Raciocínio Lógico AFRFB AULA 06 Aritmética

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RACIOCíNIO LóGICO QUANTITATIVO P/ AFRFB 2016
Prof. Alex Lira
AULA 06
 
 
 
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Curso de Raciocínio Lógico para AFRFB – 2016 
Teoria e questões comentadas 
Prof. Alex Lira – Aula 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Raciocínio Matemático – Parte 1 
 
SUMÁRIO 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................ 2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................... 3 
1. Conceito ....................................................................................... 3 
2. Números Naturais .......................................................................... 3 
3. Números Inteiros........................................................................... 4 
4. Números Racionais ........................................................................ 4 
5. Operações com Números decimais ................................................. 18 
6. Dízimas Periódicas ....................................................................... 19 
7. Números Irracionais ..................................................................... 24 
8. Números Reais ............................................................................ 24 
9. Potenciação ................................................................................ 24 
10. Expressões Numéricas ................................................................ 30 
11. Números primos e fatoração ....................................................... 41 
12. Múltiplos e Divisores .................................................................. 42 
13. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ................................................... 46 
14. Máximo Divisor Comum (MDC) .................................................... 50 
OUTRAS QUESTÕES COMENTADAS .................................................... 55 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................. 76 
LISTA DE QUESTÕES ....................................................................... 77 
 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 
Olá, meus amigos e minhas amigas!!! 
Sejam todos bem-vindos à AULA 6 do nosso curso de RACIOCÍNIO 
LÓGICO-QUANTITATIVO para AUDITOR-FISCAL DA RECEITA 
FEDERAL DO BRASIL! 
Na última aula encerramos os tópicos relacionados à lógica 
propriamente dita. 
Hoje daremos início à famigerada Matemática Básica, que tem sido 
cada vez mais explorada em provas de concursos públicos. 
Vamos estudar os seguintes assuntos, no âmbito do denominado 
Raciocínio Matemático: 
 Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação); 
 Expressões numéricas; 
 Múltiplos e divisores de números naturais; problemas; 
 Frações e operações com frações. 
Vou aproveitar e falar um pouco de outros tópicos relacionados aos 
descritos acima. Ok? 
Na realidade, para você que chegou até aqui, esses são assuntos já 
foram vistos durante o seu ensino fundamental, de maneira que não se 
tratam de “novidade”. Entretanto, as bancas examinadoras são muito 
mais criativas e maldosas do que os livros didáticos em que estudamos 
esses assuntos há uns bons anos atrás. 
Como das outras vezes, fique tranquilo, pois através da teoria 
esmiuçada e detalhada, junto com boas doses de questões 
comentadas, você se tornará um concurseiro ainda mais 
qualificado! 
 
Tenha uma excelente aula!!! 
 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
1. Conceito 
Chamamos de conjuntos numéricos as principais classificações dos 
números conhecidos. Vejamos cada um deles. 
 
2. Números Naturais 
Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais 
intuitivos, de “contagem natural”. Simbolizamos por um Ν (n 
maiúsculo). Ele é formado por todos os números inteiros não negativos. 
Ν = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
Um importante subconjunto de Ν é chamado de Ν* e é dado por todos 
os números naturais estritamente positivos, ou seja, o conjunto Ν 
excluindo-se o zero. 
Ν* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
Em relação aos números naturais, é muito importante que tenhamos 
em mente os seguintes conceitos básicos: 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 
3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 
2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. 
Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o 
primeiro número desse conjunto. 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5, 4} não são. E {n-1, 
n e n+1} são números consecutivos. 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, 
ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é 
par. 
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e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 
2, deixam resto 1. 
 
3. Números Inteiros 
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Simbolizamos por um Ζ (z maiúsculo). 
Ζ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
Três importantessubconjuntos de Ζ são: Ζ*, dado por todos os 
números inteiros diferentes de zero, ou seja, o conjunto Ζ 
excluindo-se o zero; Ζ+, dado por todos os números inteiros não 
negativos (Ζ+ = Ν) e Ζ-, dado por todos os números inteiros não 
positivos. 
Ζ* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} 
Ζ+ = {0, 1, 2, 3, 4...} = Ν 
Ζ- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} 
 
4. Números Racionais 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados 
na forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles 
números que podem ser escritos na forma 
𝑎
𝑏
 (lê-se: a dividido por b), 
onde a e b são números inteiros. 
É importante salientar que o zero também faz parte dos Números 
Racionais, pois é plenamente possível escrever 
0
1
. Porém, quando 
escrevemos um número racional na forma 
𝑎
𝑏
, o denominador (isto é, o 
número B) nunca é zero. 
Porque isso acontece mesmo, professor? 
Isso ocorre porque a divisão de um número por zero é impossível 
(exceto 
0
0
, cujo valor é indeterminado). 
No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
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Ainda nessa aula daremos atenção a cada um desses tipos de números 
racionais. 
 
4.1. Operações com Números Racionais 
As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números 
são: Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
a) Adição: 
Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação 
de adição é denominado soma ou total. 
(1ª parcela) + (2ª parcela) = soma 
 
Por exemplo, a adição de 12 e 7 é: 
12 + 7 = 19 
Como disse a você no início de nosso curso, parto da premissa que 
vocês não tiveram contato com os conteúdo que estamos vendo ou que 
já faz muito tempo que não têm a oportunidade de estudá-los. 
Inclusive, por uma questão de facilitar a nossa vida, usaremos números 
inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também racionais. 
Assim, pergunto: está lembrado como se efetua a soma de dois 
números? 
Vamos exercitar efetuando a soma 246 + 48. Primeiramente, você deve 
posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita 
(casa das unidades): 
 
 
A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 6 + 
8 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) 
no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima 
soma: 
Números Racionais
Frações
𝟓
𝟑
Números Decimais 2,75
Dízimas Periódicas 0,333...
246 
+ 48 
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Agora, devemos somar os dois próximos números (4 + 4), e adicionar 
também o número que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 9. 
Devemos colocar este número no resultado: 
 
 
 
Temos ainda o algarismo 2 na casa das centenas do número 246. Visto 
que o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 
 
 
Ufa! Chegamos ao resultado final da adição. 
Nesse momento, é bem apropriado que conhecermos as principais 
propriedades da operação de adição. 
 
b) Subtração 
Efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, 
o valor do outro. 
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
 d
a
 A
d
iç
ã
o
Comutatividade
A ordem das parcelas não 
altera o resultado.
(a + b = b +a)
Associatividade
(A + B) + C
=
A + (B + C)
Elemento Neutro
O zero é o elemento neutro 
da adição.
0 + a = a + 0 = a
Fechamento
A soma de dois números 
racionais SEMPRE gera 
outro número racional.
246 
+ 48 
4 
1 
246 
+ 48 
94 
246 
+ 48 
94 
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O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo 
é o subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado 
resto ou diferença. 
(Minuendo) – (Subtraendo) = Resto 
 
Vamos juntos realizar a subtração abaixo com a finalidade de relembrar 
o método para a subtração de números racionais. Efetuemos a 
operação 264 - 86: 
 
 
Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, 
alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a subtração a 
partir da casa das unidades. Como 4 é menor do que 6, não podemos 
subtrair 4 – 6. 
Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da casa das dezenas de 264. 
Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que 
somadas a 4 chegam a 14 unidades. Agora sim podemos subtrair 14 – 
6 = 8, e anotar este resultado: 
 
 
 
Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 
8, e não 6 – 8, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 8, devemos novamente “pegar” uma 
unidade da casa das centenas de 264, e somar ao 5. Assim, teremos 
15 – 8 = 7. Vamos anotar este resultado: 
 
 
 
Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais 
um 2 na casa das centenas de 264, e sim 1, pois já usamos uma 
unidade na operação anterior. Já que 86 não tem casa das centenas, 
basta levarmos este 1 para o resultado: 
 
 
Por outro lado, caso quiséssemos efetuar a subtração 86 – 264, 
deveríamos fazer o seguinte, considerando que 86 é menor que 264: 
264 
 - 86 
264 
- 86 
8 
264 
- 86 
78 
264 
- 86 
178 
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- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 264 - 
86; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
Desta forma, 86 – 264 = -178. 
Vejamos as principais propriedades da operação de subtração: 
 
 
c) Multiplicação 
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado 
da operação é denominado produto. 
(1º fator) x (2º fator) = produto 
 
O primeiro fator pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo 
fator pode ser chamado multiplicador. 
A multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por 
exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes 
(15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... 
+ 3). 
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
 d
a
 S
u
b
tr
a
ç
ã
o
Não é 
Comutativa
A ordem das parcelas altera 
o resultado.
(a - b ≠ b - a)
Não é Associativa
(A - B) - C
≠
A - (B - C)
Elemento Neutro
Não existe elemento neutro 
na subtração, pois:
a - 0 ≠ 0 - a
Fechamento
A subtração de dois números 
racionais SEMPRE gera outro 
número racional.
Elemento Oposto
Para todo número racional 
A, existe também o seu 
oposto, com sinal contrário, 
isto é, -A.
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Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 
 
Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 8 x 4 = 32. Deixamos o 
algarismo das unidades (2) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (3) para a próxima operação: 
 
 
 
 
Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo 
número (4) pelo número das dezenas do primeiro número: 4 x 6 = 24. 
Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 3 que 
veio da operação anterior: 24 + 3 = 27. Assim, temos: 
 
 
 
Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (2) pelo algarismo das unidades do primeiro número (8): 2 x 
8 = 16. Devemos levar o algarismo das unidades (6) para o resultado, 
logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (2), e 
levamos o algarismo das dezenas (1) para a próxima operação. Veja: 
 
 
 
 
A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (2) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (6): 2 x 6 
= 12. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 1 
que veio da operação anterior: 12 + 1 = 13. Assim, temos: 
 
 
 
Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 
68 
x 24 
272 
1 
6 
68 
 x 24 
68 
x 24 
2 
3 
68 
x 24 
272 
68 
x 24 
272 
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REGRAS DE SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO 
- A multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado 
positivo; 
- A multiplicação de números de sinais diferentes tem 
resultado negativo. 
 
Por fim, vejamos as principais propriedades da operação de 
multiplicação: 
 
d) Divisão 
Na divisão de um número n por outro d (d ≠ 0), existirá um único par 
de números q e r, tais que: 
I) q x d + r = n 
II) 0 ≤ r < d 
P
r
o
p
r
ie
d
a
d
e
s
 d
a
 M
u
lt
ip
li
c
a
ç
ã
o
Comutatividade
A ordem dos fatores não 
altera o resultado.
(a x b) = (b x a)
Associatividade
(A x B) x C
=
A x (B x C)
Elemento Neutro
O número 1 é o elemento 
neutro da multiplicação.
1 x a = a x 1 = a
Fechamento
A multiplicação de dois 
números racionais SEMPRE 
gera outro número 
racional.
Distributividade
A x (B + C)
=
(A x B) + (A x C)
68 
x 24 
272 
+ 136 
 408 
 
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Os quatro números envolvidos na divisão são: 
n = dividendo; 
d = divisor 
q = quociente; 
r = resto. 
 
 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
Na realidade, meu caro aluno, quando dividimos A por B, queremos 
repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um 
total de B partes. Veja um exemplo disso. Ao dividirmos 20 por 4, 
queremos dividir 20 em 4 partes de mesmo valor. No caso, 20 ÷ 4 = 
5. 
Agora chegou o momento de relembrarmos como efetuar a operação 
de divisão, com o seguinte caso: 715 dividido por 18. 
 
 
Neste caso, como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir 
as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 
= 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
 
 
Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
 
 
 
Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
 
 
 
 
715 18 
715 18 
3 
715 18 
3 -54 
17 
715 18 
3 -54 
175 
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Ao dividir 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
 
 
 
 
 
Nesse momento, temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). 
Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 
e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela 
deixou um resto. 
Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) 
pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
É importante salientar que as regras de sinais na divisão de 
números racionais são as mesmas da multiplicação. 
 
 
QUESTÃO 01 (FCC – TRT/24ª – 2011) 
Nicanor deveria efetuar a divisão de um número inteiro e positivo N, 
de três algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, 
invertendo as posições dos dígitos extremos e mantendo o seu dígito 
central. Assim, ao efetuar a divisão do número obtido por 63, obteve 
quociente 14 e resto 24. 
Nessas condições, se q e r são, respectivamente, o quociente e o 
resto da divisão de N por 63, então: 
a) q + r = 50. 
b) r < 40. 
c) q < 9. 
d) r é múltiplo de 4. 
e) q é um quadrado perfeito. 
COMENTÁRIOS: 
Nessa questão será muito importante lembrar que... 
 
715 18 
39 -54 
175 
-162 
13 
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Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
Vamos chamar de M o número que foi utilizado por engano, isto é, o 
número N com os dígitos extremos trocados. Sabemos que M dividido 
por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo, 
M = 63*14 + 24 
M = 882 + 24 = 906 
Se M = 906, N deve ser 609, pois é necessário trocar os algarismos 
das extremidades. 
Dividindo N por 63, temos: 
 
 
 
Isto é, q = 9 e r = 42. Analisando as opções de respostas, chegamos 
à conclusão de que apenas a letra E está correta, pois sabemos que 9 
é um quadrado perfeito (isto é, a raiz quadrada de 9 é um número 
inteiro, neste caso 3). 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
4.2. Operações com Frações 
Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração a 
expressão de um número racional na forma 
𝒂
𝒃
. 
Numa fração 
𝒂
𝒃
 dizemos que o número a é o numerador da fração e o 
número b é o denominador. 
As frações podem ser classificadas em: 
609 63 
9 42 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Na realidade, meus amigos, frações nada mais são que operações 
de divisão. Por exemplo, podemos escrever 
35
 como sendo 3 ÷ 5. 
Você perceberá que as frações estão constantemente presentes 
nas mais diversas questões de concursos, razão pelo qual é 
essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
4.2.1. Adição e Subtração de Frações 
Para somar ou subtrair frações, precisamos levar em conta dois casos 
distintos: 
 1º caso: Os denominadores são iguais. 
Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os 
numeradores. 
Considere o seguinte exemplo: 
3
20
+
5
20
−
7
20
= 
3 + 5 − 7
20
=
1
20
 
 
 2º caso: Os denominadores são diferentes. 
Nessa situação, é preciso antes escrever as frações com o mesmo 
denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
denominadores das frações originais. 
C
la
s
s
if
ic
a
ç
ã
o
 d
a
s
 F
r
a
ç
õ
e
s
Próprias
Valor absoluto do numerador 
é não nulo e menor que o 
denominador.
Ex: 
𝟑
𝟒
e 
𝟐
𝟓
Impróprias
Valor absoluto do numerador 
é maior que o denominador.
Ex: 
𝟒
𝟑
e 
𝟓
𝟐
Aparentes
O numerador é igual ou 
múltiplo do denominador.
Ex: 
𝟒
𝟒
e 
𝟏𝟎
𝟓
Equivalente
s
Representam a mesma parte
do inteiro.
Ex: 
𝟏
𝟐
e 
𝟐
𝟒
Irredutíveis
O numerador e o 
denominador são números 
primos entre si.
Ex: 
𝟏𝟏
𝟑
e 
𝟕
𝟓
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Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas 
o básico. 
Vamos entender isto com o exemplo abaixo: 
1
6
+
3
8
 
