Raciocínio Lógico AFRFB AULA 07 Proporções, porcentagem e Regra de Três

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RACIOCíNIO LóGICO QUANTITATIVO P/ AFRFB 2016
Prof. Alex Lira
AULA 07
 
 
 
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Teoria e questões comentadas 
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Razões, Proporções, Porcentagem e Regra de Três 
 
SUMÁRIO 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................ 2 
RAZÃO............................................................................................. 3 
1. Conceito ....................................................................................... 3 
2. Razão Inversa ............................................................................... 4 
3. Razões Especiais ........................................................................... 4 
PROPORÇÃO ................................................................................... 12 
1. Conceito ..................................................................................... 12 
2. Propriedades das Proporções ......................................................... 13 
3. Grandezas Diretamente Proporcionais ............................................ 16 
4. Grandezas Inversamente Proporcionais .......................................... 21 
5. Regra de Sociedade ..................................................................... 27 
PORCENTAGEM ............................................................................... 32 
1. Introdução ................................................................................. 32 
2. Fator Multiplicativo ...................................................................... 38 
3. Aumentos e/ou descontos sucessivos ............................................. 42 
REGRA DE TRÊS .............................................................................. 45 
1. Introdução ................................................................................. 45 
2. Regra de Três Simples ................................................................. 46 
3. Regra de Três Composta .............................................................. 56 
OUTRAS QUESTÕES COMENTADAS .................................................... 68 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................. 89 
 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 
Olá, meus amigos e minhas amigas!!! 
 
Sejam todos bem-vindos à AULA 7 do nosso CURSO DE RACIOCÍNIO 
LÓGICO-QUANTITATIVO para AUDITOR-FISCAL DA RECEITA 
FEDERAL DO BRASIL! 
 
No último encontro analisamos assuntos introdutórios da aritmética, no 
âmbito do denominado Raciocínio Matemático: 
 Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação); 
 Expressões numéricas; 
 Múltiplos e divisores de números naturais; problemas; 
 Frações e operações com frações. 
 
Hoje voltaremos a estudar alguns tópicos da Matemática Básica, quais 
sejam: Razões e Proporções; Escalas; Divisão Proporcional; 
Porcentagem e Regra de Três. 
 
São assuntos que é quase certo de você já ter estudado durante a sua 
vida. No entanto, como de costume, farei de conta que você nunca os 
viu. Ok? Daí, veremos desde o básico de cada tópico. 
 
Relaxe, fique bem tranquilo e atento para as próximas páginas. Tenho 
certeza de que você gostará muito do que está por vir! 
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RAZÃO 
 
 
1. Conceito 
Nesse momento, meu caro amigo, algumas definições serão de grande 
importância. 
RAZÃO 
Razão de um número a para um número b, com b ≠ 0, é o 
quociente de a por b. 
 
 
Quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos 
lembrar de que haverá uma divisão! 
 
A razão de a para b é representada como: 
𝒂
𝒃
 𝒐𝒖 𝒂 ∶ 𝒃 
Em que a é chamado antecedente e b é chamado consequente da 
razão dada. 
Com isso, percebemos que o conceito de razão nos permite fazer 
comparações de grandeza entre dois números. 
Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus 
termos, procurando, quando possível, torna-los inteiros. 
 
 
 A razão entre 16 e 20 é: 
16
20
=
16 ÷ 4
20 ÷ 4
=
4
5
 (4 𝑝𝑎𝑟𝑎 5) 
 
 A razão entre 0,25 e 2 é: 
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0,25
2
=
1
4
2
=
1
4
 .
1
2
= 
1
8
 (1 𝑝𝑎𝑟𝑎 8) 
 
2. Razão Inversa 
A razão inversa de a para b é: 
𝒃
𝒂
 𝒐𝒖 𝒃 ∶ 𝒂 
Além disso, é importante você saber que duas razões são inversas 
se, e somente se, seu produto é igual a 1. 
Esse é o caso de 3/5 e 10/6, pois o produto entre essas razões é igual 
a 1: 
3
5
 𝑥 
10
6
= 1 
Com isso, podemos dizer que 3 está para 5 na razão inversa de 10 
para 6. 
 
3. Razões Especiais 
Cabe destacar algumas razões que geralmente são cobradas em provas 
de concursos públicos. 
 
3.1. Velocidade Média 
Você deve lembrar-se de suas aulas de Física no ensino médio que 
Velocidade Média é a razão entre o espaço percorrido e o tempo 
gasto para percorrê-lo. 
𝑽𝒎 =
𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐
𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐
 
Especialmente a ESAF gosta de cobrar esse tópico em suas provas. Veja 
algumas questões. 
 
 
QUESTÃO 01 (ESAF - AFC/CGU/2002) 
Em um passeio de moto, umdos participantes vai de Curitiba a São 
Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de 
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São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. 
Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, 
em Km/h foi de: 
a) 60 b) 62,5 c) 65 d) 70 e) 72,5 
COMENTÁRIOS: 
Um desenho que representa bem a situação descrita no enunciado é o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
Bem, já vimos que Velocidade Média é a razão entre o espaço 
percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. 
A distância total percorrida (trecho de ida mais trecho de volta) é igual 
a 2x km. 
Já o tempo total gasto no percurso é igual ao tempo de ida mais o de 
volta. Isso nos possibilita calcularmos o tempo de cada trecho: 
 Tempo de ida: t1 = x/50 
 Tempo de volta: t2 = x/75 
Somando os dois tempos, a fim de obtermos o tempo total: 
𝑡1 + 𝑡2 =
𝑥
50
+
𝑥
75
=
(2𝑥 + 3𝑥)
150
=
5𝑥
150
=
𝒙
𝟑𝟎
 
Calculando a velocidade média, teremos: 
𝑉𝑚 =
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
=
2𝑥
𝑥
30
= 𝟔𝟎𝒌𝒎/𝒉 
Portanto, a alternativa correta é a letra A. 
 
QUESTÃO 02 (ESAF/MPU/Técnico/2004) 
Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma 
velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, 
também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto 
até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi 
igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual a 
a) 20 km por hora 
x km 
v = 50 km/h 
v = 75 km/h 
Curitiba São Paulo 
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b) 10 km por hora 
c) 25 km por hora 
d) 30 km por hora 
e) 37,5 km por hora 
COMENTÁRIOS: 
O desenho da questão será: 
 
 
 
 
 
 
Seja x a distância, em km, entre as cidades A e B. 
A primeira parte do percurso tem 75% da distância entre A e B. Logo, 
é igual a 0,75x. De forma análoga, a segunda parte do percurso é igual 
a 0,25x. 
Já possuímos a velocidade média para todo o percurso, que foi de 40 
km/h. Porém, falta encontrar o tempo total gasto no trecho, que será 
dado pela soma dos tempos gastos em cada uma das duas partes do 
percurso. Ok? Adiante! 
 Tempo da primeira parte, sabendo que a velocidade desse trecho foi 
de 50 km/h: 
𝑡1 =
0,75𝑥
50
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Tempo da segunda parte, sabendo que a velocidade desse trecho foi de 
V km/h: 
𝑡1 =
0,25𝑥
𝑉
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Somando os dois tempos, a fim de obtermos o tempo total: 
𝑡1 + 𝑡2 =
0,75𝑥
50
+
0,25𝑥
𝑉
=
(𝟎, 𝟕𝟓𝑽 + 𝟏𝟐, 𝟓)𝒙
𝟓𝟎𝑽
 
Calculando a velocidade média, teremos: 
𝑉𝑚 =
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
 
40 𝑘𝑚/ℎ =
𝑥
(𝟎, 𝟕𝟓𝑽 + 𝟏𝟐, 𝟓)𝒙
𝟓𝟎𝑽
 
x km 
0,75x 
A B 
0,25x 
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40 𝑘𝑚/ℎ =
50𝑉
(𝟎, 𝟕𝟓𝑽 + 𝟏𝟐, 𝟓)
 
40. (0,75𝑉 + 12,5) = 50𝑉 
30𝑉 + 500 = 50𝑉 
𝑽 = 𝟐𝟓 𝒌𝒎/𝒉 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
3.2. Densidade Demográfica 
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de 
uma região e a área dessa região. 
 
