Lei_de_Gauss Eletromagnetismo

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Universidade Federal do Rio de Janeiro | Instituto de Física
Física III | 2014/2
Cap. 2 - Lei de Gauss
Prof. Elvis Soares
Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo de
campos elétricos a partir dessa lei.
1 Fluxo Elétrico
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por uma
dada superfície.
Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementos de
área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico é uniforme uma
vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétrico dΦE
através desse elemento de área é
dΦE = EdA
Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela pode mudar.
É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz um ângulo θ com o
campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.
Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo que atravessam
a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos θ é a projeção da superfície dA2, nesse caso. Então,
o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a
Prof. Elvis Soares 1 Fluxo Elétrico
dΦE = ~E · nˆ1dA1 = ~E · nˆ2dA2 ≡ ~E · d ~A
Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma do fluxo
de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxo elétrico se
reduz a integral
ΦE =
∫
~E · d ~A (1)
que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétrico e
da forma da superfície em questão.
2
1 Fluxo Elétrico Prof. Elvis Soares
Exemplo: Fluxo através do Cubo
Consideremos um campo elétrico uniforme ~E orientado ao longo da direção x positivo. Vamos
calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como mostra a
figura.
O fluxo total é a soma dos fluxos através de
todas superfícies do cubo. Primeiramente, no-
tamos que o fluxo através das faces 3©, 4© e
daquelas não numeradas é zero pois ~E é per-
pendicular a d ~A nessas faces.
O fluxo através das faces 1© e 2© é
ΦE =
∫
1
~E · d ~A+
∫
2
~E · d ~A
Na face 1©, ~E é constante e tem a direção oposta ao vetor d ~A1, de modo que o fluxo sobre essa
face é ∫
1
~E · d ~A =
∫
1
(Exˆ) · (−xˆdA1) = −E
∫
1
dA1 = −El2
Na face 2©, ~E é constante e tem a mesma direção do vetor d ~A2, de modo que o fluxo sobre
essa face é ∫
2
~E · d ~A =
∫
2
(Exˆ) · (xˆdA2) = E
∫
2
dA2 = El
2
Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é
ΦE = −El2 + El2 + 0 + 0 + 0 + 0
ΦE = 0
3
Prof. Elvis Soares 2 Lei de Gauss
Exemplo: Fluxo através da Esfera devido a uma Carga
Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de raio R,
como mostra a figura.
+
O fluxo total através da superfície da esfera deve
ser calculado como
ΦE =
∮
~E · d ~A
onde o elemento de área da esfera é d ~A = rˆdA,
de modo que o fluxo através da esfera é
ΦE =
∮ (
k
q
R2
rˆ
)
· (rˆdA) = k q
R2
(4piR2)
Lembrando que k = 1/4pi�0, podemos escrever o fluxo através da esfera como
ΦE =
q
�0
Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna. O
fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional a R2 e, o
campo elétrico é proporcional a 1/R2. Então, o produto da área pelo campo elétrico independe
do raio R.
2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme a figura. A
superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.
Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/�0. Como discutido
anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através
da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1 é igual ao
4
2 Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto, concluímos que
o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é dado por q/�0 e é
independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária,
conforme a figura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por outro
ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando a
superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que não
engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.
A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é q1/�0. O
fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha de campo que
entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S ′ engloba as cargas q2
e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/�0. E finalmente, o fluxo total através de S ′′
é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas as linhas de campo
que entram em S ′′ por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que a carga q4 não
contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todas as superfícies.
Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que o fluxo
total sobre qualquer superfície fechada é
5
Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss
ΦE =
∮
~E · d ~A = Qint
�0
(2)
onde Qint representa a carga total no interior da superfície e ~E representa o campo elétrico em
qualquer ponto na superfície.
3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com alto grau
de simetria.
A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:
1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.
2. O produto escalar ~E · d ~A é zero porque ~E e d ~A são perpencilares, enquanto ~E · d ~A é
±EdA pois ~E e d ~A são paralelos.
3. O campo pode ser zero sobre a superfície.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
6
3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
Exemplo: Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de Gauss.
+
Como o espaço em volta da carga tem sime-
tria esférica, essa simetria nos diz que o campo
elétrico deve ser radial apenas, de forma que
escrevemos
~E = E(r)rˆ
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadas acima,
e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na carga
puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétrico como
ΦE =
∮
~E · d ~A =
∮
E(r)dA =
q
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso, o campo
elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica, devido à distância
ser a mesma em todos os pontos, de modo que∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
q
�0
e assim
E(r) =
q
4pi�0r2
= k
q
r2
Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida, mas
não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidade do campo
elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.
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Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo: Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uniformemnte
com uma carga Q.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que ocampo deve ser radial
para fora
~E = E(r)rˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as figuras abaixo.
No caso em que r > a, conforme figura (a) e do exemplo anterior, sabemos que
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Q
�0
cujo resultado é
E(r > a) = k
Q
r2
No caso em que r < a, conforme figura (b), o fluxo do campo elétrico deve ser
ΦE =
∮
E(r)dA = E(r)
∮
dA = E(r)(4pir2) =
Qint
�0
porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade de carga
da esfera ρ = Q/4
3
pia3 na forma
Qint = ρ
(
4
3
pir3
)
= Q
r3
a3
que juntos resultam em
E(r < a) = k
Q
a3
r
8
3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora da
esfera tem formas diferentes e podemos analisá-
los na forma de um gráfico.
E(r) =
{
k Q
a3
r se r < a
k Q
r2
se r > a
Exemplo: Campo Elétrico de um Fio Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um fio delgado infinito e isolante carregado uniforme-
mente com uma densidade de carga linear λ.