É preciso pensar em um número que seja múltiplo de 6 e de 8 ao 
mesmo tempo. Que número seria, meu caro aluno? 
Com certeza é o número 24, visto que é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 
24) e de 8 (pois 8x3 = 24). 
Para trocar o denominador da fração 
1
6
 para 24, é preciso multiplicar o 
denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o numerador 
1 por 4, para manter a fração. Logo: 
1
6
=
4
24
 
Já para trocar o denominador da fração 
3
8
 para 24, é preciso multiplicar 
o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Logo: 
3
8
=
9
24
 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1
6
+
3
8
=
4
24
+
9
24
=
4 + 9
24
=
𝟏𝟑
𝟐𝟒
 
 
4.2.2. Multiplicação de Frações 
Para multiplicar duas ou mais frações, basta: 
1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o numerador do 
resultado; 
2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o denominador do 
resultado. 
Por exemplo: 
2
5
 .
3
4
 .
1
6
= 
2 . 3 .1
5 . 4 . 6
=
𝟔
𝟏𝟐𝟎
 
Você pode ainda simplificar a fração encontrada acima, dividindo 
tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número. No 
caso, 6 é o maior número que divide 6 e 120 ao mesmo tempo. Daí, 
teremos: 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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𝟔 ÷ 𝟔
𝟏𝟐𝟎 ÷ 𝟔
=
𝟏
𝟐𝟎
 
 
4.2.3. Divisão de Frações 
Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo inverso da 
segunda. Deu para entender? Isso fica ainda mais claro por meio do 
seguinte exemplo: 
2
3
5
7
=
2
3
÷
5
7
=
2
3
 .
7
5
=
2 . 7
3 . 5
=
𝟏𝟒
𝟏𝟓
 
 
 
Trabalhando com frações, normalmente podemos 
substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja 
alguns exemplos: 
Quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 
1
3
 . 𝟏𝟎𝟎𝟎. 
Quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 
2
7
 . 𝟐𝟓. 
 
4.2.4. Número Misto 
Número misto refere-se à soma de um número inteiro com uma 
fração própria, geralmente representado sem o sinal de adição, ou 
seja: 
4 +
1
6
= 𝟒
𝟏
𝟔
 
É importante mencionar que os números mistos podem ser 
transformados em frações impróprias e vice-versa. Para isso, 
multiplica-se o número inteiro pelo denominador e ao resultado soma-
se o numerador, obtendo-se assim, o numerador da fração. Por sua 
vez, o denominador será o próprio denominador da fração dada. 
Exemplos: 
a) 2
1
4
=
2 .4+1
4
=
9
4
 b) 5
2
3
=
5 .3+2
3
=
17
3
 c) 4
1
2
=
4 .2+1
2
=
9
2
 
Quanto à transformação de uma fração imprópria em número misto, 
deve-se dividir o numerador pelo denominador. Nessa situação, o 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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quociente representa a parte inteira, o resto é o numerador e o 
divisor é o denominador da fração própria! 
Isso ficará mais claro ao observarmos o exemplo a seguir: 
32
5
 → → 6
2
5
 
 
 
4.2.5. Frações Equivalentes 
Em termos bem simples, frações equivalentes são aquelas que 
correspondem ao mesmo valor, ou querem dizer a mesma coisa! 
 
 
Duas frações 
𝒂
𝒃
 e 
𝒄
𝒅
 serão equivalentes se, e somente se, 
o produto dos seus extremos for igual ao produto dos 
seus termos médios. 
 
 
 
QUESTÃO 02 (ESAF - TFC/CGU/2001) 
Achar uma fração equivalente a 7/8 cuja soma dos termos é 120. 
a) 52/68 b) 54/66 c) 56/64 d) 58/62 e) 60/60 
COMENTÁRIOS: 
Para encontrar uma fração equivalente, multiplicamos “em cima 
e em baixo” pelo número k. Logo: 
7
8
=
7. 𝑘
8. 𝑘
 
Porém, para que a soma dos termos seja igual a 120, fazemos: 
7. 𝑘 + 8. 𝑘 = 120 
15𝑘 = 120 
𝑘 =
120
15
= 8 
32 5 
6 2 
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Daí, a fração equivalente será: 
7
8
=
7. 𝑘
8. 𝑘
=
7 . 8
8 . 8
=
𝟓𝟔
𝟔𝟒
 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
5. Operações com Números decimais 
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que 
possuem “casas após a vírgula”. 
A manipulação deles é essencial para a resolução de diversas questões, 
motivo pelo qual você precisa saber as operações que podem surgir 
com eles. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
5.1. Adição e Subtração de Números Decimais 
A adição de dois números decimais funciona da mesma forma da 
adição comum. Logo: 
 Os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com 
a vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas 
correspondentes uma embaixo da outra 
 As casas correspondentes devem ser somadas/subtraídas, 
começando da direita para a esquerda. 
 À medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição/subtração (das casas logo à 
esquerda). 
 No caso específico da subtração, devemos, além de igualar as 
casas à direitada vírgula, completar com zeros quando 
necessário. Por exemplo: 
 
 
 
 
5.2. Multiplicação de Números Decimais 
Devemos aplicar o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com o seguinte alerta: 
 
5,400 
- 2,317 
3,083 
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Na multiplicação de números decimais, o número de 
casas decimais do resultado será igual à soma do 
número de casas decimais dos dois números sendo 
multiplicados. 
 
5.3. Divisão de Números Decimais 
Temos de considerar dois casos: 
 1º caso: Divisão de um número decimal por um número 
inteiro. 
Deve ser feita como a de dois números inteiros e, no quociente, a 
vírgula deve ser posicionada deixando o mesmo número de casas 
decimais que houver no dividendo. 
 2º caso: Divisão de um número qualquer por um decimal. 
1) Igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor; 
2) Cancelar as vírgulas dos dois números, por multiplicar ambos os 
números (divisor e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 
1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes, obtendo dois números inteiros; 
3) Efetuar a divisão dos dois números inteiros normalmente. 
 
6. Dízimas Periódicas 
Dízima periódica é um número decimal da forma: 
A,ppp... OU A,Bppp... 
Em que: 
 A é uma sequência de algarismos que ocorre antes da vírgula: 
 p é uma sequência de algarismos que vem depois da vírgula e se 
repete infinitamente, sendo chamada período da dízima; 
 B é uma sequência de algarismos que vem depois da vírgula, 
mas não se repete infinitamente. 
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 
 
 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também 
podem ser escritas na forma 
𝑎
𝑏
. 
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6.1. Geratriz de uma dízima periódica 
A fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica é 
denominada fração geratriz. 
Como podemos determinar a fração geratriz de uma dízima? Vejamos 
cada situação isoladamente: 
 Dízima simples: 
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para 
numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem 
os algarismos do período. 
Exemplos: 
 
 
 Dízima composta: 
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma 
𝑛
𝑑
 , onde 
n é a parte não periódica seguida do período, menos a 
parte não periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos do período 
seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos 
da parte não periódica. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
QUESTÃO 03 (ESAF – Agente Executivo/SUSEP/2006) 
Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233... 
a) 723/99 b) 723/90 c) 716/99 d) 716/90 e) 651/90 
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COMENTÁRIOS: 
Esse é um caso de dízima composta. E vimos que a geratriz de uma 
dízima composta é uma fração da forma 
𝑛
𝑑
 , onde 
n é a parte não periódica seguida do período, menos a 
parte não periódica. 
d tantos noves quantos forem os algarismos do período 
seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos 
da parte não periódica. 
 