 
Se uma região de 300 km2 tem 15.000 habitantes, então a densidade 
demográfica dessa região é igual a: 
15.000 ℎ𝑎𝑏
300 𝑘𝑚2
=
150 ℎ𝑎𝑏
3 𝑘𝑚2
= 𝟓𝟎 𝒉𝒂𝒃/𝒌𝒎𝟐 
 
 
 
QUESTÃO 03 (CESPE/TJ-PA/2006) - Adaptada 
A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042 km2, corresponde 
a 16,66% do território brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do 
Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte, é dividido 
em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. 
Com base no texto acima, julgue o item seguinte. 
No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2. 
COMENTÁRIOS: 
No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042 
km2 de extensão. 
Ora, acabamos de aprender que a Densidade demográfica é a razão 
entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
Logo: 
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6.000.000 ℎ𝑎𝑏
1.248.042 𝑘𝑚2
= 4,81 ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚2 
Bem, esse valor é diferente do proposto pelo enunciado, o que torna 
o item errado. 
 
3.3. Escalas 
As questões de concursos públicos envolvendo escalas são bem 
simples e objetivas. Tratam também de conversão de unidades de 
medida, pois as distancias em um mapa geralmente são dadas em cm 
e as distâncias na vida real são dadas em km. 
Chamamos de escala a razão constante entre qualquer medida de 
comprimento em um modelo (desenho, mapa ou maquete) e a medida 
correspondente no objeto real representado pelo modelo, sendo ambas 
as medidas tomadas na mesma unidade. Assim: 
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍
 
 
Dessa forma, teremos que: 
Escala = 1 : 100 
Isto significa que: 
1 centímetro no desenho equivale a 100 centímetros na realidade. 
1 decímetro no desenho equivale a 100 decímetros na realidade. 
1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade. 
 
 
QUESTÃO 04 (CESPE/INPI/Técnico em Propriedade Industrial/2013) 
Em um processo de pedido de patentes de um novo equipamento 
consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na 
escala 1:200. 
Com base nessa informação, julgue o item a seguir. 
Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio 
do parafuso real será 1 cm. 
COMENTÁRIOS: 
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Como a escala é de 1 para 200, cada 1 cm do parafuso medido no 
desenho corresponderá a 200 cm no objeto real. Assim: 
1
200
=
0,05
𝑥
 
Multiplicando em “cruz credo”, temos: 
1. 𝑥 = 200.0,05 
𝒙 = 𝟏𝟎𝒄𝒎 
Portanto, o item está errado. 
 
QUESTÃO 05 (FCC/TRT-15ª Região/Analista Judiciário/2013) 
O terreno de uma casa possui 32 metros de frente. Na planta dessa 
casa, a frente do terreno tem 8 cm, o que implica dizer que a escala 
da planta é de: 
a) 1:4. b) 1:25. c) 1:250. d) 1:40. e) 1:400. 
COMENTÁRIOS: 
Agora é o contrário. A questão dá as medidas e pede qual será a escala. 
Ora, já sabemos que: 
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍
 
 
Substituindo os valoresfornecidos pelo enunciado, teremos: 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
8𝑐𝑚
32𝑚
 
Simplificando em cima e embaixo por 8, teríamos: 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
1
4
 
Temos uma resposta? É claro que sim! No entanto, isso está errado. 
Mas, por que, professor? 
Simples, meu amigo: as medidas inseridas na fórmula da escala devem 
estar na mesma unidade de comprimento! Perceba que no 
numerador tínhamos um valor em centímetro, ao passo que o 
denominador estava em metros. 
Daí, teremos que converter as duas medidas para a mesma unidade. 
Basta lembrar que: 
1 metro = 100 centímetros 
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Logo, para converter uma medida de metro para centímetros, basta 
multiplicar por 100. Vamos fazer isso! 
32 metros = 32 x 100 centímetros = 3.200 centímetros 
Agora sim. Trabalhemos com a fórmula da escala novamente. 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
8 𝑐𝑚
3200 𝑐𝑚
 
Simplificando em cima e embaixo por 8, teríamos: 
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 =
𝟏
𝟒𝟎𝟎
 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
QUESTÃO 06 (FGV/SUSAM/Agente Administrativo/2014) 
No salão de entrada de um hospital há um mapa na escala de 1:300, 
que representa esse hospital. 
O hospital tem um corredor que mede 12 m de comprimento. A 
medida do comprimento desse corredor no mapa, em milímetros, é 
a) 25. b) 30. c) 36. d) 40. e) 48. 
COMENTÁRIOS: 
Questão bem tranquila. 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
1
300
=
𝑥
12 𝑚
 
Multiplicando em “cruz credo”, temos: 
300. 𝑥 = 12 . 1 
𝑥 =
12
300
𝑚 
Simplificando em cima e em baixo por 12, teremos: 
𝑥 =
1
25
𝑚 
Perceba que encontramos uma medida em metros, ao passo que a 
questão pede claramente em milímetros. Deveremos fazer uma 
conversão. Logo: 
1 metro = 1.000 milímetro 
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Logo, para converter uma medida de metro para milímetro, basta 
multiplicar por 1.000. Vamos fazer isso! 
1/25 metros = 1/25 x 1.000 milímetros = 40 milímetros 
Portanto, a medida do comprimento do corredor no mapa é de 40 
milímetros, o que torna a letra E correta. 
 
3.3.1. Propriedades das escalas 
Como vimos acima, toda escala é uma razão entre duas medidas de 
comprimento. 
Algumas vezes, porém, precisamos comparar uma escala com a razão 
entre duas medidas de área ou entre duas medidas de volume. 
Nesses casos, as relações abaixo nos permitem comparar as razões 
entre duas áreas (A1 e A2) ou entre dois volumes (V1 e V2) com dois 
comprimentos de uma escala (C1 e C2): 
𝑨𝟏
𝑨𝟐
= (
𝑪𝟏
𝑪𝟐
)
𝟐
= (𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂)𝟐 
 
𝑽𝟏
𝑽𝟐
= (
𝑪𝟏
𝑪𝟐
)
𝟑
= (𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂)𝟑 
 
 
QUESTÃO 07 (INEP/ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio/2014) 
O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de 
apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O 
projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos 
interessados já com as especificações das dimensões do armário, 
que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com 
dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm. 
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será 
a) 6. b) 600. c) 6 000. d) 60 000. e) 6 000 000. 
COMENTÁRIOS: 
O projeto da garagem deve obedecer à seguinte escala: 
1 : 100 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Para obtermos o volume do armário no projeto (desenho), basta 
multiplicar as suas dimensões: 
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 = 3𝑐𝑚 . 1𝑐𝑚 . 2𝑐𝑚 = 𝟔𝒄𝒎
𝟑 
Ótimo! Falta agora encontrarmos volume real do armário. Para isso, 
faremos uso da fórmula da escala específica para o caso de volumes: 
(𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎)3 =
𝑉1
𝑉2
 
(
1
100
)
3
=
36
𝑉2
 
1
1.000.000
=
6𝑐𝑚3
𝑉2
 
Multiplicando em “cruz credo”, temos: 
𝑉2. 1 = 1000000 . 6 = 𝟔. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
 
PROPORÇÃO 
 
 
1. Conceito 
Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. 
 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
(proporção simples) 
 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
 
(proporção múltipla) 
 
Uma proporção simples pode ser denotada das seguintes formas: 
1ª forma 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
Nesse caso, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d são os 
consequentes. 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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2ª forma 
𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 ∶ 𝒅 
Nesse caso, dizemos que a e d são os extremos; b e c são os meios. 
 
