Estatísitca - Material - Parte 1

Prévia do material em texto

FACULDADE PITÁGORAS DE SÃO LUÍS 
Curso de ciências DA COMPUTAÇÃO 
ESTATÍSTICA e probabilidade 
Prof. Otonilson ribeiro 
Material parte 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS – MA 
2013 
2 
 
1. Introdução 
O termo Estatística provém da palavra latina status, que significa “Estado” e foi 
utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era 
orientar o Estado em suas decisões. 
Como todas as ciências, a estatística tem suas raízes na história do homem. Embora 
nem existisse a palavra escrita como a conhecemos hoje, há indícios que desde a 
antiguidade, os povos já registravam o número de nascimentos, levantam informações 
sobre homens aptos a guerrear, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos 
por processos que, hoje, chamaríamos de Estatística. 
A estatística trata dos métodos científicos para coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de dados, visando também a tomada de decisões. 
 
2. População e amostra 
Ao coletar dados sobre as características de um conjunto de elementos, como, por 
exemplo, as peças de automóveis produzidas por uma indústria, os carros que passam por 
um determinado farol ou as preferências da população sobre candidatos a uma 
determinada eleição, nem sempre é possível considerar todos os elementos, ou seja, toda 
a população ou universo. Considera-se, então, apenas uma pequena parte do todo, 
chamada amostra. No caso da eleição, a população é formada por todos os cidadãos com 
direito a voto e amostra é formada por pelos eleitores que serão entrevistados. 
 
3. Estatística descritiva 
A parte da estatística que apenas descreve e analisa um conjunto de dados é chama 
Estatística descritiva. Nela não são tiradas conclusões. 
 
4. Estatística indutiva 
Também é chamada de Inferência estatística. A partir da análise de dados são 
tiradas conclusões. A Estatística indutiva trata das inferências e conclusões. 
 
5. Variáveis contínuas e discretas 
Uma variável que pode assumir qualquer valor entre dois valores dados é uma 
variável contínua. Se isto não for possível, a variável é chamada variável discreta. 
 
Exemplos 
1) Os resultados do lançamento de um dado podem assumir os valores 1, 2, 4, etc., mas 
não os valores 2,3 ou 4,2. Logo a variável é discreta. 
2) Os pesos ou alturas de um conjunto de pessoas podem assumir, teoricamente, qualquer 
valor. Logo, a variável é contínua. 
Observação: De modo geral as contagens resultam em variáveis discretas e as medições 
em variáveis contínuas. 
Exemplos de variáveis 
1) População: Bolsa de valores de São Paulo - Variável: número de ações negociadas. 
R: Variável discreta 
2) População: Pregos produzidos por uma máquina - Variável: comprimento. 
R: Variável contínua 
3) População: Pessoas residentes em uma cidade - variável: idade. 
R: Variável contínua 
3 
 
Para atingir os objetivos da Estatística descritiva, os dados observados são muitas 
vezes sistematizados e apresentados em formas de tabelas ou gráficos, os quais irão 
fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. Uma das 
tabelas mais utilizadas na estatística é distribuição de frequências. Os gráficos associados 
a ela são o gráfico de frequências (denominados histogramas, para o caso de variáveis 
quantitativas contínuas), o polígono de frequências, o gráfico de frequência acumulada e 
o polígono de frequência acumulada. 
 
6. Coleta de Dados 
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento 
da pesquisa (forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das atividades; custos 
envolvidos; exame das informações disponíveis; delineamento da amostra, etc.), o passo 
seguinte é a coleta dos dados, que consiste na busca ou compilação dos dados das 
variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado. 
 A coleta pode ser direta e indireta. A coleta dos dados é direta quando os dados 
são obtidos diretamente da fonte originária, como no caso da empresa que realiza uma 
pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca. A coleta dos dados é 
indireta quando é inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, como 
por exemplo a pesquisa sobre mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos 
por uma coleta direta. 
 A coleta de dados direta pode ser classificada em contínua, periódica, ocasional. 
 Contínua – quando feita continuamente, como as frequências dos alunos às aulas. 
 Periódica – quando feita em intervalos constante de tempo, como os sensos em 
10 e 10 anos. 
 Ocasional – quando feita esporadicamente, como no caso de epidemias. 
 
