faixa de velocidades, a fração de moléculas de um gás deptro dessa faixa permanece 
constante. A distribuição das moléculas nas faixas de veloc idade foi obtida teoricamente por 
James Maxwe l l e estendida por Ludwig Boltzmarífí/ e recebe o nome de distribuição de 
Maxwell-Boltzmann. Chamando de oVnver i ração de moléculas com velocidade entre v e 
v+d^jessa fração é dada por 
— = 4/r 
n 
m 3/2 
exfS 
mv 
v2dv (3.13) — = 4/r 
n \2knT j 
3/2 
exfS v2dv (3.13) \2knT j 
dn/n 
dessa distribuição para duas 
temperaturas diferentes, r 2 > T , . N a 
t u r v a correspondente a T 2 são 
indicadas também a velocidade média 
( v j , a velocidade mais provável (vj e 
a raiz quadrada da ve loc idade 
quadrát ica média . Essas velocidades 
podem ser obtidas a partir da massa de 
cada molécula (m) e de k. Porém, 
mult ipl icando-se ambos esses fatores 
pelo número de Avogadro obtém-se 
respectivamente a massa molecular M 
e a constante dos gases ideais R. Dessa 
forma, as equações correspondentes a Fig. 3.6 - Distribuição de Maxwell-Boltzmann para duas 
vP, v m e passam a ser: temperaturas diferentes. 
Í2RT\"2 
MJ (3.14) 
( zrt\
rdvf) (3.15) 
(3RT\
^rms {m ) (3.16) 
m 
m 
% % 
% 
% 
% 
^ A distribuição barométrica 
^ Num campo de forças, por exemplo , gravitacional , é de se imaginar que a 
^ distribuição das moléculas de um gás não seja a mesma em todos os pontos. No caso da 
^ atmosfera terrestre, por exemplo, intuitivamente se aceita que a concentração de moléculas 
^ vá diminuindo com a altitude. Isso pode ser o resultado da atuação de dois efeitos distintos 
^ agindo ao mesmo tempo: 
^ • Como os gases são altamente compressíveis , o ar na superfície da Terra seria mais 
^ comprimido, em função da pressão da coluna de ar ac ima. 
^. • A força gravitacional diminui com a distância à superfície, o que reduz o efeito 
^ de compressão com a altura. <^ 7^9^ 
^ A forma dessa distribuição pode ser estimada a partir de considerações bastante 
^ simples. Para isso, toma-se uma coluna vert ical de gás. A pressão num determinado ponto 
^ irá depender exclusivamente da massa de gás ac ima daquele ponto. No entanto, devido 
^ especialmente à grande compressibi l idade dos gases, essa pressão não pode ser ca lcu lada 
—,. diretamente com base em 
P^PZk ( 3 . Í 7 ) 
A razão para isso é simples: dada a compressibi l idade, a massa específica do gás cresce com 
i a pressão. 
i É possível, por outro lado, o cá lcu lo da diferença de pressão entre dois pontos de 
i altitudes muito próximas, admitindo-se para tanto que a massa específica do gás, que agora 
|é var iáve l , não se altera significativamente entre esses dois pontos. Assim, sendo a pressão 
, em um ponto igual a p e no outro igual a p+dp, tem-se, aplicando o teorema fundamental 
ida hidrostática 0 
p-(p + dp) = p ^ (3.18) 
londe se admitiu que as altitudes em si não eram tão grandes, dè forma a se considerar a 
(aceleração gravitacional como constante. Da í , 
{dp = -pgdh (3.19) 
, ^ o n d e o sinal negativo indica, como esperado, que a pressão cai com a altitude. 
, q A massa específ ica do gás deve crescer com a pressão, já que a pressão tende a 
^ ^ a p r o x i m a r as moléculas . De fato, na equação de Clapeyron (equação (3.4) n é o número de 
^ ^ m o l e s , definido c o m o a relação entre a massa m de gás e a sua massa molecular M, ou 
s ^ n = m / M . 
, A Substituindo n por m/M na equação de C lapeyron , obtém-se 
pV = HLRT.:.PM- = 1 = p (3.20) 
\ Enlra-se então com essa equação para a massa específica na equação (3.19), 
p ^chegando-se a: 
* m 
mas 
dP = - ^ d h * / ? $ a h (3.21) 
A solução da equação (3 .21) é 
(3.22) 
O valor da constante C é 
definido para h=0, onde se considera 
p=p0/ a pressão atmosférica padrão. 