 
3ª forma 
Os números a, b, c e d são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º e 
4º termos: 
 
 
2. Propriedades das Proporções 
 
Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇔ 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒅 
 
Na proporção simples 
2
7
=
12
42
, temos: 
- Produto dos meios: 7 x 12 = 84 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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- Produto dos extremos: 2 x 42 = 84 
 
Propriedade da soma ou da diferença 
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma 
proporção está para o primeiro termo, assim como a soma ou a 
diferença entre os dois últimos está para o terceiro termo. 
𝒂 + 𝒃
𝒂
=
𝒄 + 𝒅
𝒄
 
𝒂 − 𝒃
𝒂
=
𝒄 − 𝒅
𝒄
 
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma 
proporção está para o segundo termo, assim como a soma ou a 
diferença entre os dois últimos está para o quarto termo. 
𝒂 + 𝒃
𝒃
=
𝒄 + 𝒅
𝒅
 
𝒂 − 𝒃
𝒃
=
𝒄 − 𝒅
𝒅
 
 
Propriedade da soma ou diferença dos 
antecedentes e consequentes 
A soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a 
diferença dos consequentes, assim como qualquer antecedente está 
para o seu consequente. 
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒂
𝒃
=
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
 
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒄
𝒅
=
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
 
 
 
4
6
=
8
12
=
4 + 8
6 + 12
=
12
18
 
 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os 
numeradores das frações e somando os denominadores. Você 
perceberá que essa propriedade será utilizada diversas vezes na 
resolução de questões envolvendo divisão proporcional. Aliás, que tal 
já vermos uma questão de concurso em que aplicaremos isso? Vamos 
lá! 
 
 
QUESTÃO 08 (ESAF/Ministério da Fazenda/Anata/2013) 
Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. 
A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 
4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de homens 
que trabalham nessa secretaria é igual a: 
a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 
COMENTÁRIOS: 
Essa é uma questão bem simples, tratando do assunto Razão e 
proporção. 
Sejam: 
H: Número de homens que trabalham em uma secretaria do Ministério 
da Fazenda; 
M: Número de mulheres que trabalham em uma secretaria do 
Ministério da Fazenda. 
O enunciado afirma que nessa secretaria trabalham 63 pessoas. Logo: 
H + M = 63 
Em seguida é dito que: 
“A razão entre o número de homens e o número de mulheres é 
igual 4/5”. 
Ou seja: 
𝐻
𝑀
=
4
5
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
4 . M = 5 . H 
Fazendo algumas manipulações nos termos, chegamos a: 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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𝐻
4
=
𝑀
5
 
Bem, acabamos de estudar a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes: 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
 
Aplicando-a para o caso de nossa questão, teremos: 
𝐻
4
=
𝑀
5
=
𝐻 + 𝑀
4 + 5
=
𝐻 + 𝑀
9
 
Ora, já sabemos que: 
H + M = 63 
Daí: 
63
9
= 𝟕 
Logo: H/4 = M/5 = 7 
=> H/4 = 7 
=> H = 28 
=> M/5 = 7 
=> M = 35 
A diferença entre mulheres e homens é 35 - 28 = 7. 
Portanto, a alternativa correta é a letra B. 
 
3. Grandezas Diretamente Proporcionais 
A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser 
medido ou contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, 
preço, idade, etc. 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando 
a razão entre elas for uma constante. 
𝒂
𝒃
= 𝒌 
 
Os números a e b são chamados termos da proporção. O resultado 
constante das razões entre dois termos correspondentes, k, é chamado 
de constante de proporcionalidade. 
 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Os valores 6, 7, 10 e 15, nessa ordem, são diretamente proporcionais 
aos valores 12, 14, 20 e 30, respectivamente, pois as razões 6/12, 
7/14, /10/20 1 15/30 são todas iguais, sendo 1/2 o fator de 
proporcionalidade da primeira para a segunda. 
 
Como se pode perceber, as sucessões de números diretamente 
proporcionais formam proporções múltiplas. 
Além disso, temos o seguinte: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma 
proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui 
na mesma proporção. 
 
 
Falando de uma maneira mais informal, são grandezas que crescem 
juntas e diminuem juntas. 
 
 
QUESTÃO 09 (CESPE - AJ/TST/Administrativa/2008) 
Os números 135, 189 e 297 são diretamente proporcionais aos 
números 5, 7 e 11, respectivamente. 
COMENTÁRIOS: 
Vimos que a característica marcante das grandezas diretamente 
proporcionais consiste no fato que a razão entre elas é constante. 
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Assim, nossa tarefa é analisar se as razões 135/5, 189/7 e 297/11 
fornecem o mesmo resultado. Logo: 
 
Portanto, 135, 187 3 297 são diretamente proporcionais a 5, 7 e 11, o 
que torna o item certo. 
 
QUESTÃO 10 (ESAF/TFC/CGU/2008) 
As idades de três irmãos encontram-se na razão 4:6:8. Sabendo-se 
que a soma das idades é igual a 180 anos, então a idade do irmão 
mais velho, em anos, é igual a: 
a) 40 b) 45 c) 80 d) 70 e) 60 
COMENTÁRIOS: 
Sejam 
x: Idade do irmão mais novo. 
y: Idade do irmão do meio. 
z: Idade do irmão mais velho. 
A idade dos 3 irmãos é diretamente proporcional a 4:6:8. 
Já sabemos que a razão entre duas grandezas diretamente 
proporcionais é uma constante, chamada constante de 
proporcionalidade k. Logo, podemos escrever: 
 
Donde podemos concluir que: 
 x = 4k 
 y = 6k 
 z = 8k 
Se a soma das idades é 180, temos: 
4k+6k+8k = 180 
18k=180 
k=10 
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O mais velho tem a seguinte idade: 
z = 8k = 80 anos 
Portanto, a alternativa correta é a Letra C. 
 
QUESTÃO 11 (ESAF - AFC/STN/Contábil-Financeira/2008) 
Uma escola terá 120 alunos, que deverão ser divididos em 3 (três) 
turmas, segundo o tamanho em m2 de cada sala. A sala A tem 40 
m2, a sala B tem 80 m2 e a sala C tem 120 m2. Indique abaixo a 
opção correta. 
 a) A = 15, B = 45 e C = 60. 
 b) A = 15, B = 40 e C = 65. 
 c) A = 20, B = 45 e C = 55. 
 d) A = 15, B = 50 e C = 55. 
 e) A = 20, B = 40 e C = 60. 
COMENTÁRIOS: 
Sejam: 
A: quantidade de alunos da sala A. 
B: quantidade de alunos da sala B. 
C: quantidade de alunos da sala C. 
A distribuição dos alunos é diretamente proporcional a 40:80:120. 
Já sabemos que a razão entre duas grandezas diretamente 
proporcionais é uma constante, chamada constante de 
proporcionalidade k. Logo, podemos escrever: 
𝑘 =
𝐴
40
=
𝐵
80
=
𝐶
120
 
Donde podemos concluir que: 
 A = 40k 
 B = 80k 
 C = 120k 
Como a quantidade de alunos é 120, temos: 
40K + 80k + 120k = 120 
240k=120 
K = 1/2 
A quantidade de alunos por sala será: 
A = 40.1/2 = 20 
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B = 80.1/2 = 40 
C = 120.1/2 = 60 
Portanto, a alternativa correta é a Letra E. 
 
QUESTÃO 12 (FGV - AP/TCE-BA/2014) 
Em uma sala há advogados, juízes e desembargadores, e apenas 
eles. Para cada dois desembargadores há três juízes e para cada 
quatro juízes há sete advogados. 
A razão entre a quantidade de juízes e a quantidade total de pessoas 
na sala é 
a) 11/39 b) 12/41 c) 14/43 d) 13/45 e) 15/47 
COMENTÁRIOS: 
Sejam os seguintes termos: 
A: Número de advogados; 
J: Número de juízes; 
D: Número de desembargadores; 
T: Número total de pessoas na sala. 
Vamos analisar cada frasedo enunciado, transformando-a para a 
linguagem matemática: 
Em uma sala há advogados, juízes e desembargadores, e 
apenas eles. 
Ou seja: 
A + J + D = T (I) 
 
Para cada dois desembargadores há três juízes. 
 Ou seja: 
𝑫
𝟐
=
𝑱
𝟑
 (II) 
 
Para cada quatro juízes há sete advogados. 
Ou seja: 
𝑱
𝟒
=
𝑨
𝟕
 (III) 
 
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Nosso objetivo consiste em obter a razão entre a quantidade de 
juízes e a quantidade total de pessoas na sala. Logo, será 
necessário colocar todas as variáveis em função de J e T. 
Aplicando a propriedade fundamental da proporcionalidade em 
(II) e em (III), temos: 
- (II): 3. 𝐷 = 2. 𝐽  𝑫 = 
𝟐𝑱
𝟑
 
- (III): 4. 𝐴 = 7. 𝐽  𝑨 =
𝟕𝑱
𝟒
 
Substituindo os valores de A e D encontrados acima em (I), temos: 
𝐴 + 𝐽 + 𝐷 = 𝑇 
7𝐽
4
+ 𝐽 +
2𝐽
3
= 𝑇 
Aplicando o MMC, vem que: 
41
12
𝐽 = 𝑇 
𝑱 =
𝟏𝟐
𝟒𝟏
𝑻 
Portanto, a razão entre a quantidade de juízes e a quantidade total de 
pessoas na sala é de 12/41, o que torna a letra B a alternativa correta. 
 