7. Gráficos 
Os gráficos permitem a representação da relação entre variáveis e podem facilitar 
a compreensão dos dados, se apresentados de forma clara e objetiva. Em Estatística são 
usados os gráficos de linha, de barras, de setores, de colunas, pictóricos, cartograma. 
 
 Gráficos de Linhas 
Os dados são colocados num sistema cartesiano ortogonal. Em geral representam 
dados de uma tabela. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 Gráficos de Barras 
Nesse tipo de gráfico usamos retângulos com bases de mesma medida e separados 
por distâncias. As frequências dos fatos observados são dadas pelas as alturas 
(comprimentos) dos retângulos. Anotadas no eixo x, se as barras forem horizontais e 
anotadas no eixo y se forem verticais. 
 
 
 
 Gráficos de Setores 
Os dados são apresentados em setores circulares que são proporcionais aos 
valores. Fazemos corresponder a uma volta do círculo (360°) o total (100%) dos dados e 
estabelecemos através de uma regra de três, o ângulo relativo ao setor circular de acordo 
com cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pictograma 
Os dados nos gráficos de barras podem ser representados por diferentes formas 
de figuras, tais como pessoas, objetos, etc. Esses gráficos recebem o nome de pictóricos. 
 
5 
 
 Cartograma 
O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é 
empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente 
relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
Exercícios propostos 
1) Para você o que é estatística 
2) Como uma amostra é relacionada a uma população? 
3) Para você o que é coletar dados? 
4) Como podem ser apresentados ou expostos os dados? 
5) Classifique em verdadeiro ou falso 
a) Um dado estatístico é uma medida que descreve as características de uma população. 
b) Uma amostra é um subgrupo de uma população. 
c) É impossível para o Bureau que realiza os censos nos EUA obter todos os dados de censo 
sobre a população dos Estados Unidos. 
d) A estatística inferencial envolve o uso de uma população para chegar a conclusões 
sobre a amostra correspondente. 
e) A palavra estatística deriva do grego status, que significa “estado”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
8. Distribuição de frequências 
8.1 Dados brutos (rol) 
Vamos considerar as notas de 40 alunos do curso Ciências da Computação 3° 
período da Faculdade Pitágoras. 
1 8 4 9 6,5 6 9 10 2 3 
8,5 4 9 6 5 5,5 6,5 9 8 7 
4,5 6 6,5 7,5 5 6 5,5 8 9 8 
6 7 8 9 10 3 2,5 1,5 4 7 
 
Colocando estes dados em ordem crescente, vamos obter uma nova tabela 
denominada rol: 
1 1,5 2 2,5 3 3 4 4 4 4,5 
5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6,5 
6,5 6,5 7 7 7 7,5 8 8 8 8 
8 8,5 9 9 9 9 9 9 10 10 
 
Vamos estabelecer a amplitude do rol, que é a diferença entre o maior e menor 
valor. No caso, temos 10 – 1 = 9 como amplitude do rol. 
O número de vezes que um determinado valor se repete é denominado como 
frequência deste valor. Podemos então formular uma nova tabela onde a cada valor 
associado a sua frequência. 
Notas Frequências 
1 1 
1,5 1 
2 1 
2,5 1 
3 2 
4 3 
4,5 1 
5 2 
5,5 2 
6 56,5 3 
7 3 
7,5 1 
8 5 
8,5 1 
9 6 
10 2 
 
 
 
A tabela continua muito extensa. Vamos agrupar de 0 a 2 (0 ⊢2, fechado em 0 e 
aberto em 2, que não é do intervalo), de 2 a 4 (2⊢4), de 4 a 6 (4⊢6), de 6 a 8 (6⊢8) e de 8 
a 10 (8⊢⊣10). Assim, temos: 
 
 
 