Nesse caso, a equação (3.22) passa a 
ser escrita 
p = j P o e x p ^ - ^ j (3.23) 
A equação de C lapeyron 
aponta para uma relação estreita entre 
a pressão de um gás e sua 
concentração molecular (o fator n/V). 
Dessa forma, a var iação sofrida pela 
pressão é a mesma sofrida pela 
concentração de moléculas n', ou 
Fig. 3.7 - Jistribuição teórica da concentração das 
moléculas de um gás com a altitude. 
onde n 0 ' é a concentração para h=0. 
A Fig. 3.7 mostra o formato da curva de var iação da densidade de molécu las de um 
gás c o m a altitude, de acordo com a equação (3.24). A mesma curva seria apropriada para o 
estabelecimento da var iação da pressão com a altitude. 
Por seu turno, as equações (3.23) e (3.24) mostram que a pressão e a concentração 
molecular de um gás num campo gravitacional variam inversamente c o m sua massa 
molecular . É por isso que os gases mais leves (hélio e hidrogénio) são encontrados mais 
faci lmente a distâncias maiores da superfície da Terra . Elas também exp l i cam a virtual 
ausência de atmosfera na Lua , onde a acaleração gravitacional é 1/6 da -da Terra e a 
presença de u m a atmosfera muito rarefeita em Marte, onde a aceleração gravitacional é um 
pouco menor que 0,4 g. 
A compressibilidade dos gases 
No item anterior foi abordada a existência da compressibi l idade dos gases. 
Claramente são os gases muito mais compressíveis que os sólidos ou os l íquidos, em função 
da sua apresentação sob a forma de moléculas isoladas com muito pouca ligação entre s i . 
w W „ ^ í { - ~ j (3-24) 
A determinação do módulo de compressibi l idade dos gases pode ser feita 
experimentalmente. Como a temperatura é um fator de grande importância para o 
comportamento dos gases, essa determinação, de forma a ter val idade, deve ser feita a 
temperatura constante, o que faz com que o experimento seja de execução um tanto 
complexa . 
No entanto, caso se admita que os gases seguem a lei dos gases perfeitos, pode-se 
chegar a um resultado teórico bastante simples. O módulo de compressibil idade B de uma 
substância é definido de maneira idêntica à do módulo de Young para os sólidos. 
Estabelecendo-se -A V/V como a redução relativa do vo lume de um gás em função de um 
acrésc imo de pressão Ap, tem-se Ap=-B(A V/V). Da í , 
(3.25) 
) V 
Toma-se então a equação dos gases perfeitos, pV=nRT e faz-se sua diferenciação. Como a 
temperatura não var ia , obtém-se 
pdV + Vdp = 0:.p = -~^r (3.26) 
dV 
^Arranjando: 
\e é a equação de B em forma diferencia l . Em outras palavras, o módulo de 
>; ^compress ib i l idade de um gás a temperatura constante é igual à pressão a que ele está 
^suje i to . Em outras palavras, quanto mais se compr ime um gás, mais esforço deve ser feito 
». 0 3 a r a compr imi- lo . 
' 0Ds gdses reais: a equação de van der Waals 
1 • 
* 9) As suposições feitas pára um gás ideal são bastante satisfatórias para gases a baixa 
^ p r e s s ã o . À medida que a pressão aumenta, entretanto, as distâncias intermoleculares 
* • i m i n u e m , de forma que as forças entre moléculas de ixam de ser desprezíveis. A lém disso, 
; • d m i t e - s e que as moléculas sejam perfeitamente puntiformes, quando se sabe que elas têm 
' ^ D l u m e , embora pequeno. Finalmente, em altas pressões e baixas temperaturas os gases se 
* • q u e f a z e m , de forma que é óbvio que a equação de estado dos gases perfeitos não é mais 
[ %» l i cáve l em condições próximas a essas. 