4. Grandezas Inversamente Proporcionais 
Vimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a 
razão entre elas é constante. 
Pois bem, qual é o inverso da divisão? É a multiplicação! 
Assim, quando o produto entre duas grandezas é constante, 
dizemos que tais grandezas são inversamente proporcionais. 
𝒂 . 𝒃 = 𝒌 
 
 
Dois trabalhadores terminam um serviço em 10 dias. Se tivermos 4 
trabalhadores (o dobro de gente), eles vão gastar 5 dias (metade do 
tempo). 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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As grandezas “quantidade de trabalhadores” e “quantidade de dias” são 
inversamente proporcionais. O produto entre ambas é sempre 
constante: 
2 × 10 = 4 × 5 = 20 
 
Além disso, temos o seguinte: 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra também diminui na mesma 
proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também aumenta 
na mesma proporção. 
 
 
Falando de uma forma mais informal, são grandezas que, quando uma 
aumenta, a outra diminui. 
 
 
QUESTÃO 13 (CESPE – Agente Administrativo/MDIC/2014) 
A respeito de proporções e regra de três, julgue o próximo item. 
Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos 
infantil, jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção 
destinadas a cada um desses públicos sejam inversamente 
proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais 
de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem. 
COMENTÁRIOS: 
Aumenta
Diminui
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Sejam: 
a: porcentagem referente ao público infantil; 
b: porcentagem referente ao público jovem; 
c: porcentagem referente ao público adulto. 
 
O enunciado nos fornece seguinte informação: 
As porcentagens da produção destinadas a cada um desses 
públicos são inversamente proporcionais, respectivamente, aos 
números 2, 3 e 6. 
 
Traduzindo para a linguagem matemática, lembrando que duas 
grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre 
elas é constante, temos: 
2𝑎 = 3𝑏 = 6𝑐 = 𝑘 
 
Onde k é a constante de proporcionalidade. Daí: 
𝑎 =
𝑘
2
 
𝑏 =
𝑘
3
 
𝑐 =
𝑘
6
 
Se somarmos todas as porcentagens (a, b e c), resultará 100%. Logo: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 
𝑘
2
+
𝑘
3
+
𝑘
6
= 1 
3𝑘 + 2𝑘 + 𝑘
6
= 1 
6𝑘 = 6 → 𝒌 = 𝟏 
Nosso objetivo consiste em obter porcentagem referente ao público 
jovem (b). Assim: 
𝑏 =
𝑘
3
=
1
3
 → 𝒃 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑 … % 
Portanto, o item está certo. 
 
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QUESTÃO 14 (CESPE - TBN/CEF/Administrativa/2014) 
Em uma agência bancária, os clientes são atendidos da seguinte 
maneira: todos os clientes a serem atendidos em determinado dia 
comparecem à agência no período compreendido entre 10 horas da 
manhã e meio-dia; ao chegar à agência, o cliente recebe uma senha 
para o posterior atendimento, que corresponde à sua ordem de 
chegada, ou seja, o primeiro cliente a chegar à agência recebe a 
senha 1, o segundo recebe a senha 2, e assim por diante; ao meio-
dia, quando é encerrada a distribuição de senhas, os clientes que as 
receberam começam a ser atendidos, na ordem estabelecida por 
elas, ou seja, na ordem de chegada do cliente à agência, no horário 
entre 10 horas e meio-dia. Depois que o atendimento efetivamente 
começa, o tempo que um cliente espera para ser atendido é 
diretamente proporcional ao número de clientes que chegaram antes 
dele e inversamente proporcional ao número de atendentes. 
Durante o mês de janeiro de 2014, essa agência trabalhou 
diariamente com um quadro de 10 atendentes, que levavam exatos 
15 minutos para atender 25 clientes. No dia 30/1/2014, 200 clientes 
foram atendidos nessa agência, ao passo que, no dia 31/1/2014, 
esse número subiu para 800 clientes. Preocupado com essa situação 
e prevendo que a quantidade de clientes que procurariam a agência 
no dia 3/2/2014 seria ainda maior, o gerente decidiu que, durante o 
mês de fevereiro, o número de atendentes cresceria em 20% em 
relação ao número de atendentes de janeiro, assegurando que o 
nível de eficiência dos novos atendentes fosse idêntico ao nível dos 
que já estavam atuando. Sua decisão foi implementada já em 
3/2/2014. 
Com base nas informações do texto acima, julgue o item seguinte. 
O tempo de espera do 60.º cliente que compareceu à agência no dia 
3/2/2014 diminuiu em relação ao tempo de espera do 60.º cliente 
que compareceu à agência no dia 30/1/2014. 
COMENTÁRIOS: 
Pelas regras do enunciado, concluímos que o tempo de espera para 
determinado cliente depende de dois itens: 
 Quantidade de clientes que chegaram antes dele; 
 Quantidade de atendentes. 
Visto que estamos comparando o 60º cliente do dia 30/01 com o 60º 
cliente do dia 03/02, em ambos os casos há exatos 59 clientes que vêm 
antes dele na fila. Ou seja, para esta comparação a quantidade de 
clientes que chegou antes não irá influenciar, pois é a mesma nos dois 
casos. 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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Pelo outro fator (quantidade de atendentes), percebemos que, quanto 
mais atendentes, menor é o tempo de espera. Ou seja, são grandezas 
inversamente proporcionais. 
Como o númerode atendentes foi aumentado em fevereiro, então o 
tempo de espera logicamente irá diminuir. 
Portanto, o item está certo. 
 
QUESTÃO 15 (ESAF - AFC/STN/Contábil-Financeira/2000) 
Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente 
proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são 
produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando 
forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a 
 a) 625/25 
 b) 625/24 
 c) 625/16 
 d) 625/15 
 e) 625/12 
COMENTÁRIOS: 
Sejam: 
c: custo total; 
q: quantidade produzida. 
 
Vamos traduzir as informações do enunciado... 
Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente 
proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. 
Ou seja: 
𝑞2 𝑥 𝑐 = 𝑘 
Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. 
Essa informação foi dada para acharmos a constante de 
proporcionalidade, de modo que: 
52 𝑥 225 = 𝑘 
𝒌 = 𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a 
Ou seja: 
122 𝑥 𝑐 = 5625 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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𝑐 =
5625
144
 
𝒄 =
𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔
 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 16 (CETRO – Auditor-Fiscal/Pref-SP/2014) 
Com o intuito de gratificar, por mérito, os funcionários de uma 
repartição pública, o valor a ser repartido com os 3 funcionários mais 
assíduos é de R$ 54.500,00. O maior prêmio será pago àquele que 
menos faltas tiver, e o menor ao terceiro com menor número de 
ausências, proporcionalmente. João faltou 1 dia, Angélica 3 e Samuel 
5. O valor recebido por Samuel será de 
 a) R$7.512,30. 
 b) R$7.108,70. 
 c) R$7.006,90. 
 d) R$6.987,30. 
 e) R$6.807,50. 
COMENTÁRIOS: 
Estamos diante de uma questão de grandezas inversamente 
proporcionais, pois é informado que: 
O maior prêmio será pago àquele que menos faltas tiver. 
 