7 
 
Notas Frequências 
0 ⊢2 2 
2⊢4 4 
4⊢6 8 
6⊢8 12 
8⊢⊣10 14 
 
A esta tabela chamamos de distribuição de frequências com intervalos de classe. 
Observe que esta última distribuição pode ser feita sem passar pela distribuição 
intermediária. 
Na distribuição feita temos cincos intervalos de classe (0 ⊢2, 2 ⊢4, ..., 8 ⊢⊣10). Cada 
intervalo de classe tem amplitude 2 (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 - 8 ). 
Aos extremos de cada classe chamamos de limites, que podem ser inferior ou 
superior. Assim, 0, 2, 4, 6 e 8 são os limites inferiores e 2, 4, 6, 8 e 10 são limites superiores. 
Temos também a frequência relativa ou percentual (Fr), onde a frequência de cada 
classe associa-se o percentual que esta representa em relação à frequência total. Já a 
frequência acumulada (Fa) de cada classe é dada pela soma das frequências de todas as 
classes desde a 1ª até a classe considerada. 
 
Notas Frequências Fr Fa 
0 2 2 5% 2 
2 4 4 10% 6 
4 6 8 20% 14 
6 8 12 30% 26 
8 10 14 35% 40 
 ∑ f𝑖 = 40 
 
 
Exemplo 1 
Sejam as alturas em (em centímetros) de 25 alunos de uma determinada classe: 
 
150 159 157 151 152 
156 153 163 159 175 
162 162 164 158 159 
164 168 166 160 162 
170 169 174 165 167 
 
a) Dispor os dados em ordem crescente. 
b) Calcular a amplitude do rol. 
c) Calcular a amplitude de cada intervalo de classe. 
d) Achar a distribuição de frequências com intervalos de classe, a frequência relativa ou 
percentual (Fr) e a frequência acumulada (Fa). 
 
 
8 
 
solução 
a) 
150 151 152 153 156 
157 158 159 159 159 
160 162 162 162 163 
164 164 165 166 167 
168 169 170 174 175 
 
b) Amplitude do Rol = 175 – 150 = 25 (diferença entre o maior e menor valor) 
c) Procuramos estabelecer um número razoável de classes, considerando que a 
amplitude total é 25. Assim, podemos formar 5 classes, tendo cada intervalo de 
classe a amplitude 5 (25:5). Embora o número i de intervalos seja dado por 𝒊 = 𝟏 +
𝟑, 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠n, o aluno pode usar o bom senso para cada caso. Temos então os 
intervalos de classe 𝟏𝟓𝟎 ⊢ 𝟏𝟓𝟓, 𝟏𝟓𝟓 ⊢ 𝟏𝟔𝟎, 
𝟏𝟔𝟎 ⊢ 𝟏𝟔𝟓, 𝟏𝟔𝟓 ⊢ 𝟏𝟕𝟎, e 𝟏𝟕𝟎 ⊢⊣ 𝟏𝟕𝟓. 
d) 
Altura (cm) Frequência 
𝟏𝟓𝟎 ⊢ 𝟏𝟓𝟓 4 
𝟏𝟓𝟓 ⊢ 𝟏𝟔𝟎 6 
𝟏𝟔𝟎 ⊢ 𝟏𝟔𝟓 7 
𝟏𝟔𝟓 ⊢ 𝟏𝟕𝟎 5 
𝟏𝟕𝟎 ⊢⊣ 𝟏𝟕𝟓 3 
 
Frequência relativa (%) 
• De 𝟏𝟓𝟎 ⊢ 𝟏𝟓𝟓, vem: • De 𝟏𝟓𝟓 ⊢ 𝟏𝟔𝟎, vem: 
{𝟐𝟓 ⊢ 𝟏𝟎𝟎%
 𝟒 ⟶ 𝐱
 ⟶ x = 16% {
𝟐𝟓 ⟶ 𝟏𝟎𝟎%
𝟔 ⟶ 𝐱
 ⟶ x = 24% 
 
• De 𝟏𝟔𝟎 ⊢ 𝟏𝟔𝟓, vem: • De 𝟏𝟔𝟓 ⊢ 𝟏𝟕𝟎, vem: 
{𝟐𝟓 ⟶ 𝟏𝟎𝟎%
 𝟕 ⟶ 𝐱
 ⟶ x = 28% {
𝟐𝟓 ⟶ 𝟏𝟎𝟎%
 𝟓 ⟶ 𝐱
 ⟶ x = 20% 
 