Logo: 
𝟕, 𝟐𝟑𝟑 … =
723 − 72
90
=
𝟔𝟓𝟏
𝟗𝟎
 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
QUESTÃO 04 (ESAF/TJ-CE/Auxiliar Judiciário/2002) 
Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação 
decimal? 
a) 2.521/990 b) 2.546/999 c) 2.546/990 d) 2.546/900 e) 2.521/999 
COMENTÁRIOS: 
Devemos determinar a fração que dá origem à dízima trazida na 
questão, ou seja, precisamos definir a fração geratriz! Para isso, 
vamos seguir os seguintes passos: 
1) Escrever tudo na ordem, sem vírgula e sem repetir: 2546 
2) Subtrair, no numerador, tudo o que não se repete, na ordem e sem 
vírgula: 
𝟐𝟓𝟒𝟔 − 𝟐𝟓 
3) Colocar, no denominador, o valor “9” para cada item que se repete 
(visto que temos 4 e 6, então vai ser dois "9") e inserir o valor "0" para 
os intrusos, isto é, os algarismos da parte não periódica (temos o 5, 
logo introduziremos apenas um número 0): 
2546 − 25
990
=
𝟐𝟓𝟐𝟏
𝟗𝟗𝟎
 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
 
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QUESTÃO 05 (CESPE - ATA/MIN/2013) 
Julgue o seguinte item, relativo a sistemas numéricos e sistema legal 
de medidas. 
Se A = 1,232323... e B = 0,434343..., então A + B = 
𝟏𝟔𝟓
𝟗𝟗
 . 
COMENTÁRIOS: 
Precisamos converter cada dízima periódica na sua fração geratriz. E 
vou mostrar a você outro método para encontrar! 
Primeiro chamamos o número original de A: 
A = 1,232323... 
Agora multiplicamos cada lado por uma determinada quantidade 
de potência de 10, a fim de andarmos com a vírgula. Vamos 
multiplicar por 100: 
100. 𝐴 = 123,2323 … 
Em seguida, subtraímos as duas quantias acima: 
100. 𝐴 − 𝐴 = 123,23 … − 1,23 … 
99. 𝐴 = 122 
𝑨 =
𝟏𝟐𝟐
𝟗𝟗
 
Seguindo o mesmo raciocínio, temos: 
𝐵 = 0,434343 … 
Vamos multiplicar por 100: 
100. 𝐵 = 43,4343 … 
Subtraindo as duas quantias: 
100. 𝐵 − 𝐵 = 43,43 … − 0,43 … 
99𝐵 = 43 
𝑩 =
𝟒𝟑
𝟗𝟗
 
Agora somamos: 
𝐴 + 𝐵 =
122
99
+
43
99
=
𝟏𝟔𝟓
𝟗𝟗
 
Portanto, o item está certo. 
 
Questão 06 (FCC - Analista/CVM/Sistemas/2003) 
X e Y são dois números naturais compreendidos entre 12 e 32. Ao 
efetuarmos a divisão de X por Y em uma calculadora obtivemos como 
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resultado o número 1,1818182. Podemos afirmar então que o valor 
de X+Y é igual a 
a) 25 b) 29 c) 48 d) 52 e) 53 
COMENTÁRIOS: 
O número 1,1818182 é, na verdade, a seguinte dízima periódica (a 
calculadora arredonda o último número a partir de uma determinada 
quantidade de algarismos, por isso aparecer o 2 ao final): 
1,18... 
Vamos encontrar a geratriz dessa dízima. Seja: 
𝐴 = 1,18 … 
Multiplicamos por 100: 
100. 𝐴 = 118,18 … 
Subtraímos as duas quantias: 
100. 𝐴 − 𝐴 = 118,18 … − 1,18 … 
99. 𝐴 = 117 
𝑨 =
𝟏𝟏𝟕
𝟗𝟗
 
 
Mas, de acordo com a questão, x e y devem estar entre 12 e 32. 
Vamos tentar simplificar a fração acima. Veja que os dois números são 
divisíveis por 3. Logo: 
𝑨 = 𝟏, 𝟏𝟖 … =
𝟏𝟏𝟕
𝟗𝟗
=
𝟑𝟗
𝟑𝟑
 
Ainda temos dois números fora do intervalo definido pela questão. E 
eles continuam sendo divisíveis por 3.Então: 
𝑨 = 𝟏, 𝟏𝟖 … =
𝟏𝟏𝟕
𝟗𝟗
=
𝟑𝟗
𝟑𝟑
=
𝟏𝟑
𝟏𝟏
 
Agora um deles está dentro do intervalo exigido, e o outro não. 
Teremos de multiplicar em cima e em baixo por 2. Veja: 
𝑨 = 𝟏, 𝟏𝟖 … =
𝟏𝟏𝟕
𝟗𝟗
=
𝟑𝟗
𝟑𝟑
=
𝟏𝟑
𝟏𝟏
=
𝟐𝟔
𝟐𝟐
 
Pronto! x = 26 e y = 22. Fazendo a soma, temos: 
𝑥 + 𝑦 = 26 + 22 = 48 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
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7. Números Irracionais 
Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos Racionais, 
não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros. Isto porque 
esses números são formados por uma seqüência infinita de 
algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2 e do algarismo 
3, nos deparamos com números irracionais: 
 
Da mesma forma, o conhecido número π (“pi”), muito utilizado na 
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como 
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
𝜋 = 3,1415926535. .. 
 
8. Números Reais 
O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números 
Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, 
que está contido no dos Racionais, que está contido no dos 
Reais. 
E, além disso: 
O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos 
Números Reais. 
Quanto ás operações dos números reais, são as mesmas estudadas 
para os números racionais. 
 
9. Potenciação 
Inicialmente preciso alertar você para o fato de que o presente tópico 
não costuma cair de maneira isolada nos concursos públicos. Vale dizer, 
dificilmente você encontrará uma questão de prova cobrando 
unicamente o conhecimento sobre potenciação. Apesar disso, são 
importantes, porque são ferramentas essenciais na resolução de outros 
tipos de problemas. 
No início do ensino fundamental você aprendeu que a multiplicação 
nada mais é que uma soma de várias parcelas iguais. Por exemplo: 
5 + 5 + 5 + 5 = 𝟓 𝐱 𝟒 
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Da mesma forma, a potência é uma forma abreviada para uma 
multiplicação de vários fatores iguais. Observe: 
𝟐 . 𝟐 . 𝟐 . 𝟐 = 𝟐𝟒 
Ou: 
𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 
 
 
A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores 
iguais. 
 
No caso apresentado, temos um potência na qual o número 2 é a base 
e 4, o expoente. Logo, a base é o número que está sendo multiplicado, 
ao passo que o expoente indica quantos fatores iguais a este número 
serão usados. 
 
 
Na potenciação, multiplicamos a base por ela mesma 
quantas vezes mandar o expoente! 
 
9.1. Propriedades 
As propriedades que veremos a partir de agora nos auxiliarão a agilizar 
os cálculos das potências. Basicamente, temos 3 (três) casos em que 
toda potência se encaixa. Analisemos cada um separadamente. 
 
9.1.1. Potência de um Número Real com Expoente Natural 
De modo geral, sendo a um número real e n um número natural, tal 
que n > 1, teremos: 
𝒂𝒏 = 𝒂 . 𝒂 . 𝒂 . … . 𝒂 
 
(n vezes) 
 
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Não se deve multiplicar a base pelo expoente! Na 
verdade, como já dito, o expoente representa apenas o 
número de vezes em que a base é tomada como fator, 
mas não é, ele próprio, um fator. 
 