Sejam os seguintes termos: 
A: Angélica; 
J: João; 
S: Samuel. 
Vamos analisar cada frase do enunciado, transformando-a para a 
linguagem matemática: 
O valor a ser repartido com os 3 funcionários mais assíduos é 
de R$ 54.500,00. 
Ou seja: 
A + J + S = 54.500 (I) 
 
João faltou 1 dia, Angélica 3 e Samuel 5. 
Podemos, então, montar a seguinte proporção: 
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
Diego Assis Cruz - 783.091.662-49
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𝐴
1
3
=
𝐽
1
1
=
𝑆
1
5
 (II) 
 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (II), 
temos: 
𝐴 + 𝐽 + 𝑆
1
3 +
1
1 +
1
5
=
𝑆
1
5
 
Substituindo (I) na proporção acima, encontramos: 
54.500
23
15
=
𝑆
1
5
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos: 
23
15
. 𝑆 = 54500.
1
5
 
23
15
. 𝑆 = 10900 
𝑆 = 10900.
15
23
 
𝑺 = 𝟕𝟏𝟎𝟖, 𝟕 
 
Portanto, Samuel recebeu R$ 7.108,70, o que torna a alternativa 
B correta. 
 
5. Regra de Sociedade 
Trata-se de um caso particular da divisão proporcional, que é aplicado 
quando, numa sociedade empresarial, dois ou mais sócios querem 
dividir o lucro ou o prejuízo, após um determinado período de 
funcionamento da empresa. 
Daí, 3 casos podem ocorrer: 
 1º caso: Os tempos de permanência dos sócios na empresa 
são iguais e os capitais investidos são diferentes. 
Nessa situação, a divisão do lucro/prejuízo será diretamente 
proporcional aos valores dos capitais. 
 
 2º caso: Os capitais dos sócios são iguais e os tempos de 
permanência de cada um na empresa são diferentes. 
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Nessa situação, a divisão do lucro/prejuízo será diretamente 
proporcional aos tempos de cada um. 
 
 3º caso: Os capitais e os tempos de permanência são 
diferentes. 
Nessa situação, a divisão do lucro/prejuízo será diretamente 
proporcional ao produto dos capitais pelos tempos. 
 
Resumindo: 
 
 
 
QUESTÃO 17 (ESAF - ATA/Ministério da Fazenda/2014) 
O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em partes 
diretamente proporcionais aos capitais que eles empregaram. 
Sabendo-se que o lucro de um determinado mês foi de 60 mil reais 
e que os capitais empregados por Ana, Beto e Carina foram, 
respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, calcule a 
parte do lucro que coube a Beto. 
a) R$ 20 mil b) R$ 15 mil c) R$ 23 mil d) R$ 25 mil e) R$ 18 mil 
COMENTÁRIOS: 
Sejam: 
CAPITAIS (C)
≠
=
≠
TEMPOS (T)
=
≠
≠
A divisão é 
diretamente 
proporcional a:
C
T
C . T
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Sejam a, b e c cada parte que será dividida diretamente 
proporcional a 40, 50 e 30, respectivamente. Daí, teremos: 
40
𝑎
=
50
𝑏
=
30
𝑐
= 𝑘 
 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes e 
consequentes, temos: 
40 + 50 + 30
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= 𝑘 
120
60
= 𝑘 → 𝒌 = 𝟐 
Nosso objetivo consiste em obter a parte do lucro que coube a Beto (b). 
Daí: 
50
𝑏
= 𝑘 
50
𝑏
= 2 → 𝑏 =
50
2
 
𝒃 = 𝟐𝟓 
Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
 
QUESTÃO 18 (ESAF - AFC/STN/Contábil-Financeira/2008) 
Uma empresa (S/A) obteve resultado positivo no ano, que gerou um 
dividendo de R$ 150.000,00, a ser rateado entre os 4 (quatro) 
sócios. Como cada sócio possui o dobro de ações do sócio anterior, 
os valores a serem distribuídos são respectivamente de: 
 a) R$ 37.500,00 para cada sócio. 
 b) R$ 15.000,00; R$ 30.000,00; R$ 45.000,00; R$ 60.000,00. 
 c) R$ 10.000,00; R$ 20.000,00; R$ 40.000,00; R$ 80.000,00. 
 d) R$ 5.000,00; R$ 25.000,00; R$ 45.000,00; R$ 75.000,00. 
 e) R$ 10.000,00; R$ 25.000,00; R$ 45.000,00; R$ 70.000,00. 
COMENTÁRIOS: 
Vamos traduzir as informações do enunciado... 
...cada sócio possui o dobro de ações do sócio anterior... 
Supondo que o sócio minoritário tenha 1 ação, o segundo sócio tem 2 
ações (dobro do anterior), ao passo que o sócio seguinte tem 4 ações. 
Por fim, o último sócio tem 8 ações. Assim, o total de ações é: 
1 + 2 + 4 + 8 = 15 
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Uma empresa (S/A) obteve resultado positivo no ano, que gerou 
um dividendo de R$ 150.000,00, a ser rateado entre os 4 (quatro) 
sócios. 
Ou seja: 
150.000
15
= 10.000 
 
Logo, cada sócio recebe R$ 10.000,00 por ação, de tal modo que as 
quantias recebidas serão: 
 R$ 10.000,00 
 R$ 20.000,00 
 R$ 40.000,00 
 R$ 80.000,00 
Portanto,a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 19 (CESPE – Agente Administrativo/MDIC/2014) 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, 
no ato de abertura, Lúcio contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com 
R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 
13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de 
forma diretamente proporcional à participação financeira de cada um 
dos sócios no ato de abertura da loja. 
A partir dessas informações, julgue o item a seguir. 
Se o lucro obtido ao final de determinado mês for igual a R$ 
7.000,00, então a parcela de Cláudia no lucro será superior a R$ 
1.700,00 nesse mês. 
COMENTÁRIOS: 
Sejam: 
B: parcela do lucro destinada a Breno; 
C: parcela do lucro destinada a Cláudia; 
D: parcela do lucro destinada a Denise; 
L: parcela do lucro destinada a Lúcio. 
Vamos às traduções... 
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Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma 
diretamente proporcional à participação financeira de cada um dos 
sócios no ato de abertura da loja. 
Ou seja: 
𝐵
15.000
=
𝐶
12.000
=
𝐷
13.000
=
𝐿
10.000
= 𝑘 
 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes e 
consequentes, temos: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
15.000 + 12.000 + 13.000 + 10.000
= 𝑘 
Como lucro total foi de R$ 7.000, temos: 
7.000
50.000
= 𝑘 
𝒌 = 𝟎, 𝟏𝟒 
Nosso objetivo consiste em obter a parcela de Cláudia no lucro. Daí: 
𝐶
12.000
= 𝑘 → 𝐶 = 0,14 𝑥 12.000 
𝑪 = 𝟏. 𝟔𝟖𝟎 
Portanto, o item está errado. 
 
QUESTÃO 20 (FCC – Técnico Administrativo/Cam Mun-SP/2014) 
Uma empresa foi constituída por três sócios, que investiram, 
respectivamente, R$ 60.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 20.000,00. No 
final do primeiro ano de funcionamento, a empresa obteve um lucro 
de R$ 18.600,00 para dividir entre os sócios em quantias 
diretamente proporcionais ao que foi investido. O sócio que menos 
investiu deverá receber 
 a) R$ 2.100,00. 
 b) R$ 2.800,00. 
 c) R$ 3.400,00. 
 d) R$ 4.000,00. 
 e) R$ 3.100,00. 
COMENTÁRIOS: 
Vejamos agora uma forma de resolução mais rápida... 
De acordo com o enunciado, percebe-se que o capital total investido 
pelos três sócios foi: 
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𝑃 = 60.000 + 40.000 + 20.000 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
Se, após um ano de funcionamento, a empresa obteve um lucro de R$ 
18.600, o qual deverá ser repartido proporcionalmente entre os sócios, 
então o sócio com menor participação no capital tem direito a: 
20.000
120.000
 𝑥 18.600 = 0,1667 𝑥 18.600 = 𝟑. 𝟏𝟎𝟎 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
QUESTÃO 21 (FCC - Escriturário/Banco do Brasil/2013) 
Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro 
será dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um 
dos seus quatro sócios possui. O sócio majoritário detém 9 das cotas 
e os outros três sócios possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da 
sociedade. A quantia, em reais, que o sócio que possui 3 cotas 
receberá nessa divisão é igual a 
 a) 15.500,00. 
 b) 139.500,00. 
 c) 46.500,00. 
 d) 62.000,00. 
 e) 31.000,00. 
COMENTÁRIOS: 
O número total de cotas é: 
9 + 11 + 3 + 4 = 𝟏𝟕 
Visto que são 17 cotas, então cada cota corresponde a: 
263.500
17
= 𝟏𝟓. 𝟓𝟎𝟎 
Logo, se um sócio possui 3 cotas, ele ficará com: 
3 𝑥 15.500 = 𝟒𝟔. 𝟓𝟎𝟎 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
 
