Apostol, Tom M. Analisis Matematico 2nda Edicion ESP Editorial Reverté 1996

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Título de la obra original: 
Mathematical analysis 
Edición original en lengua inglesa publicada por: 
Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts 
Copyright© by Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 
Versión española por: 
Dr. José Plá Carrera 
Doctor en Matemáticas, 
Profesor en Ja Facultad de Matemáticas en la Universidad de Barcelona 
Revisada por: 
Dr. Enrique Linés Escardó 
Catedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid 
Propiedad de: 
EDITORIAL REVERTÉ, S.A. 
Loreto, 13-15, Local B 
08029 Barcelona 
Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cual-
quier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, 
y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda ri-
gurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las 
sanciones establecidas por las leyes. 
Edición en español 
© EDITORIAL REVERTÉ, S.A., 1996 
lmpreso en España - Printcd in Spain 
ISBN - 84 - 291 - 5004 - 8 
Depósito Legal: B - 31951 - 1996 
Impreso por GERSA. Industria Gráfica 
Tambor del Bruc, 6 
08970 Sant loan Despí (Barcelona) 
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A mis padres 
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INTERDEPENDENCIA LÓGICA DE LOS CAPfTULOS 
8 
1 
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS 
REALES Y EL DE LOS COMPLEJOS 
2 
ALGUNAS NOCIONES BÁSICAS 
DE LA TEORIA DE CONJUNTOS 
3 
ELEMENTOS DE TOPOLOGIA 
EN CONJUNTOS DE PUNTOS 
4 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
5 
DERIVADAS 
6 
FUNCIONES DE VARIACION 
ACOTADA Y CURVAS 
RECTIFICABLES 
12 
SERIES INFINITAS Y 
PRODUCTOS INFINITOS 
CALCULO DIFERENCIAL 
DE VARIAS VARIABLES 
7 13 LA INTEGRAL DE 
RIEMANN-STIELTJES FUNCIONES IMPLlCITAS Y PROBLEMAS DE EXTREMOS 
9 
SUCESIONES 
DE FUNCIONES 
10 
LA INTEGRAL 
DE LEBESGUE 
11 
14 
INTEGRALES MúLTIPLES 
DE RIEMANN 
SERIES DE FOURIER E 
INTEGRALES DE FOURIER 
16 
TEOREMA DE CAU<.llY Y 
CALCULO DI'. Rl'.Sll>UO.'i 
15 
INTEGRALES DE 
LEBESGUE .MúL TIPL.FS 
1 
--L 
Capítulo 1 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
1.10 
1.11 
1.12 
1.13 
1.14 
1.15 
1.16 
1.17 
1.18 
1.19 
1.20 
1.21 
1.22 
1.23 
1.24 
1.25 
1.26 
1.27 
1.28 
1.29 
1.30 
1.31 
1.32 
1.33 
Indice analítico 
El sistema de los números reales y el de los complejos 
Introducci6n 
Los axiomas de cuerpo 
Los axiomas de orden · 
Representación geométrica de los números reales 
Intervalos 
Los enteros 
'Teorema de descomposición única pa.ra enteros 
Los números racionales 
Los números irracionales 
Cotas superiores; elemento m.áximo, cota superior mínima 
(supremo) 
El axioma de completitud 
Algunas propiedades del supremo ,/ 
Propiedades de los enteros deducidas del axioma de completitud 
La propiedad arquimediana del sistema de Jos números reales 
Los números racionales con representación decimal finita 
Aproximaciones decimales finitas de los números reales 
Representaciones decimales infinitas de los números reales 
Valor absoluto y desigualdad triangular 
La desigualdad de Cauchy-Schwarz 
Más y menos infinito y la extensión R * del sistema de los núm~ 
ros reales 
Los números complejos 
Representación geométrica de los números complejos 
La- unidad imaginaria 
Valor absoluto de un número complejo 
Imposibilidad de ordenar los números complejos 
Exponenciales complejas 
Otras propiedades de las exponenciales complejas 
El argumento de un número complejo 
Potencias enteras y raíces de números complejos 
Los logaritmos complejos 
Potencias complejas 
Senos y cosenos complejos 
Infinito y el plano complejo ampliado C* 
Ejercicios 
IX 
1 
2 
2 
4 
4 
5 
6 
8 
8 
10 
11 
12 
13 
13 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
21 
22 
22 
23 
24 
25 
25 
26 
28 
29 
30 
30 
31 
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X 
Capítulo 2 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 
Introducción 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
Capítulo 3 
3 .1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
3.10 
3.11 
3.12 
3.13 
3.14 
3.15 
3.16 
Capítulo 4 
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
Notaciones 
Pares ordenados 
Producto cartesiano de dos conjuntos 
Relaciones y funciones 
Más terminología referente a funciones 
Funciones uno a uno e inversas 
Funciones compuestas 
Sucesiones 
Conjuntos coordinables (equipotentes) 
Conjuntos finitos e infinitos 
Conjuntos numerables y no numerables 
El conjunto de Jos números reales no es numerable 
Álgebra de conjuntos 
Colecciones numerables de conjuntos numerables 
Ejercicios 
Elementos de topología en conjuntos de puntos 
Introducción 
El espacio euclídeo Rn 
Bolas abiertas y conjuntos abiertos de R" 
La estructura de los conjuntos abiertos de R 1 
Conjuntos cerrados . , 
Puntos adherentes. Puntos de acumulac1on 
Conjuntos cerrados y puntos adherentes 
Teorema de Bolzano-Weierstrass 
Teorema de encaje de Cantor 
Teorema del recubrimiento de Lindeli::if 
Teorema del recubrimiento de Heine-Borel 
Compacidad en R" 
Espacios métricos . . 