Perceba que a definição acima não tem sentido para os casos a1 e a0, 
pois não há como falar em multiplicação de um único fator ou de 
nenhum. Apesar disso, é bom ter em mente as regras que se aplicam 
a esses casos: 
 Expoente igual a 1: A potência será sempre igual à base. 
 Expoente nulo (=0): A potência será sempre igual a 1. (Não 
se define a potência 00.) 
Outras duas situações que merecem destaque referem-se às potências 
cujas bases são igual a 0 ou igual a 1. Nesses casos, aplicaremos o 
seguinte: 
 Base igual a 1: A potência será sempre igual a 1. 
o Isto acontece porque o número 1, multiplicado por ele 
mesmo, sempre dará resultado 1, não importa quantas 
vezes se realize a multiplicação. 
 Base nula (=0): A potência será sempre igual a 0. (Não se 
define a potência 00.) 
o Chegamos a essa regra porque quando multiplicamos o 
número 0 por ele mesmo, não importa quantas vezes o 
façamos, o resultado sempre será 0. 
 
Quanto ao sinal da potência, temos as seguintes regras: 
1) Quando o expoente é um número par, a potência será sempre um 
número positivo. 
Exemplos 
52 = 5 . 5 = 25 
(-4)2 = (-4) . (-4) = 16 
(Tudo que está dentro do parêntese está sendo elevado ao quadrado) 
 
2) Quando o expoente é um número ímpar, a potência terá sempre 
o mesmo sinal da base. 
 
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Exemplos 
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 
(-6)3 = (-6) . (-6) . (-6) = -216 
 
3) Quando um número inteiro negativo com expoente par ou ímpar 
não estiver entre parênteses a potência será sempre negativa. 
Exemplo 
-32 = -(3 . 3) = -9 
(Perceba que apenas o número 3 está sendo elevado ao quadrado) 
 
9.1.2. Potência de um Número Real com Expoente Negativo 
Considere a um número real (a ≠ 0) e n um número inteiro negativo. 
Nesse caso, temos: 
𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
 
 
Ou seja, a presente propriedade indica que, se o expoente for 
negativo, podemos inverter a base e trocar o sinal do expoente. 
Exemplo 
5−2 =
1
52
=
1
25
 
 
9.1.3. Potência com Expoente Racional 
Quando tivermos uma potência com expoente fracionário do tipo 𝒂
𝒎
𝒏 , 
com a  +, n  , m > 0, pode ser representada na forma: 
𝒂
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
𝒏
 
Ou seja, a base torna-se o radicando, o numerador do expoente torna-
se o expoente do radicando, o denominador do expoente torna-se o 
índice do radical. 
Exemplo 
5
2
3 = √52
3
 
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9.2. Operações 
1) Multiplicação de potências de mesma base: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes: 
𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
 
Considere a seguinte multiplicação de potências: (33) . (32). Dentro 
do primeiro parêntesis, devemos repetir a base “3” três vezes. No 
segundo parêntesis, repetimos a base duas vezes: 
= (3 . 3 . 3) . (3 . 3) 
= (3 . 3 . 3 . 3 . 3) 
Agora multiplicamos o “3” por cinco vezes. Isso significa que temos 
uma potência de base 3 e expoente 5. 
= 35 
Portanto, o expoente final (=5) foi a soma dos expoentes inicias (2 + 
3). 
2) Divisãode potências de mesma base: Conserva-se a base e 
subtraem-se os expoentes: 
𝒂𝒎 ÷ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 
 
Considere agora a seguinte divisão de potências: (55) ÷ (53). Dentro 
do primeiro parêntesis, devemos repetir a base “5” cinco vezes. No 
segundo parêntesis, repetimos a base três vezes: 
= (5 . 5 . 5 . 5 . 5) ÷ (5 . 5 . 5) = (5 . 5) = 52 
Note que o expoente final (=2) foi a diferença entre os expoentes 
iniciais (5 - 3). 
3) Potência de potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes: 
(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎 . 𝒏 
 
Tomemos o seguinte caso para exemplificar: (𝟑𝟐)𝟑. Repare que o 
expoente 3 indica que a base será multiplicada por si mesma, três 
vezes: 
= (32) . (32) . (32) 
Em seguida, utilizamos a 1ª operação. Ou seja, basta conservar a base 
e somar os expoentes: 
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= 32+2+2 = 32.3 = 𝟑𝟔 
Assim, o expoente final (=6) foi o produto dos expoentes iniciais (=2 . 
3). 
4) Multiplicação de potências de bases diferentes e expoentes 
iguais: Conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases: 
𝒂𝒎. 𝒃𝒎 = (𝒂. 𝒃)𝒎 
 
Por exemplo, considere a seguinte multiplicação de potências: 32 . 22. 
Nesse caso, teremos: 
= (3 . 3) . (2 . 2) = (3 . 2) . (3 . 2) = (3 . 2)2 
5) Divisão de potências de bases diferentes e expoentes iguais: 
Conserva-se o expoente e dividem-se as bases: 
𝒂𝒎
𝒃𝒎
= (
𝒂
𝒃
)
𝒎
 
Por exemplo, considere a seguinte divisão de potências: 13 ÷ 33. Nesse 
caso, teremos: 
= (1 . 1 . 1) ÷ (3 . 3 . 3) = (1 ÷ 3) . (1 ÷ 3) . (1 ÷ 3) = (1 ÷ 3)3 
6) Soma e subtração de potências: Não existem regras específicas 
para este caso. Assim, simplesmente calcula-se o valor de cada 
portência e efetua-se as operações indicadas. 
Por exemplo, observe a resolução da seguinte operação entre 
potências: 
23 + 25 = 8 + 32 = 𝟒𝟎 
7) Comparação entre potências: Temos dois casos a considerar: 
 1º caso: A base é maior do que um (a > 1). 
 am > an, se m > n. 
 am < an, se m < n. 
Exemplos 
104 > 102 ; 36 > 33 ; 55 < 57 
 
 2º caso: A base está compreendida entre zero e um (0 < a < 1). 
 am > an, se m < n. 
 am < an, se m > n. 
Exemplos 
(
2
3
)
3
> (
2
3
)
5
 ; (
1
4
)
4
< (
1
4
)
2
 
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8) Potência de base 10: Toda potência de base 10 é igual a 1, seguido 
de tantos zeros quantas são as unidades do expoente. 
Exemplos 
103 = 1.000 ; 107 = 10.000.000 
 
9) Potência de um Número Decimal: Calcula-se a potência como se 
fosse um número inteiro e, no resultado, separa-se da direita para a 
esquerda, tantas casas decimais quantas forem a do produto do 
expoente pelo número de casas decimais existentes no número dado. 
Por exemplo, vamos calcular a potência (1,25)3. Primeiramente 
elevamos o número 125 à terceira potência, sem nos preocupar com a 
vírgula, e encontraremos 1.953.125. Em sequência, devemos 
determinar onde estará posicionada a vírgula, já que a potência é um 
Número Decimal. Note que teremos 6 casas decimais! 
Não entendi, professor. Por que seis casas decimais? 
Simples, meu amigo. Isso decorre do produto de 2 (temos duas casas 
decimais no número dado) por 3 (expoente da potência). Logo: 
(𝟏, 𝟐𝟓)𝟑 = 𝟏, 𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓 
 
 
QUESTÃO 07 (ESAF/SUSEP/Agente Executivo/2006) 
Calcule: (2022)3/2 
a) 0 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16 
COMENTÁRIOS: 
Inicialmente resolvemos o conteúdo do parêntese para, em seguida, 
solucionar a potência como um todo: 
(20 . 22)3/2 = (20+2)3/2 = (22)3/2 = 22 .
3
2 = 23 = 𝟖 
Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
 
10. Expressões Numéricas 
Nas expressões numéricas devemos calcular o resultado respeitando 
as seguintes regras: 
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1) Quando um número estiver posicionado entre duas operações do 
mesmo tipo ou entre duas operações inversas uma da outra, deve-
se resolvê-las da esquerda para a direita. 
 
