4ª Lista Cálculo 2 2017.1

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	EETI – Escola de 
Engenharia e TI
4ª Lista de Exercícios – Cálculo II
Determine o domínio das funções abaixo e represente graficamente:
	
a) .
	
b) .
	
c) 
	
	
	
	
d) .
	
e) 
	
Para esboçar o gráfico das funções abaixo determine o domínio; determine e trace as interseções da superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível;
	
a) .
	
b) .
	
c) .
	
	
	
	
d) .
	
e) 
	
3) Se for a temperatura em um ponto sobre uma placa lisa de metal no plano XOY, então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas. Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o 1o quadrante e .
a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T = 1 e T = 2.
b) Uma formiga, inicialmente sobre o ponto (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é a trajetória tomada pela formiga e qual é a temperatura ao longo de sua trajetória?
4) Se V(x,y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x,y) no plano XOY, então as curvas de nível de V são chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva a voltagem permanece constante. Dado que , identifique a curva equipotencial na qual V = 1.
5) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado.
	
a) 
	
b) 
	
c) 
	
d) 
	
e) 
	
f) 
	
g) 
	
h) 
6) Considere a função . Verifique se a equação é verdadeira .
7) Determine o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,1,5) à curva obtida pela interseção da superfície com plano: a) x = 1; b) y = 1.
8) A área A da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dada por.
A = .r
a) Se r é mantido fixo em 3 cm, enquanto h varia, encontre a taxa de variação de A em relação a h, no instante em que h = 7cm.
b) Se h é mantido fixo em 7cm, enquanto r varia, encontre a taxa de variação de A em relação a r, no instante em que r = 3cm.
9) Um ponto move-se ao longo da interseção do parabolóide elíptico e do plano 
 x = 2. A que taxa está variando z em relação a y quando o ponto está em (2,1,7).
10) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano XOY de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é dada por Determine a taxa de variação de T em relação à distância percorrida ao longo da placa a partir do ponto (1,2), nas direções positivas de:
 
a) OX. b) OY.
11) Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem mistas ( fxy e fyx ) são iguais.
	
a) .
	
b) .
12) Mostre que a função é uma solução da equação da onda .
13) Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace para todo x e y.
a) . b) .
14) Mostre que a função , C constante, satisfaz a equação do calor .
15) Usando a regra da cadeia encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
a) z = 4x3 3x2y2; ; e b) z = ln(u2 + v2); e 
16) Determine a derivada total em cada caso
a) ; b) 
17) O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 2 cm/min e 6 cm/min, respectivamente. Num determinado instante sabe-se que e . A que taxa a área da superfície total está variando neste instante?
Obs.: A área da superfície total do cilindro é .
18) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. As arestas l e w estão aumentando a uma taxa de 0,2m/s, ao passo que h está diminuindo a uma taxa de 0,3m/s. Num certo instante as dimensões da caixa são l = 1m, w = 2m e h = 2m. Neste instante, como está variando o volume da caixa?
19) A altura de um cone circular reto é 10cm e está aumentando a uma taxa de 2cm/s. O raio da base é 15cm e está diminuindo de 1cm/s. a que taxa está variando o volume em relação ao tempo, nesse instante. ( O volume do cone é um terço da área da base vezes a altura ).
20) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, a força eletromotriz é 100v e aumenta à taxa de 3 volts/min, enquanto a resistência é de 50 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. A que taxa varia a corrente I (em amperes) nesse instante, sabendo que, pela lei de Ohm, ?
Questões de Múltiplas Escolha
Analise as afirmativas a seguir:
A equação de estado de Van der Waals reproduz o comportamento de 1 mol de nitrogênio gasoso para certas condições de pressão e temperatura. Tal equação é ,onde P, T e V são as condições de pressão, temperatura e volume molar do gás, respectivamente, R é a constante universal dos gases e a e b são constantes positivas características do gás. A variação da pressão em relação ao volume é: ;
Seja e então ;
Seja então .
Está correto APENAS o que se afirma em
(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) I e III. 
(E) I, II e III.
2) Está correto APENAS o que se afirma em
A equação é chamada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). Soluções dessas equações são chamadas de funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Com base nessas informações, a função é harmônica;
Seja então ;
 não é harmônica;
 (A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) II e III. 
(E) I e III.
O Índice de Massa Corporal (IMC) é um índice do peso de uma pessoa em relação à sua altura. Se uma pessoa tem massa m, em quilogramas, e altura h, em metros, então . Com o resultado do cálculo do IMC e por meio da tabela abaixo da Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade você pode saber como está seu índice. 
 
Considere as seguintes afirmativas:
Suponha que a massa de uma pessoa de 1,5 m de altura e 50kg diminui a uma razão de 0,1kg/hora a variação do IMC é de 0,045 kg/m2/h;
A variação do IMC em relação a altura é ;
 Para que uma pessoa de 2m de altura tenha obesidade de grau III ela tem que pesar menos que 160kg.
Está correto APENAS o que se afirma em:
(A) I. 		(B) II. 		(C) III. 		(D) I e II. 		(E) I, II e III.
Respostas:
1a) 1 b)
A reta y = x não pertence à região
1c) 1d) 1e)
2a)
2e)
2d)
 
3) 
 a) b) O caminho é xy = 4 e a temperatura T = 4
4) A curva é x2 + y2 = 48 (circunferência). 
5) a) fx(Po) = e[ln(2) + 1]; fy(Po) = e/2; b) fx(Po) = 1 ; fy(Po) = 0; 
c) fx(Po) = 0; fy(Po) = 2; d) fx(Po) = 1; fy(Po) = 1 ; 
e) fx(Po) = 1/4 ; fy(Po) = 1/4; f) fx(Po) = eln3 + e/3; fy(Po) = e/3; 
g) gx(Po) = 1/4; gy(Po) = 1; gz(Po) = 1; h) gx(Po) = 1 ; gy(Po) = 1; gz(Po) = 1
6) sim. 7) a) 8; b) 2. 8) a) . b) . 9) 6 10) a) 200; b) 400
11) a) fxy = fyx = 32y3 + 7; b) ; 13) a) não; b)sim 
 
15) a) ; 
b) ; 
16) a) ; b) 
17) 216 cm2/min. 18) 0,6 m3/s; 19) 50cm3/s 20) 0,14 A/min . 
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