Apostila Estatística (frequências)

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TRABALHANDO COM AS FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
	Oi, minha gente! Como não ficaram exercícios remanescentes da aula passada, partiremos imediatamente para o assunto de hoje, dando seqüência ao estudo das colunas de freqüência. 
( Freqüência Relativa Simples (Fi)
Agora que conhecemos as três colunas de freqüências absolutas, passaremos às freqüências relativas. O que as diferencia – freqüências absolutas e relativas – é o fato de que as absolutas indicam (como o próprio nome sugere) valores absolutos, ou seja, indicam o número de elementos; enquanto que as relativas indicam percentuais de elementos.
Designam-se as freqüências simples com a letra “f ” (minúscula) e as relativas pela maiúscula “F”. Daí, não podemos nos esquecer: se a questão trata de número de elementos, pensaremos em freqüências absolutas; se a questão trata de percentual de elementos, pensaremos em freqüências relativas.
A primeira coluna de freqüência relativa que veremos é a Freqüência Relativa Simples – Fi, que será originada a partir da freqüência absoluta simples fi (conforme ilustra o caminho das pedras!) e, por sua vez, dará origem aos dois outros tipos de freqüência relativa. Relembremos esta parte do caminho das pedras:
								 Fac	
						 		 
				fi Fi
						 		 Fad
A freqüência relativa simples – Fi – será determinada por meio de uma conta, uma divisão, que é a seguinte:
			
	Onde fi é a freqüência absoluta simples da classe, e (fi (somatório da freqüência absoluta simples) é o número de elementos do conjunto, ou seja, é o nosso “n”. Já vimos que este “n” será encontrado simplesmente somando-se a coluna da freqüência absoluta simples – fi. 
Daí, teremos:	
			
	Portanto, teremos que fazer esta divisão para cada uma das classes, para assim completarmos a coluna da freqüência relativa simples. 
Vejamos o nosso exemplo:
	Altura dos alunos
	fi
	Fi
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
 1,90 |( 2,00 
	6
11
19
10
4
	0,12 ou 12% (=6/50)
0,22 ou 22% (=11/50)
0,38 ou 38% (=19/50)
0,20 ou 20% (=10/50)
0,08 ou 8% (=4/50)
	Total
	n=50
	
Vamos ilustrar um exemplo de como estas contas foram elaboradas. Para a primeira classe, como tínhamos fi = 5, a conta foi a seguinte:
6 / 50 = 0,12 (= 12%)
Observemos que a resposta em termos unitários (0,12) significa a mesmíssima coisa que a resposta em termos percentuais (12%). Apenas é uma maneira diferente de se representar. Tanto é assim que, nas provas, podem vir fornecidas de qualquer dos dois formatos (12% ou 0,12). Para passar do modo unitário para o percentual, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita e acrescer o símbolo do percentual (%). 
Atentemos para o seguinte fato: quando começamos a construir esta coluna da Fi, verificamos que o resultado da conta, neste nosso exemplo, é sempre – em termos percentuais – o dobro da freqüência simples fi. Vejamos: na primeira classe, a fi é 6 e a Fi é 12% (6x2=12); na segunda classe, a fi é 11 e a Fi é 22% (11x2=22). Ora, se o candidato quiser continuar fazendo sempre aquela divisão, irá constatar que, para este nosso exemplo, a regra já está estabelecida (uma vez que dividir por 50 resultaria o mesmo efeito que multiplicar por 2, acrescentando o símbolo do percentual!). Esta observação na hora da prova pode nos dar alguns segundos de vantagem sobre a concorrência!
Percebemos, portanto, que não há dificuldade alguma em se construir a Fi. Basta nos lembrarmos da divisão, e pronto! Agora, qual o significado desta coluna de freqüência? Muito simples: a Freqüência Relativa Simples indica o percentual de elementos que pertence a cada classe.
No nosso exemplo, o valor 20% presente na quarta classe da Fi significa apenas que 20% do total dos elementos do conjunto têm altura entre 1,80 e 1,90m (1,89m para ser mais exato. Vide intervalo de classe). Ou seja, fazem parte da quarta classe, 20% dos elementos do conjunto. 
A Fi da segunda classe é 22%. Isto significa que há 22% do total de elementos do conjunto que estão compreendidos nesta classe, ou seja, com altura entre 1,60 e 1,70m (1,69m, exatamente). E assim por diante!
Eventualmente, pode a prova fornecer a Fi e precisarmos encontrar a fi, freqüência absoluta simples. Neste caso, mais uma vez, percorreremos o sentido de retorno do caminho das pedras. Aqui a coisa será bem simples. Basta usar a mesma fórmula que vimos acima, agora isolando a fi em vez da Fi. 
Teremos que:
			fi = Fi . n
Ou seja, multiplicaremos, ao invés de dividirmos! Atenção: se isto acontecer na nossa prova (e já aconteceu!), observe que o enunciado terá, necessariamente, que fornecer o “n”, ou seja, terá que informar o número total de elementos do conjunto! Vejamos o nosso exemplo, e suponhamos que a questão informou que o número total de elementos do nosso conjunto é n=50. 
Daí, teremos:
	Altura dos alunos
	Fi
	fi
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
1,90 |( 2,00 
	 12% (ou 0,12)
 22% (ou 0,22)
38% (ou 0,38)
20% (ou 0,20)
8% (ou 0,08)
	 6 (= 0,12 x 50)
11 (= 0,22 x 50)
19 (= 0,38 x 50)
10 (=0,20 x 50)
4 (=0,08 x 50)
	Total
	
