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TRIGONOMETRIA Aula 3- Arcos e Ângulos Tema da Apresentação TRIGONOMETRIA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA Reconhecer o ciclo trigonométrico; Reconhecer na circunferência: arco, ângulo central, comprimento do arco; Converter arcos e ângulos em graus e radianos; Determinar o comprimento de um arco; Encontrar a primeira determinação positiva de um arco. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA O CIRCUNFERÊNCIA A B C D E P r r r r r r Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA ELEMENTOS B A B A O O Corda AB Diâmetro AB Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA A B Arco AB Arco BA ELEMENTOS Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA ARCOS E ÂNGULOS A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo SISTEMA CIRCULAR: Está relacionado com a medida do comprimento da circunferência. C = 2r Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA A B Arco de meia volta O Arco AB Arco BA ARCOS E ÂNGULOS Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA ARCO E ÂNGULO CENTRAL A B O C D E F m(AB) = ⍺ m(CD) = m(EF) = Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o 100o 110o 120o 130o 140o 150o 160o 170o 180o 190o 200o 210o 220o 230o 240o 250o 260o 270o 280o 290o 300o 310o 320o 330o 340o 350o O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o 100o 110o 120o 130o 140o 150o 160o 170o 180o 190o 200o 210o 220o 230o 240o 250o 260o 270o 280o 290o 300o 310o 320o 330o 340o 350o O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o 100o 110o 120o 130o 140o 150o 160o 170o 180o 190o 200o 210o 220o 230o 240o 250o 260o 270o 280o 290o 300o 310o 320o 330o 340o 350o 1o O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA SISTEMA SEXAGESIMAL: Dividindo a circunferência em 360 partes de mesmo tamanho, determinamos 360 arcos de 1º cada. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 0o 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o 100o 110o 120o 130o 140o 150o 160o 170o 180o 190o 200o 210o 220o 230o 240o 250o 260o 270o 280o 290o 300o 310o 320o 330o 340o 350o 1o O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e segundo (”) , de forma que: 1º = 60' e 1' = 60” Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes. A B O C D E F AB = 360 / 6 = 60º CE = 2. 60 = 120º ⍺ = 60º e = 120º Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA COMPRIMENTO DE UM ARCO Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA O RADIANO COMO UNIDADE DE MEDIDA A R O R R B Comprimento do arco (AB) = R ⇓ m(AB) = 1 radiano ⇓ = m(AB) = 1 rad Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA EM RADIANOS R R R R R 0,28R R C = 2 rad Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA TRANSFORMANDO UNIDADES As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 360º 2 rad 180º rad Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA ARCOS ESPECIAIS 0 0o Arco nulo /2 90º Arco de ¼ de volta 180º Arco de meia-volta 2 360º Arco completo Medida em radianos Medida em graus Arco Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 2 5 Transformar 72º em radianos. 180º rad 72º x x = 72 . 180 = rad APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 5.180 Transformar rad em graus. rad equivale a 180º. x = 4 = 225º 5. rad 4 = APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA x y 1 -1 1 -1 A + 90o 180o 270o 360o IQ IIQ IIIQ IVQ Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA x y A t a cos a sen a tg a A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA x y A t a cos a sen a tg a 1 sen2+ cos2 = 1 tga = sena cosa A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA SIMETRIA DE ARCOS A 180o - 180o + 360o - Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 1/2 30o 150o 210o 330o SIMETRIA DE ARCOS sen cos Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 45o 135o 225o 315o SIMETRIA DE ARCOS sen cos Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 60o 120o 240o 300o 1/2 SIMETRIA DE ARCOS sen cos Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA O CICLO TRIGONOMÉTRICO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA Dizemos que dois arcos são congruentes quando a medidas destes arcos diferem de um múltiplo de 360° ou 2π rad. ARCOS CONGRUENTES (OU CÔNGRUOS) EXPRESSÃO GERAL DOS ARCOS CÔNGRUOS Graus: x = x0 + 360°.k, onde k ∈ Z e 0º ≤ x0 < 360º Radianos: x = x0 + k.2π, onde k ∈ Z e 0 ≤ x0 < 2π Exemplo: (UFPA) A menor determinação positiva de um arco de 1000º é: a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA Exemplo: (UFPA) A menor determinação positiva de um arco de 1000º é: a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º Dividindo 1000 por 360 obtemos quociente igual a 2 e resto igual a 280. Assim, podemos escrever: 1000° = 2.360° + 280° Ou 1000° = 280° + 2.360° Neste caso, x0 = 280°. Portanto, letra b. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO Obter a menor determinação, o quadrante e a expressão geral do arco AB = 1690º Dividimos o arco por 360º O quociente K representa o número de voltas que o arco descreve sobre a circunferência trigonométrica. O resto será a menor determinação. Menor Determinação: 250º Quadrante :3º Expressão Geral: AB = K.360º + 250º Expressão Geral: AB = 4.360º + 250º Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 2. Obter a menor determinação, o quadrante e a expressão geral do arco AB = 780º Menor Determinação: Quadrante : Expressão Geral: AB = K.360º + _____ Expressão Geral: AB = ___.360º + _____ Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 2. Obter a menor determinação, o quadrante e a expressão geral do arco AB = 1140º Menor Determinação: Quadrante : Expressão Geral: AB = K.360º + _____ Expressão Geral: AB = ___.360º + _____ Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 4. Transformar 330º em radianos. 180º rad 330º x APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 5. Transformar 225º em radianos. 180º rad 225º x APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 6. Transformar 15º em radianos. 180º rad 15º x APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 7. Transformar rad em graus. x = 7. rad 6 = APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 8. Transformar rad em graus. x = 7. rad 4 = APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA 9. Transformar rad em graus. x = 4. rad 3 = APLICANDO O CONHECIMENTO Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 10. Às 12 horas e 20 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede: a) 90° b) 110° c) 112° d) 120° e) 122° Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 10. Às 12 horas e 20 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede: a) 90° b) 110° c) 112° d) 120° e) 122° O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos ele percorre o ângulo a 60 min ………… 30 graus 20 min …………… x graus A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ângulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus. Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 11. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede: a) 90° b) 112° 30' c) 82° 30' d) 120° e) 127° 30' Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA APLICANDO O CONHECIMENTO 11. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede: a) 90° b) 112° 30' c) 82° 30' d) 120° e) 127° 30' Tema da Apresentação Arcos e Ângulos – AULA3 TRIGONOMETRIA RESUMINDO O ciclo trigonométrico; Arco, ângulo central, comprimento do arco; Conversão de arcos e ângulos em graus e radianos; O comprimento de um arco; A primeira determinação positiva de um arco. Tema da Apresentação TRIGONOMETRIA Tema da Apresentação
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