Exemplos 
14 + 𝟏𝟓 − 16 = (𝟏𝟒 + 𝟏𝟓) − 16 = 29 − 16 = 𝟏𝟑 
32 ÷ 𝟒 ÷ 2 = (𝟑𝟐 ÷ 𝟒) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 𝟒 
 
2) Quando um número estiver posicionado entre duas operações que 
não sejam nem do mesmo tipo nem inversas uma da outra, deve-se 
resolvê-las seguindo a ordem abaixo: 
 
 
Exemplo 
52 + 36 x 4 + 32 – 90 
= 52 + 144 + 32 – 90 
= 196 + 32 – 90 
= 228 – 90 
= 138 
 
3) Quando houver parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }, deve-
se resolver primeiramente os seus conteúdos, começando sempre pelo 
mais interno, obedecendo à seguinte sequência: 
 
Potenciações e 
radiciações
Multiplicações 
e radiciações
Adições e 
subtrações
Parênteses
( )
Colchetes
[ ]
Chaves
{ }
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Considere a seguinte expressão numérica: 
{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 
Inicialmente devemos resolver os parênteses, mas como dentro dos 
parênteses há subtração e multiplicação, vamos resolver a 
multiplicação primeiro, em seguida, resolvemos a subtração. 
{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 
{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 
Agora que não temos mais os parênteses, vamos resolver as chaves. 
Dentro das chaves há subtração, multiplicação e adição, portanto, 
vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida resolvemos a 
subtração e a adição, seguindo a ordem em que aparecem. 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 = {100 – 0 + 25} : 5 = {100 + 25} : 5 = 
125 : 5 = 25 
Vamos agora resolver diversas questões de concursos públicos 
anteriores. Ok? 
 
 
QUESTÃO 08 (ESAF/TJ-CE/Auxiliar Judiciário/2002) 
Simplifique: 
( (0 ÷ 3) + (0,75 x 4) ) / ( 1 + 0,5). 
a) 1,5 b) 2 c) 4 d) 5,5 e) 6 
COMENTÁRIOS: 
Vamos organizar melhor a expressão numériza trazida no enunciado: 
((0 ÷ 3) + (0,75 𝑥 4))
(1 + 0,5)
 
A melhor estratégia nesse caso será resolvermos cada parêntese 
individualmente: 
1) 0 ÷ 3 = 0 
2) 0,75 𝑥 4 = 3 
3) 1 + 0,5 = 1,5 
Muito bem! Com esses resultados, podemos substituí-los na expressão: 
0 + 3
1,5
= 𝟐 
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Portanto, a alternativa correta é a letra B. 
 
QUESTÃO 09 (FCC - Analista/CNMP/Arquivologia/2015) 
O resultado da expressão numérica 
 
é igual a: 
a) − 6. b) 9. c) −12. d) 8. e) − 4. 
COMENTÁRIOS: 
Vamos com calma, pessoal! Não adianta sair “desembestado”, fazendo 
as operações conforme aparecem.Existem regras que, se respeitadas, 
acertaremos tranquilamente a questão. Vamos lá, então! 
1º) Resolvemos o que está nos parênteses: 
= (−
1
3
) . 7. (−
2
5
) . (−6).
1
4
. 10. (−
6
7
) . −(1) 
2º) Multiplicamos os termos 2 a 2: 
= (−
7
3
) . (
12
5
) . (−6).
10
4
.
6
7
 
3º) Simplificando os termos da expressão: 
= −
1
3
.
3
5
. 10.6 
4º) Façamos mais uma simplificação: 
= −
1
5
. 10.6 = −
60
5
= −𝟏𝟐 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 10 (FCC - Técnico/CNMP/Segurança Institucional/2015) 
Sendo F = 1 − {2 − [3 − (4 − 5) − 6] − 7} − 8 e G = 8 − {7 − [6 
− (5 − 4) − 3] − 2} − 1, a diferença entre F e G, nessa ordem, é 
igual a 
a) − 8. b) − 4. c) 0. d) 4. e) 8. 
COMENTÁRIOS: 
Iniciemos calculando o valor de F. Em seguida calculamos o valor de G. 
Por fim, efetuamos a subtração entre F e G. 
Antes, porém, devemos ter em mente a regra de prioridade 
existente entre parênteses, colchetes e chaves: 
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 Valor de F: 
F = 1 − {2 − [3 − (4 − 5) − 6] − 7} – 8 
1º) Resolvemos o que está nos parênteses: 
F = 1 − {2 − [3 − (-1) − 6] − 7} – 8 
2º) Eliminamos os parênteses: 
F = 1 − {2 − [3 + 1 − 6] − 7} – 8 
3º) Resolvemos o que está nos colchetes: 
F = 1 − {2 − [-2] − 7} – 8 
4º) Eliminamos os colchetes: 
F = 1 − {2 + 2 − 7} – 8 
5º) Resolvemos o que está nas chaves: 
F = 1 − {-3} – 8 
6º) Eliminamos as chaves: 
F = 1 + 3 – 8 
F = -4 
 Valor de G: 
G = 8 − {7 − [6 − (5 − 4) − 3] − 2} – 1 
1º) Resolvemos o que está nos parênteses: 
G = 8 − {7 − [6 − (1) − 3] − 2} – 1 
2º) Eliminamos os parênteses: 
G = 8 − {7 − [6 − 1 − 3] − 2} – 1 
3º) Resolvemos o que está nos colchetes: 
G = 8 − {7 − [2] − 2} – 1 
4º) Eliminamos os colchetes: 
Parênteses
( )
Colchetes
[ ]
Chaves
{ }
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G = 8 − {7 − 2 − 2} – 1 
5º) Resolvemos o que está nas chaves: 
G = 8 − {3} – 1 
6º) Eliminamos as chaves: 
G = 8 − 3 – 1 
G = 4 
Por fim, calculemos a subtração entre o valor de F e o valor de G: 
𝑭 − 𝑮 = −4 − 4 = −𝟖 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
 
QUESTÃO 11 (FCC - Ag SegM/METRÔ-SP/2013) 
O resultado da expressão: 
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168 + 169 – 170 
é igual a 
a) 170 b) − 170 c) 85 d) − 85 e) − 87 
COMENTÁRIOS: 
Bem, pessoal. Uma possibilidade para resolvermos a questão é recorrer 
ao nosso “lado selvagem”, somando nos dedos os valores da expressão 
numérica. O que você acha dessa opção? 
Não, professor! Pelo amor de Deus! Na hora da prova não terei tempo 
para isso... 
Concordo com você! Então, teremos que usar uma estratégia altamente 
qualificada. Vamos analisar a expressão fornecida: 
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168 + 169 – 170 
Note que a sequência possui 170 termos. Ou seja, temos 170 ÷ 2 = 85 
pares. A soma de tais pares é: 
 1 + (-2) = -1 
 3 + (-4) = -1 
 5 + (-6) = -1 
(...) 
 