* • Esse problema foi atacado na segunda metade do século XIX por Johannes van der 
f • ' a a l s . Em primeiro lugar, ele acrescentou à equação dos gases perfeitos um parâmetro, b, 
^ Gbrrespondente ao menor volume que pode ser ocupado por um mol de um gás (também 
^ 0 a m a d o de covolume do gás). Esse parâmetro é subtraído do volume na equação dos gases 
^ jfcrfeitos, pois para um mol , tem-se pV=RT, ou seja, para p -» oo tem-se V - > 0 , o que é uma 
* m 
m*3 30 
impossibi l idade. O parâmetro h é então subtraído do volume, de forma que a equação se 
torna p(V-b)=RT; isso faz c o m que , a altas pressões, o volume tenda ao covo lume b. O outro 
fator leva em conta a existência de u m a pressão dependente das forças internas do gás, e 
não apenas das col isões elásl cas entre moléculas . A influência desse fator, a (também 
chamado de copressãó), d imin jí com o volume ocupado pelo gás não diretamente, mas em 
função do seu quadrado. 
Ass im, a equação de V Í i der Waa l s de um gás é escrita 
Valores de a e b foram ob t : Jo s para diversos gases. A equação apresenta resultados muito 
bdns até pressões de algum js centenas de atmosferas. 
m 
m 
m 
físks3 6 v i m o f*ve'»c€. 
QjCLpíbik-4 
O ealú^ # s $ i 
As ideias sobre o calor 
Até o século XIX acreditava-se que corpos quentes necessariamente possuíam mais 
"calor" que os frios. Esse "calor" tinha a forma de um fluido muito leve e invisível, que fera 
chamado de "calórico". 
. É bem verdade que na segunda metade do século XVIII Joseph Black já havia feito a 
separação entre calor e temperatura. E que em 1798 o conde Rumford (na verdade, um 
americano de nome Benjamin Thompson) deixara claro que o tal calórico não deveria existir. 
Mas só em 1847 James Joule escreveria um trabalho sobre o equivalente mecânico do calor, que 
mostraria ser o calor mais uma forma de energia e levaria à primeira das duas leis da 
termodinâmica. ^ 
Capacidade calorífica e calor específico 
É fácil observar que o fornecimento da mesma quantidade de energia térmica a diferentes 
corpos irá provocar neles diferentes elevações de temperatura. Diz-se então que cada corpo tem , 
sua capacidade calorífica C, definida como a quantidade de energia térmica capaz de elevar a ' 
temperatura do corpo de um certovalor fixo. No SI, esse valor é estabelecido como 1 K, de . 
forma que a capacidade calorífica é dada em J/K. Diante disso, a quantidade de calor Q 
necessária para elevar a temperatura de um corpo de A7"é ' ; 
(J = CAV (4.1) 
Torna-se evidente que, para corpos feitos de um mesmo material, a capacidade calorífica 
de cada um deverá ser proporcional à sua massa. Assim, é possível definir para um material um 
parâmetro denominado calor específico c como a relação entre a capacidade calorífica de um 
corpo feito com esse material e sua massa, ou * 
c = — • (4.2) 
m 
Com isso, a equação (4.1) passa a ser escrita 
Q = mcàT (4.3) 
O calor específico é expresso é expresso, no Si, em jAg.K. É comum encontrar-se o calor 
específico em cal/g°C. A caloria (cal) é uma unidade antiga de energia térmica, definida como a 
quantidade de calor necessária para se elevar de 1°C (ou 1 K) 1 g de água 1 . Sendo adotada a 
caloria, o calor específico da água terri valor unitário, l i m a caloria equivale a 4,184 J . . 
O calor específico dos diversos materiais sólidos e líquidos apresenta enormes 
variações, conforme pode ser observado na Tabela 4 .1 . 
TABELA 4.1 - Calores específicos selecionados 
Substância c,J/kg.K 
Água 4184 
Álcool etílico 2400 
Alumínio 900 
Berilo 1830 
Bronze 380 
Cádmio 230 
Chumbo 128 
Cobre 387 
Ferro 448 
Gelo 2090 
Germânio 322 
Madeira 1700 
Mármore 860 
Mercúrio 140 
Ouro 129 
Prata 234 
Silício 703 
Tungsténio 134 ; 
Vidro 837 
As diferenças entre calores específicos dos diversos materiais 
podem ser evidenciadas por meio de um experimento simples, 
imaginado por John Tyndall . Esferas efe melais diferentes, mas de « 
mesma massa e diâmetro (o que significa que quase todas são ocas, 
devido às diferentes massas específicas), são aquecidas em óleo 
fervente e, a seguir, colocadas sobre uma placa suspensa de cerá (Fig. 
