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FACULDADE PITÁGORAS DE SÃO LUÍS CURSO DE ciência da computação Estatística E PROBABILIDADE Prof. Otonilson ribeiro Material parte 2 SÃO LUÍS – MA 2013 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 2 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 1. Introdução No assunto anterior vimos a distribuição de valores para uma variável, com isso conhecemos as medidas de Tendência Central e de Dispersão. Mas quando observamos duas ou mais variáveis, surge um problema: as relações que podem existir entre elas, e se existir, qual o grau de relação. Portanto as medidas estudadas não são suficientes. Assim, quando consideramos variáveis como grau de escolaridade e renda, número de horas trabalhadas e o número de acidentes, procuramos verificar se existe alguma relação e o grau entre as variáveis. Para isso, é necessário o conhecimento de novas medidas. E a medida usada para descobrir o grau dessa relação chama-se correlação, e uma vez estabelecida tal relação, procuramos descrer, por meio de um modelo matemático os parâmetros dessa relação, e a medida usada para determinar esses parâmetros é a regressão linear. 2. Correlação Se relacionarmos o tempo de permanência em um estacionamento e o valor cobrado, é fácil perceber que essas variáveis estão perfeitamente definidas e pode ser expressa por uma sentença matemática. Se considerarmos agora variáveis como peso e altura, uso do cigarro e incidência do câncer é evidente que essas variáveis não tem a mesma relação das anteriores, pois pode acontecer de estaturas diferentes corresponderem a pesos iguais ou vice-versa. Portanto, variáveis valor cobrado e tempo são chamadas de relações funcionais e do tipo peso-altura são chamadas de relações estatísticas. Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe uma correlação entre elas. 2.1 Diagrama de Dispersão Consideramos uma amostra formada por dez dos 98 alunos do 3° período do curso de engenharia de produção e pelas notas obtidas em Matemática e Estatística, conforme a tabela abaixo: Representando no sistema ortogonal os pares ordenados (xi, yi), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 3 Observando os pontos, percebemos que os mesmos em conjunto dão ideia de uma elipse em diagonal, e quanto mais fina for essa elipse, mais ela se aproxima de uma reta. Dizemos, que a correlação de forma elíptica tem como “imagem” uma reta, por isso é chamada de correlação linear. A correlação pode ser: I. Linear positiva: se os pontos têm como “imagem” uma reta ascendente. II. Linear negativa: se os pontos têm como “imagem” uma reta descendente. III. Não linear: se os pontos têm como “imagem” uma curva. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 4 Obs. Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo. Exemplos 1) O faturamento de uma empresa e o nível de utilização do seu sistema computacional é Linear Positiva. 2) A quantidade de memória RAM e o tempo de processamento é Linear Negativa. 2.2 Coeficiente de Correlação Linear (Correlação de Pearson) O coeficiente de correlação linear nos indica o grau de relação entre duas variáveis estatísticas e ainda o sentido dessa relação (positivo, negativo ou nulo). O cálculo para o coeficiente de correlação linear é dado por: 𝒓 = 𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 − ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∑ 𝒚𝒊 √[𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊 𝟐 − (∑ 𝒙𝒊)𝟐] ∙ [𝒏 ∙ ∑ 𝒚𝒊 𝟐 − (∑ 𝒚𝒊)𝟐] onde 𝒏 é o número de observações, isto é, de pares ordenados. Os valores de r estão no limite de – 1 a +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [−1, +1]. Portanto: I. Se r = + 1 a relação entre as duas variáveis é perfeita e positiva. II. Se r = – 1 a relação entre as duas variáveis é perfeita e negativa. III. Se r = 0, não existe relação entre as variáveis ou a relação entre elas não é linear. Obs. Para retirarmos algumas conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que: 0,6 ≤ |𝑟| ≤ 1 Se 0,3 ≤ |𝑟| ≤ 0,6 há uma relação relativamente fraca entre as variáveis. Se 0 ≤ |𝑟| ≤ 0,3 a relação entre as variáveis é muito fraca, e praticamente, nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis. Vamos calcular o coeficiente de correlação relativo à tabela 11.1. O modo mais prático para obtermos r é acrescentarmos na tabela colunas correspondentes as valores 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 , 𝑥𝑖 2 , 𝑦𝑖 2 . ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 5 Matemática (xi) Estatística (yi) xiyi xi2 yi2 5 6 30 25 36 8 9 72 64 81 7 8 56 49 64 10 10 100 100 100 6 5 30 36 25 7 7 49 49 49 9 8 72 81 64 3 4 12 9 16 8 6 48 64 36 2 2 4 4 4 ∑ = 65 ∑ = 65 ∑ = 473 ∑ = 481 ∑ = 475 Substituindo os valores na fórmula, temos: r = n ∙ ∑ xiyi − ∑ xi ∙ ∑ yi √[n ∙ ∑ xi 2 − (∑ xi)2] ∙ [n ∙ ∑ yi 2 − (∑ yi)2] r = 10 ∙ 473 − 65 ∙ 65 √[10 ∙ 481 − 652][10 ∙ 475 − 652] = 0,911 Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as variáveis. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 6 3. Regressão A regressão está intimamente relacionada à correlação, visto que ainda estamos interessados na força de associação entre duas variáveis, como por exemplo número de faltas de um aluno e sua nota. Na regressão, entretanto, estabelecemos que uma variável é dependente, e a outra, independente, isto é, acreditamos que uma variável influencia a outra, nesse caso a nota do aluno é a dependente e o número de faltas a independente. Na análise de regressão, usamos uma equação matemática para prever o valor da variável dependente (indicada por Y) com base na variável independente (indicada por X): 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 onde 𝑎 e 𝑏 são os parâmetros. Como na correlação linear os pontos se aproximam de uma reta, então a equação acima representa justamente essa reta, que recebe o nome de reta regressão linear. Para traçarmos o gráfico da reta regressão é necessário obter os valores dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, que são dados pelas fórmulas: 𝒂 = 𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 − ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∑ 𝒚𝒊 𝒏 ∑ 𝒙𝒊 𝟐 − (∑ 𝒙𝒊)𝟐 𝒆 𝒃 = �̅� − 𝒂�̅� onde: n é o número de observações. �̅� é a média dos valores de 𝒙𝒊. �̅� é a média dos valores de 𝒚𝒊. Vamos encontrar a equação de regressão da tabela abaixo: Devemos então, acrescentar as colunas 𝒙𝒊𝒚𝒊 e 𝒙𝒊 𝟐, assim temos a tabela de valores: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 7 Temos: Como: Vem, Logo: Portanto, para traçarmos o gráfico da reta regressão, basta determinar dois dos seus pontos: Assim, temos: Exemplo: 1) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, obteve a tabela: Preço 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110 Demanda 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 Calcule: a) Determine o coeficiente de correlação. b) Estabeleça a equação da reta ajustada. c) Estime Y para X = 60 e X = 120. 𝑎 = 10 ∙ 473 − 65 ∙ 65 10 ∙ 481 − 652 = 0,8632 �̅� = 65 10 e �̅� = 65 10 , 𝑏 = 6,5 − 0,8632 ∙ 6,5 = 0,8892 𝑌 = 0,86𝑋+ 0,89 𝑋 = 0 e Y= 0,89 𝑋 = 5 e 𝑌 = 0,86 ∙ 5 + 0,89= 5,19 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 8 4. Exercícios 1) Uma empresa resolveu comparar o número de horas de treinamentos preventivos com o número de acidentes verificados nas suas instalações. Observe os números apresentados da tabela seguinte. Pede-se: a) Calcule o coeficiente de determinação e comente a qualidade de ajuste; b) construa o modelo de ajuste linear entre os pontos (equação da reta de regressão linear). Treinamento 14 12 18 25 32 44 17 28 Acidentes 49 52 45 46 41 35 49 44 2) Encontre o coeficiente de correlação linear para cada tabela seguinte: a) X 2 3 4 5 6 7 8 y 1,6 1,2 1,0 1,2 1,4 1,0 1 b) 3) Numa indústria é feito um acompanhamento sistemático do percentual de elementos defeituosos produzidos a cada intervalo de 1/2 hora. Após um mês de produção, os valores médios de percentuais de defeitos a cada horário foram marcados na tabela abaixo: Verifique a existência de correlação linear entre o horário e o percentual e, em seguida construa o modelo de ajuste linear entre os pontos. 4) Uma empresa de telefonia resolveu analisar a relação entre a idade do seu consumidor e sua conta média mensal. Analisou os dados de uma amostra formada por oito consumidores, apresentada a seguir. Analise o modelo de ajuste linear entre a idade(x) e a conta(y) e comente a associação existente entre as varáveis. Idade (em anos) 32 17 26 36 34 53 31 29 Conta média (em R$/mês) 85 84 36 82 77 70 52 95 X - 12 - 10 - 8 - 6 - 4 y 3 18 21 40 34 horas 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 % 0,12 0,09 0,14 0,16 0,13 0,18 0,15 0,18 0,15 0,19 0,20 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 9 PROBABILIDADE 1. Introdução No estudo da Estatística, estamos interessados, basicamente, na apresentação e interpretação dos possíveis resultados que ocorrem em um estudo planejado ou em uma investigação científica. Por exemplo, podemos classificar itens que saem da linha de produção como ‘defeituosos’ ou ‘não defeituosos’. Portanto, o estatístico frequentemente lida com dados experimentais por meio de observações. Por isso, a justificativa de estudarmos o cálculo das probabilidades, pois a maioria dos fenômenos de que trata a estatística são de natureza aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento de aspectos fundamentais do cálculo da probabilidade é uma necessidade fundamental para o estudo da Estatística indutiva ou inferencial. 2. Experimento aleatório Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura a água ferve. Esse tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. No entanto da afirmação “é provável que meu time ganhe hoje” pode resultar: a) que, apesar do favoritismo, ele perca; b) que, como pensamos, ele ganhe; c) que empate. Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados de fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles, que mesmo, repetidos várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. NOTA: Experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance, são chamados de experimentos aleatórios equiprováveis. 