Ah, meus amigos. Temos 85 pares em cada um vale -1. Dessa forma, 
o resultado da expressão é: 
85 . (-1) = -85 
Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
 
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QUESTÃO 12 (FCC - AFCE/TCE-PI/2014) 
Considere a lista de produtos que Ester comprou em sua última ida 
ao supermercado: 
 
Ester pagou sua compra com uma nota de 100 reais. Assim, uma 
expressão numérica cujo resultado corresponde ao troco, em reais, 
recebido por ela é 
a) 100−[35,902+5x32,204+2x(2x2,50+5,10)] 
b) 100−[35,902+5x32,204+4x(2,50+5,10)] 
c) 100−[35,904+5x32,202+4x2,50+5,10] 
d) 100−35,904+5x32,202+4x2,50+2x5,10 
e) 100−35,902+5x32,202+4x(2,50+5,10) 
COMENTÁRIOS: 
O nosso objetivo consiste em obter uma expressão numérica cujo 
resultado corresponde ao troco da compra feita por Ester. Ora, teremos 
de calcular a subtração entre os R$ 100,00 pagos e o valor da compra: 
= 100 − [… ] 
Perceba que entre os colchetes temos o valor gasto na compra. 
Precisamos determinar esse conteúdo! Para isso, o caminho da 
resolução será calcular o gasto de Esther em relação aos quatro 
produtos que ela adquiriu: pão de queijo, presunto magro, caixas de 
leite e copos de requeijão. Por fim, somamos tudo. Ok? 
 Pão de queijo: 
Fora, ½ kg, sendo que cada quilograma custa R$ 35,90. Multiplicando 
o peso pelo preço por quilo, temos o valor gasto com pão de queijo: 
1
2
 . 35,90 =
35,90
2
 
 Presunto magro: 
São 1,25 kg ao custo de 32,20 por quilo: 
1,25 . 32,20 
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Porém, sabendo que 1,25 equivale a 5/4, o valor gasto com presunto 
magro será: 
5
4
 . 32,20 
 Caixas de leite: 
Foram compradas 4 caixas de leite, sendo cada uma ao custo de R$ 
2,50. Logo, o valor gasto com as caixas de leite foi: 
4 . 2,50 
= 2 . 2 . 2,50 
 Copos de requeijão: 
Temos 2 copos de requeijão, ao custo de R$ 5,10 cada um, de forma 
que o valor gasto com os copos de requeijão foi: 
2 . 5,10 
Portanto, fazendo o somatório de todos os valores gastos, temos que o 
troco corresponde à seguinte expressão numérica: 
100 − [
35,90
2
+
5
4
 . 32,20 + 2 . 2 .2,50 + 2 . 5,10] 
= 100 − [
35,90
2
+
5
4
 . 32,20 + 2 . (2 .2,50 + 5,10)] 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
 
QUESTÃO 13 (FCC – Técnico Legislativo/ALERN/2013) 
O algarismo da dezena do resultado da expressão numérica 
948652919238493 - 5843748 x 95732437 é 
a) 1. b) 3. c) 9. d) 7. e) 5. 
COMENTÁRIOS: 
Certamente não precisaremos efetuar as operações que a expressão 
numérica indica, afinal os números envolvidos são gigantes! 
Qual será a saída, afinal, professor? 
Vamos facilitar a nossa vida mais uma vez! Analisemos, pois a 
expressão fornecida: 
948652919238493 - 5843748 x 95732437 
As regras de prioridade indicam que devemos começar pela 
multiplicação (subtraendo): 
5843748 𝑥 95732437 
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= (5843700 + 48) . (95732400 + 37) 
= (5843700 . 95732400) + (48 . 95732400) + (5843700 . 37) + (48 . 37) 
Note que, nos três primeiros parênteses, temos produtos em que um 
dos fatores termina em 00. Assim, todos estes resultados apresentarão 
algarismos das dezenas igual a 0, de forma que podemos desprezá-los, 
uma vez que nosso foco é determinar qual o valor do algarismo das 
dezenas. Logo, temosinteresse somente no último parêntese: 
48 . 37 = 1776 
Ou seja, o subtraendo termina em 76. 
Todavia, precisamos concluir a subtração. Repare que o primeiro 
número (minuendo) termina em 93. Daí, temos que efetuar tão 
somente a seguinte conta: 
93 − 76 = 𝟏𝟕 
Portando, o algarismos das dezenas é 1, o que torna a letra A nossa 
alternativa correta. 
 
QUESTÃO 14 (FCC - TEFE/SEFAZ-SP/2010) 
Considere que as seguintes sentenças são verdadeiras: 
6 ∗ 8 = 20 
4 ∗ 11 = 19 
12 ∗ 5 = 29 
31 ∗ 10 = 72 
104 ∗ 27 = 235 
De acordo com o padrão estabelecido para a operação ∗ , é verdade 
que: 
 a) 6 ∗ 15 = 28. 
 b) 15 ∗ 15 = 47. 
 c) 43 ∗ 66 = 152. 
 d) 66 ∗ 37 = 180. 
 e) 76 ∗ 108 = 250. 
COMENTÁRIOS: 
O nosso objetivo é achar um padrão nas operações que levam a cada 
um dos resultados indicados. Bem, temos que testar algumas 
hipóteses. Fazendo isso, percebemos que a operação “*” faz o 
seguinte: 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Dobra o primeiro valor e soma com o segundo. 
Dessa forma, temos: 
 6 ∗ 8 = 20 → 2 . 6 + 8 = 20 
 4 ∗ 11 = 19 → 2 . 4 + 11 = 19 
 12 ∗ 5 = 29 → 2 . 12 + 5 = 29 
 31 ∗ 10 = 72 → 2 . 31 + 10 = 72 
 104 ∗ 27 = 235 → 2 . 104 + 27 = 235 
Por fim, só nos resta testar cada alternativa: 
 a) 6 ∗ 15 = 28 → 2 . 6 + 15 = 27 (incorreta) 
 b) 15 ∗ 15 = 47 → 2 . 15 + 15 = 45 (incorreta) 
 c) 43 ∗ 66 = 152 → 2 . 43 +66 = 152 (correta) 
 d) 66 ∗ 37 = 180 → 2 . 66 + 37 = 169 (incorreta) 
 e) 76 ∗ 108 = 250 → 2 . 76 + 108 = 260 (incorreta) 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 15 (FCC – Técnico Judiciário/TRF-2ª Região/2012) 
Uma operação λ é definida por: wλ=1−6w, para todo inteiro w. 
Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2λ+(1λ)λ é 
igual a 
a) −20. b) −15. c) −12. d) 15. e) 20. 
COMENTÁRIOS: 
O nosso objetivo consiste em definir o valor da soma: 
2λ+(1λ)λ 
Para isso, a questão afirma que a operação “λ” é definida da seguinte 
forma: 
wλ=1−6w 
Vamos calcular cada uma das parcelas da soma: 
2𝜆 = 1 − 6 . 2 = 1 − 12 = −𝟏𝟏 
1𝜆 = 1 − 6 . 1 = 1 − 6 = −𝟓 
(1𝜆)
𝜆
= (−5)𝜆 = 1 − 6 . (−5) = 1 + 30 = 𝟑𝟏 
Logo, temos: 
2𝜆 + (1𝜆)
𝜆
= −11 + 31 = 𝟐𝟎 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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QUESTÃO 16 (FCC/DPE-SP/Oficial de Defensoria Pública/2013) 
Escrever um número na notação científica significa expressá-lo como 
o produto de dois números reais x e y, tais que: 1 ≤ x < 10 e y é 
uma potência de 10. 
Assim, por exemplo, as respectivas expressões dos números 0,0021 
e 376,4, na notação científica, são 2,1 x 10-3 e 3,764 x 102. 
Com base nessas informações, a expressão do número 
 
na notação científica é 
 a) 3,75 x 10². 
 b) 7,5 x 10². 
 c) 3,75 x 10³. 
 d) 7,5 x 10³. 
 e) 3,75 x 104. 
COMENTÁRIOS: 
A questão cobra o conhecimento da chamada Notação Científica, pois 
explicou: 
“Escrever um número na notação científica significa expressá-lo 
como o produto de dois números reais x e y, tais que: 1 ≤ x < 10 e 
y é uma potência de 10. 
Assim, por exemplo, as respectivas expressões dos números 0,0021 
e 376,4, na notação científica, são 2,1 x 10-3 e 3,764 x 102.” 
Observando o entendimento fornecido, precisamos determinar como 
ficará o seguinte número em notação científica: 
𝑁 =
1,2 . 0,054
0,64 . 0,000027
 