PORCENTAGEM 
 
 
1. Introdução 
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Com certeza você já viu o símbolo de porcentagem antes: %. Ele 
aparece bastante em prova, sobretudo em matemática financeira, além 
de estar presente em vários aspectos da nossa vida cotidiana. 
A expressão por cento quer dizer dividido por cem. O símbolo % 
sempre vem depois de um número. Ele quer dizer apenas que este 
número está divido por 100. 
Por exemplo, se escrevemos 20%, isto significa que o número 20 está 
sendo dividido por 100, ou seja, 20% é igual a 
20
100
. 
Existem três maneiras de se representar esse número: 
 
 
Dados dois números, A e B, dizemos que A é igual a p% de B quando 
o valor A é igual a p/100 do valor B. 
A é p% de B ↔ A = 
𝒑
𝟏𝟎𝟎
. 𝑩 
Assim, todo problema de porcentagem dependerá, basicamente, de 
determinarmos um dos valores dados na expressão acima, em função 
dos outros dois. 
Ademais, é essencial sabermos que existe uma forma interessante de 
obtermos um determinado percentual. Consiste em dividir a parte 
pelo todo: 
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆
𝑻𝒐𝒅𝒐
= 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 
Porcentagem
Forma
Percentual
(20%)
Forma
Fracionária
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
Forma
Unitária
(0,20)
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Logicamente, dado o percentual, para achar a quantidade referente à 
parte, basta multiplicar o percentual pelo todo. 
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆 = 𝑻𝒐𝒅𝒐 𝒙 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 
 
Embora não seja a única, essa comparação de parte e todo é a 
aplicação mais frequente da porcentagem. 
 
 
QUESTÃO 22 (CESPE - AuxJ/TRT 6/Serviços Gerais/2002) 
Julgue o item abaixo. 
Se um trabalhador ganha R$ 800,00 líquidos por mês, gasta 
25% de seu salário em alimentação, 30% em aluguel, 25% 
em outras despesas e aplica o restante em uma caderneta de 
poupança, então o valor aplicado mensalmente é maior que 
R$ 150,00. 
COMENTÁRIOS: 
Se somarmos aluguel, alimentação e outras despesas, teremos: 
25% + 30% + 25% = 𝟖𝟎% 
Assim, sobram apenas 20% de seu salário. Ou seja: 
20% 𝑥 800 = 𝟏𝟔𝟎 
Logo, ele aplica por mês R$ 160,00, o que torna o item certo. 
 
QUESTÃO 23 (ESAF - Agente Executivo/SUSEP/2006) 
Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 
homens. Considerando que a porcentagem de aprovação entre os 
candidatos mulheres foi de 20% e entre os homens foi de 15%, 
calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, 
independentemente do sexo. 
 a) 15% 
 b) 17% 
 c) 18% 
 d) 19% 
 e) 20% 
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COMENTÁRIOS: 
Digamos que são apenas 100 candidatos, sendo 60 mulheres e 40 
homens. 
Vamos trabalhar com cada informação fornecida pelo enunciado: 
20% das mulheres foram aprovadas. 
Logo, multiplicando o percentual pelo todo, o número de mulheres 
aprovadas é: 
20
100
 . 60 = 𝟏𝟐 
 
Assim, dozemulheres foram aprovadas. 
 
15% dos homens foram aprovados. 
Logo, multiplicando o percentual pelo todo, o número de homens 
aprovados é: 
15
100
 . 40 = 𝟔 
Assim, doze mulheres foram aprovadas. 
Somando homens e mulheres, a quantidade de aprovados é: 
12 + 6 = 18 
Logo, temos 18 aprovados em um total de 100 pessoas, de forma que 
o percentual geral de aprovados é: 
𝑷𝒂𝒓𝒕𝒆
𝑻𝒐𝒅𝒐
= 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 
18
100
= 𝟏𝟖% 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 24 (ESAF – Auditor-Fiscal do Trabalho/MTE/2010) 
Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área 
de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área 
de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% 
dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos 
da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais 
de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que 
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estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em 
cursos de ciências exatas? 
a) 20,00%. b) 21,67%. c) 25,00%. d) 11,00%. e) 33,33%. 
COMENTÁRIOS: 
Vamos supor que são 100 alunos. 
56% estudam humanas. 
56% de 100 = 56 
 
44% cursam exatas 
44% de 100 = 44. 
 
Destes 44, temos: 
 5 estudam matemática (=5% do total) 
 6 estudam física (=6% do total). 
 
O número de alunos que estudam matemática ou física é igual a 11. 
Assim, de cada 44 alunos de exatas, 11 estudam matemática ou 
física. 
O percentual procurado, levando em conta a comparação da parte pelo 
todo, é de: 
11
44
= 𝟐𝟓% 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
QUESTÃO 25 (CESPE – Analista Administrativo/IBAMA/2013) 
Uma extensa região de cerrado é monitorada por 20 fiscais do IBAMA 
para evitar a ação de carvoeiros ilegais. Dessa região, a vegetação 
de 87 km2 foi completamente arrancada e transformada ilegalmente 
em carvão vegetal. Os 20 fiscais, trabalhando 8 horas por dia, 
conseguem monitorar toda a região em 7 dias. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, 
considerando que os 20 fiscais são igualmente eficientes. 
Se a parte devastada por carvoeiros ilegais corresponder a 15% da 
área da referida região, então a região tem mais de 575 km2 de área. 
COMENTÁRIOS: 
Seja x a área total da região de cerrado. 
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O enunciado afirma que a parte devastada por carvoeiros ilegais, 87 
km2, corresponde a 15% de x. Ou seja: 
15
100
. 𝑥 = 87 
𝑥 =
87 . 100
15
= 𝟓𝟖𝟎 
Assim, a área total da região de cerrado é de 580 km2, o que é superior 
a 575 km2. 
Portanto, o item está certo. 
 
QUESTÃO 26 (CESPE - ATA MIN/2013) 
Determinada construtora emprega 200 empregados na construção 
de cisternas em cidades assoladas por seca prolongada. Esses 
empregados, trabalhando 8 horas por dia, durante 3 dias, constroem 
60 cisternas. Com base nessas informações e considerando que 
todos os empregados sejam igualmente eficientes, julgue o item que 
segue. 
Considere que, de 1.250 cisternas construídas, 8% delas tiveram de 
ser refeitas por apresentarem defeitos de várias naturezas. 
Considere, ainda, que, das cisternas que apresentaram defeitos, 
15% foram refeitas por terem apresentado vazamentos. Em face 
dessa situação, é correto afirmar que, das 1.250 cisternas 
construídas, menos de 1,3% delas foram refeitas por apresentarem 
vazamentos. 
COMENTÁRIOS: 
Sabemos que foram 1.25º cisternas construídas. No entanto, 8% 
tiveram defeito: 
0,08 𝑥 1.250 = 𝟏𝟎𝟎 
Assim, havia 100 cisternas com defeito. Destas, 15% tiveram 
vazamento: 
0,15 𝑥 100 = 𝟏𝟓 
Logo, foram 15 cisternas com vazamento. 
A fim de calcularmos quantos por cento estas 15 representam em 
relação ao total, basta dividirmos as duas quantias (parte pelo todo): 
15
1.250
= 0,012 = 𝟏, 𝟐% 
 