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas é cilindricamente si-
métrica, sabemos que o campo deve ser radial cilín-
drico para fora, conforme a figura (b)
~E = E(s)sˆ
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície
cilíndrica, conforme a figura (a).
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do
campo elétrico através da superfície gaussiana é pro-
porcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(s)
∫
dA = E(s)(2pisl) =
λl
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é per-
pendicular aos vetores d ~A nas superfícies da tampa
e do fundo do cilindro, de modo que o resultado é
E(s) =
λ
2pi�0s
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de car-
gas com simetria cilíndrica cai com 1/r enquanto que
o de uma distribuição com simetria esférica cai com
1/r2. Tal campo foi encontrado no exemplo do fio
carregado, no capítulo anterior, no limite em que o
fio é infinito.
Obs: Se o fio fosse finito, não poderíamos afirmar que na borda desse fio o campo teria a forma
~E = E(s)sˆ. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas ao fio.
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Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores
Exemplo: Campo Elétrico de um Plano Infinito Carregado Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado unifor-
memente com uma densidade de carga superficial σ.
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
Como a distribuição de cargas tem simetria planar,
ou seja, simetria na forma de um plano, sabemos que
o campo deve ser perpendicular à superfície
~E = E(n)nˆ
e que a superfície gaussiana pode ser uma superfície
cilíndrica, conforme a figura.
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana
é proporcional à carga interna à gaussiana
ΦE =
∮
~E · d ~A = E(n)
∫
dA = 2E(n)A =
σA
�0
onde usamos o fato que o campo elétrico ~E é perpendicular aos vetores d ~A na lateral do cilindro
e somente há fluxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é
E(n) =
σ
2�0
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana infinita independe da distância
ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo anterior, no
limite em que o disco é infinito.
4 Cargas em Condutores
Como vimos no capítulo anterior, um bom condutor elétrico contem cargas (elétrons) que não
estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro do material.
Quando não há nenhum movimento
Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:
1. O campo elétrico é zero em qualquer lugar no interior do condutor.
2. Se um condutor isolado está carregado, sua carga reside na superfície.
3. O campo elétrico no exterior muito próximo do condutor é perpendicular à superfície e
de módulo σ/�0.
4. Num condutor de forma irregular, a densidade de carga σ é maior onde menor for o raio
de curvatura da superfície.
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4 Cargas em Condutores Prof. Elvis Soares
Vamos verificar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é apresentada
aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em equilíbrio eletrostático,
mas será verificada apenas no capítulo seguinte.
Primeira propriedade: Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo elétrico
externo ~E.
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
O campo elétrico dentro do condutor deve ser
zero sobre a hipótese que estamos em equilíbrio
eletrostático. Se o campo não fosse zero, os elétrons
livres experimentariam uma força elétrica e iriam
acelerar devido a essa força. Esse movimento dos
elétrons, contudo, significaria que o condutor não
está em equilíbrio eletrostática.
Assim, a existência do equilíbrio eletrostático é con-
sistente apenas com o campo zero no condutor.
Segunda propriedade: Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma superfície
gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da superfície do condutor o
quanto quisermos.
Como já mostramos, o campo elétrico no interior do
condutor deve ser nulo quando está em equilíbrio
eletrostático. Portanto, o campo elétrico deve ser
nulo em todos os pontos da gaussiana, de modo que
o fluxo total sobre essa superfície deve ser nulo. E
pela Lei de Gauss, concluímos que a carga total no
interior da gaussiana é zero.
Assim, como a carga total dentro do condutor deve
ser nula, a carga total no condutor reside na sua su-
perfície.
Terceira propriedade: Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade. Notamos
que se o campo elétrico ~E tiver componente paralela à superfície do condutor, elétrons livres
sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o que no caso de equilíbrio
eletrostático é proibido. Então, o vetor ~E deve ter apenas componente normal à superfície.
+ +
+ +
+
+
+
+
++
+
+
+
+++
+
+
+
+
Vamos usar uma gaussiana na forma de um cilin-
dro tão pequeno quanto quisermos, cujas faces pla-
nas são paralelas à superfície do condutor, enstando
parte do cilindro fora do condutor e parte dentro. O
fluxo sobre a superfície lateral do cilindro é zero, pois
o campo é paralelo à superfície, e na superfície den-
tro do condutor é zero pois o campo é zero naquela
região.
11
Prof. Elvis Soares 4 Cargas em Condutores
Então, o fluxo na gaussiana é apenas
ΦE =
∮
EdA = EA =
Qint
�0
=
σA
�0
de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a
E =
σ
�0
tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.
Exemplo: Esfera dentro de uma Casca Esférica Condutores
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado infinito e isolante carregado unifor-
memente com uma densidade de carga superficial σ.
Como a distribuição de cargas tem simetria esférica,
a direção do campo elétrico deve ser radial de tal
forma que
~E = E(r)rˆ
Região 1: Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma superfície
gaussiana de raio r < a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático
é zero, Qint = 0 , então, usando a Lei de Gauss e simetria, E(r < a) = 0.
Região 2: Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raio r onde a < r < b e
notemos que a carga no interior dessa superfície é +2Q (a carga da esfera sólida). Devido à
simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de Gauss
E(4pir2) =
2Q
�0
e assim
E(a < r < b) = k
2Q
r2
Região 3: Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também um
condutor em equilíbrio, então E(b < r < c) = 0.
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4 Cargas em CondutoresProf. Elvis Soares
Região 4: Usando uma gaussiana esférica de raio r onde r > c e notando que a carga interna
a essa superfície é Qint = +2Q+ (−Q) = Q, temos
E(r > c) = k
Q
r2
Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e representado num
gráfico como a seguir.
E(r) =

0 se r < a
k 2Q
r2
se a < r < b
0 se b < r < c
k Q
r2
se r > c
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