• De 𝟏𝟕𝟎 ⊢⊣ 𝟏𝟕𝟓, vem: 
 {
𝟐𝟓 ⟶ 𝟏𝟎𝟎%
 𝟑 ⟶ 𝐱
 ⟶ x = 12% 
 
Frequência acumulada 
𝟏𝟓𝟎 ⊢ 𝟏𝟓𝟓, temos 4. 
𝟏𝟓𝟓 ⊢ 𝟏𝟔𝟎, temos 4 + 6 = 10. 
𝟏𝟔𝟎 ⊢ 𝟏𝟔𝟓, temos 4 + 6 + 7 = 17. 
𝟏𝟔𝟓 ⊢ 𝟏𝟕𝟎, temos 4 + 6 + 7 + 5 = 22. 
𝟏𝟕𝟎 ⊢ 𝟏𝟕𝟓, temos 4 +6 + 7 + 5 + 3 = 25. 
Logo: 
Alturas (cm) Frequências Fr (%) Fa 
𝟏𝟓𝟎 ⊢ 𝟏𝟓𝟓 4 16 4 
𝟏𝟓𝟓 ⊢ 𝟏𝟔𝟎 6 24 10 
𝟏𝟔𝟎 ⊢ 𝟏𝟔𝟓 7 28 17 
𝟏𝟔𝟓 ⊢ 𝟏𝟕𝟎 5 20 22 
𝟏𝟕𝟎 ⊢⊣ 𝟏𝟕𝟓 3 12 25 
9 
 
O cálculo de classes e suas amplitudes pode ser obtido pelas seguintes fórmulas: 
 
𝒌 = √𝒏 e 𝒉 =
𝑨𝒓
𝒌
 
Onde: 
K é o número de classes 
n é o número de elementos(dados) 
h é a amplitude das classes 
Ar é a amplitude do rol 
 
Exemplo 2 
sejam as alturas (em centímetros) de 25 alunos de uma classe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Dispor os dados em rol; 
b) Calcular a amplitude do rol; 
c) Calcular o nº de classes e a amplitude para cada intervalo de classe; 
d) Achar a distribuição de frequências com intervalos de classe, a frequência relativa e a 
frequência acumulada. 
Solução: Colocando os dados em ordem crescente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AR = 175 – 150 = 25 (diferença entre o maior e menor valor) 
k = √25 = 5 ℎ =
𝐴𝑟
𝑘
=
25
5
= 5 
 
Altura freq fr fa 
150 ⊢ 155 4 16% 4 
155 ⊢ 160 6 24% 10 
160 ⊢ 165 7 28% 17 
165 ⊢ 170 5 20% 22 
170 ⊢ 175 3 12% 25 
 ∑ 𝑓𝑖= 25 
 
 
150 159 157 151 152 
156 153 163 159 175 
162 162 164 158 159 
164 168 166 160 162 
170 169 174 165 167 
150 151 152 153 156 
157 158 159 159 159 
160 162 162 162 163 
164 164 165 166 167 
168 169 170 174 175 
10 
 
 
Exercícios propostos 
1) Os números abaixo, nos fornece, por faixa etária, a frequência com que ocorre 
determinada doença, para um grupo de 50 pessoas estudadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agrupe os dados acima em uma distribuição de frequência. 
 
2) Um teste para aferir o quociente de inteligência da turma do 3° período do curso de Engenharia 
Ambiental da Faculdade Pitágoras São Luís deu origem a sequência de valores. 
 