Topología en espacios métricos . , . 
Subconjuntos compactos de un espacio metnco 
Frontera de un conjunto 
Ejercicios 
Límites y continuidad 
Introducción 
Sucesiones convergentes en un espacio métrico 
Sucesiones de Cauchy 
Espacios m6lricos completos 
Límite de u1111 función 
Límites dL· f11m:iones con valores complejos 
Límites d1.: h111rio11cs con valores vectoriales 
Funciones n111ti111111s 
índice analítico 
39 
39 
39 
40 
41 
41 
42 
43 
45 
45 
46 
46 
47 
48 
49 
51 
52 
57 
57 
57 
60 
61 
63 
63 
65 
66 
68 
68 
70 
71 
73 
74 
77 
78 
78 
85 
85 
86 
88 
90 
90 
92 
93 
95 J 
Indice analítico 
4.9 
4.10 
4.11 
4 .12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
4.19 
4.20 
4.21 
4.22 
4.23 
Capítulo 5 
5.1 
5.2 
5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 
5.9 
5.10 
5.11 
5.12 
5.13 
5.14 
5.15 
5.16 
Capítulo 6 
6.1 
6.2 
6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 
La continuidad de las funciones compuestas 
Funciones complejas y funciones vectoriales continuas 
Ejemplos de funciones continuas 
Continuidad y antiimágenes de conjuntos abiertos y cerrados 
Funciones continuas sobre conjuntos compactos 
Aplicaciones topológicas (homeomorfismos) 
Teorema de Bolzano 
Conexión 
Componentes de un espacio métrico 
Conexión por arcos 
Continuidad uniforme 
Continuidad uniforme y conjuntos compactos 
Teorema del punto fijo para contracciones 
Discontinuidades de las funciones reales 
Funciones monótonas 
Ejercicios 
Derivadas 
Introducción 
Definición de derivada 
Derivadas y continuidad 
Álgebra de derivadas 
La regla de la cadena 
Derivadas laterales y derivadas infinitas 
Funciones con derivada no nula 
Derivadas cero y extremos locales 
Teorema de Rolle 
Teorema del valor medio para derivadas 
Teorema del valor intermedio para las derivadas 
Fórmula de Taylor con resto 
Derivadas de funciones vectoriales 
Derivadas parciales 
Diferenciación de funciones de una variable compleja 
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 
Ejercicios 
Funciones de variación acotada y curvas rectificables 
Introducción 
Propiedades de las funciones monótonas 
Funciones de variación acotada 
Variación total 
Propiedad aditiva de la variación total 
La variación total [a, x], como función de x 
Funciones de variación acotada expresadas como diferencia de 
dos funciones crecientes 
Funciones continuas de variación acotada 
Curvas y caminos 
XI 
9697 
97 
98 
100 
102 
102 
104 
106 
107 
109 
110 
111 
113 
115 
116 
125 
125 
125 
126 
127 
128 
129 
130 
131 
132 
132 
134 
136 
137 
138 
140 
142 
146 
153 
153 
153 
154 
156 
157 
158 
159 
159 
161 
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XII 
6.10 
6.11 
6.12 
Capítulo 7 
7.1 
7.2 
7.3 
7.4 
7.5 
7.6 
7.7 
7.8 
7.9 
7.10 
7.11 
7.12 
7.13 
7.14 
7.15 
7.16 
7.17 
7.18 
7.19 
7.20 
7.21 
7.22 
7.23 
7.24 
7.25 
7.26 
7.27 
Capítulo 8 
8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5_ 
8.6 
8.7 
8.8 
índice analítico 
Caminos rectificables y longitud de un arco 
Propiedades de aditividad y de continuidad de la longitud de arco 
Caminos equivalentes. Cambios de parámetros 
Ejercicios 
La integral de Riemann-Stieltjes 
Introducción 
Notación 
La definición de Ja integral de Riemann-Stieltjes 
Propier;lades lineales 
Integración por partes 
Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes 
Reducción de una integral de Riemann 
Funciones escalonadas como integradores 