De fato, é um valor inferior a 1,3%, o que torna o item certo. 
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2. Fator Multiplicativo 
O fator multiplicativo nos ajuda muito a resolver problemas de 
matemática financeira e é o item mais importante desta aula. 
Este conceito ficará mais claro por meio do seguinte exemplo. 
Imagine uma pessoa que recebe um salário de R$ 800,00 e recebe um 
aumento de 20%. Quanto ela receberá após o aumento? 
Vamos calcular o valor do aumento: 
𝐴 =
𝑝
100
. 𝐵 
𝐴 =
20
100
. 800 =
16000
100
= 𝟏𝟔𝟎 
Daí, calculamos o salário final (C) somando o aumento (A) com o salário 
anterior (B): 
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 160 + 800 = 𝟗𝟔𝟎 
Pronto, problema resolvido! No entanto, meu amigo, existe uma 
maneira de obter esse mesmo resultado de forma mais rápida, 
multiplicando o salário anterior (B) pelo fator de multiplicação (f) 
que, por definição, vale: 
𝒇 = 𝟏 + 𝒊 
Se alguma grandeza aumenta de uma taxa i, para sabermos seu 
valor final após o aumento, basta multiplicarmos seu valor 
inicial pelo fator de multiplicação f. Logo: 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊) 
 
Aplicando isso ao nosso exemplo, veja como seria a resolução: 
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼. (1 + 𝑖) 
𝑉𝐹 = 800. (1 + 0,2) = 800.1,2 = 𝟗𝟔𝟎 
 
 
Aumentar algo em 20% é o mesmo que multiplicar por 
1,2. 
 
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E isso vale para qualquer outro aumento. Aumentar algo em 30% é o 
mesmo que multiplicar por 1,3. E assim por diante. 
 
Tenho certeza que você já está imaginando como seria a situação 
contrária, ou seja, se a grandeza sofrer uma redução. Bem, 
considere que a pessoa do exemplo acima tenha seu salário de R$ 
800,00 reduzido em 20%. Qual será o valor do seu novo salário após a 
redução? 
Nesse caso, iremos utilizar a mesma fórmula do fator multiplicativo 
diante de um aumento, mas com uma grande diferença: considerarmos 
um valor negativo para a taxa. Em outras palavras, isso significa que 
um desconto de 20% equivale a um aumento de (-20%). Ficou claro? 
Então, vamos voltar ao problema da redução de 20% no salário. Como 
dito, iremos utilizar o mesmo raciocínio do aumento. Logo: 
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼. (1 + 𝑖) 
𝑉𝐹 = 800. (1 + (−0,2)) = 800. (1 − 0,2) = 800.0,8 = 𝟔𝟒𝟎 
 
 
Diminuir algo em 20% é o mesmo que multiplicar por (1 
- 0,2). 
 
E isto vale para todos os demais percentuais. Portanto, meus amigos, 
não se esqueça: 
 
 
 
Serão positivas as taxas para aumento (ou lucro) e 
negativas as taxas para redução (ou desconto, prejuízo). 
 
Isso pode ser esquematizado da seguinte forma: 
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QUESTÃO 27 (ESAF - Agente Fazendário/Pref-RJ/2010) 
O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha 
crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo 
trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 
10% no último trimestre daquele ano. 
Calcule a taxa de crescimento do PIB desse País, em 2008. 
a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. 
COMENTÁRIOS: 
Suponha que o PIB era inicialmente de 100,00. 
Primeiro ele aumentou 10%. Logo: 
100 × 1,1 = 110 
Depois aumentou 5%. Daí: 
110 × 1,05 = 115,5 
Depois caiu 10%: 
115,5 x (1 - 0,1) = 115,5 x 0,9 = 103,95 
Assim, no geral, o PIB aumentou de 100 para 103,95. Trata-se de 
um aumento (taxa de crescimento) de 3,95%. 
Portanto, a alternativa correta é a letra D. 
FATOR 
MULTIPLICATIVO
1 + i
i positivo
de aumento
i negativo
de redução
VALOR FINAL
DA GRANDEZA
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊)
i positivo
de aumento
i negativo
de redução
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QUESTÃO 28 (CESPE – Polícia Rodoviária Federal/2013) 
Gráfico para o item 
 
 
Considerando os dados apresentados no gráfico, julgue o item 
seguinte. 
O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% 
maior que o número de acidentes ocorridos em 2005. 
COMENTÁRIOS: 
Bem, aumentar algo em 26% é o mesmo que multiplicar por 
1,26. 
Assim, em 2005 tivemos 110 mil acidentes. Aumentando esse valor em 
26%, temos: 
110.000 𝑥 1,26 = 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟎𝟎 
Se em 2008 tivéssemos exatamente 138.600 acidentes, então o 
aumento teria sido de 26%. No entanto, o número foi de 141 mil, que 
é maior do que 138.600, de forma que o aumento foi de mais de 26%. 
Portanto, o item está certo. 
 
QUESTÃO 29 (FCC – Técnico Administrativo/Cam Mun-SP/2014) 
O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja 
J resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma 
mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K 
resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o 
preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o 
dono da loja K deve reajustar o preço em 
a) 20%. b) 50%. c) 10%. d) 15%. e) 60%. 
COMENTÁRIOS: 
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Como os valores são simples, a maneira mais fácil de resolver a questão 
é calculando o preço final da mercadoria na loja J (Pf,J). Como o reajuste 
é para aumento, consideraremos uma taxa positiva (+20%): 
 
Agora, basta calcularmos qual a taxa de aumento suficiente para fazer 
o preço na loja K sair do valor inicial (40) para o mesmo valor da loja J 
(60): 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra B. 
 
3. Aumentos e/ou descontos sucessivos 
Quando temos aumentos ou descontos sucessivos basta 
multiplicarmos o valor da grandeza inicial por cada fator de 
multiplicação obtidos a partir de cada taxa de aumento ou redução, 
assim: 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊𝟏). (𝟏 + 𝒊𝟐). (𝟏 + 𝒊𝟑) … 
 
Onde o valor de i deve ser positivo (+) quando temos uma taxa de 
aumento e deve ser negativo (-) quando temos uma taxa de 
desconto. 
Esquematizando, temos: 
 
VALOR FINAL EM TAXAS SUCESSIVAS
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. 𝟏 + 𝒊𝟏 . 𝟏 + 𝒊𝟐 …
i positivo
de aumento
i negativo
de redução
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Preste atenção no exemplo a seguir, que será fundamental para o bom 
entendimento desse tópico. 
 
 
Um homem recebe um salário hipotético de R$ 1.000,00. Ele recebe 
um aumento de 20% num determinado mês e no seguinte um desconto 
de 20%. Quanto ele passará a receber após esses dois meses? 
COMENTÁRIOS: 
O aumento de 20% será aplicado com um fator de aumento 
(1+0,20), enquanto que o desconto de 20% será aplicado com um 
fator de desconto (1-0,20). Podemos aplicar os fatores 
sucessivamente, multiplicando o valor inicial do salário (R$ 1.000,00) 
por ambos os fatores, fazendo uso da equação mostrada acima: 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊𝟏). (𝟏 + 𝒊𝟐). (𝟏 + 𝒊𝟑) … 
𝑉𝐹 = 1000. (1 + 0,20). (1 − 0,20) = 1000.1,2.0,8 
𝑽𝑭 = 𝟗𝟔𝟎 
Portanto, o salário final será de R$ 960,00. 
 