111 90 121 105 122 61 128 112 128 93 
108 138 88 110 112 112 97 128 102 125 
87 119 104 116 96 114 107 113 80 113 
123 95 115 70 115 101 114 127 92 103 
78 118 100 115 116 98 119 72 125 109 
79 139 75 109 123 124 108 125 116 83 
94 106 117 82 122 99 124 84 91 130 
Escreva a distribuição de frequência para os dados acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 60 64 41 57 42 45 59 43 55 
43 45 47 62 69 48 59 50 51 52 
40 52 59 53 57 55 44 56 53 57 
57 41 58 59 43 50 59 52 63 40 
62 47 60 41 64 65 68 48 69 52 
11 
 
8.2 Representações Gráficas de uma Distribuição de Frequência 
A representação gráfica de uma distribuição de frequências é feita pelo o 
histograma e pelo polígono de frequências. 
Utilizaremos nos gráficos mencionados o plano cartesiano xOy, onde no eixo das 
abscissas colocaremos os valores das variáveis e o eixo das ordenadas as frequências. 
 
8.2.1 Histograma 
O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se 
localizam no eixo das abscissas, de tal modo que seus pontos médios coincidem com os 
pontos médios dos intervalos de classe. 
Obs. As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e as 
alturas proporcionais às frequências das classes. 
Exemplo: 
 
 
 
8.2.2 Polígono de Frequências 
É um gráfico de linhas, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao 
eixo horizontal, levantadas pelos os pontos médios dos intervalos de classe. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
9. Medidas de Tendência Central ou Medidas de Posição 
 
Essas medidas têm como objetivo ressaltar as tendências características de cada 
distribuição, isoladamente, ou em confronto com as outras. 
Dentre as medidas de uma distribuição, usaremos a média aritmética, a mediana e 
a moda, pois ocupam posições especiais. São medidas de tendência central, devido ao fato 
de ocuparem posições centrais numa distribuição. 
 
9.1 Média Aritmética (X̅) 
É o quociente da divisão da soma dos valores pelo número de elementos. 
 Se x1, x2, x3, ..., xn são os elementos, então: 
�̅� =
x1 + x2 + ⋯ + xn
n
=
∑ x𝑖
n
𝑖=1
n
 
Exemplo 
Para os elementos 2, 4, 5, 8 e 9, temos: �̅�= 
 
 
Média aritmética para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Se os elementos x1, x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn, 
então: 
�̅� = 
∑ fixi
n
i=1
∑ fi
 
Onde: ∑ fixi
n
i=1 = 𝑥1𝑓1 + 𝑥2𝑓2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑓𝑛 
Trata-se da média aritmética pondera. 
Exemplo 
Notas (xi)Frequências (fi) xi fi 
2,0 2 
4,5 3 
6,0 10 
8,0 9 
9,0 7 
 
 
 
�̅� = 
 
 
 
 
 
 
 Com intervalos de classe 
Nesse caso, consideramos todos os valores de um determinado intervalo como 
coincidentes com o ponto médio (mi) do intervalo. 
Temos então: 
�̅� =
∑ fimi
n
i=1
∑ 𝑓𝑖
 
13 
 
Exemplo 
 
Notas Frequências (fi) Ponto médio 
(mi) 
fi ∙mi 
0 ⊢ 2 5 
2 ⊢ 4 7 
4 ⊢ 6 12 
6 ⊢ 8 15 
8 ⊢⊣ 10 9 
∑ fi = ∑ Fimi = 
 
�̅� =
∑ fimi
n
i=1
∑ 𝑓𝑖
 
 
9.2 Mediana (Md) 
 
Mediana para dados não agrupados 
Dispondo os elementos em ordem crescente, a mediana é o valor intermediário ou 
a média dos valores intermediários. 
a) O número de valores observados é ímpar. 
Exemplo: Considere o conjunto de dados A = {5, 4, 10, 8, 7, 3, 6}. 
 
Md = 
 
b) O número de valores observados é par. 
Exemplo: Considere o conjunto de dados A = {12, 6, 7, 9, 8, 11, 5, 2}. 
 
Md = 
 
Mediana para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Basta considerar a frequência acumulada e elementos intermediários 
Exemplo 
 
Salários fi fa 
90 10 
110 14 
130 10 
150 7 
170 9 
 
 Com intervalos de classe 
Devemos inicialmente localizar a classe mediana, ou seja, a que contém o elemento 
∑ fi
2
, Em seguida, calculamos seu valor usando a fórmula: 
Md = ℓd +
(
∑ fi 
2 − Fant)
fd
∙ hd 
 
14 
 
Onde: 
ℓd: limite inferior da classe mediana 
Fant: soma das frequências das classes anteriores à classe mediana. 
hd: amplitude da classe mediana 
fd: frequência da classe mediana. 
 