4.1) . Como, em função dos diferentes calores específicos, cada esfera 
terá sua própria capacidade calorífica, elas absorverão mais ou 
menos calor. Como resultado, umas derreterão' pouco a cera no 
1 
Fig. 4.1 - Experimento 
de Tyndall. 
' Na verdade, dado que esse valor não é uniforme entre 0 e 100°C, a caloria era definida como a quantidade 
de calor necessária para se elevar 1 g de água de 14,5 a 15,5"C. 
fíU&3 33 
processo de resfriamento, penetrando pouco, Outras, no entanto, terão armazenado mais 
calor e derreterão mais a cera, a ponto de perfurá-la completamente. 
A Tabela 4.1 parece indicar que os calores específicos dos elementos químicos 
diminuem com suas massas atómicas. Multiplicando-se os calores específicos pelas massas 
atómicas obtém-se a tabela seguinte: 
TABELA 4 .2 - Calores específicos x massas atómicas 
1 
Substância* • c M cM 
Alumínio 900 26,98 24282 
Berilo 1830 9,01 16488 
Cádmio 230 112,4 25852 
Chumbo 128 207,2 26522 
Cobre 387 63,54 24590 
Ferro 448 55,85 . 25021 
Germânio 322 72,59 23374 
Mercúrio 140 200,59 28083 
Ouro 129 196,97 25409 
Prata 234 107,87 25242 
Silício 703 28,09 19747 
Tungsténio 134 183,85 24636 
Excetuando-se os elementos não-metálicos, os produtos dão resultados muito 
próximos. Essa é a lei de Dulong-Petit, que estabelece que o produto do calor especifico.de 
um elemento por sua massa atómica fornece um número próximo de 26500 (ou 6,4, se o 
calor específico estiver em cal/g.K). 
Exemplo 4.1 
Que quantidade de calor é necessária para se elevar de 20°C a temperatura de 3 kg de 
cobre? 
Como o calor especifico do cobre é 3X7 J/kg. K, a quantidade de calor pedida é 
Q = mcAT = 3x 387 x 20 = 2,32 x IO 4 J ' 
pó trv Cu 
f Exemplo 4.2 
lUm bloco de alumínio de 2 kg está, inicialmente, a 10°C . Se o bloco receber 36 kj Vde 
^energia térmica , qual será sua temperatura final? ' 
calor especifica do alumínio c 900 J/kg.K. Logo, 
<2 = mcA7" = 2 x 9 0 0 A r = 3 ,6x lO• , .-. &T = 2 0 ° C 
A temperatura final do bloco será, então, de 30°C. 
Exemplo 4.3 
Que quantidade de calor deve ser fornecida para se aquecer 3 kg de água de 25 °C até a 
ebulição, estando a água em um (vaso de cobre de 500 g? 
A variação de temperatura é de 75 K. A quantidade de calor necessária é 
Q = {>»cuccu + " ' / j A r = (0,5 x 387 + 3 x 4184-)x 75 = 9,56 x IO 5 . / 
CTO CH5 PD 
Calorimetria 
Um dos métodos mais simples para determinação do calor específeo de uma substancia 
envolve um aparelho denominado calorímetro (Fig. 4.2). Ele consiste de um vaso o mais possível 
isolado cheio de água. A temperatura da água/cuja uniformidade é obtida pela ação do agitador" 
A, pode ser lida no termómetro T. 
Para se determinar o calor específeo de uma substância, uma 
certa quantidade dela de massa m é aquecida até uma temperatura T0. 
Essa massa é então colocada dentro da água, que tem uma massa mA e 
está inicialmente a uma temperatura TN que é a mesma temperatura do 
vaso do calorímetro, que tem massa m ( e é feito de um material de 
calor específico c^ Após um certo tempo, o vaso, a água e a substância 
estarão à mesma temperatura T. Admitindo-se que não houve perda de 
calor para o exterior, todo o calor cedido pela substância terá sido 
absorvido essencialmente pela água e pelo vaso. Logo, . A :\» -) • 
mc {T0 - T)= {m.A x 4184 + mvc,XT - TA ) (4.4) Fig. 4.2- Um calorímetro. 
de onde se obtém o valor de c 
( m „ X4I84 + m r c r X r - 7 - J 
>(T,-T) 
(4.5) 
Exemplo 4.4 
U m lingote metálico de 50 g foi aquecido a 200°C c jogado num calorímetro com 400 mL 
de água dentro de um vaso muito leve. A água, inicialmente a 20°C, passa a 22,4°C. Qua l 
o calor específico do metal? 