3. Espaço Amostral ou Conjunto Universo É o conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório equiprovável. O número de elementos desse conjunto é indicado por n(U). Exemplos: 1) O lançamento de um dado. 2) O lançamento de duas moedas. 3) O sorteio da Mega Sena. 4. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral U. Assim, no lançamento de um dado, por exemplo, o evento obter um número maior ou igual a 5 é dado por A = {5, 6}, subconjunto de U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obs. Quando A = U, o evento é certo e quando A = Ø, o evento é impossível. Exemplos: 1) No lançamento de uma moeda, A = {cara, coroa} é um evento certo, pois n(A) = n(U). 2) Obter 7 no lançamento de um dado é impossível. Obs. Quando A ∪ A ̅ = 𝑈 e A ∩ A ̅ = ∅, os eventos A e A̅ são complementares. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 10 Exemplos 1°) Determinar o espaço amostral do experimento aleatório lançamento simultâneo de dois dados e o evento soma dos pontos obtidos é maior que oito. 2°) Considerando o experimento aleatório nascimento de 3 filhos de uma casal, determine o espaço amostral e o subconjunto que representa o evento nascimento de exatamente 2 meninos em 3 filhos do casal. 5. Definição de Probabilidade Se, num experimento aleatório equiprovável, o número de elementos do espaço amostral U é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de que ocorra o evento A é dada pelo número real P(A), tal que: Portanto, a probabilidade de um evento é dada pelo quociente da divisão do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Exemplos 1°) Um grupo de 20 pessoas é formado por 12 homens e 8 mulheres. Em relação ao sorteio de um elemento deste grupo, calcule: (a) a probabilidade de ser homem; (b) a probabilidade de ser mulher. 2°) Um dado e uma moeda são lançados. Pede-se: a) Construir o espaço amostral; b) enumerar os eventos: (i) sair cara e par; (ii) sair coroa e impar; (iii) sair múltiplo de 3; c) Calcule as probabilidades da letra b. 3°) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: a) uma bola vermelha? b) uma bola branca? 6. Propriedades 1) Se A = ∅, então n(A) = 0 e, portanto, P(A) = 0 (probabilidade do evento impossível). 2) se A = U, então n(A) = n(U) e P(A) = 1(probabilidade do evento certo). 3) Se A ⊂ U, enta o 0 ≤ n(A) ≤ n(U). 7. Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade que ele não ocorra (insucesso ou fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação: Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento é 𝑝 = 1 5 , a probabilidade que ele não ocorra é: 𝑞 = 𝑝 − 1 ⟶ 𝑞 = 1 − 1 5 ⟶ 𝑞 = 4 5 P(A) = n(A) n(U) p + q = 1 → q = 1 – p ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 11 8. Eventos Independentes Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado de um deles independe do resultado obtido no outro. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles ocorram simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do 1° evento e p2 a probabilidade de realização do 2° evento, a probabilidade que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: Obs. Nesse caso trata-se de probabilidade do produto. Exemplos 1°) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão retirada aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) apenas uma ser defeituosa; b) ambas serem defeituosas. 2°) A probabilidade de um atirador X acertar o alvo é de 80% e de um atirador Y acertar o mesmo alvo é de 90%. Se os dois atirarem uma vez, qual a probabilidade de que: a) ambos atinjam o alvo? b) pelo menos um atinja o alvo? 3°)Numa certa comunidade 52% dos habitantes são mulheres e destas 2,4% são canhotas. Dos homens, 2,5 são canhotos. Calcule a probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso seja canhoto. p = p1 x p2 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 12 9. Eventos Mutuamente Exclusivos Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade que ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que um deles se realize. Nota: A probabilidade de eventos mutuamente exclusivos é um caso particular de soma de probabilidades, quando a intersecção entre os eventos é o conjunto vazio. Exemplos 1°) Lançando um dado a probabilidade de se sair 3 ou 5 é: 2°) As chances de as vendas de uma determinada empresa superarem, igualarem ou ficarem abaixo de R$ 400.00,00/mês são iguais respectivamente a 30%, 50% e 20%. Calcule a probabilidade de: (a) a empresa vender R$ 400.00,00/ ou mais; (b) a empresa vender R$ 400.00,00/ ou menos. 10. Soma de Probabilidade Se A e B são dois eventos de um espaço amostral U, podemos escrever: Obs. Se A ∩ B = ∅, temos: P(A∪ B) = P(A) + P(B) Exemplos 1°) Qual a probabilidade de, um jogo de dominó (28 “pedras”), ser jogada uma “pedra” que tenha o número 2 ou o número 3? 2°) Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) p = p1 + p2 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 13 3°) Uma empresa possui 350 funcionários. Destes, 280 possuem plano de saúde particular, 180 possuem plano de saúde coletivo e 30 não possuem plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso: a) não possuir nenhum plano; b) possuir pelo menos um dos planos; c) possuir ambos os planos. 