 
Exemplo 
Calcule a mediana para a seguinte distribuição: 
 
Salários fi fa 
0 ⊢ 4 7 
4 ⊢ 8 8 
8 ⊢ 12 13 
12 ⊢ 16 14 
16 ⊢⊣ 20 6 
∑ fi = 
 
 
Md = 
 
 
9.3 Moda (Mo) 
A moda de um conjunto de elementos é o elemento que ocorre com maior 
frequência. 
Um conjunto de elementos pode ter uma moda, mais de uma ou não ter moda. 
Exemplos 
1) A moda do conjunto de números 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7. 
Mo = 4, que ocorre com frequência 3. 
 
2) No conjunto 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7 e 8, temos os números 3, 5 e 7 com frequência 2. 
Temos, portanto, três modas que são 3, 5 e 7. 
 
3) No conjunto 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, não temos moda. 
 
Moda para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Basta considerar a medida com maior frequência. 
 
Exemplo 
 
x fi 
2 10 
5 14 
8 10 
9 7 
10 9 
Mo = 
15 
 
 Com intervalos de classe 
 Devemos considerar a classe modal, que é a classe que apresenta maior frequência. 
Consideramos como moda de uma distribuição de frequências o valor compreendido entre 
os limites da classe modal. Tal valor, pelo processo de Czuber, é dado por: 
Mo = ℓo +
Δ1 ∙ ho
(Δ1 + Δ2)
 
Onde: 
ℓo: limite inferior da classe modal 
ho: amplitude da classe modal 
Δ1: frequência da classe modal menos frequência da classe anterior à modal 
Δ2: frequência da classe modal menos frequência da classe posterior à modal. 
 
Exemplo 
Calcular a moda para a distribuição de frequências que apresentam tempos gastos 
por jogadores de um clube para percorrer uma certa distância: 
 
Tempo (s) fi 
10 ⊢ 15 3 
15 ⊢ 20 4 
20 ⊢ 25 7 
25 ⊢ 30 12 
30 ⊢⊣ 35 6 
 
 
𝑴𝒐 = 
 
 
 
10. Medidas de Dispersão 
As medidas de tendência central (média, mediana e moda) descrevem apenas 
uma das características dos valores numéricos de um conjunto de observações, o da 
tendência central. Porém, nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão 
dos valores observados. Em qualquer grupo de dados os valores numéricos não são 
semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação a tendência geral de média. 
As medidas de dispersão (amplitude total, desvio médio, variância e desvio 
padrão) servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto 
os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também 
para avaliar qual o grau de representação da média. 
É fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de 
dados. Dois grupos podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude 
de variação de seus dados. Por exemplo: 
-Grupo A (dados observados): 5; 5; 5. 
-Grupo B (dados observado): 4; 5; 6. 
-Grupo C (dados observados): 0; 5; 10. 
A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre 
os dados, enquanto no grupo “B” a variação é menor que no grupo “C”. Dessa forma, uma 
maneira mais completa de apresentar os dados (além de aplicar uma medida de 
tendência central como a média) é aplicar uma medida de dispersão. 
16 
 
10. 1 Amplitude total 
Trata-se da diferença entre o maior e o menor valor ocorridos numa distribuição 
de frequências. 
Exemplos 
1) Para os números 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11 e 15 a amplitude total é 15 – 3 = 12. 
2) Se considerarmos uma distribuição de frequências com intervalos 160 ⊢ 165, 165 ⊢
170,..., 195 ⊢⊣ 200, a amplitude total é igual a 200 – 160 = 40, ou seja, a diferença entre o 
maior limite superior e o menor limite inferior. 
 