Como o vaso é muito leve, o produto nu-c, na equação (4.4) pode ser desprezado. Assim o calor 
especifico do metal é 
0,4x 4184 (22,4 - 20) „ f n , , , „ • >'' 
c = — 7—*—- v-± = 452 J IkR.K 
0,05(200 - 22,4) . 
lisse calor específico, associado a outras características do melai (cor, massa específica), permite 
que ele seja identificado. No caso, liem poderia ser o ferro. 
3£3£3£ 
(TO DO CTO 
físks3 35 
Exemplo 4.5 
Um calorímetro de alumínio, com massa de 100 g, contém 250 g de água. O calorímetro e 
a água estão em equilíbrio térmico a 10°C. Dois blocos metálicos são colocados na água. 
Uni deles é um pedaço de cobre, com 50 g, a 80°C. A outra amostra, com massa de 70 g, 
estava originalmente a 100°C. Todo o sistema se estabiliza a 20°C. a) Determinar o calor 
específico do metal desconhecido; b) identificá-lo. 
a) O calorímetro e a água, originalmente uma temperatura inferior à de equilíbrio, absorverão 
calor, que será cedido pelos dois bhcos metálicos. O' equacionamento do problema é então o 
seguinte: 
Qc = Q. ••• {rnacB + m a l C c a l %T, - Ta)= mCucCu {TCu -T,)+ mxcx (t, -T,) 
Entrando com os números, 
(0,25x4184 +0,1x900X20 - 1 0 ) = 0,05 x387(80 -20)+0,07c,(l00 - 2 0 ) 
Resolvendo, encontra-se cx=1,82x103J/kg.K. 
b) A Tabela 4.1 indica que o bloco poderia ser de berilo. t ^ 
Cx> trV vO 
voo o 
P;0 
V rrifeí 
' 4 
CO 
D 
B « o. 
E 
01 
A mudança de estado 
O fornecimenlo de 
calor a um corpo 
inicialmente aumenta 
sua temperatura. A 
seguir, o aumento da 
agitação molecular 
leva a uma mudança 
dc. estado} ou seja, o 
corpo passa de sólido 
a líquido (íusão), ou 
de líquido a gás Calor fornecido 
(vaporização). Joseph Bia Fig. 4.3- Gráfico da elevação da temperatura de um corpo. e 
haja alteração de temperatura. Isso quer dizer que, uma vez atingida a temperatura de 
mudança de íase, a temperatura do material se mantém constante até que toda a massa 
tenha eíetuado a mudança (Fig. 4.3). 
A quantidade de calor necessária para fundir ou vaporizar uma certa quantidade de 
material depende da massa do material e de um parâmetro que lhe é intrínseco, que se 
I 
; i 
l i l i 
" ; Fusão \ Gás 
; ; ao nao -t- uquiaor • 
Gás 
nao -t- uquiao r • 
Ebulição 
Liquido 4 Gás : Sólido \ S 
Ebulição 
Liquido 4 Gás : \ 
Liquido 
Ebulição 
Liquido 4 Gás 
\ Liquido 
Ebulição 
Liquido 4 Gás 
\ Liquido 
|: > \ 
Liquido 
|: > 
- 4 - -+- - 4 - - 4 - • 4 - -4- -4-1 - f - - H - 4 - -+- - 4 - -t-H -4-J 
Q = mb (4 .6) 
denomina calor lalenle L. O calor latente é definido como a quantidade de energia térmica 
por unidade de massa que deve ser fornecida a um corpo para que ele mude de estado. No 
51, o calor lalenle é expresso em J/kg. Assim, a quantidade de calor necessária para que 
ocorra a mudança de estado de um corpo de massa m é 
38 
Os valores de L variam substancialmente de material para material, conforme indica 
a Tabela 4 .3 . 