	n=50 (dado da questão)
	Uma vez dispondo da coluna da freqüência absoluta simples – fi – estamos finalmente aptos a iniciar a resolução da prova. 
	Se você é bom observador, deve ter notado o seguinte: o somatório da coluna da freqüência relativa simples (Fi) será sempre, necessariamente, 100% (ou 1,00 se usarmos a notação unitária em vez da percentual). Isto é até uma redundância, pois se a Fi significa o percentual de elementos do conjunto que pertence a cada classe, se somarmos os percentuais de todas as classes teremos a totalidade do conjunto, ou seja, 100%. Portanto, se formos obrigados a construir a coluna da Freqüência Relativa Simples, uma boa maneira de constatarmos se acertamos as contas é somarmos esta coluna. Se der 100%, é sinal que provavelmente acertamos. Se der diferente de 100%, é certeza que erramos!
( Freqüência Relativa Acumulada Crescente (Fac)
Gerada a partir da Freqüência Relativa Simples, a Fac é de construção semelhante à freqüência absoluta crescente. O processo é o mesmo. A diferença consiste apenas no fato de que a fac é oriunda da fi, enquanto a Fac nasce da Fi. Ou seja, as acumuladas absolutas – fac e fad – derivam da freqüência absoluta simples fi; enquanto que as acumuladas relativas – Fac e Fad – derivam da freqüência relativa simples Fi. 
Basta lembrar do caminho das pedras:
				fad
		fi 		fad				( Caminho das Pedras!
						 Fac
				Fi
						 Fad
	Da mesma forma que a fac, também a Fac será apelidada de coluna do “abaixo de”, e será construída de cima para baixo, a partir da Fi. Observemos que na primeira classe, ambas as colunas – Fi e Fac – têm o mesmo valor. Daí, para se completar a Fac basta sair somando na diagonal. Vejamos, no nosso exemplo, como se faz a Fac:
	Altura dos alunos
	Fi
	Fac (
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
 1,90 |( 2,00 
	12%
22%
38%
20%
8%
	 12% (= à primeira fi)
 34% (= 12% + 22%)
 72% (= 34% + 38%)
 92% (= 72% + 20%)
 100% (= 92% + 8%)
	Total
	
	
	Agora o significado desta coluna Fac: representa o percentual de elementos do conjunto com valor “abaixo do” limite superior da classe correspondente. Por exemplo, se perguntarmos qual o significado do valor 34% presente na segunda classe da Fac: simplesmente que há 34% dos elementos do conjunto que têm estatura “abaixo de” 1,70m (que é o limite superior desta classe). Se conferirmos na coluna da Fi, confirmaremos que de fato, são 12% da primeira classe, e mais 22% da segunda. Total: 34%. Outroexemplo: o que significa o valor 92% na quarta classe da Fac? Apenas que 92% dos elementos do conjunto têm altura “abaixo de” 1,90m (limite superior desta classe). E assim por diante.
	E se a prova, em vez de trazer a Fi para a construção da Fac, fizer exatamente o contrário, ou seja, fornecer a Fac para construirmos a Fi? Neste caso percorreremos a volta do caminho das pedras, de forma análoga a que utilizamos na caso das freqüências absolutas, ou seja, na coluna da Fac, faremos “próxima Fac menos a Fac anterior”. 
Vejamos:
	Altura dos alunos
	 Fac (
	Fi
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
1,90 |( 2,00 
	 12%
 34% (34%-12%=)
 72% (72%-34%=)
 92% (92%-72%=)
 100% (100%-92%=)
	12%
22%
38%
20%
 8%
	Total
	
	100%
	Conforme já sabemos, a coluna de freqüências imprescindível para iniciarmos a resolução de uma prova de estatística é a da freqüência absoluta simples – fi. Se, por acaso, o enunciado da prova fornecer apenas a Freqüência Relativa Acumulada Crescente, Fac, o passo que fizemos acima será apenas o primeiro para chegarmos à fi. Uma vez de posse da Freqüência Relativa Simples (como fizemos acima), teremos depois que passar da Fi para a fi. E este segundo passo já foi feito por nós hoje mesmo, na página anterior!
	Ou seja, para passarmos de qualquer das duas freqüências relativas acumuladas, ou Fac ou Fad, para a freqüência absoluta simples, fi, teremos que fazê-lo em dois momentos distintos; sendo o primeiro passo chegarmos à Freqüência Relativa Simples, Fi. Desta, chegaremos finalmente à freqüência absoluta simples, fi.
( Freqüência Relativa Acumulada Decrescente (Fad)
Conforme indicado no caminho das pedras, nasce também a Fad a partir da Freqüência Relativa Simples, Fi. Seu apelido, da mesma forma que nas freqüências absolutas, é coluna do “acima de”. E será construída de baixo para cima! Portanto, na última classe, Fad e Fi terão o mesmo valor. Atento(a) como eu sei que você é, tenho certeza que até já sabe como formar esta coluna. 
Começando de baixo (da última classe), subiremos somando com a diagonal da Fi. Vejamos o nosso exemplo:
	
