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Trigonometria - Aula_03 - Arcos e Ângulos

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TRIGONOMETRIA
Aula 3- Arcos e Ângulos
 
 
Tema da Apresentação
TRIGONOMETRIA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Reconhecer o ciclo trigonométrico; 
 Reconhecer na circunferência: arco, ângulo central, comprimento do arco;
Converter arcos e ângulos em graus e radianos; 
 Determinar o comprimento de um arco; 
 Encontrar a primeira determinação positiva de um arco. 
 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
O
CIRCUNFERÊNCIA
A
B
C
D
E
P
r
r
r
r
r
r
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
ELEMENTOS
B
A
B
A
O
O
Corda AB
Diâmetro AB
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
A
B
Arco AB
Arco BA
ELEMENTOS
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
ARCOS E ÂNGULOS
A ≡ B
A ≡ B
arco completo
arco nulo
SISTEMA CIRCULAR: 
Está relacionado com a medida do comprimento da circunferência. 
C = 2r
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
A
B
Arco de meia volta
O
Arco AB
Arco BA
ARCOS E ÂNGULOS
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
ARCO E ÂNGULO CENTRAL
A
B
O
C

D
E
F


 m(AB) = ⍺ 
 m(CD) =  
 m(EF) = 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o
270o
280o
290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o
270o
280o
290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o
270o
280o
290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA
SISTEMA SEXAGESIMAL: Dividindo a circunferência em 360 partes de mesmo tamanho, determinamos 360 arcos de 1º cada. 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
0o
10o
20o
30o
40o
50o
60o
70o
80o
90o
100o
110o
120o
130o
140o
150o
160o
170o
180o
190o
200o
210o
220o
230o
240o
250o
260o
270o
280o
290o
300o
310o
320o
330o
340o
350o
1o
O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA
O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e segundo (”) , de forma que: 1º = 60' e 1' = 60” 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.
A
B
O
C

D
E
F

AB = 360 / 6 = 60º
CE = 2. 60 = 120º
⍺ = 60º e  = 120º
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
COMPRIMENTO DE UM ARCO
Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. 
O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
O RADIANO COMO UNIDADE DE MEDIDA
A
R
O
R

R
B
Comprimento do arco (AB) = R
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
 = m(AB) = 1 rad
Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA EM RADIANOS
R
R
R
R
R
0,28R
R
C = 2 rad
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
TRANSFORMANDO UNIDADES
As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.
360º  2 rad
180º   rad
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
ARCOS ESPECIAIS
0
0o
Arco nulo
/2
90º
Arco de ¼ de volta

180º
Arco de meia-volta
2
360º
Arco completo
Medida em radianos
Medida em graus
Arco
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
2
5 
Transformar 72º em radianos.
180º 
 rad
72º 
x
x = 
72 . 
180 
=
 rad
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
5.180
Transformar rad em graus.
 rad equivale a 180º.
x = 
4
=
225º
5. rad
4
=
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
A CIRCUNFERÊNCIA
 TRIGONOMÉTRICA
x
y
1
-1
1
-1
A
+
90o
180o
270o
360o
IQ
IIQ
IIIQ
IVQ
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
x
y
A
t
a
cos a
sen a
tg a
A CIRCUNFERÊNCIA
 TRIGONOMÉTRICA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
x
y
A
t
a
cos a
sen a
tg a
1
sen2+ cos2 = 1
tga
=
sena
cosa
A CIRCUNFERÊNCIA
 TRIGONOMÉTRICA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
SIMETRIA DE ARCOS
A

180o - 
180o + 
360o - 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
1/2
30o
150o
210o
330o
SIMETRIA DE ARCOS
sen
cos
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
45o
135o
225o
315o
SIMETRIA DE ARCOS
sen
cos
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
60o
120o
240o
300o
1/2
SIMETRIA DE ARCOS
sen
cos
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
O CICLO TRIGONOMÉTRICO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
Dizemos que dois arcos são congruentes quando a medidas destes arcos diferem de um múltiplo de 360° ou 2π rad.
ARCOS CONGRUENTES (OU CÔNGRUOS)
EXPRESSÃO GERAL DOS ARCOS CÔNGRUOS
Graus: x = x0 + 360°.k, onde k ∈ Z e 0º ≤ x0 < 360º
Radianos: x = x0 + k.2π, onde k ∈ Z e 0 ≤ x0 < 2π
Exemplo:
(UFPA) A menor determinação positiva de um arco de 1000º é: a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
Exemplo:
(UFPA) A menor determinação positiva de um arco de 1000º é: a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º
Dividindo 1000 por 360 obtemos quociente igual a 2 e resto igual a 280. 
Assim, podemos escrever:
1000° = 2.360° + 280°
Ou
1000° = 280° + 2.360°
Neste caso,  x0 = 280°. 
Portanto, letra b.
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
Obter a menor determinação, 
o quadrante e a expressão geral do arco AB = 1690º
Dividimos o arco por 360º 
O quociente K representa o número 
de voltas que o arco descreve 
sobre a circunferência trigonométrica.
O resto será a menor determinação.
Menor Determinação: 250º 
Quadrante :3º 
Expressão Geral: AB = K.360º + 250º 
Expressão Geral: AB = 4.360º + 250º 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
2. Obter a menor determinação, 
o quadrante e a expressão geral do arco AB = 780º
Menor Determinação:
Quadrante :
Expressão Geral: AB = K.360º + _____
Expressão Geral: AB = ___.360º + _____ 
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
2. Obter a menor determinação, 
o quadrante e a expressão geral do arco AB = 1140º
Menor Determinação:
Quadrante :
Expressão Geral: AB = K.360º + _____
Expressão Geral: AB = ___.360º + _____
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
4. Transformar 330º em radianos.
180º 
 rad
330º 
x
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
5. Transformar 225º em radianos.
180º 
 rad
225º 
x
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
6. Transformar 15º em radianos.
180º 
 rad
15º 
x
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
7. Transformar rad em graus.
x = 
7. rad
6
=
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
8. Transformar rad em graus.
x = 
7. rad
4
=
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
9. Transformar rad em graus.
x = 
4. rad
3
=
APLICANDO O CONHECIMENTO
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
10. Às 12 horas e 20 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:
a) 90°
b) 110°
c) 112°
d) 120°
e) 122°
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
10. Às 12 horas e 20 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:
a) 90°
b) 110°
c) 112°
d) 120°
e) 122°
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos ele percorre o ângulo a
60 min ………… 30 graus
20 min …………… x graus 
A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ângulo entre os ponteiros é 
120-10=110 graus.
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
11. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:
a) 90°
b) 112° 30'
c) 82° 30'
d) 120°
e) 127° 30'
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
APLICANDO O CONHECIMENTO
11. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede:
a) 90°
b) 112° 30'
c) 82° 30'
d) 120°
e) 127° 30'
Tema da Apresentação
Arcos e Ângulos – AULA3
TRIGONOMETRIA
RESUMINDO
 O ciclo trigonométrico; 
 Arco, ângulo central, comprimento do arco;
Conversão de arcos e ângulos em graus e radianos; 
 O comprimento de um arco; 
A primeira determinação positiva de um arco. 
 
Tema da Apresentação
TRIGONOMETRIA
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