TABELA 4.3 - Calores Ia1 tentes de fusão e de vaporização 
Substância pf, k L>J/kz PV, K 
Hélio 3,5 5 ,23x10 3 4,2 2 ,09x10 4 
Nitrogénio 63,2 2 ,55x10" 77,4 2 ,01x10 5 
Oxigénio 54,4 1 ,38x10 4 90,2 2,1 3x10 5 
Álcool etílico 159 1 ,04x10 5 351 8 ,54x10 S 
Mercúrio 234 1 ,13x10 4 630 2 ,96x10 5 
Água 273,15 3 ,33x10 5 373,15 ' 2 ,26x10 6 
Enxofre 308 3,81x10" 718 , 3 ,26x10 5 
Chumbo 600 2 ,45x10 4 2023 8.70x1 O5 
Zinco 692 1 ,02x10 5 1184 1 , "7x10 6 
Alumínio 933,15 3 ,97x10 S 2723 1 ,14x10 7 
Prata 1234 8 ,82x10 4 2436 2 , : 3 x 1 0 6 
Ouro 1336 6 ,44x10 4 3081 1 ,58x10 6 
Cobre 1356 1 ,34x10 5 2839 5 ,06x10 6 
Exemplo 4.5 ' 
Qual a massa de vapor d'água, inicialmente a 130°C , capaz de aquecer 200 g de água, 
num balão de vidro de lOOg, de 20 a 50°C? O calor específico do vapor d'água é 
2 ,01x10 3 J/kg.K . 
A massa de vapor d'água nt, passará por três estágios. No primeiro, sua temperatura será reduzida 
de 130 a Í00°C, sendo liberada uma quantidade de calor igual a 
Ô, = " ' , c . , r A r = 6,03 x I O 4 m , J / % 
| Na segunda, ela passará do estado gasoso ao liquido, liberando 
Q2 = msLv = 2,26 x }06mJJ Ikg 
| l''inalmente, a massa de água gerada irá ter sua temperatura reduzida de 100 a 50°C, o que libera 
Como se pretende aquecer 200 g de água iram balão de vidro de 100 g com o calor liberado pelo 
vapor, teni-se • 
fí, + ( 2 2 + 03 = 2,53 X K ) 6 / M , = ( 0 , 2 x 4184 + 0 , 1 x 8 3 7 X 5 0 - 4 0 ) . ' . mx = 0,0109 kg 
I xxx . J y^<fof _ 
Exemplo 4 . 6 . y ; 
Se 500 g de chumbo fundido, a 327°C , forem líerramados numa grande cavidade aberta 
num bloco dc gelo, qual a quantidade de gelo que será fundida? 
•ff 37 
Numa primeira aproximação, considerar-se-á que nem todo o gelo será fundido. Assim sendo, a 
Q ~ mPb {cPb&T + Lf)~ 0,5( l28 x 327 + 2,45 x 1 0 4 ) = 3,32 x 10 V 
temperatura final do chumbo é de 0°C. Nesse caso, o calor cedido pelo chumbo será ' 
Esse calor será utilizado para fundir parte do bloco de gelo. A massa fundida é de i. 
m = — = 0,0997 kg 
po Ov <n> 
A ebulição 
,'*•• V 
hm 
Um líquido entra em ebulição basicamente quando a pressão 
de vapor em seu interior supera a pressão atmosférica reinante. Isso 
quer dizer que a água entra em ebulição a 100°C, quando exposta à 
pressão atmosférica padrão, porque é nessa temperatura que sua 
pressão de vapor atinge 760 mmHg. A ebulição é aparente pelas bolhas 
de vapor d'água que saem do seio do líquido (Fig. 4.4). 
Como consequência, a água pode entrar em ebulição a 
temperaturas inferiores a 100°C, desde que a pressão atmosférica seja 
inferior à padrão. Ao mesmo tempo, a água pode manter-se líquida a 
temperaturas superiores a 100°C, quando a pressão do gás acima dela 
for superior à da atmosfera padrão. Esse é o princípio de 
funcionamento das panelas de pressão. Nessas panelas, a água entra 
em ebulição e o vapor produzido vai aumentando a pressão acima da 
sua superfície. Isso faz com que a água se mantenha em forma líquida a 
r ~i o ^ Fig 4.4 - Liquido em 
temperaturas bem superiores a 100°C, ó que permite que o alimento ebulição. 
seja cozido mais rapidamente. 