 
10. 2 Desvio Médio 
Para um conjunto de números x1, x2, ..., xn, de média aritmética �̅�, definimos o 
desvio médio (dm) por: 
dm =
∑|xi − �̅�|
n
 
Exemplo 
1) Calcular o desvio médio para os números 1, 2, 4, 9, 11 e 15. 
Solução 
�̅� = 
 
∑|xi − �̅�| = 
 
dm = 
 
 
Desvio Médio para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
 Se os elementos x1, x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn. 
Então, definimos desvio médio para uma distribuição de frequência sem intervalo de 
classe por: 
dm =
∑|xi − �̅�|𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
Lembrando que: 
�̅� =
∑ fi𝑥i
n
i=1
∑ 𝑓𝑖
 
 
Exemplo: Calcule o desvio médio para a distribuição abaixo: 
 
x fi x fi |xi − �̅�|𝒇𝒊 
2 10 
5 14 
8 10 
9 7 
10 9 
 ∑ = ∑ = ∑ = 
�̅� = 
 
dm = 
17 
 
 
 Com intervalos de classe 
 
Se os elementos x1, x2,..., xn apresentam, respectivamente, frequências f1, f2, ..., fn. 
Então, definimos desvio médio para uma distribuição de frequência com intervalo de 
classe por: 
dm =
∑|mi − �̅�|𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
 
Lembrando que: 
�̅� =
∑ fimi
n
i=1
∑ 𝑓𝑖
 
 
Exemplo: Calcule o desvio médio para a duração de uma determinada lâmpada: 
 
Horas fi 
10 ⊢ 15 3 
15 ⊢ 20 4 
20 ⊢ 25 7 
25 ⊢ 30 12 
30 ⊢⊣ 35 6 
Solução 
Para calcularmos a média aritmética, precisamos encontrar os valores médios (mi) 
e os produtos (fimi). Assim: 
 
 
Nº de horas 
 
(fi) 
 
(mi) 
 
mifi 
 
fi|mi − �̅�| 
10 ⊢ 15 3 
15 ⊢ 20 4 
20 ⊢ 25 7 
25 ⊢ 30 12 
30 ⊢⊣ 35 6 
∑ fi = ∑ fimi = ∑ fi|mi − �̅�| = 
 
 
Então: 
 �̅� =
∑ fimi
∑ fi
⟹ �̅� = 
 
Portanto 
dm =
∑|mi−�̅�|𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
⟹ dm = 
 
 
 
10. 3 Desvio Padrão (dp ou 𝝆(𝒙)) 
No estudo do desvio médio observa-se que a dificuldade em se operar com o 
mesmo, se deve à presença do módulo, para que as diferenças xi − �̅� possam ser 
18 
 
interpretadas como distâncias. Então, uma maneira de se resolver essa problemática é 
considerar o quadrado dessas diferenças(xi − �̅�)
2, com isso obtemos uma nova medida 
de dispersão, chamada variância. 
Portanto, variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos 
desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média. O desvio padrão é a raiz 
quadrada positiva da variância. 
Obs: A variância será denotada por 𝑉𝑎𝑟(𝑥) e o desvio padrão por 𝜌(𝑥). 
 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
 
e o desvio padrão, por: 
𝜌(𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 
 
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão para a sequência: X: 3, 4, 9. 
 
�̅� = 
 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑥)= 
 
 
𝜌(𝑥) = 
 
Desvio Padrão para uma distribuição de frequências 
 Sem intervalos de classe 
Definimos a variância para uma distribuição de frequência sem intervalos de 
classe, como sendo uma média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios dos 
elementos da série para a média da série. 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
e o desvio padrão, por: 
𝜌(𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 
 
Exemplo 
 Calcule o desvio para a distribuição abaixo 
 
 Notas (xi) (fi) xi fi (𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 (𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐𝒇𝒊 
4 5 
6 3 
7 3 
8 4 
10 6 
 ∑ fi = ∑ fimi = 
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 
 
 
19 
 
 
𝜌(𝑥) = 
 
 
 
 Com intervalos de classe 
A definição é a mesma da anterior, a diferença está no cálculo de obtenção, pois 
devemos substituir os valores de xi por mi. 
O cálculo da variância é dado pela fórmula: 
𝜌2(𝑥) =
∑(𝑚𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
e o desvio padrão, por: 
𝜌(𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Calcule o desvio padrão da distribuição dada: 
 