Em notação científica, cada número da expressão ficará: 
 1,2 = 1,2 . 100 
 0,054 = 5,4 . 10−2 
 0,64 = 6,4 . 10−1 
 0,000027 = 2,7 . 10−5 
Substituindo na expressão e aplicando as propriedades de 
potências, temos: 
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𝑁 =
1,2 . 100 . 5,4 . 10−2
6,4 . 10−1 . 2,7 . 10−5
 
𝑁 =
1,2 . 5,4 . (100 . 10−2)
6,4 . 2,7 . (10−1 . 10−5)
=
6,48 . 10−2
17,28 . 10−6
= 0,375 . 104 = 3,75 . 10−1 . 104
= 𝟑, 𝟕𝟓 . 𝟏𝟎𝟑 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
11. Números primos e fatoração 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, 
sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. 
Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser 
dividido por um, tendo como resultado 7 e não deixando resto algum. 
Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre 
há um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não 
encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um número primo, pois 
só é divisível por 1 e por ele mesmo. 
Diversos outros números possuem essa propriedade, como os listados 
abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. 
Todos os demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma 
multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser 
representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número 
qualquer em um produto de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 
2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que o 
1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o 
resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e 
dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível 
dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que 
é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir 
por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 
= 23 x 3. Visualize este processo abaixo: 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Esse processo de fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo 
Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC) entre dois 
números, como veremos a seguir. 
 
12. Múltiplos e Divisores 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser 
obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, 
os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números 
podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. 
 
 
QUESTÃO 17 (ESAF - AUFC/TCU/1999) 
Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de vagas 
é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para 
os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível 
valor para o número total de vagas da escola é: 
a) 160 b) 164 c) 168 d) 172 e) 185 
COMENTÁRIOS: 
Seja x o total de vagas. 
Sabe-se que ¼ das vagas são destinadas para o curso de violino. Desse 
valor, 1/8 é destinado ao turno diurno. Logo: 
1
4
. 𝑥.
1
8
=
𝑥
32
 
Isso significaque 1/32 do total de vagas é para o curso de violino no 
horário diurno. 
Daí, x deve ser múltiplo de 32. Quem são eles? 
32, 64, 96, 128, 160, ... 
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A alternativa A é a única que traz um múltiplo de 32, o que a torna 
correta. 
 
***************** 
 
Os divisores de um número são todos aqueles números que ao 
dividirem tal número, deixam resto “0”. Por exemplo, 5 é divisor 
de 25, pois 25÷5=5 e resto 0. É uma divisão exata. 
Para saber a quantidade de divisores de um número qualquer, basta 
fazer a multiplicação de todos os expoentes da sua 
decomposição em fatores primos, adicionado, cada um de + 1. 
Assim, o número total de divisores de 4.200 é 
(3+1)x(1+1)x(2+1)x(1+1) = 48, pois 4.200=23 x 3 x 52 x 7. 
Para facilitar nossa vida, existem alguns critérios para você bater o olho 
em um número e afirmar com certeza se ele é ou não divisível por 
outro. Para a decomposição em fatores primos, é fundamental que você 
saiba estas regrinhas. 
 Divisibilidade por 2: Um número será divisível por 2 se for par. 
 Divisibilidade por 3: Um número será divisível por 3 se a soma 
dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. 
 Divisibilidade por 4: Um número será divisível por 4 se for 
terminado em 00 ou se o número formado pelos seus dois últimos 
algarismos for divisível por 4. 
 Divisibilidade por 5: Um número será divisível por 5 se for 
terminado em 0 ou 5. 
 Divisibilidade por 6: Um número será divisível por 6 se for 
divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
 Divisibilidade por 7: Um número será divisível por 7 quando a 
diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do algarismo 
das unidades é divisível por 7. 
 Divisibilidade por 8: Um número será divisível por 8 se for 
terminado em 000 ou se o número formado pelos seus três 
últimos algarismos for divisível por 8. 
 Divisibilidade por 9: Um número será divisível por 9 se a soma 
dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 
 Divisibilidade por 10: Um número será divisível por 10 se for 
terminado em 0. 
 Divisibilidade por 11: Um número será divisível por 11 quando 
a diferença entre a soma dos dígitos de posição par (0, 2, 4, ...) 
e os dígitos de ordem ímpar (posição 1, 3, 5, ...) resultar em um 
múltiplo de 11. 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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 Divisibilidade por 12: Um número será divisível por 12 se for 
divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
 Divisibilidade por 15: Um número será divisível por 15 se for 
divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
 Divisibilidade por 25: Um número será divisível por 25 quando 
terminar em 00, 25, 50 ou 75. 
 
 
QUESTÃO 18 (FJG - ACE/TCM-RJ/Tecnologia da Informação/2011) 
Um orfanato costuma levar para passear suas 72 crianças. O passeio 
é feito em grupos pequenos, sempre com o mesmo número de 
participantes de cada vez, e os grupos são formados por mais de 5 
e menos de 20 participantes por vez. Desse modo, o número de 
maneiras diferentes pelas quais podem ser reunidas essas crianças 
é de: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
COMENTÁRIOS: 
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando 
os seus fatores primos. 
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1º) decompomos o número em 
fatores primos; 
2º) traçamos uma linha e 
escrevemos o 1 no alto, porque 
ele é divisor de qualquer 
número; 
 
3º) multiplicamos 
sucessivamente cada fator 
primo pelos divisores já obtidos 
e escrevemos esses produtos 
ao lado de cada fator primo; 
 
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4º) os divisores já obtidos não 
precisam ser repetidos. 
 
 
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 
90. 
No caso de nossa questão, precisamos encontrar os divisores de 72. 
Logo: 
 
Os divisões de 72 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. 
O número de divisores compreendido entre 5 e 20 é igual 5. 
Portanto, a alternativa correta é a Letra C. 
 
QUESTÃO 19 (FCC - AFTM/Pref-SP/Gestão Tributária/2012) 
Considere a multiplicação abaixo, em que letras iguais representam 
o mesmo dígito e o resultado é um número de 5 algarismos. 
R A M O S 
x 9 
S O M A R 
A soma (S + O + M + A + R) é igual a 
a) 25. b) 27. c) 29. d) 31. e) 33. 
COMENTÁRIOS: 
Sabemos que: 
R A M O S 
x 9 
S O M A R 
Ou seja, o número S O M A R é resultado de uma multiplicação por 9. 
Logo, é porque ele é divisível por 9. 
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Sabemos que, para ser divisível por 9, a soma dos valores absolutos 
dos algarismos que compõem o número deve ser divisível por 9. 
Analisando as opções de respostas, a única que é divisível por 9 é a 27. 
Portanto, a alternativa correta é a Letra B. 
 
13. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
Quando temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um 
deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. 
Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
 Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
 Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 
24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor 
deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum 
(MMC) entre 8 e 12. 
 
 
Denominamos Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois 
ou mais números inteiros e não nulos ao menor número 
positivo que seja múltiplo de todos os números dados. 
 
Existem basicamente dois métodos para de se calcular o MMC entre n 
números. 
1º Método: por meio da decomposição em fatores primos. 
 
Vamos ver como funciona através do seguinte exemplo: Encontre o 
MMC entre 16.500, 368.550, 3.583.125. 
1º passo: Decompor cada número em uma multiplicação de fatores 
primos: 
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2º passo: O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns 
e não comuns dos dois números, de maior expoente. 
 
MMC (16500, 368550, 3583125) = 22 x 34 x 54 x 72 x 11 x 13 
Portanto, meu amigo, não esqueça: no MMC, não tem besteira: Todo 
mundo entra e com o maior expoente! 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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