Reducción de una integral de Riemann-Stieltjes a una suma finita 
Fórmula de sumación de Euler 
Integradores monótonos crecientes. Integrales superior e inferior 
Propieda<les aditiva y lineal de las integrales superior e inferior 
Condición de Riemann 
Teoremas de comparación 
Integradores de variación acotada 
Condiciones suficientes para la existencia de las integrales de 
Riemann-Stieltjes 
Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de 
Riemann-Stieltjes 
Teoremas del valor medio para las integrales de Riemann-Stieltjes 
La integral como función del intervalo 
El segundo teorema fundamental del Cálculo integral 
Cambio de variable en una integral de Riemann 
Segundo teorema del valor medio para integrales de Riemann 
Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro 
Derivación bajo el signo integral 
Intercambio en el orden de integración 
Criterio de Lebesgue para la existencia de las integrales de 
Riemann 
Integrales complejas de Riemann-Stieltjes 
Ejercicios 
Series infinitas y productos infinitos 
Introducción 
Sucesiones convergentes y divergentes de números complejos 
Límite superior y límite inferior de una sucesión real 
Sucesiones monótonas de números reales 
Series infinitas 
Introducción y supresión de paréntesis 
Series alternadas 
Convergencia absoluta y, condicional 
161 
163 
164 
165 
169 
169 
170 
171 
171 
174 
175 
176 
177 
179 
181 
181 
185 
186 
187 
189 
193 
194 
195 
196 
197 
199 
200 
201 
203 
203 
205 
211 
212 
223 
223 
223 
224 
225 
226 
227 
229 
230 
¡ 
J 
índice analítico 
8.9 
8.10 
8.11 
8.12 
8.13 
8.14 
8.15 
8.16 
8.17 
8.18 
8.19 
8.20 
8.21 
8.22 
8.23 
8.24 
8.25 
8.26 
8.27 
Capítulo 9 
9.1 
9.2 
9.3 
9.4 
9.5 
9.6 
9.7 
9.8 
9.9 
9.10 
9.11 
9.12 
9.13 
9.14 
9.15 
9.16 
9.17 
9.18 
9.19 
9.20 
9.21 
9.22 
9.23 
Pa~te .real y parte imaginaria de una serie compleja 
Cntenos de convergencia para las series de términos positivos 
La serie geométrica 
El criterio de la integral 
Las notaciones O grande y o pequeña 
El criterio del cociente y el criterio de Ja raíz 
Criterios de Dirichlet y de Abe! 
Sumas parciales de la serie geométrica ::::zn sobre el círculo 
unidad lzl = 1 
Reordenación de series 
Teorema de Riemann para series condicionalmente convergentes 
Series parciales 
Sucesiones dobles 
Series dobles 
Teorema de reordenación para series dobles 
Una condición suficiente para la igualdad de series reiteradas 
Multiplicación de series 
Sumabi!idad de Césaro 
Productos infinitos 
Producto de Euler para la función zeta de Riemann 
Ejercicios 
Sucesiones de funciones 
Convergencia puntual de sucesiones de funciones 
Ejemplos de sucesiones de funciones reales 
Definición de convergencia uniforme 
Convergencia uniforme y continuidad 
La condición de Cauchy para la convergencia uniforme 
Convergencia uniforme de series infinitas de funciones 
Una curva que llena todo el espacio 
Conv~rgencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes 
Suces1on~s convergentes con convergencia no uniforme que pue-
den ser integradas término a término 
Convergencia uniforme y diferenciación 
Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de series 
Convergencia uniforme y sucesiones dobles 
Convergencia en media 
Serie de potencias 
Multiplicación de series de potencias 
El teorema de sustitución 
Recíproca de una- serie de potencias 
Series reales de potencias 
Serie de Taylor generada por una función 
Teorema de Bernstein 
La serie binómica 
Teorema del límite de Abe! 