A pressão de vapor de um líquido 
varia com a temperatura, com seria de se 
esperar. A função que rege a variação, no 
entanto, não pode ' ser derivada 
matematicamente. O que se faz são 
ajustamentos à curva pressão de vapor 
versus temperatura. A curva para a água 
está mostrada na Fig. 4 . 5 . Uma equação 
que apresenta bons resultados é a-
seguinte: 
800 
700 -
600 •• 
- 01 
I 500 
c 
E_ 400 
o 
S 300 H 
^ 200 
100 
o 
760 mrotty • 100-C 
20 40 60 
T c m p i n t u n , *C 
80 100 120 
Fig. 4.5- Elevação da pressão de vapor com a temperatura. 
log p = 9,1466 - 2316 ( 4 . 7 ) 
A equação (4.5) indica a pressão de vapor d'água a uma dada temperatura e também 
qual a pressão mfnima a ser exercida sobre a água para que ela permaneça líquida. Existe, 
porém, um limite de temperatura para que um líquido se mantenha nesse estado. Esse limite é a 
temperatura crítica. A pressão que mantém a substância em forma líquida na temperatura crítica 
é a pressão crítica. A Tabela 4.4 mostra as temperaturas e pressões críticas para diversos 
materiais. Próximo à temperatura crítica a equação (4.7) apresenta resultados pouco confiáveis. 
TABELA 4.4 - Temperaturas e o ressoes críticas 
Substância TC,K pe, ro*Pa 
Hélio 5,2 2,29 
Hidrogénio 33,2 13,0 
Nitrogénio .126 ,2 34,0 
Oxigénio 154,6 50,4 
Ar 132,4 37,7 
G 0 2 304,2 73,9 
Água 647,3 221,2 
A ebulição da água a temperatura inferior a 100°C pode ser 
demonstrada por um experimento simples, atribuído a Benjamin Franklin. 
Um balão de vidro é cheio com água e colocado sobre uma fonte dé calor, 
até que a água entre em ebulição. A temperatura da água, nesse momento, 
é essencialmente de 100 °C O balão é retirado da fonte de calor e 
firmemente arrolhado; a ebulição cessa, porqUe a água começa a resfriar. 
O balão é então invértico e água fria é jogada sobre sua base (Fig. 4.6). 
Parte do vapor d'água presente no espaço sobre a água se condensa, 
virando água. Isso faz cair a pressão dentro do balão, e a água volta a 
ferver, a menos de 100°C. 
Fig. 4.6- Experimento 
de Franklin. 
Exemplo 4.6 
A que pressão a água entrará cm ebuliçãb a 0°C? 
A'Í7 equação (4.7)faz-se T-273,15: 
log p = 9,1466 = 0,668 ;.\ = 4jb5-mmHg 
273,15 & 
S£3£3£ 
oC wv Ov 
A. mais comum aplicação da ebulição da água a temperaturas superiores a 100°C c a 
panela de pressão. No entanto, o uso mais importante dessa propriedade da água é feito dentro 
do chamado PWR (Prcssurized Wafer Reactor, ou realor a água pressurizada). O PWR é o tipo 
de reator mais utilizado no mundo (inclusive em Angra), tendo derivado de um projeto de reator 
desenvolvido para submarinos. 
Um reator nuclear funciona à base das fissões em cadeia produzidas dentro de s e u . 
combustível. A fissão é uma reação na qual o núcleo de um átomo se parte em dois, com 
liberação de energia. Essa energia é usada para produzir vapor e acionar turbinas. Poucos 
núcleos se fissionam com facilidade. Um deles é o do 2 3 S U (urânio-235), que ocorre na natureza 
na proporção de 1 núcleo de H 5 U para 139 de 2 3 8 U , que á a forma mais comum. O urânio usado 
como combustível deve então ser enriquecido em ^U* , tendo sua proporção alterada de 1:139 
para 1:30. 
Dada a formação do vapor, um componente essencial para o funcionamento do reator é 
a água. A água num reator tem três finalidades: 
1. Resfriar o combustível, impedindo que ele se funda; 
2. produzir vapor; e 
3. permitir as reações em cadeia. 
As duas primeiras ações da água são óbvias. A terceira é baseada num raciocínio simples. 
A reação em cadeia na fissão ocorre quando uma fissão dá origem a exatamente outra. A fissão 
do 2 3 5 U ocorre pela incorporação, em seu núcleo, de um nêutron. Como cada fissão é 
acompanhada da emissão de 2 a 3 nêutrons, eles podem vir a provocar novas fissões, levando à 
reação em cadeia. 
A reação em cadeia será