11. Probabilidade Condicional Denomina – se probabilidade de A condicionada a B, a probabilidade de ocorrência do evento A, sabendo – se que vai ocorrer ou já ocorreu o evento B. A probabilidade condicional é dada por: Exemplos 1°) Consideremos um grupo de 250 alunos que cursam o primeiro período da Faculdade Pitágoras. Destes alunos 100 são homens. Das mulheres, 80% cursam Enfermagem e as demais Engenharia e dos homens 10% cursam enfermagem. Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando Engenharia dado que é mulher. 2°) Uma prova de múltipla escolha possui cinco alternativas, das quais apenas uma é correta. A probabilidade de que um determinado aluno saiba a resposta certa é igual a 35%. Supondo a inexistência da possibilidade de obtenção da resposta através de fraude, pergunta-se: a) se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta? b) qual a probabilidade de ele acertar a questão? P(A ∕ B) = P(A ∩ B) P(B) ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 14 12. Teorema da Probabilidade Total Sejam 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 eventos formam uma partição do espaço amostral. Seja B um evento desse espaço. Então: 𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) 𝑛 𝑖=1 Exemplo Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca? 13. Teorema de Bayes Em probabilidade o Teorema de Bayes trata da probabilidade condicional e sua inversa, por exemplo, a probabilidade de uma hipótese dada à observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. A ideia principal é a probabilidade de um evento A dado um evento B. Sejam 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 eventos formam uma partição do espaço amostral. Seja B um evento desse espaço. Sejam conhecidas 𝑃(𝐴𝑖) e 𝑃(𝐵/𝐴𝑖), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Então: 𝑃(𝐴𝑗/𝐵) = 𝑃(𝐴𝑗) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴𝑗) ∑ 𝑃(𝐴𝑖) ∙ 𝑃(𝐵/𝐴𝑖) 𝑛 𝑖=1 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Exemplos 1°) Tem-se duas urnas A e B. A urna A têm 3 moedas de ouro e 2 de prata. A urna B têm 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se 1 urna e dela retira-se uma moeda. A moeda de é ouro. Qual a probabilidade que a urna A tenha sido a escolhida? 2°) Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados “defeituosos" e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas. Pergunta-se: a) qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade? b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica II? ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 15 5. Um dado e uma moeda são lançados. Pede-se: a) Construir o espaço amostral; b) enumerar os eventos: (i) sair cara e par; (ii) sair coroa e impar; (iii) sair múltiplo de 3; c) Calcule as probabilidades da letra b. 6. Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) apenas uma ser defeituosa; b) ambas serem defeituosas. 7. Lívia tem 75% de chances de casar com Ricardo e 10% de casar com Adelmo. Supondo que na vida dela só existem esses dois homens, calcule a probabilidade de ela ficar pra titia. 8. Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade que N seja menor do que 4 é? 9. Uma empresa possui 350 funcionários. Destes, 280 possuem plano de saúde particular, 180 possuem plano de saúde coletivo e 30 não possuem plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso: a) não possuir nenhum plano; b) possuir pelo menos um dos planos; c) possuir ambos os planos. 10. Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: a) não tenha acertado nenhum problema? b) tenha acertado apenas o segundo problema? 11. Num certo pais, 20% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 30% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 4% são fraudulentas. a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser não suspeita e fraudulentas. b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido não suspeita? 12. Dos alunos de uma faculdade que cursam Engenharia, 60% já fizeram outra graduação. Dos que não fizeram outra graduação, 10% pensam em continuar estudando até a pós-graduação. Dos demais, esta probabilidadeaumenta para 30%. Pede-se: a) qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso desejar cursar a pós-graduação? b) se um aluno desejar cursar a pós-graduação, qual a probabilidade de nunca ter feito outra graduação antes? 13. Uma prova de múltipla escolha possui cinco alternativas, das quais apenas uma é correta. A probabilidade de que um determinado aluno saiba a resposta certa é igual a 35%. Supondo a inexistência da possibilidade de obtenção da resposta através de fraude, pergunta-se: a) se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta? b) qual a probabilidade de ele acertar a questão? ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTONILSON RIBEIRO Página 16 14. Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. 15. A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?
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