Teorema de Tauber 
Ejercicios 
XIII 
231 
231 
232 
232 
234 
235 
236 
237 
238 
240 
241 
243 
244 
245 
247 
248 
250 
252 
255 
256 
265 
265 
266 
268 
269 
270 
271 
272 
274 
275 
278 
280 
281 
282 
284 
289 
290 
291 
292 
293 
294 
297 
298 
300 
301 
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XVl índice analítico 
14.3 
14.4 
14.5 
14.6 
14.7 
14.8 
14.9 
14.10 
Capítulo 15 
15.1 
15.2 
15 .3 
15.4 
15.5 
15.6 
15 .7 
15 .8 
15.9 
Integral de Riemann de una función acotada definida en un 
intervalo compacto de Rn 
Conjuntos de medida cero y criterio de Lebesgue para la exis-
tencia de una integral múltiple de Riemann 
Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada 
Conjuntos medibles Jordan en Rn 
Integración múltiple sobre conjuntos medibles Jordan . 
El contenido de Jordan expresado como integral de Riemann 
Propiedad aditiva de la integral de Riemann 
Teorema del valor medio para integrales múltiples 
Ejercicios 
Integrales de Lebesgue múltiples 
Introducción 
Funciones escalonadas y sus integrales 
Funciones superiores y funciones integrales Lebesgue 
Funciones medibles y conjuntos medibles de R11 
Teorema de Fubini para la reducción de la integral doble de una 
función escalonada 
Algunas propiedades de los conjuntos de medida cero 
Teorema de Fubini para la reducción de integrales dobles 
Criterio de Tonelli-Hobson de integrabilidad 
Cambios de coordenadas 
15.10 Fórmula de cambio de variables en integrales múltiples 
15.11 Demostración de la fórmula de cambio de variables para trans-
formaciones lineales de coordenadas 
15 .12 Demostración de la fórmula de cambio de variables para la fun-
ción característica de un cubo compacto 
15.13 Complemento de la demostración de la fórmula de cambio de va-
riables 
Capítulo 16 
16.1 
16.2 
16.3 
16.4 
16.5 
16.6 
16.7 
16.8 
16.9 
16.10 
16 .11 
16.12 
Ejercicios 
Teorema de Cauchy y cálculo de residuos 
Funciones analíticas 
Caminos y curvas en el plano complejo 
Integrales de contorno 
La integral a lo largo de caminos circulares expresada en fun-
ción del radio 
El teorema de la integral de Cauchy para un círculo 
Curvas homotópicas 
Invariancia de las integrales de contorno en las homotopías 
Forma general del teorema de la integral de Cauchy 
Fórmula de la integral de Cauchy 
Número de giros de un ci.rcuito con respecto a un punto 
La no acotación del conjunto de puntos con número de giros 
igual a cero 
Funciones analílicas definidas por integrales de contorno 
472 
475 
475 
480 
482 
483 
484 
486 
488 
491 
491 
492 
493 
494 
497 
499 
501 
504 
505 
511 
511 
514 
521 
523 
527 
527 
528 
529 
532 
533 
534 
536 
538 
539 
540 
542 
544 
índice analítico 
16.13 
16.14 
16.15 
16.16 
16.17 
16.18 
16.19 
16.20 
16.21 
16.22 
16.23 
16.24 
16.25 
16.26 
16.27 
Desarrollo en serie de potencias de las funciones analíticas 
Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville 
Separación de los ceros de una función analítica 
El teorema de identidad para funcionesanalíticas 
Módulos máximo y mínimo de una función analítica 
El teorema de la aplicación abierta 
Desarrollos de Laurent para funciones analíticas en un anillo 
Singularidades aisladas 
Residuo de una función en un punto singular aislado 
Teorema de Cauchy del residuo 
Números de ceros y de polos en una región 
Cálculo de integrales reales por medio de residuos 
Cálculo de la suma de Gauss por el método de los residuos 
Aplicación del teorema del residuo a la fórmula de inversión 
para transformadas de taplace 
Aplicaciones conformes 
Ejercicios 
Índice de símbolos especiales 
Índice alfabético 
XVII 
546 
548 
549 
551 
551 
553 
554 
557 
559 
560 
561 
562 
565 
570 
572 
575 
585 
589 
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