	Altura dos alunos
	Fi
	 Fad (
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
 1,90 |( 2,00 
	 12%
 22%
 38%
 20%
 8%
	100% (=88%+12%)
 88% (=66%+22%)
 66% (=28%+38%)
 28% (=8%+20%)
 8%
	Total
	100%
	
	
O que significa a Fad? Significa o percentual de elementos do conjunto que tem valor acima do limite inferior da classe correspondente. Por exemplo: o valor 28% presente na quarta classe da Fad significa o quê? Apenas que há 28% dos elementos do conjunto com estatura acima de 1,80m. (20% da quarta classe mais 8% da quinta classe). Outro exemplo: o que significa o valor 88% presente na segunda classe da Fad? Que 88% dos elementos do conjunto têm altura acima de 1,60m (que é o limite inferior!). 
	Obviamente, sabemos que a prova pode fornecer a Fad, para termos que encontrar a Fi. Já sabemos que estas duas colunas têm o mesmo valor na última classe. Daí, trabalhando na coluna da Fad, faremos apenas aquela subtração que já conhecemos: “próxima Fad menos Fad anterior”. A resposta será a Fi. Senão, vejamos:
	Altura dos alunos
	 Fad (
	Fi
	1,50 |( 1,60
1,60 |( 1,70
1,70 |( 1,80
1,80 |( 1,90
 1,90 |( 2,00 
	100% (100%-88%)
88% (88%-66%=)
66% (66%-28%=)
28% (28% - 8%)
 8%
	 12%
 22%
 38%
 20%
 8%
	Total
	
	
	Como bom observador que é, você deve ter percebido que em qualquer das Freqüências Relativas Acumuladas, Fac ou Fad, estará presente o valor 100%. No caso da Fad, o 100% estará na primeira classe; já na Fac, aparecerá o 100% na última classe. Estamos falando em 100% por estarmos usando a notação percentual; caso estivéssemos usando a notação unitária, teríamos, em lugar de 100%, o valor da unidade (1,00). 
Em uma prova antiga da ESAF a questão perguntava se as Freqüências Relativas Acumuladas necessariamente começavam ou terminavam com a unidade. Isto é verdadeiro! No caso da Fad (veja acima) começamos com a unidade (100%); no caso da Fac, encerramos com ela!
	
	OK! Enfim, concluímos o estudo das colunas de freqüências de uma Distribuição. Agora vamos entrar na parte prática. Veremos, por meio dos exercícios abaixo, como as provas têm exigido esse conhecimento. 
	O importante é recordar que, logo de cara, será nosso objetivo chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. É exatamente o que faremos nestas questões que se seguem. 
EXERCÍCIOS DE HOJE
A ordem é a mesma para todas as questões abaixo: a partir dos dados fornecidos pelo enunciado, tente construir a freqüência absoluta simples. Respostas comentadas no início da próxima aula. Até lá e um grande abraço!
01) Extraído da prova do AFRF-2000: 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
	Classes de Salário
	Freqüências Acumuladas
	(3 ; 6]
	12
	(6 ; 9]
	30
	(9 ; 12]
	50
	(12 ; 15]
	60
	(15 ; 18]
	65
	(18 ; 21]
	68
02) Extraído da prova de AFRF-2002.1:
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. As questões de 38 a 43 referem-se a esses ensaios.
	Classes
	P (%)
	70-90
	5
	90-110
	15
	110-130
	40
	130-150
	70
	150-170
	85
	170-190
	95
	190-210
	100
03) Extraído da prova de Agente Fiscal de Tributos Estaduais – PI:
A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas.
	Classes de Salários
	Freqüências 
	(5.000-6.500)
	12
	(6.500-8.000)
	28
	(8.000-9.500)
	52
	(9.500-11.000)
	74
	(11.000-12.500)
	89
	(12.500-14.000)
	97
	(14.000-15.500)
	100
04) Extraído da prova de Fiscal de Tributos Estaduais – PA:
A tabela de freqüências abaixo deve ser utilizada nas questões 21, 22 e 23 e apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.
	Classes
	F 
	29,5 – 39,5
	2
	39,5 – 49,5
	6
	 49,5 - 59,5
	13
	59,5 – 69,5
	23
	69,5 – 79,5
	36
	79,5 – 89,5
	45
	89,5 – 99,5
	50
05) Extraído da prova de AFRF-2002.2:
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:
	Classes
	Freqüência (f) 
	29,5 – 39,5
	4
	39,5 – 49,5
	8
	 49,5 - 59,5
	14
	59,5 – 69,5
	20
	69,5 – 79,5
	26
	79,5 – 89,5
	18
	89,5 – 99,5
	10
Boa sorte!
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