************** 
 
Temos outro meio para realizar o cálculo acima, de forma que em uma 
situação envolvendo aumentos ou descontos sucessivos, podemos 
calcular o aumento (ou desconto) resultante assim: 
(𝟏 + 𝒊𝑹) = (𝟏 ± 𝒊𝟏). (𝟏 ± 𝒊𝟐). (𝟏 ± 𝒊𝟑) … 
Se o resultado de iR for positivo, teremos um aumento. Por outro 
lado, se o resultado der um número negativo, trata-se de um 
desconto. 
Assim, podemos substituir na equação vista anteriormente: 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊𝟏). (𝟏 + 𝒊𝟐). (𝟏 + 𝒊𝟑) … 
 
 
𝑽𝑭 = 𝑽𝑰. (𝟏 + 𝒊𝑹) 
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Esquematizando, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 30 (FGV/Auditor/Controladoria Geral/MA/2014) 
O prefeito de certo município exerceu seu mandato nos anos de 2009 
a 2012. Em cada um dos anos de 2010, 2011 e 2012 as despesas 
de custeio da administração municipal aumentaram em 20% em 
relação ao ano anterior. Então, as despesas em 2012 superaram as 
de 2009 em, aproximadamente, 
A) 60%. B) 68%. C) 73%. D) 80%. E) 107%. 
COMENTÁRIOS: 
Pelo exposto no enunciado, vemos que houve 3 aumentos (em 2010, 
2011 e 2012), sendo cada um deles foi de 20% em relação ao ano 
anterior. Logo, estamos diante de um caso de aumentos sucessivos, 
em que nosso objetivo consiste em saber qual foi o aumento resultante, 
ou seja, o aumento do último ano (2012) em relação ao ano inicial 
(2009). 
Utilizando a fórmula vista anteriormente, temos: 
(𝟏 + 𝒊𝑹) = (𝟏 + 𝒊𝟏). (𝟏 + 𝒊𝟐). (𝟏 + 𝒊𝟑) … 
Em que i1 = i2 = i3 = 0,2. Substituindo esses valores, temos: 
AUMENTO OU REDUÇÃO RESULTANTE
(1+𝒊𝑹) = 𝟏 ± 𝒊𝟏 . 𝟏 ± 𝒊𝟐 …
i positivo
aumento
i negativo
redução
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(𝟏 + 𝒊𝑹) = (𝟏 + 𝟎, 𝟐). (𝟏 + 𝟎, 𝟐). (𝟏 + 𝟎, 𝟐) = 𝟏, 𝟐 . 𝟏, 𝟐 . 𝟏, 𝟐 
(1 + 𝑖𝑅) = 1,728 ≈ 1,73 
𝑖𝑅 = 1,73 − 1 = 0,73 = 𝟕𝟑% 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
 
REGRA DE TRÊS 
 
 
1. Introdução 
Regra de Três é a operação de cálculo que utilizaremospara resolver 
problemas em que estão envolvidas duas ou mais grandezas direta ou 
inversamente proporcionais. 
Existem dois tipos de regras de três: a simples e a composta. 
Em qualquer das duas, seguiremos os seguintes passos com vistas a 
solucionar a questão proposta: 
 
 
1º) Construir uma tabela, agrupando
as grandezas em colunas e
relacionando cada valor a sua
grandeza;
2º) Verificar as grandezas em relação 
à grandeza da variável que se deseja 
obter, identificando se são direta ou 
inversamente proporcionais;
3º) Inverter os valores das grandezas 
inversamente proporcionais à 
grandeza da variável, caso seja 
necessário;
4º) Montar a proporção e resolver a 
equação.
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RELEMBRANDO 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma 
proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na 
mesma proporção. 
 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, 
aumentando uma delas, a outra também diminui na mesma 
proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também aumenta 
na mesma proporção. 
 
 
2. Regra de Três Simples 
Regra de Três Simples é o método que utilizaremos quando 
estiverem envolvidas apenas duas grandezas, onde o objetivo 
consiste em achar a variável faltante. 
Aumenta
Diminui
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Vale salientar que a regra de três simples possui duas subdivisões, a 
depender da relação de proporção existente entre grandezas envolvidas 
na questão: 
 
 
 
Questão 31 (FCC - Técnico Administrativo/Cam Mun-SP/2014) 
Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. 
Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de 
açúcar necessária para fazer 224 bolachas é 
 a) 14,4 quilogramas. 
 b) 1,8 quilogramas. 
 c) 1,44 quilogramas. 
 d) 1,88 quilogramas. 
 e) 0,9 quilogramas. 
COMENTÁRIOS: 
É muito fácil reconhecer uma questão de regra de três simples, pois 
são fornecidos três valores relacionados a duas grandezas, e em 
seguida a questão solicita que encontremos o valor faltante, que 
completa a proporção (direta ou inversa). Note que é exatamente isso 
o que ocorre nesta questão! 
 
Identificado o assunto, basta que sigamos os passos do caminho da 
resolução de uma questão de regra de três. 
Vamos, então, iniciar a nossa caminhada! 
 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e 
relacionando cada valor a sua grandeza: 
Regra de Três 
Simples
Direta
As duas grandezas 
são diretamente
proporcionais
Inversa
As duas grandezas 
são inversamente
proporcionais
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Quantidade de Bolachas Quantidade de Açúcar 
35 225 gramas 
224 x 
 
Note que utilizamos “x” para representar o valor faltante, isto é, a 
quantidade de açúcar necessária para produzir 224 bolachas. Entendido 
até aqui? Espero que sim! Vamos adiante. 
2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se 
deseja obter, identificando se são direta ou inversamente 
proporcionais. 
Inicialmente escolhemos uma coluna como referência. Geralmente (não 
é obrigatório) a coluna escolhida é aquela que contém a incógnita. No 
caso, nossa referência passa a ser a quantidade de açúcar. 
Em seguida, analisamos como a outra grandeza se comporta quando 
variamos a quantidade de açúcar. Porém, é preciso esclarecer que não 
precisamos utilizar os valores apresentados. Na verdade, basta testar 
o aumento de uma grandeza em relação ao aumento ou à diminuição 
da outra. 
Inclusive, podemos indicar o comportamento das grandezas através de 
setas nas colunas da tabela, a fim de facilitar os cálculos. Assim, 
fixamos a seta cuja grandeza possui a incógnita para cima, indicando 
um aumento: 
Quantidade de Bolachas Quantidade de Açúcar 
35 225 gramas 
224 x 
 
Logo em seguida, verificamos como se comporta a outra grandeza em 
relação ao aumento da grandeza da incógnita. Para isso, no caso da 
presente questão, precisamos nos perguntar: 
“Se aumenta a quantidade de açúcar, aumenta ou diminui a 
quantidade de bolachas produzidas?” 
 
Ora, se aumentarmos a quantidade de açúcar, então mais bolachas 
serão produzidas. Logo, as grandezas são diretamente 
proporcionais! 
Graficamente, temos: 
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Quantidade de Bolachas Quantidade de Açúcar 
35 225 gramas 
224 x 
 
Vamos ao passo seguinte. 
3º) Inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à 
grandeza da variável, caso seja necessário: 
Bem, como as grandezas são diretamente proporcionais, não há 
valores para inverter. 
4º) Montar a proporção e resolver a equação: 
35
224
=
225
𝑥
 
35 . 𝑥 = 225 . 224 
𝑥 =
50400
35
= 1440 gramas = 𝟏, 𝟒𝟒 𝐪𝐮𝐢𝐥𝐨𝐠𝐫𝐚𝐦𝐚𝐬 
Portanto, a alternativa correta é a letra C. 
 
Questão 32 (FCC - Tec ST/SABESP/2014) 
A propaganda de uma tinta para paredes anuncia que uma lata de 
3,6 litros de tinta é suficiente para fazer a pintura de uma superfície 
de 120 m2. Supondo verdadeira a informação da propaganda, a 
quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de 50 m2 é igual 
a 
a) 1,2. b) 2,4. c) 1,5. d) 0,5. e) 0,36. 
COMENTÁRIOS: 
Mais uma questão de regra de três simples. Já sabemos que 
deveremos seguir os 4 (quatro) passos do caminho de resolução! 
Vamos lá. 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e 
relacionando cada valor a sua grandeza: 
Quantidade de Tinta Área da parede 
3,6 litros 120 m2 
x 50 m2 
 
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2º) Verificar as grandezas em relação à grandeza da variável que se 
deseja obter, identificando se são direta ou inversamente 
proporcionais. 
Para isso, no caso da presente questão, precisamos nos perguntar: 
“Se aumenta a quantidade de tinta, aumenta ou diminui a área da 
parede pintada?” 
Ora, se aumentarmos a quantidade de tinta, então uma área maior 
da parede será pintada. Logo, as grandezas são diretamente 
proporcionais! 
Graficamente, temos: 
Quantidade de Tinta Área da parede 
3,6 litros 120 m2 
x 50 m2 
 
3º) Inverter os valores das grandezas inversamente proporcionais à 
grandeza da variável, caso seja necessário: 
Bem, como as grandezas são diretamente proporcionais, não há