Custo fi 
10 ⊢ 20 3 
20 ⊢ 30 5 
30 ⊢ 40 8 
40 ⊢⊣ 50 4 
 
Vamos precisar das colunas mi, fimi e fi(mi)
𝟐. Assim: 
 
Custo fi mi fimi (𝒎𝒊 − �̅�)
𝟐𝒇𝒊 
10 ⊢ 20 
20 ⊢ 30 
30 ⊢ 40 
40 ⊢⊣ 50 
∑ fi = ∑ 𝒇imi = ∑ = 
 
Logo: 
 
 
 dp = 
 
 
 
 
 
 
20 
 
11. Exercício propostos 
1) Considerando os conjuntos de dados: 
A= {3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6}, B = {20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7}, C = {51,6; 48,7; 50,3; 49,15; 
48,9}, D = { 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14}. 
Calcule: 
a) a média b) a mediana c) a moda 
2) A distribuição dada apresenta os pares de calçados vendidos numa loja em um 
determinado dia, de acordo com o número usado de uma certa marca. Calcule a média 
aritmética, e a mediana. 
 
Número usado Frequência 
34 6 
35 8 
36 7 
37 11 
38 10 
39 8 
40 9 
41 7 
 
3) Calcule a média, moda e a mediana para as notas da distribuição dada: 
Notas fi 
0 ⊢ 4 3 
4 ⊢ 8 6 
8 ⊢ 12 14 
12 ⊢ 16 11 
16 ⊢⊣ 20 7 
 
4) Calcule a média, mediana e moda para a distribuição que apresenta os salários de uma 
empresa: 
Salários Frequência 
100 ⊢ 150 15 
150 ⊢ 200 3 
200 ⊢ 250 9 
250 ⊢ 300 3 
300 ⊢ 350 2 
350 ⊢⊣ 400 1 
 
5) Calcule o desvio médio e o desvio padrão para as seguintes distribuições: 
 
Intervalos Frequência 
2 ⊢ 7 5 
7 ⊢ 12 7 
12 ⊢ 17 9 
17 ⊢ 22 15 
22 ⊢ 27 14 
27 ⊢⊣ 34 7 
21 
 
6) Os números abaixo, nos fornece, por faixa etária, a frequência com que ocorre 
determinada doença, para um grupo de 50 pessoas estudadas, com idade entre 40 e 72 
anos. Calcule a média, moda e mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Para a distribuição das notas abaixo, determine: 
 
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 
a) o histograma e o polígono de frequências b) a média aritmética 
c) a moda d) a mediana 
e) o desvio médio f) o desvio padrão 
8) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores 
autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades 
adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 
 
 10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 
 09 14 19 20 32 18 16 26 24 20 
 07 18 17 28 35 22 19 39 18 21 
 15 15 22 20 25 28 30 16 12 20 
 
Agrupe por frequência e em seguida encontre: 
a) o histograma e o polígono de frequências b) a média aritmética 
c) a moda d) a mediana 
e) o desvio médio f) o desvio padrão 
 
9) Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em 
determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dólares: 
52.500,00 18.300,00 35.700,00 43.800,00 22.150,00 
 6.830,00 3.250,00 17.603,00 35.600,00 7.800,00 
16.323,00 42.130,00 27.606,00 18.350,00 12.521,00 
25.300,00 31.452,00 39.610,00 22.450,00 7.380,00 
28.000,00 21.000,00 14.751,00 39.512,00 17.319,00 
Agrupe, por frequência, estes dados e calcule: 
a) a média aritmética; 
b) a moda 
c) a mediana; 
d) o desvio médio; 
f) o desvio padrão. 
 
 
72 60 64 41 57 42 45 59 43 55 
43 45 47 62 69 48 59 50 51 52 
40 52 59 53 57 55 44 56 53 57 
57 41 58 59 43 50 59 52 63 40 
62 47 60 41 64 65 68 48 69 52